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SEL310;SEL612-Ondas eletromagnéticas. Gabarito da 3a. Prova.
novembro de 2005
Atenção: O gabarito apresentado está baseado na versão 1 da prova. Para as outras versões
são apresentados apenas os resultados numéricos.
Questão 1
Uma mina está localizada a 100 metros abaixo do solo. A gerência pretende instalar um sistema 
de comunicação sem fio com os responsáveis pela produção na mina, e para tanto quer comprar 
dois conjuntos receptor/transmissor trabalhando na faixa de 1 MHz. O problema está na escolha 
da potência média do transmissor, pois quanto maior esta, mais caro serão os aparelhos. Supondo 
que os receptores necessitem de sinais na faixa de 1μW para funcionarem bem, determine a 
potência necessária dos transmissores. As características do solo para a freqüência estipulada são 
4rε = ; 1rμ = ; 310σ −= S/m e as do ar são 1rε = ; 1rμ = . Adotar incidência normal nas 
interfaces solo/ar. 
Solução
potência média no receptor e campo elétrico transmitido: Etransm,2 =
√
2ZarPR
transmissão na interface solo/ar; campo transmitido no solo: E (d) = Etransm,2τ2 ; τ2 =
2Zar
Zsolo+Zar
atenuação no solo:
E (d) = Etransm,1 exp
µ
−j ωc
t
�r−j σ�0ω d
¶
e Etransm,1 = E (d) exp
³
j ωc
q
�r − j σ�0ωd
´
transmissão na interface ar/solo; campo incidente: Einc =
Etransm,1
τ1 ; τ1 =
2Zsolo
Zsolo+Zar
potência média do transmissor e campo elétrico incidente: PT =
|E|2inc
2Zar
nas quais:
PR = 1 μW
Zar = 377 Ω
ω
c =
2π106
3×108 = 2, 0944× 10−2q
�r − j σ�0ω =
q
4− j 10−3
8.85×10−122π106 = 3, 348 4− j2, 685 4
Zsolo =
q
μ0
�0
1t
�r−j σ�0ω
= 377/ (3, 348 4− j2, 685 4) = 68, 520 + j54, 952
Etransm,2 =
√
2ZarPR =
√
2× 377× 10−6 = 2, 45 9× 10−2 V/m
τ2 = 2ZarZsolo+Zar =
2∗377
68.520+54.952i+377 = 1, 667− j0, 20562
E (d) = Etransm,2τ2 =
2,745 9×10−2
1,667−j0,20562 = 1, 6225× 10−2 + j2, 0013× 10−3
Etransm,1 = E (d) exp
³
−j ωc
q
�r − j σ�0ωd
´
=
¡
1, 6225× 10−2 + j2, 0013× 10−3¢×
exp
£
j2, 0944× 10−2 (3, 348 4− j2, 6854)× 100¤ = 2, 9812 + j3, 4103
τ1 = 2ZsoloZsolo+Zar =
2(68.520+54.952i)
68,520+j54952+377 = 0, 33296 + j0, 20562
Einc =
Etransm,1
τ1 =
2,9812+j3, 4103
0,33296+j0,20562 = 11, 061 + j3, 4119 V/m
PT =
|E|2inc
2Zar =
|11,061+j3,411 9|2
2×377 = 0, 1777 W
1
SEL310 e SEL612 GABARITO DA 3a. PROVA
Resultados para as outras provas
Prova P2
PT =
|E|2inc
2Zar =
|11,061+j3,411 9|2
2×377 = 0, 1777 W
Prova P3
PT =
|E|2inc
2Zar =
|−1,2648−j1,0387|2
2×377 = 3, 5525× 10−3 W.
Prova P4
PT =
|E|2inc
2Zar =
|−1,2648−j1,0387|2
2×377 = 3, 5525× 10−3 W.
Questão 2
Considerar um guia de ondas metálico de seção retangular e preenchido com ar. A seção
retangular possui dimensões a=1,0 cm e b=0,5 cm. Determinar: 
(a) Os modos TE que se propagam no guia para uma freqüência de 40 GHz. 
Para o modo principal, calcular: 
(b) A constante de propagação β; 
(c) O comprimento de onda guiada; 
(d) A velocidade de fase. 
