GRUPO 5 HIST MAT

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5º GRUPO 
ANICETO JOÃO LUÍS 
ANTÓNIO X. IASSINE JOÃO 
LEONOR JOSÉ MACIE 
MÁRIO PAULO AIUBA 
ORTEGA CELESTINO PESSURE 
 
 
 
 
 
HISTÓRIA DO CÁLCULO APROXIMADO 
 
 
 
LICENCIATURA EM ENSINO DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE ROVUMA 
INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTE, TURISMO E COMUNICAÇÃO 
AGOSTO DE 2021
 
 
5º GRUPO 
ANICETO JOÃO LUÍS 
ANTÓNIO X. IASSINE JOÃO 
LEONOR JOSÉ MACIE 
MÁRIO PAULO AIUBA 
ORTEGA CELESTINO PESSURE 
 
 
 
 
 
HISTÓRIA DO CÁLCULO APROXIMADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE ROVUMA 
INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTE, TURISMO E COMUNICAÇÃO 
AGOSTO DE 2021 
LICENCIATURA EM ENSINO MATEMÁTICA 4º ANO. 
TRABALHO EM GRUPO DE CARÁCTER AVALIATIVO NA 
CADEIRA DE MATEMÁTICA NA HISTORIA, LECCIONADO 
PELO DOCENTE: JAMAL DAUDA JAMAL. 
 
 
Índice 
 
I. Introdução ................................................................................................................................... 4 
1. A origem do Cálculo ................................................................................................................... 5 
2. História ........................................................................................................................................ 8 
2.1. Antiguidade ................................................................................................................................. 8 
2.2. Idade Média ................................................................................................................................. 8 
2.3. Idade Moderna............................................................................................................................. 9 
2.4. Idade contemporânea ................................................................................................................... 9 
3. Importância do cálculo .............................................................................................................. 10 
3.1. Aplicações ................................................................................................................................. 10 
4. Resolução do exemplo .............................................................................................................. 12 
5. Aproximações usando o diferencial .......................................................................................... 13 
5.1. Exercícios de abordagem resolvida ........................................................................................... 13 
II. Precursores do cálculo aproximado ........................................................................................... 16 
III. Conclusão .................................................................................................................................. 17 
IV. Referências Bibliográficas ........................................................................................................ 18 
 
 
 
