Ondas Luminosas

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Universidade Federal do Piauí 
Centro de Ciências da Natureza 
Departamento de Física 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aulas 
Ondas Luminosas 
Prof. Alexandre Maciel 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atualizada em 8 de Maio de 2021 
 
 
 
Referências Básicas: 
• Resnick, R. Halliday, D. e Krane, K.S., Física, vol. IV, 5ª ed., Livros Técnicos e Científicos, 
Rio de Janeiro (1994). 
• Nussenzveig, H. M., Curso de Física Básica, vol. IV, 2ª ed., Edgard Blucher, São Paulo 
(1996). 
 
Sumário 
Parte 1 ................................................................................................................................................. 3 
Ondas eletromagnéticas na materia ............................................................................................... 3 
Parte 2 ................................................................................................................................................. 6 
Interação da luz com interfaces ...................................................................................................... 6 
Um pouco de história para contextualizar ...................................................................................... 6 
Uma visão geral da reflexão e da refração ..................................................................................... 8 
Parte 3 ............................................................................................................................................... 10 
Dedução da Lei da reflexão ........................................................................................................... 10 
Dedução da Lei da refração .......................................................................................................... 11 
Reflexão interna total ................................................................................................................... 12 
 
 
 
Parte 1 
Ondas eletromagnéticas na materia 
 Até aqui, as equações de Maxwell foram caracterizadas como sendo as equações de Maxwell 
no vácuo. Estas equações estão completas e são válidas em qualquer situação seja no vácuo ou na 
matéria. Vamos escrevê-las novamente: 
 ∇⃑⃑ ∙ �⃑� =
𝜌𝑡
𝜖0
 (Eq. 1.1) 
 ∇⃑⃑ ∙ �⃑� = 0 (Eq. 1.2) 
 ∇⃑⃑ × �⃑� = −
𝜕�⃑� 
𝜕𝑡
 (Eq. 1.3) 
 ∇⃑⃑ × �⃑� = 𝜇0𝐽𝑡⃑⃑ + 𝜇0𝜖0
𝜕�⃑� 
𝜕𝑡
 (Eq. 1.4) 
Perceba o índice 𝑡 incluído na densidade de carga e densidade de corrente. Voltaremos a 
explicar a necessidade disso logo a seguir, mas já adianto que o significado das eqs. continua o mesmo. 
Imagine o poder dessas equações: Elas relacionam campos elétricos, magnéticos, cargas e correntes! 
Ou seja, do ponto de vista do eletromagnetismo isso é tudo que existe e precisa ser levado em 
consideração. Pense nisso: no eletromagnetismo o universo se resume a campos e fontes. Tome um 
copo d’agua e pondere. 
 Entretanto, na matéria, faz-se necessário a inclusão dos efeitos (previstos pelas eqs. de 
Maxwell) das cargas e da magnetização devido aos átomos. Estes efeitos não trazem nada de novo às 
equações e apenas devem ser incluídas nos termos já existentes. Como mencionado anteriormente 
nenhuma física nova precisa ser adicionada às eqs. de Maxwell para estudar eletrodinâmica clássica. 
Sendo assim, onde as cargas e a magnetização dos átomos que compõem a matéria devem ser 
incluídas? Como é de se esperar, essa inclusão se dá como complemento nas fontes, ou seja, cargas e 
correntes! 
 De forma bem breve, vamos rever dois conceitos: a densidade de polarização P⃑⃑ e a densidade 
de magnetização M⃑⃑⃑ local de um meio. A grandezas P⃑⃑ e M⃑⃑⃑ surgem na presença de dipolos elétricos e 
magnéticos (atômicos ou moleculares) no volume de um material. A intensidade dessas grandezas é 
um reflexo das propriedades elétricas e magnéticas desse mesmo material. Uma análise detalhada 
dessas grandezas (que não cabe aqui) mostra que no caso mais geral, esses dipolos são responsáveis 
por três tipos de fontes complementares: 
i. O efeito coletivo dos dipolos elétricos vai produzir um termo de densidade de carga 
complementar 𝜌𝑏 = −∇⃑⃑ ∙ �⃑� . A tradição é chamar essas cargas de cargas ligadas (um nome 
um pouco estranho). Um termo mais adequado seria cargas estruturais. Seguiremos a 
tradição mesmo assim. 
ii. O movimento das cargas ligadas 𝜌𝑏 vai produzir uma densidade de corrente complementar 
𝐽 𝑏 =
𝜕�⃑� 
𝜕𝑡
. 
iii. A densidade de magnetização devido aos dipolos magnéticos produz uma densidade de 
correte chamada corrente de magnetização e é dada por 𝐽 𝑚 = ∇⃑⃑ × �⃑⃑� . 
Se você não se sente confortável com os conceitos de �⃑� e �⃑⃑� e com as densidades de carga e 
corrente associadas a eles, recomendo uma viagem no tempo para o curso de Física III. 
É importante entender que os termos complementares citados acima não são novidades do 
ponto vista de novos fenômenos. Se consideramos que a densidade de carga e a densidade de 
corrente nas eqs. 1.1 e 1.4 como grandezas totais (por isso o índice 𝑡), podemos escrever 
 𝜌𝑡 = 𝜌𝑓 + 𝜌𝑏 (Eq. 1.5) 
 𝐽 𝑡 = 𝐽 𝑓 + 𝐽 𝑏 + 𝐽 𝑚 (Eq. 1.6) 
 Aqui, 𝜌𝑓 e 𝐽 𝑓 são exatamente as densidades de carga e densidade de corrente discutidas no 
capítulo anterior e recebem a nova nomenclatura de densidade de carga livre e densidade de corrente 
livre. Podemos substituir as eqs. 1.5 e 1.6 nas eqs. 1.1 e 1.4 e encontrar as eqs. de Maxwell onde as 
propriedades de polarização e magnetização da materia são incluidas. Após esta substituição teremos 
as equações de Maxwell na materia! (Tente você mesmo e adimire o resultado.). Repetindo para que 
nunca seja esquecido: as eqs. 1.5 e 1.6 não representam nenhum fenômeno novo mas apenas a 
inclusão das manifestações de densidades de carga e corrente devido à presença de átomos no espaço 
onde se avalia os campos elétricos e magnéticos. A análise das eqs. de Maxwell levando em conta 
cargas livres, cargas ligadas e magnetização não é nosso interesse aqui (vocês terão um encontro 
íntimo com essas equações no curso de Eletromagnetismo Clássico. Espero que seja um encontro 
agradável. Não digam que eu não avisei!). 
Nosso interesse daqui para a frente se limita a um caso muito especial e extremamente 
interessante. No capítulo passado nós introduzimos o conceito de espaço livre para desenvolver as 
equações de onda para �⃑� e �⃑� a partir das eqs. de Maxwell. Vamos aqui definir algo semelhante mas 
aplicado à materia. O objetivo é descrever o que acontece com ondas eletromagnéticas em meios 
materiais. No caso mais simples (e bastante útil) podemos descrever um material sem fontes ‘livres’ 
(𝜌𝑓 = 0 e 𝐽 𝑓 = 0, assim como no espaço livre) e sem densidade de magnetização (�⃑⃑� = 0 e portanto 
𝐽 𝑚 = 0). Assumir �⃑⃑� = 0 é uma boa aproximação na maioria dos casos de interesse desse capítulo pois 
os meios compostos de ar, água, vidro e plásticos tem uma permeabilidade quase igual à do vácuo 
(𝜇0) portanto a densidade de magnetização pode ser considerada nula. 
Uma última aproximação consiste em considerar que estamos trabalhando com um meio 
dielétrico linear e isotrópico (igual em todas as direções). Em equações, isso significa que 
 �⃑� = 𝜖0(𝜖𝑟 − 1)�⃑� (Eq. 1.7) 
onde 𝜖𝑟 é a constante dielétrica do meio. Esta aproximação também é boa na maioria dos casos de 
interesse e é o que se considera em condições de ótica linear. Um exemplo de quando isso NÃO é uma 
boa aproximação é na situação onde se usa luz laser de alta intensidade como em estudos de ótica 
não-linear. 
Sendo assim, vamos introduzir um novo conjunto de eqs. de Maxwell onde as condições acima 
são válidas. 
(i) ∇⃑⃑ ∙ �⃑� = 0 
(Eq. 1.8) 
 
