Manual MSA Analise do Sistmada Medição 4ed

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MSA quarta edição 
 
Análise dos Sistemas de 
Medição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MSA quarta edição - Análise dos Sistemas de Medição 
Em junho 2010 foi lançada a 4ª edição do manual de análise de sistemas de 
medição. Esta versão traz mudanças significativas em relação a terceira edição. Na 
nossa opinião, as principais mudanças se concentram nos critérios para análise dos 
resultados. Porém, também tivemos mudanças em técnicas estatísticas. A seguir, 
apresentamos uma breve discussão sobre as principais mudanças. 
O MSA 4ª edição apresenta algumas alterações em relação à terceira edição. As 
principais mudanças referem-se ao: 
 Sistema de Calibração; 
 Critério e forma de análise da tendência e lineraridade dos sistemas de medição; 
 Critério para analisar o RR; 
 Melhor interpretação e análise de sistemas atributivos (passa/não passa); 
 Uso de técnicas alternativas para avaliar sistemas de medição não replicáveis; 
 
A seguir, comentamos as principais modificações da quarta edição: 
1. Na página 10 da quarta edição foi adicionado um tópico específico sobre o 
sistema de calibração. Em resumo, uma organização deve ter um laboratório 
interno de calibração ou uma organização externa que controle e mantenha os 
elementos dos eventos de calibração. O sistema de calibração é parte do escopo do 
sistema de gestão da qualidade da organização e deve constar nos requisitos de 
auditoria interna. Quando o evento da calibração é realizado por um fornecedor 
externo (comercial ou não) este pode (ou deve) ser acreditado conforme ISO/IEC 
17025. Quando não existir um laboratório acreditado, o serviço de calibração deve 
ser realizado pelo fornecedor do equipamento. 
2. Na página 77 da quarta edição foi alterado os critérios de análise dos resultados 
(seção D). Primeiro, foi adicionado um critério para análise do processo de fixação 
e montagem do dispositivo de medição. Os critérios para análise da tendência e 
linearidade são similares, com algumas alterações na forma de cálculo e 
interpretação dos resultados. Os critérios para análise da variabilidade (RR) 
mudaram na sua essência: 
Ao iniciarmos uma análise nos sistemas de medição de uma organização, é útil 
identificarmos as prioridades para os quais os sistemas de medição devem, 
inicialmente, focar. Desde que a variação total (ou final) é baseada na combinação 
da variação do processo e do sistema de medição 
, 
quando o CEP está sendo aplicado para controlar o processo ou coletar dados, e o 
gráfico de controle indica que o processo está sob controle estatístico (estável) e a 
variabiliade total é aceitável, o sistema de medição pode ser considerado aceitável 
para o uso e não requer uma re-análise separada. Se uma condição de fora de 
controle ou uma não conformidade for detectada, devemos primeiro analisar o 
sistema de medição. 
Comentários: Se temos um gráfico de CEP em determinada característica, que está 
estável e com boa capacidade, NÃO É NECESSÁRIO APLICAR O MSA para avaliar o 
sistema de medição. A não ser que seja detectado um ponto fora de controle ou 
uma não conformidade. 
A seguir, temos a tabela de análise do RR. 
RR Decisão Comentários 
Abaixo 
de 10% 
Sistema de 
medição 
geralmente 
considerado 
aceitável 
Recomendável, especialmente útil quando tentamos ordenar ou 
classificar peças ou quando for requerido um controle apertado 
do processo. 
Entre 
10% e 
30% 
Poder ser aceito 
para algumas 
aplicações 
A decisão deve ser baseada primeiro, por exemplo, na 
importância da aplicação da medição, custo do dispositivo de 
medição, custo do retrabalho ou reparo. O sistema de medição 
deve ser aprovado pelo cliente. 
Acima 
de 30% 
Considerado 
inaceitável 
Todos os esforços devem ser tomados para melhorar o sistema 
de medição. Esta condição pode ser resolvida pelo uso de uma 
estratégia apropriada para a medição; por exemplo, utilizar a 
média de diversas medições da mesma característica da mesma 
peça a fim de reduzir a variabilidade da medida final. 
 
A análise do NDC é a mesma, ou seja, o NDC deve ser maior ou igual a cinco.Temos 
uma pequena modificação no cálculo deste índice para evitar valores iguais a zero. 
Cuidado: O uso do RR como único índice para avaliar um sistema de medição 
não é aceitável. 
Ao aplicar os critérios de aceitação como simples valores de corte (thresholds), 
assumimos que as estísticas são estimativas determinísticas da variabilidade do 
sistema de medição (o que não são). Especificar os valores de corte como critério 
pode levar a um comportamento inadequado. Por exemplo, o fornecedor pode ser 
“criativo” ao encontrar um determinado valor de RR, eliminando as principais 
fontes de variação (como a interação peça X operador) ou simplesmente manipular 
o estudo. 
Comentários: Infelizmente este é um fato que ocorre em muitas empresas no 
Brasil. O cliente impõe um RR abaixo de 10% e o fornecedor manipula os dados. 
NÃO DEVEMOS TER UM CRITÉRIO SIMPLES (ÚNICO) PARA TODOS OS SISTEMAS DE 
MEDIÇÃO. Cada aplicação deve ser avaliada individualmente. 
Quando analisamos a variação de um sistema de medição é importante olhar para 
cada aplicação individualmente, para sabermos o que é requerido e como esta 
medição será utilizada. Por exemplo: a precisão requerida da medição de 
temperatura poder ser diferente para aplicações não similares. Um termostato para 
sala pode regular a temperatura para conforto de um humano e ser barato, porém 
tem um RR acima de 30%. Isto é aceitável para esta aplicação. Mas, em um 
laboratório, no qual pequenas variações de temperatura podem impactar nos 
resultados dos testes, uma medição e controle de temperatura mais sofisticados 
devem ser requeridos. Este termostato será mais caro e também vamos requerer 
uma menor variabilidade (menor valor de RR). 
Estudos de Sistema de Medição por variável: 
1. Estabilidade: Nada mudou. 
2. Tendência (página 88): Neste estudo, tivemos algumas alterações. Primeiro, foi 
introduzido o método da amostra independente (teste t-Student) para avaliar a 
tendência. O método da média e amplitude não consta na quarta edição. Como 
critério, podemos analisar o P-valor ou o intervalo de confiança. Segundo, para 
relizarmos a análise da tendência, precisamos validar variabilidade associada com 
a repetitividade (o desvio padrão dos dados), 
 