Solução
Prova P1 e Prova P2
A freqüência de corte dos modos é fc = (c/2)
q
(m/a)2 + (n/b)2 Hz. A constante de propagação
é β = (2πf/c)
q
1− (fc/f)2. O comprimento de onda guiada é λg = 2π/β. A velocidade de fase
é vf = c/
q
1− (fc/f)2. Para a = 1, 0 cm; b = 0, 5 cm; f = 40 GHz, as freqüências de corte dos
modos TE10; TE20; TE11 e TE01 são, respectivamente, fc10 = 15 GHz; fc20 = 30 GHz; fc11 = 52, 2
GHz e fc01 = 50 GHz. Se a freqüência de operação é 40 GHz, então se propagam apenas os modos
que têm freqüência de corte abaixo de f = 40 GHz, pois os que têm freqüência de corte acima,
estão cortados. Assim, propagam-se os modos TE10 e TE20. Para o modo fundamental TE10 a
constante de propagação é β = 7, 77 rad/cm; o comprimento de onda guiada é λg = 0, 81 cm; a
velocidade de fase é vf = 3, 24× 1010 cm/s.
Prova P3 e Prova P4
Para a = 1, 0 cm; b = 0, 3 cm; f = 40 GHz, as freqüências de corte dos modos TE10; TE20; TE11
e TE01 são, respectivamente, fc10 = 15 GHz; fc20 = 30 GHz; fc11 = 33, 54 GHz; fc01 = 30 GHz;
fc21 = 42, 43 GHz; fc12 = 61, 85 GHz. Se a freqüência de operação é 40 GHz, então se propagam
apenas os modos que têm freqüência de corte abaixo de f = 40 GHz, pois os que têm freqüência
de corte acima, estão cortados. Assim, propagam-se os modos TE10, TE20, TE11 e TE01. Para o
modo fundamental TE10 a constante de propagação é β = 7, 77 rad/cm; o comprimento de onda
guiada é λg = 0, 81 cm; a velocidade de fase é vf = 3, 24× 1010 cm/s.
2
SEL310 e SEL612 GABARITO DA 3a. PROVA
Questão 3
Um guia planar de lâmina dielétrica é formado por um núcleo de índice de refração n1=1,50 e 
casca com índice de refração n2=1,47. A espessura normalizada do núcleo é 0/ 1,05d λ = e a 
correspondente constante de propagação normalizada é 0 1,483484/zk k = . O comprimento de onda 
de operação é λ0=1,55 μm. Calcular: 
(a) O máximo ângulo de entrada (na interface ar e núcleo) para qual a onda sofre reflexão 
total na interface interna entre núcleo e casca; 
(b) O ângulo crítico na interface entre núcleo e casca; 
(c) O ângulo de incidência na interface entre núcleo e casca para a onda de comprimento 
de onda λ0. 
Solução
O ângulo máximo de entrada é θi,max =sen−1
³p
n21 − n22
´
. O ângulo crítico na interface interna
é θc =sen−1 (n2/n1). O ângulo de incidência do modo é tg(θi) = (kz/n1k0) / (kx/n1k0) = kz/kx.
Mas, k21 = k
2
x+k2z , (n1k0)
2 = k2x+k2z e kx =
q
(n1k0)2 − k2z . Temos que kz/kx = kz/
q
(n1k0)2 − k2z
e kz/kx =
r
1/
n
[n1/ (kz/k0)]2 − 1
o
. Portanto, θi =tg−1
r
1/
n
[n1/ (kz/k0)]2 − 1
o
.
Prova P1
n1 = 1, 5; n2 = 1, 47; d/λ0 = 1, 05; kz/k0 = 1, 483484; λ0 = 1, 55 μm. Substituindo os valores
numéricos: θi,max = 17, 40; θc = 78, 50; θi = 81, 50. Note que como o modo é propagante, o seu
ângulo de incidência é maior que o ângulo crítico.
Prova P2
n1 = 1, 48; n2 = 1, 43; d/λ0 = 1, 05; kz/k0 = 1, 457932; λ0 = 1, 30 μm. Substituindo os valores
numéricos: θi,max = 22, 40; θc = 750; θi = 800. Note que como o modo é propagante, o seu ângulo
de incidência é maior que o ângulo crítico.
Prova P3
n1 = 1, 5; n2 = 1, 30; d/λ0 = 1, 05; kz/k0 = 1, 462037; λ0 = 1, 40 μm. Substituindo os valores
numéricos: θi,max = 48, 50; θc = 600; θi = 770. Note que como o modo é propagante, o seu ângulo
de incidência é maior que o ângulo crítico.
Prova P4
n1 = 1, 5; n2 = 1, 20; d/λ0 = 1, 05; kz/k0 = 1, 457694; λ0 = 1, 20 μm. Substituindo os valores
numéricos: θi,max = 64, 20; θc = 530; θi = 760. Note que como o modo é propagante, o seu ângulo
de incidência é maior que o ângulo crítico.
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SEL310 e SEL612 GABARITO DA 3a. PROVA