(ii) ∇⃑⃑ ∙ �⃑� = 0 
(iii) ∇⃑⃑ × �⃑� = −
𝜕�⃑� 
𝜕𝑡
 
(iv) ∇⃑⃑ × �⃑� = 𝜇0𝜖𝑟𝜖0
𝜕�⃑� 
𝜕𝑡
 
 As eqs. 1.8 são iguais às eqs. 3.10 do capítulo anterior exceto pela presença da constante 
dielétrica na eq. 1.8.iv. A análise dessas equações pode ser feita de maneira semelhante ao que foi 
feito anteriormentepara campos elétricos e magnéticos no espaço livre. O resultado tem que ser o 
semelhante sendo a única diferença a velocidade de propagação da onda. Aqui, devido à presença de 
𝜖𝑟 na eq. 1.8.iv, teremos que a velocidade de fase 𝑣 será 
 𝑣 =
1
√𝜇0𝜖𝑟𝜖0
=
1
√𝜇0𝜖0
1
√𝜖𝑟
=
𝑐
𝑛
 (Eq. 1.9) 
onde 𝑛 = √𝜖𝑟 é definido como índice de refração (Lembre-se que 𝜖𝑟 = 1 no vácuo). Sendo 𝑛 > 1 para 
qualquer meio diferente do vácuo temos que uma consequência óbvia dessa análise é que a 
velocidade de fase de uma onda eletromagnética será menor do que no vácuo. 
Importante! 
Na eletrostática a grandeza 𝜖𝑟 é real e 𝜖𝑟 ≥ 1. Por outro lado, na eletrodinâmica 𝜖𝑟 é uma grandeza 
complexa dependente da frequência de oscilação no caso de campos harmônicos. Está fora do 
escopo desta disciplina mostrar isso mas os estudos realizados até aqui permitem o leitor ter uma 
ídeia de como isso é possível (Procure se convencer disso!). Portanto o índice de refração também é 
uma grandeza complexa onde a parte real continua sendo chamada de indice de refração e a parte 
imaginária é chamada de coeficiente de extinção (grandeza muito útil na teoria da absorção da luz). 
Não entrarei em detalhes aqui sobre isso mas precisamos garantir que seja entendido que a partir 
de agora o termo indice de refração se refere à parte real do indice de refração complexo. Também 
não será demonstrado aqui que parte real do indice de refração complexo é maior que a unidade. 
 
 
A partir de agora podemos simplificar nossa vida assumindo algumas coisas: 
i. Os termos onda eletromagnética, onda luminosa e luz serão usados de tal forma que 
devem significar a mesma coisa. 
ii. Tudo o que se falar a respeito do comportamento do campo elétrico se propagando 
será assumido idêntico para o campo magnético propagando. 
iii. O indice de refração é uma grandeza que depende da frequencia, mesmo quando não 
for explicitamente indicado. Isso é importante para entender alguns fenômenos 
óticos. 
iv. Estamos interessados apenas em luz monocromática. A não ser que seja 
explicitamente declarado o contrário. 
Por fim, é bom lembrar das relações entre 
algumas grandezas que descrevem uma onda. O 
módulo do vetor de onda 𝑘 (número de onda) está 
relacionado com o comprimento de onda 𝜆 tal que 
𝑘 =
2𝜋
𝜆
 e com a frequência 𝜔 tal que 𝑘 =
𝜔
𝑐
 e que 
em geral falamos da frequência 𝑓 em Hz (𝜔 =
2𝜋𝑓). Ao lado temos uma figura que ilustra o 
espectro eletromagnético no intervalo de 
frequências que abrange os diferentes ‘tipos’ de 
luz. 
 
