Exercícios de Regressão e Correlação

Prévia do material em texto

Página 1 de 8 
 
ME414 : Estatística para experimentalistas 
 2º semestre de 2007 
Regressão e Correlação 
 
Exercício 01 
 
É esperado que a massa muscular de uma pessoa diminua com a idade. Para estudar 
essa relação, uma nutricionista selecionou 18 mulheres, com idade entre 40 e 79 anos, 
e observou em cada uma delas a idade (X) e a massa muscular (Y). 
 
 
Massa muscular (Y) Idade (X) 
82.0 71.0 
91.0 64.0 
100.0 43.0 
68.0 67.0 
87.0 56.0 
73.0 73.0 
78.0 68.0 
80.0 56.0 
65.0 76.0 
84.0 65.0 
116.0 45.0 
76.0 58.0 
97.0 45.0 
100.0 53.0 
105.0 49.0 
77.0 78.0 
73.0 73.0 
78.0 68.0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 2 de 8 
 
 
 
(a) Construa o diagrama de dispersão e interprete-o. 
8070605040
120
110
100
90
80
70
60
Idade
M
.m
u
s
c
u
la
r
 
No gráfico de dispersão entre a variável massa muscular e idade, pode-se observar que 
há um forte indício de relação linear decrescente entre as variáveis em estudo. Nota-
se que a massa muscular das pessoas diminui à medida que a idade aumenta. 
 
(b) Calcule o coeficiente de correlação linear entre X e Y. 
Denotamos as variáveis: Y = Massa Muscular e X = Idade n=18 
556,61X 85Y 70362
18
1
2 
i
iX 133300
18
1
2 
i
iY 91964
18
1

i
ii XY 
  460,2157)556,61(187036218 22
18
1
2 

XXS
i
iXX 
 
  3250)85(1813330018 22
18
1
2 

YYS
i
iYY 
 
-0,837
(3250)(2157,460)
)556,61)(85(1891964
18))((
18
1
18
1 








YYXX
i
ii
YYXX
i
ii
SS
YXYX
SS
YYXX
r 
 
Segundo o resultado da correlação obtida, pode-se notar que há uma forte correlação 
linear entre a variável massa muscular e idade. Nota-se que à medida que a idade da 
pessoa aumenta a massa muscular diminui, o que é coerente com o gráfico de 
dispersão apresentada anteriormente. 
Página 3 de 8 
 
 
 
(c) Ajuste uma reta de regressão para a relação entre as variáveis Y: massa muscular 
(dependente) e X: idade (independente). 
-1,027
460,2157
)556,61)(85(1891964ˆ
1 


XX
XY
S
S
 
e 
148,21856)1,027(61,585ˆˆ 10  XY  
 
A reta de regressão estimada da variável Massa muscular (Y) em função da Idade (X) é 
XY 027,1218,148 

 
 
 
 
(d) Considerando a reta estimada dada no item (c), estime a massa muscular média de 
mulheres com 50 anos. 
 
96,8681,027(50)-148,218ˆˆ 1050 

XY  
 
 
 
Exercício 02 
 
Os dados a seguir correspondem à variável renda familiar e gasto com alimentação 
(em unidades monetárias) para uma amostra de 25 famílias. 
 
Renda Familiar (X) Gasto com Alimentação (Y) 
3 1,5 
5 2,0 
10 6,0 
10 7,0 
20 10,0 
20 12,0 
20 15,0 
30 8,0 
40 10,0 
50 20,0 
60 20,0 
70 25,0 
Página 4 de 8 
 
70 30,0 
80 25,0 
100 40,0 
100 35,0 
100 40,0 
120 30,0 
120 40,0 
140 40,0 
150 50,0 
180 40,0 
180 50,0 
200 60,0 
200 50,0 
 
 
(a) Construa o diagrama de dispersão da variável gasto com alimentação (Y) em função 
da renda familiar (X). 
2001000
60
50
40
30
20
10
0
Renda Familiar
G
a
s
to
 c
o
m
 A
lim
e
n
ta
ç
ã
o
 
(b) Calcular o coeficiente de correlação entre essas variáveis. 
 