no qual é o desvio padrão dos dados e a variação total é baseada na 
variação do processo (preferível) ou na tolerância do processo dividida por 6. Se a 
for alta (ver tabela acima), então o sistema de medição pode ser inadequado. 
Desde que a análise de tendência admite que a repetitividade é aceitável, 
continuar com a análise pode nos levar a um resultado contraditório ou errado, isto 
é, a análise pode indicar uma tendência estatisticamente nula, enquanto que seu 
valor absoluto pode ultrapassar o que é aceitável para o equipamento. 
Comentário: Finalmente retiraram o método da média e amplitude. Apenas no 
método do gráfico de CEP para análise da tendência temos referência ao método 
da média e amplitude, caso tenhamos avaliado a estabilidade com o gráfico Xbar e 
R. Outro ponto é a validação da repetitividade antes de concluirmos sobre a 
tendência. Aqui, na nossa opinião, é melhor realizar o estudo de RR antes da 
tendência. Ao realizarmos o RR podemos validar a repetitividade. 
3. Linearidade: Também precisamos validar a variabilidade associada com a 
repetitividade, antes de concluirmos sobre a linearidade. 
4. Repetitividade e Reprodutibilidade: Foram mantidos os três métodos: 
amplitude, média e amplitude e ANOVA. Porém, o método da ANOVA é o 
recomendado (página 101), pois este é mais completo e flexível. 
4.1 Método da Amplitude: Nada foi alterado. 
4.2 Método da Média e amplitude: Primeiro, o número mínimo de peças mudou de 
5 para 10 peças. A principal alteração está na determinação da variabilidade do 
processo.Em geral, temos quatro métodos para determinar a variação de processo 
(página 121): 
 Variação de processo atual 
o variação de processo obtida através peças utilizadas no estudo de RR; 
o utilizar quando as peças selecionadas representam a variação de processo 
esperada; 
 Variação de um processo alternativo 
o utilizar quando não temos um número suficiente de peças que representam o 
processo, mas existe um processo cuja variação de processo é similar; 
 Valor alvo do Pp (ou Ppk) 
o utilizar quando não temos um número suficiente de peças que representam o 
processo e não temos um processo com variação similar, ou o novo processo é 
esperado ter uma variabilidade menor do que o processo atual; 
 Tolerância 
o quando o sistema de medição é utilizado para um tipo de processo e o processo 
tem Pp menor que 1; 
Comentário: Um dos principais pontos para determinarmos os índices do RR é a 
variação do processo. Em geral, as 10 peças selecionadas para o estudo do RR não 
representam bem a variação do processo. Neste sentido, a quarta edição enfatiza o 
uso do histórico do processo, do valor alvo do Pp ou da tolerância. 
4.3 ANOVA: Nenhuma alteração. Porém, vale as mesmas observações sobre a 
estimativa da variação do processo que fizemos no método da média e amplitude. 
Estudos de Sistema de Medição por atributo: 
Inicialmente foi dado ênfase na detrminação da área cinza (página 132). Considere 
um sistema de medição por atributo que compara cada peça com os limites de 
especificação, o sistema aceita a peça se a mesma está entre as especificações e 
rejeita caso contrário (conhecido como sistema passa não passa). Como qualquer 
sistema de medição, existe uma área cinza em torno dos limites de especificação 
no qual o sistema de medição comete erros de classificação. 
Desde que não conhecemos, a priori, a área cinza, devemos realizar estudos do 
sistema de medição. Entretanto, para determinarmos as áreas de risco em torno 
dos limites de especificação, precisamos escolher aproximadamente 25% da peças 
“próximas” ao limite inferior e 25% da peças “próximas” ao limite superior. Nos 
casos em que é difícil fazer tais peças, a equipe pode decidir utilizar uma 
porcentagem menor, apesar de reconhecer que esta atitude pode aumentar a 
variabilidade dos resultados. Se não for possível fazer peças próximas aos limites 
de especificação a equipe deveria reconsiderar o uso de um sistema de medição 
por atributos para este processo. Para cada característica, as peças devem ser 
medidas por um sistema de medição por variáveis com variabilidade aceitável. 
Quando uma característica não pode ser medida por um sistema de medição por 
variáveis (exemplo, visual), utilizamos outros meios, como a classificação por 
especialistas. Três operadores são escolhidos e cada operador realiza três 
medições de cada peça. 
Comentário: Dentre as peças escolhidas (por exemplo 50) que utilizamos para 
realizar o estudo de um sistema de medição por atributo, devemos escolher 25% 
(em torno de 12) “próximas” ao limite inferior de especificação e 25% (em torno de 
12) “próximas” ao limite superior de especificação. 
Tamanho da amostra (página 140): 
Outro ponto interessante da quarta edição em relação a sistemas de medição por 
atributo é o tamanho da amostra. Qual a quantidade de peças que devemos utilizar 
para realizar o estudo de sistema de medição por atributo? Para desespero dos 
usuários a resposta é o “suficiente”. O propósito de se estudar um sistema de 
medição (atributo ou variável) está em conhecer suas propriedades. Um número 
suficiente de amostras deve ser selecionado para cobrir uma amplitude esperada 
de operação. No caso de sistema por atributo, a região de interesse são as áreas 
cinza. Se a capacidade do processo é boa, então uma amostra pequena pode não 
conter muitas peças na área cinza. Isto signficia que um processo com boa 
capacidade requer uma amostra maior. 
No exemplo citado na quarta edição, para um Pp=Ppk=0,5 (no qual esperamos 13% 
de peças não conformes), foi selecionado 50 peças para realizar o estudo do 
sistema de medição por atributo. 
Um alternativa para evitarmos amostras grandes, consiste em escolher as peças 
diretamente na área cinza para assegurar que o efeito da variabilidade do avaliador 
será visualizado. 
Método da detecção de sinais (página 143): Um procedimento alternativo para 
avaliar um sistema de medição por atributo e que foi dado bastante ênfase. Na 
quarta edição, temos uma descrição bem mais detalhada do que encontramos na 
terceira edição. 
Método analítico: Foi corrigido algumas contas. Por exemplo, na página 146, o 
valor da estatística t foi corrigido. 
Neste módulo, vamos apresentar as principais ferramentas para análise dos sistema 
de medição conforme manual de análise de sistema de medição da indústria 
automobilística (MSA quarta edição). Apesar de seguirmos a indústria 
automobilística, os métodos apresentados neste módulo se aplicam a qualquer 
sistema de medição. 
Sistema de Medição: o conjunto de operações, procedimentos, dispositivos de 
medição e outros equipamentos, software e pessoal usado para atribuir um número 
à característica que está sendo medida; o processo completo usado para obter as 
medidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 - Análise dos Sistemas de Medição 
 1 - Análise dos Sistemas de Medição 
 1.1 - Sistema de Medição 
 1.2 - Planejamento e Estratégia 
 2 - Sistema de Medição Replicável 
 2 - Sistema de Medição Replicável 
 2.1 - Estabilidade 
 2.2 - Tendência 
 2.3 - Tendência e Linearidade 
 2.4 - Repetitividade e Reprodutibilidade 
 2.4 - Repetitividade e Reprodutibilidade 
 2.4.1 - Modelo da ANOVA: com interação entre peça e operador 
 2.4.2 - Modelo da ANOVA: sem interação entre peça e operador 
 2.4.3 - Modelo da ANOVA: sem operador 
 2.4.4 - Curvas de Desempenho 
 2.4.5 - Análise gráfica do RR 
 3 - Análise de Sistema de Medição - Não Replicável 
 3 - Análise de Sistema de Medição - Não Replicável 
 3.1 - Estabilidade 
 3.2 - RR Não-Replicável (Método Hierárquico) 
 4 - Sistema de Medição por Atributo 
 4 - Sistema de Medição por Atributo 
 4.1 - Método Analítico 
 4.1 - Método Analítico 
 4.1.1 - Estudo do sistema de medição do tipo atributo 
 4.1.2 - Descrição do estudo do sistema de medição do tipo atributo 
 4.1.3 - Método analítico via modelo linear 
 5 - Aplicações do MSA 
http://www.portalaction.com.br/content/1-an%C3%A1lise-dos-sistemas-de-medi%C3%A7%C3%A3o
http://www.portalaction.com.br/content/1-an%C3%A1lise-dos-sistemas-de-medi%C3%A7%C3%A3o
http://www.portalaction.com.br/content/11-introdu%C3%A7%C3%A3o-sistema-de-medi%C3%A7%C3%A3o
http://www.portalaction.com.br/content/12-planejamento-e-estrat%C3%A9gia
http://www.portalaction.com.br/content/2-sistema-de-medi%C3%A7%C3%A3o-replic%C3%A1veis
http://www.portalaction.com.br/content/2-sistema-de-medi%C3%A7%C3%A3o-replic%C3%A1veis
http://www.portalaction.com.br/content/21-estabilidade
http://www.portalaction.com.br/content/22-tend%C3%AAncia
http://www.portalaction.com.br/content/23-tend%C3%AAncia-e-linearidade
http://www.portalaction.com.br/content/24-repetitividade-e-reprodutibilidade
http://www.portalaction.com.br/content/24-repetitividade-e-reprodutibilidade
http://www.portalaction.com.br/1397-241-modelo-da-anova
http://www.portalaction.com.br/1399-242-modelo-da-anova-sem-intera%C3%A7%C3%A3o-entre-pe%C3%A7-e-operador
http://www.portalaction.com.br/1400-243-modelo-da-anova-sem-operador
http://www.portalaction.com.br/1398-242-curvas-de-desenpenho
http://www.portalaction.com.br/content/25-an%C3%A1lise-gr%C3%A1fica-do-rr
http://www.portalaction.com.br/content/3-an%C3%A1lise-de-sistema-de-medi%C3%A7%C3%A3o-n%C3%A3o-replic%C3%A1veis
http://www.portalaction.com.br/content/3-an%C3%A1lise-de-sistema-de-medi%C3%A7%C3%A3o-n%C3%A3o-replic%C3%A1veis
http://www.portalaction.com.br/content/31-estabilidade
http://www.portalaction.com.br/content/32-rr-n%C3%A3o-replic%C3%A1vel-m%C3%A9todo-hier%C3%A1rquicohttp://www.portalaction.com.br/content/4-sistema-de-medi%C3%A7%C3%A3o-por-atributo
http://www.portalaction.com.br/content/4-sistema-de-medi%C3%A7%C3%A3o-por-atributo
http://www.portalaction.com.br/930-41-m%C3%A9todo-anal%C3%ADtico
http://www.portalaction.com.br/930-41-m%C3%A9todo-anal%C3%ADtico
http://www.portalaction.com.br/931-411-estudo-do-sistema-de-medi%C3%A7%C3%A3o-do-tipo-atributo
http://www.portalaction.com.br/932-412-descri%C3%A7%C3%A3o-do-estudo-do-sistema-de-medi%C3%A7%C3%A3o-do-tipo-atributo
http://www.portalaction.com.br/935-413-m%C3%A9todo-anal%C3%ADtico-modelo-linear
http://www.portalaction.com.br/734-5-aplica%C3%A7%C3%B5es-do-msa
 5 - Aplicações do MSA 
 5.1 - Sistema de Medição de Dureza: HRC 
 5.2 - Medição da posição real em uma flange 
 5.3 - Sistema de medição visual 
 5.4 - Pesagem de materia-prima e MP 
 5.5 - Sistema de medição dimensional do Farol veicular 
 5.6 - Sistema de Medição para altura do rebite 
 5.7 - Sistema de medição de Torque aplicado com um torquímetro digital 
 6 - Apêndice 
 6 - Apêndice 
 6.1 - Distribuição t-Student 
 6.2 - Tabela de d2 
 7 - Referências 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.portalaction.com.br/734-5-aplica%C3%A7%C3%B5es-do-msa
http://www.portalaction.com.br/735-51-aplica%C3%A7%C3%A3o-1
http://www.portalaction.com.br/736-52-aplica%C3%A7%C3%A3o-2
http://www.portalaction.com.br/747-53-aplica%C3%A7%C3%A3o-3
http://www.portalaction.com.br/927-pesagem-de-materia-prima-e-mp
http://www.portalaction.com.br/1196-55-sistema-de-medi%C3%A7%C3%A3o-dimensional-do-farol-veicular
http://www.portalaction.com.br/1311-56-sistema-de-medi%C3%A7%C3%A3o-para-di%C3%A2metro-do-pino
http://www.portalaction.com.br/1587-57-torque-aplicado-com-um-torqu%C3%ADmetro-digital
http://www.portalaction.com.br/content/5-ap%C3%AAndice
http://www.portalaction.com.br/content/5-ap%C3%AAndice
http://www.portalaction.com.br/content/52-distribui%C3%A7%C3%A3o-t-student
http://www.portalaction.com.br/content/51-tabela-de-d2
http://www.portalaction.com.br/content/6-refer%C3%AAncias
1 - Análise dos Sistemas de Medição 
Dados de medição tem sido utilizados nas mais diferentes maneiras. A decisão de 
ajustar ou não um processo de fabricação é baseada em dados de medição. Dados 
de medição ou dados derivados destes são comparados aos limites de Controle 
Estatístico do Processo. Caso esta comparação indicar que o processo está fora do 
controle estatístico, algum tipo de ajuste deverá ser feito. Caso contrário, o 
processo poderá prosseguir sem ajustes. 
Outra importante utilização de dados de medição é em planejamento de 
experimentos. Um planejamento de experimentos permite conhecer o efeito de 
diferentes fatores que podem variar dentro de um processo, como por exemplo: 
matéria prima, condições de operação, tipos de ajustes de máquinas, entre outros. 
Neste caso, a análise do efeito destes fatores dependem de dados de medições de 
uma peça, por exemplo. Em geral, estudos que exploram esta relação são 
denominados pelo Dr. W. E. Deming de estudos analíticos. O estudo analítico é 
aquele que aumenta o conhecimento sobre o sistema de causas que afetam o 
processo. Estes estudos estão entre as mais importantes aplicações de dados de 
medição, visto que recentemente eles têm conduzido ao melhor entendimento de 
produtos e processos. 
Os benefícios obtidos com a utilização de procedimentos baseados em dados são 
diretamente determinados pela qualidade dos dados de medição utilizados. Se a 
qualidade for baixa, o benefício do procedimento provavelmente será baixo. De 
maneira similar, se a qualidade for alta, o benefício deverá ser alto também. Desta 
forma, devem ser tomados os devidos cuidados na obtenção dos dados, pois o 
benefício decorrente da utilização destes dados devem superar os custos de sua 
obtenção. 
A qualidade dos dados de medição está relacionada com as propriedades 
estatísticas de medições múltiplas obtidas pelo sistema de medição. Suponhamos 
que um sistema de medição que está operando sob condições estabilizadas seja 
utilizado para coleta de várias medições de uma certa característica de uma peça. 
Se as medidas obtidas estiverem todas “próximas” do valor de referência, então a 
qualidade dos dados será dita “alta”. Da mesma forma, se algumas ou todas as 
medidas estiverem “afastadas” do valor de referência, então a qualidade dos dados 
será considerada baixa. 
As propriedades estatísticas mais utilizadas para caracterizar a qualidade dos dados 
são tendências e variâncias. A propriedade chamada tendência refere-se à 
localização dos dados com relação ao valor de referência, a propriedade chamada 
de variância refere-se à dispersão dos dados. Porém, outras propriedades 
estatísticas, como a taxa de classificação incorretas, poderão ser apropriadas em 
alguns casos, como os sistemas de medição por atributo. 
Uma das razões mais comuns que gera dados de baixa qualidade é a variação muito 
grande dos dados. Grande parte da variação em um conjunto de medições é devido 
à interação entre o sistema de medição e o seu meio. Se esta interação gerar 
variação muita alta, a qualidade dos dados poderá ser tão baixa que eles não terão 
utilidade. 
Boa parte do trabalho de gestão de sistemas de medição visa monitorar e controlar 
variações. Dentre outras coisas, isto significa que devemos conhecer a forma como 
o sistema de medição interage com seu ambiente, de modo que sejam gerados 
somente dados de qualidade aceitável. 
1.1 - Sistema de Medição 
O principal ponto para análise consiste em interpretarmos o sistema de medição 
como um processo. Desta forma, é importante ressaltarmos que não estamos 
avaliando simplesmente os equipamentos, mas o processo no qual utilizamos os 
equipamentos, o método e as pessoas para obtermos o resultado da medição. 
Sistema de Medição: É a coleção de instrumentos ou dispositivos de medição, 
padrões, operações, métodos, dispositivos de fixação, software, pessoal, ambiente 
e premissas utilizadas para quantificar a unidade de medição ou corrigir a avaliação 
de uma característica sendo medida; o processo completo para obter medições. 
 
