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������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ������������������������������������������� determinado evento. Também fazem parte da estatística inferencial os testes de hipóteses, que visam obter conclusões sobre uma população a partir da análise de um subconjunto desta (amostra). 1.1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA E ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS Para começarmos o estudo da Estatística Descritiva precisamos conhecer alguns conceitos básicos: - População: é o conjunto de todas as entidades sob estudo. Possui pelo menos uma característica em comum que permite delimitar os seus integrantes. Ex.: População dos moradores de Brasília; população dos alunos da escola A; população dos animais de estimação do meu bairro; - Censo: quando efetuamos o censo de uma população, analisamos todos os indivíduos que compõem aquela população. Por exemplo: podemos contar um por um os moradores de Brasília, ou todos os alunos da escola A, ou todos os animais de estimação de meu bairro. Normalmente o nosso interesse não é simplesmente contá-los, mas sim verificar um determinado atributo, ou característica que esses indivíduos possuem. Exemplificando, pode ser que queiramos saber, de todos os moradores de Brasília, quantos são Homens, ou quantos tem mais de 1,80m de altura, ou quantos ganham mais que R$1.000,00 por mês. - Amostra: em muitos casos é inviável, custoso ou desnecessário, observar um por um dos membros de uma determinada população. Se queremos saber qual o percentual de homens na população de Brasília, podemos analisar um subconjunto daquela população, isto é, uma amostra. Se a amostra for suficientemente grande (e bem escolhida), é possível que o percentual de homens da amostra seja muito parecido com o que seria obtido se analisássemos toda a população. - Variável: é um atributo ou característica (ex: sexo, altura, salário etc.) dos elementos de uma população que pretendemos avaliar. 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ������������������������������������������� - Observação: trata-se do valor que a variável assume para um determinado membro da população. Ex.: a observação da variável SEXO referente a João, membro da população brasiliense, tem valor “Masculino”. Uma variável pode ser classificada em: o qualitativa, quando não assume valores numéricos, podendo ser dividida em categorias. Ex.: o sexo dos moradores de Brasília é uma variável qualitativa, pois pode ser dividido nas categorias Masculino ou Feminino. Se o objetivo fosse verificar quantos moradores possuem AIDS, teríamos outra variável qualitativa, dividida nas categorias SIM e NÃO. o quantitativa, quando puder assumir diversos valores numéricos. Ex.: a altura dos moradores é uma variável quantitativa: 1,80m; 1,55m; 1,20m; 2,10m etc. O mesmo ocorre com os salários desses moradores. As variáveis quantitativas podem ser ainda divididas em: � � contínuas: quando não é possível separar o valor de uma variável em relação ao próximo valor que ela possa assumir. Ex.: a variável Altura é contínua. Se alguém tem exatamente 1,80m, qual o valor de altura imediatamente seguinte? 1,81m? Errado, pois é possível que alguém tenha, por exemplo, 1,80000001m. Ou 1,80000000001m. É impossível saber qual o valor que vem logo após (ou antes de) 1,80m, ou seja, essa variável é contínua. � discretas: quando podemos saber o valor que vem imediatamente após (ou antes de) outro. Ex.: se nos dissessem que só é possível medir as pessoas até a segunda casa decimal, então a variável Altura torna-se discreta. Isso porque sabemos que o próximo valor de altura é 1,81m, e o valor anterior é 1,79m. 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ������������������������������������������� Chamamos uma variável de Variável Aleatória quando ela pode assumir, de maneira aleatória (“ao acaso”), qualquer dos seus valores. Em estatística trabalharemos sempre com variáveis aleatórias, que representamos por letras maiúsculas. Ex.: X pode ser a variável idade dos moradores de Brasília. Utilizamos letras minúsculas para representar valores específicos daquela variável. Exemplificando, x = 25 anos é um dos valores possíveis para a variável aleatória X. Finalizando, é preciso que você saiba que as variáveis aleatórias podem ser classificadas em: - variáveis nominais: são aquelas definidas por “nomes”, não podendo ser colocadas em uma ordem crescente. Ex.: a variável “sexo dos moradores de um bairro” é nominal, pois só pode assumir os valores “masculino” ou “feminino”. Veja que não há uma ordem clara entre esses dois possíveis valores (não há um valor maior e outro menor). - variáveis ordinais: são aquelas que podem ser colocadas em uma ordem crescente, mas não é possível (ou não faz sentido) calcular a diferença entre um valor e o seguinte. Ex.: numa escola onde as notas dos alunos sejam dadas em letras (A, B, C, D ou E), sabemos que a menor nota é “E” e a maior é “A”. Porém não podemos mensurar quanto seria, por exemplo, a subtração A – B. - variáveis intervalares: são aquelas que podem ser colocadas em uma ordem crescente, e é possível calcular a diferença entre um valor e o seguinte. Ex.: se as notas dos alunos forem dadas em números (de 0 a 10), sabemos que a nota 5 é maior que a nota 3, e que a diferença entre elas é 5 – 3 = 2. Antes de prosseguir, trabalhe esta questão: 1. CESPE – CORREIOS – 2011) Julgue os itens seguintes, relacionados aos conceitos de estatística. 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ������������������������������������������� Note que, de fato, temos 26 frequências na classe 1,50| - 1,60; 19 na classe 1,60| - 1,70; e assim sucessivamente. Podemos traçar ainda o gráfico das frequências absolutas acumuladas, que normalmente é representado por uma linha como esta abaixo: Este gráfico de freqüências acumuladas acima, onde ligamos os pontos extremos (limites superiores) das classes de valores, é conhecido como ogiva. Chamamos a figura formada no gráfico de polígono de freqüências. Note que no gráfico de frequências acumuladas colocamos apenas o limite superior de cada classe de dados. 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� �������������������������������������������� Veja, por exemplo, que o ponto “A” no gráfico nos indica que 78 frequências ocorrem abaixo de 1,80m. Finalmente, veja o gráfico das freqüências relativas acumuladas: Aqui, o ponto A nos indica que 97,50% das frequências são iguais ou inferiores a 1,80m. Observe agora o seguinte Histograma, relativo à observação das idades dos moradores de um determinado bairro: Note que esse gráfico possui um pico na classe de 30 a 40 anos, e à medida que as classes se afastam desta (para a esquerda ou para a direita), a quantidade 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� �������������������������������������������� de frequências é igual, dando um aspecto de simetria (ex.: temos 15 frequências tanto no intervalo 20 - |30 como no intervalo 40 - |50). Podemos ter também histogramas assimétricos. Neste abaixo, temos uma assimetria à direita (assimetria positiva), pois temos o pico em10-20 anos e os dados se estendem para a direita (sentido positivo), assumindo valores de até 70 anos. Já o histograma abaixo apresenta um caso de assimetria à esquerda (negativa) , onde os dados se estendem para a esquerda (sentido negativo): Antes de prosseguirmos, vejamos dois exercícios sobre gráficos e tabelas estatísticas. 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� �������������������������������������������� 1 1 ( ) 1500 0,10 2500 3500 4500 0,20 5500 0,10 1 3350 150 2500 3500 900 550 2500 3500 1750 25 35 17,5 n i n i PMi Fi Média Fi x y Média x y x y x y = = × = × + × + × + × + ×= = + + + + + = + = � � Como sabemos que x = 0,60 – y, podemos efetuar essa substituição na equação acima: 25 (0,60 – y) + 35y = 17,5 15 – 25y + 35y = 17,5 10y = 2,5 y = 0,25 Portanto, x = 0,60 – y = 0,60 – 0,25 = 0,35. O total de frequências com recolhimentos acima de 3000 reais é dado pela soma das frequências das últimas 3 classes da tabela: y + 0,20 + 0,10 = 0,25 + 0,20 + 0,10 = 0,55 Como o total de frequências na tabela é igual a 1, então podemos dizer que 0,55 corresponde a 55% dos recolhimentos. Resposta: C Vejamos algumas propriedades relativas à média de um conjunto de dados (muito cobradas!!!): - somando-se ou subtraindo-se um valor constante em todas as observações, a média desse novo conjunto será somada ou subtraída do mesmo valor. Ex.: se somarmos 3cm na altura de cada pessoa, a média passará de 1,63m para 1,66m. 