Gabarito Lista - Variáveis Bidimensionais

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Gabarito: Variáveis Bidimensionais
REC 2303
Introdução à Probabilidade e à Estatística Aplicada II
1 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Exercício 1.1: Sendo Y e X duas variáveis aleatórias, é correto afirmar
que - verdadeiro ou falso, você deve solucionar cada ítem e mostrar porque é
verdadeiro ou falso.(ANPEC 2003)
( ) Var(Y + X) = Var(Y) + Var(X) – 2Cov(Y, X);
( ) Var(Y – X) = Var(Y) – Var(X) – 2Cov(Y, X);
( ) Var (Y + X) = Var(Y) + Var(X), se Y e X forem independentes;
( ) Se Cov(Y, X)) = 0, então Y e X são independentes;
Resposta:
(a) Falso. Temos que:
V ar(aX + bY ) = a2V ar(X) + b2V ar(Y ) + 2abCov(X, Y )
Fixando a = b = 1, teremos:
V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2Cov(X, Y )
Que é a propriedade da Variância da soma que conhecemos!
(b) Falso. Basta denotar a = –1 e b = 1 na primeira expressão do item
anterior para obter :
V ar(−X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y )− 2Cov(X, Y )
(c) Verdadeiro. Veja, pelo primeiro item que:
V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2Cov(X, Y )
Se X e Y são independentes, então Cov(Y,X) = 0
1
(d) Falso. Cov(Y,X) = 0, implica que Y e X não têm associação (corre-
lação) linear entre si, mas não implica necessariamente independência,
pois elas podem ter alguma associação não linear
Exercício 1.2: Lançam-se, simultaneamente, uma moeda e um dado (Mo-
rettin e Bussad cap. 8)
(a) Determine o espaço amostral correspondente a esse experimento.
(b) Obtenha a tabela da distribuição conjunta, considerando X o número
de caras no lançamento da moeda e Y o número da face do dado.
(c) Verifique se X e Y são independentes.
(d) Calcule:
(a) P (X = 1)
(b) P (X ≤ 1)
(c) P (X = 2, Y = 3)
(d) P (X = 0, Y ≥ 1)
Resposta:
(a) W = C1, C2, C3, C4, C5, C6, R1, R2, R3, R4, R5, R6
Onde: C=cara e R=coroa
(b) A tabela de distribuição conjunta é:
x 1 2 3 4 5 6 P(X=x)
0 0,08 0,08 0,08 0,08 0,08 0,08 0,5
1 0,08 0,08 0,08 0,08 0,08 0,08 0,5
P(Y=y) 0,17 0,17 0,17 0,17 0,17 0,17 1
(c) Sim, pois P (X = i, Y = j) = P (X = i)P (Y = j),∀i, j
(d) Respostas: a) 0,5 b) 1,0 c) 0 d) 0,5
2
2 Distribuições Marginais e Condicionais
Exercício 2.1: Suponha que as v.a. X e Y tenham f.d.p.: (Morettin e
Bussad, cap. 8)
f(x, y) =
{
e−(x+y), x > 0 e y > 0
0, nos demais casos
(a) Calcule as f.d.p. marginais de X e Y.
(b) Calcule P (0 < X < 1, 1 < Y < 2)
(c) Calcule as esperanças condicionais E(y|x) e E(x|y) .
Resposta:
(a) As f.d.p. marginais são:
fx(x) =
∫ ∞
0
e(x+y)dy = e−x[−e−y]|∞0 = e−x
fy(y) =
∫ ∞
0
e(x+y)dx = e−y
(b) Temos que:
P (0 < X < 1, 1 < Y < 2) =
∫ 1
0
∫ 2
0
e(x+y)dxdy
=
∫ 1
0
e−xdx
∫ 2
0
e−ydy
= (−e−x|10)(−e−y|21) =
(e− 1)2
e3
(c) Basta aplicar a definição de esperança condicional:
E(y|x) =
∫ ∞
0
y e(x+y)dy
3
Exercício 2.2: Calcule as densidades marginais e condicionais para a v.a.
