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Noções de Estatística - Aula 03

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determinado evento. Também fazem parte da estatística inferencial os testes de 
hipóteses, que visam obter conclusões sobre uma população a partir da análise de 
um subconjunto desta (amostra). 
 
1.1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA E ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS 
Para começarmos o estudo da Estatística Descritiva precisamos conhecer 
alguns conceitos básicos: 
 
- População: é o conjunto de todas as entidades sob estudo. Possui pelo menos 
uma característica em comum que permite delimitar os seus integrantes. Ex.: 
População dos moradores de Brasília; população dos alunos da escola A; 
população dos animais de estimação do meu bairro; 
 
- Censo: quando efetuamos o censo de uma população, analisamos todos os 
indivíduos que compõem aquela população. Por exemplo: podemos contar um por 
um os moradores de Brasília, ou todos os alunos da escola A, ou todos os animais 
de estimação de meu bairro. Normalmente o nosso interesse não é simplesmente 
contá-los, mas sim verificar um determinado atributo, ou característica que esses 
indivíduos possuem. Exemplificando, pode ser que queiramos saber, de todos os 
moradores de Brasília, quantos são Homens, ou quantos tem mais de 1,80m de 
altura, ou quantos ganham mais que R$1.000,00 por mês. 
 
- Amostra: em muitos casos é inviável, custoso ou desnecessário, observar um por 
um dos membros de uma determinada população. Se queremos saber qual o 
percentual de homens na população de Brasília, podemos analisar um subconjunto 
daquela população, isto é, uma amostra. Se a amostra for suficientemente grande (e 
bem escolhida), é possível que o percentual de homens da amostra seja muito 
parecido com o que seria obtido se analisássemos toda a população. 
 
- Variável: é um atributo ou característica (ex: sexo, altura, salário etc.) dos 
elementos de uma população que pretendemos avaliar. 
 
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- Observação: trata-se do valor que a variável assume para um determinado 
membro da população. Ex.: a observação da variável SEXO referente a João, 
membro da população brasiliense, tem valor “Masculino”. 
 
Uma variável pode ser classificada em: 
 
o qualitativa, quando não assume valores numéricos, podendo ser 
dividida em categorias. Ex.: o sexo dos moradores de Brasília é uma 
variável qualitativa, pois pode ser dividido nas categorias Masculino ou 
Feminino. Se o objetivo fosse verificar quantos moradores possuem 
AIDS, teríamos outra variável qualitativa, dividida nas categorias SIM e 
NÃO. 
 
o quantitativa, quando puder assumir diversos valores numéricos. Ex.: a 
altura dos moradores é uma variável quantitativa: 1,80m; 1,55m; 
1,20m; 2,10m etc. O mesmo ocorre com os salários desses 
moradores. As variáveis quantitativas podem ser ainda divididas em: 
�
 
� contínuas: quando não é possível separar o valor de uma 
variável em relação ao próximo valor que ela possa assumir. 
Ex.: a variável Altura é contínua. Se alguém tem exatamente 
1,80m, qual o valor de altura imediatamente seguinte? 1,81m? 
Errado, pois é possível que alguém tenha, por exemplo, 
1,80000001m. Ou 1,80000000001m. É impossível saber qual o 
valor que vem logo após (ou antes de) 1,80m, ou seja, essa 
variável é contínua. 
 
� discretas: quando podemos saber o valor que vem 
imediatamente após (ou antes de) outro. Ex.: se nos dissessem 
que só é possível medir as pessoas até a segunda casa 
decimal, então a variável Altura torna-se discreta. Isso porque 
sabemos que o próximo valor de altura é 1,81m, e o valor 
anterior é 1,79m. 
02427978060
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Chamamos uma variável de Variável Aleatória quando ela pode assumir, de 
maneira aleatória (“ao acaso”), qualquer dos seus valores. Em estatística 
trabalharemos sempre com variáveis aleatórias, que representamos por letras 
maiúsculas. Ex.: X pode ser a variável idade dos moradores de Brasília. Utilizamos 
letras minúsculas para representar valores específicos daquela variável. 
Exemplificando, x = 25 anos é um dos valores possíveis para a variável aleatória X. 
 
Finalizando, é preciso que você saiba que as variáveis aleatórias podem ser 
classificadas em: 
 
- variáveis nominais: são aquelas definidas por “nomes”, não podendo ser 
colocadas em uma ordem crescente. Ex.: a variável “sexo dos moradores de 
um bairro” é nominal, pois só pode assumir os valores “masculino” ou 
“feminino”. Veja que não há uma ordem clara entre esses dois possíveis 
valores (não há um valor maior e outro menor). 
 
- variáveis ordinais: são aquelas que podem ser colocadas em uma ordem 
crescente, mas não é possível (ou não faz sentido) calcular a diferença entre 
um valor e o seguinte. Ex.: numa escola onde as notas dos alunos sejam 
dadas em letras (A, B, C, D ou E), sabemos que a menor nota é “E” e a maior 
é “A”. Porém não podemos mensurar quanto seria, por exemplo, a subtração 
A – B. 
 
- variáveis intervalares: são aquelas que podem ser colocadas em uma 
ordem crescente, e é possível calcular a diferença entre um valor e o 
seguinte. Ex.: se as notas dos alunos forem dadas em números (de 0 a 10), 
sabemos que a nota 5 é maior que a nota 3, e que a diferença entre elas é 
5 – 3 = 2. 
 
 Antes de prosseguir, trabalhe esta questão: 
 
1. CESPE – CORREIOS – 2011) Julgue os itens seguintes, relacionados aos 
conceitos de estatística. 
02427978060
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 Note que, de fato, temos 26 frequências na classe 1,50| - 1,60; 19 na classe 
1,60| - 1,70; e assim sucessivamente. Podemos traçar ainda o gráfico das 
frequências absolutas acumuladas, que normalmente é representado por uma linha 
como esta abaixo: 
 
 Este gráfico de freqüências acumuladas acima, onde ligamos os pontos 
extremos (limites superiores) das classes de valores, é conhecido como ogiva. 
Chamamos a figura formada no gráfico de polígono de freqüências. 
Note que no gráfico de frequências acumuladas colocamos apenas o limite 
superior de cada classe de dados. 
02427978060
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Veja, por exemplo, que o ponto “A” no gráfico nos indica que 78 frequências 
ocorrem abaixo de 1,80m. Finalmente, veja o gráfico das freqüências relativas 
acumuladas: 
 
Aqui, o ponto A nos indica que 97,50% das frequências são iguais ou 
inferiores a 1,80m. 
 Observe agora o seguinte Histograma, relativo à observação das idades dos 
moradores de um determinado bairro: 
 
 Note que esse gráfico possui um pico na classe de 30 a 40 anos, e à medida 
que as classes se afastam desta (para a esquerda ou para a direita), a quantidade 
02427978060
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de frequências é igual, dando um aspecto de simetria (ex.: temos 15 frequências 
tanto no intervalo 20 - |30 como no intervalo 40 - |50). 
 Podemos ter também histogramas assimétricos. Neste abaixo, temos uma 
assimetria à direita (assimetria positiva), pois temos o pico em10-20 anos e os 
dados se estendem para a direita (sentido positivo), assumindo valores de até 70 
anos. 
 
 Já o histograma abaixo apresenta um caso de assimetria à esquerda 
(negativa) , onde os dados se estendem para a esquerda (sentido negativo): 
 
 
 Antes de prosseguirmos, vejamos dois exercícios sobre gráficos e tabelas 
estatísticas. 
 
02427978060
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1
1
( )
1500 0,10 2500 3500 4500 0,20 5500 0,10
1
3350 150 2500 3500 900 550
2500 3500 1750
25 35 17,5
n
i
n
i
PMi Fi
Média
Fi
x y
Média
x y
x y
x y
=
=
×
=
× + × + × + × + ×=
= + + + +
+ =
+ =
�
�
 
 
 Como sabemos que x = 0,60 – y, podemos efetuar essa substituição na 
equação acima: 
25 (0,60 – y) + 35y = 17,5 
15 – 25y + 35y = 17,5 
10y = 2,5 
y = 0,25 
 Portanto, x = 0,60 – y = 0,60 – 0,25 = 0,35. 
 
