Unidade 3 - Elementos Típicos da Distribuição

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Profa. Dra. Raquel Maria Trindade Fernandes 
São Luís 
2019 
ELEMENTOS TÍPICOS DA 
DISTRIBUIÇÃO 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO – UEMA 
NÚCLEO DE TECNOLOGIAS PARA EDUCAÇÃO – UEMAnet 
CURSO DE LICENCIATURA EM PEDAGOGIA 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
Fonte: http://www.ignisengenharia.com.br/index.php/it/pages/item/50-estatistica-medidas-de-tendencia-central-formulas-e-graficos 
MEDIDAS DE RESUMO 
Figura 1. Tendência de uma população a uma medida central 
3 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
 Este estudo sobre distribuições de frequências, até 
agora, permite descrever, de modo geral, os grupos de 
valores que uma variável pode assumir. 
 Dessa forma, pode-se localizar a maior 
concentração de valores de uma dada distribuição, isto 
é, se ela se localiza no início, no meio ou no final, ou 
ainda, se há uma distribuição por igual. 
 Porém, para ressaltar as tendências características 
de cada distribuição, isoladamente ou em confronto com 
outras, é necessário introduzir conceitos que se 
expressem através de números, que permitam traduzir 
essas tendências. 
4 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
 Tais conceitos são denominados elementos típicos 
da distribuição. São eles: 
a) Medidas de posição; 
b) Medidas de variabilidade ou dispersão; 
c) Medidas de assimetria; 
d) Medidas de curtose. 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
 Dentre os elementos típicos, este estudo abordará 
as medidas de posição e as medidas de variabilidade ou 
dispersão. 
 De um modo geral, qualquer conjunto de dados 
estatísticos agrupados ou não dependendo do estudo a 
que se propõe, ocupam uma posição específica dentro 
de uma distribuição. 
 As medidas de posição mais importantes são as 
medidas de tendência central, em que os dados 
observados tendem, em geral, a se agrupar em torno dos 
valores centrais. 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
 As principais medidas de tendência central são: 
a) Média (aritmética, geométrica, harmônica, 
quadrática); 
b) Moda; 
c) Mediana; 
d) Separatrizes. 
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MEDIDAS DE RESUMO 
Média 
Fonte: https://www.professorferretto.com.br/moda-media-e-mediana-medidas-de-tendencia-central/ 
Figura 2. Representações de situações que demandam o cálculo 
de uma média 
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MEDIDAS DE RESUMO 
Média Aritmética Simples 
 Para se calcular a média aritmética, ou 
simplesmente média, de um conjunto depende-se do tipo 
de dados. Para dados não agrupados, é muito simples. 
Suponha que as notas de um estudante em seis provas 
foram 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,8. A média aritmética das 
notas será dada por: 
Fonte: Medeiros (2013) 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Média Aritmética Simples 
 Verifique que, na prática, realizou-se a soma de 
todas as notas (48) e sua divisão pela quantidade total 
de notas (6). Assim, a fórmula matemática para a média 
aritmética é: 
Fonte: Medeiros (2013) 
Equação 1. Média aritmética. 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Média Aritmética Simples 
Observe outro exemplo para dados não agrupados 
utilizando, desta vez, a Equação 1. Considere o número 
de alunos em determinada sala de aula do 1º ano do 
Ensino Médio nos últimos anos, representadas na série 
histórica: 
Fonte: Medeiros (2013) 
Total de Alunos na sala de 1º ano do Ensino Médio 
2014 2015 2016 2017 2018 
35 38 32 40 37 
Tabela 1. Série histórica representando a quantidade de alunos em 
determinada sala de aula 
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MEDIDAS DE RESUMO 
Média Aritmética Simples 
Assim: 
 
 
 Note que não existe o número 36,4 no conjunto de 
dados. Quando isso ocorre, diz-se que a média não tem 
existência concreta, o que significa que, considerando 
todas as grandezas, dentro do conjunto de dados 
ordenados, esse valor tende a uma posição central; por 
isso, a média é uma medida de tendência central. 
 