Medição é o conjunto de operações com objetivo de determinar o valor de uma 
grandeza. Estas operações podem ser realizadas automaticamente. (ISO GUM, 
2008). 
 
http://www.portalaction.com.br/content/6-referências
 
Figura 1.1.1: Sistema de medição 
 
O objetivo de uma medição é determinar o valor de uma grandeza a ser medida. Esta medição 
começa com uma apropriada especificação da grandeza, do método e procedimento de 
medição. 
 
Exemplo 1.1.1: 
Considere um sistema de medição para medir o diâmetro de um conector de torneira com 
tolerância de +/- 0,5 mm. 
 
 Figura 2: Medição de um conector de torneiras 
 
Antes de qualquer análise estatística devemos obter uma boa definição do sistema de 
medição. Abaixo, apresentamos de forma simplificada o sistema de medição para medir o 
diâmetro do conector. 
Definição do sistema de medição: 
 Equipamento de medição: paquímetro digital de resolução 0,01mm; 
Observe que o equipamento de medição (paquímetro) apresenta uma resolução 
adequada para a característica que vamos medir, pois temos uma tolerância de +/- 
0,5 mm, o que corresponde a uma faixa de 1 mm. Ao dividirmos a tolerância por 
10, obtemos que a exatidão mínima requerida é de 0,1 mm. Como o paquímero 
digital tem resolução de 0,01 mm, concluímos que este é adequado para realizar 
tal medição. 
Método de medição: 
 Posicionar o paquímetro no centro do conector; 
 
Figura 1.1.2 : método de medição 
 Executar a medida 
 
Erro de Medição 
 
Toda medição tem imperfeições que dão origem a erros no resultado da medição. 
Tradicionalmente, um erro é visto como tendo dois componentes, a saber, um 
componente aleatório e um componente sistemático. 
Um sistema de medição ideal produziria somente medições “corretas” a cada vez 
que fosse utilizado. No entanto,sistemas de medição com tal propriedade não 
existem. O erro de medição é definido por: 
 
 
Figura 4: Erro de medição 
Erro é um conceito idealizado e os erros não podem ser conhecidos exatamente. Na 
prática, associamos uma variável aleatória (por exemplo, a distribuição normal) 
para representar o erro de medição. 
 
Figura 1.1.3: Erro de medição 
 Incerteza: σ ; 
 RR: σ . 
Não confundir σ com erro! 
Em geral, existe uma certa confusão entre o significado de RR e a incerteza de 
medição. A incerteza de medição é um termo utilizado internacionalmente para 
descrever a qualidade de uma medida. Até alguns anos atrás, este termo era 
frequentemente associado com a qualidade de equipamentos de medição. 
Entretanto, devido a importância de alguns ensaios, o conceito de incerteza de 
medição foi estendido para estabelecer a qualidade dos ensaios. 
A incerteza de medição é um valor associado ao resultado da medição que descreve 
uma faixa no qual esperamos conter o valor verdadeiro da medida, com um 
determinado nível de confiança. 
No processo de calibração, no qual avaliamos um equipamento de 
medição, a incerteza de medição corresponde ao desvio padrão (ou, múltiplo dele) 
associado às medições do equipamento de medição obtidas sob condições ideiais de 
medição (calibração). Na calibração, o equipamento é comparado com respeito a 
um padrão de referência em um laboratório com condições ambientais controladas. 
Além disso, utilizamos um técnico devidamente capacitado para realizar tal 
comparação. 
Em um ensaio, devemos considerar o sistema de medição como um processo, no 
qual temos os equipamentos, métodos, software, pessoal, tudo envolvido na 
medição. O RR tem como objetivo quantificar a variabilidade associada às 
medições do sistema de medição (equipamentos, método e pessoal) obtidas sob 
condições reais de utilização do sistema de medição. 
Assim, podemos interpretar a incerteza em uma calibração como a incerteza 
devido aos equipamento que utilizamos, enquanto que o RR caracteriza as 
variações devido às interações do sistema de medição com o meio em que está 
inserido (principalmente, o método, pessoas, meio ambiente, produto, entre 
outros). De forma geral, a incerteza de medição detemina um intervalo de 
confiança associado ao resultado da medição, enquanto que o RR se preocupa em 
avaliar as fontes de variação e determinar adequabilidade do sistema de medição 
para controlar o processo ou avaliar um produto. Quando estudamos um ensaio, 
muitas vezes utilizamos técnicas como o RR para auxiliar na determinação da 
incerteza de medição. 
Tipos de Erros: 
Dois tipo de erros serão característicos deste estudo: 
Erro Aleatório 
O erro aleatório é aquele que ocorre de forma inesperada e com intensidade que 
danifica nossas medições. Este erro representa as pequenas variações que ocorrem 
em medidas repetidas de uma grandeza. Estas variações tem como causa, 
alterações ambientais ou espaciais, variação devido ao equipamento de medição, 
interferência elétrica entre outras. Embora não seja possível compensar o erro 
aleatório, ele pode geralmente ser reduzido se aumentarmos o número de 
observações ou se melhorarmos a tecnoclogia do sistema de medição (melhor 
ambiente, novos equipamentos ou treinamento dos técnicos). Interpretamos o erro 
aleatório como uma vairável aleatória com média zero. 
Erro Sistemático 
O erro sistematico é aquele que ocorre em todas as medições mais ou menos com a 
mesma intensidade. Assim como o erro aleatório, o erro sistematico não pode ser 
eliminado, porém ele, freqüentemente, pode ser reduzido. Suponha que um erro 
sistemático se origina de um efeito reconhecido de uma grandeza de influência em 
um resultado de medição. Se este efeito pode ser quantificado e, se for 
significativo com relação à exatidão requerida da medição, uma correção ou fator 
de correção pode ser aplicado para compensar o efeito. Supomos que, após esta 
correção, a esperança ou valor esperado do erro sistemático seja zero. 
 
Abaixo apresentamos o diagrama de Ishikawa (espinha de peixe) para descrever os 
principais componentes do erro de medição: 
 
Figura 1.1.4 : Diagrama de Ishikawa 
Exemplo 1.1.2: 
Descrição dos principais componentes do erro de medição para o sistema de 
medição do diâmetro do conector de torneira. 
 
Figura 1.1.5 : Diagrama de Ishikawa para o conector de torneira 
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
 
 
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar: 
 
 
 
 
 
 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o 
manual do usuário. 
 
Requisitos de um sistema de medição 
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/ishikawa.xls
http://www.portalaction.com.br/content/content/estabilidade-replic%C3%A1vel
http://www.portalaction.com.br/content/content/estabilidade-replic%C3%A1vel
http://www.portalaction.com.br/content/gráfico-de-ishikawa
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/ishikawa.xls
http://www.portalaction.com.br/content/gráfico-de-ishikawa
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/ishikawa.xls
http://www.portalaction.com.br/content/gráfico-de-ishikawa
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/ishikawa.xls
http://www.portalaction.com.br/content/gráfico-de-ishikawa
 
Um sistema de “má qualidade” poderá mascarar a variação real do processo ou 
produto conduzindo a conclusões erradas: 
 
Figura 1.1.6: Sistema de “má qualidade” 
Existem certas propriedades fundamentais que definem um bom sistema de 
medição: 
 
 Uma adequada discriminação ou sensibilidade. O incremento de medida deve ser 
pequeno o suficiente para detectar variações no processo ou nos limites de 
especificação. A regra comum é conhecida como regra do dez, que consiste em 
definir a discriminação do sistema de medição dividindo a tolerância (ou variação 
do processo) em 10 partes. 
 O sistema de medição deve estar sob controle estatístico. Isto significa que sob 
condições de repetitividade, as variações do sistema de medição são devidas à 
causas comuns e não à causas especiais. 
 Para controle de produto, a variabilidade do sistema de medição deve ser pequena 
comparada com limites de especificação. Comparar a variabilidade do sistema de 
medição com as tolerâncias do produto. 
 Para controle do processo, a variabilidade do sistema de medição deve demonstrar 
uma resolução efetiva e pequena comparada com a variação do processo de 
manufatura. Comparar a variabilidade do sistema de medição com 6-sigma da 
variação do processo e/ou variação total. 
 
