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SEL310-Ondas eletromagnéticas. Gabarito 2a. Prova (P1).
julho de 2007
Questão 1
Uma onda plana uniforme propaga-se no ar e incide normalmente sobre plano infinito de material dielétrico
caracterizado por ε = 3ε0 e μ = μ0. Se o campo elétrico da onda no ar é Ei = 10 cos (ωt− z) by V/m,
calcular: a) a freqüência da onda, em Hz; b) o comprimento de onda guiada no ar e no material dielétrico;
c) a expressão instantânea do campo magnético no ar; d) o valor médio do vetor de Poynting, em mW/m2
no ar e no material dielétrico.
Solução
No meio 1 (ar) há duas ondas: a incidente e a refletida e no meio 2, a transmitida. O campo elétrico total
no meio 1 corresponde à superposição das ondas incidente e refletida. Como a incidência é normal (θi = 00),
os coeficientes de reflexão e transmissão são RN = (η2 − η0) / (η2 + η0) e TN = 1 + RN . As impedâncias
intrínsecas dos meios são η0 = 377 Ω e η2 = η0/
√
εr2 Ω. Portanto, RN =
¡
1/
√
3− 1
¢
/
¡
1/
√
3 + 1
¢
= −0, 268
e TN = 1− 0, 268 = 0, 732. Os fasores campo elétrico das ondas incidente, refletida e transmitida são dados
por: Ei = 10 exp (−jz) by V/m; Er = −0, 268 × 10E0 exp (jz) by V/m; Et = 0, 732 × 10E0 exp ¡j√3z¢ by
V/m. As correspondentes expressões do fasor campo magnético são: Hi = −10 exp (−jz) bx A/m; Hr =
−0, 268 (10/377) exp (jz) bx A/m; Ht = £10/ ¡377/√3¢¤× 0, 732× exp ¡j√3z¢ bx A/m. Os valores médios do
vetor de Poynting correspondente às ondas incidente, refletida e transmitida são Si,med = 102/ (2× 377) bz
W/m2, Sr,med = (−0, 268)2×102/ (2× 377) (−bz) W/m2 e St,med = (0, 732)2×102/ ¡2× 377/√3¢ (bz) W/m2.
Portanto, E1 = Ei + Er = 10 [exp (−jz)− 0, 268 exp (jz)] bx V/m. O correspondente campo magnético
é H1 = Hi + Hr = − (10/377) [exp (−jz) + 0, 268 exp (jkrzz)] bx A/m. A expressão temporal do campo
magnético no meio 1 é H1 = − (10/377) [cos (ωt− z) + 0, 268 cos (ωt+ z)] by A/m. O valor médio do vetor
de Poynting no meio 1 é S1,med = 102/ (2× 377)
h
1− (−0, 268)2
i bz W/m2.
O fasor campo elétrico é Ei = 10 exp (−jz) by V/m. A onda se propaga no sentido +z, o campo elétrico
aponta no sentido +y e o campo magnético no sentido −x. Inspecionando a expressão de Ei concluímos
que kiz = 1 rad/m. Mas, kiz = ω/c = 2πf/c = 2π/λ0, na qual c é a velocidade da luz no vácuo e λ0 é
o comprimento de onda no vácuo. Portanto, f = kizc/ (2π) = 1 × 3 × 108/ (2π) e f = 47, 75 MHz . A
freqüência angular é ω = kizc e ω = 3× 108 rad/s. Também, λ0 = 2π/kiz e λ0 = 6, 28 metros . No material
dielétrico1 caracterizado por εr2 = 3, λ2 = λ0/
√
εr2 = 6, 28/
√
3 e λ2 = 3, 63 metros . A expressão temporal
do campo magnético no meio 1 é H1 = −27 [cos (ωt− z) + 0, 268 cos (ωt+ z)] bx mA/m . Os valores médios
do vetor de Poynting são S1,med = 123 mW/m2 e S2,med = 123 mW/m2 .
Questão 2
Uma onda eletromagnética de freqüência 3 GHz propaga-se no sentido +z em um material dissipativo
caracterizado por ε = (4− j0, 1) ε0 e μ = μ0. Esta onda incide normalmente sobre um plano condutor
perfeito localizado em z = 0. O campo elétrico da onda incidente está na direção bx e sua amplitude é 10
V/m em z = 0. Calcular: a) as constantes de atenuação e fase em Np/m e rad/m, respectivamente; b) a
impedância intrínseca do meio; c) o fasor campo elétrico resultante no material dissipativo; d) o módulo do
campo elétrico das ondas incidente e refletida em z = −1 metro, em V/m.
