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SEL310 e SEL—612: Ondas Eletromagnéticas
Gabarito da Prova do Regime de Recuperação
fevereiro de 2007
Questão 1: No circuito com trechos de linha de transmissão mostrado na figura abaixo, Z01 = 50 ohms,
Z02 = 100 ohms, ZL1 = 200 ohms e a amplitude máxima da tensão da onda incidente é Vmax = 2 volts. A
linha de impedância característica Z01 é infinita e o trecho de linha de impedância característica Z02 possui
comprimento x. Finalmente, o trecho de linha de impedância característica 2Z02 possui comprimento λ/2.
a) Determinar as potências médias das ondas incidente sobre ZL1, refletida por ZL1, transmitida para além
de ZL1 e dissipada em ZL1; b) considerar agora a seguinte situação: ZL1 = Z02. Determinar as potências
médias das ondas incidente sobre ZL1, refletida por ZL1, transmitida para além de ZL1 e dissipada em ZL1.
z = 0 
Z01 Z02ZL1 Z022Z02
λ/2x∞
z = 0 
Z01 Z02ZL1 Z022Z02
λ/2x∞
Solução
A linha de comprimento λ/2 pode ser entendida como dois trechos de comprimentos λ/4. A relação en-
tre as impedâncias de entrada, saída e característica é Z0 =
√
ZeZs. Assim, a impedância de entrada
do primeiro trecho terminado em Z02 é Ze1 = 4Z202/Z02 = 4Z02. No segundo trecho terminado por
4Z02 a impedância vista na entrada é Ze2 = 4Z202/4Z02 = Z02. Outra alternativa para cálculo é uti-
lizar a expressão geral da impedância. Portanto, a linha de comprimento x possui impedância carac-
terística Z02 e está terminada em Z02. A impedância em sua entrada é Z02. Alternativamente, Ze2 =
2Z02 (Z02 + j2Z02tgkI l) / (2Z02 + jZ02tgkI l), na qual l = λ/2 e kI = 2π/λ. Temos que kI l = π, tgπ = 0 e
Ze2 = Z02. Assim, a carga da linha Z01 é ZL1 em paralelo com Z02. Portanto, Zp = (ZL1 × Z02) / (ZL1 + Z02).
O coeficiente de reflexão na carga Zp é Γ = (Zp − Z01) / (Zp + Z01) e o coeficiente de transmissão é
Υ = 2Zp/ (Zp + Z01). A potência média incidente em z = 0 é Pi = (1/2)Re
n
|V0|2 /Z01
o
, a refletida
Pr = (1/2)Re
n
|Γ|2 |V0|2 /Z01
o
, a transmitida Pt = (1/2)Re
n
|Υ|2 |V0|2 /Z02
o
e a dissipada em ZL1 PdL1 =
(1/2)Re
n
|Υ|2 |V0|2 /ZL1
o
. A potência Pt é a potência transmitida para a linha de comprimento x A
relação entre as potências deve ser Pi = Pr + Pt + PdL1. Substituindo os valores numéricos, Zp =
(200× 100) / (200 + 100) = 66, 7 ohms; Γ = (66, 7− 50) / (66, 7 + 50) = 0, 143; Υ = 2× 66, 7/ (66, 7 + 50) =
1, 143. Os valores das potências são: Pi = |2|2 / (2× 50); Pr = 0, 143222/ (2× 50); Pt = 1, 143222/ (2× 100);
PdL1 = 1, 143222/ (2× 200).
Portanto, Pi = 0, 04 W ; Pr = 8, 163× 10−4 W ; Pt = 0, 026 W e PdL1 = 0, 013 W . Verificando, Pr+
Pt + PdL1 = 8, 163× 10−4 + 0, 026 + 0, 013 = 0, 04 W.
Se ZL1 = Z02, Zp = 50 ohms, Γ = 0; Υ = 1; Pi = 0, 04 W ; Pr = 0 W ; Pt = 0, 02 W e PdL1 = 0, 02 W .
Verificando, Pr + Pt + PdL1 = 0 + 0, 02 + 0, 02 = 0, 04 W.
Questão 2: Uma onda perpendicularmente polarizada de freqüência 2 GHz propaga-se no ar. Esta
onda incide com ângulo θi = 600 sobre a interface com material dielétrico caraterizado por εr = 2 e μr = 1
e o valor médio da componente do vetor de Poynting na direção perpendicular à interface é 50 mW/m2.