 
Figura 1.1.7: Avaliação do erro de medição 
 
1.2 - Planejamento e Estratégia 
Nem toda característica do processo ou produto requer uma análise detalhada 
como a que estamos desenvolvendo. Para sistemas de medição simples, como os 
sistemas determinados por paquímetros, micrômetros ou calibradores, muitas vezes 
não requerem uma análise detalhada. A regra básica para escolher o sistema a ser 
avaliado é se este é identificado no plano de controle ou é importante para 
determinar a rejeição ou não do processo ou produto. Outro indicativo é o nível de 
tolerância determinado para a dimensão específica e a criticidade perante ao 
cliente. Porém, 
o bom senso é o guia em qualquer caso. 
 
http://www.estatcamp.com.br/portal/pt-br/content/planejamento-e-estrat%C3%A9gia
http://www.estatcamp.com.br/portal/pt-br/content/planejamento-e-estrat%C3%A9gia
Diretrizes para análise do sistema de medição 
 
 • Discriminar as grandezas relacionadas nos planos de controle; 
 • Identificar os sistemas de medição 
 • Definir as prioridades 
 - Cliente 
 - Refugo 
 - Complexidade 
 • Identificar uma equipe multifuncional 
 • Para cadasistema de medição priorizado: 
 - Desenvolver um fluxograma do processo de medição; 
 - Treinar os envolvidos; 
 - Desenvolver o diagrama de Ishikawa; 
 - Escolher as ferramentas estatísticas; 
 - Montar um cronograma de aplicação das ferramentas; 
 - Documentar as soluções e as correções; 
 - Institucionalizar a mudança. 
 
 
 
Modelo de Erro de medição 
 
Fontes de Erro Componentes Fator ou Parâmetro 
 P Peças 
Peça, Amostra, Mensurando, Unidade sobre 
Teste, Artefato, Padrão de Variação 
 Desconhecido 
I Instrumento 
Equipamento de Medição, Unidade de Medição, Célula de 
Medição 
 Meios de Comparação 
S Padrão 
Escala, Referência, Artefato, Padrão de Verificação,Padrão 
de Consenso, Material Padrão, Classe,Critério de Aceitação 
 Valor de Referência ou 
Critério de Aceitação 
M Método 
 Treinamento On-the-job, Instrução de Trabalho,Plano de 
Controle, Método, Plano de Inspeção,Programa de Teste 
 Como 
O Operador 
Instrumentista, Técnico de Teste ou 
Calibração, Inspetor 
 Quem 
E 
Meio 
Ambiente 
 Temperatura, Umidade, Contaminação, 
Housekeeping,Iluminação, Posição, Vibração, 
InterferênciaEletromagnética, Ruído, Tempo e Ar 
 Condições de Medição 
e Ruído 
A Concepção 
 Estatística, Operacional, Calibração, Constantes,Valor de 
Handbook, Estabilidade Térmica,Elasticidade 
 Medição Confiável 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 - Sistema de Medição Replicável 
O sistema de medição replicável é aquele para o qual podemos medir diversas 
vezes a mesma característica de uma peça sem danificá-la. Por exemplo, o sistema 
de medição do diâmetro do conector de torneiras é replicável, pois podemos medir 
o mesmo conector diversas vezes sob condições de repetitividade. 
 
2.1 - Estabilidade 
Definições 
Estabilidade é a quantidade de variação total na tendência do sistema ao longo do 
tempo em uma dada peça ou peça padrão. Antes de estudarmos qualquer 
propriedade estatística do sistema de medição, vamos analisar a capacidade do 
sistema manter tais propriedades ao longo do tempo. O objetivo da estabilidade 
consiste em avaliarmos: 
 A interação do sistema de medição e o meio ambiente; 
 Desgaste de componentes; 
 Ajuste de dispositivos e sensores. 
 
Diretrizes para sistema replicável 
 Selecionar e identificar uma peça; 
 Preparar formulário para coleta de dados e diário de bordo (data, 
horário,operador, equipamento de medição); 
 Medir periodicamente (diário, semanal, quinzenal ou mensal) a peça com 3 a 5 
medições por vez (subgrupo racional); 
 Após 20 ou mais sub-grupos racionais, construir o gráfico e R, conforme descrito 
abaixo. 
 
Tabela 
Limites dos Gráficos 
N
o
 de element. 
amostra (n) 
A2 D3 D4 
Gráfico das Médias 2 1,880 0 3,267 
LSC = Limite Superior = + A2R 3 1,023 0 2,574 
LC = Limite Central = 4 0,729 0 2,282 
LIC = Limite Inferior = - A2 5 0,577 0 2,114 
Gráfico das Amplitudes R 6 0,483 0 2,004 
LSC = Limite Superior = D4 7 0,419 0,076 1,924 
LC = Limite Central = 8 0,373 0,136 1,864 
LIC = Limite Inferior = D3 9 0,337 0,184 1,816 
 10 0,308 0,223 1,777 
 
Critérios de Avaliação 
Analisar os gráficos e R. Primeiramente o gráfico R e na sequencia o gráfico : 
 Pontos fora dos limites de controle. 
 7 ou mais pontos consecutivos crescentes ou decrescentes. 
 7 ou mais pontos consecutivos acima ou abaixo da linha média. 
Caso os gráficos e R estejam fora de controle, investigar as causas e estabelecer 
ações corretivas. 
 Se o processo apresentar falta de estabilidade, identifique as causas, estabeleça 
ação corretiva. Repita o estudo de estabilidade; 
 Se o processo for estável, prossiga com o estudo do sistema de medição; 
 Se não for possível estabilizar o processo de medição, realizar os estudos ao longo 
do tempo para identificar as variações de longo prazo. 
 
Discriminação do sistema de medição no estudo de estabilidade 
 
Capacidade do sistema de medição de detectar e indicar de forma confiável, 
pequenas variações da grandeza que está sendo medida. 
Uma forma de quantificar o poder discriminador é expressando a menor variação da 
grandeza que o sistema de medição pode detectar. 
Critério de avaliação: 
Verificar se o gráfico de controle R não apresenta muitas amplitudes iguais a zero 
(acima de 30 %). Caso isso ocorra, existe uma boa evidência de que o equipamento 
de medição não tem resolução adequada para esta medição. Neste caso, faça uma 
análise crítica. 
 
Exemplo 2.1.1 
O técnico de processo deve realizar um estudo sobre a estabilidade do sistema de 
medição para avaliar o diâmetro de uma barra de aço com um micrômetro. O 
técnico selecionou 1 peça, que foi medida em uma frequência diária e tamanho de 
sub-grupo 3, por um avaliador. Os valores estão na Tabela 1. 
Tabela 2.1.1: Diâmetros da barra de aço 
Data Horário 
Medidas 
1 2 3 
6/ago 09:15 4,202 4,201 4,202 
13/ago 16:35 4,201 4,202 4,203 
20/ago 14:13 4,199 4,198 4,200 
27/ago 09:40 4,200 4,201 4,201 
4/set 15:28 4,200 4,201 4,200 
11/set 10:39 4,202 4,201 4,200 
19/set 15:10 4,200 4,201 4,200 
25/set 09:25 4,200 4,199 4,199 
1/out 15:40 4,198 4,199 4,199 
8/out 09:25 4,200 4,202 4,200 
16/out 16:10 4,202 4,203 4,203 
24/out 10:05 4,201 4,202 4,201 
1/nov 13:40 4,199 4,199 4,198 
8/nov 14:55 4,200 4,200 4,201 
14/nov 11:00 4,199 4,198 4,199 
22/nov 15:50 4,200 4,199 4,200 
29/nov 09:42 4,201 4,201 4,200 
7/dez 08:20 4,199 4,200 4,199 
12/dez 15:30 4,200 4,201 4,199 
20/dez 11:05 4,199 4,199 4,200 
28/dez 15:30 4,201 4,200 4,199 
4/jan 16:00 4,200 4,200 4,202 
10/jan 15:15 4,203 4,204 4,203 
15/jan 16:00 4,204 4,203 4,203 
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
 
 
Dos dados da tabela tomamos a média dos valores da coluna Média e a média dos 
valores da coluna Amplitude e obtemos = 4,200486 e = 0,001292 
Os limites de controle são calculados da seguinte forma: Gráfico R 
Como temos 3 elementos em nossa amostra, obtemos um valor de D3 = 0 e D4 = 
2,574, com isso: 
 
LSC = 2,574*0,001292 = 0,003325 
LIC = 0*0,001292 = 0 
 
Gráfico 
Tamanho da amostra n = 3, A2 = 1,023, obtemos os seguintes limites de controle: 
LSC = 4,200486+1,023*0,001292 = 4,201807 
LIC = 4,200486 -1,023*0,001292 = 4,199165 
 
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/Estabilidade1.xls
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/Estabilidade1.xls
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/Estabilidade1.xls
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/Estabilidade1.xls
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/Estabilidade1.xls
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/Estabilidade1.xls
 
 
A interpretação do estudo de estabilidade não é simples e exige um bom 
conhecimento sobre a necessidade do sistema de medição. No caso acima, 
observamos que o sistema de medição apresenta alguns sintomas de instabilidade, 
temos 8 pontos consecutivos abaixo da linha central no gráfico da amplitude e 
diversos pontos fora dos limites de controle no gráfico da média. Porém, devemos 
avaliar os resultados com bastante cuidado. Primeiro, observamos que a amplitude 
média de 0,0012mm está muito próxima da resolução do equipamento e tem como 
limite superior 0,003 mm, que em geral, é similar ao erro máximo permissível 
para avaliar o certificado de calibração deste tipo de equipamento. Segundo, a 
maior diferença entre as médias de medições da barra de metal foi 0,004mm, no 
qual temos contribuições da falta de homogeneidade da barra (ovalização). 
Resumindo, temos sintomas de instabilidade na aplicação do sistema de medição, 
porém, esta instabilidade resulta em variações de no máximo 0,004mm. Portanto, 
a aceitabilidade ou não do sistema de medição deve levar em conta a aplicação e anecessidade de medições mais ou menos criteriosas. Dependendo da aplicação do 
sistema de medição, podemos aceitar ou não este sistema de medição. Se 
rejeitarmos este sistema de medição, precisamos de um plano de ação para 
eliminarmos as causas especiais. Caso contrário, aceitamos a instabilidade do 
sistema como desprezível. 
 
 
 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o 
manual do usuário. 
 
