3 ESTUDOS AVANÇADOS DE FISICA 1 ANO

Prévia do material em texto

CADERNO DO PROFESSOR
ESTUDOS 
AVANÇADOS
FÍSICA+
PRIMEIRA
SÉRIE
ENSINO MÉDIO3
C A D E R N O
730557_CAPAS_CAD3_ESTUDOS_FISICA_PR.indd 2730557_CAPAS_CAD3_ESTUDOS_FISICA_PR.indd 2 09/03/21 11:4809/03/21 11:48
Carlos N. Marmo (CARLINHOS)
HARLEY Sato
MADSON Molina
Márcio MIRANDA
Ronaldo CARRILHO
PRIMEIRA
SÉRIE
ENSINO MÉDIO
CADERNO DO PROFESSOR
ESTUDOS 
AVANÇADOS
FÍSICA+
3
C A D E R N O
FRONTIS_CAD3_ESTUDOS_FISICA_PR.indd 1FRONTIS_CAD3_ESTUDOS_FISICA_PR.indd 1 09/03/21 11:4509/03/21 11:45
Presidência: Mario Ghio Júnior
Vice-presidência de educação digital: Camila Montero Vaz Cardoso
Direção executiva: Thiago Brentano Rodrigues
Direção editorial: Lidiane Vivaldini Olo
Direção pedagógica: Paulo Roberto Moraes
Coordenação pedagógica: Henrique Santos Braga
Gestão de projeto editorial: Flávio Matuguma (ger.), 
Michelle Yara Urcci Gonçalves (coord.), Daniela Carvalho e 
Eduarda Berteli Mario dos Santos (analistas)
Gerência de conteúdo e design educacional: Renata Galdino
Gerência editorial: Marcela Pontes
Coordenação editorial: Pietro Ferrari
Edição: Alexandre Braga D'Avila e 
Helder Santos
Planejamento e controle de produção: Flávio Matuguma (ger.), 
Juliana Batista (coord.), Anny Lima e Suelen Ramos (analistas) 
Revisão: Letícia Pieroni (coord.), Aline Cristina Vieira, Anna Clara Razvickas, 
Brenda T. M. Morais, Carla Bertinato, Daniela Lima, Danielle Modesto, 
Diego Carbone, Kátia S. Lopes Godoi, Lilian M. Kumai, Malvina Tomáz, 
Marília H. Lima, Paula Rubia Baltazar, Paula Teixeira, Raquel A. Taveira, 
Ricardo Miyake, Shirley Figueiredo Ayres, Tayra Alfonso e Thaise Rodrigues
Arte: Fernanda Costa da Silva (ger.), Catherine Saori Ishihara (coord.) 
e Daniel Hisashi Aoki (edição de arte)
Diagramação: Casa de Tipos
Iconografia e tratamento de imagem: Roberta Bento (ger.), 
Claudia Bertolazzi (coord.), Fernanda Gomes (pesquisa iconográfica) 
e Fernanda Crevin (tratamento de imagens)
Licenciamento de conteúdos de terceiros: Roberta Bento (ger.), 
Jenis Oh (coord.), Liliane Rodrigues, Flávia Zambon e 
Raísa Maris Reina (analistas de licenciamento)
Design: Erik Taketa (coord.) e Adilson Casarotti (proj. gráfico e capa)
Foto de capa: Nora Carol Photography/ Moment/Getty Images
Todos os direitos reservados por Somos Sistemas de Ensino S.A.
Avenida Paulista, 901, 6o andar – Bela Vista
São Paulo – SP – CEP 01310-200
http://www.somoseducacao.com.br
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 Anglo : Ensino médio : Estudos avançados : 1ª série : 
Física : Caderno 3 : Caderno do professor / Carlos N. 
Marmo...[et al]. -– 1. ed. -- São Paulo : SOMOS Sistemas de 
Ensino, 2021. 
Outros autores: Harley Sato, Madson Molina, Márcio Miranda, 
Ronaldo Carrilho 
ISBN 978-85-4682-329-1 
1. Física (Ensino médio) I. Marmo, Carlos N.
 CDD 530.7 21-4186
 Angélica Ilacqua - Bibliotecária - CRB-8/7057 
2021
1a edição
1a impressão
De acordo com a BNCC.
Impressão e acabamento
Uma publicação
P4_ANGLO_EM20_EA_CP_INICIAIS_CAD3_002e003_Fisica.indd 2P4_ANGLO_EM20_EA_CP_INICIAIS_CAD3_002e003_Fisica.indd 2 08/03/21 11:2708/03/21 11:27
Sumário
Módulo 9. Trabalho de algumas forças ....... 4
Módulo 10. Ampliando o entendimento 
dos teoremas da Dinâmica energética ..........7
Módulo 11. Aplicações dos conceitos 
de sistemas conservativos 
e não conservativos .................................................9
ja
n
ie
c
b
ro
s
/E
+
/G
e
tt
y
 I
m
a
g
e
s
P4_ANGLO_EM20_EA_CP_INICIAIS_CAD3_002e003_Fisica.indd 3P4_ANGLO_EM20_EA_CP_INICIAIS_CAD3_002e003_Fisica.indd 3 08/03/21 11:2908/03/21 11:29
4
Sugestão de roteiro de aula
Aula Descrição Anotações
13
Trabalho da força peso
Desenvolvendo habilidades: 1 e 2
Desafio: 1 a 3
14
Trabalho da força elástica
Trabalho da força resultante
Desenvolvendo habilidades: 3 a 6
Desafio: 4 a 6
Objetivos de aprendizagem
Ao fim destas aulas, o aluno deve ser capaz de:
. Objetivo 1: Calcular o trabalho realizado pela força peso em algumas situações.
. Objetivo 2: Calcular, por diferentes métodos, o trabalho realizado pela força elástica e pela resultante.
Encaminhamento
Aula 13
A sugestão é de que este módulo seja apresentado em duas aulas. Na primeira, o professor pode 
apresentar o método para determinar o trabalho da força peso independentemente da trajetória, e, na 
segunda aula, apresentar o cálculo do trabalho da resultante e da força elástica. O objetivo da primeira aula 
M
Ó
D
U
L
O
9 F Í S I C A +
Trabalho de algumas forças
C O M P E T Ê N C I A S G E R A I S C 1 , C 2 , C 3 , C 6
HABILIDADES BNCC NORTEADORAS DO MÓDULO
EM13CNT101 Analisar e representar, com ou sem o uso de dispositivos e de aplicativos digitais específicos, as transformações e 
conservações em sistemas que envolvam quantidade de matéria, de energia e de movimento para realizar previsões sobre seus 
comportamentos em situações cotidianas e em processos produtivos que priorizem o desenvolvimento sustentável, o uso consciente dos 
recursos naturais e a preservação da vida em todas as suas formas.
EM13CNT303 Interpretar textos de divulgação científica que tratem de temáticas das Ciências da Natureza, disponíveis em diferentes 
mídias, considerando a apresentação dos dados, tanto na forma de textos como em equações, gráficos e/ou tabelas, a consistência dos 
argumentos e a coerência das conclusões, visando construir estratégias de seleção de fontes confiáveis de informações.
P7_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_B_CP3_004a012.indd 4P7_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_B_CP3_004a012.indd 4 08/03/21 11:4408/03/21 11:44
5
M
î
D
U
L
O
 9
 Ð
 T
R
A
B
A
LH
O
 D
E 
A
LG
U
M
A
S
 F
O
R
Ç
A
S
FÍ
S
IC
A
+
A
Dh
AB
 5 SDy
t
P
 5 S t
P 
5
 