 O total de frequências com recolhimentos acima de 3000 reais é dado pela 
soma das frequências das últimas 3 classes da tabela: 
y + 0,20 + 0,10 = 0,25 + 0,20 + 0,10 = 0,55 
 Como o total de frequências na tabela é igual a 1, então podemos dizer que 
0,55 corresponde a 55% dos recolhimentos. 
Resposta: C 
 
 Vejamos algumas propriedades relativas à média de um conjunto de dados 
(muito cobradas!!!): 
- somando-se ou subtraindo-se um valor constante em todas as observações, 
a média desse novo conjunto será somada ou subtraída do mesmo valor. Ex.: 
se somarmos 3cm na altura de cada pessoa, a média passará de 1,63m para 
1,66m. 
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- multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores observados por um valor 
constante, a média desse novo conjunto será multiplicada ou dividida pelo 
mesmo valor. Ex.: se dividirmos todas as alturas encontradas por 2, a média 
também será dividida por 2, tornando-se igual a 0,815m. 
- a soma das diferenças entre cada observação e a média é igual a zero. Ex.? 
A diferença entre a observação 1,51m e a média 1,63m é de –0,12m. Já a 
diferença entre a observação 1,80m e a média 1,63m é de 0,17m. Somando 
todas as diferenças, obteremos o valor zero. 
- O valor da média é calculado utilizando todos os valores da amostra. 
Portanto, qualquer alteração nesses valores poderá alterar a média. Assim, 
costumamos dizer que a média é afetada pelos valores extremos da 
distribuição. Ex.: se incluíssemos na amostra uma pessoa com 2,00m, ou 
outra com apenas 0,60m, isso alteraria a média. 
 
Veja essa questão, que é relativa às propriedades da média: 
 
5. DOM CINTRA - PREF. PALMAS - 2010) A média aritmética das 25 notas de uma 
prova de matemática foi igual a 6,0. Se o professor aumentar 0,5 em cada uma 
dessas 25 notas, e, em seguida, calcular a média de todas elas, o valor encontrado 
por ele será de: 
a) 5,5 
b) 6,0 
c) 6,5 
d) 7,0 
e) 7,5 
RESOLUÇÃO: 
Aqui podemos usar uma das propriedades da média: se somarmos uma 
constante k a todos os membros de uma amostra, a nova média será igual à 
anterior, somada de k. 
Portanto, se somamos k = 0,5 na nota de cada um dos alunos, basta somar 
0,5 na média anterior e obtemos a nova média: 6 + 0,5 = 6,5. 
Resposta: C. 
 
 Finalizando o estudo da média, é importante que você conheça: 
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móvel de 3 dias. Assim, no primeiro dia vamos representar exatamente a 
temperatura de 15 graus. No segundo dia, vamos representar a média dos dois 
primeiros dias, ou seja, (15 + 17) / 2 = 16. No terceiro dia vamos representar a 
média dos 3 primeiros dias, isto é, (15 + 17 + 16) / 3 = 16. Nos dias seguintes, 
vamos sempre calcular a média de 3 dias. Desta forma, obtemos o seguinte gráfico: 
 
 
 Observe que este gráfico é mais “suave” que o anterior, isto é, ele apresenta 
menos oscilações. É para isto que utilizamos a média móvel: para suavizar o gráfico 
e, com isso, visualizar com mais facilidade a “tendência” do mesmo. Observe que 
este último gráfico permite visualizar rapidamente que, ao longo dos 15 dias 
analisados, a temperatura de São Paulo apresentava uma tendência de elevação. 
 
c) Média Geométrica 
A média geométrica de um conjunto de “n” dados é simplesmente a raiz de 
grau “n” do produto destes dados. Exemplificando, veja o conjunto abaixo: 
A = {1, 25} 
 
 Temos um conjunto de 2 dados. Assim, a média geométrica é a raiz de grau 
2 (isto é, a raiz quadrada) do produto destes números: 
2 1 25 5Média= × = 
 
 Observe que o valor obtido é bem menor que obteríamos com a média 
aritmética (que seria igual a 13). Vejamos este outro conjunto: 
B = {3, 3, 81} 
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 Assim, temos: 
− −=
− −
=
4 1100 1000
4 3 1100 600
3,8
X
X
 
 Portanto, a mediana é igual a R$3800,00 reais. A diferença entre a média e a 
mediana é de R$100,00. 
Resposta: A 
 
 Para finalizar o estudo da Mediana, note que ela é um único número para um 
determinado conjunto de observações. Não existem duas medianas para o mesmo 
conjunto. Além disso, o seu valor não é afetado pela troca de algum valor extremo 
(máximo ou mínimo) na distribuição. Para exemplificar, veja essas duas 
distribuições: 
3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13,14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 34, 42 
e 
3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13,14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 57, 88 
 
 Apesar de eu ter trocado dois termos extremos da primeira para a segunda 
distribuição, ambas possuem a mesma mediana. Repare que a média se altera 
(neste caso, a média da segunda distribuição certamente seria maior). 
 
� Moda: 
A moda é o valor da observação com maior número de frequências, ou 
repetições (isto é, é o valor que está “na moda”). Ao contrário da média e da 
mediana, que são valores únicos, uma amostra pode ter 1, 2 ou mais modas (ser 
unimodal, bimodal etc.). Veja este conjunto de idades: 
{ 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11} 
 
 Note que a idade 8 é a que aparece mais vezes (3 vezes). Portanto, a moda 
deste conjunto é igual a 8. Já na tabela de alturas, que reproduzo novamente, a 
moda é a altura de 1,71m, pois ela aparece 20 vezes: 
 
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 Sobre este assunto, veja essa questão: 
10. ESAF – IRB – 2006) Sendo a moda menor que a mediana e, esta, menor que 
média, pode-se afirmar que se trata de uma curva 
a) Simétrica. 
b) Assimétrica, com freqüências desviadas para a direita. 
c) Assimétrica, com freqüências desviadas para a esquerda. 
d) Simétrica, com freqüências desviadas para a direita. 
e) Simétrica, com freqüências desviadas para a esquerda. 
RESOLUÇÃO: 
 No gráfico de distribuição de freqüências, a moda se localiza na posição onde 
temos um pico de freqüências. Se a moda é o menor valor, ela está deslocada para 
o lado esquerdo do eixo de valores (eixo horizontal). Isto significa que temos um 
pico de freqüências à esquerda. Teremos também um prolongamento dos dados 
para a direita, o que “puxa” a média para este lado, tornando-a maior que as demais 
medidas de posição: 
 
 Assim, estamos diante de uma distribuição Assimétrica Positiva (à direita). 
Resposta: B 
 
� QUANTIS (Quartis,decis e percentis) 
Assim como a mediana divide os dados em 2, os quartis dividem os dados em 4. 
Isto é, abaixo do primeiro quartil estão ¼, ou 25% das observações. Dele até o 
segundo quartil, outros 25%. E assim por diante. Note que o segundo quartil é a 
própria mediana, pois 50% dos dados são inferiores a ele. Para exemplificar, vamos 
utilizar novamente a tabela abaixo: 
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b) Limite superior: é o menor valor entre os dois abaixo: 
Valor máximo da distribuição 
ou 
Q3 + 1,5 x (Q3 – Q1) 
 
 Este procedimento é necessário para não representarmos no Box-Plot os 
“pontos fora da curva”, isto é os valores extremamente baixos ou extremamente 
altos na distribuição, que representam verdadeiras exceções. 
 Em nosso exemplo (distribuição de alturas), obtivemos os seguintes valores: 
- máximo = 1,83m 
- 3º quartil = 1,71m 
- Mediana = 1,63m 
- 1º quartil = 1,52m 
- mínimo = 1,50m 
 
 Portanto, podemos ver que: 
Q1 – 1,5 x (Q3 – Q1) = 1,52 – 1,5 x (1,71 – 1,52) = 1,23m 
 
 Como o mínimo é maior que este valor, devemos adotar como limite inferior o 
próprio valor mínimo, isto é, 1,50m. Da mesma forma: 
Q3 + 1,5 x (Q3 – Q1) = 1,71 + 1,5 x (1,71 – 1,52) = 1,99m 
 
 Como o valor máximo é menor que este valor, podemos adotar como limite 
superior o próprio valor máximo, isto é, 1,83m. Em outras palavras, estamos 
dizendo que esta distribuição de alturas não tem “pontos fora da curva”, ou outliers. 
Assim, nosso box-plot é: 
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 A visualização do Box-Plot é muito útil, pois permite ao pesquisador 
experiente obter rapidamente um “resumo” das principais características de uma 
distribuição. 
 Chamamos de amplitude interquartílica a distância entre o 1º e o 3º quartis de 
uma distribuição, ou seja: 
AI = Q3 – Q1 
 
 Da mesma forma, chamamos de amplitude total a distância entre o valor 
Máximo e o valor Mínimo de uma distribuição: 
AT = Máximo – Mínimo 
 
 O método da interpolação linear usado para o cálculo da mediana pode ser 
aplicado aqui, com as devidas adaptações. Neste caso, devemos calcular a posição 
n/4 para o primeiro quartil, e não (n+1)/4. Da mesma forma, a posição do terceiro 
quartil será 3n/4. O mesmo vale para o cálculo de qualquer outro decil ou percentil. 
Veja isso na questão abaixo: 
 
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B = {1, 5, 9} 
 
 Essas duas amostras tem o mesmo desvio padrão, que é igual a 4. Ocorre 
que a primeira tem uma média de idades (85) bem maior que a segunda (5). Assim, 
aquele desvio padrão de 4 anos é bem pequeno, quando comparado com as idades 
da primeira amostra, mas é bem grande quando comparado com as idades da 
segunda amostra. Os coeficientes de variação são: 
CVA = 4 / 85 = 4,7% 
CVB = 4 / 5 = 80,0% 
 
 Assim sendo, podemos afirmar que a amostra B é bem mais dispersa/variada 
que a amostra A. De fato, se imaginarmos um conjunto de crianças com 1, 5 e 9 
anos, temos uma dispersão muito maior do que quando vemos 3 idosos de 81, 85 e 
89 anos. Enquanto a criança de 1 ano nem fala direito, a de 9 anos já lê e escreve! 
Já os idosos de 81 a 89 anos tem características bem mais parecidas entre si. 
 