Exemplo 2.1.2 
http://www.portalaction.com.br/content/content/estabilidade-replic%C3%A1vel
http://www.portalaction.com.br/content/content/estabilidade-replic%C3%A1vel
http://www.portalaction.com.br/content/estabilidade-replicável
http://www.portalaction.com.br/content/estabilidade-replicável
http://www.portalaction.com.br/content/estabilidade-replicável
O técnico de processo deve realizar um estudo sobre a estabilidade do sistema de 
medição para avaliar o diâmetro interno do bloco compressor no processo de 
usinagem (Brunidora). O técnico selecionou 1 peça, que foi medida em uma 
frequência diária e tamanho de sub-grupo 3, por um avaliador. Os valores estão na 
Tabela 2. 
Tabela 2.1.2: Diâmetros interno do bloco 
Data Horário Medida 1 Medida 2 Medida 3 
 12/8/2011 08:00 85,011 85,012 85,012 
 12/8/2011 14:30 85,011 85,011 85,011 
 13/8/2011 02:40 85,010 85,011 85,010 
 13/8/2011 10:30 85,009 85,010 85,011 
 15/8/2011 08:25 85,010 85,011 85,011 
 15/8/2011 14:35 85,011 85,011 85,010 
 16/8/2011 02:10 85,010 85,011 85,010 
 16/8/2011 10:10 85,011 85,012 85,012 
 16/8/2011 15:30 85,009 85,009 85,009 
 17/8/2011 02:45 85,012 85,011 85,012 
 17/8/2011 17:30 85,010 85,009 85,009 
 18/8/2011 05:10 85,012 85,012 85,011 
 18/8/2011 10:30 85,011 85,011 85,010 
 18/8/2011 16:30 85,010 85,009 85,008 
 19/8/2011 21:15 85,009 85,010 85,009 
 22/8/2011 09:40 85,010 85,009 85,010 
 22/8/2011 18:00 85,011 85,011 85,011 
 22/8/2011 02:30 85,012 85,011 85,011 
 23/8/2011 17:40 85,009 85,009 85,009 
 23/8/2011 02:45 85,010 85,011 85,011 
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
 
Dos dados da tabela tomamos a média dos valores da coluna Média e a média dos 
valores da coluna Amplitude e obtemos = 85,0104 e = 0,0009 
Os limites de controle são calculados da seguinte forma: Gráfico R 
Como temos 3 elementos em nossa amostra, obtemos um valor de D3 = 0 e D4 = 
2,574, com isso: 
 
LSC = 2,574*0,0009 = 0,00232 
LIC = 0*0,0009 = 0 
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/Exemplo212.xls
 
 
Gráfico 
 
Tamanho da amostra n = 3, A2 = 1,023, obtemos os seguintes limites de controle: 
LSC = 85,0104+1,023*0,0009 = 85,0114 
LIC = 85,0104 -1,023*0,0009 = 85,0095 
 
 
Interpretação: Observe que temos diversos pontos de fora de controle no gráfico 
da média, isto quer dizer que temos causas especiais de variação agindo no sistema 
de medição. Porém, observe que os pontos abaixo estão em torno de 85,009 mm e 
os pontos acima estão em torno de 85,0120 mm, o que significa uma variaçao 
máxima de 3 microns. Portanto, a decisão sobre a aceitabilidade deste sistema de 
medição depende da aplicação do sistema de medição. 
 
 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o 
manual do usuário. 
2.2 - Tendência 
 
Definições 
Tendência é a diferença entre a média das medidas de uma grandeza e o valor de 
referência para a grandeza medida, realizadas por um avaliador com o mesmo 
equipamento e método 
 
Diretrizes para estudo de tendência: 
 Selecionar um item da produção cuja medida caia na faixa central da variação do 
processo; 
 Determinar o valor de referência do item escolhido em relação a um padrão 
rastreável. Aqui, podemos utilizar laboratórios externos, como os laboratórios 
acreditados no INMETRO (VR); 
 Um avaliador, treinado no uso do sistema de medição que está sendo analisado, 
mede o item 10 vezes ou mais (o MSA sugere 12); 
http://www.portalaction.com.br/content/content/estabilidade-replic%C3%A1vel
http://www.portalaction.com.br/content/content/estabilidade-replic%C3%A1vel
http://www.portalaction.com.br/content/estabilidade-replicável
http://www.portalaction.com.br/content/estabilidade-replicável
http://www.portalaction.com.br/content/estabilidade-replicável
 Calcular a média das medições (x) e a tendência; 
 
 
Exemplo 2.2.1: 
 
Vamos avaliar a tendência de um sistema de medição para medir a altura de um 
"MP3 Player", com tolerância de 0,7 mm. Esta altura é medida com um altímetro. 
Um “MP3 Player” foi selecionado (próximo ao valor nominal) e, após 10 medições 
realizadas por uma máquina de medição por coordenadas, foi determinado o valor 
de referência VR = 89,73 mm. A seguir, o mesmo “MP3 Player” foi medido 12 vezes 
com o sistema de medição em análise. Os dados são: 
Amostra Medidas 
1 89,77 
2 89,79 
3 89,77 
4 89,78 
5 89,74 
6 89,72 
7 89,72 
8 89,75 
9 89,74 
10 89,77 
11 89,78 
12 89,74 
VR 89,73 
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
 
 
A partir destes dados temos que: 
a) Média = 89,7558 mm 
b) Tendência = (média) - (valor de referência) = 89,7558 - 89,73 = + 0,0258 mm 
Devemos interpretar que em média, os valores medidos por esse avaliador com esse 
instrumento e esse método são superiores ao valor de referência em 0,0258 mm. 
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/Tendencia1.xls
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/Tendencia1.xls
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/Tendencia1.xls
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/Tendencia1.xls
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/Tendencia1.xls
Para realizarmos a análise da tendência, precisamos validar a variabilidade 
associada com a repetitividade (o desvio padrão dos dados), para isto calculamos 
 
no qual s é o desvio padrão dos dados e a variação total VT é baseada na variação 
do processo (preferível) ou na tolerância do processo dividida por 6. Se a %VE for 
alta (ver tabela acima), então o sistema de medição pode ser inadequado. Desde 
que a análise de tendência admite que a repetitividade é aceitável, continuar com 
a análise pode nos levar a um resultado contraditório ou errado, isto é, a análise 
pode indicar uma tendência estatisticamente nula, enquanto que seu valor 
absoluto pode ultrapassar o que é aceitável para o equipamento. Neste ponto, o 
MSA quarta edição sugere como critério para analisar a %VE o mesmo utilizado para 
análise do RR. 
 
Critério para avaliar a tendência 
a) Intervalo de Confiança 
A tendência é aceitável ao nível de significância a se o zero pertencer ao intervalo 
de confiança (1 - ) * 100% com limites: 
 
 
 
 
no qual corresponde ao quantil da distribuição t-Student. Aqui, 
utilizamos um nível de significância de 5 %. 
b) Teste de Hipóteses 
Equivalentemente, podemos realizar o seguinte teste de hipóteses para avaliar a 
tendência: 
 
 
Para isso, note que a estatística t dada por: 
 
 
sendo s o desvio padrão das medidas, n o número de medidas e tn-1 a distribuição t-
Student com n-1 graus de liberdade. 
Portanto, obtemos a seguinte regra de decisão para um nível de significância α 
http://www.portalaction.com.br/content/52-distribuição-t-student
 Se |t| > t(n-1;1- /2) rejeitamos H0, ou seja, a tendência é significativa do ponto de 
vista estatístico; 
 Se |t| ≤ t(n-1;1- /2) não rejeitamos H0, ou seja, a tendência não é significativa do 
ponto de vista estatístico. 
A Figura 2.2.1 ilustra a região crítica do teste, isto é, os valores de t para os quais 
rejeitamos H0. 
 
Figura 2.2.1: Região de rejeição. 
c) P-valor 
O P-valor representa o menor nível de significância para o qual rejeitamos . 
Logo, para um nível de significância = 0,05 adotado, rejeitamos se o P-valor 
obtido for menor que 0,05, enquanto que não rejeitamos se o P-valor for maior 
que 0,05,esse fato observamos na (Figura 2.2.2). Para o teste t, o P-valor é 
calculado na forma 
p - valor = 2 x P(tn -1 > |t|) 
Com isso, rejeitamos H0 quando o p-valor for menor que o nível de significância 
proposto (usualmente 0,05), caso contrário (p-valor > ) não rejeitamos H0. 
http://www.portalaction.com.br/content/22-tend%C3%AAncia#fig1
http://www.portalaction.com.br/content/22-tend%C3%AAncia#fig2
 
Figura 2.2.2: P-valor. 
Exemplo 2.2.2 
Considerando os dados do Exemplo 2.2.1 e um valor de igual a 0,05, temos que: 
n = 12 
s = 0,02392 
t(n-1;1 - /2) = t(11;0,975) = 2,201. 
Neste exemplo, vamos utilizar a tolerância do processo para determinar a variação 
total (VT). Ao dividirmos a tolerância por 6, obtemos que 
 
 
Como s = 0,02392, temos que a %VE do processo é dada por 
 
 
Desde que a %VE é baixa, temos uma variabilidade aceitável. 
Com isso, o intervalo de confiança com 95% de confiança para a tendência é obtido 
atráves dos limites inferior (LI) e superior (LS): 
 
 
 
 
Conclusão: Como zero não faz parte do intervalo, a tendência encontrada (0,0258 
mm) é significativa ao nível 5%. 
Equivalentemente, podemos realizar o teste para a hipótese H0 : Tendência = 0. 
Para testar esta hipótese, tomamos 
 
 
http://www.portalaction.com.br/22-tendência
Como t = 3,741 > t(n-1;1- /2) = 2,201, rejeitamos a hipótese H0, ou seja, a tendência 
é diferente de zero com nível de confiança de 95%. A hipótese H0 também pode ser 
avaliada pelo p-valor, que é calculado como: 
p-valor = 2 x P(tn-1 > |t|) = 2 x (1 - P(t11 > 3,741)) = 0,00325. 
Como o p-valor é menor que o adotado (0,05), rejeitamos H0 ao nível de 
significância de 5%. 
Interpretação dos resultados: Como sempre, devemos conhecer a aplicação do 
sistema de medição para realizarmos uma boa análise crítica. Neste caso, temos 
uma tendência de 0,0258 mm com limite superior de 0,041mm (intervalo de 
confiança para a tendência). O equipamento utilizado para medição é um 
altímetro digital de resolução de 0,01mm. Este equipamento apresenta incerteza 
de medição em torno de 0,03mm com exatidão (especificação do fabricante) 
também em torno de 3 centéssimos de milímetro. Observe que a exatidão proposta 
pelo fabricante está acima da tendência encontrada e próxima do limite superior 
(0,041 mm). Além disso, temos uma tolerância para a peça de 0,7 mm. 
Obviamente, temos uma oportunidade de melhoria, pois o zero está fora do 
intervalo de confiança. Porém, a necessidade de um plano de ação depende da 
necessidade de medidas mais ou menos precisas, ou seja, depende da aplicação do 
sistema de medição. 
Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action para o mesmo exemplo. 
 