Fonte: Medeiros (2013) 
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MEDIDAS DE RESUMO 
Média Aritmética Ponderada 
 Considere agora como se calcula a média 
aritmética para dados agrupados. Estes podem se 
apresentar sem intervalos de classe ou com intervalos 
de classes. Observe o cálculo da média aritmética para 
dados agrupados sem intervalos de classe. 
 Considere a distribuição de frequência a seguir, 
relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando como 
variável o número de filhos do sexo masculino. 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Média Aritmética Ponderada 
 
 
 
 
 
 
 As frequências são indicadoras da intensidade de 
cada valor da variável número de meninos. Esse é um 
caso de ponderação, o que leva à média aritmética 
ponderada, porque cada variável possui intensidade 
diferente. 
Fonte: Medeiros (2013) 
Tabela 2. Distribuição de frequência do número de filhos do sexo 
masculino relativa a 34 famílias de quatro filhos 
Número de meninos Frequência (fi) 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
14 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Média Aritmética Ponderada 
 
 
 
 
 
 Um modo prático para calcular uma média 
ponderada é construir na tabela de distribuição de 
frequência, mais uma coluna com os produtos “número de 
meninos” vezes “frequência” (ou, segundo a fórmula, xifi ). 
Fonte: Medeiros (2013) 
Equação 2. Média ponderada. 
15 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Média Aritmética Ponderada 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, tem-se: e 
Fonte: Medeiros (2013) 
Tabela 3. Distribuição de frequência do número de filhos do sexo 
masculino relativa a 34 famílias de quatro filhos. 
Número de meninos Frequência (fi) xifi 
0 2 0 
1 6 6 
2 10 20 
3 12 36 
4 4 16 
16 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Média Aritmética Ponderada 
Aplicando à Equação 2: 
 
 
 A média de 2,3 nos indica que as famílias têm em 
média 2 meninos e 2 meninas, sendo que existe uma 
tendência geral de uma leve superioridade numérica dos 
meninos em relação ao número de meninas. 
Fonte: Medeiros (2013) 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Média Aritmética Ponderada 
 Considere mais um exemplo. Suponha que um 
aluno que realiza 5 provas durante um bimestre e obtém 
as notas 9,0; 7,0; 3,0; 8,0; e 7,0. Para ser aprovado, 
esse aluno precisa atingir uma nota final maior ou igual a 
7,0. 
Fonte: https://www.professorferretto.com.br/moda-media-e-mediana-medidas-de-tendencia-central/ 
Tabela 4. Notas de um aluno em 5 avaliações 
Avaliações Notas Pesos 
1ª 2 0 
2ª 6 6 
3ª 10 20 
4ª 12 36 
5ª 4 16 
18 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Média Aritmética Ponderada 
 Através da tabela 3, percebe-se que as duas 
primeiras avaliações do aluno tiveram peso 2, enquanto 
a terceira teve peso 3 e as demais tiveram peso 1. Isso 
significa que a 3ª avaliação será a que mais contribuirá 
para a média do aluno. 
Fonte: https://www.professorferretto.com.br/moda-media-e-mediana-medidas-de-tendencia-central/ 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Média Aritmética Ponderada 
 Conhecendo o conceito que envolve a média 
aritmética ponderada, o aluno do exemplo poderia ter se 
dedicado mais para a 3ª avaliação, já que, na verdade, 
esta valia por 3 avaliações (peso 3), sendo assim, 
mesmo que não se saísse tão bem na última, que valia 
apenas por 1 avaliação (peso 1), ele poderia garantir sua 
aprovação. 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Média Geométrica 
 A média geométrica de “n” valores é definida, 
genericamente, como a raiz n-ésima do produto de todos 
eles. Dados “n” valores 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥𝑛, a média geométrica 
desses valores será dada por: 
 
 ou 
 Em que a letragrega  (pi) indica o produto dos 
valores da variável. 
Equação 3. Equações para o cálculo da média geométrica. 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Média Geométrica 
 Considere o cálculo da média geométrica simples 
do conjunto 𝑥 = {1, 4, 16, 64}. 
 