 Outras medidas de dispersão menos cobradas são: 
 
� Amplitude Total (AT): 
Trata-se da diferença entre o valor máximo observado (Xmáx.) e o valor 
mínimo (Xmín.) da variável X. Isto é, 
AT = Xmax – Xmín 
 
 Na tabela de alturas que estávamos trabalhando, a menor altura era Xmín = 
1,50m, e a maior altura era Xmáx = 1,83m. Portanto, neste caso, 
AT = 1,83 – 1,50 = 0,33m 
 
 Assim, 33 centímetros separam a pessoa mais baixa da mais alta. 
 
� Amplitude interquartílica (Dq): 
Trata-se da diferença entre o 3º e 1º quartis: 
Dq = Q3 - Q1 
 
Em nossa tabela de alturas, tínhamos Q1 = 1,52m e Q3 = 1,71m. Portanto, 
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 No caso das variáveis aleatórias contínuas, a fórmula da esperança é 
essencialmente a mesma, porém usando a Integral (operação que você não precisa 
conhecer). A título de curiosidade, seria: 
( ) ( )E X x f x dx
∞
−∞
= � , 
onde f(x) é a função de densidade de probabilidade de X 
 
 Finalizando, seguem algumas propriedades do Valor Esperado que julgo 
serem interessantes você conhecer: 
 
a) E(k) = k � a esperança de uma função constante é igual à própria constante. 
Ex.: se uma variável X é tal que só assume o valor k = 7, então E(X) = 7. 
 
b) E(aX + b) = aE(X) + b � sendo a e b duas constantes, a variável aleatória Y = aX 
+ b tem o valor esperado igual a aE(X) + b. Ex.: sendo Y = 2X + 1, então: 
E(Y) = E(2X + 1) = 2E(X) + 1 
 
c) E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) � sendo X e Y duas variáveis aleatórias, então a 
esperança da variável Z = aX + bY é igual a aE(X) + bE(Y). Ex.: sendo Z = 2X + 3Y, 
então: 
E(Z) = E(2X + 3Y) = 2E(X) + 3E(Y) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
Passemos agora a uma bateria de exercícios sobre todos os tópicos vistos na 
aula de hoje. Tente resolvê-los antes de ler a minha resolução! E já vá preparando o 
seu resumo com as fórmulas mais importantes! 
ATENÇÃO : esta bateria é formada exclusivamente por questões de outras 
bancas. Como o CESPE costuma ser bastante exigente em questões de Estatística, 
o ideal é você treinar bastante em questões de outras bancas, para sedimentar os 
conhecimentos, e então partir para a bateria de questões CESPE (que se encontra 
no tópico 3 desta aula) com um domínio maior sobre a matéria. Se você tem mais 
facilidade com Estatística, e está sem tempo disponível, talvez seja melhor ir direto 
para a bateria CESPE! 
 
17. ESAF – IRB – 2006) Histograma e Polígono de freqüência são 
a) a mesma representação gráfica (idênticas) de uma distribuição de freqüência. 
b) um texto descritivo e uma representação gráfica de uma distribuição de 
freqüência. 
c) um texto descritivo e uma função gráfica de uma distribuição de freqüência. 
d) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência. 
e) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência, porém com 
sentidos opostos. 
RESOLUÇÃO: 
 O histograma é o gráfico barras com a distribuição de freqüências. Já o 
polígono de freqüências é o gráfico de linha representando essa mesma distribuição 
de freqüências, porém utilizando apenas os limites superiores de cada classe. 
 Assim, ambos são representações gráficas de uma distribuição de 
freqüências. 
Resposta: D 
 
18. FCC – BACEN – 2006) A média aritmética dos salários dos 100 empregados 
em uma empresa é de R$ 1500,00. Na hipótese de serem demitidos 20 
empregados, que ganham cada um o salário de R$ 2500,00, e ser concedido, 
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400 4 550 8 1000 10 1400 16 1800 2
1050
4 8 10 16 2
Média
× + × + × + × + ×= =
+ + + +
 
Resposta: E21. FCC – Banco do Brasil – 2011) Palmira faz parte de um grupo de 10 
funcionários do Banco do Brasil cuja média das idades é 30 anos. Se Palmira for 
excluída do grupo, a média das idades dos funcionários restantes passa a ser 27 
anos. Assim sendo, a idade de Palmira, em anos, é 
(A) 60. 
(B) 57. 
(C) 54. 
(D) 52. 
(E) 48. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja P a idade de Palmira e S a soma das idades dos 9 colegas restantes. 
Como a média destes 9 colegas seria 27 anos, então: 
Média dos restantes = S / 9 
27 = S / 9 
S = 27 x 9 = 243 anos 
 
 Como a média total, incluindo a idade de Palmira, é de 30 anos, temos que: 
Média = (S + P) / 10 
30 = (243 + P) / 10 
P = 57 anos 
Resposta: B 
 
22. FCC – BANESE – 2012) O número de caixas eletrônicos disponíveis em cada 
agência de um banco varia de acordo com o tamanho da agência. O gráfico a seguir 
mostra como estão distribuídos esses caixas nas várias agências. 
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 Obs.: veja que quando trabalhamos com frequências relativas (%) não 
precisamos dividir pela soma das frequências para obter a média. Isto porque a 
soma das frequências relativas é de 100%, ou seja, 1. 
 
24. FCC – TRE/SP – 2012) Em uma empresa trabalham 125 funcionários, sendo 45 
com nível superior e 80 com nível médio. A média aritmética dos salários dos 
funcionários com nível superior supera a dos funcionários com nível médio em R$ 
1.750,00 e a média aritmética de todos os 125 funcionários é igual a R$2.880,00. O 
valor da soma da média aritmética dos salários dos funcionários com nível superior 
com a média aritmética dos salários dos funcionários com nível médio é 
(A) R$ 6.000,00. 
(B) R$ 6.250,00. 
(C) R$ 6.500,00. 
(D) R$ 6.750,00. 
(E) R$ 7.000,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja S a soma dos salários dos funcionários de nível superior, e M a soma 
dos salários dos funcionários de nível médio. Portanto, as respectivas médias 
salariais são: 
Média nível superior = S / 45 
Média nível médio = M / 80 
Média total = (S + M) / 125 
 
A média aritmética dos salários dos funcionários com nível superior supera a 
dos funcionários com nível médio em R$ 1.750,00: 
Média nível superior – Média nível médio = 1750 
S / 45 - M / 80 = 1750 
S / 45 = 1750 + M / 80 
S = 78750 + 45M / 80 
 
 A média aritmética de todos os 125 funcionários é igual a R$ 2.880,00: 
Média total = (S + M) / 125 
2880 = (S + M) / 125 
S + M = 360000 
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possui salário R$2000,00 e o termo 26 possui salário R$2500,00. Assim, a mediana 
será (2000 + 2500)/2 = 2250 reais. 
 Por fim, a média é simplesmente: 
1
1
1000 5 1500 10 2000 10 2500 12 3000 8 3500 3 4000 2
50
n
i i
i
n
i
i
X F
Média
F
=
=
×
× + × + × + × + × + × + ×= =
�
�
 
2250Média= 
 Portanto, a média é igual à mediana, e a moda é superior a esses dois. 
Resposta: C 
 
32. ESAF – AFRFB – 2009) Considere a seguinte amostra aleatória das idades em 
anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra, 
marque a única opção correta: 
29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 
32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 
28, 34, 29, 23, 28. 
a) A média e a mediana das idades são iguais a 27. 
b) A moda e a média das idades são iguais a 27. 
c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. 
d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074. 
e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27. 
RESOLUÇÃO: 
 A mediana será a idade abaixo da qual se encontrarem metade das 
freqüências. O primeiro passo aqui é colocar as idades em ordem: 
 
23, 23, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 26, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 28, 28, 
28, 28, 29, 29, 29, 30, 31, 32, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 41 
 