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I. Introdução 
 
O conhecimento matemático é, por natureza, encadeado e cumulativo, de modo que o 
desconhecimento de conceitos elementares pode impedir ou até mesmo dificultar a 
compreensão dos conceitos subsequentes. Para nos apropriarmos de um conteúdo, é 
necessário, entre outros factores, compreender como ele se estrutura e suas inter-relações com 
os demais itens que compõem aquele arcabouço de informações para que se construa o 
conhecimento necessário para se resolver problemas. É neste contexto que se insere o ensino 
de Matemática: ele deve capacitar as pessoas para resolverem problemas, usando como 
recursos seus conhecimentos de Matemática. Isto não só ocorre na área de Matemática, mas 
também em todas as outras do conhecimento. Neste artigo a discussão se concentra apenas na 
importância do ensino de cálculo através dos tempos e as crenças de que não se pode estudar 
um conteúdo sem uma visão contextualizada. Portando, o trabalho tem como objectivos e 
métodos: 
Objectivo geral 
 Conhecer a história do cálculo aproximado; 
 Delinear a história do cálculo aproximado. 
Objectivos específicos 
 Descrever a história do cálculo aproximado; 
 Definir o cálculo em vários níveis e espaços; 
 Reconhecer a importância da história do cálculo aproximado para o campo da 
matemática e muito mais. 
Metodologias 
 Na elaboração deste trabalho, foi usada a metodologia de pesquisa bibliográfica. 
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1. A origem do Cálculo 
A palavra “calcular” é um diminutivo de “calx”, que, em latim, significa “pedra”. No passado 
significou “fazer contas por meios de seixos”. As contribuições dos matemáticos para o 
nascimento do Cálculo são inúmeras. 
MOAR (2003) assegura que muitos deles tais como Cavalieri, Barrow, Fermat e Kepler 
utilizavam conceitos do Cálculo para resolver vários problemas. Porém naquele tempo não 
existia uma construção logicamente estruturada, ou seja, cada autor possuía sua proposição de 
como os conteúdos se estruturava dificultando a percepção das inter-relações entre os 
conteúdos. O desenvolvimento e o aperfeiçoamento das técnicas associadas ao Cálculo 
aconteceram com Newton e Leibniz, os quais deram origem aos fundamentos mais 
importantes para o ensino do Cálculo, como a formalização das Derivadas e as Integrais. 
Segundo MOAR (2003), o Cálculo pode ser dividido em duas partes: uma relacionada às 
Derivadas ou Cálculo Diferencial e Integral, e outra, relacionada às Integrais, ou 
simplesmente Cálculo Integral. 
O Cálculo Diferencial e Integral ou Derivada possui uma longa história. Sua origem remonta 
aos babilónios, que utilizavam tabelas de quadrados e de raízes quadradas e cúbicas. No 
século XVII, quando Descartes e Pierri Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, 
tornou-se possível a transformação de problemas geométricos em problemas algébricos. Esse 
estudo veio a facilitar e a criar nova imagem geométrica de funções definidas por relações 
entre variáveis. 
A contribuição de Fermat, segundo MOAR (2003), levou Laplace a considerá-lo o verdadeiro 
inventor do Cálculo Diferencial, apesar de que, como proposto por Fermat, ainda não possuía 
a notação apropriada e o conceito de Limites. Somente no século XIX, Cauchy introduziu o 
conceito de Limite e o conceito de Derivada. Porém, desde o século XVII, com os estudos de 
Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial já se tornara um instrumento indispensável nos 
diversos campos da ciência, pela sua grande aplicabilidade. O Cálculo, no que se refere às 
Integrais ou Cálculo Integral, surge na história relacionada com os problemas de quadraturas. 
De acordo com MAOR (2003, p.61) é aos gregos que se deve a ideia que dá sustentação ao 
Cálculo: geralmente se diz que o Cálculo foi inventado por Isac Newton (1642-1727) e por 
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) durante a década de 1665-1675, mas isso não é 
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inteiramente verdadeiro. A ideia central por trás do cálculo de usar o processo de limite para 
derivar resultados sobre objectos comuns, finitos recua até a época dos antigos gregos. 
Arquimedes de Siracusa (cerca de 290-212 a.C.), o lendário cientista cuja inventividade 
militar teria desafiado os invasores romanos de sua cidade durante mais de três anos, teria 
sido um dos primeiros a usar o conceito de limite para calcular a área e o volume de várias 
formas planas e sólidas. Uma das maiores contribuições gregas para o Cálculo surgiu em 225 
a.C. com Arquimedes. Ele criou o teorema para a quadratura da parábola e o método da 
exaustão para determinar a área do círculo, obtendo assim, as primeiras aproximações do 
número “pi”. 
BOYER (1992, p.7) assegura que: ninguém no mundo antigo iguala-se a Arquimedes, quanto 
à invenção e à demonstração, ao lidar com problemas relacionados ao cálculo. No entanto, o 
teorema geral mais antigo em Cálculo não se deve a Arquimedes, mas a matemáticos gregos 
que viveram, provavelmente, meia dúzia de séculos mais tarde. Fermat e Johan Bernoullitambém contribuíram bastante para o nascimento do Cálculo Integral. Fermat desenvolveu a 
técnica para determinar a área das “parábolas maiores” através da aritmética do infinito. Mas 
nem sempre houve concordância entre estudiosos sobre o tema. Newton e Leibniz tinham 
duas visões sobre o Cálculo. O primeiro o via como geométrico e, o segundo, como analítico. 
Do mesmo modo, a história do Cálculo não é única. 
BARBOSA (2004, p.19), em sua pesquisa, conclui que livros diferentes ressaltam aspectos 
distintos, concepções múltiplas. Aqui não se pretende discutir a história da Matemática, mas 
apenas tomá-la como referência para investigar os processos de aprendizagem pelos quais 
passam os alunos de nossos tempos quando em contacto com essa disciplina. Hoje o Cálculo 
Integral é muito utilizado em áreas do conhecimento humano e aplicado em soluções de 
problemas de muitos campos de estudo, como Economia, Engenharia, Medicina, Química, 
Física e Astronomia. 
Segundo MIORIM (1998, p.80) os métodos modernos do Cálculo Infinitesimal, criados por 
Newton, Leibniz e Lagrange, constituíram argumento para a introdução da modernização do 
estudo da Matemática no Brasil no século XX. O ensino de Matemática, também, teve um 
longo caminho a percorrer. 
7 
 