 
 
Ou: 
Fonte: UFPA (2019) 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Média Harmônica 
 
 A média harmônica de um conjunto de valores xi é 
o inverso da média aritmética dos inversos dos valores. 
 
 
 ou 
Equação 4. Equações para o cálculo da média geométrica. 
fonte: UFPA (2019) 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Média Harmônica 
 
 Observe o cálculo da média harmônica simples do 
seguinte conjunto de números: 𝑥 = {10, 60, 360}. 
Fonte: UFPA (2019) 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Média Quadrática 
 A média quadrática de um conjunto de “n” valores 
𝑥i é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados. 
 
 
 
Em que: 
 𝑥i = valores da variável 
 n = número de observações 
Equação 5. Equações para o cálculo da média quadrática. 
Fonte: UFPA (2019) 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Média Quadrática 
 
 Considere o cálculo da média quadrática do 
conjunto 𝑥 = {2, 3, 4, 5}. 
Fonte: UFPA (2019) 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Moda 
Fonte: https://www.professorferretto.com.br/moda-media-e-mediana-medidas-de-tendencia-central/ 
Figura 3. Representações da moda como medida de resumo. 
 A moda é outra medida de tendência central, 
definida como o valor mais frequente, quando 
comparada sua frequência com a dos valores contíguos 
de um conjunto ordenado. 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Moda 
 Considerando um conjunto ordenado de valores, a 
moda será o valor predominante, o valor mais frequente 
desse conjunto. Esse conjunto de valores pode ser: 
- Amodal: não apresenta uma moda, isto é, todos os 
valores da variável em estudo ocorreram com a mesma 
intensidade (frequência); 
- Plurimodal: quando houver mais de um valor 
predominante. 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Moda 
Observe a moda dos seguintes conjuntos de valores: 
x = {4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8}  Mo = 6 
y = {4, 4, 5, 5, 6, 6}  Amodal, pois seus três valores 
apareceram 2 vezes cada um. 
z = {1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6}  Mo1 = 2 e Mo2 = 
5, conjunto bimodal, pois tanto o valor 2 como o valor 5 
apresentaram o maior número de ocorrências. 
w = {1, 2, 3, 4, 5}  Amodal, pois nenhum valor se 
repete. 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Fonte: Medeiros (2013) 
Figura 4. Exemplos de curvas modais. 
30 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Mediana 
 A mediana é definida como o número que se 
encontra no centro de uma série de números, estando 
estes dispostos segundo uma ordem. 
 Em outras palavras, a mediana de um conjunto de 
valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é 
o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em 
dois subconjuntos de mesmo número de elementos. 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Mediana 
 Para dados não agrupados, como no exemplo 
acima, calcula-se a mediana de duas maneiras: 
1. quando os dados forem de número ímpar, basta 
encontrar o ponto central, isto é, encontrar o valor que, 
antes dele e depois dele, tenha o mesmo número de 
elementos; 
2. quando os dados forem de número par, não haverá 
um ponto central. Nesse caso, calcula-se o ponto médio 
dos dois valores centrais, com a ajuda da média 
aritmética. 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Mediana 
 Lembre-se que, para fazer isso, é preciso que os 
elementos estejam em um rol, isto é, apresentem-se em 
uma ordem crescente ou decrescente. 
 Considere o conjunto: 
145, 68, 1, 2, 6, 5, 4, 3, 4, 8. 
 Para calcular a média e a mediana (md), a primeira 
coisa a fazer é colocar os elementos em ordem: 
1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 68, 145. 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Mediana 
 Efetuando os cálculos, aplicando a Equação 1: 
 
 
 
 Para um conjunto de dados par, realizar a média 
dos dois pontos centrais: 
Fonte: Medeiros (2013) 
34 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Mediana 
 Como se pode observar, a média é muito diferente 
da mediana. Média igual a 24,6 significa que os dados 
do conjunto se concentram em torno desse número, isto 
é, o problema da média é que ela é afetada pelos 
grandes valores. 
 Com o cálculo da mediana (md) igual a 4,5, pode-se 
afirmar que metade dos valores está abaixo de 4,5 e, 
portanto, são muito baixos. 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Mediana 
 Ambas as medidas são de tendência central, ou 
seja, representam pontos que tendem para o centro dos 
dados. Neste caso, os valores do conjunto estão mais 
próximos de 4,5 do que de 24,6. 
 A mediana depende da “posição” e não dos valores 
dos elementos na série ordenada. Essa é uma das 
diferenças marcantes entre a mediana e a média (que se 
deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos). 
36 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Mediana 
 Caso os dados estejam agrupados, para calcular a 
mediana, aplica-se a equação: 
 