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� �������������������������������������������� - multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores observados por um valor constante, a média desse novo conjunto será multiplicada ou dividida pelo mesmo valor. Ex.: se dividirmos todas as alturas encontradas por 2, a média também será dividida por 2, tornando-se igual a 0,815m. - a soma das diferenças entre cada observação e a média é igual a zero. Ex.? A diferença entre a observação 1,51m e a média 1,63m é de –0,12m. Já a diferença entre a observação 1,80m e a média 1,63m é de 0,17m. Somando todas as diferenças, obteremos o valor zero. - O valor da média é calculado utilizando todos os valores da amostra. Portanto, qualquer alteração nesses valores poderá alterar a média. Assim, costumamos dizer que a média é afetada pelos valores extremos da distribuição. Ex.: se incluíssemos na amostra uma pessoa com 2,00m, ou outra com apenas 0,60m, isso alteraria a média. Veja essa questão, que é relativa às propriedades da média: 5. DOM CINTRA - PREF. PALMAS - 2010) A média aritmética das 25 notas de uma prova de matemática foi igual a 6,0. Se o professor aumentar 0,5 em cada uma dessas 25 notas, e, em seguida, calcular a média de todas elas, o valor encontrado por ele será de: a) 5,5 b) 6,0 c) 6,5 d) 7,0 e) 7,5 RESOLUÇÃO: Aqui podemos usar uma das propriedades da média: se somarmos uma constante k a todos os membros de uma amostra, a nova média será igual à anterior, somada de k. Portanto, se somamos k = 0,5 na nota de cada um dos alunos, basta somar 0,5 na média anterior e obtemos a nova média: 6 + 0,5 = 6,5. Resposta: C. Finalizando o estudo da média, é importante que você conheça: 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� �������������������������������������������� móvel de 3 dias. Assim, no primeiro dia vamos representar exatamente a temperatura de 15 graus. No segundo dia, vamos representar a média dos dois primeiros dias, ou seja, (15 + 17) / 2 = 16. No terceiro dia vamos representar a média dos 3 primeiros dias, isto é, (15 + 17 + 16) / 3 = 16. Nos dias seguintes, vamos sempre calcular a média de 3 dias. Desta forma, obtemos o seguinte gráfico: Observe que este gráfico é mais “suave” que o anterior, isto é, ele apresenta menos oscilações. É para isto que utilizamos a média móvel: para suavizar o gráfico e, com isso, visualizar com mais facilidade a “tendência” do mesmo. Observe que este último gráfico permite visualizar rapidamente que, ao longo dos 15 dias analisados, a temperatura de São Paulo apresentava uma tendência de elevação. c) Média Geométrica A média geométrica de um conjunto de “n” dados é simplesmente a raiz de grau “n” do produto destes dados. Exemplificando, veja o conjunto abaixo: A = {1, 25} Temos um conjunto de 2 dados. Assim, a média geométrica é a raiz de grau 2 (isto é, a raiz quadrada) do produto destes números: 2 1 25 5Média= × = Observe que o valor obtido é bem menor que obteríamos com a média aritmética (que seria igual a 13). Vejamos este outro conjunto: B = {3, 3, 81} 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� �������������������������������������������� Assim, temos: − −= − − = 4 1100 1000 4 3 1100 600 3,8 X X Portanto, a mediana é igual a R$3800,00 reais. A diferença entre a média e a mediana é de R$100,00. Resposta: A Para finalizar o estudo da Mediana, note que ela é um único número para um determinado conjunto de observações. Não existem duas medianas para o mesmo conjunto. Além disso, o seu valor não é afetado pela troca de algum valor extremo (máximo ou mínimo) na distribuição. Para exemplificar, veja essas duas distribuições: 3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13,14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 34, 42 e 3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13,14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 57, 88 Apesar de eu ter trocado dois termos extremos da primeira para a segunda distribuição, ambas possuem a mesma mediana. Repare que a média se altera (neste caso, a média da segunda distribuição certamente seria maior). � Moda: A moda é o valor da observação com maior número de frequências, ou repetições (isto é, é o valor que está “na moda”). Ao contrário da média e da mediana, que são valores únicos, uma amostra pode ter 1, 2 ou mais modas (ser unimodal, bimodal etc.). Veja este conjunto de idades: { 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11} Note que a idade 8 é a que aparece mais vezes (3 vezes). Portanto, a moda deste conjunto é igual a 8. Já na tabela de alturas, que reproduzo novamente, a moda é a altura de 1,71m, pois ela aparece 20 vezes: 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� �������������������������������������������� Sobre este assunto, veja essa questão: 10. ESAF – IRB – 2006) Sendo a moda menor que a mediana e, esta, menor que média, pode-se afirmar que se trata de uma curva a) Simétrica. b) Assimétrica, com freqüências desviadas para a direita. c) Assimétrica, com freqüências desviadas para a esquerda. d) Simétrica, com freqüências desviadas para a direita. e) Simétrica, com freqüências desviadas para a esquerda. RESOLUÇÃO: No gráfico de distribuição de freqüências, a moda se localiza na posição onde temos um pico de freqüências. Se a moda é o menor valor, ela está deslocada para o lado esquerdo do eixo de valores (eixo horizontal). Isto significa que temos um pico de freqüências à esquerda. Teremos também um prolongamento dos dados para a direita, o que “puxa” a média para este lado, tornando-a maior que as demais medidas de posição: Assim, estamos diante de uma distribuição Assimétrica Positiva (à direita). Resposta: B � QUANTIS (Quartis,decis e percentis) Assim como a mediana divide os dados em 2, os quartis dividem os dados em 4. Isto é, abaixo do primeiro quartil estão ¼, ou 25% das observações. Dele até o segundo quartil, outros 25%. E assim por diante. Note que o segundo quartil é a própria mediana, pois 50% dos dados são inferiores a ele. Para exemplificar, vamos utilizar novamente a tabela abaixo: 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� �������������������������������������������� b) Limite superior: é o menor valor entre os dois abaixo: Valor máximo da distribuição ou Q3 + 1,5 x (Q3 – Q1) Este procedimento é necessário para não representarmos no Box-Plot os “pontos fora da curva”, isto é os valores extremamente baixos ou extremamente altos na distribuição, que representam verdadeiras exceções. Em nosso exemplo (distribuição de alturas), obtivemos os seguintes valores: - máximo = 1,83m - 3º quartil = 1,71m - Mediana = 1,63m - 1º quartil = 1,52m - mínimo = 1,50m Portanto, podemos ver que: Q1 – 1,5 x (Q3 – Q1) = 1,52 – 1,5 x (1,71 – 1,52) = 1,23m Como o mínimo é maior que este valor, devemos adotar como limite inferior o próprio valor mínimo, isto é, 1,50m. Da mesma forma: Q3 + 1,5 x (Q3 – Q1) = 1,71 + 1,5 x (1,71 – 1,52) = 1,99m Como o valor máximo é menor que este valor, podemos adotar como limite superior o próprio valor máximo, isto é, 1,83m. Em outras palavras, estamos dizendo que esta distribuição de alturas não tem “pontos fora da curva”, ou outliers. Assim, nosso box-plot é: 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� �������������������������������������������� A visualização do Box-Plot é muito útil, pois permite ao pesquisador experiente obter rapidamente um “resumo” das principais características de uma distribuição. Chamamos de amplitude interquartílica a distância entre o 1º e o 3º quartis de uma distribuição, ou seja: AI = Q3 – Q1 Da mesma forma, chamamos de amplitude total a distância entre o valor Máximo e o valor Mínimo de uma distribuição: AT = Máximo – Mínimo O método da interpolação linear usado para o cálculo da mediana pode ser aplicado aqui, com as devidas adaptações. Neste caso, devemos calcular a posição n/4 para o primeiro quartil, e não (n+1)/4. Da mesma forma, a posição do terceiro quartil será 3n/4. O mesmo vale para o cálculo de qualquer outro decil ou percentil. Veja isso na