Em 1759, o matemático José Monteiro da Rocha, que estudou na Faculdade de Matemática do 
Colégio de Salvador, desligou-se da ordem e foi convocado por Marquês do Pombal para 
compor a equipe que iria reformular a Universidade de Coimbra e também a Faculdade de 
Matemática, no ano de em 1772. 
Em 1837, o ministro e secretário de estado da Justiça e interino do Império, Bernardo Pereira 
de Vasconcelos, criou a primeira escola secundária pública do Rio de Janeiro, o Colégio 
Pedro II, e modificou radicalmente os programas do ensino da Matemática, de modo que, 
Aritmética, Geometria e Álgebra ocupassem seu lugar em todas as oito séries do curso 
(MIORIM, 1998, p.86). 
Mais tarde, com a República, em 8 de Novembro de 1890, o primeiro-ministro Benjamin 
Constant baixou um decreto, sob o número 891, deste mesmo ano, em que determinava uma 
reforma com a eliminação das disciplinas tradicionais, como o latim e o grego e a inclusão do 
ensino de Matemática abstracta bem como da Matemática concreta. Desse modo, foi 
introduzido o estudo do Cálculo Diferencial e Integral no terceiro ano. Nenhuma das várias 
reformas que ocorreram depois da de Benjamin Constant produziu mudanças significativas no 
ensino brasileiro. Somente na década de 20 começaram as alterações no panorama da 
Educação em nosso país. 
Foi o professor catedrático de Matemática Euclides Roxo o maior responsável pela proposta 
modernizadora brasileira, unificando o estudo de Álgebra, Geometria e Aritmética, que até 
então eram estudadas separadamente e avaliadas em um exame para cada conteúdo. Essa 
proposta foi homologada pelo decreto número 18564, na data de 15 de Janeiro de 1929. Era 
apenas para o Colégio Pedro II e, apesar de essa Instituição ser considerada um modelo, nada 
garantia que as outras seguiriam tais orientações. 
Três anos depois, de acordo com MIORIN (1998), Francisco Campos fez a primeira tentativa 
de estruturar o curso Secundário Nacional e de introduzir os princípios modernizadores da 
Educação, trazendo como ideia principal que a “qualidade da educação não se mede pelo 
volume de noções e dos conceitos”. 
 