Parte 2 
Interação da luz com interfaces 
 Considere um onda luminosa viajando de um meio 1 para 
outro meio 2 tal que os dois meios são separados entre si de forma 
abrupta através de uma interface. Ao encontrar a interface, essa 
onda chamada incidente pode sofrer dois processos: 
i. Ela pode ser refletida de volta e continuar no meio 1; 
ii. Ela pode penetrar no meio 2 e continuar viajando ou ser 
absorvida pela materia. Chamamos a onda que continuar 
viajando de onda refratada. 
A proporção da onda refletida em relação à onda refratada vai depender das propriedades 
óticas dos dois meios. Aqui estamos falando principalmente do indice de refração de cada meio. 
No caso da onda refletida podemos dividir em duas situações. 
1. Em uma situação onde a interface é uma superfície lisa (polida) temos uma reflexão 
especular. 
2. Por outro lado, em superfícies rugosas (com orientações aleatórias ao nível 
microscópico) temos uma reflexão difusa. 
Já para a onda que penetra o meio 2 podemos ter três situações. 
1. O meio pode ser transparente e a luz que penetra vai se propagar sem perdas de 
energia para o meio. 
2. O meio pode ser opaco e a luz que penetra não vai se propagar sendo absorvida logo 
nos primeiros átomos próximos a interface. 
3. O meio pode ser translúcido e luz que penetra vai se propagar mas sua intensidade 
diminui de forma considerável durante a propagação. 
Na verdade, as situações 1 e 2 acima são consideradas dois extremos da situação 3 e qualquer 
material na verdade é translúcido onda a intensidade da luz sempre vai ser reduzida a medida que a 
luz atravessa o meio. O vácuo é uma excessão já que o vácuo é 100% transparente para ondas 
luminosas. Os detalhes das propriedades do meio que definem como o material vai lidar com uma 
onda luminosa se propagando podem ser estudadas usando a forma complexa do indice de refração. 
 Nas seções onde estudaremos reflexão e refração da luz estaremos falando de meios 
transparentes com reflexão especular. 
Um pouco de história para contextualizar 
 Em ótica geométrica a propagação da luz em diferentes meios e a interação da luz com 
interfaces e espelhos é estudada geralmente usando dois princípios bem distintos conhecidos como 
o princípio de Huygens e o princípio de Fermat. 
 O princípio de Christiaan Huygens (Traite de la lumiere - 1690) se sustenta na afirmação de 
que a luz se propaga como uma onda e é exatamente da dinâmica de ondas que se deriva seus 
resultados. Esse princípio era muito diferente da hipótese proposta por Newton de que a luz era 
composta de partículas (1672). Não vamos entrar em detalhes da disputa de hipóteses da natureza da 
luz, mas a discussão entre a natureza ondulatória versus a natureza corpuscular da luz é um belo 
capítulo história das batalhas científicas. Também não vamos entrar em detalhes a respeito do 
princípio de Huygens. Me limitarei apenas a listar algumas características das ideias de Huygens. 
 Huygens acreditava que ... 
1. ... a velocidade da luz era finita baseado em medidas feitas por Olaus Romer (1679); 
2. ... a propagação da luz se dava por ondas sendo transportada por colisões de esferas que 
constituíam o éter; 
3. ... a luz era uma onda longitudinal; 
4. ... poderia descrever a propagação da luz usando uma construção geométrica que diz que 
após um certo intervalo de tempo cada ponto de uma crista da onda podia ser interpretado 
como o centro de uma nova onda esférica. Quanto menor o intervalo de tempo mais fiel seria 
a descrição. 
Embora o princípio de Huygens apresente aspectos ondulatórios e sua construção geométrica 
explique vários fenômenos observados, sua utilidade prática é extremamente limitada em condições 
de propagação mais complexas. Lembrar que essas ideias não foram de forma alguma inspiradas pela 
teoria ondulatória da luz do eletromagnetismo que só veio a ser proposta cerca 200 anos depois. 
Portanto, para estudar os principais fenômenos em ótica geométrica nós vamos voltar no 
tempo para entender um princípio mais geral e prático. O princípio de Pierre Fermat (1650) consiste 
na ideia de que um raio de luz se propaga entre dois pontos de forma que o tempo necessário para 
a viagem desse raio seja a mínima possível. 
Cuidado: A ideia de um raio de luz parece nos levar a pensar na luz como um fluxo de partículas 
luminosas e o raio sendo o caminho pela qual a partícula viajou como na teoria corpuscular da luz 
proposta por Newton. Entretanto, como será explicado abaixo, a ideia de um raio de luz é 
perfeitamente compatível com a teoria ondulatória da luz. 
É preciso definir ainda o que é um raio 
de luz e como ele pode ser entendido no 
contexto de ondas eletromagnéticas. Considere 
os três exemplos de ondas mostradas ao lado 
em duas dimensões: onda plana, esférica e 
arbitrária. As linhas pretas representam 
sucessivos cristas de ondas das ondas (poderia 
ser qualquer valor da amplitude desde que seja 
sempre o mesmo). Um raio é definido como uma linha que sempre está perpendicular às linhas pretas. 
Nos desenhos você pode ver quatro exemplos de raios de luz (em vermelho) para cada tipo de onda. 
É possível definir matematicamente um raio de luz, mas isso não é necessário aqui. Basta ficar 
entendido que isso é possível. Da mesma forma que é possível definir o raio em termos da onda, o 