 
Denotamos as variáveis: Y = Gasto com Alimentação e X = Renda familiar 
 
83,120X 26,660Y 271934
25
1
2 
i
iX 24899,250
25
1
2 
i
iY 80774,500
25
1

i
ii XY 
 
Página 5 de 8 
 
 
954,0
25
 
25
1 




YX
i
ii
YX
XY
SS
YXYX
SS
S
r 
 
 
(c) Obtenha a equação de regressão do gasto com alimentação em função da renda 
familiar. 
0,256
)12,83(25271934
)66,26)(12,83(255,80774
25
ˆ
2
25
1
1 







XX
i
ii
XX
XY
S
YXYX
S
S
 
 
e 
 
5,38020)0,256(83,126,66ˆˆ 10  XY  
 
A reta de regressão estimada da variável Gasto de alimentação (Y) em função da 
Renda familiar (X) é 
XY 256,0380,5 

 
 
 
(d) Qual o significado prático do valor da inclinação da reta de regressão do item (c)? 
 
 
O valor 1̂ =0,256 significa que estima-se que para cada aumento de uma unidade 
monetária da renda familiar ocorre um acréscimo em média de 0,256 unidades no 
gasto com alimentação. 
 
 
 
Exercício 03 
 
Um pesquisador deseja verificar se um instrumento para medir a concentração de 
determinada substância no sangue está bem calibrado. Para isto, ele tomou 15 
amostras de concentrações conhecidas (X) e determinou a respectiva concentração 
através do instrumento (Y), obtendo: 
 
X 2,0 2,0 2,0 4,0 4,0 4,0 6,0 6,0 6,0 8,0 8,0 8,0 10,0 10,0 10,0 
Y 2,1 1,8 1,9 4,5 4,2 4,0 6,2 6,0 6,5 8,2 7,8 7,7 9,6 10,0 10,1 
 
Página 6 de 8 
 
 
(a) Construa o diagrama de dispersão para esses dados. 
1098765432
10,5
9,5
8,5
7,5
6,5
5,5
4,5
3,5
2,5
1,5
X
Y
Diagrama de Dispersão
 
 
(b) Trace no gráfico a reta com 45º de inclinação passando pela origem. Como essa 
reta pode ser útil na avaliação do instrumento? 
 
1050
10
5
0
x
y
 
Esta reta é útil, pois, quanto mais próximos os pontos estiverem nela, maior à precisão 
do instrumento, já que o ideal é Y=X. 
Página 7 de 8 
 
 
(c) Calcule o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y. 
 
6X 040,6Y 660
15
1
2 
i
iX 663,380
15
1
2 
i
iY 661,200
15
1

i
ii XY 
 
 
 
0,996
))((
15
1 




YX
i
ii
SS
YYXX
r 
 
 
 
(d) Obtenha a reta de regressão da variável Y em função de X. 
 
 
A reta de regressão estimada da variável Y e X é 
XY 980,0160,0 

 
 
(e) Com base nos itens anteriores tire conclusões sobre a eficiência do instrumento. 
 
Com base nos itens anteriores, nota-se que, o instrumento para medir a concentração 
de determinada substância no sangue encontra-se bem calibrado. Observa-se que 
existe uma alta correlação entre as medidas feitas pelo instrumento e a concentração 
da determinada substância, o que pode ser confirmado nos gráficos apresentados 
anteriormente. Além disso, a reta de regressão obtida é bem próxima da reta Y=X, 
indicando grande proximidade entre as medidas. O método formal para verificar se o 
instrumento esta bem calibrado é testar as hipóteses:(α=0,05) 
 
1:
1:
11
10




H
H
 
 
Estatística do teste: 
 
 )215(
0
2
1 ~ 
/ˆ
1ˆ


 T
S
T
SobH
XX

 
 
R.C. (α=0,05) 
 
Página 8 de 8 
 
}16,2|:|{..  TRTCR 
 
Valores observados 
 
828.0
120/06984.0
02.0
/ˆ
1980,0
2
0 




XX
bs
S
T

 
 
Como ..0 CRT bs  , então aceita-se Ho. Ou seja, o instrumento esta bem calibrado. 
 
	ME414 : Estatística para experimentalistas
	2º semestre de 2007
	Exercício 02
	Com base nos itens anteriores, nota-se que, o instrumento para medir a concentração de determinada substância no sangue encontra-se bem calibrado. Observa-se que existe uma alta correlação entre as medidas feitas pelo instrumento e a concentração da d...