SP ? Dy 5 P ? SDy
_ t
P 
5 P ? Dh
AB
P
1
2
B
y
Dx
Dy
x
y
A
B
Dh
AB
 5 SDy
P
Dx
Dy
é sedimentar o conceito de trabalho junto aos alunos e prepará-los para a compreensão de forças conser-
vativas e de que o trabalho de forças conservativas independe da forma da trajetória.
Sendo assim, inicialmente você pode resgatar com os alunos que a força peso tem intensidade cons-
tante (quando a análise é feita nas proximidades da superfície da Terra). Desse modo, ao se determinar o 
trabalho da força peso, é possível utilizar a expressão do trabalho para força constante. Em seguida, apre-
sente um caso em que um corpo se desloca entre dois pontos, A e B, por uma trajetória qualquer e pro-
ponha o desafio para que os alunos determinem o trabalho da força peso. Aos poucos, direcione a ideia 
de que, independentemente da forma dessa trajetória curva, ela pode ser considerada uma infinidade de 
deslocamentos verticais e horizontais. Nesse momento, resgate o conceito apreendido nas aulas do FGB, 
de que as forças (ou componentes) perpendiculares ao deslocamento não realizam trabalho, como apre-
sentado no Caderno do Aluno e conforme a seguir.
Na direção x:
t
P 
 5 P ? Dx ? cos 90°
_ t
P 
 5 0
Dx
P x
x
t
P 
 5 P ? Dy ? cos 0°
_ t
P 
 5 P ? Dy
Na direção y:
DyP
y
y
Desse modo, pode-se concluir que o trabalho da força peso ocorre apenas nos deslocamentos verticais 
e que o trabalho entre os pontos A e B só leva em conta o desnível entre eles, como apresentado a seguir.
Nesse momento, comente que há outras forças que obedecem à propriedade de o trabalho não depen-
der da trajetória, mas apenas das posições inicial e final é que essas forças são denominadas conservativas. 
Em seguida, resolva os exercícios 1 e 2 da seção Desenvolvendo habilidades, explorando a ideia de que o 
trabalho da força peso não depende da trajetória. O exercício 1 também pode ser explorado para comentar 
que, como o corpo realiza um MRU, a sua energia cinética se mantém constante e, portanto, a energia for-
necida pela Terra por meio do trabalho da força peso é igual, em módulo, ao trabalho da força de atrito. 
Caso queira ir além, comente que o trabalho da força de atrito pode ser entendido como energia dissipada.
P7_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_B_CP3_004a012.indd5P7_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_B_CP3_004a012.indd 5 08/03/21 11:4408/03/21 11:44
6
Aula 14
Resgate inicialmente com os alunos a expressão da lei de Hooke e mostre que a força elástica possui 
intensidade variável. Desse modo, ao se determinar o trabalho da força elástica, deve-se determinar a área 
entre a linha do gráfico e o eixo dos espaços. Como sinalizado anteriormente, esse estudo prepara os alu-
nos para as aulas de energia potencial e sistemas conservativos.
Na sequência, resolva os exercícios 3 a 5 da seção Desenvolvendo habilidades. Na questão 3, pode-se 
explorar a ideia de que, se não houver dissipação, toda a energia cinética do corpo se converteu em energia 
potencial elástica.
Em seguida, apresente a propriedade de que o trabalho da força resultante coincide com a soma dos 
trabalhos das forças que a compõem. Finalmente, resolva o exercício 6.
A N O TA Ç Õ E S
P7_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_B_CP3_004a012.indd 6P7_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_B_CP3_004a012.indd 6 08/03/21 11:4408/03/21 11:44
7
M
Ó
D
U
LO
 1
0
 –
 A
M
P
L
IA
N
D
O
 O
 E
N
T
E
N
D
IM
E
N
T
O
 D
O
S
 T
E
O
R
E
M
A
S
 D
A
 D
IN
Â
M
IC
A
 E
N
E
R
G
É
T
IC
A
F
ÍS
IC
A
+
Sugestão de roteiro de aula
Aula Descrição Anotações
15
Algumas grandezas da Dinâmica energética
Desenvolvendo habilidades: 1 e 2
Desafio: 1 a 3
16
Desenvolvendo habilidades: 3 e 4
Desafio: 4 a 6
Objetivos de aprendizagem
Ao fim destas aulas, o aluno deve ser capaz de:
. Objetivo 1: Analisar o teorema da energia cinética em contextos mais amplos.
. Objetivo 2: Analisar o teorema da energia potencial em contextos mais amplos.
M
Ó
D
U
L
O
10
Ampliando o entendimento 
dos teoremas da Dinâmica 
energética
HABILIDADES BNCC NORTEADORAS DO MÓDULO
EM13CNT101 Analisar e representar, com ou sem o uso de dispositivos e de aplicativos digitais específicos, as transformações e 
conservações em sistemas que envolvam quantidade de matéria, de energia e de movimento para realizar previsões sobre seus 
comportamentos em situações cotidianas e em processos produtivos que priorizem o desenvolvimento sustentável, o uso consciente 
dos recursos naturais e a preservação da vida em todas as suas formas.
EM13CNT204 Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo 
com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação 
e de realidade virtual, entre outros).
EM13CNT303 Interpretar textos de divulgação científica que tratem de temáticas das Ciências da Natureza, disponíveis em diferentes 
mídias, considerando a apresentação dos dados, tanto na forma de textos como em equações, gráficos e/ou tabelas, a consistência dos 
argumentos e a coerência das conclusões, visando construir estratégias de seleção de fontes confiáveis de informações.
F Í S I C A+
P7_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_B_CP3_004a012.indd 7P7_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_B_CP3_004a012.indd 7 08/03/21 11:4408/03/21 11:44
8
t
F
 5 F
t
? d
Encaminhamento
Aula 15
A sugestão é de que este módulo seja apresentado em duas aulas. Você pode aproveitar a primeira 
aula para relembrar com os alunos as principais grandezas apresentadas até agora da dinâmica energética, 
ressaltando os fatores envolvidos na determinação de trabalho e energia, como apresentado no esquema 
do Caderno do Aluno e reproduzido a seguir.
Energia cinética
=E
m v
2
2
?
c
Energia potencial
E m g h
E
k x
2
2
p
p
grav
elást
= ⋅ ⋅
=
⋅
Teorema da energia cinética (TEC)
τ = −E E
R C
f
C
i
Teorema da energia potencial (TEP)
τ E E5 2
F P
i
P
f
cons
Dinâmica 
energética
Trabalho 
Característica 
de uma força 
que mede 
a energia 
trocada entre 
corpos.
Energia 
Característica 
de um corpo 
relacionada 
à sua 
capacidade 
de produzir 
movimento.
t
Ft
 5 Área
Espaço
F
t
 5 F ? cos a
d
Trabalho de uma força variável 
F
a
d
t
F
 5 F ? d ? cos a
Trabalho de uma força constante 
Em seguida, represente o teorema da energia cinética (TEC) para determinar a velocidade dos corpos 
submetidos a uma força resultante variável. Finalmente, resolva os exercícios 1 e 2 da seção Desenvolvendo 
habilidades. A questão 2 pode ser explorada para comentar que o TEC pode ser aplicado para se determi-
nar a intensidade das forças envolvidas que compõem a resultante.
Aula 16
Reforce nesta aula o conceito de forças conservativas, o porquê dessa denominação e o fato de que 
o trabalho das forças conservativas não depende da trajetória realizada pelo corpo em seu deslocamento. 
Em seguida, resolva os exercícios 3 e 4 da seção Desenvolvendo habilidades. A questão 4, além de envol-
ver o teorema da energia potencial (TEP) para o cálculo do trabalho da força peso, também utiliza o TEC, 
uma vez que o trabalho da resultante é a soma dos trabalhos de suas componentes.
P7_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_B_CP3_004a012.indd 8P7_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_B_CP3_004a012.indd 8 08/03/21 11:4408/03/21 11:44
9
M
Ó
D
U
LO
 1
1 
– 
A
P
LI
C
A
Ç
Õ
ES
 D
O
S
 C
O
N
C
EI
TO
S
 D
E 
S
IS
TE
M
A
S
 C
O
N
S
ER
VA
TI
VO
S
 E
 N
Ã
O
 C
O
N
S
ER
VA
TI
VO
S
FÍ
S
IC
A
+
Sugestão de roteiro de aula
Aula Descrição Anotações
17
Sistemas conservativos e sistemas não con-
servativos
Desenvolvendo habilidades: 1 e 2
Desafio: 1 a 3
18
Desenvolvendo habilidades: 3 a 6
Desafio: 4 a 6
Objetivos de aprendizagem
Ao fim destas aulas, o aluno deve ser capaz de:
. Objetivo 1: Analisar movimentos em que há conservação de energia mecânica.
. Objetivo 2: Analisar movimentos curvilíneos variados em que há conservação de energia mecânica.
M
Ó
D
U
L
O
11
Aplicações dos conceitos 
de sistemas conservativos
e não conservativos
HABILIDADES BNCC NORTEADORAS DO MÓDULO
EM13CNT101 Analisar e representar, com ou sem o uso de dispositivos e de aplicativos digitais específicos, as transformações e 
conservações em sistemas que envolvam quantidade de matéria, de energia e de movimento para realizar previsões sobre seus 
comportamentos em situações cotidianas e em processos produtivos que priorizem o desenvolvimento sustentável, o uso consciente 
dos recursos naturais e a preservação da vida em todas as suas formas.
EM13CNT204 Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo 
com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação 
e de realidade virtual, entre outros).
EM13CNT303 Interpretar textos de divulgação científica que tratem de temáticas das Ciências da Natureza, disponíveis em diferentes 
mídias, considerando a apresentação dos dados, tanto na forma de textos como em equações, gráficos e/ou tabelas, a consistência dos 
argumentos e a coerência das conclusões, visando construir estratégias de seleção de fontes confiáveis de informações.
EM13CNT306 Avaliar os riscos envolvidos em atividades cotidianas, aplicando conhecimentos das Ciências da Natureza, para justificar o 
uso de equipamentos e recursos, bem como comportamentos de segurança, visando à integridade física, individual e coletiva, e 
socioambiental, podendo fazer uso de dispositivos e aplicativos digitais que viabilizem a estruturação de simulações de tais riscos.
F Í S I C A+
P7_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_B_CP3_004a012.indd 9P7_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_B_CP3_004a012.indd 9 08/03/21 11:4408/03/21 11:44
10
Encaminhamento
Aula 17
Neste módulo, o objetivo é aprofundar-se na análise de sistemas conservativos. Para isso, analise com os 
alunos situações mais complexas. A primeira aula é uma oportunidade de relembrar as condições para que 
um sistema seja considerado conservativo e o princípio de conservação da energia mecânica. Em seguida, 
resolva os exercícios 1 e 2 da seção Desenvolvendo habilidades; o exercício 1 explora a conservação de energia 
em um movimento circulare propicia as condições para desenvolver a próxima aula.
Aula 18
Trabalhe nesta aula situações mais complexas de movimentos circulares em que ocorre conservação da 
energia mecânica, como o clássico caso do looping nos exercícios 3 e 4 da seção Desenvolvendo habilidades. 
Além disso, os exercícios 5 e 6 dessa mesma seção ilustram situações complexas de movimentos circulares 
variados que exigem, em sua resolução, a aplicação de conceitos da dinâmica e do princípio de conservação 
da energia mecânica.
A N O TA Ç Õ E S
P7_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_B_CP3_004a012.indd 10P7_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_B_CP3_004a012.indd 10 08/03/21 11:4408/03/21 11:44
11
F
êS
IC
A
+
G
A
B
A
R
IT
O
Desafio
Módulo 9 – Trabalho de algumas forças
Objetivo de aprendizagem 1
1 c
2 e
3 a) , .2 93
aço
A
t
t
5
L
 b) S 5 60 dB.
Objetivo de aprendizagem 2
4 e
5 a
6 Soma (02 1 04 1 08) 5 14
Módulo 10 – Ampliando o entendimento dos 
teoremas da Dinâmica energética
Objetivo de aprendizagem 1
1 a
GA BA R I T O
2 Soma (02 1 08) 5 10
3 Soma (01 1 02) 5 03
Objetivo de aprendizagem 2
4 b
5 e
6 b
Módulo 11 – Aplicações dos conceitos de 
sistemas conservativos e não conservativos
Objetivo de aprendizagem 1
1 b
2 c
3 c
Objetivo de aprendizagem 2
4 d
5 a
6 c
P7_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_B_CP3_004a012.indd 11P7_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_B_CP3_004a012.indd 11 08/03/21 11:4408/03/21 11:44
Carlos N. Marmo (CARLINHOS)
HARLEY Sato
MADSON Molina
Márcio MIRANDA
Ronaldo CARRILHOFísica+
P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 98P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 98 08/03/21 11:3908/03/21 11:39
99
M
Ó
D
U
LO
 9
 -
 T
R
A
B
A
LH
O
 D
E 
A
LG
U
M
A
S
 F
O
R
Ç
A
S
FÍ
S
IC
A
+
Como o trabalho da força peso só ocorre nos deslocamentos verticais, caso o corpo se desloque entre 
os pontos A e B pelas trajetórias 1 ou 2, o trabalho da força é peso será o mesmo. Em outras palavras, o 
trabalho total entre dois pontos A e B não depende da trajetória, mas sim da diferença de altura entre 
esses pontos (Dh
AB
).
9
COMPETÊNCIAS 
ESPECÍFICAS E 
HABILIDADES
COMPETÊNCIA 1
COMPETÊNCIA 3
EM13CNT101
EM13CNT303
Trabalho de algumas 
forças
Objetivos de aprendizagem
. Objetivo 1: Calcular o trabalho realizado pela força peso em algumas situações. Aula 13
. Objetivo 2: Calcular, por diferentes métodos, o trabalho realizado pela força elástica e pela resultante. 
Neste módulo
1 Trabalho da força peso
Uma trajetória curva pode ser descrita como uma infinidade de trechos horizontais e verticais. Como 
o trabalho nos deslocamentos horizontais é nulo, pois a força peso é perpendicular a esses deslocamentos, 
o trabalho da força peso só ocorre nos deslocamentos verticais.
Aula 14
Aula 13
M
Ó
D
U
L
O
F Í S I C A + C O M P E T Ê N C I A S G E R A I S C 1 . C 2 . C 3 . C 6
Na direção x:
t
Px
 5 P ? Dx ? cos 90°
_ t
Px
 5 0
Dx
P
Na direção y:
t
Py
 5 P ? Dy ? cos 0°
_ t
Py
 5 P ? Dy
DyP
y
A
B
Dh
AB
 5 SDyP
t
1
2
Dx
Dy
P P
P AB
y
τ Στ Σ ∆ Σ∆
∴ τ ∆
P y P y
P h
5 5 ? 5 ?
5 ?
y
x
A
B
Dx
Dy
Dh
AB
5 SDyPP
P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 99P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 99 08/03/21 11:3908/03/21 11:39
100
2 Trabalho da força elástica
A força elástica realiza trabalho quando um corpo se desloca de uma posição A até a posição de 
equilíbrio.
x
Posição A
F
elást
Posição de
equilíbrio
Mola sem deformação.
Como a força elástica é variável, seu trabalho pode ser determinado por meio da área entre a linha do 
gráfico e o eixo dos espaços.
Área
F
elást
x0 x
F 5 k ? x
 