questão abaixo: 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� �������������������������������������������� B = {1, 5, 9} Essas duas amostras tem o mesmo desvio padrão, que é igual a 4. Ocorre que a primeira tem uma média de idades (85) bem maior que a segunda (5). Assim, aquele desvio padrão de 4 anos é bem pequeno, quando comparado com as idades da primeira amostra, mas é bem grande quando comparado com as idades da segunda amostra. Os coeficientes de variação são: CVA = 4 / 85 = 4,7% CVB = 4 / 5 = 80,0% Assim sendo, podemos afirmar que a amostra B é bem mais dispersa/variada que a amostra A. De fato, se imaginarmos um conjunto de crianças com 1, 5 e 9 anos, temos uma dispersão muito maior do que quando vemos 3 idosos de 81, 85 e 89 anos. Enquanto a criança de 1 ano nem fala direito, a de 9 anos já lê e escreve! Já os idosos de 81 a 89 anos tem características bem mais parecidas entre si. Outras medidas de dispersão menos cobradas são: � Amplitude Total (AT): Trata-se da diferença entre o valor máximo observado (Xmáx.) e o valor mínimo (Xmín.) da variável X. Isto é, AT = Xmax – Xmín Na tabela de alturas que estávamos trabalhando, a menor altura era Xmín = 1,50m, e a maior altura era Xmáx = 1,83m. Portanto, neste caso, AT = 1,83 – 1,50 = 0,33m Assim, 33 centímetros separam a pessoa mais baixa da mais alta. � Amplitude interquartílica (Dq): Trata-se da diferença entre o 3º e 1º quartis: Dq = Q3 - Q1 Em nossa tabela de alturas, tínhamos Q1 = 1,52m e Q3 = 1,71m. Portanto, 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� �������������������������������������������� No caso das variáveis aleatórias contínuas, a fórmula da esperança é essencialmente a mesma, porém usando a Integral (operação que você não precisa conhecer). A título de curiosidade, seria: ( ) ( )E X x f x dx ∞ −∞ = ×� , onde f(x) é a função de densidade de probabilidade de X Finalizando, seguem algumas propriedades do Valor Esperado que julgo serem interessantes você conhecer: a) E(k) = k � a esperança de uma função constante é igual à própria constante. Ex.: se uma variável X é tal que só assume o valor k = 7, então E(X) = 7. b) E(aX + b) = aE(X) + b � sendo a e b duas constantes, a variável aleatória Y = aX + b tem o valor esperado igual a aE(X) + b. Ex.: sendo Y = 2X + 1, então: E(Y) = E(2X + 1) = 2E(X) + 1 c) E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) � sendo X e Y duas variáveis aleatórias, então a esperança da variável Z = aX + bY é igual a aE(X) + bE(Y). Ex.: sendo Z = 2X + 3Y, então: E(Z) = E(2X + 3Y) = 2E(X) + 3E(Y) 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� �������������������������������������������� 2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS Passemos agora a uma bateria de exercícios sobre todos os tópicos vistos na aula de hoje. Tente resolvê-los antes de ler a minha resolução! E já vá preparando o seu resumo com as fórmulas mais importantes! ATENÇÃO : esta bateria é formada exclusivamente por questões de outras bancas. Como o CESPE costuma ser bastante exigente em questões de Estatística, o ideal é você treinar bastante em questões de outras bancas, para sedimentar os conhecimentos, e então partir para a bateria de questões CESPE (que se encontra no tópico 3 desta aula) com um domínio maior sobre a matéria. Se você tem mais facilidade com Estatística, e está sem tempo disponível, talvez seja melhor ir direto para a bateria CESPE! 17. ESAF – IRB – 2006) Histograma e Polígono de freqüência são a) a mesma representação gráfica (idênticas) de uma distribuição de freqüência. b) um texto descritivo e uma representação gráfica de uma distribuição de freqüência. c) um texto descritivo e uma função gráfica de uma distribuição de freqüência. d) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência. e) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência, porém com sentidos opostos. RESOLUÇÃO: O histograma é o gráfico barras com a distribuição de freqüências. Já o polígono de freqüências é o gráfico de linha representando essa mesma distribuição de freqüências, porém utilizando apenas os limites superiores de cada classe. Assim, ambos são representações gráficas de uma distribuição de freqüências. Resposta: D 18. FCC – BACEN – 2006) A média aritmética dos salários dos 100 empregados em uma empresa é de R$ 1500,00. Na hipótese de serem demitidos 20 empregados, que ganham cada um o salário de R$ 2500,00, e ser concedido, 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� �������������������������������������������� 400 4 550 8 1000 10 1400 16 1800 2 1050 4 8 10 16 2 Média × + × + × + × + ×= = + + + + Resposta: E21. FCC – Banco do Brasil – 2011) Palmira faz parte de um grupo de 10 funcionários do Banco do Brasil cuja média das idades é 30 anos. Se Palmira for excluída do grupo, a média das idades dos funcionários restantes passa a ser 27 anos. Assim sendo, a idade de Palmira, em anos, é (A) 60. (B) 57. (C) 54. (D) 52. (E) 48. RESOLUÇÃO: Seja P a idade de Palmira e S a soma das idades dos 9 colegas restantes. Como a média destes 9 colegas seria 27 anos, então: Média dos restantes = S / 9 27 = S / 9 S = 27 x 9 = 243 anos Como a média total, incluindo a idade de Palmira, é de 30 anos, temos que: Média = (S + P) / 10 30 = (243 + P) / 10 P = 57 anos Resposta: B 22. FCC – BANESE – 2012) O número de caixas eletrônicos disponíveis em cada agência de um banco varia de acordo com o tamanho da agência. O gráfico a seguir mostra como estão distribuídos esses caixas nas várias agências. 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� �������������������������������������������� Obs.: veja que quando trabalhamos com frequências relativas (%) não precisamos dividir pela soma das frequências para obter a média. Isto porque a soma das frequências relativas é de 100%, ou seja, 1. 24. FCC – TRE/SP – 2012) Em uma empresa trabalham 125 funcionários, sendo 45 com nível superior e 80 com nível médio. A média aritmética dos salários dos funcionários com nível superior supera a dos funcionários com nível médio em R$ 1.750,00 e a média aritmética de todos os 125 funcionários é igual a R$2.880,00. O valor da soma da média aritmética dos salários dos funcionários com nível superior com a média aritmética dos salários dos funcionários com nível médio é (A) R$ 6.000,00. (B) R$ 6.250,00. (C) R$ 6.500,00. (D) R$ 6.750,00. (E) R$ 7.000,00. RESOLUÇÃO: Seja S a soma dos salários dos funcionários de nível superior, e M a soma dos salários dos funcionários de nível médio. Portanto, as respectivas médias salariais são: Média nível superior = S / 45 Média nível médio = M / 80 Média total = (S + M) / 125 A média aritmética dos salários dos funcionários com nível superior supera a dos funcionários com nível médio em R$ 1.750,00: Média nível superior – Média nível médio = 1750 S / 45 - M / 80 = 1750 S / 45 = 1750 + M / 80 S = 78750 + 45M / 80 A média aritmética de todos os 125 funcionários é igual a R$ 2.880,00: Média total = (S + M) / 125 2880 = (S + M) / 125 S + M = 360000 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� �������������������������������������������� possui salário R$2000,00 e o termo 26 possui salário R$2500,00. Assim, a mediana será (2000 + 2500)/2 = 2250 reais. Por fim, a média é simplesmente: 1 1 1000 5 1500 10 2000 10 2500 12 3000 8 3500 3 4000 2 50 n i i i n i i X F Média F = = × × + × + × + × + × + × + ×= = � � 2250Média= Portanto, a média é igual à mediana, e a moda é superior a esses dois. Resposta: C 32. ESAF – AFRFB – 2009) Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta: 29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28. a) A média e a mediana das idades são iguais a 27. b) A moda e a média das idades são iguais a 27. c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074. e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27. RESOLUÇÃO: A mediana será a idade abaixo da qual se encontrarem metade das freqüências. O primeiro passo aqui é colocar as idades em ordem: 23, 23, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 26, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 28, 28, 28, 28, 29, 29, 29, 30, 31, 32, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 41 Assim, temos ao todo n = 37 frequências. A mediana será a idade localizada na posição (n+1)/2 = (37+1)/2 = 19. Note que a 19ª posição é ocupada pela idade 27. Assim, mediana = 27. 