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SEL310;SEL612-Ondas eletromagnéticas. Gabarito da Prova do Regime de
Recuperação.
fevereiro de 2005
Questão 1
Uma linha de transmissão cuja impedância característica é Z01 está conectada em uma extremidade
a um gerador de sinais que opera na freqüência f0. Na extremidade oposta estaria conectada uma
impedância de carga Z´L. Esta carga estaria conectada em paralelo a uma outra impedância de
carga, ZL. Entretanto, houve um acidente e um curto-circuito cancelou o efeito da impedância
de carga Z´L, ficando localizado na sua posição. A situação final do circuito está representada na
figura abaixo. A uma distância x1 da carga ZL um trecho de linha de transmissão de impedância
característica Z02 está conectado em paralelo à linha de transmissão principal. A impedância vista
no plano A−A0 é ZA. Por intermédio da carta de Smith, determinar o (s) valor (es):
1. do coeficiente de reflexão na carga equivalente situada em BB´;
2. da relação de onda estacionária (ROE) no trecho AA0 −BB0;
3. do máximo de tensão no trecho AA0 −BB0;
4. de ZA, em ohms.
Dados: Z01 = 50 ohms; Z02 = 150 ohms; Z1 = 200 ohms; ZL = 50+ j100 ohms; f0 = 2, 5 GHz;
V0 = 1 volt (amplitude máxima da tensão incidente na linha); x1 = 0, 25λ; x2 = 0, 10λ; x3 = 0, 25λ;
x4 = 0, 50λ.
Z1
ZL
A
A’
B
B’
C
C’
Z01
Curto-
circuito
Z02
x3
x2ZA
D’
D
x4x1
Z01
E
E’
Z1
ZL
A
A’
B
B’
C
C’
Z01
Curto-
circuito
Z02
x3
x2ZA
D’
D
x4x1
Z01
E
E’
Solução
Como x4 = 0, 50λ, o efeito do curto-circuito em C−C´ é de curto-circuito (2×0, 25λ). Portanto, em
C− C´ a impedância equivalente é ZL em paralelo com curto-circuito, resultando em curto-circuito.
Como x1 = 0, 25λ, o efeito do curto-circuito em B−B´ é de circuito aberto. Assim, em B−B´ a carga
equivalente é o circuito aberto em paralelo com a impedância vista na entrada da linha Z02. Desta
forma, a impedância de carga da linha Z01 é a impedância vista na entrada da linha Z02. Analiti-
camente, o valor desta impedância é ZB−B´ = Z02. [Z1 + jZ02tg (β2x3)] / [Z02 + jZ1tg (β2x3)]. Mas,
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SEL310 e SEL612 Prova Regime de Recuperação Gabarito
β2x3 = (2π/λ)x3 = (2π × 0, 25λ) /λ = π/2. Substituindo os valores, temos que ZB−B´ = Z202/Z1 =
1502/200 e ZB−B´ = 112, 5 ohms.
A impedância ZA é dada por ZA = Z01. [ZB−B´ + jZ01tg (β1x1)] / [Z01 + jZB−B´tg (β1x1)]. Mas,
β1x1 = (2π/λ)x1 = (2π × 0, 10λ) /λ = 0, 2π.
Assim, ZA = 50. [112, 5 + j50tg (0, 2π)] / [50 + j112, 5tg (0, 2π)] e ZA = 46, 8 − j40, 2 ohms ou
ZA = 61, 76 − 40, 70. O valor do coeficiente de reflexão na carga equivalente situada em BB´ é
ΓB−B´ = (ZB−B´ − Z01)/(ZB−B´ + Z01), ou ΓB−B´ = (112, 5− 50) / (112, 5 + 50) = 0, 39. O valor da
relação de onda estacionária (ROE) no trecho AA0−BB0 é ROE =
¡
1 +
¯¯
ΓB−B´
¯¯¢
/
¡
1−
¯¯
ΓB−B´
¯¯¢
=
(1 + 0, 39) / (1− 0, 39) e ROE = 2, 28. O valor do máximo de tensão no trecho AA0 − BB0 é
Vmax = V0
¡
1 +
¯¯
ΓB−B´
¯¯¢
= 1 (1 + 0, 39) e Vmax = 1, 39 volts.