 Assim, temos ao todo n = 37 frequências. A mediana será a idade localizada 
na posição (n+1)/2 = (37+1)/2 = 19. Note que a 19ª posição é ocupada pela idade 
27. Assim, mediana = 27. 
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 b) A diferença entre a variância e o desvio padrão de uma seqüência de números é 
nula somente no caso em que a variância e o desvio padrão são iguais a zero. 
 Falso. Para que a diferença entre a variância e o desvio padrão seja nula, é 
preciso que eles sejam iguais. Sabendo que a variância ( 2σ ) é igual ao quadrado do 
desvio padrão (σ ), vejamos os casos onde eles podem ser iguais: 
2σ σ= 
 Essa igualdade é respeitada quando 0σ = . Mas repare que ela também é 
respeitada quando 1σ = , afinal 1 = 12. Item Falso. 
 
c) Em qualquer distribuição de valores, a diferença entre a média e a moda é 
sempre maior ou igual a zero. 
 Numa distribuição simétrica, pode ser que a média e a moda sejam iguais, 
tornando a diferença igual a zero. Além disso, pode ser que a moda seja maior que 
a média, de modo que a diferença entre eles é menor que zero. Item Falso. 
 
d) Multiplicando todos os valores de uma seqüência de números positivos por um 
número positivo tem-se que o respectivo coeficiente de variação não se altera. 
 O coeficiente de variação é dado pela divisão entre desvio padrão e média. 
Sabemos que, ao multiplicar todos os valores de uma amostra por um número, a 
média é multiplicada por aquele número, assim como o desvio padrão. Portanto, a 
divisão entre eles não se altera. Item Verdadeiro. 
 
e) O coeficiente de variação correspondente a uma série de números positivos é 
igual à divisão do quadrado da respectiva média aritmética pela variância. 
 O coeficiente de variação é igual à divisão do desvio padrão pela média 
aritmética. Item Falso. 
Resposta: D 
 
44. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Considerando as respectivas definições e 
propriedades relacionadas às medidas de posição e de variabilidade, é correto 
afirmar: 
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a) Dividindo todos os valores de uma sequência de números estritamente positivos 
por 4, tem-se que o respectivo desvio padrão fica dividido por 2 
b) Em qualquer distribuição de valores em estudo, a diferença entre a mediana e a 
moda é sempre diferente de zero 
c) Concedendo um reajuste de 10% em todos os salários dos empregados de uma 
empresa, tem-se também que a respectiva variância fica multiplicada por 1,10 
d) Definindo o coeficiente de variação (CV) como sendo o quociente da divisão do 
desvio padrão pela respectiva média aritmética (diferente de zero) de uma 
sequência de valores, tem-se então que CV também poderá ser obtido dividindo a 
correspondente variância pelo quadrado da média 
e) Subtraindo um valor fixo de cada salário dos funcionários de uma empresa, tem-
se que o respectivo desvio padrão dos novos valores é igual ao valor do desvio 
padrão dos valores anteriores. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos analisar cada alternativa: 
a) Dividindo todos os valores de uma sequência de números estritamente positivos 
por 4, tem-se que o respectivo desvio padrão fica dividido por 2 
 Multiplicando ou dividindo todos os elementos de uma amostra por um 
número, o desvio padrão fica multiplicada ou dividido pelo mesmo número (e a 
variância pelo quadrado desse número). Item Falso. 
 
b) Em qualquer distribuição de valores em estudo, a diferença entre a mediana e a 
moda é sempre diferentede zero 
 A mediana, moda e média podem ser iguais em distribuições simétricas. 
Neste caso, a diferença entre mediana e moda é igual a zero. Item Falso. 
 
c) Concedendo um reajuste de 10% em todos os salários dos empregados de uma 
empresa, tem-se também que a respectiva variância fica multiplicada por 1,10 
 Multiplicando todos os elementos de uma amostra por um número, a 
variância é multiplicada pelo seu quadrado. Neste caso, por 1,21. Item Falso. 
 
d) Definindo o coeficiente de variação (CV) como sendo o quociente da divisão do 
desvio padrão pela respectiva média aritmética (diferente de zero) de uma 
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A) ambos os conjuntos apresentam a mesma média, porém o conjunto 1 possui 
maior variância 
B) ambos os conjuntos apresentam a mesma média, porém o conjunto 2 possui 
maior variância 
C) o conjunto 1 possui maior média e menor variância em relação ao conjunto 2 
D) o conjunto 1 possui menor média e maior variância em relação ao conjunto 2 
E) o conjunto 1 possui maior média e maior variância em relação ao conjunto 2 
RESOLUÇÃO: 
 Calculando a média de cada conjunto temos: 
Conjunto 1 = (12 + 3 + 7 + 9 + 4) / 5 = 7 
Conjunto 2 = (7 + 5 + 5 + 6 + 8) / 5 = 6,2 
 
 Como o conjunto possui maior média, ficamos entre as alternativas C e E. 
Precisamos avaliar qual conjunto possui maior variância. Ao invés de efetuar o 
cálculo da variância de cada conjunto, observe que os dados do conjunto 1 estão 
bem espalhados em relação a média (7), havendo valores extremos como 3 e 12. 
No conjunto 2, os dados encontram-se mais próximos da média (6,2), variando entre 
5 e 8 apenas. Portanto, certamente o conjunto 1 possui maior variância que o 
conjunto 2. 
Resposta: E 
 
66. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2013) O comprimento de um determinado tipo de barra 
de ferro produzido por uma metalúrgica possui uma variância igual a 4cm2. Pode-se 
dizer que o desvio padrão desse comprimento vale: 
A) 1 cm 
B) 2 cm 
C) 2 cm2 
D) 16 cm 
E) 16 cm2 
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 Verdadeiro. Somando as freqüências relativas simples das linhas de 2.000, 
2.500 e 3.000 reais, temos 20% + 24% + 16% = 60%. 
 
(E) ganham 1.500 ou 3.500 reais. 
 Falso. Somando as freqüências relativas simples das linhas de 1.500 e 3.000 
reais, temos 20% + 16% = 36%. 
 
Resposta: C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. BATERIA DE QUESTÕES CESPE 
 Agora que você já praticou bastante, vamos enfrentar as questões do 
CESPE! 
 
71. CESPE – SERPRO – 2008) Uma empresa de consultoria realizou um 
levantamento estatístico para obter informações acerca do tempo (T) gasto por 
empregados de empresas brasileiras na Internet em sítios pessoais durante suas 
semanas de trabalho. Com base em uma amostra aleatória de 900 empregados de 
empresas brasileiras com um regime de trabalho de 44 h semanais, essa empresa 
de consultoria concluiu que cada empregado gasta, em média, 6 h semanais na 
Internet em sítios pessoais durante uma semana de trabalho; 50% dos empregados 
gastam 5 h semanais ou mais na Internet em sítios pessoais durante uma semana 
de trabalho; e o desvio padrão do tempo gasto na Internet em sítios pessoais 
durante o regime de trabalho é igual a 4 h semanais por empregado. 
Com base nas informações da situação hipotética acima descrita, julgue os itens a 
seguir. 
 
( ) Os empregados observados no levantamento gastaram, em média, mais de 12% 
do regime de trabalho semanal na Internet em sítios pessoais. 
( ) Os tempos gastos na Internet em sítios pessoais durante o regime de trabalho 
pelos empregados observados no levantamento foram superiores a 2 h e inferiores 
a 10 h semanais. 
( )A mediana da distribuição dos tempos gastos na Internet é superior a 5,5 
h/semana. 
( ) Considerando que o tempo útil semanal do regime de trabalho seja a diferença 
U = 44 – T (em horas), o desvio padrão de U será inferior a 5 h. 
RESOLUÇÃO: 
 ( ) Os empregados observados no levantamento gastaram, em média, mais de 12% 
do regime de trabalho semanal na Internet em sítios pessoais. 
 Os empregados gastaram, em média, 6 das 44 horas do regime de trabalho 
semanal em sítios pessoais. Veja que 6/44 = 0,136 = 13,6%. Portanto, os 
empregados gastaram, em média, mais de 12% do tempo em sítios pessoais. Item 
CERTO. 
 
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De acordo com dados do IBGE, em 2007, 6,4% da população brasileira tinha 65 
anos de idade ou mais e, em 2050, essa parcela, que constitui o grupo de idosos, 
corresponderá a 18,8% da população. Com base nessas informações e nas 
apresentadas na tabela acima, julgue os itens seguintes. 
 