 
 Fi = 
Fonte: Medeiros (2013) 
Equação 6. Fórmula para o cálculo da mediana de um conjunto de 
dados agrupados. 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Mediana 
 No caso de dados agrupados sem intervalos de 
classe, como é o caso da Tabela 3 (p. 15), pode-se 
utilizar um recurso que auxilia no cálculo da mediana: a 
coluna de frequências acumuladas (Fi). 
 Frequência acumulada nada mais é do que a soma 
das frequências de cada variável. 
38 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Mediana 
Tabela 4. Distribuição de frequências e frequências acumuladas do número 
de filhos do sexo masculino relativa a 34 famílias de quatro filhos. 
Número de meninos Frequência (fi) Fi 
0 2 2 
1 6 8 
2 10 18 
3 12 30 
4 4 34 
Sabendo-se que Σfi = 34 aplicando a Equação 6: 
Fonte: Medeiros (2013) 
Fonte: Medeiros (2013) 
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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Mediana 
 Observe que, para a variável “0 menino”, tem-se 
frequência 2; logo, a frequência acumulada é 2; para a 
variável “1 menino”, tem-se frequência 6; logo, a 
frequência acumulada é 8, pois resulta de 2 (frequência 
acumulada anterior) + 6 (frequência simples); para a 
variável “2 meninos”, tem-se frequência simples igual a 
10; logo, a frequência acumulada será 8 (anterior) + 10 = 
18 e assim sucessivamente. Frequência acumulada 
será, então, a soma das frequências simples. 
40 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Mediana 
 O número 17, obtido com a equação 3, indica que a 
mediana pertence à linha em que esse número se 
encontra. Uma vez que não é possível encontrar 
diretamente 17 na frequência acumulada, considera-se 
então, a frequência acumulada imediatamente superior. 
Nesse caso, essa frequência é o 18. Destaca-se a linha 
mediana, isto é, a linha onde a mediana procurada se 
encontra. A mediana é, portanto, 2. 
41 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Mediana 
Figura 5. Linha mediana da Tabela 4. 
Fonte: Medeiros (2013) 
42 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Relação entre média, mediana e moda 
 A moda é uma medida que requer apenas o 
conhecimento da frequência absoluta e pode ser utilizada 
para qualquer tipo de variável, tanto qualitativa, quanto 
quantitativa. 
 A mediana é uma medida que exige uma ordenação de 
categorias, da mais alta a mais baixa. Assim ela só pode 
ser obtida para variáveis qualitativas ordinais ou paraas 
quantitativas, jamais para variáveis qualitativas nominais. 
Além disso, a mediana não é influenciada por valores 
extremos. 
43 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Relação entre média, mediana e moda 
 A média aritmética trabalha com todos os elementos do 
conjunto de dados, enquanto a mediana utiliza apenas um 
ou dois valores. No entanto, a média sofre influência de 
valores extremos (muito alto ou baixo). 
 A média é uma medida que pode ser calculada apenas 
para variáveis quantitativas. E embora a média seja um 
valor mais fácil de entender, tem o defeito de nos induzir a 
erros se a nossa amostra tiver valores muito extremos. 
44 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Relação entre média, mediana e moda 
 Assim, no caso das variáveis quantitativas, quando 
o valor da Mediana é muito diferente da Média, é 
aconselhável considerar sempre a Mediana como valor 
de referência mais importante. 
 Quando a distribuição dos dados é considerada 
"normal", a melhor medida de localização do centro é a 
média. 
45 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
 Sendo a Distribuição Normal uma das distribuições 
mais importantes e que surge com mais frequência em 
aplicações, esse fato justifica a grande utilização da 
média. 
 Esquematicamente, pode-se posicionar a média da 
forma seguinte, tendo em conta a representação gráfica 
na forma de histograma. 
Relação entre média, mediana e moda 
46 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Relação entre média, mediana e moda 
Figura 6. Histogramas representando a relação entre média, 
mediana e moda. 
Fonte: UFPA (2019) 
47 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
 Verifica-se que a mediana separa uma série em duas 
partes iguais, em que cada parte contém o mesmo 
número de elementos; porém, uma mesma série pode ser 
dividida em duas ou mais partes que contenham a mesma 
quantidade de elementos. 
 Veja como se dá o nome da medida de posição 
separatriz de acordo com a quantidade de partes em que 
é dividida a série. 
Outras Medidas de Posição: Quartis, Decis e Percentis 
48 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Outras Medidas de Posição: Quartis, Decis e Percentis 
• Mediana: divide a série em duas partes iguais 𝑀𝑑 
• Quartis: divide a série em quatro partes iguais 𝑄1, 𝑄2, 𝑄3 
• Decis: divide a série em 10 partes iguais 𝐷1, 𝐷2, 𝐷3, 𝐷4, 𝐷5, 𝐷6, 𝐷7, 𝐷8, 𝐷9 
• Percentis: divide a série em 100 partes iguais 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, …, 𝑃99 
49 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
 Nos quartis, a série é dividida em quatro partes iguais. 
Os elementos separatrizes da série são Q1, Q2, e Q3. 
 
