Gabarito Lista Micro (eq. Walrasiano) - Ex. 2

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1 Eficiência de Pareto
1. a) Matematicamente, sabemos que alocações eficientes do ponto de vista
de Pareto são caracterizadas por pontos nos quais MRSA = MRSB.
MRSA =
∂uA
∂xA
∂uA
∂yA
=
1
x
1
y
= yAxA ; MRSB =
∂uB
∂xB
∂uB
∂yB
=
1
2x
−1
2
1
2y
−1
2
=
q
yB
xB
A curva de contrato, portanto, satisfaz yAxA =
q
yB
xB
.
A dotação é (x, y) = (10, 10). Como sabe-se que yB = 10 − yA e
xB = 10 − xA, podemos substituir e chegar em yAxA =
q
10−yA
10−xA =⇒
y2A
x2A
= 10−yA10−xA =⇒ y
2
A(10 − xA) = x2A(10 − yA), que é satisfeito se
yA = xA
xA
(10−xA)2 =
yA
(10−yA)2
100
10
0
x
y
uA = xA + 3yA , uB = 3xB + yB
b) No gráfico à direita temos uA = xA + 3yA e uB = 3xB + yB. Você
deveria ser capaz de ver que o conjunto de Pareto (curva de contrato)
é o lado esquerdo do quadrado mais a parte de cima do quadrado.
c) A concavidade das curvas de indiferença para ambos os agentes faz
com que o conjunto de Pareto seja os quatro lados do quadrado.
d) MRSA =
q
yA
xA
; MRSB =
q
yB
xB
; =⇒ Conjunto de Pareto é definido
por yAxA =
ey−yA
ex−xA =⇒ yA =
eyxA
ex
. Por simetria yB =
eyxB
ex
. Para
ex > ey fica claro que xA ≥ yA e xB ≥ yB
e) uA = uB = v(x) + v(y) é separável em x e y. Portanto, o conjunto de
Pareto é o conjunto dos pontos definidos por v
0(xA)
v0(yA)
= v
0(xB)
v0(yB)
.Usando
as dotações, podemos escrevê-lo como v
0(xA)
v0(yA)
= v
0(ex−xA)
v0(ey−yA) . Queremos
agora mostrar que xA ≥ yA.
Vamos fazê-lo por contradição. Como v(x) é côncava, sabemos que
v0(x) é uma função estritamente decrescente, i.e., quando x é maior
v0(x) é menor. Suponha que xA < yA. Se ex > ey podemos ter
que ex − xa > ey − yA. v0(x) estritamente decrescente implica que
v0(ex−xA)
v0(ey−yA) < 1. Mas xA < yA implica que
v0(xA)
v0(yA)
> 1. Isto viola a
condição que define o conjunto de Pareto. Contradição. Portanto é
que preciso que xA ≥ yA seja verdadeiro.
1
2 Equilíbrio Walrasiano I
a) O Roberto tem preferências Cobb-Douglas:
xR (px, py)−eRx =
3
5
(px + 6py)
px
−1 e yR (px, py)−eRy =
2
5
(px + 6py)
py
−6
Já o Tomás tem preferências quase-lineares, o que abre a possibilidade de
que haja uma solução de canto, ou seja, que ele consuma 0 de algum bem
(neste caso o bem linear. Vamos resolver seu problema de maximização.
max
x,y
3y + log (x) s.a. xpx + ypy ≤ 5px + 2py
Note que a utilidade marginal x = 0 é infinita e decrescente monotona-
mente decresecente a partir disto. Isto implica que o indivíduo sempre
consome algo do bem x. Na realidade, ele começa consumindo este bem e
há a possibilidade de que consuma somente este bem (ou seja, há a pos-
sibilidade de que consuma 0 de y, que tem utilidade marginal constante
e igual a 3). Quando isto ocorre? Quando, ao gastar todo o dinheiro
em x, Tomás não alcance um ponto no qual a utilidade marginal de x
(d log(x)dx =
1
x) não chegue a 3 (a utilidade marginal de y). Deste modo, ele
consumirá 0 de y se, e somente se, sua renda for insuficiente para chegar
ao ponto no qual d log(x)dx =
1
x = 3. Ou seja, se:
1
5px+2py
px
> 3→ 15 + 6py
px
< 0
de modo que é impossível cair em um canto. Neste caso, a solução é
interior, e a regra da taxa marginal de substituição = preço relativo vale.
Ou seja, as demandas líquidas do Tomás são
xT (px, py)−eTx =
py
3px
−5 e yT (px, py)−eTy =
5px + 2py − py3px px
py
−2 = 5px
py
−1
3
Note que a solução está determinada por x, e a quantidade consumida de
y é encontrada calculando quanto sobrou de dinheiro dividido pelo preço
de y.
b) A demanda líquida agregada é:
xT (px, py)−eTx+xR (px, py)−eRx =
py
3px
−5+3
5
(px + 6py)
px
−1 = 59py
15px
− 27
5
yT (px, py)−eTy +yR (px, py)−eRy =
5px
py
− 1
3
+
2
5
(px + 6py)
py
−6 = 27px
5py
− 59
15
2
c) Usando o condição de equilíbrio do mercado x, temos que o preço relativo
de equilíbrio é pxpy =
59
81 . A estes preços a alocação final é:
xT =
81
177
, yT =
430
81
, xR =
327
59
, yR =
218
81
Confira que estas quantidades são de equilíbrio.
d) TMgSRxy|equilíbrio =
∂uR
∂x
∂uR
∂y
=
3
x
2
y
= 32
218
81
327
59
= 5981
TMgSTxy|equilíbrio =
∂uT
∂x
∂uT
∂y
=
1
x
3 =
1
3× 81177
= 5981
Como as soluções são interiores, TMgSRxy = TMgS
T
xyTMgS
R
xy =
px
py
é
necessário e suficiente para otimaliidade de Pareto.