( ) Segundo o IBGE, em 2007, para cada idoso com 65 anos de idade ou mais, 
havia, em média, pelo menos, quatro crianças de 0 a 14 anos de idade. Em 2050, 
para cada idoso com 65 anos de idade ou mais, haverá, em média, no máximo, uma 
criança de 0 a 14 anos de idade. 
 ( ) Considere-se que os anos de idade estejam distribuídos de forma eqüiprovável 
na faixa de 15 a 18 anos. Nessa situação, a média e a mediana das idades nessa 
faixa serão ambas iguais a 16,5 anos. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos analisar separadamente cada um dos itens: 
 
( ) Segundo o IBGE, em 2007, para cada idoso com 65 anos de idade ou mais, 
havia, em média, pelo menos, quatro crianças de 0 a 14 anos de idade. Em 2050, 
para cada idoso com 65 anos de idade ou mais, haverá, em média, no máximo, uma 
criança de 0 a 14 anos de idade. 
 6,4% da população tinha 65 anos ou mais em 2007. Consultando a tabela 
fornecida, vemos que neste mesmo período 27,5% da população tinha de 0 a 14 
anos. Assim, naquele ano tínhamos 6,4 idosos para cada grupo de 27,5 crianças. A 
regra de três abaixo nos permite obter a quantidade de crianças para 1 idoso: 
 
6,4 idosos ------------------- 27,5 crianças 
 1 idoso -------------------- X 
 
6,4 1 27,5
4,29
X
X crianças
× = ×
=
 
 
 Assim, é correto dizer que em 2007 havia pelo menos 4 crianças para cada 
idoso. Em 2050 teremos 18,8% de idosos e 17,7% de crianças. Observando que o 
percentual de crianças é ligeiramente inferior ao de idosos, podemos dizer que 
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idades daqueles que estudam no turno matutino ( 2Mσ ) é igual à variância das 
idades dos estudantes do turno vespertino ( 2Vσ ). Com base nessas informações, 
julgue os itens que se seguem. 
( ) O número médio de estudantes por turma no turno matutino é 50% maior que o 
número médio de estudantes por turma no turno vespertino. 
( ) A média das idades dos dois mil estudantes da referida escola é 4% maior que a 
média das idades da parcela dos estudantes que estão matriculados no turno 
matutino. 
 ( ) Se a mediana das idades dos 2 mil estudantes da escola em questão for igual a 
10 anos, então haverá, pelo menos, 200 estudantes no turno matutino com idades 
iguais ou inferiores a 10 anos. 
RESOLUÇÃO: 
( ) O número médio de estudantes por turma no turno matutinoé 50% maior que o 
número médio de estudantes por turma no turno vespertino. 
 Temos 2000 estudantes ao todo, dos quais 60% estão no turno matutino. Isto 
quer dizer que o número de alunos no turno matutino é igual a 0,60 x 2000 = 1200. 
Da mesma forma, no turno vespertino estudam 0,40 x 2000 = 800 alunos. 
 Como temos 50 turmas em cada período, a média de alunos por turma no 
turno matutino é de 1200 / 50 = 24. E a média de alunos por turma no turno 
vespertino é de 800 / 50 = 16. Assim, é CORRETO dizer que a média de alunos por 
turma no turno matutino é 50% maior que no vespertino, pois 24/16 = 1,50 (ou seja, 
24 = 16 + 50% x 16). 
 
( ) A média das idades dos dois mil estudantes da referida escola é 4% maior que a 
média das idades da parcela dos estudantes que estão matriculados no turno 
matutino. 
 Imagine que a média de idade dos alunos do turno matutino é M. Como a 
média de idade do turno vespertino é 10% maior, podemos dizer que esta média é 
de 1,10xM, ou simplesmente 1,1M. 
 Lembrando que 60% dos alunos estão no turno matutino e 40% no 
vespertino, a média de idades total dos alunos é: 
60% 40% 1,1 1,04Média M M M= × + × = 
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C) Mais de 65% do custo médio nacional do metro quadrado é relativo às despesas 
com materiais de construção. 
 Do total de 670 reais, temos que 400 referem-se a materiais. Para obter o 
percentual representado pelos materiais, podemos usar a regra de três abaixo: 
670 ---------------- 100% 
400 ---------------- X 
X = 59,7% 
 Veja que os materiais representam menos de 65% do total. Portanto, o item 
está ERRADO. 
 
D) O custo médio por metro quadrado relativo à região Sudeste é 10% superior ao 
custo relativo à região Nordeste. 
 O custo da região Nordeste é de 630, enquanto o da Sudeste é de 700. Para 
saber quanto o custo da região Sudeste representa em relação a região Nordeste, 
temos: 
630 ---------------- 100% 
700 ---------------- X 
X = 111,1% 
 Portanto, o custo da região Sudeste é 11,1% (isto é, 111,1% - 100%) superior 
ao da região Nordeste. Item ERRADO. 
Resposta: B 
 
76. CESPE – CEHAP/PB – 2009) O desvio padrão dos custos médios regionais por 
metro quadrado foi 
A) inferior a R$ 30,00. 
B) superior a R$ 30,01 e inferior a R$ 40,00. 
C) superior a R$ 40,01 e inferior a R$ 50,00. 
D) superior a R$ 50,01 
RESOLUÇÃO: 
 O cálculo do desvio padrão pode ser feito como vemos abaixo, lembrando 
que a média é 670X = e n = 5: 
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( ) A média do conjunto de dados em questão é 102,87 e a mediana é 98,40. Se o 
valor 123,07 for alterado para 200, a média irá aumentar, mas a mediana continuará 
sendo 98,40. 
( ) Se o valor de um dos elementos do conjunto não for fornecido, esse valor pode 
ser determinado se a média do conjunto for conhecida, mas não será possível obter 
esse valor conhecendo-se apenas a mediana. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Em uma distribuição de dados unimodal, se a média e a mediana forem iguais, 
não é possível determinar o valor da moda se todos os dados não estiverem 
disponíveis. 
 ERRADO, pois é possível determinar o valor da moda ainda que algum valor 
esteja faltando. Exemplificando, veja a seguinte distribuição: {1; 1; 1; 1; 3,74; 6; 6; 7; 
7}. Ela possui média igual a 3,74 e mediana também igual a 3,74. Ainda que não 
soubéssemos um dos valores, já seria possível determinar que a moda é igual a 1. 
Exemplificando, se tivéssemos: {1; 1; 1; 1; 3,74; X; 6; 7; 7}, onde o X representa um 
valor desconhecido, já poderíamos afirmar que a moda é igual a 1, independente do 
valor que X venha a assumir. 
 Obs.: a banca anulou este item por considerar que a redação prejudicou o 
julgamento objetivo. 
 
( ) A média do conjunto de dados em questão é 102,87 e a mediana é 98,40. Se o 
valor 123,07 for alterado para 200, a média irá aumentar, mas a mediana continuará 
sendo 98,40. 
 A média do conjunto {82,93; 94,54; 98,40; 115,41; 123,07} pode ser calculada 
somando-se todos os elementos (total = 514,35) e dividindo-se pela quantidade de 
elementos (5). Assim, obtém-se o valor 102,87. A mediana é o termo central. Como 
n = 5, a mediana é o 3º termo, que é igual a 98,40. 
 Trocando-se o último valor por um número maior (200), a média naturalmente 
vai aumentar, pois ela é influenciada por todos os elementos da distribuição. Já a 
mediana não será alterada, pois ela continua sendo igual ao termo central, que 
manteve-se em 98,40. 
 Item CORRETO. 
 
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89. CESPE – CORREIOS – 2011) Julgue os itens seguintes, relacionados aos 
conceitos de estatística. 
( ) Quando a variável é qualitativa, a única medida de tendência que se pode utilizar 
é a moda. 
( ) Variância, desvio padrão e coeficiente de variação são tipos diferentes de 
medidas de dispersão. 
( ) A característica fundamental de uma distribuição simétrica, como a normal e a t-
Student, é apresentar média, moda e mediana iguais. 
( ) Define-se variável como o conjunto de resultados possíveis para uma 
característica avaliada. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Quando a variável é qualitativa, a única medida de tendência que se pode utilizar 
é a moda. 
 Vamos utilizar como exemplo a variável Escolaridade, que já vimos ser 
qualitativa. Se, em uma amostra, sabemos que 5 pessoas tem nível fundamental, 10 
tem nível médio, 15 tem nível superior e 1 tem pós graduação, quais medidas de 
posição (ou tendência central) podemos calcular? Ora, descabido é calcular a 
média, afinal não faz sentido somar 5 fundamental + 5 médio + 15 superior + 1 pós, 
e muito menos dividir por qualquer coisa. O mesmo vale para a mediana, cujo 
cálculo exige que trabalhemos com variáveis numéricas e que possam ser 
ordenadas da menor para a maior. Já a moda é definida como sendo o valor que 
mais se repete. Neste exemplo, claramente a moda é “nível superior”, que é o valor 
que possui o maior número de freqüências. Item CORRETO. 
 
