mecanica_das_estruturas_navais

Prévia do material em texto

MECÂNICA DAS 
ESTRUTURAS NAVAIS
Elaboração
Samuel José Casarin
Produção
Equipe Técnica de Avaliação, Revisão Linguística e Editoração
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO ...................................................................................................................................................................................... 4
ORGANIZAÇÃO DO CADERNO DE ESTUDOS E PESQUISA ................................................................................................. 5
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................................................................. 7
UNIDADE I
ARQUITETURA NAVAL ........................................................................................................................................................................................................ 9
CAPÍTULO 1
ELEMENTOS ESTRUTURAIS BÁSICOS DE EMBARCAÇÕES .............................................................................................................. 9
CAPÍTULO 2
ELEMENTOS DE REFORÇO DA ESTRUTURA............................................................................................................................................ 17
UNIDADE II
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS .................................................................................................................................................................................... 23
CAPÍTULO 1
TIPOS DE CRREGAMENTO .............................................................................................................................................................................. 23
CAPÍTULO 2
ANÁLISE DE TENSÕES ESTRUTURAIS ...................................................................................................................................................... 32
UNIDADE III
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO ........................................................................................................................................ 40
CAPÍTULO 1
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO ................................................................................................................................................................... 40
CAPÍTULO 2
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO ...................................................................................................................................................... 48
UNIDADE IV
VIGAS, EIXOS E COLUNAS .............................................................................................................................................................................................. 53
CAPÍTULO 1
DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS ..................................................................................................................................................................... 53
CAPÍTULO 2
FLAMBAGEM DE COLUNAS ............................................................................................................................................................................ 61
REFERÊNCIAS ........................................................................................................................................................................................ 78
4
APRESENTAÇÃO
Caro aluno
A proposta editorial deste Caderno de Estudos e Pesquisa reúne elementos que se 
entendem necessários para o desenvolvimento do estudo com segurança e qualidade. 
Caracteriza-se pela atualidade, dinâmica e pertinência de seu conteúdo, bem como 
pela interatividade e modernidade de sua estrutura formal, adequadas à metodologia 
da Educação a Distância – EaD.
Pretende-se, com este material, levá-lo à reflexão e à compreensão da pluralidade dos 
conhecimentos a serem oferecidos, possibilitando-lhe ampliar conceitos específicos 
da área e atuar de forma competente e conscienciosa, como convém ao profissional 
que busca a formação continuada para vencer os desafios que a evolução científico-
tecnológica impõe ao mundo contemporâneo.
Elaborou-se a presente publicação com a intenção de torná-la subsídio valioso, de modo 
a facilitar sua caminhada na trajetória a ser percorrida tanto na vida pessoal quanto na 
profissional. Utilize-a como instrumento para seu sucesso na carreira.
Conselho Editorial
5
ORGANIZAÇÃO DO CADERNO 
DE ESTUDOS E PESQUISA
Para facilitar seu estudo, os conteúdos são organizados em unidades, subdivididas em 
capítulos, de forma didática, objetiva e coerente. Eles serão abordados por meio de 
textos básicos, com questões para reflexão, entre outros recursos editoriais que visam 
tornar sua leitura mais agradável. Ao final, serão indicadas, também, fontes de consulta 
para aprofundar seus estudos com leituras e pesquisas complementares.
A seguir, apresentamos uma breve descrição dos ícones utilizados na organização dos 
Cadernos de Estudos e Pesquisa.
Provocação
Textos que buscam instigar o aluno a refletir sobre determinado assunto 
antes mesmo de iniciar sua leitura ou após algum trecho pertinente para 
o autor conteudista.
Para refletir
Questões inseridas no decorrer do estudo a fim de que o aluno faça uma 
pausa e reflita sobre o conteúdo estudado ou temas que o ajudem em 
seu raciocínio. É importante que ele verifique seus conhecimentos, suas 
experiências e seus sentimentos. As reflexões são o ponto de partida para 
a construção de suas conclusões.
Sugestão de estudo complementar
Sugestões de leituras adicionais, filmes e sites para aprofundamento do 
estudo, discussões em fóruns ou encontros presenciais quando for o caso.
Atenção
Chamadas para alertar detalhes/tópicos importantes que contribuam 
para a síntese/conclusão do assunto abordado.
6
ORGANIzAÇÃO DO CADERNO DE ESTUDOS E PESQUISA
Saiba mais
Informações complementares para elucidar a construção das sínteses/
conclusões sobre o assunto abordado.
Sintetizando
Trecho que busca resumir informações relevantes do conteúdo, facilitando 
o entendimento pelo aluno sobre trechos mais complexos.
Para (não) finalizar
Texto integrador, ao final do módulo, que motiva o aluno a continuar a 
aprendizagem ou estimula ponderações complementares sobre o módulo 
estudado.
7
INTRODUÇÃO
A área de projeto de estrutura naval é uma das mais importantes e desafiadoras dentro 
do segmento de construção naval. O projeto completo de um navio, submarino, 
ou mesmo de uma embarcação mais simples de pequeno ou médio porte envolve 
conhecimentos das mais variadas áreas: desde materiais de construção mecânica, 
a desenho técnico-industrial, passando por mecânica, matemática, física e outras 
disciplinas inerentes à área da engenharia. 
Em “Mecânica das Estruturas Navais”, você irá ampliar e aplicar conhecimentos de 
resistência dos materiais ou mecânica dos sólidos, mecânica geral, conceitos relacionados 
a estruturas metálicas e elementos de máquinas, entre outros.
Entre os tópicos que serão aqui abordados, destacamos: arquitetura naval – elementos 
estruturais básicos de embarcações; elementos de reforço de estrutura; resistência dos 
materiais – tipos de carregamento, análise de tensões estruturais; análise de tensão e 
de deformação; vigas, eixos e colunas. A complexidade da estrutura naval exige esses 
conhecimentos!
A Figura 1 ilustra, no que o autor chama de “casco singelo”, a complexidade de uma 
estrutura de fundo de um navio tanque.
Figura 1. Estrutura de fundo de um navio tanque de casco singelo.
 
ESCOA 
ANTEPARA 
LONGITUDINAL 
ANTEPARA 
LONGITUDINAL 
ANTEPARA 
TRANSVERSAL 
ANTEPARA 
TRANSVERSAL 
QUILHA 
Fonte: Augusto (2004) apud Martins (2014, p. 2).
A Figura 2, por sua vez, dá uma noção de alguns tipos de esforços que são aplicados 
em um casco de navio.
8
INTRODUÇÃO
Figura 2. Esforços (solicitantes) em um casco de navio.
 
Peso Estrutural 
Peso de Cargas 
Peso de 
Máquinas Pressão 
Hidrostática 
Flutuação 
Fonte: Lewis (1988, p. 209)apud Muller (2016, p. 19).
Saber interpretar esses esforços e saber dimensionar, via memorial de cálculo, todas 
as forças, tensões de ação e reação atuantes em uma embarcação é de fundamental 
importância para a atuação profissional do engenheiro que trabalha em projetos de 
construção naval.
Bons estudos!
Objetivos
 » Absorver conceitos fundamentais de arquitetura naval, envolvendo elementos 
estruturais básicos de embarcações.
 » Conhecer e entenda o dimensionamento de elementos de reforço da estrutura 
de uma embarcação.
 » Aprofundar seus conhecimentos em temas relacionados à resistência dos 
materiais (ou em mecânica dos sólidos).
 » Compreender os princípios de cálculo/dimensionamento de esforços de 
tensão e deformação.
 » Calcular e entender dimensionamento de vigas, eixos e colunas aplicada à 
estrutura naval.
 » Adquirir bons conhecimentos de todas as variáveis que são exigidas em 
mecânica das estruturas navais.
9
UNIDADE IARQUITETURA NAVAL
CAPÍTULO 1
Elementos estruturais básicos 
de embarcações
Quando usamos o termo “Arquitetura Naval”, segundo Santos (2016), referimo-nos 
ao projeto e construção dos cascos e estruturas de uma embarcação, a organização 
do seu espaço interior, bem como com o seu comportamento hidrodinâmico e 
hidroestático. Nessa primeira unidade, trabalharemos com elementos estruturais 
básicos de embarcações (ossada e chapeamento, vigas e chapas longitudinais, 
vigas e chapas transversais, cavernas, vaus, hastilhas, cambotas etc.), além de 
elementos de reforço da estrutura (roda de proa, travessas, cadastes, pés de carneiro, 
borboletas ou esquadros, tapa-juntas, vaus intermediários e secos, calços, colar, latas, 
prumos, buçardas, cantoneiras de contorno e golas). Portanto, aqui trataremos a 
Arquitetura Naval como o estudo dos elementos básicos que compõem uma embarcação 
marítima.
Uma embarcação marítima tradicional – navio, barco, lancha, veleiro etc. – é construída 
segundo uma estrutura complexa de chapas, vigas, eixos, longarinas, cantoneiras e 
muitos outros elementos, cujo dimensionamento exigiria um curso à parte.
Neste capítulo, vamos nos concentrar, incialmente, não em dimensionamento, mas 
sim em conhecer, com os maiores detalhes possíveis, os principais elementos que 
compõem da arquitetura final de uma embarcação. Assim, veremos:
 » ossada e chapeamento;
 » vigas e chapas longitudinais;
 » vigas e chapas transversais:
 › cavernas;
 › vaus;
10
UNIDADE I | ARQUITETURA NAVAL
 › hastilhas;
 › cambotas.
Os elementos relacionados acima compõem a estrutura metálica dos cascos de navios.
Ossada e chapeamento
Tratam-se, basicamente, do esqueleto do navio (ossada) e do revestimento ou forramento 
exterior construído a base de chapas (chapeamento).
A ossada é formada por dois tipos de vigas (vigas longitudinais e vigas transversais) 
e por reforços locais.
A Figura 3 mostra um exemplo de ossada de navio com seus principais elementos.
Figura 3. Ossada (esqueleto) e chapeamento de navio e seus elementos.
 