questão 1.1 1.2 1.3 1.4
resposta ΓB−B´ = 0, 39 ROE = 2, 28 Vmax = 1, 39 volts ZA = 46, 8− j40, 2 ohms
Questão 2
O campo elétrico de uma onda plana monocromática propagando-se na direção +bz pode ser rep-
resentado por uma combinação linear de duas ondas circularmente polarizadas, à direita, Ed =
(bx− jby) exp (−jβz), e à esquerda, Ee = (bx+ jby) exp (−jβz). Considere agora uma onda eliptica-
mente polarizada representada pelo campo elétrico E = aEd + bEe = 2bx + (1− 5j) by em z = 0.
Determinar as constantes complexas a e b polarização correspondente (à esquerda ou à direita).
Solução
Como E = aEd + bEe, Ee = (bx+ jby) e Ed = (bx− jby) em z = 0, então a (bx− jby) + b (bx+ jby) =
2bx + (1− 5j) by, na qual a e b são complexos. Reagrupando termos, bx (a+ b) + j (b− a) by =
2bx + (1− 5j) by, ou bx (a+ b) + j (b− a) by = 2bx + j (−j − 5j) by. Assim, temos: (a+ b) = 2 (1)
e (−a+ b) = −j − 5 (2). Desta forma, Re {a+ b} = 2 e Im {a+ b} = 0; Re {−a+ b} = −5
e Im {−a+ b} = −1. Se a = x1 + jy1 e b = x2 + jy2, então Re {a+ b} = x1 + x2 = 2 e
Im {a+ b} = y1 + y2 = 0; Re {−a+ b} = −x1 + x2 = −5 e Im {−a+ b} = −y1 + y2 = −1.
Resolvendo este sistema de equações, a = (1/2) (7 + j) e b = (−1/2) (3 + j). Para determinar a
polarização, E (z, t) = Re {[2bx+ (1− 5j) by] exp (−jωt)} ou E (z, t) = (2bx+ by) cos (ωt)+ 5bysen(ωt).
Para alguns valores de ωt,
ωt ωt = 0 ωt = π/2 ωt = π ωt = 3π/2
E E1 = 2bx+ by 5by −2bx− by 5by . Portanto, a onda
é elipticamente polarizada à direita .
Questão 3
Um guia de onda metálico cuja seção retangular possui dimensões 5, 08cm× 2, 54cm e é fabricado
com cobre e preenchido com dielétrico caracterizado por εr = 2, 22 e μr = 1. A tensão máxima que
o dielétrico pode suportar é E0,max = 3× 106 V/m e a freqüência de operação é 2, 5 GHz. Sabendo
que a potência média máxima suportada pelo guia é Pmed,max = E20,maxab/4ZTE watts, calcular:
5. A velocidade de fase, vf , e a velocidade de grupo, vg, do modo TE10, em cm/s;
6. A potência média, em watts, transportada pelo modo TE10 para o campo máximo.
Solução
A freqüência de corte do modos é fc =
¡
c0/2
√
εr
¢q
(m/a)2 + (n/b)2. Substituindo os valores para
o modo TE10, fc =
¡
3× 108/2√2, 22¢q(1/0, 0508)2 + (0/0, 0254)2 e fc = 1, 982 GHz.
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A velocidade de fase é vf =
¡
c0/
√
εr
¢
/
q
1− (fc/f)2.
Substituindo os valores, vf =
¡
3× 108/√2, 22¢ /q1− (1, 982/2, 5)2 e vf = 3, 303× 108 m/s.
A velocidade de grupo é vg =
¡
c0/
√
εr
¢q
1− (fc/f)2.
Substituindo os valores, vg =
¡
3× 108/√2, 22¢q1− (1, 982/2, 5)2 e vg = 1, 227× 108 m/s.
A impedância onda é ZTE,10 = η/
q
1− (fc/f)2.
Substituindo os valores, ZTE,10 =
¡
377/
√
2, 22
¢
/
q
1− (1, 982/2, 5)2 e ZTE,10 ' 415 ohms.
A potência média transportada pelo modo TE10 para campo elétrico máximo é Pmed,max =
E20,maxab/4ZTE =
¡
3× 106¢2 (0, 0508× 0, 0254) / (4× 415) e Pmed,max ' 7× 106 watts.
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