 
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2. História 
A história do cálculo encaixa-se em vários períodos distintos, de forma notável nas eras 
antiga, medieval e moderna. 
2.1. Antiguidade 
De acordo com Gauss, Arquimedes, o maior matemático da antiguidade, já apresentava ideias 
relacionadas ao Cálculo dois séculos antes de Cristo. Na Antiguidade, foram introduzidas 
algumas ideias do cálculo integral, embora não tenha havido um desenvolvimento dessas 
ideias de forma rigorosa e sistemática. A função básica do cálculo integral, a de calcular 
volumes e áreas, pode ser remontada ao Papiro Egípcio de Moscou (1850 a.C.), no qual um 
egípcio trabalhou o volume de um frustum piramidal. O cálculo integral também pode ser 
utilizado para rastreamento e gravação o movimento do sol, da lua e dos planetas. 
Os antigos astrónomos babilónios (1800-1600 a.C.) empregaram métodos geométricos 
sofisticados que prenunciam o desenvolvimento do cálculo para prever as posições dos corpos 
celestes. Eudoxo de Cnido, ou Eudoxus, (408-355 a.C.) usou o método da exaustão para 
calcular áreas e volumes. Arquimedes (287-212 a.C.) levou essa ideia além, inventando a 
heurística, que se aproxima do cálculo integral. O método da exaustão foi redescoberto na 
China por Liu Hui no século III, que o usou para encontrar a área do círculo. O método 
também foi usado por Zu Chongzhi século V, para achar o volume de uma esfera. 
2.2. Idade Média 
Na Idade Média, o matemático indiano Aryabhata usou a noção infinitesimal em 499 d.C. 
expressando-a em um problema de astronomia na forma de uma equação diferencial básica. 
Essa equação levou Bhāskara II no século XII a desenvolver uma derivada prematura 
representando uma mudança infinitesimal, e ele desenvolveu também o que seria uma forma 
primitiva do "Teorema de Rolle". No século XII, o matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi 
descobriu a derivada de polinômios cúbicos, um resultado importante no cálculo diferencial. 
No século XIV, Madhava de Sangamagrama, juntamente com outros matemáticos astrónomos 
da Escola Kerala de Astronomia e Matemática, descreveu casos especiais da Série de Taylor, 
que no texto são tratadas como Yuktibhasa. 
9 
 
2.3. Idade Moderna 
Na Idade Moderna, descobertas independentes no cálculo foram feitas no início do século 
XVII no Japão por matemáticos como Seki Kowa, que expandiu o método de exaustão. Na 
Europa, a segunda metade do século XVII foi uma época de grandes inovações. O Cálculo 
abriu novas oportunidades na física-matemática de resolver problemas muito antigos que até 
então não haviam sido solucionados. Muitos matemáticos contribuíram para essas 
descobertas, notavelmente John Wallis e Isaac Barrow. James Gregory proveu um caso 
especial do segundo teorema fundamental do cálculo em 1668. 
Coube a Gottfried Wilhelm Leibniz e a Isaac Newton recolher essas ideias e juntá-las em um 
corpo teórico que viria a constituir o cálculo. A ambos é atribuída a simultânea e 
independente invenção do cálculo. Leibnitz foi originalmente acusado de plagiar os trabalhos 
não publicados de Isaac Newton; hoje, porém, é considerado o inventor do cálculo, 
juntamente com Newton. Historicamente Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física ao 
passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje, a notação de Leibniz. 
O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de 
maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo. 
Gottfried Wilhelm Leibniz: o inventor do cálculo, juntamente com Newton. Quando Newton 
e Leibniz publicaram seus resultados, houve uma grande controvérsia de qual matemático (e 
portanto que país: Inglaterra ou Alemanha) merecia o crédito. Newton derivou seus resultados 
primeiro, mas Leibniz publicou primeiro. Newton argumentou que Leibniz roubou ideias de 
seus escritos não publicados, que Newton à época compartilhara com alguns poucos membros 
da Sociedade Real. Esta controvérsia dividiu os matemáticos ingleses dos matemáticos 
alemães por muitos anos. 
2.4. Idade contemporânea 
Na Idade Contemporânea, já no século XIX, o cálculo foi abordado de uma forma muito mais 
rigorosa. Foi também durante este período que ideias do cálculo foram generalizadas ao 
espaço euclidiano e ao plano complexo. Lebesgue mais tarde generalizou a noção de integral. 
Sobressaíram matemáticos como Cauchy, Riemann, Weierstrass e Maria Gaetana Agnesi. 
Esta foi autora da primeira obra a unir as ideias de Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz; 
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escreveu também um dos primeiros livros sobre cálculodiferencial e integral. É dela também 
a autoria da chamada "curva de Agnesi" 
3. Importância do cálculo 
O cálculo é comummente utilizado pela manipulação de quantidades muito pequenas. 
Historicamente, o primeiro método de utilizá-lo era pelas infinitesimais. Estes objectos podem 
ser tratados como números que são, de alguma forma, "infinitamente pequenos". Na linha 
numérica, isso seria locais onde não é zero, mas possui "zero" de distância de zero. Nenhum 
número diferente de zero é um infinitesimal, porque sua distância de zero é positiva. Qualquer 
múltiplo de um infinitesimal continua sendo um infinitesimal. Em outras palavras, 
infinitesimais não satisfazem a propriedade arquimediana. Deste ponto de vista, o cálculo é 
uma colecção de técnicas para manipular infinitesimais. 
No século XIX, infinitesimais foram substituídos pelos limites. Limites descrevem o valor de 
uma função em um certo ponto x0 a partir de valores da função em pontos próximos de x0 Um 
exemplo tradicional de interesse é o caso em que x0 é um número irracional, como � √2 ou , 
podendo ter seu valor decimal aproximado por números racionais próximos. Outro caso é 
quando, ao tentar avaliar uma função �(�)��	� = �0, obtém-se uma divisão por zero, que é 
indefinida. 
3.1. Aplicações 
O cálculo é usado em todos os ramos das ciências físicas, na ciência da computação, 
estatística, engenharia, economia, medicina e em outras áreas sempre que um problema possa 
ser modelado matematicamente e uma solução óptima é desejada, ele é um estudo mais 
profundo de funções. A Física faz uso intensivo do cálculo. Todos os conceitos na mecânica 
clássica são inter-relacionados pelo cálculo. A massa de um objecto de densidade conhecida, 
o momento de inércia dos objectos, assim como a energia total de um objecto dentro de um 
sistema fechado podem ser encontrados usando o cálculo. Nos sub-campos da electricidade e 
magnetismo, o cálculo pode ser usado para encontrar o fluxo total de campos 
electromagnéticos. 
11 
 
