Lista de Probabilidade e Estatística

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Lista de Probabilidade e Estatística
Fórmula da combinação
C (n,p)= n! / (n – p)! p!
Calculo do numero de combinações possíveis para os homens.
C(10,3) = 10! / (10 – 3)! 3! => (10 * 9 * 8 *7!) / 7! 3! => 720 / 6 = 120
Obs. o 7! Foi cancelado.
Calculo do numero de combinações possíveis para as mulheres.
C(10,2) = 10! / (10 – 2)! 2! => (10 * 9 * 8! ) / 8! 2! => 90 / 2 = 45
Obs.: o 8! Foi cancelado
O numero de comissões de 5 pessoas que se pode formar com 3 homens e 2 mulheres é dada pela multiplicação dos resultados das combinações de ambos.
* 120 = 5400.
02-
03-Utilizando a forma da combinação temos que o numero de quadriláteros é dada pela combinação de 12 pontos organizados 4 a 4.
C(12,4) = 12! / (12 – 4)! 4! => (12 * 11 * 10 * 9 * 8!) / 8! 4! => 11880 / 24 = 495
Obs.: o 8! Foi cancelado
04- Nessa questão é usada a permutaçõ com repetição veja o porquê.
por exemplo, a palavra RATO admite um total de 24 anagramas.
Para calcular esse número de anagrama, utilizamos o seguinte raciocínio:
Temos 4 possibilidades para a escolha da 1ª letra;
Temos 3 possibilidades para a escolha da 2ª letra;
Temos 2 possibilidades para a escolha da 3ª letra;
Temos 1 possibilidade para a escolha da 4ª letra.
Pelo princípio multiplicativo, temos: 4 . 3 . 2. 1 = 4! = P4  anagramas possíveis.
No entanto na palavra BIOCIÊNCIAS as letras AS não serão consideradas durante o calculo. E existem também letras repetidas que irão dificultar, a princípio, o cálculo do número total de anagramas.
Para formar um anagrama de BIOCIÊNCIAS, temos que dispor 3i, 2C, 1B, 1O, 1N e 1E em 9 lugares.
o número de modos de escolher os lugares para os 3i é C9,3;
o número de modos de escolher os lugares para os 2C é C6,2; (três lugares foram ocupados para os 3i);
o número de modos de escolher os lugares para os 1B é C4,1;
o número de modos de escolher os lugares para O é C3,1;
o numero de modos de escolher os lugares para N é C2,1;
o número de modos de escolher os lugares para o E é 1 (o que sobrou).
Quando escolhemos elementos, não estamos preocupados com a ordem, ou seja, fazemos uma combinação.
Agora, pelo princípio multiplicativo, temos que o número total de anagramas das letras de BIOCIÊNCIAS é:
C9,3 . C6,2 . C4,1 . C3,1 . C2,1 . 1 = 9! / 3! 2!
9!: permutação das 9 letras
3!: permutação dos 3i
2!: permutação dos 2C
Se as 9 letras fossem diferentes, teríamos P9 = 9! Anagramas. Como os i são iguais, contamos cada anagrama 3! Vezes (devemos então dividir por 3!). Da mesma forma, contamos cada anagrama 2! Vezes por serem iguais os C. (então devemos dividir por 3! E por 2!).
Isto tudo nos leva a pensar em “permutação de 9 letras, das quais 3 são iguais a i, 2 são iguais a C, 1 é a B, 1 é a letra O, 1 a letra N e 1 a letra E.
(3 + 2 + 1 + 1 + 1+1 = 9)
Em símbolos:
P93,2,1,1,1,1 = 9! / (3! 2!)
05- Podemos considerar a permutação simples como um caso particular de arranjo, onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem. As permutações simples dos elementos P, Q e R são: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP. Para determinarmos o número de agrupamentos de uma permutação simples utilizamos a seguinte expressão
P=n!
 n!=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*....*3*2*1 
Por exemplo, 4! = 4*3*2*1 = 24
No caso da emissora de rádio pra calcular as possíveis seqüências dessas musicas é só seguir o raciocínio e a formula acima citadados.
P = 10! (o numero 10 corresponde ao número de músicas que toca na rádio)
10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3.628.800
Para saber em anos o numero de possibilidades é só dividir:
3.628.800 / 365 =100 séculos aproximadamente.
06- Essa questão é um pouco semelhante a questão 4, visto que temos duas letras já fixas os dois E.Porém note que uma é fixa no inicio da palavra e a outra no fim da palavra.A semelhança para por ai, na questão 4 usamos permutação com repetição visto que tínhamos letras iguais, nessa questão também temos uma letra repetida mas essa não irá contar na hora da resolução porque são fixas. Podemos observar que as outras letras não se repetem e daí concluímos que a formula para resolver essa questão é a de permutação simples.Pn = N!,porque temos:
Temos 1 possibilidades para a escolha da 1ª letra;
Temos 7 possibilidades para a escolha da 2ª letra;
Temos 6 possibilidades para a escolha da 3ª letra;
Temos 5 possibilidade para a escolha da 4ª letra.
Temos 4 possibilidades para a escolha da 5ª letra;
Temos 3 possibilidades para a escolha da 6ª letra;
Temos 2 possibilidades para a escolha da 7ª letra;
Temos 1 possibilidade para a escolha da ª8 letra.
Temos 1 possibilidades para a escolha da 9ª letra;
E 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 E
Quando escolhemos elementos, não estamos preocupados com a ordem, ou seja, fazemos uma combinação.