Determinar: a) o módulo do campo elétrico da onda incidente em V/m e b) o valor médio da componente
do vetor de Poynting na direção perpendicular à interface da onda refletida.
1
Solução
Os campos elétrico e magnético da onda incidente são E0 exp [−j (kixx+ kizz)] by e
(−kizbx+ kixbz) (E0/ωμ1) exp [−j (kixx+ kizz)], nas quais E0 é real. O valor médio do vetor de Poynting
é
­
Si
®
= (1/2)Re
n
Ei ×H∗i
o
W/m2. A componente do vetor de Poynting na direção perpendicular à
interface é
­
Si
®
z =
¡
E20kiz
¢
/ (2ωμ1). Mas, kiz = k1 cos θi = n1k0 cos θi e kiz/ωμ1 = n1/η0. Portanto,­
Si
®
z =
¡
n1E20 cos θi
¢
/ (2η0)W/m2. O valor da amplitude do campo elétrico é E0 =
q
2η0
­
Si
®
z / (n1 cos θi)
V/m.
Os campos elétrico e magnético da onda refletida são RE0 exp [−j (krxx− krzz)] by
e (krzbx+ krxbz) (RIE0/ωμ1) exp [−j (krxx− krzz)], nas quais E0 é real e R é o coeficiente de transmissão,
também real. O coeficiente de reflexão é R = (η2 cos θi − η1 cos θt) / (η2 cos θi + η1 cos θt). O valor médio do
vetor de Poynting é
­
Sr
®
= (1/2)Re
n
Er ×H∗r
o
W/m2. A componente do vetor de Poynting na direção
perpendicular à interface é
­
Sr
®
−z =
³
|R|2E20krz
´
/ (2ωμ1). Mas, krz = k1 cos θr = n1k0 cos θr e krz/ωμ1 =
n1/η0. Portanto,
­
Sr
®
−z =
¡
n1R2E20 cos θr
¢
/ (2η0)W/m2 (notar que é sentido−z). O ângulo de transmissão
é θt = sen−1 [(n1/n2) senθi]; o coeficiente de reflexão é R = (η2 cos θi − η1 cos θt) / (η2 cos θi + η1 cos θt);
η1 = η0/n1; η2 = η0/n2; n1 =
√
εr1; n2 =
√
εr2. Substituindo os valores numéricos, η1 = 377/1 = 377 ohms;
η2 = 377/
√
2 = 266, 6 ohms; θr = θi = 600; θt = sen−1
£¡
1/
√
2
¢
sen
¡
600
¢¤
= 37, 80;
R =
¡
266, 6× cos 600 − 377× cos 37, 80¢ / ¡266, 6× cos 600 + 377× cos 37, 80¢
e R = −0, 38; E0 =
p
2× 377× 50× 10−3/ (1× cos 600)
ou E0 = 8, 68 V/m ; e
­
Sr
®
−z =
¡
n1R2E20 cos θr
¢
/ (2× 377) ou ­Sr
®
−z = 7, 3 mW/m
2 .
Questão 3: Um guia de onda metálico de seção retangular possui dimensões a = 1 cm e b = 0, 4 cm
e é preenchido com poliestireno, cujas características são: εr = 2, 6 e μr = 1. Considerando que o modo
propagante é o TE10 e que a freqüência de operação é 20% maior que a freqüência de corte, determinar: a)
a freqüência de corte; b) a velocidade de grupo; c) o comprimento de onda guiada; d) a impedância de onda
ZTE na freqüência de operação.
Solução
A freqüência de corte é dada por fc = 3× 108/
¡
2a
√
εr
¢
= 3× 1010/ ¡2× 1√2, 6¢ e fc = 9, 296 GHz .
A velocidade de grupo é vg =
¡
3× 1010/√εr
¢q
1− (fc/f)2 =
¡
3× 108/√2, 6¢q1− (fc/1, 2× fc)2 e
vg = 1, 028× 108 m/s .
O comprimento de onda guiada é λg =
£
3× 108/ ¡1, 2× fc ×√εr¢¤ /q1− (fc/1, 2× fc)2 e
λg =
£
3× 1010/ ¡1, 2× 9, 296× 109 ×√2, 6¢¤ /q1− (1/1, 2)2. Portanto, λg = 3, 017 cm .
A impedância de onda é dada por ZTE = η/
q
1− (fc/f)2 =
¡
377/
√
εr
¢
/
q
1− (1/1, 2)2
e ZTE = 423 ohms .
2