 
área
base altura
2 2Felást
A posição equilíbrio
τ
→
k x x
5 5
3
5
? ?
3 Trabalho da força resultante
Um corpo sob ação de quatro forças (F P N A, , e
r r r r
) que se desloca horizontalmente para a direita em 
movimento retilíneo e acelerado possui uma força resultante também com direção horizontal e sentido 
para a direita. Ao se determinar o seu trabalho, verifica-se que é o mesmo resultado ao se determinar a 
soma dos trabalhos de suas componentes.
a
d d
F
n
N
A
P
R
τ = τ + τ + τ + τ
R F A P N
O trabalho da força resultante é igual à soma dos trabalhos das forças que a compõem.
Aula 14
Mola com deformação, esticada da sua posição de 
equilíbrio até a posição A.
2Felást
A posição equilíbrio
2
τ
→
k x
~ 5
?
P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 100P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 100 08/03/21 11:3908/03/21 11:39
101
M
Ó
D
U
L
O
 9
 -
 T
R
A
B
A
LH
O
 D
E 
A
LG
U
M
A
S
 F
O
R
Ç
A
S
M
Ó
D
U
L
O
 9
 -
 T
R
A
B
A
LH
O
 D
E 
A
LG
U
M
A
S
 F
O
R
Ç
A
S
FÍ
S
IC
A
+
1 (UFRGS-RS) Na figura abaixo, um corpo de massa M desliza com velocidade constante sobre um plano inclinado que forma 
um ângulo u com o plano horizontal. Considere g o módulo da aceleração da gravidade e despreze a resistência do ar.
Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas do enunciado abaixo, na ordem em que aparecem.
Quando o centro de massa do corpo desce uma altura h, os trabalhos realizados pela força peso e pela força de atrito entre 
corpo e plano são, respectivamente, _____ e _____.
a) 2M ? g ? h; M ? g ? h
b) M ? g ? h; 2M ? g ? h
c) M ? g ? h ? sen u; 2M ? g ? h
d) M ? g ? h ? sen u; 2M ? g ? h ? cos u
e) M ? g ? h ? cos u; 2M ? g ? h ? sen u
2 (UFJF-MG) O parkour é uma modalidade de esporte radical em que os competidores têm que transpor diversos tipos de 
obstáculos em todo tipo de ambiente, como subir e pular de muros, por exemplo.
a) Qual deve ser o módulo do trabalho realizado pela força peso de um competidor de 50 kg para subir uma escada com 
100 degraus, com 18 cm de altura cada um?
O trabalho da força peso pode ser determinado por meio da definição de trabalho de força constante, independentemente da trajetória e considerando apenas as 
posições inicial e final. Sendo assim, considerando que a subida ocorra em uma trajetória vertical, tem-se:
t 5 P ? Ds ? cos 90° 5 50 ? 10 ? (100 ? 0,18) ? (21) 
_ t 5 29 000 J. 
Portanto, o módulo do trabalho será 9 000 J.
b) Suponha que o competidor num dado instante caia de uma altura de 3,2 m. Calcule a velocidade vertical com que ele 
atingirá o solo.
De acordo com as equações do MUV, pode-se determinar o tempo de queda e a velocidade ao tocar o solo:
h
g
t t
h
g
t
,
t ,
5 ~ 5
5
?
_ 5
2
2
2 3 2 m
10 m s
0 8 s
2
2
5 ? ~ 5 ?
_ 5
10 m s 0 8 s
8 m s
2v g t v ,
v
Aula 13
Como o trabalho da força peso não depende da trajetória, pode ser determinado considerando apenas uma 
trajetória vertical de altura h: τ 5 ? ?P M g h.
O trabalho da força de atrito é resistente e deve ter o mesmo valor em módulo, pois o bloco evolui com 
velocidade constante. t 52 ? ?A M g h.
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
/U
F
R
G
S
, 
2
0
1
9
.
P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 101P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 101 08/03/21 11:3908/03/21 11:39
102
3 Em um plano horizontal sem atrito, um corpo de massa 
1 kg é lançado horizontalmente e comprime uma mola até 
parar, após percorrer 0,1 m. A força aplicada pela mola 
varia de acordo com o gráfico a seguir.
F (N)
s (m)
10
0,10
Considerando-se o contexto apresentado, determine:
a) a constante elástica da mola;
O deslocamento do corpo é igual à deformação da mola. O gráfico ilustra 
que a mola obedece à lei de Hooke:
5 ?
5 ?
5
10 0 1
100 N/m
F k x
k ,
k
b) a energia potencial elástica armazenada.
A energia potencial elástica é calculada por:
5
?
5
?
5
2
100 0 1
2
0 5 J
p
2 2
p
E
k x ,
E ,
Aula 14
4 (Famerp-SP) A figura mostra o deslocamento horizontal 
de um bloco preso a uma mola, a partir da posição A e 
até atingir a posição C.
C
B
A
0 10 20 x (cm)
O gráfico representa o módulo da força que a mola exer-
ce sobre o bloco em função da posição deste.
F (N)
x (cm)
4,0
0 10 20
8,0
O trabalho realizadopela força elástica aplicada pela mola 
sobre o bloco, quando este se desloca da posição A até 
a posição B, é 
a) 0,60 J.
b) 20,60 J.
c) 20,30 J. 
d) 0,80 J.
e) 0,30 J.
O trabalho t pedido pode ser determinado por meio da área sob a curva entre 
o deslocamento da posição A até a posição B, como ilustrado a seguir:
F (N)
x (cm)
4,0
0 10 20
8,0
Desse modo, tem-se:
( )
( ), ,
,
Área 8 4 N
0 20 0 10 m
2
0 60 J
t5 5 1 ?
2
t5
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 102P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 102 08/03/21 11:3908/03/21 11:39
103
M
Ó
D
U
L
O
 9
 -
 T
R
A
B
A
LH
O
 D
E 
A
LG
U
M
A
S
 F
O
R
Ç
A
S
M
Ó
D
U
L
O
 9
 -
 T
R
A
B
A
LH
O
 D
E 
A
LG
U
M
A
S
 F
O
R
Ç
A
S
FÍ
S
IC
A
+
5 (Fepar-PR) Fundamentado em pesquisas científicas, o 
método Pilates tem-se mostrado eficaz no trabalho pos-
tural dos pacientes por meio de exercícios fisioterapêuti-
cos. Considere que, durante um exercício, um paciente 
distende uma mola de 12 cm.
https://revistapilates.com.br/wp-content/uploads/ 
2013/06/raoni-pilates-metalife1.jpeg
Sabendo que a constante de elasticidade da mola é de 
200 N/m, julgue as afirmativas que seguem.
( ) Quando distendida, a mola exerce sobre o paciente 
uma força máxima de 24 N.
( ) O trabalho realizado pelo paciente para distender a 
mola 12 cm é nulo.
( ) O trabalho da força elástica corresponde a 1,44 J.
( ) Na fase de elongação da mola pelo paciente, o tra-
balho é classificado como resistente.
( ) O trabalho da força elástica será classificado como mo-
tor apenas durante a fase de restituição da mola, ou seja, 
quando a mola retorna a sua posição de equilíbrio.
Resposta: V – F – V – V – V.
Verdadeiro. De acordo com a lei de Hooke, tem-se:
5 ? ~ 5 ? _ 5200 N m (0,12 m) 24 Nelást elást elástF k x F F
Falso. Como a mola se distende 12 cm, houve realização de trabalho. Ou seja, 
o paciente transferiu energia para o sistema.
Verdadeiro. De acordo com a expressão do trabalho da força elástica:
( )k x ,
,t 5
?
~ t 5
?
_ t 5
2
200 N m 0 12 m
2
1 44 J
2
2
Verdadeiro. Ao distender a mola, a força elástica possui sentido oposto ao 
deslocamento e, portanto, seu trabalho é resistente.
Verdadeiro. Ao retomar sua posição de equilíbrio, a força elástica possui 
mesmo sentido que o do deslocamento e, portanto, seu trabalho é motor.
Indique como resposta a soma das alternativas corretas
6 (UEPG-PR) Um bloco de madeira de 100 g desliza, a par-
tir do repouso, sobre um plano inclinado de 2 m de com-
primento e com uma inclinação de 45° com a horizontal. 
Levando em conta o atrito entre o bloco e o plano incli-
nado e desconsiderando a resistência do ar, assinale o que 
for correto.
Dados: aceleração da gravidade: g 5 10 m/s2
coeficiente de atrito estático 5 0,5
coeficiente de atrito dinâmico 5 0,3
01) O bloco desliza com uma aceleração de 3 5 2 m s .2,
02) A energia cinética do bloco no instante em que ele 
atinge a metade do percurso vale 0 35 2 J.,
04) O trabalho realizado pela força resultante sobre o 
bloco, quando este percorre a distância de 1,5 m a 
partir do repouso, é igual a 2 J.
08) Se não houvesse a força de atrito, o movimento do 
bloco seria uniforme.
 16) No presente caso, a força de atrito entre o bloco e o 
plano inclinado não depende da inclinação do plano.
Soma (01 + 02) = 03.
01. Correta. Considerando-se as forças aplicadas e a segunda lei de Newton: 
( )
( )
θ µ θ ∴ θ µ θ
° ⋅ °






2 5 ? ~ ? ? 2 ? ? ? 5 ? 5 ? 2 ?
5 ? 2 5 ? 2 ? _ 5
sen cos sen cos
10 m s sen 45 0 3 cos 45 10 m s
2
2
0 3
2
2
3 5 2 m s2 2 2
P A m a m g m g m a a g
a , , a ,
x
02. Correta. De acordo com o item anterior e a equação de Torricelli, tem-se:
∆ ⇒ ⇒5 1 ? ? 5 1 ? ? ? 5 ?2 0 2 3 5 2 1 7 22 0
2 2 2 2v v a s v ,   v
Pela definição de energia cinética:
5
?
5
? ?
_ 5 ?
2
0 1 7 2
2
0 35 2 Jc
2
cE
m   v ,        
E ,
04. Incorreta. Considerando o item (01) e a 2a lei de Newton:
R m a , , R ,0 1 3 5 2 0 35 2 N5 ? 5 ? ? _ 5 ?
Pela definição de trabalho de força constante:
R s , , ,τ ∆ τ0 35 2 1 5 0 525 2 J5 ? 5 ? ? _ 5 ?
08. Incorreta. Se não houvesse a força de atrito, a aceleração do bloco seria 
ainda maior.
16. Incorreta. Como a componente tangencial da força de atrito é a que realiza 
trabalho e seu valor vale A = µ ? m ? g ? cos u, sua intensidade depende da 
inclinação.
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
/F
e
p
a
r,
 2
0
1
8
.
DESENVOLVENDO H A B IL ID A D E S
P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 103P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 103 08/03/21 11:3908/03/21 11:39
104
Material de consulta: Caderno de Estudos 3 – Unidade Dinâmica energética – Capítulo 2
Objetivo de aprendizagem 1: Leia o item 2.
Objetivo de aprendizagem 2: Leia o item 3.
Exercícios
Objetivo de aprendizagem 1
1 (UPM-SP) Na olimpíada Rio 2016, nosso medalhista de ouro em salto com vara, Thiago Braz, de 75,0 kg atingiu a 
altura de 6,03 m, recorde mundial, caindo a 2,80 m do ponto de apoio da vara. Considerando o módulo da acele-
ração da gravidade g 5 10,0 m/s2, o trabalho realizado pela força peso durante a descida foi aproximadamente de
a) 2,10 kJ
b) 2,84 kJ
c) 4,52 kJ
d) 4,97 kJ
e) 5,10 kJ
2 (IFCE) Para realizar o levantamento de pesos de forma adequada, um halterofilista necessita realizar 5 etapas, 
conforme mostrado a seguir.
(I) (II) (III) (IV) (V)
Em um determinado campeonato mundial de levantamento de pesos, um atleta, com peso corporal de 70 kg rea-
lizou um trabalho útil de 4,62 kJ para erguer uma barra com pesos partindo da posição (I), chegando até a posição 
(V) e largando o peso no chão logo em seguida.
Partindo da posição (I) até chegar na posição (V), o atleta conseguiu erguer os pesos a uma altura de 2,20 m.
Com base nessas informações, a relação entre o peso total erguido pelo atleta e o seu próprio peso corporal é
Considere a aceleração da gravidade com valor g 5 10 m/s2.
a) 5 b) 1 c) 2 d) 4 e) 3
3 (Unicamp-SP) O primeiro trecho do monotrilho de São Paulo, entre as estações Vila Prudente e Oratório, foi inau-
gurado em agosto de 2014. Uma das vantagens do trem utilizado em São Paulo é que cada carro é feito de ligas 
de alumínio, mais leve que o aço, o que, ao lado de um motor mais eficiente, permite ao trem atingir uma veloci-
dade de oitenta quilômetros por hora.
A densidade do aço é = 7 9 g cm
aço
3d , / e a do alumínio é 2 7g cm .
Al
3=d , / Obtenha a razão aço
Al