contrário é possível. Se uma análise de uma situação nos dá os possíveisraios de luz, é possível inferir 
informações sobre a onda associada. Portanto, que fique claro que daqui para frente quando falarmos 
de raios de luz, estamos falando da direção que é perpendicular à tangente das cristas de onda. 
Retornando ao princípio de Fermat. O caminho percorrido por um raio de luz de um ponto A 
a um ponto B será aquele de que levará o menor tempo. O caminho que leva ao menor tempo é 
chamado de caminho ótico. Em um meio homogêneo, onde a velocidade da luz é constante, o menor 
tempo leva à menor distância que é uma reta! Portanto, podemos afirmar que em um meio 
homogêneo um raio de luz vai se propagar em linha reta (Olhe para os desenhos acima e descubra se 
o meio é homogêneo ou não em cada caso). Nesse curso eu vou pedir que você acredite em mim a 
respeito do princípio de Fermat. Mas se isso não for aceitável eu recomendo a seção 3 do capítulo 2 
de Física Básica vol. 4 do Moysés. Utilizaremos apenas as conclusões mencionadas acima. 
Uma visão geral da reflexão e da refração 
 Considere uma região do espaço próxima à interface 
entre dois meios 1 e 2 com índices de refração diferentes tal que 
𝑛1 < 𝑛2. Uma onda luminosa plana no meio 1 se aproxima da 
interface. É possível observar experimentalmente que um feixe 
estreito de luz monocromática ao encontrar uma interface lisa 
entre dois materiais transparentes vai ser refletida e refratada. 
Essas observações experimentais podem ser feitas utilizando 
instrumentos de medidas de orientações desses feixes de luz. 
Vamos considerar que todos os ângulos são medidos em relação 
ao eixo perpendicular à interface e que o plano definido pelo 
raio incidente e o eixo perpendicular é o plano do desenho ao 
lado. Fazendo a análise em termos dos raios de luz incidente, 
refletido e refratado podemos listar algumas conclusões: 
1. As frequências da luz dos três raios são iguais. No caso de luz visível podemos dizer que a cor 
dos três raios são a mesma. A explicação para isso está na natureza da propagação da luz em 
meios materiais que se dá pela absorção e reemissão de luz. Esses dois processos podem ser 
entendidos como partes de um processo de oscilação forçada (amortecida) dos elétrons nos 
átomos da matéria provocada pelo campo eletromagnético através da força de Lorentz. 
Lembre-se que em uma oscilação forçada o sistema oscilante (elétrons) vai ter mesma 
frequência da fonte de energia (luz). Portanto a reemissão de luz pelos elétrons terá mesma 
frequência da luz absorvida; 
2. Os raios incidente, refletido e refratado são coplanares. A explicação dessa observação pode 
ser obtida através de uma cuidadosa análise dos vetores de onda dos raios incidente, refletido 
e refratado. Essa análise será feita usando as condições de contorno para campos elétricos e 
magnéticos no curso de eletromagnetismo. Aqui, porém, nos limitaremos a usar dois 
argumentos: 
i. Simetria: Considere o eixo perpendicular ao plano definido pelos raios (saindo da 
página no desenho acima). Se os meios 1 e 2 são homogêneos significa que não existe 
alterações nas propriedades quando nos movemos para fora do plano da página em 
qualquer sentido. Para que o raio refletido ou refratado não permaneça no mesmo 
plano deveria haver um motivo para sair em um dos sentidos. Como os dois sentidos 
seriam iguais do ponto de vista de propriedades a ‘escolha’ teria que ser arbitrária. 
Portanto, os raios refletido e refratado permanecem no mesmo plano; 
ii. Princípio de Fermat: O caminho ótico entre dois pontos será formado por dois 
segmentos de reta referentes aos raios incidente e refletido (ou refratado). É possível 
visualizar que se o plano formado pelos dois seguimentos de reta não for 
perpendicular ao plano da interface o caminho NÃO será o de menor tempo de 
viagem da luz. Portanto para que o princípio de Fermat seja obedecido é necessário 
que o plano formado pelos seguimentos seja perpendicular ao plano da interface. Isso 
leva à coplanaridade dos raios. 
3. O ângulo do raio incidente 𝜃1 e do raio refletido 𝜃1′ são iguais. Esse fato é conhecido como 
Lei da Reflexão. 
4. Quando a luz é refratada o raio refratado não segue a mesma direção do raio incidente. Neste 
caso em que 𝑛1 < 𝑛2 observa-se que o ângulo 𝜃2 do raio refratado é menor que o ângulo do 
raio incidente 𝜃1. Esse fenômeno de mudança de ângulo é conhecido como refração e a 
equação que descreve a relação entre os ângulos é a Lei da Refração ou Lei de Snell. Algumas 
observações sobre esse fato: 
i. Essa relação é invertida caso a relação entre os índices de refração seja invertida com 
uma certa limitação que será discutida em breve. 
ii. Se os índices de refração dos diferentes meios forem iguais os ângulos serão iguais, 
ou seja, o raio refratado segue na mesma direção do raio incidente. 
iii. Um observador posicionado no meio 2 que observa o raio refratado não tem como 
saber de onde o veio o raio incidente. Portanto, se a experiencia diária de que a luz 
sempre se propaga em linha reta vai fazê-lo concluir que o objeto que emitiu a luz 
original está na mesma direção da luz refratada. Esta conclusão é o fenômeno por trás 
de muitas ilusões de ótica proporcionada pela refração da luz. 
 