Um exemplo mais histórico do uso do cálculo na física é a segunda lei de Newton que usa a 
expressão "taxa de variação" que se refere à derivada: A taxa de variação do momento de um 
corpo é igual à força resultante que age sobre o corpo e na mesma direcção. Até a expressão 
comum da segunda lei de Newton como Força = Massa × Aceleração envolve o cálculo 
diferencial porque a aceleração pode ser expressada como a derivada da velocidade. A teoria 
do Electromagnetismo de Maxwell e a teoria da relatividade geral de Einstein também são 
expressas na linguagem do cálculo diferencial. A química também usa o cálculo para 
determinar as variações na velocidade das reacções e no decaimento radioactivo. 
O cálculo pode ser usado em conjunto com outras disciplinas matemáticas. Por exemplo, ele 
pode ser usado com a álgebra linear para encontrar a recta que melhor representa um conjunto 
de pontos em um domínio. Na esfera da medicina, o cálculo pode ser usado para encontrar o 
ângulo óptimo na ramificação dos vasos sanguíneos para maximizar a circulação, e até 
mesmo determinar o tamanho máximo de moléculas que são capazes de atravessar a 
membrana plasmática em uma determinada situação, normal ou induzida, em células. 
Na geometria analítica, o estudo dos gráficos de funções, o cálculo é usado para encontrar 
pontos máximos e mínimos, a inclinação, concavidade e pontos de inflexão. Na Engenharia 
civil é usado para encontrar o momento flector máximo de uma viga num ponto qualquer. Na 
Economia o cálculo permite a determinação do lucro máximo fornecendo uma fórmula para 
calcular facilmente tanto o custo marginal quanto a renda marginal. O cálculo pode ser usado 
para encontrar soluções aproximadas de equações, em métodos como o método de Newton, 
iteração de ponto fixo e aproximação linear. 
 