( ) Variância, desvio padrão e coeficiente de variação são tipos diferentes de 
medidas de dispersão. 
 CORRETO. As três medidas de dispersão, ou variabilidade, que estudamos 
foram exatamente a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação. Elas 
medem quão próximos ou quão dispersos/afastados encontram-se os dados de 
determinada amostra ou população. 
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( ) Considerando-se os três intervalos de classe centrais, é correto afirmar que a 
distribuição dos dados da tabela acima é aproximadamente simétrica em torno da 
média. 
( ) A moda da distribuição se encontra no mesmo intervalo de classe que contempla 
a mediana e a média. 
( ) A média e a mediana do número de eleitores que não votaram estão entre 4.000 
e 6.000. 
( ) Na tabela de frequências, o uso de intervalos de classe permite concluir que a 
variável em questão é contínua. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Considerando-se os três intervalos de classe centrais, é correto afirmar que a 
distribuição dos dados da tabela acima é aproximadamente simétrica em torno da 
média. 
 Vamos representar graficamente os três intervalos de classe centrais: 
 
 Observe que, de fato, temos um gráfico simétrico. Isto poderia ser percebido 
com a mera análise da tabela,afinal tanto à direita quanto à esquerda da classe 
com 3000 frequências temos classes com 1000 frequências cada. Item CORRETO. 
 
( ) A moda da distribuição se encontra no mesmo intervalo de classe que contempla 
a mediana e a média. 
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( ) A variável “cargo” classifica-se como uma variável qualitativa ordinal. 
RESOLUÇÃO: 
( ) O histograma é a representação gráfica ideal para a distribuição de frequências 
do número de candidatos aptos segundo o cargo pretendido. 
 Recorde-se da nossa definição de histograma: gráfico de barras que 
representa, no seu eixo horizontal, as classes de valores que uma variável pode 
assumir, e em seu eixo vertical os valores das frequências de cada classe. 
 Entretanto, a variável “cargo” é qualitativa. Assim, por mais que possamos 
ordenar os cargos do menor para o maior, não podemos mensurar a diferença entre 
eles para dispor na escala horizontal do gráfico. É possível, sim, fazer um gráfico de 
barras que represente a variável cargo, mas este gráfico NÃO é um histograma, que 
representa apenas variáveis quantitativas. Item ERRADO. 
 
( ) A variável “cargo” classifica-se como uma variável qualitativa ordinal. 
 CORRETO. A variável “cargo” é qualitativa, como já dissemos, e os seus 
valores podem ser ordenados do menor para o maior (de deputado estadual/distrital 
até presidente da república). Assim, esta variável é “ordinal”. Se não pudéssemos 
ordenar, esta variável seria qualitativa nominal. Um exemplo é a variável “sexo das 
pessoas”. Esta variável pode assumir dois valores qualitativos (masculino e 
feminino), porém estes valores não podem ser colocados em uma ordem crescente. 
Resposta: E C 
 
93. CESPE – MS – 2010) 
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 Vejamos novamente a tabela fornecida no enunciado: 
 
 Repare que, a cada ano, o valor de X é maior ou igual ao dobro de Y, sendo 
igual apenas nos anos de 2003 e de 2007. Portanto, é correto dizer que X foi, pelo 
menos, duas vezes maior que Y neste período. Item CORRETO. 
Resposta: C C E C E E C 
 
95. CESPE – Banco do Brasil – 2002) 
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Acerca das informações apresentadas no texto acima e dos temas a ele correlatos, 
julgue os itens a seguir. 
( ) No primeiro semestre de 2003, a média diária de obtenção de novos clientes no 
BB foi inferior a 5.000. 
( ) A moda e a mediana da seqüência numérica formada pelo número de clientes 
pessoa jurídica do BB em cada final de trimestre representado no gráfico são iguais 
RESOLUÇÃO: 
( ) No primeiro semestre de 2003, a média diária de obtenção de novos clientes no 
BB foi inferior a 5.000. 
 Veja que aqui não foi feita distinção entre clientes pessoa física e pessoa 
jurídica, portanto devemos soma-los para efetuar a análise. 
Como pode ser visto no gráfico, ao final de 2002 (ou 4T02), o banco possuía 
15,4 milhões de clientes. E, ao final do primeiro semestre de 2003 (ou 2T03), o 
número de clientes chegou a 16,7 milhões. 
 Assim, houve um acréscimo de 16,7 – 15,4 = 1,3 milhões de clientes no 
semestre. Considerando que o semestre possui cerca de 182 dias, a média de 
novos clientes por dia foi aproximadamente: 
 
Média = 1.300.000 / 182 = 7.142 
 
 Este número é superior a 5.000, tornando o item ERRADO. 
 
( ) A moda e a mediana da seqüência numérica formada pelo número de clientes 
pessoa jurídica do BB em cada final de trimestre representado no gráfico são iguais 
 Colocando os dados em ordem crescente, temos: 
{0,9; 1,0; 1,0; 1,0; 1,1} 
 A moda claramente é igual a 1,0, pois este valor possui 3 repetições, 
enquanto os demais possuem apenas uma cada. 
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( ) Em uma amostra com assimetria positiva, observa-se que a média é igual à 
moda e que a mediana está deslocada à direita da média. 
RESOLUÇÃO: 
 ERRADO. Reveja abaixo uma exemplo de amostra com assimetria positiva, 
ou seja, com uma concentração de frequências na parte esquerda do gráfico em 
uma longa cauda se estendendo para a direita, ou seja, no sentido positivo do eixo 
horizontal. Repare que neste caso a moda é o menor valor, seguido pela mediana, e 
a média é o maior valor: 
 
Resposta: E 
 
100. CESPE – CPRM – 2013) 
Amostra 1 2 3 4 5 
X 100 120 90 100 110 
A tabela acima apresenta os resultados de um estudo estatístico realizado para 
avaliar o teor de óxidos de ferro (X, em g/kg) no solo de determinada região. As 
amostras foram coletadas nos pontos de cruzamento de uma malha 
georreferenciada. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 
( ) A variância amostral de X é inferior ou igual a 130 g2/kg2. 
( ) A moda da distribuição das amostras é igual a 100 g/kg. 
( ) A mediana amostral de X é igual a 90 g/kg. 
RESOLUÇÃO: 
( ) A variância amostral de X é inferior ou igual a 130 g2/kg2. 
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A tabela acima mostra a distribuição da quantidade Q de pessoas transportadas, 
incluindo o condutor, por veículo de passeio circulando em determinado município, 
obtida como resultado de uma pesquisa feita nesse município para se avaliar o 
sistema de transporte local. Nessa tabela, P representa a porcentagem dos veículos 
de passeio circulando no município que transportam Q pessoas, para Q = 1, ..., 5. 
Com base nessas informações, julgue os seguintes itens. 
( ) A quantidade de pessoas transportadas por veículo de passeio circulando no 
município é distribuída em torno do valor 3, que representa a mediana da 
distribuição descrita. Como ocorre a concentração de muitos casos abaixo desse 
valor, essa distribuição possui assimetria negativa. 
( ) Como a tabela mostrada apresenta sequência decrescente dos percentuais à 
medida que o valor da quantidade Q aumenta, a distribuição descrita apresenta 
curtose negativa. 
( ) Em média, cada veículo de passeio que circula no referido município transporta 
duas pessoas. Portanto, se, em determinado momento, houver 10 mil veículos 
circulando nesse município, a quantidade esperada de pessoas que estão sendo 
transportadas por todos esses veículos, incluindo-se os condutores, será igual a 20 
mil. 
( ) Como a moda da distribuição descrita representa a maior frequência observada, 
seu valor é igual a 50%. 
RESOLUÇÃO: 
( ) A quantidade de pessoas transportadas por veículo de passeio circulando no 
município é distribuída em torno do valor 3, que representa a mediana da 
distribuição descrita. Como ocorre a concentração de muitos casos abaixo desse 
valor, essa distribuição possui assimetria negativa. 
 ERRADO. Em primeiro lugar, a mediana deste conjunto não é igual a 3. Além 
disso, quando temos um pico de frequência na parte esquerda do gráfico (ou seja, 
em Q = 1) e uma longa cauda para a direita, que é o sentido positivo do eixo das 
quantidades, estamos diante de uma distribuição com assimetria positiva. Veja o 
gráfico dessa distribuição: 
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 Repare que a mediana é igual a 1, pois metade (50%) das frequências são 
iguais ou inferiores a este valor. 
 
( ) Como a tabela mostrada apresenta sequência decrescente dos percentuais à 
medida que o valor da quantidade Q aumenta, a distribuição descrita apresenta 
curtose negativa. 
 ERRADO. Em primeiro lugar, a curtose é representada por um índice que 
sempre é positivo. Além disso, lembre-se que a curtose está relacionada com o grau 
de achatamento da distribuição. 
 
( ) Em média, cada veículo de passeio que circula no referido município transporta 
duas pessoas. Portanto, se, em determinado momento, houver 10 mil veículos 
circulando nesse município, a quantidade esperada de pessoas que estão sendo 
transportadas por todos esses veículos, incluindo-se os condutores, será igual a 20 
mil. 
 Podemos calcular o valor esperado de pessoas em cada veículo assim: 
E(X) = 1 x 50% + 2 x 20% + 3 x 15% + 4 x 10% + 5 x 5% 
E(X) = 2 
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 Portanto, se tivermos 10 mil veículos circulando, a quantidade esperada de 
pessoas é igual a 2 x 10.000 = 20.000. Item CORRETO. 
 