Parte 3 
Dedução da Lei da reflexão 
 Um raio de luz que sai do ponto A e chega ao ponto B 
através de uma reflexão na interface entre dois meios 1 e 2 com 
índices de refração 𝑛1 e 𝑛2 como mostrado ao lado. Os pontos 
A e B estão separados entre si por uma distância horizontal 
𝐷 = 𝑎 + 𝑏 e ambos separados de uma distância vertical H da 
interface. Vamos considerar que os ângulos de incidência 𝜃1 e de 
reflexão 𝜃1′ podem assumir qualquer valor que permita ligar os 
pontos A e B por dois segmentos de comprimento 𝐿1 e 𝐿2. 
 Vamos usar o princípio de Fermat para mostrar que se o raio percorrer o caminho ótico de 
A até B por reflexão então os ângulos 𝜽𝟏 e 𝜽𝟏′ devem ser iguais. 
 Lembre-se que o caminho ótico é aquele que tem o menor tempo de viagem. Se o tempo de 
viagem do raio incidente é 𝑇1 e do raio refletido é 𝑇2, então o tempo total de viagem é 
 𝑇 = 𝑇1 + 𝑇2 =
𝐿1
𝑣1
+
𝐿2
𝑣2
 (Eq. 3.1) 
onde 𝑣1 e 𝑣2 são as velocidades dos dois raios. Como os dois raios viajam no mesmo meio temos que 
𝑣1 = 𝑣2 = 𝑣. O importante aqui é manter em mente que os comprimentos 𝐿1 e 𝐿2 dependem dos 
ângulos 𝜃1 e 𝜃1′. Da figura acima podemos concluir que 
 𝐿1 =
𝐻
cos⁡ 𝜃1
 (Eq. 3.2) 
 𝐿2 =
𝐻
cos⁡ 𝜃1′
 (Eq. 3.3) 
Assim, com a intenção de usar o princípio de Fermat, podemos escrever que 
 