(X, Y), com f.d.p.: (Morettin e Bussad cap. 8)
f(x, y) = (1/64)(x + y) para 0 ≤ x ≤ 4 ,0 ≤ y ≤ 4.
Resposta:
As densidades marginais e condicionais são calculadas como:
fx(x) =
∫ 4
0
1
64
(x + y)dy = [
1
64
(xy +
y2
2
]|40 =
1
64
(4x + 2)
fy(y) =
∫ 4
0
1
64
(x + y)dx =
1
16
(y + 2)
fy/x =
f(x, y)
fx(x)
=
1
64
(x + y)
1
16
(x + 2)
fx/y =
f(x, y)
fy(y)
=
x + y
4(y + 2)
Exercício 2.3: As v.a. X e Y têm distribuição conjunta dada por: (Moret-
tin e Bussad, cap. 8)
f(x, y) =
{
1
8
x(x− y), 0 < x < 2 e − x < y < x
0, c.c.
(a) Encontre as f.d.p. marginais de X e Y.
(b) Encontre a P (X ≤ 1).
(c) Calcule fx|y(x|y) e fy|x(y|x).
Resposta:
(a)
fy(y) =
∫
σx
f(x, y)dx =

∫ 2
y
1
8
x(x− y)dx(I), 0 ≤ y ≤ 2∫ 2
−y x(x− y)dx(II),−2 ≤ y ≤ 0
0, cc
Então para cada intervalo temos que:
4
(I) = 1
8
∫ 2
y
(x2 − xy) dx = 1
8
[
x3
3
∣∣∣2
y
− y x2
2
∣∣∣2
y
]
= 1
8
[
8−y3
3
−
(
2y − y3
2
)]
=
= 1
48
[16− 2y3 − 12y + 3y3] = 1
48
(y3 − 12y + 16)
(II) = 1
8
∫ 2
−y (x
2 + xy) dx = 1
8
[
x3
3
∣∣∣2
−y
− y x2
2
∣∣∣2
−y
= 1
8
[
8+y3
3
−
(
2y − y3
2
)]
=
= 1
48
[16 + 2y2 − 12y + 3y3] = 1
48
[5y3 − 12y + 16]
De forma análoga para X:
fx(x) =
∫
σy
f(x, y)dy =
{∫ x
−x
1
8
x(x− y)dy(I), 0 ≤ x ≤ 2
0, cc
(I) = 1
8
∫ x
−x (x
2 − xy) dy = 1
8
[
x2
∫ x
−x dy − x
∫ x
−x ydy
]
= 1
8
[x2y| − 0] = x3
4
fx(x) =
{
x3
4
, 0 ≤ x ≤ 2
0, cc
(b) Calculamos como:
P (X ≤ 1) =
∫ 1
0
∫ x
−x
f(x, y)dydx =
∫ 1
0
∫ 1
−1
f(x, y)dydx
(c) Calculamos aplicando a definição de esperança condicional:
E(y|x) =
∫ x
−x
y
1
8
x(x− y)dy
E(y|x) =
∫ 2
0
x
1
8
x(x− y)dx
Exercício 2.4: Numa urna têm-se cinco tiras de papel, numeradas 1, 3, 5,
5, 7. Uma tira é sorteada e recolocada na urna; então, uma segunda tira é
sorteada. Sejam X1 e X2 o primeiro e segundo números sorteados. (Morettin
e Bussad, cap. 8)
5
(a) Determine a distribuição conjunta de X1 e X2.
(b) Obtenha as distribuições marginais de X1 e X2. Elas são independen-
tes?
(c) Encontre a média e a variância de X1 e X2.
(d) Como seriam as respostas anteriores se a primeira tira de papel não
fosse devolvida à urna antes da segunda extração?
Resposta:
(a) A distribuição conjunta pode ser descrita como:
x2
x1 1 3 5 7
1 1/25 1/25 2/25 1/25 1/5
3 1/25 1/25 2/25 1/25 1/5
5 2/25 2/25 4/25 2/25 2/5
7 1/25 1/25 2/25 1/25 1/5
1/5 1/5 2/5 1/5
(b) De acordo com a tabela acima são independentes pois os produtos das
marginais são iguais.
