Aula 46 - Análise Combinatória

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Análise Combinatória
RACIOCÍNIO LÓGICO
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
Introdução
Neste módulo serão apresentados métodos para resolução de questões de 
concursos públicos relacionados a problemas de Análise Combinatória. Propõe-
-se a desenvolver, gradualmente, o raciocínio lógico e criativo, promovendo 
maior independência na busca de soluções de problemas, aprendendo a inter-
pretar tais questões por meio da prática.
Quando um número de agrupamentos é pequeno, é fácil realizar sua conta-
gem; porém, quando aumentam o número de elementos dados e o número de 
elementos em cada agrupamento, o processo intuitivo de formá-los, para depois 
realizar sua contagem, torna-se difícil e, muitas vezes, impreciso; por isso, par-
tindo do concreto, tentar-se-á chegar à compreensão de como determinar exata-
mente quantos são os agrupamentos que se quer realizar e quais são eles. 
Frente a essa realidade nos concursos públicos e a necessidade de agili-
dade para resolver as questões, a estratégia será a resolução de problemas de 
Análise Combinatória, com poucos cálculos, apenas aplicando dois princípios 
básicos: o princípio aditivo e o princípio multiplicativo. Arranjos, Permuta-
ções ou Combinações são os três tipos principais de agrupamentos, podendo 
ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de 
tais agrupamentos.
Atenção!
Para fins de provas dos certames, é importante que o candidato tenha 
conhecimento para discernir o tema cobrado pela questão, seja este permutação, 
arranjo ou combinação, independentemente das formulas utilizadas nestes 
assuntos. 
Princípios de Contagem
Os princípios de contagem, na matemática, incluem: 
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I – Princípio da Soma “OU”: se um evento E1 pode ocorrer de N1 manei-
ras distintas, E2 , de N2 maneiras distintas, ..., Ek, de Nk maneiras distintas, e 
se quaisquer dois eventos não podem ocorrer simultaneamente, então um dos 
eventos pode ocorrer em: N1 + N2 + ... + Nk maneiras distintas. Nesse caso, as 
opções existentes se excluem (pessoas, números, senhas etc.).
II – Princípio da Multiplicação “E”: considere que E1, E2, ..., Ek são eventos 
que ocorrem sucessivamente; se o evento E1 pode ocorrer de N1 maneiras distin-
tas, o evento E2 pode ocorrer de N2 maneiras distintas, ..., o evento Ek pode ocor-
rer de Nk maneiras distintas, então todos esses eventos podem ocorrer, na ordem 
indicada, em N1 × N2 × ... × Nk maneiras distintas. As opções não são excludentes.
O poder da palavra “POSSIBILIDADES”
Princípio Multiplicativo: resolveremos algumas questões neste momento 
para que você possa entender o Princípio Multiplicativo. 
Exemplo 1: Uma pessoa vai ao shopping e compra 3 blusas (B1, B2 e B3), 2 
sapatos (S1 e S2) e 2 calças (C1 e C2). Logo ao chegar em casa, ele se pergunta:
“De quantas maneiras distintas eu posso me arrumar com as compras realizadas?”
Resolução
A pessoa possui três tipos de peças de roupas distintos (blusa, calça e 
sapato), podendo realizar com tais itens diversos agrupamentos. Para agrupar 
elementos, existem o princípio aditivo e o princípio multiplicativo. Para a 
questão, é possível utilizar somente um dos itens de cada categoria (sendo 
uma das três blusas, um dos dois sapatos e uma das duas calças, de cada 
vez). Dessa forma, agrupando e organizando as possibilidades existentes:
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Atenção!
O estudo da lógica é composto por métodos e princípios, devendo estes serem 
estudados para que se possa realizar a resolução das questões.
Organizando o esquema acima utilizando-se os termos “OU” e “E” dos princípios 
da soma e multiplicação, respectivamente:
B1
B2
B3
S2
S2
S2
S1
S1
S1
C2
C1
C2
C1
C2
C1
C2
C1
C2
C1
C2
C1
"e"
"e"
"ou"
Resultado: 12 maneiras distintas (12 agrupamentos).
No esquema construído acima, temos 12 maneiras distintas de essa pessoa 
se arrumar. O raciocínio utilizado é o seguinte: quantas possibilidades têm-
se para blusas? Nessa situação, temos 3. Quantas possibilidades têm-se 
para sapatos? Nessa situação, temos 2. Quantas possibilidades têm-se para 
calças? Nessa situação, temos 2. Logo, podemos concluir que:
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Pelo Princípio Multiplicativo “E”, temos de multiplicar as POSSIBILIDADES.
O que devemos perceber é que temos de nos basear sempre na palavra 
“Possibilidades”, pois ela trará o raciocínio correto. Vamos resolver algumas 
questões aplicando apenas o conceito do princípio multiplicativo, utilizando a 
palavra “POSSIBILIDADES”:
Tipos de agrupamentos
I. Agrupamentos em que a ordem importa (altera a natureza): 
Formação de: senhas, matrículas, protocolos, classificação, número, fila. 
Para estes, ao mudar a posição dos elementos, a natureza é alterada (ou seja, 
não são o mesmo resultado mesmo que utilizem os mesmos elementos).
Exemplos: 
1. Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma probabili-
dade de vencer. O número de diferentes maneiras para a classificação dos 3 
primeiros lugares é igual a: 
a. 24.360. 
b. 25.240. 
c. 24.460. 
d. 4.060. 
e. 4.650.
Resolução
Todas as duplas possuem a mesma capacidade de vencer o campeonato. Para 
a questão, a ordem dos fatores importa, pois, ao alternamos uma dupla que 
classificou-se em primeiro pela segunda dupla, serão alterados os resultados, 
dessa forma:
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 – São necessárias 3 duplas (primeira, segunda e terceira), dessa forma 
serão multiplicados três valores distintos (as possibilidades).
A x B x C = Total de possibilidades
 – Para o primeiro lugar (A), existem 30 duplas distintas que podem ser 
escolhidas. Para o segundo (B), serão 29, pois já foi escolhida a dupla 
do primeiro lugar (que não pode ser repetida). Por fim, serão 28 possibi-
lidades para a escolha do terceiro lugar (C). Assim:
30 x 29 x 28 = 24.360
�����Este material foi elaborado pela equipe pedagógica do Gran Cursos Online, de acordo com a 
aula preparada e ministrada pelo professor Josimar Padilha.