 
 
 
 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o 
manual do usuário. 
Análises da tendência 
Se a tendência for relativamente grande, procure por estas possíveis causas: 
1. Erro na medida da peça padrão; 
2. Componentes gastos; 
3. Dispositivo de medição feito para dimensão errada; 
4. Dispositivo de medição medindo característica errada; 
5. Dispositivo de medição calibrado inadequadamente; 
6. Dispositivo de medição utilizado de maneira imprópria pelo avaliador. 
 
Exemplo 2.2.3: 
 Um engenheiro está avaliando um novo sitema de medição para monitorar um 
processo. Uma análise do sistema de medição indicou que não deve haver 
preocupação com a linearidade, pois a faixa de interesse é pequena. Uma única 
http://www.portalaction.com.br/content/tendência
http://www.portalaction.com.br/content/tendência
http://www.portalaction.com.br/content/tendência
peça foi escolhida de tal forma que esteja próxima ao valor nominal dos processos. 
A peça foi medida por um sistema de medição sofisticado para determinar seu valor 
de referência (reference value = 6). A peça foi então medida 15 vezes por um 
operador e o valor da variabilidade total do processo é de 2,5, este valor será 
utilizado para validar a repetitividade do sistema de medição. Os valores são dados 
na tabela abaixo. 
Trials Measurement Tendência 
1 5,8 -0,2 
2 5,7 -0,3 
3 5,9 -0,1 
4 5,9 -0,1 
5 6,0 0,0 
6 6,1 0,1 
7 6,0 0,0 
8 6,1 0,1 
9 6,4 0,4 
10 6,3 0,3 
11 6,0 0,0 
12 6,1 0,1 
13 6,2 0,2 
14 5,6 -0,4 
15 6,0 0,0 
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
 
n = 15 
s = 0,212 
 
 
 
Como s = 0,212, temos que a %VE do processo é dada por 
 
 
Desde que a %VE é baixa, temos uma variabilidade aceitável. 
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/exemplo2.2.3.xls
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/Tendencia1.xls
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/Tendencia1.xls
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/Tendencia1.xls
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/Tendencia1.xls
Com isso, o intervalo de confiança com 95% de confiança para a tendência é obtido 
atráves dos limites inferior (LI) e superior (LS): 
 
 
 
 
 
Conclusão: Como zero faz parte do intervalo, a tendência encontrada (0,006667 
mm) não é significativa ao nível 5%. 
Equivalentemente, podemos realizar o teste de hipóteses para H0 : Tendência = 0. 
Para testar esta hipótese, tomamos 
 
 
Como não rejeitamos a hipótese H0, ou seja, a 
tendência é desprezível ao nível de confiança de 95%. A hipótese H0 também pode 
ser avaliada pelo p-valor, que é calculado como: 
p-valor = 2 x P(tn-1 > |t|) = 2 x (1 - P(t14 > 0,12178)) = 0,9048. 
Como o p-valor é maior que o adotado (0,05), não rejeitamos H0 ao nível de 
significância de 5%. 
Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action para o mesmo exemplo. 
 
 
 
 
 
 
 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o 
manual do usuário. 
 
 
Exemplo 2.2.4 
Uma medida dimensional é controlada com um sistema de medição utilizando um 
micrômetro de resolução 0,002 mm. A especificação desta característica 
dimensional é 13,000 0,020 mm. O avaliador quer saber se o sistema de medição 
apresenta tendência. Para isto, ele escolheu uma peça cuja medida é próxima ao 
valor nominal (13,000 mm), com a peça sendo medida através de um sistema de 
medição com um banco micrométrico de resolução de 0,0005 mm. Foram 
realizadas várias medidas da peça com o banco micrométrico obtendo uma média 
http://www.portalaction.com.br/content/tendência
http://www.portalaction.com.br/content/tendência
http://www.portalaction.com.br/content/tendência
http://www.portalaction.com.br/content/tendência
de 13,001 mm. A seguir, fazemos 12 leituras da mesma peça com o sistema de 
medição utilizando o micrômetro. 
Leituras 
13,002 
13,002 
13,004 
13,002 
13,004 
13,002 
13,004 
13,002 
13,000 
13,000 
13,000 
13,002 
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
 
Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action para o mesmo exemplo. 
 
 
 
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/Tendencia2.xls
 
Interpretação dos Resultados: Desde que o zero está fora do intervalo de 
confiança temos uma tendência significativa (de 0,001mm, com limite superior de 
0,00194 mm) ao nível de confiança de 95%. O equipamento utilizado no sistema de 
medição é um micrômetro de resolução de 0,002mm com incerteza de medição em 
torno de 0,003 mm. Observe que o equipamento atende ao requisito do MSA de boa 
discriminação, pois ao dividirmos a tolerância (0,04 mm) por 10 obtemos como erro 
máximo permissível 0,004 mm, tanto a resolução quanto a incerteza estão abaixo 
de 0,004mm. Nesta situação, no qual o limite superior para a tendência está 
abaixo da resolução do instrumento e o instrumento apresenta discriminação 
adequada, concluímos que a tendência detectada é desprezível. 
 
 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o 
manual do usuário. 
2.3 - Tendênciae Linearidade 
A linearidade mede a variação da tendência para diferentes valores de referência 
na faixa de interesse. A linearidade é avaliada via a inclinação da reta formada 
http://www.portalaction.com.br/content/content/estabilidade-replic%C3%A1vel
http://www.portalaction.com.br/content/content/estabilidade-replic%C3%A1vel
http://www.portalaction.com.br/content/tendência
http://www.portalaction.com.br/content/tendência
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pelos diferentes valores de referência em relação a respectiva tendência. Quanto 
menos inclinada a reta, melhor será a qualidade do sistema de medição. 
 
 
Diretrizes 
Diretrizes para o estudo de tendência e linearidade para sistema replicável: 
 Selecionar uma amostra de peças (no mínimo 5) cujas medidas se distribuam ao 
longo da faixa de interesse; 
 Determinar os valores de referência das peças. Mais uma vez podemos utilizar 
laboratórios acreditados no INMETRO ou laboratório interno; 
 Avaliador que utiliza o sistema de medição deve medir cada uma das peças no 
mínimo 10 vezes (o MSA sugere 12), em seqüência aleatória; 
 Determinar a tendência para cada medição (Tendência = Resultado da medição - 
Valor de Referência); 
 Representar graficamente a (tendência) x ( valor de referência); 
 
Avaliação 
Para avaliarmos a tendência e linearidade, vamos tomar o ajuste da tendência em 
relação ao valor de referência: 
Tendência = a + b*(valor de referência) + Erro de ajuste 
 Coeficiente de Determinação (R2): grau de ajuste da reta; 
 Intercepto (a); 
 Inclinação (b); 
Apresentamos algumas das métricas utilizadas na quarta edição do MSA: 
 Linearidade = |b| 
 %Linearidade = |b|* (100%) 
 Linearidade em relação à escala de medição (amplitude da faixa nominal): 
L(escala) = |b|*(max - min) 
 
Regressão Linear 
 
O modelo de regressão linear é dado por: 
Tij = a+b VRi + εij (2.3.1) 
em que 
 g : número de peças (≥ 5); 
 m : número de medições por peça (≥ 12); 
 Tij: corresponde a j-ésima tendência do i-ésimo valor de referência (corpo de 
prova); 
 VRi: corresponde ao valor de referência i; 
 εij é uma variável aleatória normal com média zero e desvio-padrão σ 
(independentes); 
 a e b são os parâmetros, que juntos definem a reta da regressão. 
 
Estimativas 
 
Neste sentido, o MSA 4a edição propõe como critério as seguinte ferramentas: 
1. Teste dos coeficientes de regressão; 
2. Banda de confiança para a reta de regressão. 
A seguir, vamos estudar os dois critérios. Para facilitar os cálculos, estabelecemos 
a seguinte tabela: 
Tabela 2.3.1: Entrada de dados e cálculos de linearidade 
Medição VR T VR
2
 T
2
 VR*T 
Z11 VR1 T11 VR
2
1 T
2
11 VR1 *T11 
Z12 VR1 T12 VR
2
1 T
2
12 VR2 *T12 
 
Z1m VR1 T1m VR
2
1 T
2
1m VR1 *T1m 
Z21 VR2 T21 VR
2
2 T
2
21 VR2 *T21 
 
Z2m VR1 T2m VR
2
2 T
2
2m VR2 *T2m 
 
Zg1 VRg Tg1 VR
2
g T
2
g1 VRg *Tg1 
 
Zgm VRg Tgm VR
2
g T
2
gm VRg *Tgm 
 soma VRi soma Tij soma VR
2
i soma T
2
ij soma VRi Tij 
 
Estimativas 
 
As médias da tendência e do valor de referência são dados por: 
 
 
Notações básicas 
 
 
 
 
 
 
O modelo ajustado é dado por: 
 
para todo i = 1,...,g e j = 1,...,m. 
As estimativas de mínimos quadrados e são dadas por: 
 
 
O R2 é dado por: 
 
 
ou seja, é a razão entre o produto (SxySxy) pelo produto (SxxSyy). E temos, 
 
 
Metodologias 
 
A seguir, vamos apresentar duas metodologias para testarmos a significância 
estatística dos coeficientes da regressão. 
1) Teste dos Coeficientes da Regressão Linear Simples: 
1.1) Teste para o Coeficiente Angular 
 
 
 
Estatística do teste 
 
 
 
no qual 
 
 
O valor de t* deve ser comparado com uma distribuição t- Student com g*m-2 graus 
de liberdade para um determinado nível de significância (ver tabela da 
distribuição t-Student). 
 Se |t| ≤ t(g*m-2; 1-( /2)) não rejeitamos H0, ou seja, rejeitamos a hipótese de que 
o coeficiente angular seja significativo; 
 Se t > t(g*m-2; 1-( /2)) rejeitamos H0, ou seja, não rejeitamos a hipótese de que o 
coeficiente angular seja significativo. 
 