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� �������������������������������������������� b) A diferença entre a variância e o desvio padrão de uma seqüência de números é nula somente no caso em que a variância e o desvio padrão são iguais a zero. Falso. Para que a diferença entre a variância e o desvio padrão seja nula, é preciso que eles sejam iguais. Sabendo que a variância ( 2σ ) é igual ao quadrado do desvio padrão (σ ), vejamos os casos onde eles podem ser iguais: 2σ σ= Essa igualdade é respeitada quando 0σ = . Mas repare que ela também é respeitada quando 1σ = , afinal 1 = 12. Item Falso. c) Em qualquer distribuição de valores, a diferença entre a média e a moda é sempre maior ou igual a zero. Numa distribuição simétrica, pode ser que a média e a moda sejam iguais, tornando a diferença igual a zero. Além disso, pode ser que a moda seja maior que a média, de modo que a diferença entre eles é menor que zero. Item Falso. d) Multiplicando todos os valores de uma seqüência de números positivos por um número positivo tem-se que o respectivo coeficiente de variação não se altera. O coeficiente de variação é dado pela divisão entre desvio padrão e média. Sabemos que, ao multiplicar todos os valores de uma amostra por um número, a média é multiplicada por aquele número, assim como o desvio padrão. Portanto, a divisão entre eles não se altera. Item Verdadeiro. e) O coeficiente de variação correspondente a uma série de números positivos é igual à divisão do quadrado da respectiva média aritmética pela variância. O coeficiente de variação é igual à divisão do desvio padrão pela média aritmética. Item Falso. Resposta: D 44. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Considerando as respectivas definições e propriedades relacionadas às medidas de posição e de variabilidade, é correto afirmar: 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� �������������������������������������������� a) Dividindo todos os valores de uma sequência de números estritamente positivos por 4, tem-se que o respectivo desvio padrão fica dividido por 2 b) Em qualquer distribuição de valores em estudo, a diferença entre a mediana e a moda é sempre diferente de zero c) Concedendo um reajuste de 10% em todos os salários dos empregados de uma empresa, tem-se também que a respectiva variância fica multiplicada por 1,10 d) Definindo o coeficiente de variação (CV) como sendo o quociente da divisão do desvio padrão pela respectiva média aritmética (diferente de zero) de uma sequência de valores, tem-se então que CV também poderá ser obtido dividindo a correspondente variância pelo quadrado da média e) Subtraindo um valor fixo de cada salário dos funcionários de uma empresa, tem- se que o respectivo desvio padrão dos novos valores é igual ao valor do desvio padrão dos valores anteriores. RESOLUÇÃO: Vamos analisar cada alternativa: a) Dividindo todos os valores de uma sequência de números estritamente positivos por 4, tem-se que o respectivo desvio padrão fica dividido por 2 Multiplicando ou dividindo todos os elementos de uma amostra por um número, o desvio padrão fica multiplicada ou dividido pelo mesmo número (e a variância pelo quadrado desse número). Item Falso. b) Em qualquer distribuição de valores em estudo, a diferença entre a mediana e a moda é sempre diferentede zero A mediana, moda e média podem ser iguais em distribuições simétricas. Neste caso, a diferença entre mediana e moda é igual a zero. Item Falso. c) Concedendo um reajuste de 10% em todos os salários dos empregados de uma empresa, tem-se também que a respectiva variância fica multiplicada por 1,10 Multiplicando todos os elementos de uma amostra por um número, a variância é multiplicada pelo seu quadrado. Neste caso, por 1,21. Item Falso. d) Definindo o coeficiente de variação (CV) como sendo o quociente da divisão do desvio padrão pela respectiva média aritmética (diferente de zero) de uma 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� A) ambos os conjuntos apresentam a mesma média, porém o conjunto 1 possui maior variância B) ambos os conjuntos apresentam a mesma média, porém o conjunto 2 possui maior variância C) o conjunto 1 possui maior média e menor variância em relação ao conjunto 2 D) o conjunto 1 possui menor média e maior variância em relação ao conjunto 2 E) o conjunto 1 possui maior média e maior variância em relação ao conjunto 2 RESOLUÇÃO: Calculando a média de cada conjunto temos: Conjunto 1 = (12 + 3 + 7 + 9 + 4) / 5 = 7 Conjunto 2 = (7 + 5 + 5 + 6 + 8) / 5 = 6,2 Como o conjunto possui maior média, ficamos entre as alternativas C e E. Precisamos avaliar qual conjunto possui maior variância. Ao invés de efetuar o cálculo da variância de cada conjunto, observe que os dados do conjunto 1 estão bem espalhados em relação a média (7), havendo valores extremos como 3 e 12. No conjunto 2, os dados encontram-se mais próximos da média (6,2), variando entre 5 e 8 apenas. Portanto, certamente o conjunto 1 possui maior variância que o conjunto 2. Resposta: E 66. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2013) O comprimento de um determinado tipo de barra de ferro produzido por uma metalúrgica possui uma variância igual a 4cm2. Pode-se dizer que o desvio padrão desse comprimento vale: A) 1 cm B) 2 cm C) 2 cm2 D) 16 cm E) 16 cm2 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� Verdadeiro. Somando as freqüências relativas simples das linhas de 2.000, 2.500 e 3.000 reais, temos 20% + 24% + 16% = 60%. (E) ganham 1.500 ou 3.500 reais. Falso. Somando as freqüências relativas simples das linhas de 1.500 e 3.000 reais, temos 20% + 16% = 36%. Resposta: C 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� 3. BATERIA DE QUESTÕES CESPE Agora que você já praticou bastante, vamos enfrentar as questões do CESPE! 71. CESPE – SERPRO – 2008) Uma empresa de consultoria realizou um levantamento estatístico para obter informações acerca do tempo (T) gasto por empregados de empresas brasileiras na Internet em sítios pessoais durante suas semanas de trabalho. Com base em uma amostra aleatória de 900 empregados de empresas brasileiras com um regime de trabalho de 44 h semanais, essa empresa de consultoria concluiu que cada empregado gasta, em média, 6 h semanais na Internet em sítios pessoais durante uma semana de trabalho; 50% dos empregados gastam 5 h semanais ou mais na Internet em sítios pessoais durante uma semana de trabalho; e o desvio padrão do tempo gasto na Internet em sítios pessoais durante o regime de trabalho é igual a 4 h semanais por empregado. Com base nas informações da situação hipotética acima descrita, julgue os itens a seguir. ( ) Os empregados observados no levantamento gastaram, em média, mais de 12% do regime de trabalho semanal na Internet em sítios pessoais. ( ) Os tempos gastos na Internet em sítios pessoais durante o regime de trabalho pelos empregados observados no levantamento foram superiores a 2 h e inferiores a 10 h semanais. ( )A mediana da distribuição dos tempos gastos na Internet é superior a 5,5 h/semana. ( ) Considerando que o tempo útil semanal do regime de trabalho seja a diferença U = 44 – T (em horas), o desvio padrão de U será inferior a 5 h. RESOLUÇÃO: ( ) Os empregados observados no levantamento gastaram, em média, mais de 12% do regime de trabalho semanal na Internet em sítios pessoais. Os empregados gastaram, em média, 6 das 44 horas do regime de trabalho semanal em sítios pessoais. Veja que 6/44 = 0,136 = 13,6%. Portanto, os empregados gastaram, em média, mais de 12% do tempo em sítios pessoais. Item CERTO. 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� De acordo com dados do IBGE, em 2007, 6,4% da população brasileira tinha 65 anos de idade ou mais e, em 2050, essa parcela, que constitui o grupo de idosos, corresponderá a 18,8% da população. Com base nessas informações e nas apresentadas na tabela acima, julgue os itens seguintes. ( ) Segundo o IBGE, em 2007, para cada idoso com 65 anos de idade ou mais, havia, em média, pelo menos, quatro crianças de 0 a 14 anos de idade. Em 2050, para cada idoso com 65 anos de idade ou mais, haverá, em média, no máximo, uma criança de 0 a 14 anos de idade. ( ) Considere-se que os anos de idade estejam distribuídos de forma eqüiprovável na faixa de 15 a 18 anos. Nessa situação, a média e a mediana das idades nessa faixa serão ambas iguais a 16,5 anos. RESOLUÇÃO: Vamos analisar separadamente cada um dos itens: ( ) Segundo o IBGE, em 2007, para cada idoso com 65 anos de idade ou mais, havia, em média, pelo menos, quatro crianças de 0 a 14 anos de idade. Em 2050, para cada idoso com 65 anos de idade ou mais, haverá, em média, no máximo, uma criança de 0 a 14 anos de idade. 