 
 
Ex: 
 
4. Resolução do exemplo
 
Ex: 2 
Resolução do exemplo 
12 
 
 
 
13 
 
5. Aproximações usando o diferencial 
A fórmula aplicada para fazer uma aproximação através do diferencial surge precisamente da 
definição da derivada de uma função como limite. 
Esta fórmula é dada por: 
f (x) ≈ f (x0) + f ‘(x0) * (x-x0) = f (x0) + f’ (x0) * Δx. 
Aqui entende-se que Δx = x-x0, portanto, x = x0 + Δx. Usando isso, a fórmula pode ser 
reescrita como 
f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f ‘(x0) * Δx. 
Deve-se notar que “x0” não é um valor arbitrário, mas é um valor tal que f (x0) é facilmente 
conhecido; Além disso, “f (x)” é apenas o valor que queremos aproximar. 
Existem abordagens melhores como: A anterior é a mais simples das aproximações 
denominadas «aproximação linear». 
Para abordagens de melhor qualidade (o erro cometido é menor) são utilizados polinómios 
com mais derivados chamados “polinómios de Taylor”, além de outros métodos numéricos, 
como o método de Newton-Raphson, entre outros. 
Estratégia 
A estratégia a seguir é: 
 Escolha uma função adequada f para realizar a aproximação e o valor “x” de modo 
que f (x) seja o valor a ser aproximado. 
 Escolha um valor «x0», próximo a «x», de forma que f (x0) seja fácil de calcular. 
 Calcular Δx = x-x0. 
 Calcule a derivada da função y f ‘(x0). 
 Substitua os dados na fórmula. 
5.1. Exercícios de abordagem resolvida 
A seguir, há uma série de exercícios em que são feitas aproximações usando o diferencial. 
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Primeiro exercício 
√3 Aproximado. 
Solução 
Seguindo a estratégia, uma função adequada deve ser escolhida. Nesse caso, pode-se observar 
que a função a ser escolhida deve ser f (x) = √x e o valor a ser aproximado é f (3) = √3. 
Agora, um valor “x0” próximo a “3” deve ser escolhido de modo que f (x0) seja fácil de 
calcular. Se “x0 = 2” for escolhido, “x0” será próximo de “3”, mas f (x0) = f (2) = √2 não é 
fácil de calcular. 
O valor de “x0” conveniente é “4”, pois “4” está próximo de “3” e também f (x0) = f (4) = √4 
= 2. 
Se «x = 3» e «x0 = 4», então Δx = 3-4 = -1. Agora passamos a calcular a derivada de f. Ou 
seja, f ‘(x) = 1/2 * √x, de modo que f’ (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4. 
Substituindo todos os valores na fórmula que você obtém: 
√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 – 1/4 = 7/4 = 1,75. 
Se for utilizada uma calculadora, obtém-se que √3≈1,73205… Isso mostra que o resultado 
anterior é uma boa aproximação do valor real. 
Segundo Exercício 
√10 Aproximado. 
Solução 
Como antes, f (x) = √x é escolhido como uma função neste caso x = 10. 
O valor de x0 que deve ser escolhido dessa vez é “x0 = 9”. Então temos que Δx = 10-9 = 1, f 
(9) = 3 ef ‘(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6. 
Ao avaliar na fórmula, você obtém esse 
√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666… 
15 
 