t
t
 entre os traba-
lhos realizados pelas forças resultantes que aceleram dois trens de dimensões idênticas, um feito de aço e outro 
feito de alumínio, com a mesma aceleração constante de módulo a, por uma mesma distância l.
Aula 13
D E S A F I O
Sugestão de divisão aula a aula: Aula 13: objetivo 1; Aula 14: objetivo 2.
P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 104P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 104 08/03/21 11:3908/03/21 11:39
105
M
Ó
D
U
L
O
 9
 -
 T
R
A
B
A
LH
O
 D
E 
A
LG
U
M
A
S
 F
O
R
Ç
A
S
M
Ó
D
U
L
O
 9
 -
 T
R
A
B
A
LH
O
 D
E 
A
LG
U
M
A
S
 F
O
R
Ç
A
S
FÍ
S
IC
A
+
Objetivo de aprendizagem 2
4 (UFRGS-RS) A figura abaixo representa um pêndulo cônico: um pequeno corpo de massa m, preso à extremidade 
de um fio, gira, descrevendo uma circunferência horizontal com velocidade constante em módulo, e o fio forma 
um ângulo u com a vertical.
T e P são, respectivamente, a força de tração, exercida pelo fio, e a força peso. 
Considere as afirmações sobre o trabalho realizado por essas forças.
I. O trabalho realizado pela componente vertical da força de tração, cosT ,u é nulo.
II. O trabalho realizado pela componente radial da força de tração, senT ,u é nulo.
III. O trabalho realizado pela força P é nulo.
Quais estão corretas?
a) Apenas I. b) Apenas II. c) Apenas I e III. d) Apenas II e III. e) I, II e III.
5 (Uece) Considere um sistema massa-mola cuja massa pode se deslocar horizontalmentesobre uma mesa também 
horizontal e com atrito. Assuma que a mola esteja inicialmente comprimida. No início da observação do sistema a 
massa está em repouso e passa a se deslocar sob a ação da mola. Imediatamente antes de se deslocar, a massa 
sofre ação da força de atrito estática até iniciar o movimento, depois passa a sofrer ação da força de atrito dinâ-
mica até que a massa pare. Note que o sistema perde energia na forma de calor e que a força de atrito estática, na 
iminência do deslizamento, é maior que a dinâmica.
Assim, é correto afirmar que, em módulo, o trabalho realizado pela força de atrito estático é 
a) zero.
b) maior que o realizado pela força de atrito dinâmica.
c) menor que o realizado pela força de atrito dinâmica.
d) igual ao realizado pela força de atrito dinâmica.
Indique como resposta a soma das alternativas corretas
6 (UEM-PR) Um automóvel de 1 000 kg com o freio de mão acionado desce uma rampa com 10 m de extensão e 
com 30° de inclinação em relação à horizontal com uma velocidade constante de 1 m/s. Em relação às transforma-
ções de energia envolvidas durante a descida, assinale o que for correto.
Considere o módulo da aceleração da gravidade igual a 10 m/s2.
01) A energia cinética do automóvel aumenta devido à redução de sua energia potencial.
02) O trabalho da força resultante sobre o automóvel é igual a zero.
04) A energia potencial inicial do sistema foi transformada em outras formas de energia.
08) Durante a descida há força de atrito, e o trabalho realizado por ela é de 250 kJ.
16) O sistema é conservativo porque a energia cinética permanece constante.
Aula 14
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
/U
F
R
G
S
,2
0
2
0
.
P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 105P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 105 08/03/21 11:3908/03/21 11:39
106
Objetivos de aprendizagem
. Objetivo 1: Analisar o teorema da energia cinética em contextos mais amplos. Aula 15
. Objetivo 2: Analisar o teorema da energia potencial em contextos mais amplos. Aula 16
Neste módulo
1 Algumas grandezas da Dinâmica energética
Aula 15
10
COMPETÊNCIAS
ESPECÍFICAS 
E HABILIDADES 
DA BNCC
COMPETÊNCIA 1
COMPETÊNCIA 2
COMPETÊNCIA 3
EM13CNT101
EM13CNT204
EM13CNT303
F Í S I C A+
M
Ó
D
U
L
O
Ampliando o entendimento 
dos teoremas da Dinâmica 
energética
Trabalho de uma constante
F
a
d
t
F
 5 F ? d ? cos a
Trabalho de uma variável
t
F
t
 5 Área
Espaço
F
t
 5 F ? cos a
d
Energia cinética
=E
m v
2
2
?
c
Energia potencial
E m g h
E
k x
2
2
p
p
grav
elást
= ⋅ ⋅
=
⋅
Teorema da energia cinética (TEC)
τ = −E E
R C
f
C
i
Teorema da energia potencial (TEP)
τ E E5 2
F P
i
P
f
cons
Dinâmica 
energética
Trabalho 
Característica 
de uma força 
que mede 
a energia 
trocada entre 
corpos.
Energia 
Característica 
de um corpo 
relacionada 
à sua 
capacidade 
de produzir 
movimento.
t
F
 5 F
t
? d
Esquema ilustrativo de algumas grandezas da Dinâmica energética, suas características, expressões algébricas e 
relações matemáticas.
P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 106P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 106 08/03/21 11:3908/03/21 11:39
107
F
ÍS
IC
A
+
M
î
D
U
L
O
 1
0
 -
 A
M
P
L
IA
N
D
O
 O
 E
N
T
E
N
D
IM
E
N
T
O
 D
O
S
 T
E
O
R
E
M
A
S
 D
A
 D
IN
Â
M
IC
A
 E
N
E
R
G
É
T
IC
A
1 (Unicamp-SP) Recentemente, a sonda New Horizons tor-
nou-se a primeira espaçonave a sobrevoar Plutão, propor-
cionando imagens espetaculares desse astro distante.
a) A sonda saiu da Terra em janeiro de 2006 e chegou a 
Plutão em julho de 2015. Considere que a sonda percor-
reu uma distância de 4,5 bilhões de quilômetros nesse 
percurso e que 1 ano é aproximadamente 3 3 107 s. 
Calcule a velocidade escalar média da sonda nesse per-
curso.
Da definição de velocidade escalar média:
∆
∆
∆ ⋅
∆ ≅ ⋅




⋅
⋅
∴ ≅ ⋅
5
5
5
5
em que
4 5 10 m
9 5 anos 2 85 10 s
4 5 10 m
2 85 10 s
1 58 10 m/s
m
12
8
m
12
8 m
4
v
s
t
,
s ,
t , ,
v
,
,
v ,
b) A sonda New Horizons foi lançada da Terra pelo veícu-
lo espacial Atlas V 511, a partir do Cabo Canaveral. O 
veículo, com massa total m 5 6 3 105 kg, foi o objeto 
mais rápido a ser lançado da Terra para o espaço até 
o momento. O trabalho realizado pela força resultante 
para levá-lo do repouso à sua velocidade máxima foi 
de t 5 768 3 1011 J. Considerando que a massa total do 
veículo não variou durante o lançamento, calcule sua 
velocidade máxima.
Aplicando o teorema da energia cinética:
( ) ( )
τ = −
τ =
⋅
⇒ ⋅ =
= ⋅ ∴ = ⋅
E E
m v v
v v ,
2
768 10
6 10
2
256 10 1 6 10 m/s
R C
f
C
i 0
R
máx
2
11
5
máx
2
máx
6
máx
4
? ?
2 (Unifesp) Um garoto de 40 kg está sentado, em repouso, 
dentro de uma caixa de papelão de massa desprezível, no 
alto de uma rampa de 10 m de comprimento, conforme a 
figura.
10
 m
u
A
B
C D
Fora de escala
Aula 15
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
Para que ele desça a rampa, um amigo o empurra, impri-
mindo-lhe uma velocidade de 1 m/s no ponto A, com direção 
paralela à rampa, a partir de onde ele escorrega, parando 
ao atingir o ponto D. Sabendo que o coeficiente de atrito 
cinético entre a caixa e a superfície, em todo o percurso AD, 
é igual a 0,25, que se sen u 5 0,6, cos u 5 0,8, g 5 10 m/s2 e 
que a resistência do ar ao movimento pode ser desprezada, 
calcule:
a) o módulo da força de atrito, em N, entre a caixa e a 
rampa no ponto B.
As forças aplicadas no garoto/caixa no ponto B são:
N
A
P
x
P
P
y
u
u
Na direção perpendicular ao plano inclinado, N = P
y
 = P ⋅ cos u.
Dessa forma, a intensidade da força de atrito A é:
A = m ? N
A = 0,25 ? 40 ? 10 ? 0,8 = 80 N
b) a distância percorrida pelo garoto, em metros, desde o 
ponto A até o ponto D.
De acordo com o TEC:
τ ∆ ⇒ τ τ τ τ ∆
τ τ ∆
→ →
→ →
5 1 1 1 5
1 1 1 50
R c P N A
(A C)
A
(A D)
c
A
(A C)
A
(A D)
c
E E
mgh E
Com os dados apresentados, pode-se determinar a energia potencial do 
ponto A em relação ao ponto C:
θ
h
h ,
h
5
5 ?
5
sen
AC
0 6 10
6 m
Como a normal altera sua intensidade entre A e C e entre C e D, a força 
de atrito também possuirá outro valor:
= µ ⋅ = µ ⋅ = ⋅ ⋅
=
0 25 40 10
100 N
A' N P ,
A'
Com os valores determinados até aqui, é possível utilizar o TEC:
( ) ( )
τ τ ∆
− + − −
→ →1 1 1 5
? ? 1 ? ? ? ? 5
?
0
40 10 6 80 10 1 100 CD 1 0
40 1
2
A
(A C)
A
(A D)
c
2
mgh E
Portanto, CD = 16,2 m.
Finalmente, a distância total percorrida d é de:
d ,
d ,
5 1 5 1
5
AC CD 10 16 2
26 2m
P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 107P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 107 08/03/21 11:3908/03/21 11:39
108
3 (Fuvest-SP) Uma pessoa faz, diariamente, uma caminha-
da de 6 km em uma pista horizontal, consumindo 80 cal 
a cada metro. Num certo dia, ela fez sua caminhada habi-
tual e, além disso, subiu um morro de 300 m de altura. 
Essa pessoa faz uma alimentação diária de 2 000 kcal, 
com a qual manteria seu peso, se não fizesse exercícios. 
Com base nessas informações, determine
Note e adote:
 . A aceleração da gravidade local é igual a 10 m/s2.
 . 1 cal 5 4 J.
 . 9 kcal são produzidos com a queima de 1 g de gordura.
a) a percentagem P da energia química proveniente dos 
alimentos ingeridos em um dia por essa pessoa, equi-
valente à energia consumida na caminhada de 6 km;
Como a pessoa consome 80 cal a cada metro percorrido, e dado que essa 
pessoa caminha 6 km, pode-se estabelecer a seguinte relação:
→
∆ →




∆
E
E
80 cal 1 m
6000 m
480000 cal 480 kcal5 5
A porcentagem P pedida é:
∆
∆
5 5 5
consumida na caminhada
química proveniente dos alimentos
480
2 000
0 24 ou 24%P
E
E
,
b) a quantidade C de calorias equivalente à variação de 
energia potencial dessa pessoa entre a base e o topo 
do morro, se sua massa for 80 kg;
A quantidade C de energia, em calorias, é:
5 ? ? 5 ? ? 5 ?80 10 300 24 10 J4C m g h
Como 1 cal = 4 J, então C = 6 ? 104 cal
c) o número N de caminhadasde 6 km que essa pessoa 
precisa fazer para perder 2,4 kg de gordura, se mantiver 
a dieta diária de 2 000 kcal.
Para determinar o valor de N pedido, pode-se estabelecer as seguintes 
relações:
→
→ ∆