Outras Medidas de Posição: Quartis 
Figura 7. Representação dos quartis de um conjunto de dados. 
Fonte: Medeiros (2013) 
50 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
 Em um conjunto numérico, ocorre o mesmo que na 
Figura 7: os quartis dividem o conjunto numérico em 
quatro partes iguais; Q2 é o segundo quartil e divide o 
conjunto ao meio (por isso, é também a mediana); Q1 
divide a metade do conjunto em duas partes iguais, isto 
é, ¼ para cada lado; Q3 é o terceiro quartil. 
Outras Medidas de Posição: Quartis 
51 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
 Para o cálculo dos quartis, utilizam-se técnicas 
semelhantes àquelas do cálculo da mediana. 
Consequentemente, podem-se utilizar as mesmas fórmulas 
do cálculo da mediana, levando em conta que onde houver a 
expressão , esta será substituída por , sendo K 
o número da ordem do quartil, em que K =1 corresponde ao 
primeiro quartil; K = 2 corresponde ao segundo quartil e K = 3 
ao terceiro quartil. 
 
Outras Medidas de Posição: Quartis 
2
 if
4
 ifK
52 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
 Determina-se, inicialmente, a classe que contém o 
valor quartil a ser calculado. A identificação da classe é 
feita por meio do termo da ordem calculada pela 
expressão. 
 
Fonte: UFPA (2019) 
Outras Medidas de Posição: Quartis 
Equação 6. Fórmula para o cálculo do quartis. 
53 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
 Esse termo está localizado numa classe que 
recebe o nome de classe quartil. Assim, tem-se: 
Fonte: UFPA (2019) 
Outras Medidas de Posição: Quartis 
Equação 7. Fórmula para o cálculo do quartis. 
54 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE RESUMO 
Outras Medidas de Posição: Decis e Percentis 
 Decis e percentis são encontrados de maneira análoga 
aos quartis. Se quartis dividem o conjunto de dados em 4 
partes iguais, decis dividem o conjunto em 10 partes e 
percentis em 100 partes. Se for possível encontrar 3 quartis 
(Q1, Q2 e Q3), pode-se encontrar 9 decis (D1, D2, D3. .... D9) e 
99 percentis (P1,P2, P3. .... P9). 
 Para encontrar as posições dos decis e dos percentis, 
são utilizadas fórmulas semelhantes às da mediana e dos 
quartis para dados não agrupados. 
55 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 Considere três conjuntos, X, Y, e Z com seus 
respectivos valores: 
 
 
 
 
Inicialmente, calcula-se a média aritmética. 
Dispersão e Variação 
Fonte: Medeiros (2013) 
56 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 
 