O resultado é dado pela permutação das sete letras que é igual a
P7 = 7!
07- Temos na palavra PROVA duas vogais A e O e três consoantes P,R e V
Para saber o total de anagramas que se pode formar com a palavra prova começados por vogal é só seguir o raciocínio da questão anterior.
Temos 2 possibilidades para a escolha da 1ª letra;
Temos 4 possibilidades para a escolha da 2ª letra;
Temos 3 possibilidades para a escolha da 3ª letra;
Temos 2 possibilidade para a escolha da 4ª letra.
Temos 1 possibilidade para a escolha da 5ª letra.
X = 2 * 4 * 3 * 2 * 1 = 48
O calculo para o total de anagramas que comecem com consoante e termine com consoante é semelhante ao calculo para as vogais e mais semelhante ainda com o da questão anterior.
Temos 3 possibilidades para a escolha da 1ª letra;
Temos 2 possibilidades para a escolha da 2ª letra;
Temos 2 possibilidades para a escolha da 3ª letra;
Temos 1 possibilidade para a escolha da 4ª letra.
Temos 3 possibilidade para a escolha da 5ª letra.
Y = 3 * 2 * 2 * 1 * 3 = 36
Os valores de x e y respectivamente é 48 e 36.
08-ArranjoSimples 
Arranjos simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os diferentes agrupamentos ordenados que se podem formar com p dos n elementos dados. 
Indica-se por An,p ou Anp o total desses agrupamentos, que calculamos assim: 
A n,p = n! / (n – p)!
A 4,2 = 4! / (4 – 2)! => 24 / 2 =12
09- O calculo é semelhante as questões 6 e 7.
Temos 1 possibilidades para a escolha da 1ª posição(A locomotiva deve ir a frente);
Temos 5 possibilidades para a escolha da 2ª posição(O trem tem 7 vagões contando com a locomotiva como a locomotiva é o primeiro vagão temos 6 vagões restantes,no entanto só 5 possibilidades para a segunda posição, visto que o restaurante não pode vir logo atrás da locomotiva );
Temos 5 possibilidades para a escolha da 3ª posições(representa os vagões restantes);
Temos 4 possibilidade para a escolha da 4ª posição(representa os vagões restantes);
Temos 3 possibilidades para a escolha da 5ª posição(representa os vagões restantes);
Temos 2 possibilidades para a escolha da 6ª posição(representa os vagões restantes);
Temos 1 possibilidades para a escolha da 7ª posição(representa o vagão restante);
1 * 5 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 600
10- O princípio fundamental da contagem diz que um evento que ocorre em n situações independentes e sucessivas, tendo a primeira situação ocorrendo de m1 maneiras, a segunda situação ocorrendo de m2 maneiras e assim sucessivamente até a n-ésima situação ocorrendo de mn maneiras, temos que o número total de ocorrências será dado pelo produto:
M1 * M2 *........* Mn
Temos 4 possibilidades para a escolha da 1ª posição(representa as 4 portas de entrada para o terréo);
Temos 5 possibilidades para a escolha da 2ª posição(representa o numero de escadas rolantes que ligam o térreo ao primeiro andar);
Temos 3 possibilidades para a escolha da 3ª posição(representa o numero de elevadores que ligam o primeiro andar ao segundo andar);
Seguindo o principio fundamental da contagem temos:
4 * 5 * 3 = 60
11- 10 * 10 * 10 * 10 = 10.000
12- O resultado é dado pela soma do total de jogos de cada jogador, note:
12 +11+ 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 +4 +3+2 +1 =78
13- O resultado dessa questão é dadopela subtração dos resultados das seguintes combinações.
Combinação em que Gustavo e Danilo fazem parte da comissão:
C 8,4 = 8! / (8 – 4)! 4! => 8 * 7 * 6 * 5 * 4! / 4! 4! => 1680 / 24 = 70
Obs.: o 4! É cancelado
Combinação em que Gustavo e Danilo não fazem parte da comissão:
C 6,4 = 6! / (6 – 4)! 4! => 6 * 5 * 4! / 4! 2! => 30 / 2 = 15
Obs.: o 4! É cancelado
Resultado = 70 – 15 = 55
14-
15- O resultado é obtido calculando a combinação das 8 disciplinas organizadas 4 a 4.
C 8,4 = 8! / (8 – 4)! 4! => 8 * 7 * 6 * 5 * 4! / 4! 4! => 1680 / 24 = 70
Obs.: o 4! É cancelado
16- O resultado é obtido calculando a combinação das 6 questões que o aluno tem a disposição organizadas 3 a 3.
C 6,3 = 6! / (6 – 3)! 3! => 6 * 5 * 4 * 3! / 3! ! => 120 / 6 = 20
Obs.: o 3! É cancelado
17- Considerando tem que ter um dos daltônico no grupo calcularemos a combinação de 9, 3 a 3,pois dessa maneira consideramos que pelo menos um estará no grupo.
C 9,3 = 9! / (9 – 3)! 3! => 9 * 8 * 7 * 6! / 6! 3! => 504 / 6 = 84 * 4 = 336
Obs.: o 6! É cancelado
18- C 8,3 = 8! / (8 – 3)! 3! => 8 * 7 * 6 * 5! / 5! 3! => 336 / 6 = 56
Obs.: o 5! É cancelado
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21-
22-
23-
24-
25- P(4) = 4! =24
26- 5 * 4 * 4 * 4 =320
27- P(4) = 4! =24 * 2 = 48
P(3) = 3! =6 * 3 =18
48 + 18 =66
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