∆_ 5
1 g gordura queimada 9 kcal
2 400 g
21600 kcal
E
E
→
→




∴
N
N 5
1 caminhada de 6 km 480 kcal
caminhadas de 6 km 21600 kcal
45 caminhadas
4 (UFPR) Um objeto de massa m está em movimento cir-
cular, deslizando sobre um plano inclinado. O objeto está 
preso em uma das extremidades de uma corda de com-
primento L, cuja massa e elasticidade são desprezíveis. A 
outra extremidade da corda está fixada na superfície de 
um plano inclinado, conforme indicado na figura a seguir. 
O plano inclinado faz um ângulo u 5 30° em relação ao 
plano horizontal. 
Aula 16
Considerando g a aceleração da gravidade e 
1
3
m 5
π
 o 
coeficiente de atrito cinético entre a superfície do plano 
inclinado e o objeto, assinale a alternativa correta para a 
variação da energia cinética do objeto, em módulo, ao se 
mover do ponto P, cuja velocidade em módulo é v
P
, ao 
ponto Q, onde sua velocidade tem módulo v
Q
.
Q
m
P
u
L
v
p
Na resolução desse problema considere ° =sen 30
1
2
 e ° = .cos 30
3
2
a) mgL.
b) mgL
1
2
.
c) 
2
3
.mgL
d) 
3
2
.mgL
e) 2 mgL.
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
De acordo com o enunciado, podem-se identificar as forças 
que atuam no sistema: tração, peso e atrito. 
Como a tração é perpendicular ao deslocamento, não 
realiza trabalho. No caso do peso, de acordo com o TEP, 
o módulo do seu trabalho coincide com o módulo da va-
riação da energia potencial do corpo. Além disso, o atrito 
também realiza trabalho com intensidade constante. Desse 
modo, pode-se utilizar o TEC, como apresentado a seguir: 
τ − ⇒ τ τ ∆E E ER C
f
C
i
P A c5 1 5
De acordo com a geometria proposta, tem-se:
2L
h
30¡
Do triângulo,
° ⇒
h
L
h Lsen 30
2
1
2
5 5 5
Desse modo, pode-se calcular o módulo do trabalho da força peso:
τ − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
=
E E m g h m g L
h L
0P P
i
P
f5 5 5
Para o cálculo do trabalho do atrito, tem-se:
5 5cos 1A ( )τ ⋅ ⋅ θ µ ⋅ ⋅ ⋅ −A d N d
Lembrando que, em um plano inclinado:
⋅ ° ⋅ ⋅ °N P m g5 5cos 30 cos 30
Além disso, como a trajetória é circular e o corpo realiza uma meia-volta:
d Lπ ⋅5 . Desse modo:
τ −
π
π ∴ τ5
?
? ? ? ? 52 ? ? ?
1
3
3
2
1
2A A
m g L m g L
Finalmente, de acordo com o TEC:
( )
τ − ⇒ τ τ ∆
∆ τ τ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅




∆ ⋅ ⋅
E E E
E m g L m g L E m g L
1
2
3
2
R C
f
C
i
P A c
c P A c
5 1 5
5 1 5 1 _ 5
P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 108P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 108 08/03/21 11:3908/03/21 11:39
109
F
ÍS
IC
A
+
M
Ó
D
U
LO
 1
0
 -
 A
M
P
L
IA
N
D
O
 O
 E
N
T
E
N
D
IM
E
N
T
O
 D
O
S
 T
E
O
R
E
M
A
S
 D
A
 D
IN
Â
M
IC
A
 E
N
E
R
G
É
T
IC
A
Objetivo de aprendizagem 1
1 (EEAR-SP) O gráfico a seguir relaciona a intensidade da força (F) e a posição (x) durante o deslocamento de um 
móvel com massa igual a 10 kg da posição x 5 0 m até o repouso em x 5 6 m.
6
0
3
210
F (N)
x (m)
O módulo da velocidade do móvel na posição x 5 0 m, em m/s, é igual a
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6
Indique como resposta a soma das alternativas corretas
2 (UEPG-PR) Um motorista está dirigindo seu automóvel a uma velocidade constante quando percebe um obstá-
culo. Aciona os freios de tal maneira que o carro desliza em linha reta com as rodas travadas até parar. A figura 
abaixo representa o movimento do automóvel durante a frenagem. Considerando que a única força dissipativa 
que age no sistema é a força de atrito entre o pneu e o solo e sendo a massa total do conjunto automóvel-moto-
rista igual a 2 000 kg, assinale o que for correto. 
0 2 4 6 8 10 12
5
10
15
20
25
t (s)
v (m/s)
01) A variação da energia cinética durante a frenagem vale 22 3 105 J.
02) O automóvel percorre uma distância de 100 m até parar. 
04) O coeficiente de atrito cinético entre o pneu e o asfalto é 0,5.
08) A aceleração do automóvel, durante a frenagem, vale 22 m/s2.
Aula 15
D E S A F I O
Sugestão de divisão aula a aula: Aula 15: objetivo 1; Aula 16: objetivo 2.
Material de consulta: Caderno de Estudos 3 – Unidade Dinâmica energética – Capítulos 3 e 4
Objetivo de aprendizagem 1: Leia o Capítulo 3.
Objetivo de aprendizagem 2: Leia o Capítulo 4.
Exercícios
P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 109P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 109 08/03/21 11:3908/03/21 11:39
110
 Indique como resposta a soma das alternativas corretas
3 (UEM-PR) Suponha que um meteorito de massa m 
consiga penetrar no solo até atingir uma profundida-
de d e parar. Considerando que a força resistiva F, em 
módulo, que o solo exerce sobre o meteorito seja 
constante durante o tempo de desaceleração, assi-
nale o que for correto. 
01) O módulo da velocidade do meteorito ao atingir 
o solo é v
Fd
m
.=
2
02) O intervalo de tempo para o meteorito parar 
depois de atingir o solo é t
md
F
.∆ =
2
04) Toda a energia cinética do meteorito no momen-
to do impacto transforma-se em calor.
08) A colisão do meteorito com o solo é um exemplo 
de colisão elástica.
16) O módulo da força que o meteorito exerce sobre 
o solo é maior do que o módulo da força que o 
solo exerce sobre o meteorito, porque o solo se 
deforma mais do que o meteorito.
Objetivo de aprendizagem 2
4 (UPM-SP) Um bloco de massa 5,00 kg é lançado 
sobre um plano inclinado do ponto A, com veloci-
dade inicial de 8,00 m/s como indicado na figura 
abaixo.
30°
A
B
4,00 m
Considerando a aceleração da gravidade g = 10,0 m/s2, 
após percorrer 4,00 m ele atinge o repouso no ponto 
B. A energia dissipada pela força de atrito é
a) 80,0 J
b) 60,0 J
c) 90,0 J
d) 40, 0 J
e) 30,0 J
Aula 16
5 (UFRGS-RS) Um plano inclinado com 5 m de compri-
mento é usado como rampa para arrastar uma caixa 
de 120 kg para dentro de um caminhão, a uma altura 
de 1,5 m, como representa a figura abaixo.
Considerando que a força de atrito cinético entre a 
caixa e a rampa seja de 564 N, o trabalho mínimo 
necessário para arrastar a caixa para dentro do ca-
minhão é 
a) 846 J.
b) 1 056 J.
c) 1 764 J.
d) 2 820 J.
e) 4 584 J.
6 (UPE) Um bloco de massa M 5 1,0 kg é solto a partir 
do repouso no ponto A, a uma altura H 5 0,8 m, con-
forme mostrado na figura. No trecho plano entre os 
pontos B e C (de comprimento L 5 3,5 m), o coeficien-
te de atrito cinético é m 5 0,1. No restante do percurso, 
o atrito é desprezível. Após o ponto C, encontra-se 
uma mola de constante elástica k 5 1,0 ? 102 N/m. 
Considere a aceleração da gravidade g 5 10 m/s2.
M
A
H
B C
k
Sobre isso, analise as proposições a seguir:
 I. Na primeira queda, a velocidade do bloco no pon-
to B é v
B
 = 16 m/s.
 II. Na primeira queda, a velocidade do bloco no pon-
to C é v
C
 = 9 m/s.
III. Na primeira queda, a deformação máxima da mola 
é x
máx
 = 30 cm.
IV. O bloco atinge o repouso definitivamente numa 
posição de 1 m à direita do ponto B.
Está(ão) CORRETA(S)
a) I e II, apenas.
b) III e IV, apenas.
c) I, II, III e IV.
d) III, apenas.
e) I, II e IV, apenas.
P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 110P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 110 08/03/21 11:3908/03/21 11:39
111
FÍ
S
IC
A
+
M
Ó
D
U
LO
 1
1 
- 
A
P
LI
C
A
Ç
Õ
ES
 D
O
S
 C
O
N
C
EI
TO
S
 D
E 
S
IS
TE
M
A
S
 C
O
N
S
ER
VA
TI
VO
S
 E
 N
Ã
O
 C
O
N
S
ER
VA
TI
VO
S
 