𝑑𝑇
𝑑𝜃1
=
1
𝑣
(
𝑑𝐿1
𝑑𝜃1
+
𝑑𝐿2
𝑑𝜃1
) (Eq. 3.4) 
 A derivada 
𝑑𝐿1
𝑑𝜃1
 do lado esquerdo da eq. 3.4 pode ser calculada diretamente usando a eq. 3.2. 
Entretanto, o mesmo não pode ser dito da derivada 
𝑑𝐿2
𝑑𝜃1
 já que 𝐿2 não depende explicitamente de 𝜃1. 
Temos duas alternativas: 
i. Encontrar 𝐿2 em função de 𝜃1; 
ii. Encontrar a relação entre 𝑑𝜃1 e 𝑑𝜃1′. 
A segunda alternativa é mais simples. Vamos escrever D em função dos ângulos para um H 
constante 
 𝐷(𝜃1, 𝜃1′) = 𝐻[𝑡𝑎𝑛(𝜃1) + 𝑡𝑎𝑛(𝜃1′)] (Eq. 3.5) 
Uma variação nos ângulos seria equivalente a uma variação total em D tal que 
 𝛿𝐷 =
𝜕𝐷
𝜕𝜃1
𝑑𝜃1 +
𝜕𝐷
𝜕𝜃1′
𝑑𝜃1′ = 𝐻 [
1
𝑐𝑜𝑠2(𝜃1)
𝑑𝜃1 +
1
𝑐𝑜𝑠2(𝜃1′)
𝑑𝜃1′] (Eq. 3.6) 
Se D também é constante, ou seja, os pontos A e B estão fixos, então podemos dizer que 𝛿𝐷 =
0 e na verdade uma variação em 𝜃1 causa uma variação em 𝜃1′. Usando a eq. 3.6 temos 
 𝑑𝜃1 = −
𝑐𝑜𝑠2(𝜃1)
𝑐𝑜𝑠2(𝜃1′)
𝑑𝜃1′ (Eq. 3.7) 
Substituindo a eq. 3.7 na eq. 3.4 temos 
 