6,4% da população tinha 65 anos ou mais em 2007. Consultando a tabela fornecida, vemos que neste mesmo período 27,5% da população tinha de 0 a 14 anos. Assim, naquele ano tínhamos 6,4 idosos para cada grupo de 27,5 crianças. A regra de três abaixo nos permite obter a quantidade de crianças para 1 idoso: 6,4 idosos ------------------- 27,5 crianças 1 idoso -------------------- X 6,4 1 27,5 4,29 X X crianças × = × = Assim, é correto dizer que em 2007 havia pelo menos 4 crianças para cada idoso. Em 2050 teremos 18,8% de idosos e 17,7% de crianças. Observando que o percentual de crianças é ligeiramente inferior ao de idosos, podemos dizer que 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� idades daqueles que estudam no turno matutino ( 2Mσ ) é igual à variância das idades dos estudantes do turno vespertino ( 2Vσ ). Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. ( ) O número médio de estudantes por turma no turno matutino é 50% maior que o número médio de estudantes por turma no turno vespertino. ( ) A média das idades dos dois mil estudantes da referida escola é 4% maior que a média das idades da parcela dos estudantes que estão matriculados no turno matutino. ( ) Se a mediana das idades dos 2 mil estudantes da escola em questão for igual a 10 anos, então haverá, pelo menos, 200 estudantes no turno matutino com idades iguais ou inferiores a 10 anos. RESOLUÇÃO: ( ) O número médio de estudantes por turma no turno matutinoé 50% maior que o número médio de estudantes por turma no turno vespertino. Temos 2000 estudantes ao todo, dos quais 60% estão no turno matutino. Isto quer dizer que o número de alunos no turno matutino é igual a 0,60 x 2000 = 1200. Da mesma forma, no turno vespertino estudam 0,40 x 2000 = 800 alunos. Como temos 50 turmas em cada período, a média de alunos por turma no turno matutino é de 1200 / 50 = 24. E a média de alunos por turma no turno vespertino é de 800 / 50 = 16. Assim, é CORRETO dizer que a média de alunos por turma no turno matutino é 50% maior que no vespertino, pois 24/16 = 1,50 (ou seja, 24 = 16 + 50% x 16). ( ) A média das idades dos dois mil estudantes da referida escola é 4% maior que a média das idades da parcela dos estudantes que estão matriculados no turno matutino. Imagine que a média de idade dos alunos do turno matutino é M. Como a média de idade do turno vespertino é 10% maior, podemos dizer que esta média é de 1,10xM, ou simplesmente 1,1M. Lembrando que 60% dos alunos estão no turno matutino e 40% no vespertino, a média de idades total dos alunos é: 60% 40% 1,1 1,04Média M M M= × + × = 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� C) Mais de 65% do custo médio nacional do metro quadrado é relativo às despesas com materiais de construção. Do total de 670 reais, temos que 400 referem-se a materiais. Para obter o percentual representado pelos materiais, podemos usar a regra de três abaixo: 670 ---------------- 100% 400 ---------------- X X = 59,7% Veja que os materiais representam menos de 65% do total. Portanto, o item está ERRADO. D) O custo médio por metro quadrado relativo à região Sudeste é 10% superior ao custo relativo à região Nordeste. O custo da região Nordeste é de 630, enquanto o da Sudeste é de 700. Para saber quanto o custo da região Sudeste representa em relação a região Nordeste, temos: 630 ---------------- 100% 700 ---------------- X X = 111,1% Portanto, o custo da região Sudeste é 11,1% (isto é, 111,1% - 100%) superior ao da região Nordeste. Item ERRADO. Resposta: B 76. CESPE – CEHAP/PB – 2009) O desvio padrão dos custos médios regionais por metro quadrado foi A) inferior a R$ 30,00. B) superior a R$ 30,01 e inferior a R$ 40,00. C) superior a R$ 40,01 e inferior a R$ 50,00. D) superior a R$ 50,01 RESOLUÇÃO: O cálculo do desvio padrão pode ser feito como vemos abaixo, lembrando que a média é 670X = e n = 5: 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� ( ) A média do conjunto de dados em questão é 102,87 e a mediana é 98,40. Se o valor 123,07 for alterado para 200, a média irá aumentar, mas a mediana continuará sendo 98,40. ( ) Se o valor de um dos elementos do conjunto não for fornecido, esse valor pode ser determinado se a média do conjunto for conhecida, mas não será possível obter esse valor conhecendo-se apenas a mediana. RESOLUÇÃO: ( ) Em uma distribuição de dados unimodal, se a média e a mediana forem iguais, não é possível determinar o valor da moda se todos os dados não estiverem disponíveis. ERRADO, pois é possível determinar o valor da moda ainda que algum valor esteja faltando. Exemplificando, veja a seguinte distribuição: {1; 1; 1; 1; 3,74; 6; 6; 7; 7}. Ela possui média igual a 3,74 e mediana também igual a 3,74. Ainda que não soubéssemos um dos valores, já seria possível determinar que a moda é igual a 1. Exemplificando, se tivéssemos: {1; 1; 1; 1; 3,74; X; 6; 7; 7}, onde o X representa um valor desconhecido, já poderíamos afirmar que a moda é igual a 1, independente do valor que X venha a assumir. Obs.: a banca anulou este item por considerar que a redação prejudicou o julgamento objetivo. ( ) A média do conjunto de dados em questão é 102,87 e a mediana é 98,40. Se o valor 123,07 for alterado para 200, a média irá aumentar, mas a mediana continuará sendo 98,40. A média do conjunto {82,93; 94,54; 98,40; 115,41; 123,07} pode ser calculada somando-se todos os elementos (total = 514,35) e dividindo-se pela quantidade de elementos (5). Assim, obtém-se o valor 102,87. A mediana é o termo central. Como n = 5, a mediana é o 3º termo, que é igual a 98,40. Trocando-se o último valor por um número maior (200), a média naturalmente vai aumentar, pois ela é influenciada por todos os elementos da distribuição. Já a mediana não será alterada, pois ela continua sendo igual ao termo central, que manteve-se em 98,40. Item CORRETO. 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� 89. CESPE – CORREIOS – 2011) Julgue os itens seguintes, relacionados aos conceitos de estatística. ( ) Quando a variável é qualitativa, a única medida de tendência que se pode utilizar é a moda. ( ) Variância, desvio padrão e coeficiente de variação são tipos diferentes de medidas de dispersão. ( ) A característica fundamental de uma distribuição simétrica, como a normal e a t- Student, é apresentar média, moda e mediana iguais. ( ) Define-se variável como o conjunto de resultados possíveis para uma característica avaliada. RESOLUÇÃO: ( ) Quando a variável é qualitativa, a única medida de tendência que se pode utilizar é a moda. Vamos utilizar como exemplo a variável Escolaridade, que já vimos ser qualitativa. Se, em uma amostra, sabemos que 5 pessoas tem nível fundamental, 10 tem nível médio, 15 tem nível superior e 1 tem pós graduação, quais medidas de posição (ou tendência central) podemos calcular? Ora, descabido é calcular a média, afinal não faz sentido somar 5 fundamental + 5 médio + 15 superior + 1 pós, e muito menos dividir por qualquer coisa. O mesmo vale para a mediana, cujo cálculo exige que trabalhemos com variáveis numéricas e que possam ser ordenadas da menor para a maior. Já a moda é definida como sendo o valor que mais se repete. Neste exemplo, claramente a moda é “nível superior”, que é o valor que possui o maior número de freqüências. Item CORRETO. ( ) Variância, desvio padrão e coeficiente de variação são tipos diferentes de medidas de dispersão. CORRETO. As três medidas de dispersão, ou variabilidade, que estudamos foram exatamente a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação. Elas medem quão próximos ou quão dispersos/afastados encontram-se os dados de determinada amostra ou população. 