Objetivos de aprendizagem
. Objetivo 1: Analisar movimentos em que há conservação de energia mecânica.
. Objetivo 2: Analisar movimentos curvilíneos variados em que há conservação de energia mecânica.
Neste módulo
1 Sistemas conservativos e sistemas não conservativos
Sistema conservativo (sem atrito e resistência do ar)
C
N
P
Energia potencial Energia cinética Energia mecânica
r
r
Solo
(posição de
referência)
Durante 
a descida
A energia potencial do corpo diminui e a energiacinética aumenta. Nesse caso, a energia potencial 
gravitacional transforma-se em cinética.
No ponto 
mais baixo
A energia potencial é nula e a energia cinética atin-
ge o valor máximo. Sendo o sistema conservativo, 
toda a energia mecânica é do tipo cinética.
Durante 
a subida
A energia potencial gravitacional aumenta. Como a 
energia mecânica é constante, a energia cinética 
vai se transformando em potencial.
No ponto 
mais alto
A energia cinética é nula e a energia potencial atin-
ge o valor máximo, igual ao inicial. Toda a energia 
mecânica é do tipo potencial.
O corpo está sob a ação da força peso (conservativa) e da força normal (não conservativa). Como a força normal não realiza 
trabalho, pois é perpendicular ao movimento, a energia mecânica se conserva:
= ⇒ + = +
M
f
M
i
C
f
P
f
C
i
P
i
E E E E E E
Aula 17
11 F Í S I C A+
Aplicações dos conceitos 
de sistemas conservativos 
e não conservativos
M
Ó
D
U
L
O
COMPETÊNCIAS
ESPECÍFICAS 
E HABILIDADES 
DA BNCC
COMPETÊNCIA 1
COMPETÊNCIA 2
COMPETÊNCIA 3
EM13CNT303
COMPETÊNCIA 4
EM13CNT306
EM13CNT101
EM13CNT204
Aula 17
Aula 18
A
la
m
y
/F
o
to
a
re
n
a
P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 111P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 111 08/03/21 11:3908/03/21 11:39
112
Sistema não conservativo (com atrito e resistência do ar)
Solo
(posição de
referência)
Energia potencial
Energia cinética
Energia dissipada
Energia mecânica
P
A
c
N
Durante a descida
A energia potencial diminui e a energia cinética 
aumenta. Nesse caso, a energia potencial 
gravitacional não se transforma integralmente em 
cinética, pois parte dela é dissipada.
No ponto mais baixo
A energia potencial é nula e a energia cinética 
atinge valor máximo. A energia mecânica tem valor 
menor do que no alto da trajetória, por causa da 
dissipação.
Durante a subida
A energia potencial aumenta e a energia cinética 
vai diminuindo, sendo que parte da energia 
mecânica é dissipada.
No ponto mais alto
A energia cinética é nula e a energia potencial 
atinge valor máximo, porém menor que o inicial, 
por causa da dissipação.
O atrito e a força de resistência do ar são forças não conservativas que, nesse caso, realizam trabalho. Desse modo, o sistema é 
não conservativo e a energia mecânica não se conserva. A quantidade de energia perdida é chamada de energia dissipada. A altu-
ra final do atleta é menor que a inicial. Nesse caso, para se determinar o trabalho das forças não conservativas (energia dissipada), 
pode-se utilizar o teorema da energia mecânica:
τ = − = ∆
F M
f
M
i
M
não cons
E E E
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
1 (Fuvest-SP) Uma bola de massa m é solta do alto de um edifício. Quando está passando pela posição y 5 h, o módulo de 
sua velocidade é v. Sabendo-se que o solo, origem para a escala de energia potencial, tem coordenada y 5 h
0
 tal que 
h > h
0
 > 0, a energia mecânica da bola em 
( )
2
0y
h h
5
2
 é igual a
Note e adote:
 . Desconsidere a resistência do ar.
 . g é a aceleração da gravidade.
a) 
1
2
( )
1
40
2− +mg h h mv
b) 
1
2
( )
1
20
2− +mg h h mv
c) 
1
2
( ) 2
0
2− +mg h h mv
d) 
1
2
2+mgh mv
e) ( )
1
20
2− +mg h h mv
A partir do enunciado, a situação pode ser esquematizada como segue:
v Situação inicial
Situação final
PHR
Solo
h
0
h
v'
2
h 2 h
0
H 5 h 2 h
0
Aula 17
PHR = plano horizontal de referência
A energia mecânica inicial é dada por:
( )
E m g H m v
E m g h h m v
1
2
1
2
M
i 2
M
i
0
2
5 ? ? 1 ? ?
5 ? ? 2 1 ? ?
porque y = h
0
 é considerado o plano horizontal de referência (PHR).
Como o sistema é conservativo, a energia mecânica final é igual à energia mecânica inicial.
P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 112P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 112 08/03/21 11:3908/03/21 11:39
113
FÍ
S
IC
A
+
M
î
D
U
L
O
 1
1 
- 
A
P
LI
C
A
Ç
Õ
ES
 D
O
S
 C
O
N
C
EI
TO
S
 D
E 
S
IS
TE
M
A
S
 C
O
N
S
ER
VA
TI
VO
S
 E
 N
Ã
O
 C
O
N
S
ER
VA
TI
VO
S
 
2 (Unesp-SP) Um caminhão de brinquedo move-se em linha reta sobre uma superfície plana e horizontal com velocidade 
constante. Ele leva consigo uma pequena esfera de massa m 5 600 g presa por um fio ideal vertical de comprimento 
L 5 40 cm a um suporte fixo em sua carroceria.
LMovimento
Em um determinado momento, o caminhão colide inelasticamente com um obstáculo fixo no solo, e a esfera passa a oscilar 
atingindo o ponto mais alto de sua trajetória quando o fio forma um ângulo u 5 60° em relação à vertical.
u
v 5 0
Adotando g 5 10 m/s2, ° = ° =cos 60 sen 30
1
2
 e desprezando a resistência do ar, calcule:
a) a intensidade da tração no fio, em N, no instante em que a esfera para no ponto mais alto de sua trajetória.
As forças que agem na esfera no instante em que atinge o ponto mais alto da trajetória (ponto B) são peso (P) e tração (T ). Fazendo a decomposição da força peso nas 
direções tangencial e radial, tem-se:
60°
60°
P cos 60°
P sen 60°
T
B
A
v
f
5 0 (h
máx
)
v
P
b) a velocidade escalar do caminhão, em m/s, no instante em que ele se choca contra o obstáculo.
60°
L(1 2 cos 60°)
PHR
L cos 60°
B v
f
 5 0
A
L 5 0,4 m
v
Desprezando á resistência do ar, pode-se escrever:
( )− °
E E
m g h
m v
v g h
v g L
v , ,
2
2
2 1 cos 60
2 10 0 4 0 5 2 m/s
M
B
M
A
2
5
? ? 5
?
5 ? ?
5 ? ? ?
5 ? ? ? 5
No ponto B (h
máx
), a resultante centrípeta é nula, logo:
⇒ ⋅ °
⋅ ⋅ °
⋅ ⋅
R T P
T m g
T , ,
T
0 cos 60
cos 60
0 6 10 0 5
3 N
c 5 5
5
5
5
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 113P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 113 08/03/21 11:3908/03/21 11:39
114
3 (Fuvest-SP) Um bloco de massa m = 400 g está encos-
tado em uma mola que foi comprimida de Dx 5 0,2 m em 
relação a seu comprimento natural. Em um determinado 
instante, a mola é solta e o bloco adquire velocidade e 
percorre uma distância d 5 0,5 m sobre uma superfície 
horizontal com coeficiente de atrito m 5 0,3 e executa um 
loop de raio R 5 0,9 m.
R
A
B
m
m
k
d
Dx
Determine
Note e adote:
 . Aceleração da gravidade 5 10 m/s2.
 . Não há atrito entre o bloco e a pista em loop.
 . Ignore a resistência do ar.
 . A figura é esquemática e não está em escala.
a) a energia cinética E∆ perdida pelo bloco ao longo do 
percurso de comprimento d;
Do ponto em que o corpo foi abandonado (inicial) até o ponto B, a única 
força não conservativa que age no corpo na direção do movimento é o 
atrito (A), que permanece constante nesse percurso. Aplicando o teorema 
da energia mecânica nesse trecho, tem-se:
τ ∆ ⋅ ⋅ °
τ ∆ µ ⋅ ⋅ ⋅ −
µ
⋅






⇒ τ ∆ −
→
→
→
E A d
E N d
,
N P m g
d ,
E ,
cos180
( 1)
0 3
4 N
0 5 m
0 6 J
A
inicial B
c
A
inicial B
c
A
inicial B
c
5 5
5 5
5
5 5 5
5
5 5
Aula 18
b) as velocidades mínimas v
A
 e v
B
 que o bloco deve ter, 
respectivamente, nos pontos A e B, indicados na figu-
ra, para conseguir completar o loop;
Para a velocidade no ponto A ser mínima, a normal que age no corpo deve 
ser nula. Dessa forma, tem-se:
P
N
v
A
⋅
⋅
⋅
⋅
5
5
5
5 50 9 10 3 m/s
c
A
2
A
A
R P
m v
r
m g
v r g
v ,
Entre os pontos B e A não existe atrito, logo:
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
∴ ⋅
E E
m v m v
m g r
v
,
v
2 2
2
2
3
2
10 2 0 9
3 5 m/s
M
B
M
A
B
2
A
2
B
2 2
B
5
5 1
5 1
5
c) o menor valor da constante elástica k da mola para que 
o bloco complete o loop.
Entre a posição inicial e o ponto B, a única força não conservativa que age 
no corpo e realiza trabalho é o atrito (A). Aplicando o teorema da energia 
mecânica nesse trecho, tem-se:
( ) ( )
τ −
−
⋅ ⋅
−
⋅
→
E E
,
, k ,
k
0 6
0 4 3 5
2
0 2
2
480 N/m
A
inicial B
M
f
M
i
2
2
5
5
5
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 114P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 114 08/03/21 11:3908/03/21 11:39
115
FÍ
S
IC
A
+
M
î
D
U
L
O
 1
1 
- 
A
P
LI
C
A
Ç
Õ
ESD
O
S
 C
O
N
C
EI
TO
S
 D
E 
S
IS
TE
M
A
S
 C
O
N
S
ER
VA
TI
VO
S
 E
 N
Ã
O
 C
O
N
S
ER
VA
TI
VO
S
 
4 (Unifesp) Uma pista de esqui para treinamento de princi-
piantes foi projetada de modo que, durante o trajeto, os 
esquiadores não ficassem sujeitos a grandes acelerações 
nem perdessem contato com nenhum ponto da pista. A 
figura representa o perfil de um trecho dessa pista, no qual 
o ponto C é o ponto mais alto de um pequeno trecho 
circular de raio de curvatura igual a 10 m.
30 m
22 m
10 m
h
A
B
C
A
Os esquiadores partem do repouso no ponto A e percor-
rem a pista sem receber nenhum empurrão, nem usam os 
bastões para alterar sua velocidade. Adote g = 10 m/s2 e 
despreze o atrito e a resistência do ar.
a) Se um esquiador passar pelo ponto B da pista com 
velocidade ,10 2 m s com que velocidade ele passará 
pelo ponto C.
A figura a seguir representa o nível de referência adotado:
30 m
Nível de
referência
8 m
22 m
10 m
h
A
B
C
A
De acordo com o enunciado, o atrito e a resistência do ar são desprezíveis. 
Assim, podemos concluir que o sistema analisado é conservativo. Para 
o esquiador, vale:
2 2
10 2
2
10 8
2
40 2 10 m/s
M
B
M
C
P
B 0
C
B
P
C
C
C
B
2
C
C
2
2
C
2
C
2
E E
E E E E
m v
m g h
m v
v
v
)(
=
+ = +
⋅
= ⋅ ⋅ +
⋅
⋅
= ⋅ +
∴ = = ⋅
b) Qual a maior altura h
A
 do ponto A, indicada na figura, 
para que um esquiador não perca contato com a pista 
em nenhum ponto de seu percurso?
Representando na figura a situação descrita no enunciado e as medidas 
pertinentes ao estado do movimento, e estabelecendo que na iminência 
de perder contato com a pista a normal é nula, tem-se:
30 m
PHR
r
20 cm22 m
10 m
h
A
B
C
A
R
u uP
P
R
h
(x)
direção
tangente
direção
radial
A partir do triângulo sombreado:
θ = =
h
R
h
cos
10
(1)
Na direção radial, como estamos analisando o caso em que N 5 0, temos:
R P P
m a m g
v
R
g
v
= = ⋅ θ
⋅ = ⋅ ⋅ θ ⇒ = ⋅ θ
= ⋅ θ
cos
cos cos
100 cos (2)
C R
c
2
2
Sendo o sistema conservativo:
( )
=
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + +
⋅
⋅ = + ⋅ +
E E
m g h m g h
m v
h h
v
20
2
10 200 10
2
(3)
M
A
M
X
A
2
A
2
Substituindo (1) em (2) e o resultado em (3):
h h
h
h h∴
10 200 10
1
2
100
10
3
2
20
A
A
? 5 1 ? 1 ? ?
5 ? 1
A maior altura h
A
 ocorrerá quando h for máximo, isto é, quando o esquiador 
passar pelo ponto C (h = 10 m). Assim:
h h
3
2
20
3
2
10 20 35 mA 5 ? 1 5 ? 1 5
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 115P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 115 08/03/21 11:3908/03/21 11:39
116
5 Em uma brinquedoteca, uma criança abandona a partir 
do repouso uma bola de gude de massa m no topo de 
uma casinha semiesférica de raio 90 cm. Após sucessivas 
vezes, a criança percebe que a bola perde o contato com 
a superfície no ponto A, como ilustrado a seguir.
m
ponto A
9
0
 c
m
H
Desprezando os atritos e considerando a bola de gude 
com dimensão desprezível, pode-se afirmar que a altura 
H do ponto A vale:
a) 20 cm
b) 30 cm
c) 40 cm
d) 50 cm
e) 60 cm
Denominando u o ângulo entre a direção vertical e a direção radial do ponto 
A, pode-se utilizar a equação de conservação de energia para determinação 
da altura H, como ilustrado a seguir.
A
B
R 2 H
H H
Plano de
Superfície
horizontal
u
u
referência
R
O
P
y
P
x
P
( )
( )
⋅
⋅ ⋅ −
⋅ ⋅ −
E E
m v
m g R H
v g R H
2
2
M
A
M
B
A
2
A
2
5
5
5
Como no ponto A a bolinha perde o contato, a intensidade da força normal é 
nula. Desse modo, a resultante centrípeta coincide com a componente radial 
do peso (P
y
).
=
⋅
= ⋅ ⋅ θ ⇒ = ⋅ ⋅ θ
R P
m v
R
m g v R gcos cos
C y
A
2
A
2
Como θ
H
R
5cos , pode-se combinar as equações apresentadas:
( )⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ θ
⋅ ⋅
∴
⋅ ⋅
v g R H R g
R g H
R
H
R
2 cos
2
3
2 90
3
60 cm
A
2
5 5 5
5 5 5
6 (IME-RJ) Um objeto puntiforme de massa m é lançado do 
ponto A descrevendo inicialmente uma trajetória circular 
de raio R, como mostrado na figura abaixo. 
R R
P
A
h
m‡x
Ao passar pelo ponto P, o módulo da força resultante sobre 
o objeto é 17 mg, sendo g a aceleração da gravidade. A 
altura máxima h
m‡x
 que o objeto atinge na rampa é: 
a) 3R
b) 17 1( )− R
c) ( )+17 1 R
d) 17 2( )+ R
e) 18R
Inicialmente, pode-se indicar as forças que atuam no corpo quando ele se 
encontra em P, como ilustrado a seguir:
Q
h
máx
N
P
P
R
F
r
Considerando o esquema acima e conhecendo-se a intensidade da força 
resultante e da força peso, pode-se calcular a intensidade da normal em P:
N P F N F P m g m g m g
N m g
r r ( ) ( ) ( )+ = ⇒ = − = ⋅ − ⋅ = ⋅
∴ = ⋅ ⋅
17 16
4
2 2 2 2 2 2 2 2
Como a normal coincide com a resultante centrípeta em P, tem-se:
= =
⋅
= ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅4 4c
2
2N R
m v
R
m g m v m g R
Considerando o sistema como sendo conservativo:
2M
P
M
Q
2
máxE E
m v
m g r m g h= ⇒
⋅
+ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
4
2
2
3
máx máx
máx
⋅ ⋅ ⋅
+ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
∴ = ⋅
m g R
m g R m g h m g R m g R m g h
h R
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 116P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 116 08/03/21 11:3908/03/21 11:39
117
FÍ
S
IC
A
+
M
Ó
D
U
LO
 1
1 
- 
A
P
LI
C
A
Ç
Õ
ES
 D
O
S
 C
O
N
C
EI
TO
S
 D
E 
S
IS
TE
M
A
S
 C
O
N
S
ER
VA
TI
VO
S
 E
 N
Ã
O
 C
O
N
S
ER
VA
TI
VO
S
 
