aula 6 A 8 - CADERNO 1

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MECANICA TÉCNICA
Prof. José Carlos Vilar AMIGO
CONTEÚDO: 
conceitos de espaço; 
sistemas de coordenadas; 
como definir um triedro positivo; 
grandeza escala e vetorial; 
conceitos associados a vetores: módulo, ângulos diretores, 
vetor unitário; 
quadrantes e octantes; 
soma e subtração de vetores; 
vetor passando por dois pontos; vetor definido pelo 
módulo e por dois ângulos; 
exercícios sobre referenciais e vetores 
CONCEITO BÁSICO
ESPAÇO: REGIÃO GEOMÉTRICA 
OCUPADA POR CORPOS. DESCRITO POR MEDIDAS 
LINEARES E ANGULARES
1.1 – localizando pontos e vetores no espaço
- espaço: região geométrica ocupada pelos corpos. 
Descrito por 
a) coordenadas retangulares (x, y, z) 
b) coordenadas cilíndricas (polares em duas dimensões) (r, θ, z)
c) esféricas (r, θ, φ) 
orientação dos triedros deve ser sempre 
positiva: regra da mão direita
Exercícios sobre representações nas coordenadas retangulares, 
cilíndricas e esféricas
1.1 - Localize o ponto A da figura ao lado com 
coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas, 
respectivamente. As componentes do vetor AO são: 
(Ax=6,12; Ay=3,54; Az=7,07)
R- (6,12; 3,54; 7,07) ; (7,07; 30o; 7,07) ; (10; 30o; 45o)
figura 1.7
1.2 – Descreva em coordenadas retangulares e esféricas, 
respectivamente, o ponto “A” descrito em coordenadas cilíndricas 
por (4; 30o; 3).
R- (3,46; 2,0; 3,0) ; (5; 30o; 53,13o)
1.3 – Explicite as componentes Fx, Fy e Fz
da força F=10N representada na figura, por 
coordenadas esféricas.
R – Fx=6,12; Fy=3,54; Fz= 7,07
1.4 – Qual o módulo da força F cujas componentes retangulares valem Fx=6.12N; 
Fy=3,54 e Fz=7,07 N? R – Do exercício 1.3 temos /F/= 10 N.
1.5 – Quais os ângulos que a força F do exercício 1.3 faz com a parte 
positiva dos eixos x,y e z, respectivamente?
R – α = 52,3o; β = 69,27o ; γ = 45o ,que são os ângulos (diretores) com os 
eixos x, y, z.
1.6 – Quais os triedros que estão corretamente representados?
GRANDEZAS
ESCALARES: apenas valor (tempo, volume densidade, energia 
e massa)
VETORES: direção, sentido e valor (aceleração, força, momento 
e quantidade de movimento)
VETORES
- livres: ação não confinada a uma linha no 
espaço (ex.:deslocamento de um corpo sem rotação, 
onde todos os pontos se deslocam igualmente)
- móvel: tem linha de ação mas não tem ponto de 
aplicação (ex.: corpo rígido)
- fixo: único ponto de aplicação (ex.: corpos 
deformáveis)
Exemplo: a) F = - 5 i N (o sublinhado sob o “i” indica vetor).
aqui: 5 é o módulo do vetor (valor sempre positivo do 
escalar)
o “i” é o vetor unitário na direção do eixo “x”. Indica 
que o vetor tem a direção do eixo “x”
o sinal menos indica que o sentido do vetor é 
contrário ao do vetor unitário, o qual aponta na direção positiva do 
eixo “x”.
b) a = 3 i - 4 j 
Indica um vetor a (aceleração talvez) com duas componentes: 
uma na direção do vetor unitário “i” de módulo 3 e sentido positivo 
na direção do eixo “x”, e outra de módulo 4 na direção do vetor 
unitário “j”, na direção negativa do eixo “y”.