Assim: 
Dispersão e Variação 
Fonte: Medeiros (2013) 
57 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 Pode-se observar que os três conjuntos possuem a 
mesma média aritmética: 70. Por outro lado, pode-se 
observar que o conjunto X é mais homogêneo do que os 
conjuntos Y e Z; o conjunto Y, por sua vez, é mais 
homogêneo que o conjunto Z; por fim, o conjunto Z é o 
mais heterogêneo de todos. 
 Assim, mesmo possuindo a mesma média, os 
conjuntos apresentam comportamentos muito 
diferentes. Esse fenômeno é chamado de dispersão. 
Dispersão e Variação 
58 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 No exemplo anterior, os conjuntos X, Y e Z 
apresentam como ponto de tendência central para fins 
de comparação a média. Essa média é a mesma para 
os três conjuntos: 70. 
 Assim, o conjunto X apresenta dispersão nula, pois 
não há variação dos valores do conjunto em relação a 
essa média; o conjunto Y apresenta dispersão menor 
que o conjunto Z; isso porque os valores de Y estão 
mais próximos que os do conjunto Z. 
Dispersão e Variação 
59 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 A interpretação de dados estatísticos exige que se 
realize um número maior de estudos, além das medidas 
de posição. 
 O estudo das médias, medianas, moda, quartis e 
percentis são válidos, mas não suficientes para estudos 
comparativos ou conclusões qualitativas. 
Dispersão e Variação 
60 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 A estatística recorre às medidas de dispersão (ou 
de variabilidade) quando deseja qualificar os valores de 
uma variável, ressaltando a maior ou menor dispersão 
entre esses valores e a sua medida de posição. 
 Dessas medidas de dispersão, serão consideradas 
neste estudo somente o desvio padrão e o coeficiente 
de variação. 
Dispersão e Variação 
61 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 As medidas de dispersão ou de variabilidade 
servem para verificar a representatividade das medidas 
de posição. 
 Das medidas de dispersão ou de variabilidade, 
estudamos: 
 Amplitude total (já considerada neste estudo); 
 Variância e desvio-padrão; 
 Coeficiente de variação. 
62 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 A variância (𝑆2) leva em consideração os valores 
extremos e os valores intermediários, isto é, expressa 
melhor os resultados obtidos. 
 A variância relaciona os desvios em torno da 
média,ou mais especificamente, é a média aritmética 
dos quadrados dos desvios. 
Variância (𝑺𝟐 ou 𝝈²) 
63 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
A variância (𝑆2) de uma população é dada por: 
 
 
 
Em que: 
Fonte: UFPA (2019) 
Variância (𝑺𝟐 ou 𝝈²) 
Equação 8. Equação para o cálculo da variância. 
64 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 Caso a variância represente uma descrição da 
amostra e não da população (este tipo de ocorrência é 
mais comum na estatística), o denominador passa a ser 
(𝑛−1) em vez de 𝑛. O motivo dessa modificação é 
porque melhora a estimativa do parâmetro de 
população. 
Variância (𝑺𝟐 ou 𝝈²) 
Equação 9. Equação para o cálculo da variância. 
Fonte: UFPA (2019) 
65 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 Da mesma forma que para a variância, caso o 
desvio-médio representar uma descrição da amostra e 
não da população, o denominador passa a ser (𝑛−1), 
logo: 
Desvio-Padrão (𝑺 ou 𝝈) 
Equação 10. Equação para o cálculo do desvio-padrão. 
Fonte: UFPA (2019) 
66 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 O desvio-padrão 𝑆 é a medida mais usada na 
comparação de diferenças entre conjuntos de dados, 
por ter grande precisão. O desvio-padrão determina a 
dispersão dos valores em relação à média. 
 O desvio-padrão é determinado pela equação 10. 
Desvio-Padrão (𝑺 ou 𝝈) 
Equação 11. Equação para o cálculo do desvio-padrão. 
Fonte: UFPA (2019) 
67 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 O valor médio em algumas séries resulta em 
números decimais; consequentemente, o cálculo do 
desvio-padrão pode se estender numa somatória do 
quadrado de números decimais. 
 Com o objetivo de simplificar os cálculos 
matemáticos, utiliza-se uma fórmula alternativa para o 
cálculo do desvio-padrão. 
Desvio-Padrão (𝑺 ou 𝝈) 
68 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
Como e , 
então, substituindo esses valores em , 
tem-se: 
 