Objetivo de aprendizagem 1
1 (ITA-SP) Uma haste vertical de comprimento L, sem peso, é presa a uma articulação T e dispõe em sua extremida-
de de uma pequena massa m que, conforme a figura, toca levemente a quina de um bloco de massa M. Após uma 
pequena perturbação, o sistema movimenta-se para a direita. A massa m perde o contato com M no momento em 
que a haste perfaz um ângulo de π/6 rad com a horizontal.
T
L
m
M
Desconsiderando atritos, assinale a velocidade final do bloco.
a) 
mgL
M
b) 
mgL
M m+ 4
c) 
mgL
M m+ 4 3 d) 
mgL
M
2
e) gL
2 (Fuvest-SP) O projeto para um balanço de corda única de um parque de diversões exige que a corda do brinque-
do tenha um comprimento de 2,0 m. O projetista tem que escolher a corda adequada para o balanço, a partir de 
cinco ofertas disponíveis no mercado, cada uma delas com distintas tensões de ruptura.
A tabela apresenta essas opções.
Corda I II III IV V
Tensão de ruptura (N) 4 200 7 500 12 400 20 000 29 000
Ele tem também que incluir no projeto uma margem de segurança; esse fator de segurança é tipicamente ,7 ou 
seja, o balanço deverá suportar cargas sete vezes a tensão no ponto mais baixo da trajetória. Admitindo que uma 
pessoa de 60 kg ao se balançar, parta do repouso, de uma altura de 1,2 m em relação à posição de equilíbrio do 
balanço, as cordas que poderiam ser adequadas para o projeto são
a) I, II, III, IV e V.
b) II, III, IV e V, apenas.
c) III, IV e V, apenas.
d) IV e V, apenas.
e) V, apenas.
Aula 17
Note e adote:
. Aceleração da gravidade 5 10 m/s2.
. Desconsidere qualquer tipo de atrito ou 
resistência ao movimento e ignore a massa do 
balanço e as dimensões da pessoa.
. As cordas são inextensíveis.
D E S A F I O
Sugestão de divisão aula a aula: Aula 17: objetivo 1; Aula 18: objetivo 2.
Material de consulta: Caderno de Estudos 3 – Unidade Dinâmica energética – Capítulo 5
Objetivos de aprendizagem 1 e 2: Leia os itens 1 e 2.
Exercícios
P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 117P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 117 08/03/21 11:3908/03/21 11:39
118
3 (IME-RJ) A figura mostra uma haste de massa desprezível com um apoio articulado em uma extremidade. A outra 
extremidade possui um recipiente apoiado em uma mola e amarrado ao solo por um fio.
A haste é mantida na posição horizontal e a mola comprimida. Uma bola é colocada nesse recipiente e, após o 
corte do fio, o sistema é liberado com distensão instantânea da mola.
A constante elástica da mola, em N/m para que, quando a prancha estiver perpendicular ao solo, a bola seja lan-
çada e acerte o cesto é:
a) 400
b) 500
c) 2 900
d) 3400
e) 12 900
Objetivo de aprendizagem 2
4 (Efomm-RJ) A figura abaixo mostra a vista superior de um anel de raio R que está contido em um plano horizontal 
e que serve de trilho, para que uma pequena conta de massa m se movimente sobre ele sem atrito. Uma mola de 
constante elástica k e comprimento natural R, com uma extremidade fixa no ponto A do anel e com a outra ligada 
à conta, irá movê-la no sentido anti-horário. Inicialmente, a conta está em repouso e localiza-se no ponto B, que é 
diametralmente oposto ao ponto A. Se P é um ponto qualquer e u é o ângulo entre os segmentos AB e ,AP a 
velocidade da conta, ao passar por P, é
B
A
P
u
a) cosR
k
m
| |? u
b) 2 senR
k
m
? u
c) |cos sen 1|R
k
m
? u 1 u 2
d) 2 (cos cos )2R
k
m
? u 2 u
e) sen cosR
k
m
? u ? u
Dados:
 . Comprimento da prancha: 1 m;
 . Distância do apoio ao cesto: 5 m;
 . Aceleração da gravidade: 10 m/s2.
Observação: despreze as dimensões da bola.
Aula 18
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
/I
M
E
, 
2
0
1
9
.
P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 118P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 118 08/03/21 11:3908/03/21 11:39
119
FÍ
S
IC
A
+
M
î
D
U
L
O
 1
1 
- 
A
P
LI
C
A
Ç
Õ
ES
 D
O
S
 C
O
N
C
EI
TO
S
 D
E 
S
IS
TE
M
A
S
 C
O
N
S
ER
VA
TI
VO
S
 E
 N
Ã
O
 C
O
N
S
ER
VA
TI
VO
S
 
