gab_prv2_1s_2010

Prévia do material em texto

SEL310/612-Ondas eletromagnéticas. Gabarito 2a Prova, Referência P1.
Junho de 2010
Questão 1: Uma onda eletromagnética polarizada perpendicularmente ao plano de incidência (xz)
propaga-se em meio caracterizado por "r1 = 6 e �r1 = 2. A amplitude máxima do campo elétrico da onda
incidente é E0 = 1 V/m. Esta onda incide com ângulo �i = 250 sobre a interface (z = 0) com meio carac-
terizado por "r2 = 4 e �r2 = 2. Determinar o valor médio do vetor de Poynting da onda transmitida para o
meio 2.
Solução: O campo elétrico da onda transmitida é Et = TIE0 exp [�j (ktxx+ ktzz)] by. O campo magnético
é Ht = (�ktzbx+ ktxbz) (TIE0=!�2) exp [�j (ktxx+ ktzz)]. O valor médio do vetor de Poynting da onda
transmitida é < Si >= (1=2)Re
h
Ei �H�i
i
=
�
T 2I E
2
0=!�1
�
(ktxbx+ ktzbz) W/m2. Como ktx = k2sen (�t) e
ktz = k1cos(�t), o valor médio do vetor de Poynting da onda transmitida é St >= (1=2)Re
h
Et �H�t
i
=�
T 2I E
2
0=2�2
�
[sen (�t) bx+ cos (�t)] bz W/m2, na qual TI é o coe…ciente de re‡exão de campo, calculado por
meio de TI = [2�2 cos (�i)] = [�2 cos (�i) + �1 cos (�t)].
O ângulo de transmissão para o meio é �t = sen�1
��p
�r1"r1=
p
�r2"r2
�
sen (�i)
�
e as impedâncias intrínsecas
dos meios são �1 =
p
�1="1 e �2 =
p
�2="2. Substituindo os valores resulta em �t = 31; 2
0; �1 = 217; 7 ohms;
�2 = 266; 6 ohms; TI = 1; 129
1 ; < St >= (1; 24bx+ 2; 05bz)� 10�3 W/m2.
Questão 2: Uma onda eletromagnética plana se propaga para dentro do solo, composto por terra úmida,
cuja constante dielétrica relativa na freqüência f = 100 MHz é e"r = "r � j�= ("0!) = 10 � j5. Sabendo
que o campo elétrico na superfície do solo é E = 200 V/m, determinar o fasor campo magnético a uma
profundidade ` = 5 metros (em formato A6 � A/m).
Solução: O fasor campo elétrico é Ef = E exp (�kz) e o fasor campo magnético é Hf = (E=Z) exp (�kz),
nas quais Z é a impedância intrínseca do meio e k = kr+jki, pois a terra úmida é dissipativa. A impedância
intrínseca do meio é Z = 377=
pe"r = 377=p10� j5 = 109; 7 + j25; 9 
, ou Z = 112; 86 13; 30. Temos que
k = j (2�f=c)
pe"r = �2� � 100� 106=3� 108�p10� j5 = 1; 61+ j6; 82 ou kr = 1; 61 m�1 e ki = 6; 82 m�1.
Para `, k` = (1; 61 + j6; 82) � 5 = 8; 05 + j34; 08. Portanto, Ef (z = 5 m) = 200 exp (�8; 05) exp (�j34; 08)
e Ef (z = 5 m) = 64� 10�3 6 � 152; 60 V/m. O fasor campo magnético é Hf (z = 5 m) = Ef (z = 5 m)=Z =
[200 exp (�8; 05) exp (�j34; 08)] = (109; 7 + j25; 9). Portanto, Hf (z = 5 m) = 5; 69� 10�4 6 � 1660 A/m ou
.Hf (z = 5 m) = � (5; 52 + j1; 39)� 10�4 A/m.
Questão 3: As duas componentes do campo elétrico de uma onda eletromagnética propagando em meio
sem perdas caracterizado por � = �0 e " = 4"0 são E1 = bz16 cos (!t� kxx) mV/m e E2 = by16 cos (!t� kxx)
mV/m. Calcular: (Q3.a) o valor médio do vetor de Poynting (em mW/m2); (Q3.b) A polarização da onda
(linear, circular ou elíptica. Caso seja circular ou elíptica, informar se mão esquerda ou mão direita).
Solução: O fasor de cada componente da onda será dado por E1 (x) = 16e�jkxxbz (mV=m) e E2 (x) =
16e�jkxxby mV/m. Portanto, o campo total será dado por �!E (x) = 16 (by + bz) exp (�jkxx) mV/m. O
campo magnético é determinado a partir da equação de Maxwell, H = �r � E= (j!�), com r � E =
�by@Ez=@x + bz@Ey=@x. Portanto, H = �16� 103=�� (�by + bz) exp (�jkxx) �A/m. O valor médio do vetor
de Poynting é
S (x; t)
�
= (1=2)Re
�
E �H�
�
, com E �H� = (Eyby + Ezbz)� �H�y by +H�z bz�, resultando em
S (x; t)
�
=
�
162=�
� bx mW/m2. Mas, � = p�=" = �0p�r="r = 377=p"r = 377=p4 = 377=2 
. Portanto,
S (x; t)
�
= 1; 36 mW/m2 .
A partir do campo elétrico, E = Re f16 (by + bz) exp (�jkxx) exp (j!t)g ou E = 16 (by + bz) cos (!t� kxx).
Em x = 0 e variando t, concluímos que a onda é linearmente polarizada a 450 .
Questão bônus: Um guia de onda metálico preenchido com ar possui seção retangular de dimensões 45
mm por 90 mm. Determinar a relação entre a velocidade de fase no guia e no vácuo, vf=c, na freqüência 1,6
vezes a freqüência de corte do modo fundamental.
Solução: A frequência de corte do modo fundamental TE é fc = c=
�
2
p
�r"r
�q
(m=a)
2
+ (n=b)
2. Para o
modo fundamental TE10, m = 1 e n = 0. Para guia com ar, �r = 1; "r = 1. Assim, fc = c=2a. Substituindo
1O coe…ciente de re‡exão é RI = 0; 129.
1
os valores, fc = 1; 67 � 109 Hz. A velocidade de fase é vf = c=
�p
�r"r
� h
1� (fc=f)2
i�1=2
. Substituindo os
valores vf = 3; 843� 1010 cm/s. A relação procurada é vf=c = 1; 281 .
Gabarito de todas as provas
Resposta/Prova P1 P2 P3 P4
< St >= (1; 24bx+ 2; 05bz)� 10�3 W/m2 Q1 Q2 Q3 Q1
Hf (z = 5 m) = 5; 69� 10�4 6 � 1660 A/m Q2 Q3 Q2 Q3
S (x; t)
�
= 1; 36 mW/m2 Q3.a Q1.a Q1.a Q2.a
linearmente polarizada a 450 Q3.b Q1.b Q1.b Q2.b
vf=c = 1; 281 Qb Qb Qb Qb
2