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referido município brasileiro é inferior à média das concentrações dessa mesma 
substância no sangue das pessoas do sexo masculino que trabalham nesses postos 
de combustível. 
( ) O diagrama esquemático referente ao sexo feminino, em comparação com o 
referente ao sexo masculino, possui uma caixa (box) menor e pernas mais curtas, 
sugerindo que a variabilidade dos valores de concentração de chumbo no sangue 
das pessoas que trabalham em postos de combustível do referido município 
brasileiro é menor para as pessoas do sexo feminino que para as do sexo 
masculino. 
( ) Há informações suficientes no diagrama apresentado para se concluir 
corretamente que 25% das pessoas do sexo feminino que trabalham em postos de 
combustível do referido município brasileiro apresentam concentrações de chumbo 
iguais ou superiores a 10 �g. dL-1 . Já o percentual de pessoas do sexo masculino 
que trabalha nesses postos e apresenta concentrações de chumbo iguais ou 
superiores a 10 �g· dL-1 é maior que 25%. 
( ) A concentração mínima de chumbo encontrada entre as pessoas do sexo 
masculino que trabalham em postos de combustível do referido município brasileiro 
é a mesma daquela encontrada entre as pessoas do sexo feminino que trabalham 
nesses postos de combustível. 
( ) A distribuição das concentrações de chumbo encontradas no sangue das 
pessoas do sexo feminino que trabalham nesses postos de combustível apresenta 
intervalo interquartílico inferior àquele apresentado pela distribuição referente às 
pessoas do sexo masculino que trabalham nesses postos de combustível. 
( ) A quantidade de pessoas do sexo masculino e do sexo feminino que trabalha nos 
referidos postos de combustível e que apresenta concentrações de chumbo no 
sangue inferiores a 5 �g· dL-1 é igual ou menor que 50 e 25, respectivamente. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Com base nas linhas horizontais que cortam as caixas do diagrama apresentado, 
conclui-se corretamente que a média das concentrações de chumbo encontradas no 
sangue das pessoas do sexo feminino que trabalham em postos de combustível do 
referido município brasileiro é inferior à média das concentrações dessa mesma 
substância no sangue das pessoas do sexo masculino que trabalham nesses postos 
de combustível. 
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 ERRADO, pois sabemos o que o diagrama box plot não apresenta o valor da 
média das distribuições. 
 
( ) O diagrama esquemático referente ao sexo feminino, em comparação com o 
referente ao sexo masculino, possui uma caixa (box) menor e pernas mais curtas, 
sugerindo que a variabilidade dos valores de concentração de chumbo no sangue 
das pessoas que trabalham em postos de combustível do referido município 
brasileiro é menor para as pessoas do sexo feminino que para as do sexo 
masculino. 
 CORRETO. No diagrama box plot temos a representação dos valores da 
mediana, primeiro e terceiro quartis, além dos limites inferior e superior. Como o 
diagrama feminino é menos "espalhado" quem é o masculino, podemos concluir que 
há menor variabilidade entre as mulheres. 
 
( ) Há informações suficientes no diagrama apresentado para se concluir 
corretamente que 25% das pessoas do sexo feminino que trabalham em postos de 
combustível do referido município brasileiro apresentam concentrações de chumbo 
iguais ou superiores a 10 �g. dL-1 . Já o percentual de pessoas do sexo masculino 
que trabalha nesses postos e apresenta concentrações de chumbo iguais ou 
superiores a 10 �g· dL-1 é maior que 25%. 
 CORRETO. Repare que a parte superior da caixa da distribuição feminina, 
que representa o 3º quartil, está exatamente em cima da linha de 10. Isto significa 
que 75% das mulheres estão abaixo desse valor, de modo que as 25% restantes 
possuem concentrações iguais ou superiores a este valor. No caso dos homens, 
vemos que a linha de 10 se encontra abaixo do terceiro quartil, de modo que mais 
de 25 por cento dos homens possuem concentrações superiores. 
 
( ) A concentração mínima de chumbo encontrada entre as pessoas do sexo 
masculino que trabalham em postos de combustível do referido município brasileiro 
é a mesma daquela encontrada entre as pessoas do sexo feminino que trabalham 
nesses postos de combustível. 
 CORRETO, pois os valores mínimos em ambos os gráficos são iguais. 
 
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Setor 2 
488,37 493,73 547,72 552,66 567,94 571,49 
572,26 582,00 583,63 594,77 598,46 619,25 
624,20 631,03 634,51 637,21 655,70 657,56 
663,81 670,12 671,90 673,78 684,69 685,98 
693,35 698,58 708,78 719,80 721,16 734,84 
735,94 746,34 754,83 756,10 756,96 760,80 
762,29 766,24 770,11 797,73 804,06 805,97 
807,29 832,83 844,00 866,77 878,27 897,09 
943,10 963,25 
 
Considerando essas informações, julgue os itens. 
( ) Os gráficos localizados à direita, na figura, denominam-se histogramas e são 
úteis para identificar a forma da distribuição dos valores. Nessa figura, eles indicam 
que as distribuições das despesas são aproximadamente simétricas. 
( ) A mediana das despesas registradas pelos servidores do setor 2 é igual a 
R$693,35. 
( ) A despesa média com transporte dos servidores do setor 1 é superior a 
R$500,00. 
( ) Na amostra do setor 2, a frequência relativa das despesas entre R$ 700,00 e 
R$799,99 é superior a 20%. 
( ) Trinta por cento das despesas dos servidores do setor 1 correspondem a um 
valor superior a R$ 525,00. 
( ) A distribuição das despesas dos servidores do setor 2 apresenta um aspecto 
bimodal, com duas classes com a mesma frequência. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Os gráficos localizados à direita, na figura, denominam-se histogramas e são 
úteis para identificar a forma da distribuição dos valores. Nessa figura, eles indicam 
que as distribuições das despesas são aproximadamente simétricas. 
 ERRADO, pois esses gráficos são conhecidos como box plot. 
 
( ) A mediana das despesas registradas pelos servidores do setor 2 é igual a 
R$693,35. 
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( ) Na amostra do setor 2, a frequência relativa das despesasentre R$ 700,00 e 
R$799,99 é superior a 20%. 
 CORRETO. Veja que 14 das 50 frequências encontram-se neste intervalo. 
Portanto, a freqüência relativa deste intervalo é igual a 14 / 50 = 0,28 = 28%. 
 
( ) Trinta por cento das despesas dos servidores do setor 1 correspondem a um 
valor superior a R$ 525,00. 
 Marquei em vermelho os casos onde a despesa foi superior a 525 reais. 
Repare que são 15 situações. Percentualmente, elas representam 15/50 = 0,3 = 
30%. Item CORRETO. 
 
Setor 1 
308,73 311,80 358,33 359,89 371,53 379,82 
383,76 388,66 391,53 394,65 414,60 416,38 
418,34 419,42 427,85 428,58 432,06 436,61 
442,49 450,53 450,98 452,35 471,70 473,11 
476,76 481,46 484,89 490,07 499,87 500,52 
502,06 513,80 514,39 521,96 522,18 526,42 
528,76 531,53 547,91 572,66 591,43 596,99 
609,44 632,15 639,71 677,48 683,76 688,76 
723,79 767,53 
 
( ) A distribuição das despesas dos servidores do setor 2 apresenta um aspecto 
bimodal, com duas classes com a mesma frequência. 
 Repare que temos um pico de frequências no intervalo entre 600 e 700 reais, 
onde existe 15 frequências. Esta é a classe modal, não havendo duas classes 
modais como informa este item. Item ERRADO. 
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encontrado para o grupo de moças, tem-se que a média aritmética dos dois grupos 
reunidos é de 
 a) 162,0 cm 
 b) 164,6 cm 
 c) 164,8 cm 
 d) 166,4 cm 
 e) 168,2 cm 
 
17. ESAF – IRB – 2006) Histograma e Polígono de freqüência são 
a) a mesma representação gráfica (idênticas) de uma distribuição de freqüência. 
b) um texto descritivo e uma representação gráfica de uma distribuição de 
freqüência. 
c) um texto descritivo e uma função gráfica de uma distribuição de freqüência. 
d) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência. 
e) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência, porém com 
sentidos opostos. 
 