5 (IME-RJ) Conforme a figura ao lado, um corpo, cuja velocidade é 
nula no ponto A da superfície circular de raio R, é atingido por um 
projétil, que se move verticalmente para cima, e fica alojado no 
corpo. Ambos passam a deslizar sem atrito na superfície circular, 
perdendo o contato com a superfície no ponto B. A seguir, passam 
a descrever uma trajetória no ar até atingirem o ponto C, indicado 
na figura.
Diante do exposto, a velocidade do projétil é:
a) 10
5
2
Rg
b) 10
3
2
Rg
c) 10
5
3
Rg
d) 10
3
5
Rg
e) 10
2
3
Rg
6 (EBMSP-BA) A figura representa o perfil idealizado de uma pista de skate, uma das atividades físicas mais com-
pletas que existem pois trabalha o corpo, a mente e a socialização do praticante. A pista é composta por duas 
rampas, I e II, interligadas por um loop circular de raio R, em um local onde o módulo da aceleração da gravidade 
é igual a g.
C
A
30°
B
Rampa II
Rampa I
R
H
Considere um garoto no skate, de massa total m, como uma partícula com centro de massa movendo-se ao longo 
da pista. Sabe-se que o garoto no skate desce a rampa I, a partir do repouso, passa pelo ponto C com velocidade 
mínima sem perder o contato com a pista e abandona a rampa II.
Com base nessas informações e nos conhecimentos de Física, desprezando-se o atrito e a resistência do ar, é cor-
reto afirmar:
a) A altura H da rampa I é igual a 
R3
2
.
b) O módulo da velocidade do garoto no skate, ao passar pelo ponto A, é igual a 5gR.
c) A intensidade da força normal que o garoto no skate recebe da superfície circular, ao passar pelo ponto B, é 
igual a 3mg.
d) O módulo da velocidade mínima que o garoto no skate deve ter no ponto C é igual a gR.
e) A componente horizontal da velocidade com que o garoto no skate abandona a rampa II tem módulo igual a 
15
4
.
gR
Dados:
 . Massa do projétil: m;
 . Massa do corpo: 9m;
 . Aceleração da gravidade: g.
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
/F
e
p
a
r,
 2
0
1
8
.
P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 119P6_ANGLO_EM20_FGB+_FISICA_U3_CA3_098a119.indd 119 08/03/21 11:3908/03/21 11:39
Revisão
g
o
le
ro
/E
+
/G
e
tt
y
 I
m
a
g
e
s
P6_ANGLO_EA_REVISAO_CA3_140a176.indd 140P6_ANGLO_EA_REVISAO_CA3_140a176.indd 140 08/03/21 11:4708/03/21 11:47
R
EV
IS
Ã
O
141
R E V I S Ã O
Análise linguística
1 Compare os textos I e II a seguir, que tratam de 
aspectos ligados a variedades da língua portuguesa no 
mundo e no Brasil.
Texto I
Acompanhando os navegadores, colonizadores e co-
merciantes portugueses em todas as suas incríveis viagens, 
a partir do século XV, o português se transformou na língua 
de um império. Nesse processo, entrou em contato — força-
do, o mais das vezes; amigável, em alguns casos — com as 
mais diversas línguas, passando por processos de variação 
e de mudança linguística. Assim, contar a história do por-
tuguês do Brasil é mergulhar na sua história colonial e de 
país independente, já que as línguas não são mecanismos 
desgarrados dos povos que as utilizam. Nesse cenário, são 
muitos os aspectos da estrutura linguística que não só ex-
pressam a diferença entre Portugal e Brasil como também 
definem, no Brasil, diferenças regionais e sociais.
PAGOTTO, E. P. Línguas do Brasil. Disponível em: http://cienciaecultura.bvs.br. 
Acesso em: 5 jul. 2009 (adaptado).
Texto II
Barbarismo é vício que se comete na escritura de 
cada uma das partes da construção ou na pronunciação. 
E em nenhuma parte da Terra se comete mais essa figura 
da pronunciação que nestes reinos, por causa das muitas
nações que trouxemos ao jugo do nosso serviço. Porque bem 
como os Gregos e Romanos haviam por bárbaras todas as 
outras nações estranhas a eles, por não poderem formar sua
linguagem, assim nós podemos dizer que as nações de África,
Guiné, Ásia, Brasil barbarizam quando querem imitar a nossa.
BARROS, J. Gramática da língua portuguesa. Porto: Porto Editora, 1957 (adaptado).
Os textos abordam o contato da língua portuguesa com 
outras línguas e processos de variação e de mudança 
decorridos desse contato. Da comparação entre os textos, 
conclui-se que a posição de João de Barros (Texto II), em 
relação aos usos sociais da linguagem, revela:
a) atitude crítica do autor quanto à gramática que as na-
ções a serviço de Portugal possuíam e, ao mesmo tem-
po, de benevolência quanto ao conhecimento que os 
povos tinham de suas línguas. 
b) atitude preconceituosa relativa a vícios culturais das 
nações sob domínio português, dado o interesse dos 
falantes dessa língua em copiar a língua do império, o 
que implicou a falência do idioma falado em Portugal. 
c) o desejo de conservar, em Portugal, as estruturas da 
variante padrão da língua grega — em oposição às 
consideradas bárbaras —, em vista da necessidade de 
preservação do padrão de correção dessa língua à época. 
d) adesão à concepção de língua como entidade homo-
gênea e invariável, e negação da ideia de que a língua 
portuguesa pertence a outros povos. 
e) atitude crítica, que se estende à própria língua portu-
guesa, por se tratar de sistema que não disporia de 
elementos necessários para a plena inserção sociocul-
tural de falantes não nativos do português.
2 (UFRGS-RS)
bom aí é... a senhora e... eu não tenho queixa dos 
meus alunos nunca precisei assim ralhar de um aluno... 
mas 1no tempo que eu era guria havia muito respeito 
agora o que eu vejo que as minhas colegas contam... 
eu fico horrorizada né?... eles não têm mesmo respeito 
eu acho que... se não têm é porque eu acho que os pro-
fessores é que não... que não sabem exigir ou também 
é proibido passar qualquer castigo alguma coisa assim 
que no tempo da gente tinha né?... a gente recebia o seu 
castiguinho... copiar a mesma lição uma porção de ve-
zes... quer dizer que 2aquilo botava o pessoal na linha... 
agora hoje em dia não não o professor não pode dizer 
nada ele... os alunos parece que tomam conta... dos pro-
fessores... ao menos é o que eu ouço contar né? Não que 
eu esteja vendo porque eu não estou estudando agora 
não sei... só sei que... a gente ouve dizer por aí né?... 3me 
desculpe se falei demais...
Adaptado de: HILGERT, J. G. A linguagem culta na cidade de Porto Alegre. 
Passo Fundo: Ediupf; Porto Alegre: Ed. da Universidade / UFRGS, 1997. p.116-117.
No bloco superior, a seguir, estão transcritos três segmentos 
da entrevista com marcas de oralidade; no bloco inferior, 
são feitas afirmações sobre aspectos formais dessas marcas. 
Associe adequadamente o bloco superior ao inferior.
( ) “no tempo que eu era guria” (ref. 1)
( ) “aquilo botava o pessoal na linha” (ref. 2)
( ) “me desculpe sefalei demais” (ref. 3)
1 – Contém omissão de marca de concordância obrigató-
ria na língua culta.
2 – Contém apagamento de palavra de uso obrigatório na 
construção sintática da língua culta.
3 – Contém emprego de ordem sintática usual na língua 
falada, mas inadequada na língua culta.
4 – Contém expressão usual na língua falada, mas inade-
quada na língua culta.
P6_ANGLO_EA_REVISAO_CA3_140a176.indd 141P6_ANGLO_EA_REVISAO_CA3_140a176.indd 141 08/03/21 11:4708/03/21 11:47
142
A sequência correta de preenchimento dos parênteses, 
de cima para baixo, é:
a) 2, 4 e 1.
b) 2, 4 e 3.
c) 3, 2 e 4.
d) 4, 1 e 2.
e) 4, 3 e 1. 
3 
— Famigerado? [...]
— Famigerado é “inóxio”, é “célebre”, “notório”, “notável”...
— Vosmecê mal não veja em minha grossaria no não 
entender. Mais me diga: é desaforado? É caçoável? É de ar-
renegar? Farsância? Nome de ofensa?
— Vilta nenhuma, nenhum doesto. São expressões 
neutras, de outros usos...
— Pois... e o que é que é, em fala de pobre, linguagem 
de em dia de semana?
— Famigerado? Bem. É: “importante”, que merece lou-
vor, respeito...
ROSA, G. Famigerado. In: Primeiras estórias. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 2001.
Nesse texto, a associação de vocábulos da língua portu-
guesa a determinados dias da semana remete ao:
a) local de origem dos interlocutores.
b) estado emocional dos interlocutores.
c) grau de coloquialidade da comunicação.
d) nível de intimidade entre os interlocutores.
e) conhecimento compartilhado na comunicação.
4 
Para que serve a tecnologia
Computador
“Com os computadores e a internet, mudei muito. A 
Lian de hoje é totalmente diferente daquela de antes da 
informática. Me abriu portas e, além de tudo, fui aceita por 
pessoas que achava que não iriam me aceitar. Com a in-
ternet, viajei o mundo. Fui até Portugal e à África. Eu nem 
sabia que lá a realidade era tão forte. Perto deles, estamos 
até muito bem.” – Tânia “Lian” Silva, 26, índia pankararu.
TV
“Eu gosto muito de televisão. Assisto às novelas, me di-
virto muito. Mas, ao mesmo tempo, sei que aquilo tudo que 
passa lá não é verdade. É tudo uma ilusão.” – Valentina Ma-
ria Vieira dos Santos, 89, índia fulni-ô da aldeia Xixi a cla.
MP3 Player
“Cuido do meu tocador de MP3 como se fosse um te-
souro. É um pen drive simples, mas é muito especial para 
mim. Nele ouço músicas indígenas e bandas da própria al-
deia. Ele vive emprestado porque acaba sendo a diversão 
da aldeia inteira. Uso até para exibir uns vídeos que baixo 
da internet. Basta colocar no aparelho de DVD com entrada 
USB que tenho.” – Jailton Pankararu, 23, índio pankararu.
Disponível em: www2.uol.com.br. Acesso em: 1 ago. 2012.
Os depoimentos apresentados no texto retratam o modo 
como diferentes gerações indígenas relatam suas expe-
riências com os artefatos tecnológicos. Os comentários 
revelam:
a) uma preferência pela possibilidade de uso do compu-
tador.
b) um elogio à utilidade da tecnologia no cotidiano indí-
gena.
c) uma crítica à própria identidade antes da inclusão di-
gital. 
d) o gosto pela ilusão em telenovelas transmitidas na TV.
e) o desejo de possuir um aparelho importado.
5 (UFRGS-RS)
Quando a 1economia política clássica nasceu, no Reino 
Unido e na França, ao final do século XVIII e início do sécu-
lo XIX, a questão da distribuição da renda já se encontrava 
no centro de todas as análises. Estava claro que transfor-
mações radicais entraram em curso, propelidas pelo cres-
cimento demográfico sustentado – inédito até então – e 
pelo início do êxodo rural e da Revolução Industrial. Quais 
seriam as consequências sociais dessas mudanças?
Para Thomas Malthus, que publicou em 1798 seu 
Ensaio sobre o princípio da população, não restava dú-
vida: a superpopulação era uma ameaça. Preocupava-se 
especialmente com a situação dos franceses às vésperas 
da Revolução de 1789, quando havia miséria generalizada 
no campo. Na época, a França era de longe o país mais 
populoso da Europa: por volta de 1700, já contava com 
mais de 20 milhões de habitantes, enquanto o Reino Unido 
tinha pouco mais de 8 milhões de pessoas. A população 
francesa se expandiu em ritmo crescente ao longo do 
século XVIII, aproximando-se dos 30 milhões. Tudo leva 
a crer que esse dinamismo demográfico, desconhecido 
nos séculos anteriores, contribuiu para a 2estagnação dos 
salários no campo e para o aumento dos rendimentos 
associados à propriedade da terra, sendo, portanto, um 
dos fatores que levaram à Revolução Francesa. Para evitar 
que torvelinho 3similar vitimasse o Reino Unido, Malthus 
argumentou que toda assistência aos pobres deveria ser 
suspensa de imediato e a taxa de natalidade deveria ser 
severamente controlada.
Já David Ricardo, que publicou em 1817 os seus Princí-
pios de economia política e tributação, preocupava-se com 
a evolução do preço da terra. Se o crescimento da popu-
lação e, consequentemente, da produção agrícola se pro-
longasse, a terra tenderia a se 4tornar escassa. De acordo 
P6_ANGLO_EA_REVISAO_CA3_140a176.indd 142P6_ANGLO_EA_REVISAO_CA3_140a176.indd 142 08/03/21 11:4708/03/21 11:47
R
E
V
IS
Ã
O
143
com a lei da oferta e da procura, o preço do bem escasso 
– a terra – deveria subir de modo contínuo. No limite, os 
donos da terra receberiam uma parte cada vez mais sig-
nificativa da renda nacional, e o 5restante da população, 
uma parte cada vez mais reduzida, destruindo o equilíbrio 
social. De fato, o valor da terra permaneceu alto por algum 
tempo, mas, ao longo de século XIX, caiu em relação às 
outras formas de riqueza, à medida que diminuía o peso 
da agricultura na renda das nações. Escrevendo nos anos 
de 1810, Ricardo não poderia antever a importância que 
o progresso tecnológico e o crescimento industrial teriam 
ao longo das décadas seguintes para a evolução da distri-
buição da renda.
Adaptado de: PIKETTY, T. O Capital no Século XXI. 
Trad. de M. B. de Bolle. Rio de Janeiro: Intrínseca, 2014. p.11-13.
Geralmente, substantivos denotam seres ou coisas. Às 
vezes, no entanto, podem denotar ação ou processo. As-
sinale a alternativa que contém um substantivo que, no 
texto, denota processo. 
a) economia (ref. 1)
b) estagnação (ref. 2)
c) similar (ref. 3)
d) tornar (ref. 4)
e) restante (ref. 5)
6 (Cesgranrio-RJ)
Romaria
Os romeiros sobem a ladeira
cheia de espinhos, cheia de pedras,
sobem a ladeira que leva a Deus
e vão deixando culpas no caminho.
Os sinos tocam, chamam os romeiros:
Vinde lavar os vossos pecados.
Já estamos puros, sino, obrigados,
mas trazemos flores, prendas e rezas.
[...]
Jesus no lenho expira 1magoado.
Faz tanto calor, há tanta algazarra.
Nos olhos do santo há sangue que escorre.
Ninguém não percebe, o dia é de festa.
No adro da janela há pinga, café,
imagens, fenômenos, baralhos, cigarros
e um sol imenso que lambuza de ouro
o pó das feridas e o pó das muletas.
Meu Bom Jesus que tudo podeis,
humildemente te peço uma graça.
Sarai-me, Senhor, e não desta lepra,
do amor que eu tenho e que ninguém me tem.
[...]
Jesus meu Deus pregado na cruz,
me dá coragem pra eu matar
um que me amola de dia e de noite
e diz gracinhas a minha mulher
[...]
Os romeiros pedem com os olhos,
pedem com a boca, pedem com as mãos.
Jesus já 2cansado de tanto pedido
dorme sonhando com outra humanidade.
ANDRADE, Carlos Drummond de.
Os adjetivos aplicados a Jesus, magoado (ref. 1) e cansado 
(ref. 2), indicam que: 
a) há muito barulho e arruaça em torno da igreja.
b) a romaria foi extremamente longa.
c) ele sofre com a indiferença dos homens e a mesquinhez 
de seus pedidos.
d) o calor é muito forte e o lenho pesa-lhe demais.
e) o Senhor cansou-se dos espinhos e pedras do caminho.
7 (UFV-MG) Assinale a alternativa em que a mudança de 
posição entre o substantivo e o adjetivo não acarreta al-
teração semântica: 
a) O grande traficante assusta a polícia. / O traficante 
grande assusta a polícia. 
b) O pobre viciado sofre muito!