Grinalda 
Cambotas 
Alhetas Borboleta 
Vaus de 1ª Coberta 
Vaus de 
secos 
Vaus de convés 
Cantoneiras do 
tricaniz do convés 
Bosso do eixo 
Longarinas 
Antepara de 
colisão a ré Quilha Cavernas 
altas Suporte do tubo do eixo 
Quilha vertical 
Cadaste exterior 
Suporte do tubo 
telescópico do eixo 
Cadaste interior 
Cavernas 
Orifício da Tubulação 
do Leme 
Almeida 
Painel de popa 
Fonte: https://reader021.docslide.net/reader021/html5/20170829/55cf9df2550346d033affa7d/bg3.png.
Vigas e chapas longitudinais
As vigas e chapas longitudinais podem ser subdivididas nas seguintes categorias (ou 
tipos):
 » quilha;
11
ARQUITETURA NAVAL | UNIDADE I
 » sobrequilha;
 » longarina ou longitudinais;
 » tricaniz; e
 » sicordas.
Ressalta-se que as vigas e as chapas longitudinais são as responsáveis (juntamente 
com o chapeamento exterior do casco e do convés) por impor resistência aos esforços 
longitudinais exercidos no meio do navio pelo cavado ou pela crista de uma onda 
(Figura 4).
Figura 4. Ação longitudinal da crista e do cavado de uma onda no meio de uma embarcação.
 Crista Cavado 
Fonte: http://termo.furg.br/ArteNaval/Apres/ArtNav01b.pdf.
Quilha
A quilha é, com certeza, em termos de elementos estruturais, a parte mais importante 
do navio; pode-se dizer que ela é a “espinha dorsal” da embarcação. Ela é disposta ao 
longo de todo o comprimento do casco e na parte mais baixa do navio.
A quilha é a parte da estrutura do navio que mais suporta esforços tanto nas docagens 
como em encalhes. Sobre a quilha, se assentam as demais estruturas do navio.
A quilha designa-se saliente ou maciça quando é formada por uma peça única de ferro 
ou aço. Diz-se chapa ou chapa-quilha, se for constituída por chapas de ferro ou aço 
verticais e cravadas umas para as outras. Denomina-se chata, quando é formada por 
uma chapa de maior espessura que a do costado (SALVADOR NÁUTICO, s/d).
Nos navios de madeira, a quilha, a parte inferior axial do casco, é constituída por várias 
peças (talões), unidas por meio de escarvas. A quilha de madeira compõe-se de três 
partes distintas: quilha propriamente dita, tábua das hastilhas e sobressano. A quilha 
fecha interiormente a ossada e é continuada, a vante, pela roda de proa e, a ré, pelo 
cadaste (SALVADOR NÁUTICO, s/d).
A Figura 5 ilustra um modelo de quilha.
12
UNIDADE I | ARQUITETURA NAVAL
Figura 5. Quilha de navio.
 
Convés 
1ª Coberta 
2ª Coberta 
Longarina 
Chapa longarina Quilha vertical 
Robalete 
Chapa de quilha 
Fonte: https://4.bp.blogspot.com/-QN3Q7vJ5bOs/WNbVWWIMVEI/AAAAAAAAEZA/krzL6A-MdvACrAObh2WpWXhQyyrDRxxPQCEw/s400/
QUILHA_2_estrutura_ra036.png.
Sobrequilha
É um elemento que vai da proa à popa do navio e serve para fortalecer as cavernas, 
conforme mostra a Figura 6.
Figura 6. Sobrequilha.
 
Sobrequilha 
Quilha Caverna 
Fonte: http://www.rbna.org.br/arquivos2016/Madeira/Titulo11/ParteIITitulo11Secao2_00_2018.pdf.
Longarinas ou longitudinais
Ficam localizadas na parte interna das cavernas, fazendo a ligação entre elas, e são 
colocadas de tal forma que vão de proa à popa.
A Figura 7 mostra um conjunto de longarinas dispostas na estrutura de um barco.
13
ARQUITETURA NAVAL | UNIDADE I
Figura 7. Longarinas na estrutura de um barco.
 
Fiada do trincaniz 
Fiada da cinta 
Caverna #9 
Antepara 
Longarina 
Trincaniz 
Roda de proa 
Quilha 
Caverna 
Hastilha 
Vau 
Sobrequilha 
Skeg 
Fonte: https://3dwarehouse.sketchup.com/model/bd549f1aee445b64fb3712e95e10cc98/Compontentes-estruturais-de-uma-
embarca%C3%A7%C3%A3o-simplificado?hl=pl.
Trincaniz
Trata-se de um conjunto de chapas (também conhecido como “fiada de chapas”) 
localizadas próximas aos costados, e em cada convés, de espessura geralmente maior 
que as demais, que serve para ligar os vaus entre si e as cavernas (Figura 8). É uma 
peça estrutural no sentido longitudinal da embarcação, ligando o convés à borda 
(PORTAL NAVAL, s/d).
Figura 8. Localização da trincaniz.
 
Trincaniz 
Fonte: http://termo.furg.br/ArteNaval/Apres/ArtNav01b.pdf.
14
UNIDADE I | ARQUITETURA NAVAL
Sicordas
Ligam os vaus entre si e são peças colocadas de proa à popa em um convés ou em uma 
coberta (Termo FURG, s/d, p. 8).
Vigas e chapas transversais
As vigas e chapas transversais são responsáveis por dar forma exterior ao casco do 
navio e outras embarcações. Devido aos esforços transversais que ocorrem sobre a 
estrutura do navio que tendem a deformá-lo, esses elementos atuam na resistência a 
esses esforços, auxiliados pelas anteparas estruturais.
Dentre os tipos de vigas e chapas transversais, temos: cavernas, vaus, hastilhas e 
cambotas. Vamos ver cada uma delas.
Cavernas
Há as simples cavernas e as cavernas altas. As primeiras são peças curvas que se 
fixam na quilha, perpendicularmente a elas, dando forma ao casco e sustentando 
o chapeamento externo; as segundas, por sua vez, são aquelas em que as hastilhas 
são mais altas (similares às anteparas) e são usadas para reforçar a proa e a popado navio.
Além dos dois tipos principais de cavernas, há, ainda, as cavernas gigantes (que são 
um tipo reforçado) e a caverna mestra (situada na seção mestra do navio).
Vaus
Existem vários tipos de vaus: simples, de escotilha, gigante, intermediário, real, reforçado 
e seco.
De acordo com o Portal Naval (Glossário), vau (“beam” em inglês), de acordo com 
a definição da ABNT, é uma viga estrutural, colocada no sentido transversal da 
embarcação, ligando os dois ramos de baliza. O seu conjunto serve para sustentar o 
forro dos conveses. 
Os vaus servem também para atracar entre si as balizas dos conveses. Os vaus tomam 
o nome do pavimento que sustentam: vaus do convés, vau da primeira coberta, vau 
da segunda coberta etc.
A Figura 9 ilustra dois tipos de vaus: o usado em cargueiros e o usado em petroleiros.
15
ARQUITETURA NAVAL | UNIDADE I
Figura 9. Vaus em cargueiros e petroleiros.
 
Vaus 
Cargueiro Petroleiro 
Vaus reforçados 
Fonte: http://termo.furg.br/ArteNaval/Apres/ArtNav01b.pdf.
Hastilha
De acordo com o Portal Naval, hastilha é um reforço transversal que vai de um 
bordo a outro, no fundo do navio, fechando o anel estrutural com as cavernas e o vau 
correspondente. É uma chapa colocada verticalmente no fundo do navio, em cada 
caverna, aumentando a altura desta na parte que vai da quilha ao bojo.
Há vários tipos de hastilhas: abertas (open floor), altas (deep floor), estanque (waterlight 
floor) e sólidas (de chapa e completa).
Cambotas
São cavernas que armam a popa do navio.
Das fontes (referências) que foram citadas até aqui, há duas, em especial, que 
complementam de forma mais intensa as nomenclaturas das principais partes 
da estrutura de uma embarcação. São elas:
QUIzLET – Arte Naval (Capítulo 1): traz 191 cards virtuais que, ao serem clicados, 
mostram as definições do elemento correspondente. Por exemplo: “amurada = 
parte interna do costado. Mais comumente usada para indicar a parte interna 
do costado/borda falsa”. Disponível em: https://quizlet.com/br/413369322/arte-
naval-capitulo-1-flash-cards/ Acesso em: 19 jan. 2021.
PORTAL NAVAL. Glossário que traz muitas definições (de “a” a “z”) de elementos 
de um navio. Disponível em: https://www.portalnaval.com.br/glossario/3/
A/#:~:text=Fiada%20de%20chapas%20que%20constitue,Quilha. Acesso em: 
19 jan. 2021.
Boa pesquisa!
16
UNIDADE I | ARQUITETURA NAVAL
A Figura 10, a seguir, mostra um esquema geral com a localização dos principais 
elementos da estrutura metálica de um casco.
Figura 10. Elementos da estrutura de um casco.
 
Bico de proa Anteparo de colisão 
Castelo 
Sicorda Braçola da escotilha 
Chapeamento do convés 
Cavernas 
Vau 
Pé de galinha 
Longarina 
Teto do 
duplo-fundo 
Borboleta 
Boeiro 
Longarinas 
Rebordos 
Quilha 
Hastilha Bojo 
Longarinas 
Cavernas 
Forro exterior 
Bochecha de BB 
Trincaniz 
Fonte: https://cnavblog.files.wordpress.com/2016/08/mecc3a2nica-do-navio-estc3a1tica-introduc3a7c3a3o.pdf.
17
CAPÍTULO 2
Elementos de reforço da estrutura
No capítulo anterior, foram apresentadas as peças da estrutura maior das embarcações. 
Aqui neste segundo capítulo, serão apresentados os elementos que reforçam as do 
primeiro capítulo, garantindo à estrutura estabilidade e segurança. Eles completam a 
estrutura como um todo, realizando a ligação entre as demais partes ou, ainda, servem 
de reforço a uma parte dos cascos.
Há diversos elementos de reforço da estrutura de uma embarcação, dentre os quais 
podemos destacar: roda de proa, travessas, cadastes, pés de carneiro, borboletas ou 
esquadros, tapa-juntas, vaus intermediários e secos, calços, colar, latas, prumos, 
buçardas, cantoneiras de contorno e golas.
Vamos conhecer alguns deles.
Roda de proa
É uma peça de grande dimensão, manufaturada em aço, que é montada na extremidade 
de avanço da quilha, fechando a ossada do navio na parte frontal (vante). A roda de 
proa é um prolongamento da quilha.
Segundo o site Seagirl, existem oito tipos de roda de proa (Tabela 1).
Tabela 1. Tipos de rodas de proa.
Tipo de Roda de 
Proa Característica Esquema
Proa Invertida Base mais larga e parte superior mais curta
Proa de Esporão É mais saliente na parte inferior onde apresenta um esporão
Proa de Beque Tem a parte superior mais avançada
Proa Direita É o tipo mais antigo e mais simples
18
UNIDADE I | ARQUITETURA NAVAL
Tipo de Roda de 
Proa Característica Esquema
Proa Redonda Apresenta um perfil circular (arredondado)
Proa Arqueada
Similar a redonda mas com a parte 
inferior mais inclinada (menos 
curvada)
Proa Lançada
De formato diagonal (inclinada). 
Possui uma ponta não muito 
avançada.
Proa de Bolbo Forma uma espécie de “barriga” (bolbo) com grande parte dela imersa.
Fonte: adaptado de Seagirl. 2017..
Dos oito tipos de roda de proa apresentadas na Tabela 1, uma delas, a proa de 
bolbo, é muito comum em navios de grande porte (cargueiros graneleiros e 
transatlânticos).
A proa de bolbo modifica a forma como a onda passa pelo casco, rompendo a 
tensão da água e diminuindo a resistência que esta oferece à passagem do navio; 
aumenta também a velocidade e consequentemente a sua eficiência (SEAGIRL, 
2017).
Para se aprofundar ainda mais, acesse “Proa de Bolbo”, Disponível em: https://
seagirl.pt/navios/proa-de-bolbo/. Acesso em: 20 jan. 2021.
Bons estudos!
Cadaste
O cadaste é uma peça montada no extremo posterior da quilha, fechando a ossada 
do navio na parte traseira (à ré). É semelhante à roda de proa, só que é localizado na 
parte de trás da embarcação.
Existem dois tipos de cadaste: interno e externo. Nos navios de uma só hélice, pode 
haver cadaste externo e cadaste interno (PORTAL NAVAL, s/d).
19
ARQUITETURA NAVAL | UNIDADE I
A Figura 11 ilustra o cadaste de um navio.
Figura 11. Estrutura da popa com destaque para o cadaste.
 