Outra forma de definirmos um critério para avaliarmos o teste de hipótese é o P-
valor. 
http://www.portalaction.com.br/content/52-distribui%C3%A7%C3%A3o-t-student
http://www.portalaction.com.br/content/52-distribui%C3%A7%C3%A3o-t-student
 
1.2) Teste para o intercepto 
 
 
Estatística do teste 
 
 
em que, 
 
 
Este valor deve ser comparado com uma distribuição t - Student com (g*(m-2)) 
graus de liberdade para um determinado nível de significância (ver tabela da 
distribuição t-Student). 
 Se |t| j ≤ t(g * m-2; 1-( /2)) não rejeitamos H0, ou seja, rejeitamos a hipótese de 
que o intercepto seja significativo; 
 Se |t| j > t(g * m-2; 1-( /2)) rejeitamos H0, ou seja, não rejeitamos a hipótese de 
que o intercepto seja significativo. 
Outra forma de definirmos um critério para avaliarmos o teste de hipótese é o P-
valor. O P-valor representa o menor nível de significância para o qual rejeitamos 
H0. Logo, para um nível de significância = 0,05 adotado, rejeitamos H0 se o P-valor 
obtido for menor que 0,05, enquanto que não rejeitamos H0 se o P-valor for maior 
que 0,05. 
 
http://www.portalaction.com.br/content/52-distribui%C3%A7%C3%A3o-t-student
http://www.portalaction.com.br/content/52-distribui%C3%A7%C3%A3o-t-student
 
Critério: A tendência e a linearidade são consideradas não significativas quando 
não rejeitamos as hipóteses H0 nos dois testes realizados acima. 
2) Intervalo de Confiança para reta de regressão: 
 
 
 
 
em que VR representa o Valor de Referência no ponto que calculamos o intervalo 
de confiança. 
Critério: a linha relativa a tendência igual a zero deve estar completamente 
contida dentro dos limites acima. 
Obs: As estimativas dos coeficientes e o intervalo de confiança estão descritos na 
Norma MSA 4a edição página 97. 
 
Exemplo 2.3.1 
O engenheiro do sistema de medição estava interessado em determinar a 
linearidade de um sistema de medição. Cinco peças padrão, que se distribuem por 
toda a faixa de variação do processo, foram medidas 15 vezes no laboratório de 
medição para se determinar o valor de referência. Neste caso, o metrologista 
utilizou um instrumento de medição com uma resolução melhor do que o 
instrumento utilizado normalmente. Após determinar o valor de referência, um 
avaliador realizou 12 medições de cada peça padrão nas condições reais de 
utilização do sistema de medição. Os valores estão resumidos na Tabela abaixo. 
Aqui, temos g=5 (número de peças) e m=12 (leituras em cada peça ). 
 
Medições 2,0 Tendência 4,0 Tendência 6,0 Tendência 8,0 Tendência 10,0 Tendência 
1 2,7 0,7 5,1 1,1 5,8 -0,2 7,6 -0,4 9,1 -0,9 
2 2,5 0,5 3,9 -0,1 5,7 -0,3 7,7 -0,3 9,3 -0,7 
3 2,4 0,4 4,2 0,2 5,9 -0,1 7,8 -0,2 9,5 -0,5 
4 2,5 0,5 5 1 5,9 -0,1 7,7 -0,3 9,3 -0,7 
5 2,7 0,7 3,8 -0,2 6 0 7,8 -0,2 9,4 -0,6 
6 2,3 0,3 3,9 -0,1 6,1 0,1 7,8 -0,2 9,5 -0,5 
7 2,5 0,5 3,9 -0,1 6 0 7,8 -0,2 9,5 -0,5 
8 2,5 0,5 3,9 -0,1 6,1 0,1 7,7 -0,3 9,5 -0,5 
9 2,4 0,4 3,9 -0,1 6,4 0,4 7,8 -0,2 9,6 -0,4 
10 2,4 0,4 4 0 6,3 0,3 7,5 -0,5 9,2 -0,8 
11 2,6 0,6 4,1 0,1 6 0 7,6 -0,4 9,3 -0,7 
12 2,4 0,4 3,8 -0,2 6,1 0,1 7,7 -0,3 9,4 -0,6 
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
 
 
Estimação dos Parâmetros do exemplo 
A seguir, vamos estimar os parâmetros e aplicar a metodologia definida pelo MSA 4a 
Edição. 
 
Tabela 2.3.2: Tabela de dados 
Peça Medições VR T VR
2
 T
2
 VR*T 
1 2,7 2 0,7 4 0,49 1,4 
2 2,5 2 0,5 4 0,25 1 
3 2,4 2 0,4 4 0,16 0,8 
4 2,5 2 0,5 4 0,25 1 
5 2,7 2 0,7 4 0,49 1,4 
6 2,3 2 0,3 4 0,09 0,6 
7 2,5 2 0,5 4 0,25 1 
8 2,5 2 0,5 4 0,25 1 
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/linearidade.xls
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/linearidade.xls
9 2,4 2 0,4 4 0,16 0,812 9,4 10 -0,6 100 0,36 -6 
Soma 360 -3,2 2640 11,82 -82,4 
Média 6 -0,053333 
Primeiramente precisamos determinar as médias das variáveis T (tendência) e VR 
(valor de referência). 
 
 
 
 
Assim, encontramos as somas de quadrados empíricas. 
 
 
 
 
 
 
A seguir, utilizamos as somas de quadrados empíricas para encontrarmos 
estimativas dos parâmetros da reta de regressão. Aqui, temos que 
 
 
 
e 
 
 
A reta estimada é dada por: 
 
 
Tendência estimada = 0,7366 - 0,13167 *(Valor de Referência) 
Com isso, obtemos que a %linearidade = 13,2%. Isto que dizer que a tendência 
varia em média 13,2% da faixa de estudo (10-2=8) entre o início e o final da 
faixa. Vamos aplicar os dois critérios de avaliação da linearidade, os testes dos 
parâmetros e o intervalo de confiança para a reta de regressão. Para isto, 
calculamos o quadrado médio do erro (QME) por: 
 
 
 
Caso 1: Teste de hipóteses: Inicialmente, vamos testar o coeficiente angular (b). 
 
 
A estatística do teste é dada por: 
 
 
no qual o erro padrão associado à estimativa do coeficiente angular é calculada 
por: 
 
 
Portanto, o valor da estatística t-Student é dado por: 
 
 
Para uma distribuição t-Student com 58 graus de liberdade encontramos 
t(g*m-2; 1- /2) = 2,0017. 
Desde que t* = 12,044 > 2,0017 rejeitamos a hipótese de que a linearidade não seja 
significativa. Com isso, concluímos que a linearidade é significativa ao nível de 
confiança de 5%. 
Na seqüência, vamos realizar o teste para o intercepto 
 
 
Neste caso, a estatística do teste é dada por: 
 
 
no qual, 
 
 
 
 
 
Com isso, obtemos que 
 
 
Para uma distribuição t-Student com 58 graus de liberdade encontramos t(g*m-2; 1-
α/2) = 2,0017. Desde que t* = 10,16 > 2,0017 rejeitamos a hipótese de que o 
intercepto não seja significativo. Com isso, concluímos que o intercepto é 
significativo ao nível de confiança de 5%. 
Conclusão: Desde que o coeficiente angular (linearidade) foi considerado 
significativo, o sistema de medição apresenta uma linearidade significativa com 
95% de confiança ( = 0,05). 
Caso 2: Intervalo de confiança para a reta de regressão. A seguir, apresentamos na 
Tabela 6 o cálculo dos limites do intervalo, considerando as seguintes expressões: 
Tabela 2.3.3: Limites do intervalo 
Valor de Referência 
(VR) 
LI LS 
2 0,4128 0,5704 
4 -0,1593 0,4093 
6 -0,0995 0,1495 
8 -0,3549 -0,2283 
10 -0,7098 -0,5234 
Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action para o mesmo exemplo. 
 
 
 
 
 
 
 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o 
manual do usuário. 
 
Exemplo 2.3.2 
Como aplicação de um estudo de tendência e linearidade, vamos avaliar um 
sistema de medição para medir a temperatura de um forno via um pirômetro 
óptico. Para isto, vamos fazer um estudo por comparação com um termo elemento 
padrão. Tomamos 5 níveis de temperatura 
 
Padrão Medidas VR Tolerância 
1 748,8 750 100 
1 749,8 750 100 
1 748,8 750 100 
http://www.portalaction.com.br/content/content/estabilidade-replic%C3%A1vel
http://www.portalaction.com.br/content/content/estabilidade-replic%C3%A1vel
http://www.portalaction.com.br/content/linearidade
http://www.portalaction.com.br/content/linearidade
http://www.portalaction.com.br/content/linearidade
1 748,8 750 100 
1 748,8 750 100 
1 748,8 750 100 
1 747,7 750 100 
1 747,7 750 100 
1 747,7 750 100 
1 748,7 750 100 
1 749,7 750 100 
1 750,7 750 100 
2 848,8 850 100 
2 848,8 850 100 
2 848,8 850 100 
2 847,2 850 100 
2 847,2 850 100 
2 847,2 850 100 
2 846,1 850 100 
2 846,1 850 100 
2 846,2 850 100 
2 846,3 850 100 
2 847,3 850 100 
2 848,3 850 100 
3 946,9 950 100 
3 946,9 950 100 
3 946,9 950 100 
3 945,8 950 100 
3 944,8 950 100 
3 944,8 950 100 
3 943,6 950 100 
3 943,6 950 100 
3 943,6 950 100 
3 945,1 950 100 
3 946,1 950 100 
3 947,1 950 100 
4 1045,4 1050 100 
4 1045,4 1050 100 
4 1045,4 1050 100 
4 1044,9 1050 100 
4 1043,9 1050 100 
4 1044,9 1050 100 
4 1042 1050 100 
4 1042 1050 100 
4 1042 1050 100 
4 1045,6 1050 100 
4 1046,6 1050 100 
4 1047,6 1050 100 
5 1141,9 1150 100 
5 1141,3 1150 100 
5 1142,9 1150 100 
5 1144,3 1150 100 
5 1143,5 1150 100 
5 1140,9 1150 100 
5 1141,9 1150 100 
5 1142,2 1150 100 
5 1142,1 1150 100 
5 1140 1150 100 
5 1140,7 1150 100 
5 1142,7 1150 100 
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
 
Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action para o mesmo exemplo 
 
 
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/Linearidade_conteudo1.xls
http://www.portalaction.com.br/sites/default/files/MSA/PLANILHAS/Linearidade_conteudo1.xls
 
 
 
 
 