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� ( ) Considerando-se os três intervalos de classe centrais, é correto afirmar que a distribuição dos dados da tabela acima é aproximadamente simétrica em torno da média. ( ) A moda da distribuição se encontra no mesmo intervalo de classe que contempla a mediana e a média. ( ) A média e a mediana do número de eleitores que não votaram estão entre 4.000 e 6.000. ( ) Na tabela de frequências, o uso de intervalos de classe permite concluir que a variável em questão é contínua. RESOLUÇÃO: ( ) Considerando-se os três intervalos de classe centrais, é correto afirmar que a distribuição dos dados da tabela acima é aproximadamente simétrica em torno da média. Vamos representar graficamente os três intervalos de classe centrais: Observe que, de fato, temos um gráfico simétrico. Isto poderia ser percebido com a mera análise da tabela,afinal tanto à direita quanto à esquerda da classe com 3000 frequências temos classes com 1000 frequências cada. Item CORRETO. ( ) A moda da distribuição se encontra no mesmo intervalo de classe que contempla a mediana e a média. 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� ( ) A variável “cargo” classifica-se como uma variável qualitativa ordinal. RESOLUÇÃO: ( ) O histograma é a representação gráfica ideal para a distribuição de frequências do número de candidatos aptos segundo o cargo pretendido. Recorde-se da nossa definição de histograma: gráfico de barras que representa, no seu eixo horizontal, as classes de valores que uma variável pode assumir, e em seu eixo vertical os valores das frequências de cada classe. Entretanto, a variável “cargo” é qualitativa. Assim, por mais que possamos ordenar os cargos do menor para o maior, não podemos mensurar a diferença entre eles para dispor na escala horizontal do gráfico. É possível, sim, fazer um gráfico de barras que represente a variável cargo, mas este gráfico NÃO é um histograma, que representa apenas variáveis quantitativas. Item ERRADO. ( ) A variável “cargo” classifica-se como uma variável qualitativa ordinal. CORRETO. A variável “cargo” é qualitativa, como já dissemos, e os seus valores podem ser ordenados do menor para o maior (de deputado estadual/distrital até presidente da república). Assim, esta variável é “ordinal”. Se não pudéssemos ordenar, esta variável seria qualitativa nominal. Um exemplo é a variável “sexo das pessoas”. Esta variável pode assumir dois valores qualitativos (masculino e feminino), porém estes valores não podem ser colocados em uma ordem crescente. Resposta: E C 93. CESPE – MS – 2010) 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� Vejamos novamente a tabela fornecida no enunciado: Repare que, a cada ano, o valor de X é maior ou igual ao dobro de Y, sendo igual apenas nos anos de 2003 e de 2007. Portanto, é correto dizer que X foi, pelo menos, duas vezes maior que Y neste período. Item CORRETO. Resposta: C C E C E E C 95. CESPE – Banco do Brasil – 2002) 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� Acerca das informações apresentadas no texto acima e dos temas a ele correlatos, julgue os itens a seguir. ( ) No primeiro semestre de 2003, a média diária de obtenção de novos clientes no BB foi inferior a 5.000. ( ) A moda e a mediana da seqüência numérica formada pelo número de clientes pessoa jurídica do BB em cada final de trimestre representado no gráfico são iguais RESOLUÇÃO: ( ) No primeiro semestre de 2003, a média diária de obtenção de novos clientes no BB foi inferior a 5.000. Veja que aqui não foi feita distinção entre clientes pessoa física e pessoa jurídica, portanto devemos soma-los para efetuar a análise. Como pode ser visto no gráfico, ao final de 2002 (ou 4T02), o banco possuía 15,4 milhões de clientes. E, ao final do primeiro semestre de 2003 (ou 2T03), o número de clientes chegou a 16,7 milhões. Assim, houve um acréscimo de 16,7 – 15,4 = 1,3 milhões de clientes no semestre. Considerando que o semestre possui cerca de 182 dias, a média de novos clientes por dia foi aproximadamente: Média = 1.300.000 / 182 = 7.142 Este número é superior a 5.000, tornando o item ERRADO. ( ) A moda e a mediana da seqüência numérica formada pelo número de clientes pessoa jurídica do BB em cada final de trimestre representado no gráfico são iguais Colocando os dados em ordem crescente, temos: {0,9; 1,0; 1,0; 1,0; 1,1} A moda claramente é igual a 1,0, pois este valor possui 3 repetições, enquanto os demais possuem apenas uma cada. 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� ( ) Em uma amostra com assimetria positiva, observa-se que a média é igual à moda e que a mediana está deslocada à direita da média. RESOLUÇÃO: ERRADO. Reveja abaixo uma exemplo de amostra com assimetria positiva, ou seja, com uma concentração de frequências na parte esquerda do gráfico em uma longa cauda se estendendo para a direita, ou seja, no sentido positivo do eixo horizontal. Repare que neste caso a moda é o menor valor, seguido pela mediana, e a média é o maior valor: Resposta: E 100. CESPE – CPRM – 2013) Amostra 1 2 3 4 5 X 100 120 90 100 110 A tabela acima apresenta os resultados de um estudo estatístico realizado para avaliar o teor de óxidos de ferro (X, em g/kg) no solo de determinada região. As amostras foram coletadas nos pontos de cruzamento de uma malha georreferenciada. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. ( ) A variância amostral de X é inferior ou igual a 130 g2/kg2. ( ) A moda da distribuição das amostras é igual a 100 g/kg. ( ) A mediana amostral de X é igual a 90 g/kg. RESOLUÇÃO: ( ) A variância amostral de X é inferior ou igual a 130 g2/kg2. 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� A tabela acima mostra a distribuição da quantidade Q de pessoas transportadas, incluindo o condutor, por veículo de passeio circulando em determinado município, obtida como resultado de uma pesquisa feita nesse município para se avaliar o sistema de transporte local. Nessa tabela, P representa a porcentagem dos veículos de passeio circulando no município que transportam Q pessoas, para Q = 1, ..., 5. Com base nessas informações, julgue os seguintes itens. ( ) A quantidade de pessoas transportadas por veículo de passeio circulando no município é distribuída em torno do valor 3, que representa a mediana da distribuição descrita. Como ocorre a concentração de muitos casos abaixo desse valor, essa distribuição possui assimetria negativa. ( ) Como a tabela mostrada apresenta sequência decrescente dos percentuais à medida que o valor da quantidade Q aumenta, a distribuição descrita apresenta curtose negativa. ( ) Em média, cada veículo de passeio que circula no referido município transporta duas pessoas. Portanto, se, em determinado momento, houver 10 mil veículos circulando nesse município, a quantidade esperada de pessoas que estão sendo transportadas por todos esses veículos, incluindo-se os condutores, será igual a 20 mil. ( ) Como a moda da distribuição descrita representa a maior frequência observada, seu valor é igual a 50%. RESOLUÇÃO: ( ) A quantidade de pessoas transportadas por veículo de passeio circulando no município é distribuída em torno do valor 3, que representa a mediana da distribuição descrita. Como ocorre a concentração de muitos casos abaixo desse valor, essa distribuição possui assimetria negativa. ERRADO. Em primeiro lugar, a mediana deste conjunto não é igual a 3. Além disso, quando temos um pico de frequência na parte esquerda do gráfico (ou seja, em Q = 1) e uma longa cauda para a direita, que é o sentido positivo do eixo das quantidades, estamos diante de uma distribuição com assimetria positiva. Veja o gráfico dessa distribuição: 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ��������������������������������������������� ��������������������������������������������� Repare que a mediana é igual a 1, pois metade (50%) das frequências são iguais ou inferiores a este valor. ( ) Como a tabela mostrada apresenta sequência decrescente dos percentuais à medida que o valor da quantidade Q aumenta, a distribuição descrita apresenta curtose negativa. ERRADO. Em primeiro lugar, a curtose é representada por um índice que sempre é positivo. Além disso, lembre-se que a curtose está relacionada com o grau de achatamento da distribuição. ( ) Em média, cada veículo de passeio que circula no referido município transporta duas pessoas. Portanto, se, em determinado momento, houver 10 mil veículos circulando nesse município, a quantidade esperada de pessoas que estão sendo transportadas por todos esses veículos, incluindo-se os condutores, será igual a 20 mil. Podemos calcular o valor esperado de pessoas em cada veículo assim: E(X) = 1 x 50% + 2 x 20% + 3 x 15% + 4 x 10% + 5 x 5% E(X) = 2 � Portanto, se tivermos 10 mil veículos circulando, a quantidade esperada de pessoas é igual a 2 x 10.000 = 20.000. Item CORRETO. 