Cadaste interior 
Clara do eixo 
Clara do hélice 
Cadaste exterior 
Pé do cadaste 
Fêmeas 
do leme 
Fonte: http://termo.furg.br/ArteNaval/Apres/ArtNav06b.pdf.
Há, ainda, o contracadaste, que é uma peça do navio que reforça internamente o cadaste 
(MEU DICIONÁRIO, s/d).
Na inexistência de um cadaste, a popa recebe um leme compensado suspenso.
Pés de carneiro
São colunas que suportam os vaus para aumentar a rigidez da estrutura, quando o 
espaço entre as anteparas estruturais é grande ou para distribuir um esforço local por 
uma extensão maior do casco. Os pés de carneiro tomam o nome da coberta em que 
assentam (CNAV Blog, s/d, p. 4).
Vaus secundários
Além dos vaus principais dos navios, há dois tipos, para fins de reforço dos primeiros: 
vaus intermediários e vaus secos.
Os intermediários são menores que os principais e são posicionados entre eles para 
ajudar a sustentar o pavimento, quando o espaçamento entre os vaus é maior que o 
usado normalmente.
Já os secos (ou vaus de porão) são mais espaçados e não recebem assoalho. Sua função 
exclusiva é a de atracar as cavernas nos casos em que haja porão de grande dimensão.
20
UNIDADE I | ARQUITETURA NAVAL
Quando os vaus não são contínuos, usam-se latas colocadas entre os vaus principais. 
Essas latas servem para ligar os chaços das escotilhas e as cavernas.
Buçardas
São peças horizontais colocadas na ponta da proa ou da popa, contornando-as por 
dentro, elevando a resistência dessas áreas do navio.
Essas peças, do tipo “borboleta”, são as que fazem a união dos longitudinais do costado, 
na roda de proa.
Prumos e travessas
Os prumos são elementos de reforço, fabricados em ferro perfilado, colocados 
verticalmente nas anteparas. As travessas fazem o mesmo papel, mas são colocadas 
em posição horizontal às anteparas.
Borboletas
Como mostra a Figura 12, borboletas (ou esquadros) são pedaços de chapa no 
formato de esquadro usados para a união entre dois perfis, duas peças quaisquer ou 
duas superfícies em ângulo entre si, com o objetivo de manter esse ângulo constante 
(fixo).
Figura 12: Borboletas.
 
Vau Borboleta 
Caverna 
Fonte: http://termo.furg.br/ArteNaval/Apres/ArtNav01b.pdf.
21ARQUITETURA NAVAL | UNIDADE I
Anteparas
São estruturas verticais que subdividem uma embarcação em compartimentos ou em 
regiões estanques. Existem diversos tipos de anteparas (PORTAL NAVAL, s/d): da 
bucha, de choque, de colisão, de colisão de ré, de colisão de vante, de porão, diafragma, 
diametral, encouraçada, estanque à água, estanque, estrutural, extrema, lateral, 
longitudinal, não estanque, parcial, principal, protegida, resistente e transversal.
As anteparas servem também para manter a forma e aumentar a resistência do casco.
Chapeamento
São chapas que formam o revestimento ou fazem subdivisões do casco do navio. Têm-
se os seguintes tipos de chapeamento:
 » chapeamento exterior do casco;
 » chapeamento do convés e da coberta;
 » chapeamento interior do fundo; e
 » anteparas (já visto).
O chapeamento exterior do casco tem como função revestir externamente e 
promover uma impermeabilização à água do mar. Para tanto, existem a chapa de 
cinta, chapa do interior do trincado duplo (camisa) e chapa exterior do trincado duplo 
(saia).
Os chapeamentos do convés e das cobertas são usados para dividir o interior do casco 
em pavimentos. Auxiliam na resistência da estrutura do navio longitudinalmente.
O chapeamento do interior do fundo é um tipo de revestimento estanque que forma 
o teto do duplo-fundo e auxilia na resistência longitudinal do navio. 
Nesta primeira unidade do Caderno de Estudos, focou-se muito na terminologia 
dos elementos estruturais metálicos de um navio. Embora haja outros elementos 
que poderiam ser citados, não é intenção destes capítulos ser um glossário de termos 
estruturais (caso seja de interesse, foi indicado um glossário nesta unidade).
Vale ressaltar que foi apresentada, em linhas gerais, a Arquitetura Naval básica, para 
podermos entender os esforços a que são submetidos os elementos básicos e como 
interpretá-los em projetos de construção naval.
22
UNIDADE I | ARQUITETURA NAVAL
A complexa estrutura de chapas, vigas, elementos de apoio e de união que compõem 
a estrutura de uma embarcação precisa ser entendida sob o ponto de vista de projeto, 
dimensionamento e segurança geral.
23
UNIDADE IIRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Se relembrarmos as solicitações indicadas na Figura 2 que recaem sobre uma embarcação 
– dentre elas, seu peso estrutural, o peso das cargas, o peso das máquinas e a pressão 
hidrostática externa –, podemos constatar que todos os elementos estruturais que 
foram apresentados na Unidade I estão sujeitos a algum tipo de esforço (carregamento). 
É justamente nesta segunda unidade do Caderno de Estudos que veremos os principais 
tipos de carregamento e como analisá-los.
CAPÍTULO 1
Tipos de crregamento
O estudo da disciplina clássica Resistência dos Materiais (algumas vezes tratada também 
como Mecânica dos Sólidos) nos mostra que um elemento estrutural está sujeito a 
uma ou mais combinações dos seguintes possíveis tipos de solicitação:
 » tração;
 » compressão;
 » flexão;
 » torção (cisalhamento).
Essas solicitações ou carregamentos, como dito anteriormente, podem estar atuando 
de maneira única ou combinada (flexo-torção, por exemplo, ou mesmo uma ação 
combinada de tração-compressão). Portanto, é importante identificar a qual tipo de 
carregamento cada elemento poderá estar sujeito e saber calcular (dimensionar) quais 
as cargas que são suportadas (cargas limites).
Vamos ao estudo de cada uma das possibilidades.
Tração
O esforço de tração é uma carga aplicada axialmente a um elemento estrutural (barra, 
eixo, placa etc.) que tende a se alongar em seu comprimento devido à carga aplicada 
24
UNIDADE II | RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
(Figura 13). A força de tração provoca o surgimento de uma tensão de tração (σT) que 
correlaciona a força (F) e a área da seção transversal (A) do elemento estrutural, ou seja:
T
F
A
σ = ,
sendo que:
 » F = força [N ou kgf];
 » A = área [m2]; e
 » σT = tensão [N/m
2 ou kgf/m2].
Lembrando que 1,0 N/m2 = 1 Pascal (Pa).
Figura 13. Esforço de tração axial em uma barra de área de seção A.
Fonte: elaborada pelo autor, 2021.
Na Figura 13, considere uma barra de seção transversal circular de diâmetro d (m) e 
comprimento L (m).
O esforço de tração não se apresenta somente em eixos e barras, mas é muito comum 
também em tirantes (cabos de aço, cordas e correntes por exemplo). Observe o elevado 
número de tirantes que sustentam alguns elementos estruturais de um veleiro de 
recreação (Figura 14).
Figura 14. Veleiro e seus tirantes.
Fonte: https://panfleteria.sfo2.digitaloceanspaces.com/uploads/ofertas/img/03-Desconto-em-Passeio-de-Veleiro-na-Associacao-deVeleiros-
de-Fortaleza_3.jpg.
25
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS | UNIDADE II
Compressão
A compressão é um esforço similar ao de tração, mas em sentido inverso, atuando de 
forma a provocar uma diminuição no comprimento do elemento estrutural (Figura 
15). Tirantes não são sujeitos a compressão.
Figura 15. Compressão.
Fonte: elaborada pelo próprio autor (2021.
A área sobre a qual atua a força de compressão (FC) fica sujeita a uma tensão de 
compressão (σc), tal que:
C
C
F
A
σ = .
Colunas são elementos estruturais que, em geral, são solicitados por compressão. 
Note, por exemplo, na Figura 16, que um pé de carneiro (responsável por sustentar 
a estrutura interna no casco) está sujeito a carga de compressão (tal qual uma coluna 
de uma edificação).
Figura 16. Pé de carneiro sob compressão.
 
Pé de carneiro 
Fonte: http://termo.furg.br/ArteNaval/Apres/ArtNav01b.pdf.
Flexão
O fenômeno da flexão pode ser observado como sendo a resposta de um elemento de 
estrutura a um carregamento perpendicular a ele. Por exemplo, uma viga (ou eixo) 
26
UNIDADE II | RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
biapoiada com uma carga P aplicada entre os apoios (Figura 17), que, por sua vez, irá 
provocar a ocorrência de um momento fletor (Mf).
Figura 17. Viga biapoiada carregada verticalmente em ensaio de deflexão.
Fonte: https://www.guiadaengenharia.com/wp-content/uploads/2017/12/ensaio-deflexao-1.jpg.
Um carregamento similar, mas com uma carga P central aplicada em uma viga de 
comprimento L, pode ser esquematizado como indicado na Figura 18.
Figura 18. Modelagem de uma viga biapoiada, com carregamento P no centro.
Fonte: elaborada pelo autor, 2021.
As reações ao carregamento P podem ser assim calculadas (no equilíbrio de forças):
∑ (forças verticais) = 0 → P = P/2 + P/2.
O momento fletor (Mf) é assim obtido:
( ) ( )ç . â .
2f
LM for a dist ncia P= = .
Lembrando que unidade de momento fletor (Mf) no Sistema Internacional (SI) é o 
produto da unidade de força (N) pela unidade de comprimento (m), ou seja: N.m.
Fizemos os cálculos para a carga pontual, mas, na prática, as cargas sobre um elemento 
estrutural podem ser de três tipos: pontual, distribuída (de forma uniforme ou não) e 
mista (pontual + distribuída). Veja exemplos na Figura 19.
27
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS | UNIDADE II
Figura 19. Tipos de distribuição de carga: (a) pontual; (b) distribuída; (c) mista.
(a) (b) (c)
Fonte: http://www.profwillian.com/materiais/linha_elastica.pdf.
Todos os tipos de carregamentos exemplificados nas Figuras 19, de (a) a (c), sofrem 
flexão. Em estruturas de navios, estudos por softwares indicam as flambagens que 
podem ocorrer nos elementos estruturais da embarcação (Figura 20).
Figura 20. Análise de flambagem via MEF (método dos elementos finitos) em elementos estruturais: (a) flambagem induzida 
pela placa; (b) flambagem induzida pelo enrijecedor; (c) flambagem da placa; (d) flambagem lateral torcional.
Fonte: http://objdig.ufrj.br/60/teses/coppe_m/MiguelRenatoMancoRivera.pdf.
Há, ainda, a se considerar que, na flexão de uma viga ou chapa, dobrada ou calandrada, 
observa-se o seguinte fenômeno (Figura 21):
Figura 21. Fenômeno de tracionamento e compressão em dobramento de chapa ou viga.
 