3 Equilíbrio Walrasiano II
a) Demanda de R:
xR (px, py) =
⎧
⎨
⎩
0, se px > py
[0, 5] , se px = py
3 +
2py
px
, . se px < py
yR (px, py) =
⎧
⎨
⎩
2 + 3pxpy , se px > py
[0, 5] , se px = py
0, . se px < py
Demanda de T :
xT (px, py) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
0, se px > 2pyh
0, 2pypx
i
, se px = 2py
2py
px
, . se px < 2py
yT (px, py) =
⎧
⎨
⎩
2, se px > 2py
[0, 2] , se px = 2py
0, . se px < 2py
Vamos ver quais podem ser os preços de equilíbrio
• Suponha que px < py. é equilíbrio. Neste caso T and R só consomem
x. A demanda agregada é 3 + 2pypx +
2py
px
= 3 +
5py
px
> 8. Como a
oferta agregada é 5, o preço de equilíbrion é pypx =
2
5 , ou seja, é uma
contradição, e logo px < py não pode ocorrer em equilíbrio.
3
• Suponha que px = py é equilíbrio. T consome somente x, ou seja, 2.
R é indiferente. Para que seja equilíbrio é preciso que R consuma 3
unidades de x e 2 unidades de y., o que pode ocorrer.
• Suponha que 2py > px > py é equilíbrio. R consome somente y, ou
seja, 2+. 3pxpy > 5.
• Suponha que px = 2py é equilíbrio. R consome somente y, ou seja,
2+.3pxpy = 6 > 5, ou seja isto não pode ser equilíbrio.
• Pelo mesmo argumento, 2px não pode ser maior que py.
Portanto o preço relativa de equilíbrio é 1.
b) Demanda de R. Note que, com complementos perfeitos, o consumidor
compra um pacote. No caso de R o pacote consiste de uma unidade de x
e duas unidades de y.
xR (px, py) =
½
2px + py
px + 2py
yR (px, py) =
½
2 (2px + py)
px + 2py
Demanda de T :(mudam as proporções e a renda total)
xT (px, py) =
½
3 (px + 2py)
3px + py
yT (px, py) =
½
px + 2py
3px + py
Normalize px = 1. Demandas agregadas:
x (py, 1) =
2 + py
1 + 2py
+
3 + 6py
3 + py
e y (py, 1) =
4 + 2py
1 + 2py
+
1 + 2py
3 + py
Em equilíbrio, oferta agregada= demanda agregada
x (py, 1) = 3←→
2 + py
1 + 2py
+
3 + 6py
3 + py
= 3
Agora é só resolver para py e achar as alocações de equilíbrio
c) O truque aqui é perceber que em equilíbrio, o consumidor R tem que estar
indiferente em consumir x e y. Caso contrário, ele se especializaria em um
dos dois. Se isto ocorresse. Como x e y são complementos perfeitos para
T , ele necessariamente consome proporções fixas. Chute que px = py em
equilíbrio. Neste caso, T consome 32 de cada bem. R consome
3
2 de x e
5
2 de y. E isto é equilíbrio dado que demanda agregada é igual a oferta
agregada e os dois estão maximizando utilidade dado px = py.
4
4 Dois Grandes Economistas: Pareto e Walras
a) Este é um problema super bem comportado. Portando, otimalidade de
Pareto se dá quando as taxas marginais de substtituição se igualam. Isto
nos dá uma equação:
2
xR
3
xT
=
7
xT
1
yT
←→ 2y
R
3xR
=
7yT
xT
As duas restrições agregadas nos dão as outras duas equações, de modo
que terminamos com 3 equações e quatro incógnitas (que é o máximo que
vamos conseguir, dado que o conjunto de Pareto é uma curva, não um
ponto).
xR + xT = 5 e yR + yT = 12
Substituindo as retrições na condição da igualdade das txs marginais de
substitução, temos:
2yR
¡
5− xR
¢
= 21xR
¡
12− yR
¢
Resolvendo para yR, conseguimos caracterizar o conjunto de Pareto:
yR =
252xR
10 + 19xR
Escolha, por exemplo, xR = 2, yR = 212 , x
T = 3, yT = 32
b) As demandas são:
xR (px, py) =
2
¡
2px + 212 py
¢
5px
e yR (px, py) =
3
¡
2px + 212 py
¢
5py
xT (px, py) =
7
¡
3px + 32py
¢
8px
e yT (px, py) =
¡
3px + 32py
¢
8py
A demanda agregada de x, portanto, é:
x (px, py) =
2
¡
2px + 212 py
¢
5px
+
7
¡
3px + 32py
¢
8px
Normalizando px = 1 e resolvendo para py, temos py = 27 . Substituindo
nas demandas, temos xR = 2, yR = 212 , x
T = 3, yT = 32
c) É igual!!
d) Segundo teorema do bem-estar
5
5 Mais uma vez Pareto
a) Evidentemente, 1 fica com todo bem a, 2 com todo bem c. E qualquer
divisão de b é um ponto eficiente do ponto de vista de Pareto.
b) Agora, qualquer divisãode b entre 1 e 2, qualquer divisão de a entre 1 e
3 e qualquer divisão de c entre 2 e 3 é eficiente.
c) Evidentemente que não mudaria, pois esta utilidade descreve exatamente
as mesmas preferências do que u3 (a, b, c) = a+ c.
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