 
Interpretação: Neste estudo, realizamos uma análise da tendência do sistema de 
medição ao longo da escala de interesse. Através da tabela da Análise da 
Tendência, observamos que o zero está fora do intervalo de confiança, para todos 
os valores de referência. Com isso, concluímos que temos tendência significativa ao 
longo da escala do sistema de medição. Além disso, o sistema de medição 
apresenta uma linearidade também significativa (P-valor de 1,8*10^(-9)) de 0,016, 
o que quer dizer que a tendência apresenta uma variação média de 1,6% ao longo 
da faixa de interesse (750 a 1150). No gráfico, observamos que a linha do ponto 
zero (linha vermelha) não está inserida na banda de confiança (linhas azuis), o que 
reforça o fato de que o sistema de medição apresenta uma linearidade significativa 
ao nível de significância de 5%. 
Porém, para avaliarmos adequadamente a tendência e a linearidade deste sistema 
de medição, precisamos de entender melhor o sistema de medição e sua aplicação. 
Neste caso, temos uma medição de temperatura, na escala de 750oC a 1150oC, 
realizada através de um pirômetro óptico posicionado a dez metros da peça. Nesta 
distância, o pirômetro óptico apresenta uma exatidão de 2% da leitura. Por 
exemplo, em 1150 graus Celsius temos uma exatidão de 0,02*1150=23 graus Celsius. 
Observe que o maior valor de tendência, no ponto de 1150, foi de 10 graus Celsius. 
Portanto, a maior tendência encontrada está abaixo da exatidão garantida pelo 
equipamento. Além disso, temos uma tolerância de 100 graus Celsius e por motivos 
de segurança, medimos a peça a uma distância de 10 metros. 
Em resmo, dependendo da importância da aplicação para o restante do processo, o 
sistema de medição pode ser considerado aceitável para o controle do processo. 
Caso contrário, devemos elaborar um plano de ação. 
Um ponto bastante comentado pelos usuários é a interpretação do R2 . No caso 
particular do estudo de linearidade de um sistema de medição, valores altos de R2 
pode siginificar que tivemos um bom ajuste linear. Nesta situação, concluímos que 
a linearidade (ou coeficiente angular) é significativa do ponto de vista estatístico. 
Portanto em um estudo de linearidade é interessante termos um coeficiente de 
determinação R2 baixo (menor que 0,2). Neste exemplo, temos um R2 igual a 0,75 o 
que é alto. 
 
 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o 
manual do usuário. 
2.4 - Repetitividade e Reprodutibilidade 
http://www.portalaction.com.br/content/content/estabilidade-replic%C3%A1vel
http://www.portalaction.com.br/content/content/estabilidade-replic%C3%A1vel
http://www.portalaction.com.br/1028-exemplo-usando-tolerância
http://www.portalaction.com.br/1028-exemplo-usando-tolerância
Neste módulo, vamos apresentar um método para estimarmos a variabilidade 
associada ao sistema de medição. Como apresentado no módulo análise dos 
sistemas de medição, a variabilidade é decomposta em dois termos: 
Repetitividade - VE 
Variação das medidas obtidas por um único operador, utilizando o mesmo 
equipamento de medição e método, ao medir repetidas vezes uma mesma 
grandeza de uma única peça (corpo deprova). 
Reprodutibilidade - VO 
Variação das médias obtidas por diferentes operadores utilizando o mesmo 
equipamento de medição para medir repetidamente uma mesma grandeza de uma 
única peça (corpo de prova). 
Repetibilidade e Reprodutibilidade (RR) 
É a soma das variações devido à falta de Repetitividade e Reprodutibilidade. 
 
 
 
 
 
Como em qualquer análise, o planejamento é fundamental para que façamos uma 
boa análise da repetitivdade e reprodutibilidade: 
1) A técnica a ser utilizada deve ser planejada. Por exemplo, tem alguns sistemas 
de medição cujo o efeito da reprodutibilidade é desprezível, por exemplo, para 
sistemas de medição automáticos no qual a única interferência do operador é 
apertar um botão. Neste caso, planejamos o estudo sem a reprodutibilidade (MSA, 
página 73). 
2) O número de operadores, número de peças e o número de réplicas devem ser 
determinados através dos critérios: 
 Criticidade da medida, dimensões críticas requerem mais peças e/ou réplicas; 
 Quando lidamos com peças pesadas ou de difícil manuseio, utilizamos menos 
peças e mais réplicas; 
 Requisito do cliente; 
3) Os operadores devem ser escolhidos entre todos os que utilizam o sistema de 
medição; 
4) A seleção das peças é crítica para uma boa análise do RR. Esta seleção depende 
do propósito do sistema de medição e da disponibilidade de peças que representem 
o processo de produção. Na página 73, o manual MSA estabelece os seguintes 
propósitos: 
 Controle de Produto: sistemas de medição cujo resultado e critério de decisão 
determinam a conformidade ou não conformidade do produto com relação às 
especificações (inspeção 100% ou por amostragem). Neste caso, as peças 
selecionadas não precisam cobrir toda a faixa de variação do processo. 
 Controle de Processo: sistemas de medição cujo resultado e critério de decisão 
determinam a estabilidade e/ou capacidade do processo de produção (CEP, 
Gráfico Farol, Melhoria Contínua). Neste caso, a disponibilidade de peças que 
cobrem toda a faixa de variação do processo de produção é fundamental. Muitas 
vezes, um estudo complementar para determinar a capacidade do processo é 
requerido e recomendado para avaliar a adequabilidade do sistema de medição 
para o controle do processo. 
 O instrumento de medição deve ter uma discriminação de pelo menos um décimo 
da tolerância ou variação do processo de produção. 
 Assegurar que o método de medição está medindo a dimensão correta e que o 
método é corretamente aplicado. 
 
 
Variabilidade interna do produto 
 Em muitos sistemas de medição, a variação interna (ou, inerente) das peças, como 
ovalização, podem inflacionar nossa estimativa da repetitividade. A variabilidade 
interna pode ser avaliada e separada da repetitividade. O procedimento é mais 
complexo e consiste basicamente em: 
 Obter a medida em vários pontos da peça; 
 Trabalhar com os valores médios (ou valores máximo e/ou mínimo) para cada 
peça; 
 À partir destes experimentos estimar a variabilidade interna. 
A variabilidade interna deve sempre ser objeto de estudo para a melhoria do 
processo produtivo. 
Índice RR: 
A partir do propósito do sistema de medição (Controle de Produto ou Controle de 
Processo), devemos estabelecer um índice para "facilitar" a intepretação do RR: 
Controle de Processo: Comparar a variabilidade do sistema de medição (RR) com a 
variação esperada do processo de produção. 
Controle de Produto: Comparar a variabilidade do sistema de medição (RR) com a 
tolerância do produto. 
Variabilidade entre partes (variabilidade do processo de produção) - VP 
É a variação das medidas observada entre os itens produzidos pelo processo, isto é, 
a variabilidade observada nas peças. Salientamos que a variabilidade entre as 
partes pode ser obtida à partir de um estudo de capacidade do processo ou à partir 
do próprio estudo para determinar o RR. 
Variabilidade total 
É a soma das variações devidas ao sistema de medição e ao processo. 
 
ou 
 
Com isso, podemos calcular o índice RR da seguinte forma: 
Controle de Produto 
 
 
Controle de Processo 
 
 
 
Os critérios para análise do RR estão definido na página 78 do MSA. Para um 
sistema de medição cujo propósito é analisar um processo, uma regra geral para 
aceitar um sistema de medição é definido na seguinte tabela: 
RR Decisão Comentários 
Abaixo 
de 10% 
Sistema de 
medição 
geralmente 
considerado 
aceitável 
Recomendável, especialmente útil quando tentamos ordenar ou 
classificar peças ou quando for requerido um controle apertado 
do processo. 
Entre 
10% e 
30% 
Poder ser aceito 
para algumas 
aplicações 
A decisão deve ser baseada primeiro, por exemplo, na 
importância da aplicação da medição, custo do dispositivo de 
medição, custo do retrabalho ou reparo. O sistema de medição 
deve ser aprovado pelo cliente. 
Acima 
de 30% 
Considerado 
inaceitável 
Todos os esforços devem ser tomados para melhorar o sistema 
de medição. Esta condição pode ser resolvida pelo uso de uma 
estratégia apropriada para a medição; por exemplo, utilizar a 
média de diversas medições da mesma característica da mesma 
peça a fim de reduzir a variabilidade da medida final. 
 
Outra estatística que avalia a variabilidade de um sistema de medição é número de 
cateorias distintas (NDC). Esta estatística indica o número de categoria dentro do 
qual as medições do processo podem ser divididas. O NDC deve ser maior ou igual a 
cinco e é aplicado somente para sistema de medição cujo o propósito é analisar um 
processo (página 78 do MSA). O NDC é definido por: 
 
 
Cuidado: O uso do RR como único índice para avaliar um sistema de medição 
não é aceitável. 
Ao aplicar os critérios de aceitação como simples valores de corte (thresholds), 
assumimos que as estatísticas são estimativas determinísticas da variabilidade do 
sistema de medição (o que não são). Especificar os valores de corte como critério 
pode levar a um comportamento inadequado. Por exemplo, o fornecedor pode ser 
"criativo" ao encontrar um determinado valor de RR, eliminando as principais fontes 
de variação (como a interação peça X operador) ou simplesmente manipular o 
estudo. 
Comentários: Infelizmente este é um fato que ocorre em muitas empresas no 
Brasil. O cliente impõe um RR abaixo de 10% e o fornecedor manipula os dados. 
NÃO DEVEMOS TER UM CRITÉRIO SIMPLES (ÚNICO) PARA TODOS OS SISTEMAS DE 
MEDIÇÃO. Cada aplicação deve ser avaliada individualmente. 
Quando analisamos a variação de um sistema de medição é importante olhar para 
cada aplicação individualmente, para sabermos o que é requerido e como esta 
medição será utilizada. Por exemplo: a precisão requerida da medição de 
temperatura poder ser diferente para aplicações não similares. Um termostato para 
sala pode regular a temperatura para conforto de um humano e ser barato, porém 
tem um RR acima de 30%. Isto é aceitável para esta aplicação. Mas, em um 
laboratório, no qual pequenas variações de temperatura podem impactar nos 
resultados dos testes, uma medição e controle de temperatura mais sofisticados 
devem ser requeridos. Este termostato será mais caro e também vamos requerer 
uma menor variabilidade (menor valor de RR). 
 
Diretrizes para o estudo de RR - Replicável 
 
Como em qualquer análise, um bom planejamento deve ser realizado para que 
possamos conduzir o estudo de RR. 
1. Selecionar aleatoriamente operadores que utilizam e conhecem bem o 
sistema de medição a ser estudado. Em geral recomendamos três 
operadores. Se isto não for viável, utilizar pelo menos dois operadores. Caso 
o operador não influencie na medição, não avalie a reprodutibilidade. 
2. Utilizar equipamentos de medição devidamente calibrados. 
3. Selecionar de 5 a 15 peças da produção cujas dimensões varram o campo de 
variação do processo 
o Se o sistema de medição for utilizado para processos com campos de 
variação muito