Punção 
Prende-chapas 
Matriz de dobramento 
Tensões de tração 
Tensões de compressão 
Fonte: https://2.bp.blogspot.com/-oSjK_1DrC-w/U2Tm4X76rWI/AAAAAAAAIqE/XrmYt1R5yEk/s1600/1.PNG.28
UNIDADE II | RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A Figura 21 mostra que, ao sofrer uma deformação de dobra (curvatura), o material 
apresenta tensões de tração na parte superior da curva e tensões de compressão na 
parte inferior da curva. Note, na Figura 21(b), que existe uma linha central (pontilhada) 
que é a chamada “linha neutra”, onde as tensões são nulas.
Torção
A torção é um tipo de solicitação que envolve a aplicação de um torque (T), geralmente 
em um eixo, tal que ocorra um momento torçor (Mt), como mostra a Figura 22.
Figura 22. Torção em eixo cilíndrico.
 
Eixo de torção 
Centro de torção 
Fonte: http://www.cartografica.ufpr.br/portal/wp-content/uploads/2015/09/AULA-04-TOR%C3%87%C3%83O.pdf. 
Note que a torção (T) ocorre pela aplicação de uma força F (na verdade, um binário) 
na extremidade de uma alavanca de comprimento L e ponto médio na linha de centro 
de torção. Desse modo, o torque T é assim obtido:
/ / .
2
LT F= ,
Onde:
 » T = torque (N.m);
 » F = força (N);
 » L = comprimento (m).
Ao analisarmos um eixo engastado, a aplicação de um torque T faz com que o eixo 
sofra um giro (rotação), formando um ângulo ɸ, que é o ângulo de torção (Figura 23). 
Sabe-se que ɸ é, dentro de certos limites, proporcional ao torque T e ao comprimento 
L do eixo.
29
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS | UNIDADE II
Figura 23. Eixo engastado, sujeito a torção, e o ângulo de torção (ɸ).
Fonte: http://www.cartografica.ufpr.br/portal/wp-content/uploads/2015/09/AULA-04-TOR%C3%87%C3%83O.pdf.
O torque aplicado no eixo gera uma tensão chamada de “tensão de cisalhamento” (Ƭ) 
na face perpendicular ao eixo (área de seção transversal). Há um outro ângulo – ângulo 
de deformação por cisalhamento (γ) – que é obtido pela relação:
.
L
ρ ∅γ = ,
Onde:
 » γ = ângulo de deformação por cisalhamento (radiano);
 » ρ = raio do eixo;
 » ɸ = ângulo de torção (radiano);
 » L = comprimento do eixo.
Note que o valor máximo de γ ocorre justamente na superfície do eixo (local onde 
coincidem os valores de ρ e r (que é o raio do eixo). Para valores menores que r, pontos 
internos, o valor de γ tende a diminuir até zerar no centro do eixo.
Assim como nos esforços de tração e compressão, é possível definir, na região de 
deformação elástica, o valor do Módulo de Young (ou Módulo de Resistência), E, dado 
por E = σ/ε – onde ε é a deformação linear adimensional, a unidade de E é dada por um 
múltiplo de N/m2 que é o MPa (10-6 N/m2) ou GPa (10-9 N/m2) –, no cisalhamento, 
temos o Módulo de Resistência ao Cisalhamento ou Módulo de Resistência à Torção 
(G), tal que:
.G G ττ γ
γ
= → = .
A tensão máxima de torção (Ƭmax) que um eixo pode suportar é calculada pela seguinte 
relação:
30
UNIDADE II | RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
.
max
T r
J
τ = ,
Onde:
 » J = momento de inércia polar de um eixo de raio r, tal que:
4.
2
rJ π= .
A dimensão de J é (m4).
No caso de um eixo de seção circular vazada, com raio interno r1 e raio externo r2:
( )4 42 1.
2
r r
J
π −
= .
Na área naval, o conceito de torque pode ser aplicado, principalmente, em sistemas 
mecânicos como, por exemplo, uma turbina e um gerador unidos por um eixo comum 
(Figura 24).
Figura 24. Torque em eixo de união de turbina com gerador.
 
Gerador 
Rotação 
Turbina 
Fonte: http://www.cartografica.ufpr.br/portal/wp-content/uploads/2015/09/AULA-04-TOR%C3%87%C3%83O.pdf.
Aqui, você viu a torção em eixos cilíndricos. Entretanto, eixos de seção transversal 
não cilíndrica podem também sofrer torque.
Aprenda um pouco mais sobre torção em:
31
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS | UNIDADE II
NADAL, Carlos A. Torção. Universidade Federal do Paraná (UFPR, 2015), disponível 
em: http://www.cartografica.ufpr.br/portal/wp-content/uploads/2015/09/AULA-
04-TOR%C3%87%C3%83O.pdf. Acesso em: 22 jan. 2021. Consulte as páginas 
25 a 29.
Boa pesquisa.
32
CAPÍTULO 2
Análise de tensões estruturais
Uma estrutura de um navio tem um elevado grau de complexidade e, devido aos 
diversos tipos de carregamentos para que a embarcação é solicitada, uma acurada 
análise de tensões deve ser realizada a fim de verificar a segurança geral da estrutura, 
como pode ser visto na Figura 25 em uma aplicação computacional.
Figura 25. Análise computacional de estrutura metálica de um navio.
Fonte: https://thumb.bibliocad.com/images/content/00000000/9000/9117.webp.
Vamos conhecer alguns métodos de análise de estrutura metálica geral, mas que podem 
ser aplicados em qualquer tipo de construção estrutural – navios e outras embarcações 
inclusas.
Embora existam diversas metodologias de análise de estruturas metálicas, vamos nos 
concentrar basicamente em duas:
1. método dos nós; e
2. método das seções.
Antes de abarcarmos estes dois modelos, vamos conhecer, primeiramente, uma 
estrutura básica simples: a treliça.
Segundo Hibbeler (2011, p. 195), treliça é uma estrutura de membros esbeltos conectados 
entre si em suas extremidades. Em construções civis, e mesmo na construção naval, 
esses membros podem ser de madeira ou metal. A Figura 26 ilustra uma treliça típica.
33
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS | UNIDADE II
Figura 26. Treliça.
Fonte: https://www.abcem.org.br/construmetal/2010/downloads/contribuicoes-tecnicas/27-estudo-de-trelicas-metalicas-para-coberturas-
em-duas-aguas-atraves-de-otimizacao-topolgica.pdf.
Conhecida a estrutura da treliça, vamos ao primeiro método.
Método dos nós
Para analisar uma treliça, é necessário determinar a força em cada um dos seus membros. 
O método dos nós se baseia na premissa que a treliça inteira está em equilíbrio (isto 
é ∑forças = 0), então cada um de seus nós também está em equilíbrio. A partir do 
diagrama de corpo livre (que veremos na sequência) de cada nó, as forças de equilíbrio 
podem ser obtidas para cada nó. Em uma análise mais simplificada, como os membros 
de uma treliça plana são membros retos de duas forças situadas no mesmo plano, cada 
nó está sujeito a sistemas de forças que são coplanares e concorrentes. Assim, basta 
aplicar as seguintes condições de equilíbrio:
∑Fx = 0 e ∑Fy =0.
Veja esquema a seguir (Figura 27).
Figura 27. Treliça simples com carga F no nó C e aplicação do método dos nós.
Fonte: elaborada pelo autor, 2021.
No nó C isolado, temos o seguinte equilíbrio de forças:
∑Fx = 0 → F – FBCcosα = 0 → F = FBCcosα (I);
34
UNIDADE II | RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
∑Fy = 0 → FCA – FBCsenα = 0 → FCA = FBCsenα (II).
Note que, se o ângulo α não for conhecido, pode ser facilmente calculado, desde que 
se saibam os valores dos comprimentos LAB e LCA.
Um diagrama de corpo livre pode ser notado na parte em que o ponto C da Figura 27 
foi isolado e realizada a análise de forças (por decomposição). Essa análise de forças 
permite verificar, se cada elemento da treliça está sob tração ou sob compressão. 
No ponto C, atuam as seguintes forças:
 » F está tracionando o nó C;
 » FCA está tracionando o nó C e;
 » FBC está comprimindo o nó C.
Através dos cálculos, caso as forças que atuem no nó C se confirmem (não tenham 
seus sentidos alterados), podemos fazer a seguinte análise de forças nos elementos da 
treliça (Figura 28):
Figura 28. Análise de forças nos elementos da treliça.
 