Solução
O vetor propagação no meio é k = (2πf/c)
p
εrc = kr − jki. A impedância intrínseca do meio é η =
377/
p
εrc. A propagação da onda incidente é no sentido +z, o campo elétrico no sentido +x e o campo
1Note que Ei × Hi resulta no sentido +z. Note que no meio dielétrico 2 a freqüência do sinal é a mesma do meio 1,
f = vf/λ2 = (c/
√
εr2) / (λ0/
√
εr2) = c/λ0. Correção: no item b) "o comprimento de onda guiada no ar e no material
dielétrico", o termo onda guiada obviamente não se aplica porque os meios são infinitos. Foi um engano.
1
magnético no sentido +y. O plano de incidência é o x − z. Como o campo elétrico da onda incidente é
paralelo ao plano de incidência, o coeficiente de reflexão é R = 1. A propagação da onda refletida é no
sentido −z, o campo elétrico no sentido −x e o campo magnético no sentido +y. O campo elétrico da
onda incidente é Ei = E0 exp (−kiz) bx e o da onda refletida é Er = −RE0 exp (kiz) bx, nas quais z = −1
metro. O fasor campo elétrico resultante corrresponde à ao da superposição das duas ondas no material
dissipativo. Portanto, E = Ei + Er = E0 [exp (−jkz)−R exp (jkz)] bx. Substituindo os valores numéricos,
k =
¡
2π × 3× 109/3× 108¢p(4− j0, 1) e k = 125, 67 − j1, 57. Portanto, a constante de atenuação é
ki = 1, 57 Np/m e a constante de fase é kr = 125, 67 rad/m . A impedância intrínseca do meio é η =
377/
√
4− j0, 1 = 188, 5 + j2, 36 ou 188, 56 0, 720 Ω . O módulo do campo elétrico da onda incidente é
Ei = 10 exp [−1, 57× (−1)] e Ei = 48, 01 V/m . O módulo do campo elétrico da onda refletida é Er =
10 exp [1, 57× (−1)] e Ei = 2, 08 V/m . O fasor campo elétrico resultante é
E = 10 [exp (−1, 57z) exp (−j125, 67z)− exp (1, 57z) exp (j125, 67z)] bx V/m 2.
Questão 3
Considerar um guia de onda metálico de seção retangular e preenchido com ar. A seção retangular possui
dimensões a = 1, 0 cm e b = 0, 5 cm. a) determinar os modos TE que propagam no guia para freqüência
de operação 35 GHz; b) a constante de propagação do modo fundamental TE10; c) o comprimento de onda
guiada; em cm; d) a velocidade de grupo do modo fundamental TE10.
Solução
A freqüência de corte dos modos é fc = (c/2)
q
(m/a)2 + (n/b)2 Hz, na qual c é a velocidade da luz no
vácuo. A constante de propagação é β =
q
(2πf/c)2 − (mπ/a)2 − (nπ/b)2. O comprimento de onda guiada
é λg = 2π/β. A velocidade de grupo é vg = c
q
1− (fc/f)2. Para a = 1, 0 cm; b = 0, 5 cm; f = 35
GHz, as freqüências de corte dos modos TE10; TE20; TE11 e TE01 são, respectivamente, fc10 = 15 GHz;
fc20 = 30 GHz; fc01 = 30 GHz e fc11 = 33, 54 GHz. As freqüências de corte dos modos TE21 e TE02 são
fc21 = 42, 43 GHz e fc02 = 60 GHz. Se a freqüência de operação é 35 GHz, então podem se propagar apenas
os modos que têm freqüência de corte abaixo dela. Portanto, os modos são TE10, TE20, TE11 e TE01 .
Para o modo fundamental TE10 a constante de propagação é β = 6, 623 rad/cm ; o comprimento de onda
guiada é λg = 0, 95 cm ; a velocidade de grupo3 é vg = 2, 71× 1010 cm/s .
2Notar que a amplitude do campo elétrico da onda incidente decai ao se aproximar do plano condutor perfeito (propagação
no sentido +z). Em z = −1 metro a amplitude é 48, 01 V/m e em z = 0 é 10 V/m. A amplitude do campo elétrico da onda
refletida decai ao se afastar do plano condutor perfeito (propagação no sentido −z). Em z = 0 a amplitude é 10 V/m e em
z = −1 metro é 2, 08 V/m.
3A velocidade de fase é vf = c/
t
1− (fc/f)2 = 3, 32× 1010 cm/s e vfvg = 9, 0× 1010 = c2 ,(cm/s)2.
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