(c) Temos que:
E (X1) = E (X2) = 4, 2
Var (X1) + Var (X2) = 4, 16
E(X̄) = E
(
X1
2
)
+ E
(
X2
2
)
= 1
2
[E (X1) + E (X2)] = 4, 2
Devido a independência Var(X̄) =
1
4
[Var (X1) + Var (X2)] =
4, 16
2
= 2, 08
6
(d) O novo espaço amostral seria:
W = {13, 15, 15, 17, 31, 35, 35, 37, 51, 53, 55, 57, 51, 53, 55, 57, 71, 73, 75, 75}
Logo, é possível construir a tabela abaixo:
x2
x1 1 3 5 7
1 0 1/20 1/10 1/20 1/5
3 1/20 0 1/10 1/20 1/5
5 1/10 1/10 1/10 1/10 2/5
7 1/20 1/20 1/10 0 1/5
1/5 1/5 2/5 1/5
Note que nesse caso não seriam independentes e teríamos que:
E (X1) = E (X2) = (1)(Y/s) + (3)(1/s) + (5)(3/6) + (7)(1/4) = 4, 2
E(X̄) = E
(
X1 + X2
2
)
=
1
2
(2 · 4, 2) = 4, 2
E
(
X̄2
)
= 19, 2⇒ Var(X̄) = 19, 2− (4, 2)2 = 1, 56
Exercício 2.5: Prove que E[E(X|Y )] = E(X).(Morettin e Bussad, cap.
8). Dica:E(X|y) é uma função de y e portanto uma v.a. Na realidade, E(X|y) é
o valor da v.a. E(X|Y ). Considerre a expressõ para E(X|y) e tome a esperança
novamente. Mude a ordem das integrais e obtenha o resultado.
Resposta:
Supomos que temos uma função conjunta f(x, y) e suas respectivas marginais
e condicionais.
Recorde que:
E(x) =
∫
x · fx(x)dx
7
E(X/y) =
∫
x · f(x/y)dx = g(y) é uma função de y. Portanto:
E[E(X/Y )] = E[g(y)] =
∫
g(y) · fY (y)dy
=
∫ (∫
x · fx/y(x/y)dx
)
fY (y)dy =
=
∫
x
(∫
fY (y) · fx/y(x/y)dy
)
dx
=
∫
x
(∫
f(x, y)dy
)
dx =
∫
x · fx(x)dx = E(X)
3 Independência, Covariância e Correlação
Exercício 3.1: Suponha que as v.a. X e Y tenham f.d.p.: (Morettin e Bussad,
cap. 8)
f(x, y) =
{
e−(x+y), x > 0 e y > 0
0, nos demais casos
(a) Calcule ρ(X,Y ) (correlação)
Resposta:
E(XY ) =
∫∞
0
∫∞
0 e
−(x+η)dxdy =
∫∞
0 e
−xdx
∫
e−ydy = (−e−x|∞0 ) (−e−y|
∞
0 ) = 1 · 1 = 1
∴ Cov(X,Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ) = 0
∴ ρ(X,Y ) = Cov(X,Y )DP (X)DP (Y ) =
0
1 = 0
Exercício 3.2: O exercício a seguir ilustra que ρ = 0 - correlação zero - não
implica independência. Suponha que (X, Y) tenha distribuição conjunta dada pela
tabela abaixo: (Morettin e Bussad, cap. 8)
y\x -1 0 1
-1 1/8 1/8 1/8
0 1/8 0 1/8
1 1/8 1/8 1/8
8
(a) Mostre que E(XY ) = E(X)E(Y ), donde ρ = 0.
(b) Justifique por que X e Y não são independentes.
Resposta:
(a) Temos a sefuinte distribuição conjunta:
xy -1 0 1
p 1/4 1/2 1/4
E(XY ) = (−1)
(
2
8
)
+ (0)
(
4
8
)
+ (1)
(
2
8
)
= 0
E(X) = E(Y ) = 0⇒ ρ(X,Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ) = 0
(b) Por exemplo, veja que P (X = 0, Y = 0) = 0 o que é diferente de:
P (X = 0)P (Y = 0) =
(
1
4
)(
1
4
)
=
1
16
Exercício 3.3: Uma moeda perfeita é lançada três vezes. Sejam: (Morettin e
Bussad, cap. 8)
X: número de caras nos dois primeiros lançamentos;
Y: número de caras no terceiro lançamento; e
S: número total de caras.