TR
AÇ
ÃO
 
Fonte: elaborada pelo autor, 2021.
Nota: nas Figuras 27 e 28, o apoio A é fixo e o apoio B é móvel.
Da Figura 28, concluímos que o elemento estrutural AC (uma barra, por exemplo) 
está sob tração, e o elemento BC está sob compressão. É possível também determinar 
se o elemento AB está sob tração ou compressão. Para tanto, é só dar continuidade 
aos cálculos, impondo equilíbrio de forças nos pontos A e B.
35
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS | UNIDADE II
Ao usar o método dos nós, escolha aquele que tem, pelo menos, uma força conhecida 
e, no máximo, duas forças incógnitas. Fazendo assim, as equações de equilíbrio (I) e 
(II) geram duas equações algébricas que podem ser resolvidas para as duas incógnitas. 
Ao aplicar essas equações, o sentido correto do membro incógnito pode ser determinado 
usando um dos dois métodos possíveis segundoHibbler (2011, p. 198):
I. O sentido correto da direção de uma força do membro incógnito pode 
ser assumido da seguinte maneira: após aplicar as equações de equilíbrio, 
o sentido assumido pode ser verificado pelos resultados numéricos. 
Um resultado positivo (F > 0) indica que o sentido está correto; um resultado 
negativo (F < 0) indica que o sentido adotado no diagrama de corpo livre 
precisa ser invertido.
II. Sempre considere que as forças do membro incógnito que atuam no diagrama 
de corpo livre do nó estão sob tração, ou seja, as forças “puxam” o nó (saem 
dele). Dessa maneira, a solução numérica das equações de equilíbrio resultará 
em valores positivos para os membros sob tração e negativos para os que estão 
sob compressão. Uma vez que a força do membro incógnito é encontrada, 
use sua intensidade e sentido correto (tração ou compressão) no diagrama 
de corpo livre do nó subsequente (caso exista).
Procedimento básico para realizar a análise pelo método dos nós (HIBBELER, 2011, 
p. 198):
 » Desenhe o diagrama de corpo livre de um nó tendo, pelo menos, uma força 
conhecida e, no máximo, duas incógnitas. Se esse nó estiver em um dos 
apoios, poderá ser necessário calcular primeiro as reações externas de apoio.
 » Use um dos métodos (i) ou (ii) para estabelecer o sentido de uma força 
incógnita.
 » Oriente os eixos x e y de modo que as forças no diagrama de corpo livre 
possam ser facilmente decompostas em suas componentes Fx e Fy, para 
depois aplicar as equações de equilíbrio ∑Fx = 0 e ∑Fy = 0. Resolva o sistema 
de equações e, com os resultados numéricos, verifique o sentido correto de 
cada força.
 » Fazendo uso dos resultados calculados, continue a calcular cada um dos nós 
subsequentes.
36
UNIDADE II | RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A melhor forma de entender toda essa teoria é fazendo um estudo de caso, que 
sintetizará todo o procedimento. Vejamos um.
Suponha que você está dimensionando as forças de reação em uma treliça simples, 
carregada (Figura 29) com uma força horizontal de 600 N aplicada no nó indicado 
na Figura 29(a).
Figura 29. Treliça carregada com carga de 600 N.
Fonte: elaborada pelo autor, 2021.
Vamos calcular, inicialmente, o valor do ângulo α, embora seu valor seja “intuitivo”:
( )3 1 1 45
3
otg arctgα α= = → = = .
Fazemos o equilíbrio de forças no diagrama de corpo livre da Figura 29(b), onde 
conhecemos a força de 600 N e temos duas forças incógnitas:
6000 600 . 45 0 600 0,707. 848,6
0,707
o
x BC BC BCF F cos F F N∑ = → − = → = → = =
0 45 0 848,6.0,707 600oy BC ca CAF F sen F F N∑ = → − = → = =
Como os valores numéricos de FBC e FCA deram positivo, significa que a direção 
dessas forças indicadas na Figura 29(b) estão corretas.
Fazendo o equilíbrio de forças no apoio móvel (B) ou nó B, na Figura 29(c):
0 . 45 0 848,6.0,707 600ox BA BC BAF F F cos F N∑ = → − = → = =
0 . 45 0 848,6.0,707 600oy BC By ByF F sen F F N∑ = → − = → = =
Como os valores numéricos de FBA e FBy deram positivo, significa que a direção 
dessas forças indicadas na Figura 29(c) estão corretas.
37
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS | UNIDADE II
Note que, na Figura 29(d), o equilíbrio de forças é pleno, ou seja:
FAx = FBA = 600 N;
FAy = FCA = 600 N.
Note que, em todos os cálculos, os valores numéricos de todas as forças deram 
positivo, ou seja, todas as direções indicadas nas Figuras 29 (a) até (d) estão 
corretas, e podemos chegar às seguintes conclusões a respeito de cada membro 
(ou elemento) da treliça analisada:
 » Nó C: comprimido pela força FBC (veja Fig. 29 b); logo, o membro BC (barra 
BC) está comprimido também.
 » Nó B: tracionado pela força FBA (veja Fig. 29 c); logo, o membro AB (barra AB) 
está tracionado também.
 » Nó A: tracionado pela força FCA (veja Fig. 29 d); logo, o membro AC (barra AC) 
está tracionado também.
Importante, para finalizar, é que a análise deve ser realizada avaliando a força 
que atua entre o nó avaliado e a barra a ele ligada.
Método das seções
Este método é indicado quando se deseja calcular as forças em apenas alguns elementos 
da treliça (e não na treliça toda). Este método se baseia no princípio de que, se uma 
treliça está em equilíbrio, então qualquer segmento dela também estará.
Ao aplicar este método, “cortamos” a treliça em uma seção conveniente (daí o nome 
“método das seções”), e utiliza-se uma das partes dessa treliça como diagrama de corpo 
livre. Aplicam-se as equações de equilíbrio em uma das seções, porém acrescentadas de 
mais uma equação além das equações (I) e (II) já vistas e aqui reproduzidas novamente:
∑Fx = 0 (I);
∑Fy = 0 (II);
∑Mo = 0 (III),
onde ∑Mo é a soma dos momentos fletores em relação a um ponto (o) escolhido 
convenientemente na seção cortada da treliça. E lembrando que: M = F.d (ou força x 
distância).
É desejável que se escolha uma seção que, em geral, passe por não mais que três 
elementos da treliça em que as forças são incógnitas. Vejamos como toda essa análise 
fica em uma treliça, na Figura 30.
38
UNIDADE II | RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 30. Aplicação do método da seção em uma treliça.
Fonte: elaborada pelo autor, 2021.
A análise da treliça da Figura 30, sujeita a um carregamento P no ponto (nó) A, pode 
ser então realizada fazendo um corte imaginário aa, separando a estrutura em duas 
seções (Figura 31).
Figura 31. Treliça dividida em duas seções com a representação das cargas internas.
Fonte: elaborada pelo autor, 2021.
Fazendo os cálculos das forças internas usando a seção A da Figura 31:
∑Fx =0 → FBC + FGF + FGCcosα = 0 (I);
∑Fy = 0 → P – FGCsenα = 0 (II);
∑MG = 0 → P.L1 – FBC.L4 = 0 (III).
Considerando que P é uma carga conhecida, da relação (II), obtemos:
P = FGC senα → FGC = P/senα.
39
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS | UNIDADE II
Da relação (III), podemos obter FBC: 
P.L1 = FBC.L4 → FBC = P.L1/L4.
Assim, substituindo FGC e FBC na relação (I), obtemos FGF:
1
4
. . 0GF
L PP F cos
L sen
α
α
+ + =
1
4
. .GF
L cosF P P
L sen
α
α
 
= − + 
 
1
4
1
GF
LF P
L tgα
 
= − + 
 
Observe que o sinal “-“ no cálculo de FGF indica que o sentido desta força na Figura 31 
(seção A) é contrária ao que está indicado na imagem.
Tente fazer a mesma análise de forças internas na estrutura da treliça tendo como 
base para os cálculos a seção B da Figura 31.
Para tanto, indique as reações nos apoios E (apoio móvel) e D (apoio fixo). O apoio 
E irá gerar uma reação vertical e uma horizontal; o apoio D irá gerar apenas uma 
reação horizontal.
Bom trabalho!
Você chegou ao final desta Unidade II, na qual concentramos conceitos e aplicações 
das análises de tensões da Resistência dos Materiais. Foram apresentados os quatro 
principais tipos de carregamentos – tração, compressão, flexão e torção –, juntamente 
com os equacionamentos que os definem e como são aplicados em estruturas gerais, 
estendidas às navais.
A análise das tensões estruturais é realizada por softwares específicos, mas de nada 
adianta aplicá-los sem entender os aspectos fundamentais desse tipo de análise. Embora 
existam vários métodos para se realizar a análise de tensões em uma estrutura, focamos 
nos métodos dos nós e das seções. Independentemente do método que for utilizado, a 
imposição da condição de equilíbrio de forças e momentos fletores da estrutura é um 
fator fundamental para os cálculos.
40
UNIDADE III
TRANSFORMAÇÃO 
DE TENSÃO E DA 
DEFORMAÇÃO
A análise de tensões (vista na unidade anterior) foi realizada através de forças e tensões 
aplicadas em um plano (x, y) com orientações conhecidas. Quando se pretende analisar 
as tensões em um plano inclinado (x’, y’), é necessária a realização de transformação de 
tensão. Visto que as tensões aplicadas podem gerar deformações no elemento analisado 
(deformações elásticas e plásticas), faz-se necessário avaliar as deformações resultantes 
provocadaspelas tensões no plano (x’, y’), daí a necessidade da transformação da deformação.
CAPÍTULO 1
Transformação de tensão
Transformação de tensão no plano
Nesta primeira etapa, será mostrado como transformar as componentes de tensões 
ligadas a um determinado sistema de coordenadas (x, y) em componentes associadas a um 
outro sistema, com orientações (x’, y’) diferentes. A transformação de tensão analisada 
no sistema plano é importante porque é muito comum na prática da engenharia.
Quando pensamos em um sistema de tensão em um corpo, temos que imaginar um 
estado de tensão tridimensional (Figura 32.a). Entretanto, essa análise é de extrema 
complexidade. Sendo assim, é comum, na Engenharia, buscar simplificações que 
permitam obter resultados com aproximações tais que se assemelham em muito com 
o modelo real. Para tanto, em vez de se fazer uma análise tridimensional, opta-se por 
uma bidimensional (Figura 32.b) que configura um “estado plano de tensões” que, por 
sua vez, é simplificado para o que mostra a Figura 32.c.
Figura 32. Estados de tensão em um corpo.
 (a) (b) (c). 
Fonte: Hibbeler, 2010, p. 321.
41
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO | UNIDADE III
O estado geral de tensões em um ponto do plano (Figura 32.a) é caracterizado por seis 
componentes independentes – σx, σy, σz, Ƭxy, Ƭxz e Ƭyz –, onde:
 » σi são tensões normais; e
 » Ƭij são tensões de cisalhamento que agem nas faces.
Mas, como já dito neste início de estudo, o sistema da Figura 32.a é complexo, e a 
análise simplificada em um único plano (x, y) é o mais usual. Sendo assim, o estado 
geral de tensão no plano é representado (simplificadamente) por uma combinação de 
duas tensões normais (σx e σy) e uma componente da tensão de cisalhamento (Ƭxy) que 
atua nas quatro faces do elemento analisado (Figura 32c).
O processo de transformação de tensão segue representado na Figura 33.
Figura 33. Processo de transformação de tensão em um elemento.
Fonte: Hibbeler, 2010, p. 322.
Assim, se um estado de tensão plano for definido pelas três componentes mostradas 
na Figura 33.a (σx, σy e Ƭxy) no sistema plano (x, y), então um elemento que tenha 
orientação diferente (x’, y’) mostrado na Figura 33.b estará sujeito a três componentes 
diferentes de tensão σx’, σy’ e Ƭx’y’.
De acordo com Hibbeler (2010, pp. 320-1), “o estado plano de tensão em um ponto 
é representado exclusivamente por três componentes que agem sobre um elemento 
que tenha uma orientação específica nesse ponto”.
Vale ressaltar que a transformação de componentes de tensão é mais complexa que 
a de componentes de forças, pois, no caso da tensão, a transformação deve levar em 
42
UNIDADE III | TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO
conta o valor e a direção de cada componente da tensão e a orientação da área sobre a 
qual cada componente atua. No caso da força, a transformação leva em conta somente 
o valor e a direção da sua componente.
A seguir, vamos ver um procedimento de análise que irá facilitar os cálculos envolvidos. 
Para isso, nos basearemos nas tensões indicadas na Figura 34.
Figura 34. Transformações de tensões em um plano com base em área de atuação da tensão.
 