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� referido município brasileiro é inferior à média das concentrações dessa mesma substância no sangue das pessoas do sexo masculino que trabalham nesses postos de combustível. ( ) O diagrama esquemático referente ao sexo feminino, em comparação com o referente ao sexo masculino, possui uma caixa (box) menor e pernas mais curtas, sugerindo que a variabilidade dos valores de concentração de chumbo no sangue das pessoas que trabalham em postos de combustível do referido município brasileiro é menor para as pessoas do sexo feminino que para as do sexo masculino. ( ) Há informações suficientes no diagrama apresentado para se concluir corretamente que 25% das pessoas do sexo feminino que trabalham em postos de combustível do referido município brasileiro apresentam concentrações de chumbo iguais ou superiores a 10 �g. dL-1 . Já o percentual de pessoas do sexo masculino que trabalha nesses postos e apresenta concentrações de chumbo iguais ou superiores a 10 �g· dL-1 é maior que 25%. ( ) A concentração mínima de chumbo encontrada entre as pessoas do sexo masculino que trabalham em postos de combustível do referido município brasileiro é a mesma daquela encontrada entre as pessoas do sexo feminino que trabalham nesses postos de combustível. ( ) A distribuição das concentrações de chumbo encontradas no sangue das pessoas do sexo feminino que trabalham nesses postos de combustível apresenta intervalo interquartílico inferior àquele apresentado pela distribuição referente às pessoas do sexo masculino que trabalham nesses postos de combustível. ( ) A quantidade de pessoas do sexo masculino e do sexo feminino que trabalha nos referidos postos de combustível e que apresenta concentrações de chumbo no sangue inferiores a 5 �g· dL-1 é igual ou menor que 50 e 25, respectivamente. RESOLUÇÃO: ( ) Com base nas linhas horizontais que cortam as caixas do diagrama apresentado, conclui-se corretamente que a média das concentrações de chumbo encontradas no sangue das pessoas do sexo feminino que trabalham em postos de combustível do referido município brasileiro é inferior à média das concentrações dessa mesma substância no sangue das pessoas do sexo masculino que trabalham nesses postos de combustível. 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� ERRADO, pois sabemos o que o diagrama box plot não apresenta o valor da média das distribuições. ( ) O diagrama esquemático referente ao sexo feminino, em comparação com o referente ao sexo masculino, possui uma caixa (box) menor e pernas mais curtas, sugerindo que a variabilidade dos valores de concentração de chumbo no sangue das pessoas que trabalham em postos de combustível do referido município brasileiro é menor para as pessoas do sexo feminino que para as do sexo masculino. CORRETO. No diagrama box plot temos a representação dos valores da mediana, primeiro e terceiro quartis, além dos limites inferior e superior. Como o diagrama feminino é menos "espalhado" quem é o masculino, podemos concluir que há menor variabilidade entre as mulheres. ( ) Há informações suficientes no diagrama apresentado para se concluir corretamente que 25% das pessoas do sexo feminino que trabalham em postos de combustível do referido município brasileiro apresentam concentrações de chumbo iguais ou superiores a 10 �g. dL-1 . Já o percentual de pessoas do sexo masculino que trabalha nesses postos e apresenta concentrações de chumbo iguais ou superiores a 10 �g· dL-1 é maior que 25%. CORRETO. Repare que a parte superior da caixa da distribuição feminina, que representa o 3º quartil, está exatamente em cima da linha de 10. Isto significa que 75% das mulheres estão abaixo desse valor, de modo que as 25% restantes possuem concentrações iguais ou superiores a este valor. No caso dos homens, vemos que a linha de 10 se encontra abaixo do terceiro quartil, de modo que mais de 25 por cento dos homens possuem concentrações superiores. ( ) A concentração mínima de chumbo encontrada entre as pessoas do sexo masculino que trabalham em postos de combustível do referido município brasileiro é a mesma daquela encontrada entre as pessoas do sexo feminino que trabalham nesses postos de combustível. CORRETO, pois os valores mínimos em ambos os gráficos são iguais. 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� Setor 2 488,37 493,73 547,72 552,66 567,94 571,49 572,26 582,00 583,63 594,77 598,46 619,25 624,20 631,03 634,51 637,21 655,70 657,56 663,81 670,12 671,90 673,78 684,69 685,98 693,35 698,58 708,78 719,80 721,16 734,84 735,94 746,34 754,83 756,10 756,96 760,80 762,29 766,24 770,11 797,73 804,06 805,97 807,29 832,83 844,00 866,77 878,27 897,09 943,10 963,25 Considerando essas informações, julgue os itens. ( ) Os gráficos localizados à direita, na figura, denominam-se histogramas e são úteis para identificar a forma da distribuição dos valores. Nessa figura, eles indicam que as distribuições das despesas são aproximadamente simétricas. ( ) A mediana das despesas registradas pelos servidores do setor 2 é igual a R$693,35. ( ) A despesa média com transporte dos servidores do setor 1 é superior a R$500,00. ( ) Na amostra do setor 2, a frequência relativa das despesas entre R$ 700,00 e R$799,99 é superior a 20%. ( ) Trinta por cento das despesas dos servidores do setor 1 correspondem a um valor superior a R$ 525,00. ( ) A distribuição das despesas dos servidores do setor 2 apresenta um aspecto bimodal, com duas classes com a mesma frequência. RESOLUÇÃO: ( ) Os gráficos localizados à direita, na figura, denominam-se histogramas e são úteis para identificar a forma da distribuição dos valores. Nessa figura, eles indicam que as distribuições das despesas são aproximadamente simétricas. ERRADO, pois esses gráficos são conhecidos como box plot. ( ) A mediana das despesas registradas pelos servidores do setor 2 é igual a R$693,35. 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� ( ) Na amostra do setor 2, a frequência relativa das despesasentre R$ 700,00 e R$799,99 é superior a 20%. CORRETO. Veja que 14 das 50 frequências encontram-se neste intervalo. Portanto, a freqüência relativa deste intervalo é igual a 14 / 50 = 0,28 = 28%. ( ) Trinta por cento das despesas dos servidores do setor 1 correspondem a um valor superior a R$ 525,00. Marquei em vermelho os casos onde a despesa foi superior a 525 reais. Repare que são 15 situações. Percentualmente, elas representam 15/50 = 0,3 = 30%. Item CORRETO. Setor 1 308,73 311,80 358,33 359,89 371,53 379,82 383,76 388,66 391,53 394,65 414,60 416,38 418,34 419,42 427,85 428,58 432,06 436,61 442,49 450,53 450,98 452,35 471,70 473,11 476,76 481,46 484,89 490,07 499,87 500,52 502,06 513,80 514,39 521,96 522,18 526,42 528,76 531,53 547,91 572,66 591,43 596,99 609,44 632,15 639,71 677,48 683,76 688,76 723,79 767,53 ( ) A distribuição das despesas dos servidores do setor 2 apresenta um aspecto bimodal, com duas classes com a mesma frequência. Repare que temos um pico de frequências no intervalo entre 600 e 700 reais, onde existe 15 frequências. Esta é a classe modal, não havendo duas classes modais como informa este item. Item ERRADO. 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� encontrado para o grupo de moças, tem-se que a média aritmética dos dois grupos reunidos é de a) 162,0 cm b) 164,6 cm c) 164,8 cm d) 166,4 cm e) 168,2 cm 17. ESAF – IRB – 2006) Histograma e Polígono de freqüência são a) a mesma representação gráfica (idênticas) de uma distribuição de freqüência. b) um texto descritivo e uma representação gráfica de uma distribuição de freqüência. c) um texto descritivo e uma função gráfica de uma distribuição de freqüência. d) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência. e) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência, porém com sentidos opostos. 