𝑑𝑇
𝑑𝜃1
=
1
𝑣
(
𝑑𝐿1
𝑑𝜃1
−
𝑐𝑜𝑠2(𝜃1′)
𝑐𝑜𝑠2(𝜃1)
𝑑𝐿2
𝑑𝜃1′
) (Eq. 3.8) 
Usando as eqs. 3.2 e 3.3 podemos calcular as derivadas acima e chegamos a 
 
𝑑𝑇
𝑑𝜃1
=
1
𝑣
[
−𝑠𝑒𝑛(𝜃1) + 𝑠𝑒𝑛(𝜃1′)
𝑐𝑜𝑠2(𝜃1)
] (Eq. 3.9) 
Sabendo que o princípio de Fermat diz que o caminho ótico é aquele que minimiza o tempo 
total de viagem, temos que o valor de 𝜃1que produz 
𝑑𝑇
𝑑𝜃1
= 0 acontece quando o termo entre 
colchetes na eq. 3.9 é igual a zero. Isso é válido quando 𝑠𝑒𝑛(𝜃1) = 𝑠𝑒𝑛(𝜃1′). 
Sabendo que 𝜃1 ⁡< 90° e ⁡𝜃1′ < 90° temos que o princípio de Fermat nos leva a concluir que 
 𝜃1 = 𝜃1′ (Eq. 3.10) 
 A eq. 3.10 é a Lei da Reflexão como queríamos demonstrar. 
Dedução da Lei da refração 
 De forma similar ao que foi feito na dedução da Lei da Reflexão 
temos um raio de luz saindo de A para B. Agora, como na figura ao lado, 
A está no meio 1 enquanto B está no meio 2. 
A eq. 3.1 continua válida e a partir dela podemos escrever uma 
equação semelhante a eq. 3.4. Entretanto, as velocidades 𝑣1 e 𝑣2 são 
diferentes. Agora temos que deixar explícito a relação das velocidades 
com os índices de refração tal que 𝑣1 =
𝑐
𝑛1
 e 𝑣2 =
𝑐
𝑛2
. Novamente 
queremos usar o princípio de Fermat então vamos calcular 
𝑑𝑇
𝑑𝜃1
 