(c) (d). 
Fonte: adaptado de Hibbeler, 2010, p. 322.
Suponha que o estado de tensões da Figura 34.a seja conhecido; então, o novo estado 
de tensão da Figura 34.b pode ser determinado conforme descrito a seguir.
Para determinar as componentes de tensão normal e de cisalhamento que atuam na face 
x’ do elemento (Figura 34.b), seccione o elemento da Figura 34.a conforme indicado 
nas Figuras 34.c e 34.d. Considerando que a área seccionada é dada por ∆A, as áreas 
adjacentes do segmento podem ser obtidas pelas relações:
∆A.sen𝛉;
∆A.cos𝛉.
A seguir, faça o diagrama de corpo livre do segmento, mostrando as forças que atuam 
no elemento. Para isso, multiplique as componentes de tensão, em cada face, pela área 
sobre a qual elas atuam. Assim:
43
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO | UNIDADE III
Fx’ = ∆A.σx’ e Fy’ = ∆A.σy’ e Fx’y’ = ∆A.Ƭx’y’.
Aplique as equações de equilíbrio de forças nas direções x’ e y’ para obter as componentes 
σx’ e Ƭx’y’.
O estado de tensão na superfície de um casco de navio é representado na Figura 
35 a seguir. Calcule o estado de tensão no ponto em um elemento orientado a 30º 
no sentido horário em relação a posição mostrada.
Figura 35. Representação do estado de tensão no casco do navio.
Fonte: adaptado de Ribbeler, 2010, p. 323.
Vamos para a solução.
Calculando, inicialmente, as tensões no plano sob a reta aa (Fig. 35.a). O segmento 
abaixo da linha aa é retirado e consideraremos que a área do plano inclinado sob 
a linha aa é dada por ∆A; os planos horizontal e vertical têm áreas mostradas na 
Figura 36.a e o diagrama de corpo livre é mostrado na Figura 36.b.
Figura 36. Diagrama de corpo livre extraído da Figura 35.a.
 (a) (b). 
Fonte: adaptado de Ribbeler, 2010, p. 323.
44
UNIDADE III | TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO
Aplicando as equações de equilíbrio nas direções x’ e y’, temos:
∑Fx’ = 0 → σx’.∆A – (50∆Acos30
o)cos30o + (25∆Acos30o)sen30o + (80∆Asen30o)sen30o + 
(25∆Asen30o)cos30o = 0.
Daí temos: σx’ = - 4,15 MPa
∑Fy’ = 0 → Ƭx’y’.∆A – (50∆Acos30
o)sen30o – (25∆Acos30o)cos30o – (80∆Asen30o)cos30o + 
(25∆Asen30o)sen30o = 0.
Obtemos: Ƭx’y’ = 68,8 MPa.
Observe que σx’ deu um valor negativo (-); logo, sua direção é oposta à indicada 
(Figura 36.b) e mostrada na Figura 37 a seguir:
Figura 37. Indicações das tensões atuantes (calculadas) do elemento.
Fonte: adaptado de Ribbeler, 2010, p. 323.
Observe que, na Figura 37, está indicada a tensão de 25,8 MPa que ainda não 
calculamos. Vamos calculá-la então. Para isso, vamos analisar a seção cortada 
pela linha bb, tal qual mostra a Figura 38.
Figura 38. Corte da seção na linha bb.
Fonte: adaptado de Ribbeler, 2010, p. 323.
45
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO | UNIDADE III
Aplicando o equilíbrio de forças na seção da linha bb:
∑Fx’ = 0 → σx’∆A – (25∆Acos30
o)sen30o + (80∆Acos30o)cos30o – (25∆Asen30o)cos30o – 
(50∆Asen30o)sen30o = 0,
que resulta em: σx’ = - 25,8 MPa (o sinal negativo indica que essa tensão tem 
sentido contrário ao indicado na Figura 38. Veja essa tensão no sentido correto 
na Figura 37).
∑Fy’ = 0 → - Ƭx’y’ + (25∆Acos30
o)cos30o + (80∆Acos30o)sen30o – (25∆Asen30o)sen30o + 
(50∆Asen30o)cos30o = 0,
que resulta em: Ƭx’y’ = 68,8 MPa.
Equações gerais de transformação de tensão 
no plano
Neste tópico, será mostrado como, através de equações, é possível transformar (ou 
converter) as componentes de tensão normal (σ) e de cisalhamento (Ƭ) referentes a um 
sistema plano de eixos (x, y) para o novo sistema (x’, y’) inclinado de um determinado 
ângulo 𝛉, como mostra a Figura 39.
Figura 39. Transformação de tensões do sistema (x, y) para o (x’, y’).
Fonte: adaptado de Ribbeler, 2010, p. 325.
Para se chegar às equações gerais, inicialmente é feito um corte com ângulo 𝛉, mostrado 
na Figura 40, isolando uma parte do elemento e com as indicações das tensões planas 
existentes.
46
UNIDADE III | TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO
Figura 40. Corte com ângulo 𝛉 no plano de tensões.
Fonte: adaptado de Ribbeler, 2010, p. 325.
Aplicando-se ao diagrama de corpo livre (Figura 40.b) as condições de equilíbrio em 
x’ e em y’, chega-se às seguintes equações finais:
' 2 22 2
x y x y
x xycos sen
σ σ σ σ
σ θ τ θ
+ −
= + + (I);
' ' . 2 22
x y
x y xysen cos
σ σ
τ θ τ θ
−
= + (II).
Se o cálculo da tensão normal σy’ (na direção do eixo y’) for necessário, basta fazer a 
substituição de 𝛉 para (𝛉 + 90º) na equação (I) acima, o que resulta em:
' 2 22 2
x y x y
y xycos sen
σ σ σ σ
σ θ τ θ
− −
= − − (III).
A distribuição dessas tensões no diagrama de corpo livre pode ser observada na Figura 41.
Figura 41. Tensõesreferentes ao sistema (x’, y’) no diagrama de corpo livre.
(a) (b)
Fonte: adaptado de Ribbeler, 2010, p. 325.
47
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO | UNIDADE III
Aprofunde seus estudos sobre transformação de tensões no sistema plano, 
aprendendo um pouco mais sobre “Tensões principais e tensão de cisalhamento 
máxima no plano” em http://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/
arquivosUpload/17430/material/PUC%20-%20REMA%20I%20-%2006%20-%20
Transforma%C3%A7%C3%A3o%20de%20tens%C3%A3o%20no%20plano.pdf 
(Acesso em: 8 fev. 2021). Trata-se de um tópico de uma aula de Resistência dos 
Materiais baseada no Cap. 9 do Livro do Hibbeler (Resistência dos Materiais). 
Ver slides 20 a 26.
Vale a pena conferir!
48
CAPÍTULO 2
Transformação da deformação
No capítulo anterior, você estudou a transformação da tensão. Essa mesma tensão 
tem a capacidade de gerar um determinado grau de deformação em um elemento 
sujeito a um sistema de plano de tensões. O mesmo princípio aplicado para a tensão 
que atua em um plano (x, y) e que pode ser calculada (transformada) no plano (x’, y’) 
será utilizado no cálculo da deformação. Vamos ver como é isso.
Deformação plana
Vimos que, em um sistema tridimensional, podemos verificar a existência de seis tipos 
de tensões:
 » tensões normais σx, σy e σz; e
 » tensões de cisalhamento Ƭxy, Ƭxz e Ƭyz.
Essas seis tensões são capazes de provocar deformações normais (ε) por cisalhamento 
(γ) nas correspondentes direções de atuação, ou seja: εx, εy, εz, γxy, γxz e γyz.
Entretanto, como estamos estudando as tensões e as deformações no sistema plano (x, y), 
resta, por simplificação, analisar apenas três tensões (σx, σy, Ƭxy) e suas correspondentes 
deformações (εx, εy, γxy).
As componentes de uma deformação em um ponto são determinadas, em geral, pelo 
uso de um extensômetro (que é um medidor de deformação) que consegue medir 
as deformações em direções específicas. No entanto, para fins de análise de dados e 
elaboração de projeto, os engenheiros precisam transformar esses dados para obter as 
componentes de deformação em outras direções. Para isso, vamos nos ater à análise 
de deformação plana (Figura 42).
Figura 42. Deformação plana e suas componentes.
 
Estado geral de deformação 
no espaço 3D 
Estado geral de deformação 
no plano 2D 
Fonte: http://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/17430/material/PUC%20-%20REMA%20I%20-%2008%20-%20
Transforma%C3%A7%C3%A3o%20de%20deforma%C3%A7%C3%A3o%20no%20plano.pdf.
49
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO | UNIDADE III
Desse modo, o estado plano de deformação pode ser assim esquematizado (Figura 43):
Figura 43. Estado plano de deformação.
 
a) Deformação normal εx b) Deformação normal εy c) Deformação por cisalhamento γxy 
Fonte: adaptado de Hibbeler, 2010, p. 361.
Importante esclarecer que o estado plano de tensão não deve ser confundido com 
o estado plano de deformação; são diferentes. A explicação para isso é que, embora 
a tensão plana e a deformação plana tenham três componentes que se encontram 
no mesmo plano, a tensão plana não causa, necessariamente, deformação plana 
– pode causar deformação nas três direções (x, y, z). Isso fica claro na Figura 
44, que ilustra que as tensões normais σx e σy provocam deformação segundo as 
três direções.
Figura 44. Deformação em três direções provocadas por duas tensões normais.
Fonte: adaptada de Ribbeler, 2010, p. 362.
Segundo Hibbeler (2010), a influência do coeficiente de Poisson (ϑ) é um fator 
determinante na deformação nas três direções. Caso ϑ = 0 (zero), isso impedirá a 
ocorrência simultânea de deformação plana e tensão plana. Além disso, a tensão de 
cisalhamento e a deformação por cisalhamento não são afetadas pelo coeficiente 
de Poisson; assim, a condição Ƭxz = Ƭyz = 0 exige que as deformações γxz = γyz = 0.
50
UNIDADE III | TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO
O coeficiente de Poisson (simbolizado pela letra grega ϑ) é um parâmetro de 
deformação muito utilizado na análise de deformação de materiais sujeitos 
a tensões. Sendo assim, podemos defini-lo da seguinte maneira: “chama-se 
Coeficiente de Poisson (ϑ) à relação entre a deformação transversal relativa e a 
deformação longitudinal relativa. É uma grandeza sem dimensões” (CAETANO, s/d).
 .
o o
e L
e L
ϑ ∆ ∆= ,
onde:
 » ϑ = coeficiente de Poisson;
 » ∆e = variação da dimensão transversal;
 » eo = dimensão transversal inicial;
 » ∆L = variação da dimensão longitudinal;
 » Lo = dimensão longitudinal inicial.
Equações gerais de transformação no plano 
de deformação
Na análise do estado plano de deformação, é importante estabelecer equações de 
transformação que possam ser usadas para determinar as componentes x’ e y’ da 
deformação normal e daquela por cisalhamento em um ponto, desde que as componentes 
x e y da deformação sejam conhecidas.
Antes de estabelecermos as equações gerais, vamos nos ater a uma pequena convenção 
de sinais: as deformações normais εx e εy serão positivas, se provocarem alongamento 
ao longo dos eixos x e y, respectivamente. As deformações provocadas por cisalhamento 
γxy serão positivas, se o ângulo interno AOB (veja Figura 45) ficar menor que 90º.
Figura 45. Convenção de sinais para deformações planas.
Fonte: adaptada de Ribbeler, 2010, p. 362.
51
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO | UNIDADE III
Assim, as equações gerais de transformação da deformação no plano são as seguintes:
( )' 2 2 2 2 2
x y x y xy
x cos sen I
ε ε ε ε γ
ε θ θ
+ −
= + + ;
( )' 2 2 2 2 2
x y x y xy
y cos sen II
ε ε ε ε γ
ε θ θ
+ −
= − − ;
( )' ' 2 2 2
y x
x y xysen cos III
ε ε
γ θ γ θ
− 
= + 
 
.
A Figura 46 mostra claramente dois tipos de deformações: a deformação normal (εx) 
positiva e a deformação por cisalhamento (γxy) positiva. Observe que está totalmente 
de acordo com a convenção de sinais aqui estabelecida.
Figura 46. Ilustração de dois tipos de deformação positiva.
 