18. FCC – BACEN – 2006) A média aritmética dos salários dos 100 empregados em uma empresa é de R$ 1500,00. Na hipótese de serem demitidos 20 empregados, que ganham cada um o salário de R$ 2500,00, e ser concedido, posteriormente, um aumento de 10% em todos os salários dos remanescentes, a nova média aritmética dos salários será de a) R$ 1 375,00 b) R$ 1 350,00 c) R$ 1 345,00 d) R$ 1 320,00 e) R$ 1 300,00 19. FCC – BACEN – 2006) O histograma de freqüências absolutas a seguir foi elaborado com base nas informações contidas na revista “O Empreiteiro”, de junho de 2005, que demonstra o comportamento das empresas construtoras do ramo da 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� Com relação a este levantamento e às medidas de posição, tem-se que (A) a média aritmética, a mediana e a moda possuem o mesmo valor. (B) o valor da média aritmética e o valor da mediana superam, cada um, o valor da moda em R$ 250,00. (C) o valor da moda é superior ao valor da média aritmética e também ao valor da mediana. (D) o valor da moda é igual ao valor da mediana, porém supera o valor da média aritmética. (E) a soma dos valores da média aritmética, da mediana e da moda é igual a R$ 7.250,00. 32. ESAF – AFRFB – 2009) Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta: 29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28. a) A média e a mediana das idades são iguais a 27. b) A moda e a média das idades são iguais a 27. c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074. e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27. 33. FCC – ARCE – 2012) A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências da variável X, que representa o número de empregados numa amostra de 100 indústrias. 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� (D) 2,0. (E) 2,4. 47. FGV – ICMS/RJ – 2011) Em uma repartição, foi tomada uma amostra do número de filhos de 4 funcionários. O resultado foi {2, 1, 4, 2}. A média geométrica simples dessa amostra é (A) 2,25. (B) 1,75. (C) 2. (D) 2,4. (E) 2,5. 48. FGV – ICMS/RJ – 2007) Uma amostra de 100 servidores de uma repartição apresentou média salarial de R$ 1.700,00 com uma dispersão de R$ 240,00. Pode- se afirmar que: (A) a média aritmética não é uma boa medida para representar a amostra em função do elevado valor do desvio-padrão. (B) a melhor medida para representar a amostra é a remuneração por unidade de desvio-padrão. (C) a média aritmética pode perfeitamente representar os salários da amostra pelo fato de esta apresentar uma dispersão relativa inferior a 20%. (D) a amostra não é suficientemente grande para analisarmos o valor encontrado para a média dos salários. (E) o salário mediano representaria melhor a amostra devido ao alto nível de heterogeneidade dos salários na amostra. 49. FGV – ICMS/RJ – 2007) Considere as informações contidas no Box Plot abaixo, referente aos salários dos engenheiros de uma empresa, por sexo. 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� e) 1125,00 59. CEPERJ – SEE/RJ – 2009) Com relação à assimetria dessa distribuição de rendas, pode-se afirmar que se trata de uma distribuição: a) simétrica à direita b) com assimetria positiva c) com assimetria negativa d) assimétrica à esquerda e) com assimetria nula 60. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2012) Numa empresa, o salário médio das mulheres é de R$1.025,00, com um desvio padrão de R$410,00. Se, nessa empresa, o desvio padrão para o salário dos homens é de R$500,00 e o coeficiente de variação é o mesmo que o do salário das mulheres, então o salário médio dos homens é de: A) R$1.075,00 B) R$1.125,00 C) R$1.200,00 D) R$1.225,00 E) R$1.250,00 61. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2012) Sejam X1, X2, X3, ..., Xn os n valores assumidos por uma variável quantitativa discreta. Multiplicando-se cada um desses valores por k, onde k é uma constante positiva, pode-se afirmar que: A) a média aritmética fica multiplicada pela constante k e a variância não se altera B) a média aritmética fica acrescida da constante k e a variância não se altera C) a média aritmética fica multiplicada por k e a variância por k2 D) a média aritmética e a variância ficam multiplicadas por k E) nada se pode afirmar, pois os valores de X1, X2, X3, ..., Xn não são conhecidos 62. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2013) A avaliação dos alunos em determinada disciplina é feita por meio de 4 provas, que possuem peso diferente na composição 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� ( ) Com base nas linhas horizontais que cortam as caixas do diagrama apresentado, conclui-se corretamente que a média das concentrações de chumbo encontradas no sangue das pessoas do sexo feminino que trabalham em postos de combustível do referido município brasileiro é inferior à média das concentrações dessa mesma substânciano sangue das pessoas do sexo masculino que trabalham nesses postos de combustível. ( ) O diagrama esquemático referente ao sexo feminino, em comparação com o referente ao sexo masculino, possui uma caixa (box) menor e pernas mais curtas, sugerindo que a variabilidade dos valores de concentração de chumbo no sangue das pessoas que trabalham em postos de combustível do referido município brasileiro é menor para as pessoas do sexo feminino que para as do sexo masculino. ( ) Há informações suficientes no diagrama apresentado para se concluir corretamente que 25% das pessoas do sexo feminino que trabalham em postos de combustível do referido município brasileiro apresentam concentrações de chumbo iguais ou superiores a 10 �g. dL-1 . Já o percentual de pessoas do sexo masculino que trabalha nesses postos e apresenta concentrações de chumbo iguais ou superiores a 10 �g· dL-1 é maior que 25%. ( ) A concentração mínima de chumbo encontrada entre as pessoas do sexo masculino que trabalham em postos de combustível do referido município brasileiro é a mesma daquela encontrada entre as pessoas do sexo feminino que trabalham nesses postos de combustível. ( ) A distribuição das concentrações de chumbo encontradas no sangue das pessoas do sexo feminino que trabalham nesses postos de combustível apresenta intervalo interquartílico inferior àquele apresentado pela distribuição referente às pessoas do sexo masculino que trabalham nesses postos de combustível. ( ) A quantidade de pessoas do sexo masculino e do sexo feminino que trabalha nos referidos postos de combustível e que apresenta concentrações de chumbo no sangue inferiores a 5 �g· dL-1 é igual ou menor que 50 e 25, respectivamente. 103. CESPE – PRF – 2012) 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� Setor 2 488,37 493,73 547,72 552,66 567,94 571,49 572,26 582,00 583,63 594,77 598,46 619,25 624,20 631,03 634,51 637,21 655,70 657,56 663,81 670,12 671,90 673,78 684,69 685,98 693,35 698,58 708,78 719,80 721,16 734,84 735,94 746,34 754,83 756,10 756,96 760,80 762,29 766,24 770,11 797,73 804,06 805,97 807,29 832,83 844,00 866,77 878,27 897,09 943,10 963,25 Considerando essas informações, julgue os itens. ( ) Os gráficos localizados à direita, na figura, denominam-se histogramas e são úteis para identificar a forma da distribuição dos valores. Nessa figura, eles indicam que as distribuições das despesas são aproximadamente simétricas. ( ) A mediana das despesas registradas pelos servidores do setor 2 é igual a R$693,35. ( ) A despesa média com transporte dos servidores do setor 1 é superior a R$500,00. ( ) Na amostra do setor 2, a frequência relativa das despesas entre R$ 700,00 e R$799,99 é superior a 20%. ( ) Trinta por cento das despesas dos servidores do setor 1 correspondem a um valor superior a R$ 525,00. ( ) A distribuição das despesas dos servidores do setor 2 apresenta um aspecto bimodal, com duas classes com a mesma frequência. 02427978060 ������������ �� � ���� � �� ���� ������� � ���� ���� ���� ������ ������������� � ��!∀� � � � ������ ������������������������������������������ ��� ��������������������������������������������� 5. GABARITO 01 E 02 A 03 A 04 C 05 C 06 B 07 A 08 A 09 E 10 B 11 E 12 C 13 A 14 EE 15 C 16 C 17 D 18 A 19 B 20 E 21 B 22 D 23 D 24 B 25 B 26 B 27 C 28 D 29 C 30 B 31 C 32 E 33 A 34 C 35 E 36 A 37 A 38 E 39 A 40 C 41 E 42 B 43 D 44 E 45 D 46 B 47 C 48 C 49 C 50 B 51 C 52 D 53 A 54 D 55 B 56 E 57 C 58 D 59 B 60 E 61 C 62 D 63 C 64 A 65 E 66 B 67 D 68 D 69 B 70 C 71 CEEC 72 CC 73 CCC 74 C 75 B 76 A 77 E 78 EC 79 EC 80 C 81 EECCEEE 82 ECEC 83 CCE 84 ECC 85 EE 86 ECC 87 C 88 CE 89 CCCC 90 C 91 CCCE 92 EC 93 CEEEC 94 CCECEEC 95 EC 96 EC 97 A 98 C 99 E 100 CCE 101 EECE 102 ECCCCC 103 CCEE 104 ECEC 105 EEECCE � 02427978060
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