Usando uma calculadora, você obtém √10 ≈ 3,1622776 … Aqui você também pode ver que 
uma boa aproximação foi obtida antes. 
Terceiro exercício 
Aproximado √√10, onde ³√ indica a raiz do cubo. 
Solução 
Claramente, a função a ser usada neste exercício é f (x) = ³√x e o valor de “x” deve ser “10”. 
Um valor próximo a “10”, de modo que sua raiz cúbica seja conhecida, é “x0 = 8”. Então 
você tem que Δx = 10-8 = 2 ef (x0) = f (8) = 2. Você também tem que f ‘(x) = 1/3 * ³√x² e, 
consequentemente, f’ (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12. 
Substituindo os dados na fórmula, você obtém o seguinte: 
³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2,166666…. 
A calculadora diz que ³√10 ≈ 2,15443469… Portanto, a aproximação encontrada é boa. 
Quarto exercício 
Aproximadamente ln (1.3), onde “ln” indica a função natural do logaritmo. 
Solução 
Primeiro, escolha como função f (x) = ln (x) e o valor de “x” é 1,3. Agora, conhecendo um 
pouco da função do logaritmo, você pode saber que ln (1) = 0 e também “1” estão próximos 
de “1.3”. Portanto, “x0 = 1” é escolhido e, portanto, Δx = 1,3 – 1 = 0,3. 
Por outro lado, f ‘(x) = 1 / x, de modo que f’ (1) = 1. Ao avaliar na fórmula fornecida, você 
deve: 
ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3. Ao usar uma calculadora, você tem que ln (1.3)≈ 
0.262364… Portanto, a aproximação feita é boa. 
 
 
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II. Precursores do cálculo aproximado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: as imagens foram retiradas da internet, através da ligação (os 
percursos do cálculo aproximado). 
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III. Conclusão 
O objectivo do ensino da Matemática deixou de ser apenas a busca pelo desenvolvimento do 
raciocínio lógico-formal mas também como a busca pela compreensão das operações 
elementares, e pelo senso de estimativa que levariam o aluno a ser um descobridor e não um 
receptor passivo do conhecimento. Além disso, busca-se a troca do paradigma tradicional 
baseado da memorização sem raciocínio, para um paradigma que estimula a de resolução de 
problemas. 
Desta forma o ensino de Cálculo que se utilizava a “régua de calcular” proposta apresenta 
uma visão mais moderna do ensino da Matemática, trazendo uma listagem de conteúdos a 
serem trabalhados em cada série, em que fica claro o estudo de funções e de Cálculo 
Infinitesimal. A proposta inovadora de Campos encontrou resistência de muitos professores, 
que não estavam acostumados a essas novas ideias e por isso sentiam-se inseguros; além do 
mais, os professores não possuíam livros didácticos com essa nova abordagem. 
Desde os primórdios, a utilidade da matemática vem crescendo e se adaptando a evolução 
humana e paralelamente a ela o próprio cálculo. Os seus estudos massivos começaram na 
idade média, nas descobertas independentes que ocorreram no Japão e na Europa. Citamos, 
por exemplo, Seki Kowa, responsável por expandir o método da exaustão e os 
matemáticos John Wallis e Isaac Barrow, responsáveis por descobertas que rapidamente 
contribuíram para solucionar problemas na área da físico-matemática, abrindo novas 
oportunidades e consequentemente resolvendo antigos problemas que até então estavam sem 
solução. 
 
 
 
 
 
18 
 
IV. Referências Bibliográficas 
 
 BARBOSA, Marcos António. O insucesso no ensino e aprendizagem na disciplina de 
cálculo diferencial e integral, 2004. Dissertação (Mestrado em Educação) PUCRS, 
Curitiba, 2004. 
 BOYER, Carl Benjamin. Cálculo. Tradução. Hygino H. Domingues. São Paulo: 
Actual, 1992. 
 (Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula; v. 6). 
 FLEMING, W. &VARBERG, DE (1989). Matemática Pré-cálculo. Prentice Hall 
PTR 
 MAOR, Eli. E: a história de um número. Tradução de Calife. Rio de Janeiro: Record, 
2003. 
 MIORIM, Maria A. Introdução à história da educação matemática. São Paulo: Actual, 
1998. SILVA, Clovis Pereira. A Matemática no Brasil: uma história de seu 
desenvolvimento. São Leopoldo: Unisinos, 1999. 
 REVEMAT - Revista Electrónica de Educação Matemática. V4.1, p.18-25, UFSC: 
2009.