Deformação normal positiva εx’ Deformação por cisalhamento positiva γx’y’ 
Fonte: adaptado de Ribbeler, 2010, p. 364.
Da Figura 46, temos que:
dx = dx’.cos𝛉;
dy = dx’.sen𝛉.
Tal qual se observa nas tensões, a orientação de um elemento em um ponto pode 
ser determinada de tal modo que a deformação do elemento seja representada por 
deformações normais, sem que ocorra nenhuma por cisalhamento. Quando isso ocorre, 
as deformações normais (ε) são denominadas de deformações principais e, se o material 
for isotrópico, os eixos ao longo dos quais essas deformações ocorrem coincidirão com 
os eixos que definem o plano da tensão principal. Assim, as expressões para cálculo 
das deformações principais (ε1 e ε2) estabelecidas por Hibbeler (2010) são as seguintes:
52
UNIDADE III | TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DA DEFORMAÇÃO
2 xy
x y
tg
γ
θ
ε ε
=
−
;
2 2
1,2 ( ) ( )2 2 2
x y x y xyε ε ε ε γε
+ −
= ± + .
Podemos, ainda, calcular as deformações por cisalhamento máxima no plano e média:
2 y x
xy
tg
ε ε
θ
γ
−
= ;
2 2
 
2 2 2
x y xymax ε ε γγ −   = +   
   
;
2
x y
med
ε ε
ε
+
= .
Encerra-se aqui a Unidade III deste caderno de estudos, na qual foram focados dois 
tópicos importantíssimos relacionados à mecânica das estruturas navais:
 » a transformação de tensão no plano; e
 » a transformação da deformação no plano.
Vimos que o estado de tensão em um ponto de um corpo é de natureza tridimensional, 
mas a engenharia trabalha com o modelo plano (bidimensional), o que permite uma 
análise mais simplificada e com resultados que permitem aplicá-la em projetos.
Você viu que os tipos principais de tensões são as normais (perpendiculares) ao plano 
analisado e as de cisalhamento, paralelas às faces do plano analisado. Igualmente 
importante é considerar, para fins de análise, que o sistema está sempre em equilíbrio 
de forças, ou seja: ∑F = 0.
Toda tensão tende a gerar deformações. Assim, tão importante quanto analisar as 
tensões é analisar as transformações das deformações, que, na prática, ocorrem segundoas três dimensões, mas sobre as quais, a exemplo das tensões, a análise bidimensional 
permite obter bons resultados para fins de projeto.
As tensões normais provocam as deformações planas na direção dos eixos x e y (εx 
e εy) e as tensões de cisalhamento provocam as deformações por cisalhamento (γxy). 
Há modelos de equações para o cálculo dessas deformações.
53
UNIDADE IVVIGAS, EIXOS E COLUNAS
Você chegou na última unidade deste Caderno de Estudos, na qual serão estudados 
três elementos chaves da mecânica das estruturas: vigas, eixos e colunas.
Na primeira parte, será estudado o fenômeno da deflexão em vigas e eixos, realizando 
um apanhado geral sobre a linha elástica e a deflexão sofrida por eixos carregados ao 
longo do seu comprimento.
Na segunda e última etapa, veremos o fenômeno da flambagem em colunas devido a 
aplicação de cargas axiais.
CAPÍTULO 1
Deflexão em vigas e eixos
Quando uma viga ou um eixo está sujeito a um carregamento, ambos tendem a 
apresentar uma deflexão (curvatura) (Figura 47), que. na linguagem da Engenharia, 
chamamos de “linha elástica”.
Figura 47. Linha elástica de uma viga carregada.
Fonte: http://www.estruturas.ufpr.br/wp-content/uploads/2015/02/Equa%C3%A7%C3%A3o-da-Linha-El%C3%A1stica1.pdf.
Segundo Hibbeler (2010, p. 421), o diagrama da deflexão do eixo longitudinal que passa 
pelo centroide de cada área da seção transversal da viga é denominado “linha elástica”.
54
UNIDADE IV | VIGAS, EIXOS E COLUNAS 
Não confunda linha elástica (que é uma curva) com o deslocamento vertical em um 
ponto da viga (representado pela letra ν na Figura 47).
Caso a linha elástica de uma viga seja difícil de ser traçada, sugere-se, primeiramente, 
traçar os diagramas de momento fletor da viga, utilizando a convenção de sinal indicada 
na Figura 48, onde:
a. momento interno positivo (M+) e concavidade para cima; e
b. momento interno negativo (M-) e concavidade para baixo.
Figura 48. Convenção de sinal para momento fletor.
 (a) (b). 
Fonte: elaborada pelo próprio autor (2021.
Vejamos como se aplicam esses conceitos até agora vistos.
Suponha a seguinte situação de carregamento e design de viga: seja uma viga apoiada 
em um apoio fixo no ponto D, sustentada em um pequeno rolete no ponto B, sujeita 
a duas cargas P1 e P2 conforme indicado na Figura 49.
Figura 49. Estudo da linha elástica.
 
Diagrama de Momento Fletor 
Ponto de inflexão da linha 
elástica 
Linha elástica 
Fonte: Hibbeler, 2010, p. 422.
55
VIGAS, EIXOS E COLUNAS | UNIDADE IV
Observe que o diagrama de momento fletor, logo abaixo do esquema da viga carregada 
com as cargas P1 e P2, é um forte orientador do perfil da linha elástica desta mesma 
viga indicada no esquema inferior da Figura 49. Destacam-se os pontos C e E, nos 
quais ocorrem, respectivamente, a inflexão da linha elástica (mudança de curvatura 
– ponto de inflexão) e deslocamento máximo (∆E) entre os apoios nos pontos B e D. 
Note ainda que, na extremidade livre da viga, há um deslocamento ∆A.
O que determina se ∆E é maior ou menor que ∆A são os valores relativos de P1 e P2 
e a localização do apoio B.
Os métodos analíticos para determinar os pontos críticos de deflexão de vigas e eixos 
são diversos, dentre os quais podemos destacar:
 » método da integração;
 » método das funções de descontinuidade;
 » método de superposição;
 » método dos momentos de áreas.
Neste nosso caderno, vamos aprender o método da integração. Os demais métodos 
ficam para estudos extras.
Antes, porém, de focarmos método, vamos ver uma importante relação entre o 
momento fletor (M) interno da viga (ou do eixo) e o raio de curvatura (ρ) da linha 
elástica em um ponto.
Usaremos três coordenadas para estabelecer a relação entre M e ρ. O eixo x estende-se 
na direção positiva para a direita, ao longo do eixo longitudinal inicialmente reto da 
viga (ou eixo); nele localizaremos o elemento diferencial dx (não deformado). O eixo v 
estende-se na direção positiva para cima em relação ao eixo x e mede o deslocamento 
do centroide na área da seção transversal do elemento. Tem-se, ainda, a coordenada 
“y”, que é necessária para especificar a posição de uma fibra no elemento da viga e é 
positiva (+) para cima em relação ao eixo neutro da viga.
A dedução da relação entre o momento fletor (M) interno da viga (ou do eixo) e o 
raio de curvatura (ρ) da linha elástica em um ponto pode ser visualizada com o auxílio 
da Figura 50.
56
UNIDADE IV | VIGAS, EIXOS E COLUNAS 
Figura 50. Determinação da relação entre M e ρ. 
 
Antes da 
deformação 
Após a 
deformação 
Raio de curvatura = ρ 
Fonte: adaptado de Ribbeler, 2010, p. 422.
A partir da Figura 50, podemos obter as seguintes relações matemáticas:
ds ds
ds
ε
′ −
= ,
onde ε é a deformação do arco ds, localizada em uma posição y em relação ao eixo 
neutro.
.ds dx dρ θ= =
( ).ds y dρ θ=′ −
Logo, temos:
( ) 1y d d y
d y
ρ θ ρ θ εε
ρ θ ρ ρ
− − − −
= = → =
Pela Lei de Hooke (deformação elástica): σ = E.ε.
Para viga em flexão: .M y
I
σ −= .
Assim, concluímos que: 
1
.
M
E Iρ
= .
57
VIGAS, EIXOS E COLUNAS | UNIDADE IV
Lembrando que:
 » E.I = rigidez à flexão;
 » ρ = raio de curvatura;
 » M = momento fletor;
 » E = módulo de elasticidade (módulo de Young);
 » I = momento de inércia (calculado em torno do eixo neutro);
 » ε = deformação (elástica).
Método da integração
Para entender o método da integração, é necessário conhecer um pouco a matemática 
avançada. No entanto, observe, ao longo do desenvolvimento do equacionamento, 
que simplificações permitem uma análise com menor dificuldade.
Segundo Ribbeler (2010, p. 423), fazendo uso de matemática superior, podemos escrever:
( )
2
2
3/2
2
1 *
[1 )
d v
M dx
EI dv
dx
ρ
= =
 +   
.
A equação (*) acima é uma equação diferencial não linear de segunda ordem, cuja 
solução fornece a forma da linha elástica. Assim, buscando uma simplificação para 
esta equação, podemos reduzi-la para:
( )
2
2 **
M d v
EI dx
= .
Todos os parâmetros que envolvem as variáveis das equações acima estão representados 
na Figura 51 a seguir, que ilustra um carregamento hipotético para uma viga.
Figura 51. Viga biapoiada carregada e sua linha elástica.
 