(a) Usando a distribuição conjunta de (X, Y), verifique se X e Y são indepen-dentes. Qual é a covariância entre elas?
(b) Calcule a média e a variância das três variáveis definidas.
(c) Existe alguma relação entre os parâmetros encontrados em (b)? Por quê?
Resposta:
(a) Temos a distribuição como a tabela abaixo:
O que nos dá as seguintes probabilidades:
Sim, são independentes, pois cada probabilidade encontrada é igual ao pro-
duto das respectivas marginais. Verificando a covariância:
9
w: kkk kkc kck ckk kcc ckc Cck ccc
x: 2 2 1 1 1 1 0 0
y: 1 0 1 1 0 0 1 0
s: 3 2 2 2 1 1 1 0
p: 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8
y
x 0 1 P (X = x)
0 1/8 1/8 1/4
1 1/4 1/4 1/2
2 1/8 1/8 1/4
P (Y = y) 1/2 1/2 1
xy 0 1 2
p 5/8 1/4 1/8
E(XY ) = (0)
(
5
8
)
+ (1)
(
2
8
)
+ (2)
(
1
8
)
= 12 = 0, 5
E(X) = 1 E(Y ) = 0, 5
Cov(X,Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ) = 0.5− (1)(0, 5) = 0
(b) Já calculamos E(X) = 1 e E(Y ) = 0, 5− (1)(0, 5) = 0, acima . Temos que:
E
(
X2
)
= (0)2
(
1
4
)
+ (1)2
(
1
2
)
+ (2)2
(
1
4
)
= 1, 5⇒ Var(X) = 1, 5− (1)2 = 0, 5
E
(
Y 2
)
= (0)2
(
1
2
)
+ (1)2
(
1
2
)
= 0, 5⇒ Var(Y ) = 0, 5− (0, 5)2 = 0, 25
s 0 1 2 3
p 1/8 3/8 3/8 1/8
E(S) = 18 [0 + 3 + 6 + 3] = 15
E
(
S2
)
= 18
[
(0)2 + (1)23 + (2)23 + (3)21
]
= 3
Var(S) = 3− (1, 5)2 = 0, 75
(c) Sim. Como S = X + Y e Y e X são independentes:
10
0, 75 = Var(S) = Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) = 0, 5 + 0, 25
Exercício 3.4: Depois de um tratamento, seis perários submeteram-se a um
teste e, mais tarde, mediu-se a produtividade de cada um deles. A partir dos
resultads apresentados na tabela abaixo, calcule o coeficiente de correlação entre
nota e produtividade.
Operário Teste Produtividade
1 9 22
2 17 34
3 20 29
4 19 33
5 20 42
6 23 32
Resposta:
Vamos atribuir a cada operário a mesma probabilidade de 1/6. Então temos
que:
E(T ) = 16 [9 + 17 + 19 + (2)(20) + 23] = 18
E
(
T 2
)
= 16
[
92 + 172 + 192 + (2)(20)2 + 232
]
= 20606 = 3433
Var(T ) = 20606 − 18
2 = 1166 = 19, 33
E(P ) = 16 [22 + 29 + 32 + 33 + 34 + 42] =
192
6 = 32
E(P ) = 16
[
222 + 292 + 322 + 332 + 342 + 422
]
= 63586 = 1059, 67
Var(P ) = 63586 − 32
2 = 2146 = 35, 67
E(TP ) = 16 [(9)(22) + (17)(34) + (20)(29) + (19)(33) + (20)(42) + (23)(32)]
= 35596 = 593, 17
Cov(T, P ) = 35596 − (18)(32) =
103
6 = 17, 17
ρ(T, P ) =
103
6√
116
6
− 214
6
= 103√
24824
= 0, 65
11