 
𝑑𝑇
𝑑𝜃1
=
1
𝑐
(𝑛1
𝑑𝐿1
𝑑𝜃1
+ 𝑛2
𝑑𝐿2
𝑑𝜃1
) (Eq. 3.11) 
onde 
 𝐿1 =
𝐻
cos⁡ 𝜃1
 (Eq. 3.12) 
 𝐿2 =
𝐻
cos⁡ 𝜃2
 (Eq. 3.13) 
 Se D e H são constantes podemos usar o mesmo procedimento da seção anterior para mostrar 
que 
 𝑑𝜃1 = −
𝑐𝑜𝑠2(𝜃1)
𝑐𝑜𝑠2(𝜃2)
𝑑𝜃2 (Eq. 3.14) 
 
Combinando-a com as eqs. 3.11-14 temos 
 
𝑑𝑇
𝑑𝜃1
=
1
𝑐
[
−𝑛1𝑠𝑒𝑛(𝜃1) + 𝑛2𝑠𝑒𝑛(𝜃1′)
𝑐𝑜𝑠2(𝜃1)
] (Eq. 3.15) 
Sabendo que 𝜃1 ⁡< 90° e ⁡𝜃1′ < 90° temos que o princípio de Fermat nos leva a concluir que 
 𝑛1𝑠𝑒𝑛(𝜃1) = 𝑛2𝑠𝑒𝑛(𝜃2) (Eq. 3.16) 
A eq. 3.16 é a Lei da Refração ou Lei de Snell como queríamos demonstrar. 
Reflexão interna total 
 Considere um raio de luz que propaga em direção a uma interface tal que o índice de refração 
do meio 1 é maior que o índice de refração do meio 2, ou seja, 
 𝑛1 > 𝑛2 (Eq. 3.17) 
 Vamos a eq. 3.16 para o ângulo do raio incidente. 
 𝜃2 = arcsin⁡ (
𝑛1
𝑛2
𝑠𝑒𝑛(𝜃1)) (Eq. 3.18) 
 Lembre-se que uma função arcsin(𝑠) só pode ser calculada para o intervalo −1 ≤ 𝑠 ≤ 1 que 
é equivalente ao cálculo de um ângulo limitado 0 ≤ 𝜃 ≤ 360°. Porém, devido à nossa construção 
geométrica, o ângulo 𝜃2 é mais limitado ainda tal que 0 ≤ 𝜃2 ≤ 90° fato que remove as ambiguidades 
da função arcsin(𝑠). 
 Aqui, o argumento da função arcsin é 
𝑠 =
𝑛1
𝑛2
𝑠𝑒𝑛(𝜃1) e se esse argumento for maior 
que a unidade então o ângulo 𝜃2 não pode ser 
calculado. Observe o gráfico ao lado. A linha 
tracejada na diagonal é equivalente ao gráfico da 
eq. 3.18 se 𝑛1 = 𝑛2 (Se convença disso!). Para a 
condição da eq. 3.17 temos o gráfico em linha 
contínua. Perceba que antes de 𝜃1 chegar a 90° 
o valor do argumento 𝑠 fica é igual a unidade e, 
portanto, a partir deste ponto não é possível 
calcular o ângulo de refração 𝜃2. Em outras 
palavras, o ângulo de refração 𝜃2 chega ao limite 
de 90° antes do ângulo de incidência 𝜃1 chegar ao 
seu limite. 
 Quando não há refração, toda a luz incidente deve ser obrigatoriamente refletida. Dizemos 
que nessa condição temos uma reflexão total da luz. Isso ocorre a partir de um ângulo de incidência 
crítico 𝜃𝑐 que pode ser encontrado quando o argumento 𝑠 = 1. 
 𝜃𝑐 = arcsen(
𝑛2
𝑛1
) (Eq. 3.19) 
 Você pode usar a eq. 3.19 para se convencer de que o fenômeno de reflexão total da luz só 
acontece quando o raio de luz sai de um meio com índice de refração maior para um meio com índice 
de refração menor.