Carga distribuída positiva 
(a) (b). 
 Fonte: adaptado de Hibbeler, 2010, p. 422 e 424.
58
UNIDADE IV | VIGAS, EIXOS E COLUNAS 
Seja V a força cortante no segmento dx da Figura 51.a, de tal forma que:
( ) dMV x
dx
= .
Para entender um pouco mais a relação acima, observe o corte dx na Figura 52.
Figura 52. Representação da força cortante V, no corte do segmento dx.
Fonte: http://www.estruturas.ufpr.br/wp-content/uploads/2015/02/Equa%C3%A7%C3%A3o-da-Linha-El%C3%A1stica1.pdf.
Diferenciando a equação (**), teremos:
( )
2 2 3
2 2 3. .
d M d d v dM d d v d vEI EI V x
dx EI dx dx dx dx dx dx
     = → = = =    
     
.
Sabendo que: dVw
dx
− = e fazendo a diferenciação da equação de V(x), temos:
( )
2 2
2 2.
d d v dVEI w x
dx dx dx
 
= = − 
 
.
Assim, resumindo, a carga distribuída (w), a força cortante (V) e o momento fletor 
(M), variam em função do eixo “x” segundo as seguintes relações:
( )
4
4.
d vEI w x
dx
= − ;
( )
3
3.
d vEI V x
dx
= ;
( )
2
2
d vEI M x
dx
= ;
( ) dvrad
dx
θ = .
Antes de encerrarmos o método da integração, fique atento às seguintes observações:
59
VIGAS, EIXOS E COLUNAS | UNIDADE IV
I. A solução de qualquer dessas equações requer integrações sucessivas para 
obter a deflexão “v” da linha elástica.
II. Para cada integração, é necessário introduzir uma constante de integração 
e, então, resolver para todas as constantes, de modo a obter uma solução 
única para um problema particular.
III. A escolha da equação pela qual começar depende do tipo de problema. 
Geralmente, é mais fácil determinar o momento interno “M” em função 
de “x”, integrar duas vezes e avaliar somente duas constantes de integração.
IV. Observesempre a convenção de sinais (veja Figura 52).
V. Finalmente, para resolver as equações, o estabelecimento das condições de 
contorno para os apoios permite uma solução mais rápida. Tais condições 
de contorno podem ser vistas na Figura 53 a seguir.
Figura 53: Condições de contorno para variados tipos de apoio, para a solução das equações da linha elástica.
 
Primeiro gênero 
Segundo gênero 
Terceiro gênero 
Fonte: http://www.estruturas.ufpr.br/wp-content/uploads/2015/02/Equa%C3%A7%C3%A3o-da-Linha-El%C3%A1stica1.pdf.
Nos estudos de casos, ao final deste caderno, você encontrará exemplos de cálculos 
aplicados aos casos estudados até aqui.
Para reforçar, com exemplo prático da aplicação das condições de contorno, 
considere as duas situações a seguir:
Situação I: viga engastada com uma carga P na extremidade livre (Figura 54).
60
UNIDADE IV | VIGAS, EIXOS E COLUNAS 
Figura 54. Viga engastada com carga P na extremidade livre.
Fonte: http://www.estruturas.ufpr.br/wp-content/uploads/2015/02/Equa%C3%A7%C3%A3o-da-Linha-El%C3%A1stica1.pdf.
Para a Figura 54, tomando a origem do eixo x a partir da parede, ou seja, x = 0 no 
engaste e x = L na extremidade livre, temos as seguintes condições de contorno:
 » p/ x = 0 → v(x = 0) = 0;
 » p/ x = L → v(x = L) = v;
 » p/ x = 0 → 𝛉(x = 0) = 0.
Situação II: viga biapoiada com carga distribuída “q” (Figura 55).
Figura 55. Viga biapoiada com carga distribuída “q”.
Fonte: http://www.estruturas.ufpr.br/wp-content/uploads/2015/02/Equa%C3%A7%C3%A3o-da-Linha-
El%C3%A1stica1.pdf.
Para a situação II, as condições de contorno são as seguintes:
 » p/ x = 0 → V(x = 0) = 0;
 » p/ x = L → V(x = L) = 0;
 » p/ x = 0 → 𝛉(x = 0) = 𝛉A;
 » p/ x = L → 𝛉(x = L) = 𝛉B.
61
CAPÍTULO 2
Flambagem de colunas
Quando temos uma viga biapoiada sujeita a uma carga P entre os apoios, se a intensidade 
dessa carga for tal que supere a resistência da viga, esta irá apresentar uma curva entre 
os dois apoios que é conhecida como flambagem. Por sua vez, quando tratamos de 
colunas sujeitas a uma carga de compressão P que supera um limite crítico de resistência 
(Pcr) da coluna, esta sofre uma deflexão (curva) que também é chamada de flambagem 
(Figura 56).
Figura 56. Fenômeno da flambagem em coluna.
Fonte: Ribbeler, 2010, p. 477.
Para cargas de compressão P ≤ Pcr, a coluna permanece na posição (a).
Para cargas de compressão P > Pcr, a coluna sofre a flambagem indicada em (b).
A carga Pcr é a chamada “carga crítica”, que pode ser definida como “a carga axial máxima 
que uma coluna pode suportar quando está na iminência de sofrer flambagem”.
Embora estejamos tratando de coluna sob carga de pressão, os mesmos princípios aqui 
aplicados valem também para um eixo sob carga de compressão.
Existe um conceito (teórico) de “coluna ideal”, segundo o qual “uma coluna ideal é 
perfeitamente reta antes da aplicação da carga no centroide da seção transversal”.
62
UNIDADE IV | VIGAS, EIXOS E COLUNAS 
Ainda referente ao conceito de “coluna ideal”, ela sofrerá flambagem em torno do eixo 
principal da seção transversal que tiver o menor momento de inércia (ou seja, o eixo 
mais resistente).
A toda carga crítica Pcr haverá uma correspondente tensão crítica (σcr) associada, tal 
que podemos defini-las da seguinte maneira:
2
2
. .
cr
E IP
L
π
= ;
( )
2
2
.
cr
E
L
r
πσ = ,
onde:
 » Pcr = carga crítica ou carga axial máxima na coluna, imediatamente antes 
do início da flambagem;
 » E = módulo de elasticidade do material;
 » I = menor momento de inércia para a área da seção transversal da coluna;
 » L = comprimento da coluna (sem apoio), cujas extremidades estejam presas 
por pinos;
 » σcr = tensão crítica, que é a tensão média na coluna, imediatamente antes 
do início da flambagem (essa é uma tensão elástica, portanto, menor que a 
tensão de escoamento do material);
 » r = menor raio de giração da coluna, obtido pela relação Ir
A
= ; e
 » A = área da seção transversal da coluna.
A relação L/r é conhecida como “índice de esbeltez”, ou seja, é o índice que avalia o 
quanto uma barra comprimida é mais ou menos vulnerável ao efeito da flambagem. 
O índice de esbeltez é uma medida mecânica utilizada para estimar com que 
facilidade um pilar irá encurvar.
O índice de esbeltez é dado pela letra λ, ou seja: λ = L/r.
Leia mais em: E-Civil. Disponível em: https://www.ecivilnet.com/dicionario/o-que-
e-indice-de-esbeltez.html Acesso em: 10 fev. 2021.
A fim de consolidar esses conceitos, veja o Sintetizando a seguir.
63
VIGAS, EIXOS E COLUNAS | UNIDADE IV
Considere o elemento estrutural mostrado na Figura 57, feito de aço, que será 
usado como uma coluna acoplada a pinos. Qual a maior carga axial suportável 
antes de sofrer flambagem e antes de escoar?
São fornecidos os seguintes parâmetros:
 » A = 5890 mm2;
 » Ixx = 45,5x106 mm
4;
 » Iyy = 15,3x106 mm
4;
 » Eaço = 200x106 kN/m
2;
 » σesc.aço = 250 N/mm2.
Figura 57. Elemento estrutural de aço acoplado a pinos.
Fonte: Ribbeler, 2010, p. 482.
Vejamos a solução.
O momento de inércia de menor valor é o Iyy, que será o escolhido para resolvermos 
esse problema. A flambagem irá ocorrer em torno do eixo y-y. Logo:
( )( )2 6 2 6 4 42
2 2
1200.10 / 15,3.10 ( )1000
4cr
mkN m mmEI mmP
L m
ππ
= =
1887,6 crP kN= .
Obs.: Note que a área e os momentos de inércia estão em “mm”, enquanto que o 
Eaço está em “kN/m
2”; logo, há a necessidade de padronizar as medidas. No caso, 
convertemos todas as medidas de metro para milímetro, daí a inclusão do termo 
(1m/1000mm)4 na expressão de Pcr.
A tensão crítica média (σcr) é dada por:
( )
22
10001887,6 .
320,5
5890
cr
cr
NkNP kN N
mmA mm
σ = = = .
64
UNIDADE IV | VIGAS, EIXOS E COLUNAS 
Obs.: A exemplo do que foi explicado no cálculo anterior, aqui, para calcularmos 
σcr, a carga estava em kN e a convertemos para N através do fator de multiplicação 
1000N/kN colocado na expressão de σcr.
Comparando os valores de σesc.aço com o valor de σcr calculado, vemos que:
σcr = 320,5 N/mm
2 > σesc.aço = 250 N/mm
2.
Logo, o novo valor de P será:
2 2250 1472,55890
PN P kNmm mm
= → = .
Assim, a maior carga axial suportada pela coluna sem flambar é 1472,5 kN.
O estudo sobre flambagem em colunas até agora desenvolvido baseou-se em colunas 
apoiadas em pinos. No entanto, além de pinos, há uma série de outros tipos de apoio 
que podem sustentar uma coluna carregada com carga P. Vamos ver os procedimentos 
a serem seguidos.
Colunas com vários tipos de apoios
Além da coluna apoiada por pinos, uma composição comum é a de uma coluna 
engastada na base e livre no topo. A determinação da carga de flambagem segue o 
mesmo procedimento aplicado no caso da coluna apoiada em pinos, mas com uma 
pequena diferença:
2
24cr
EIP
L
π
= .
Por comparação com a expressão usada na coluna com pinos, vemos que, no caso da 
coluna engastada na base e livre no topo, a carga crítica reduz para ¼ daquela com pino.
Outros tipos de apoio para colunas são analisados de maneira semelhante ao caso da 
base engastada e topo livre, mas seu estudo não faz parte do escopo deste material. 
No entanto, definiremos uma expressão geral (chamada “fórmula de Euler”), aplicável 
a várias situações de apoios.
Antes de colocarmos a expressão geral, vejamos um conceito importante que está 
incorporado na fórmula de Euler geral. Trata-se do “fator de comprimento efetivo (K)”, 
que é definido a partir do comprimento efetivo (Le). Vejamos: o valor de L usado nas 
expressões anteriores representa a distância sem apoio entre os pontos de momento 
(M) nulo. Se a coluna for apoiada por outros elementos diferente de pinos, utiliza-se 
o comprimento efetivo (Le). O valor de Le está associado ao valor de L pelo fator de 
comprimento efetivo (K), tal que:
65
VIGAS, EIXOS E COLUNAS | UNIDADE IV
.eL K L= .
As fórmulas de Euler (geral) para a carga crítica (Pcr) e para a tensão crítica (σcr) são 
as seguintes:
2
2( )cr
EIP
KL
π
= ;
2
2cr
E
KL
r
πσ =
 
 
 
.
O termo (KL/r) é chamado de índice