 
 
Desvio-Padrão (𝑺 ou 𝝈) 
Equação 12. Equação alternativa para o cálculo do desvio-padrão. 
Fonte: UFPA (2019) 
69 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
O desvio-padrão apresenta algumas propriedades: 
 Somando ou subtraindo um mesmo valor de todos os 
valores de uma variável, o desvio-padrão não se altera; 
 Multiplicando (ou dividindo-se) todos os valores de 
uma variável por um mesmo número (diferente de zero), 
o desvio-padrão fica multiplicado (ou dividido) por esse 
número. 
Desvio-Padrão (𝑺 ou 𝝈) 
70 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 O coeficiente de variação é uma medida que 
permite caracterizar, com o maior rigor possível, a 
dispersão dos conjuntos. 
 O coeficiente de variação (CV) está sempre 
relacionado ao valor médio de um conjunto porque, 
como já vimos, a dispersão é uma medida sempre 
relacionada a uma determinada média. 
 O coeficiente de variação é a relação entre o 
desvio-padrão (𝑆) e a média aritmética ( ), multiplicada 
por 100. 
Coeficiente de variação 
71 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 Emprega-se o coeficiente de variação na 
comparação do grau de concentração em torno da 
média para séries distintas. 
Coeficiente de variação 
Equação 13. Equação para o cálculo do coeficiente de variação. 
Fonte: UFPA (2019) 
72 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
Considere o seguinte exemplo: 
 Suponha que se deseje estudar a variação das 
idades de dois grupos: 
 
 
 
 Inicialmente, serão calculados a média e o 
desvio-padrão de G1 e G2. 
Fonte: Medeiros (2013) 
73 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
1. Cálculo da média: utiliza-se a Equação 1 (média 
aritmética, p. 9). 
 
Então: 
 
 
 
Para G1: = 7 anos. 
 
 
Para G2: = aprox. 13 anos 
 
Fonte: Medeiros (2013) 
74 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
2. Cálculo do desvio-padrão: utiliza-se a equação 11 
 
Então: 
 
 
G1 G2 
xi xi
2 xi xi
2 
7 49 8 64 
7 49 9 81 
7 49 10 100 
7 49 11 121 
7 49 19 361 
7 49 22 484 
Σ=42 Σ=294 Σ=79 Σ=1211 
Tabela 4. Dados dos grupos G1 e G2. 
Fonte: Medeiros (2013) 
75 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
Assim, 
 
 
Para G1, sabendo-se que: 
 
 
 
 
Então: 
 
 
 
Fonte: Medeiros (2013) 
76 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 
 
E para G2, sabendo-se que: 
 
 
Então: 
 
 
 
 
Tem-se, aproximadamente, 5 anos. 
Fonte: Medeiros (2013) 
77 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
Sintetizando, tem-se: 
 
 
 A média de idade de G1 é de 7 anos e o desvio-
padrão é zero. Isso significa que, no conjunto, os 
valores das idades são homogêneos ou sem variação. 
 Já em G2, a média das idades é de, 
aproximadamente, 13 anos e o desvio-padrão de, 
aproximadamente, 5 anos. 
G1 G2 
7 13 
S 0 5 Fonte: Medeiros (2013) 
 A média de idade de G1 é de 7 anos e o desvio-
padrão é zero. Isso significa que, no conjunto, os 
valores das idades são homogêneos ou sem variação. 
 Já em G2, a média das idades é de, 
aproximadamente, 13 anos e o desvio-padrão de, 
aproximadamente, 5 anos. 
78 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 Essa variação no conjunto G2 pode ser medida 
utilizando a equação 13. 
 