Nota: i - para alguns vetores será importante definirmos o seu ponto de 
aplicação no corpo. Os vetores que têm esta necessidade são chamados 
de fixos. Exemplo: força em corpos deformáveis;
ii – para outros vetores é importante definirmos a posição da sua linha 
de ação. São chamados vetores móveis. Exemplo: força em corpo 
rígido
iii – para outros vetores, basta definirmos a direção. São chamados 
vetores livres. Exemplo: velocidade em corpo rígido em movimento 
exclusivo de translação.
Onde α é o ângulo entre
os dois vetores medido no
ponto de encontro dos
dois vetores
SOMA VETORIAL 
(V1+V2=V2+V1)
SUBTRAÇÃO VETORIAL
(V2-V1)
LEI DOS COSSENOS
-v1
v2 = v1
2 + v2
2 – 2v1v2cos α
α
QUAISQUER DOIS OU MAIS VETORES CUJA SOMA SEJA IGUAL A UM 
VETOR V, SÃO CHAMADOS DE COMPONENTES DESTE VETOR
ASSIM, V1 E V2 SÃO COMPONENTES DO VETOR V, NAS DIREÇÕES W 
e T.
AS COMPONENTES MAIS 
COMUNS SÃO AS 
RETANGULARES, OBTIDAS 
SOBRE EIXOS 
PERPENDICULARES ENTRE 
SI.
W
T
MÓDULO E DIREÇÃO DE UM 
VETOR EM 2D
cossenos diretores. Na figura temos ângulo 
diretor com o eixo x=θ; com eixo y = 90-θ 
Para encontrarmos as componentes de um vetor em três dimensões, o processo é similar 
ao de encontrar as componentes em duas dimensões. Se conhecemos o módulo “A” do 
vetor e os ângulos entre o vetor e as partes positivas dos eixos, podemos achar as 
componentes do vetor:
Assim: 
Ax=A cos α
Ay = A cos β
Az = A cos γ
onde A é o módulo do 
vetor
ângulos diretores 
DE FORMA MAIS ABRANGENTE
LOGO, SE V = Vx + Vy PODEMOS ESCREVER: V = I V I (ai + bj), 
ONDE n = (ai + bj) É O VETOR UNITÁRIOS NA DIREÇÃO DE V E 
ASSIM, Vx= I V I a E Vy = I V I b SÃO AS COMPONENTES DO VETOR
V.
Vetor Unitário
- -- A direção de A é especificada usando-se
um vetor unitário, que possui esse nome
por ter módulo igual a 1.
-- Em três dimensões, o conjunto de
vetores unitários i, j, k é usado para
designar as direções dos eixos retangulares x, y e z
respectivamente.
Para um vetor A: Para um vetor Força:
NO ESPAÇO...
Nos octantes temos:
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º
x + - - + + - - +
y + + _ _ + + _ _
z + + + + _ _ _ -
É usual que quando queremos conhecer os ângulos dos 
vetores com os eixos coordenados, o referenciemos na 
origem dos eixos para facilidade de visualização, sem nos 
referirmos a um ponto específico de aplicação do vetor
Exercícios
1.7 – Os ângulos entre o vetor V e os eixos x,y,z estão representados na figura. 
Podemos dizer que os ângulos diretores de V valem:
R – (60º; 45º; 60º)
1.8 – O ângulo diretor do vetor A, de módulo 2, situado no plano x-y, com a parte 
positiva do eixo x, vale 30o e com a parte positiva do eixo y, 60o. 
Quais as componentes Ax e Ay de A?
R- Ax = 3; Ay = 1
1.9 – Quais as componentes Ax e Ay de A no problema (1.8) se o ângulo diretor de 
A com o eixo x valer 150o?
R – Ax = - 3; Ay = 1
1.10 – Quais os cossenos diretores do vetor V no exercício 1.7?
R - ½; 2 /2 ; ½
1.11 – Quais os cossenos diretores do vetor B cujas componentes 
são Bx=10 ; By= -20; Bz = 30 ?
R - cos α = + 0,267 ; cos β = -0,534 ; cos γ = + 0,802 (módulo de 
B = 37,41)
1.12 – Quais os ângulos diretores do vetor B no exercício 1.11?
R – α=74,5o ; β= 122,4o; γ= 36.68o
1.13 – Em que octante se situa o vetor B dos exercícios 
anteriores? 
R – 4º octante
LEI DOS SENOS
A/SenA=b/SenB=C/SenC
D
Lei dos Cosenos: b2 = a2 + c2 - 2ac . cos B
Como B=180-D => b2 = a2 + c2 + 2ac . cos D
VALE PARA QUALQUER TRIÂNGULO
• O vetor unitário “n” n direção de S será
• n= S / [S[ = { 5,431 i + 1,32 j } / 5,59 =
• = 0,971 i + 0,238 j
Componentes retangulares de um vetor
-Um vetor A pode ter um, dois ou três
componentes ao longo dos eixos de
coordenadas x, y e z.
-A quantidade de componentes
depende de como o vetor está
orientado em relação a esses eixos.
Sistema de coordenadas utilizando a
regra da mão direita.
- vetor unitário tem as mesmas informações dos 
cossenos diretores: nF = m i + n j + l k
MERIAM & KRAIGE 
CAPÍTULO 2 B
BEER & 
JOHNSTON ITEM 
2.12
NA ANÁLISE EM 3 DIMENSÕES É COMUM PROJETARMOS 
AS FORÇAS EM SUAS 3 COMPONENTES, MUTUAMENTE 
PERPENDICULARES
OU SEJA, MÓDULO DA FORÇA VEZES O UNITÁRIO NA 
DIREÇÃO DA FORÇA (n=li+mj+nk)
NA MAIORIA DOS PROBLEMAS DE ESTÁTICA AS FORÇAS 
SÃO DESCRITAS POR:
a) DOIS PONTOS SOBRE A LINHA DE AÇÃO DA FORÇA
b) DOIS ÂNGULOS QUE ORIENTAM A LINHA DE AÇÃO
c) O VETOR UNITÁRIO nOB
SERÁ EXPRESSO POR:
R - Fx= 42,4 N; Fy= 56,6 N; Fz= 70,7N 
- Fxy=70,7 N
Exercícios 
1.21 – Escreva: a) o vetor AB (origem em A e extremidade em B) onde A = (2;2) e 
B= (10;5); b) o vetor unitário da direção de AB;
c) o vetor F de módulo 100 e mesma direção de AB.
R - 8i + 3j ; 0,94i + 0,35j; 94i+35j
1.22- Quais os ângulos diretores de AB ?
R - α= 19,94o; β= 69,5o
1.23 - Descreva o vetor F na forma vetorial, sabendo que ele temmódulo 10 N e que 
sua linha de ação passa pelos pontos A(6,2,2) e B(2,4,3).
R - 8,73i +4,37j + 2,18k 
1.24) Uma força F de módulo 100N é aplicada na origem dos eixos x,y,z conforme 
figura. A linha de ação de F passa por um ponto A 
cujas coordenadas são 3m, 4m e 5m. determine: a) os componentes escalares x,y,z 
de F; b) a projeção Fxy de F no plano x-y.
NOTA: A ORIENTAÇÃO DOS EIXOS DEVE 
SEMPRE SEGUIR A REGRA DA MÃO DIREITA
R - F1= -86,6i + 185 j – 143,4k (N) ; F2 = -200i
+ 282j +200k (N) R= -113,5i + 467j +56,6k
(n); /R/ = 485,3 N α= arc cos -0,235
β= arc cos 0,97 γ= arc cos 0,117
EXERCÍCIO
1.26) Descreva vetorialmente a força F de módulo 200 
N, cuja projeção no plano x-z faz um ângulo de 450 com 
a direção z e o ângulo entre a força e sua projeção x-z é 
de 600.
FIM