18. FCC – BACEN – 2006) A média aritmética dos salários dos 100 empregados 
em uma empresa é de R$ 1500,00. Na hipótese de serem demitidos 20 
empregados, que ganham cada um o salário de R$ 2500,00, e ser concedido, 
posteriormente, um aumento de 10% em todos os salários dos remanescentes, a 
nova média aritmética dos salários será de 
 a) R$ 1 375,00 
 b) R$ 1 350,00 
 c) R$ 1 345,00 
 d) R$ 1 320,00 
 e) R$ 1 300,00 
 
19. FCC – BACEN – 2006) O histograma de freqüências absolutas a seguir foi 
elaborado com base nas informações contidas na revista “O Empreiteiro”, de junho 
de 2005, que demonstra o comportamento das empresas construtoras do ramo da 
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Com relação a este levantamento e às medidas de posição, tem-se que 
(A) a média aritmética, a mediana e a moda possuem o mesmo valor. 
(B) o valor da média aritmética e o valor da mediana superam, cada um, o valor da 
moda em R$ 250,00. 
(C) o valor da moda é superior ao valor da média aritmética e também ao valor da 
mediana. 
(D) o valor da moda é igual ao valor da mediana, porém supera o valor da média 
aritmética. 
(E) a soma dos valores da média aritmética, da mediana e da moda é igual a R$ 
7.250,00. 
 
32. ESAF – AFRFB – 2009) Considere a seguinte amostra aleatória das idades em 
anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra, 
marque a única opção correta: 
29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 
32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 
28, 34, 29, 23, 28. 
a) A média e a mediana das idades são iguais a 27. 
b) A moda e a média das idades são iguais a 27. 
c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. 
d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074. 
e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27. 
 
33. FCC – ARCE – 2012) A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências 
da variável X, que representa o número de empregados numa amostra de 100 
indústrias. 
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(D) 2,0. 
(E) 2,4. 
 
47. FGV – ICMS/RJ – 2011) Em uma repartição, foi tomada uma amostra do 
número de filhos de 4 funcionários. O resultado foi {2, 1, 4, 2}. A média geométrica 
simples dessa amostra é 
(A) 2,25. 
(B) 1,75. 
(C) 2. 
(D) 2,4. 
(E) 2,5. 
 
48. FGV – ICMS/RJ – 2007) Uma amostra de 100 servidores de uma repartição 
apresentou média salarial de R$ 1.700,00 com uma dispersão de R$ 240,00. Pode-
se afirmar que: 
(A) a média aritmética não é uma boa medida para representar a amostra em 
função do elevado valor do desvio-padrão. 
(B) a melhor medida para representar a amostra é a remuneração por unidade de 
desvio-padrão. 
(C) a média aritmética pode perfeitamente representar os salários da amostra pelo 
fato de esta apresentar uma dispersão relativa inferior a 20%. 
(D) a amostra não é suficientemente grande para analisarmos o valor encontrado 
para a média dos salários. 
(E) o salário mediano representaria melhor a amostra devido ao alto nível de 
heterogeneidade dos salários na amostra. 
 
49. FGV – ICMS/RJ – 2007) Considere as informações contidas no Box Plot abaixo, 
referente aos salários dos engenheiros de uma empresa, por sexo. 
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e) 1125,00 
 
59. CEPERJ – SEE/RJ – 2009) Com relação à assimetria dessa distribuição de 
rendas, pode-se afirmar que se trata de uma distribuição: 
a) simétrica à direita 
b) com assimetria positiva 
c) com assimetria negativa 
d) assimétrica à esquerda 
e) com assimetria nula 
 
60. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2012) Numa empresa, o salário médio das mulheres 
é de R$1.025,00, com um desvio padrão de R$410,00. Se, nessa empresa, o desvio 
padrão para o salário dos homens é de R$500,00 e o coeficiente de variação é o 
mesmo que o do salário das mulheres, então o salário médio dos homens é de: 
A) R$1.075,00 
B) R$1.125,00 
C) R$1.200,00 
D) R$1.225,00 
E) R$1.250,00 
 
61. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2012) Sejam X1, X2, X3, ..., Xn os n valores assumidos 
por uma variável quantitativa discreta. Multiplicando-se cada um desses valores por 
k, onde k é uma constante positiva, pode-se afirmar que: 
A) a média aritmética fica multiplicada pela constante k e a variância não se altera 
B) a média aritmética fica acrescida da constante k e a variância não se altera 
C) a média aritmética fica multiplicada por k e a variância por k2 
D) a média aritmética e a variância ficam multiplicadas por k 
E) nada se pode afirmar, pois os valores de X1, X2, X3, ..., Xn não são conhecidos 
 
62. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2013) A avaliação dos alunos em determinada 
disciplina é feita por meio de 4 provas, que possuem peso diferente na composição 
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( ) Com base nas linhas horizontais que cortam as caixas do diagrama apresentado, 
conclui-se corretamente que a média das concentrações de chumbo encontradas no 
sangue das pessoas do sexo feminino que trabalham em postos de combustível do 
referido município brasileiro é inferior à média das concentrações dessa mesma 
substânciano sangue das pessoas do sexo masculino que trabalham nesses postos 
de combustível. 
( ) O diagrama esquemático referente ao sexo feminino, em comparação com o 
referente ao sexo masculino, possui uma caixa (box) menor e pernas mais curtas, 
sugerindo que a variabilidade dos valores de concentração de chumbo no sangue 
das pessoas que trabalham em postos de combustível do referido município 
brasileiro é menor para as pessoas do sexo feminino que para as do sexo 
masculino. 
( ) Há informações suficientes no diagrama apresentado para se concluir 
corretamente que 25% das pessoas do sexo feminino que trabalham em postos de 
combustível do referido município brasileiro apresentam concentrações de chumbo 
iguais ou superiores a 10 �g. dL-1 . Já o percentual de pessoas do sexo masculino 
que trabalha nesses postos e apresenta concentrações de chumbo iguais ou 
superiores a 10 �g· dL-1 é maior que 25%. 
( ) A concentração mínima de chumbo encontrada entre as pessoas do sexo 
masculino que trabalham em postos de combustível do referido município brasileiro 
é a mesma daquela encontrada entre as pessoas do sexo feminino que trabalham 
nesses postos de combustível. 
( ) A distribuição das concentrações de chumbo encontradas no sangue das 
pessoas do sexo feminino que trabalham nesses postos de combustível apresenta 
intervalo interquartílico inferior àquele apresentado pela distribuição referente às 
pessoas do sexo masculino que trabalham nesses postos de combustível. 
( ) A quantidade de pessoas do sexo masculino e do sexo feminino que trabalha nos 
referidos postos de combustível e que apresenta concentrações de chumbo no 
sangue inferiores a 5 �g· dL-1 é igual ou menor que 50 e 25, respectivamente. 
 
103. CESPE – PRF – 2012) 
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Setor 2 
488,37 493,73 547,72 552,66 567,94 571,49 
572,26 582,00 583,63 594,77 598,46 619,25 
624,20 631,03 634,51 637,21 655,70 657,56 
663,81 670,12 671,90 673,78 684,69 685,98 
693,35 698,58 708,78 719,80 721,16 734,84 
735,94 746,34 754,83 756,10 756,96 760,80 
762,29 766,24 770,11 797,73 804,06 805,97 
807,29 832,83 844,00 866,77 878,27 897,09 
943,10 963,25 
 
Considerando essas informações, julgue os itens. 
( ) Os gráficos localizados à direita, na figura, denominam-se histogramas e são 
úteis para identificar a forma da distribuição dos valores. Nessa figura, eles indicam 
que as distribuições das despesas são aproximadamente simétricas. 
( ) A mediana das despesas registradas pelos servidores do setor 2 é igual a 
R$693,35. 
( ) A despesa média com transporte dos servidores do setor 1 é superior a 
R$500,00. 
( ) Na amostra do setor 2, a frequência relativa das despesas entre R$ 700,00 e 
R$799,99 é superior a 20%. 
( ) Trinta por cento das despesas dos servidores do setor 1 correspondem a um 
valor superior a R$ 525,00. 
( ) A distribuição das despesas dos servidores do setor 2 apresenta um aspecto 
bimodal, com duas classes com a mesma frequência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. GABARITO 
01 E 02 A 03 A 04 C 05 C 06 B 07 A 
08 A 09 E 10 B 11 E 12 C 13 A 14 EE 
15 C 16 C 17 D 18 A 19 B 20 E 21 B 
22 D 23 D 24 B 25 B 26 B 27 C 28 D 
29 C 30 B 31 C 32 E 33 A 34 C 35 E 
36 A 37 A 38 E 39 A 40 C 41 E 42 B 
43 D 44 E 45 D 46 B 47 C 48 C 49 C 
50 B 51 C 52 D 53 A 54 D 55 B 56 E 
57 C 58 D 59 B 60 E 61 C 62 D 63 C 
64 A 65 E 66 B 67 D 68 D 69 B 70 C 
71 CEEC 72 CC 73 CCC 74 C 75 B 76 A 77 E 
78 EC 79 EC 80 C 81 EECCEEE 82 ECEC 83 CCE 84 ECC 
85 EE 86 ECC 87 C 88 CE 89 CCCC 90 C 91 CCCE 
92 EC 93 CEEEC 94 CCECEEC 95 EC 96 EC 97 A 98 C 
99 E 100 CCE 101 EECE 102 ECCCCC 103 CCEE 104 ECEC 105 EEECCE 
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