 
 Isso significa que é possível afirmar que G2 é um 
grupo cujas idades variaram mais do que as idades de 
G1. E, ainda, essa variação, medida pela CV, foi de 
38%. 
79 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
Fonte: Medeiros (2013) 
 Numa distribuição simétrica, a construção gráfica 
em forma de sino corresponde a uma curva normal (ou 
curva de Gauss). 
 Na curva simétrica os valores de média, mediana e 
moda coincidem com o pico da curva. 
80 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
Significado prático do desvio-padrão 
81 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
Significado prático do desvio-padrão 
Fonte: UFPA (2019) 
 É definida por um conjunto de valores (ou uma 
região) em torno da média aritmética, contidos num 
intervalo de amplitude “2S” (duas vezes o desvio-
padrão), ou seja, −𝑆 (antes da média) e +𝑆 (depois da 
média). 
 De acordo com alguns estudos matemáticos, essa 
região engloba 68,26% dos valores da série. 
82 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
Zona de normalidade 
83 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
Zona de normalidade 
Fonte: UFPA (2019) 
ESTATÍSTICAS EDUCACIONAIS 
 Na área educacional, diversos indicadores 
estatísticos atuam com a finalidade de caracterizar os 
fenômenos que se deseja estudar, como coeficientes, 
taxas, índices, indicadores escolares, tabelas e gráficos. 
 
84 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
Algumas Considerações 
Coeficientes 
 Os coeficientes resultam da razão entre duas 
variáveis da mesma espécie, sendo que uma está 
associada a uma parte e a outra está ligada ao todo. 
Coeficiente de aproveitamento escolar 
 O Coeficiente de Aproveitamento Escolar (CAE) 
será a razão entre o número de alunos aprovados e o 
número total de alunos matriculados. 
CAE = Número de alunos aprovados / Número total 
de alunos 
85 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
ESTATÍSTICAS EDUCACIONAISTaxas 
 Resultam normalmente da multiplicação dos 
coeficientes por 100, originando-se valores porcentuais. 
Deve-se estabelecer um número mínimo de elementos 
para compor a amostra. 
 Essa quantidade não deve ser menor que 10% do 
total de elementos da população. Por exemplo, numa 
população de 300 elementos, devemos, por um critério 
de seleção, selecionar um mínimo de 30 elementos (10% 
de 300) para compor a amostra. 
86 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
ESTATÍSTICAS EDUCACIONAIS 
Taxa de Evasão Imediata (TEI) 
 Apresenta a porcentagem de alunos afastados por 
abandono escolar, em relação ao número total de alunos 
que cursaram uma determinada série ou ciclo (“s”) num 
determinado ano (“t”). 
Taxa de Incorporação ao Sistema (TIS) 
 Revela a porcentagem de alunos novos que estão 
cursando pela primeira vez a 1ª série ou ciclo, em 
relação à matricula inicial nessa série ou ciclo. 
 
87 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
ESTATÍSTICAS EDUCACIONAIS 
Relação aluno/docente 
 Revela o número médio de alunos por docente 
em exercício no período “t”. 
Tabelas e gráficos estatísticos 
 A estatística dispõe dos meios apropriados para 
recolher, organizar, classificar, apresentar e interpretar 
conjuntos de dados. Para que isso se consiga fazer de 
forma clara, a estatística recorre a tabelas e gráficos. 
88 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
ESTATÍSTICAS EDUCACIONAIS 
89 
REFERÊNCIAS 
CLEMENTE, Rosana Giovanni Pires. Apostila de Estatística. Taubaté. 
Universidade de Taubaté, 2003. 
 
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. 13. ed. São Paulo: Saraiva, 
1995. 
 
MEDEIROS, Carlos Augusto de. Estatística aplicada à educação. 
Brasília: Universidade de Brasília, 2007. 
 
SEARS, Francis; ZEMANSKY, Mark W.; YOUNG, Hugh D. Física 1: 
mecânica da partícula e dos corpos rígidos. 2. ed. Revisão e tradução de 
Jean Pierre von der Weid. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e 
Científicos Editora Ltda., 1985. 
 
SPIEGEL, Murray Ralph. Estatística: resumo da teoria, 875 problemas 
resolvidos, 619 problemas propostos. Tradução de Pedro Cosentino. 
Revisão de Carlos José Pereira de Lucena. São Paulo: McGraw-Hill do 
Brasil, 1975. 
 
ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO