Avaliação Final (Objetiva) - Individual Semipresencial

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Avaliação Final (Objetiva) - Individual Semipresencial
Cálculo Diferencial e Integral II (MAD103)
1 (ENADE, 2011). Considere a função f : R → R definida por
para cada . A área da região limitada pelo𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥2 + 4 𝑥 ∈ ℜ
gráfico da função , o eixo e as retas e é igual a𝑦 = 𝑓(𝑥) 0𝑥 𝑥 = 0 𝑥 = 2
A) 16/15 unidades de área.
B) 38/15 unidades de área.
C) 60/15 unidades de área.
D) 44/15 unidades de área.
Resposta
A questão envolve conhecimentos sobre Integral Definida e sua aplicação no
cálculo de áreas de regiões planas.
Para resolvê-la, vai-se utilizar o resultado dos seguintes teoremas e
propriedade encontrados em livros de Cálculo Diferencial e Integral de
reconhecidos autores:
I. Teorema: “Se for contínua em , então é integrável em [a,b]”.𝑓(𝑥) [𝑎, 𝑏] 𝑓(𝑥)
II. Teorema Fundamental do Cálculo, Parte I. “Suponha que seja𝑓(𝑥)
contínua em e seja uma antiderivada de em . Então[𝑎, 𝑏] 𝐹(𝑥) [𝑎, 𝑏]
”.
𝑎
𝑏
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
III. Teorema: “Se a função for contínua em e para cada emƒ [𝑎, 𝑏] ƒ(𝑥) ≥ 0 𝑥
, então a área sob a curva e acima do intervalo é[𝑎, 𝑏] 𝑦 = 𝑓(𝑥) [𝑎, 𝑏]
definida por ”.𝐴 =
𝑎
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
IV. Propriedade: “Se for integrável em um intervalo fechado contendo os𝑓
três pontos , então , não𝑎, 𝑏, 𝑐
𝑎
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑎
𝑐
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +
𝑐
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
importando como os pontos estão ordenados”.
Solução:
A função dada é polinomial de 4º grau, contínua em IR e, portanto, integrável
no intervalo dado.
Para analisar o sinal que a função assume dentro do intervalo [0,2], devem-se
determinar os zeros da função, isto é, resolver a equação 𝑥4 − 5𝑥2 + 4 = 0
(1).
Fazendo a substituição de , tem-se cujas raízes são𝑥2 = 𝑦 𝑦2 − 5𝑦 + 4 𝑦 = 4
e . Portanto as raízes da equação (1) são e .𝑦 = 1 𝑥 = ± 2 𝑥 = ± 1
Nos intervalos e é contínua e não tem zeros, portanto tem o(0, 1) (1, 2) ƒ 𝑓(𝑥)
mesmo sinal em todo o intervalo. Esse sinal pode ser determinado por um
valor de teste adequadamente escolhido.
Assim, como , segue que para todo do intervalo .𝑓 12( ) > 0 𝑓(𝑥) > 0 𝑥 [0, 1]
Analogamente, como , então para todo do intervalo𝑓( 34 ) < 0 𝑓(𝑥) > 0 𝑥
[1, 2 ]
Este estudo pode ser visto no gráfico da função nesse intervalo.
Então para calcular a área da região pedida deve-se dividir o intervalo [0,2] em
dois intervalos: , no qual e , no qual . Assim,[0, 1] [1, 2] 𝑓(𝑥) > 0
0
2
∫ 𝑥4 − 5𝑥2 + 4( )𝑑𝑥 =
0
1
∫ 𝑥4 − 5𝑥2 + 4( )𝑑𝑥 +
1
2
∫− 𝑥4 − 5𝑥2 + 4( )𝑑𝑥
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo obtém-se o seguinte:
0
2
∫ 𝑥4 − 5𝑥2 + 4( )𝑑𝑥 = 3815 + 2215 = 6015
Dessa forma, conclui-se que a alternativa correta é a C, excluindo-se as demais
alternativas.
Esta questão é de grau médio de dificuldade, uma vez que é necessário
encontrar os zeros da função para reconhecer a região cuja área deve ser
determinada.
2 Uma das aplicações do conceito de integração é o cálculo da área entre
curvas. Este procedimento permite que sejam calculadas áreas que antes,
com a utilização da geometria clássica, eram inacessíveis. Sendo assim,
determine a área entre as curvas e :𝑦 = 𝑥² 𝑦 = 𝑥
I. A área entre as curvas é 1/3.
II. A área entre as curvas é 1/2.
III. A área entre as curvas é 1/6.
IV. A área entre as curvas é 1/4.
Assinale a alternativa CORRETA:
A) Somente a opção II está correta.
B) Somente a opção IV está correta.
C) Somente a opção III está correta.
D) Somente a opção I está correta.
Resposta
3 Antes de trabalhar com funções dadas, é muito importante verificarmos os
pontos onde a função admite definição. Estes pontos são chamados pontos
do domínio da função. Ao trabalhar com funções de várias variáveis, muitas
vezes, o domínio da função é dado por uma relação entre estas variáveis.
Baseado nisto, dada a função a seguir, analise as sentenças sobre qual é o
seu conjunto domínio condizente e assinale a alternativa CORRETA:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥
𝑦2−1
I. 𝐷
𝑓
= 𝑥, 𝑦( ) ∈ ℜ, 𝑦 ≥ 1{ }
II. 𝐷
𝑓
= 𝑥, 𝑦( ) ∈ ℜ, 𝑦 ≠ 1{ }
III. 𝐷
𝑓
= 𝑥, 𝑦( ) ∈ ℜ, 𝑦 ≥ ± 1{ }
IV. 𝐷
𝑓
= 𝑥, 𝑦( ) ∈ ℜ, 𝑥2 − 𝑦2 > 0{ }
A) Somente a opção IV está correta.
B) Somente a opção II está correta.
C) Somente a opção I está correta.
D) Somente a opção III está correta.
Resposta
4 Um método de integração bastante utilizado, que advém do método da
derivação do produto de funções, é o método de integração por partes, que
resumidamente consiste em transformar o cálculo da integral de uma função
complexa no cálculo de duas ou mais integrais mais simples que a original.
Calcule a integral a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
∫ 𝑒2𝑥𝑑𝑥 ?
I. 𝑒
2𝑥
2 + 𝑐
II. 𝑒2𝑥 + 𝑐
III. 2𝑒2𝑥 + 𝑐
IV. 𝑒4𝑥 + 𝑐
A) Somente a opção IV está correta.
B) Somente a opção II está correta.
C) Somente a opção III está correta.
D) Somente a opção I está correta.
5 O cálculo do limite de funções de várias variáveis é muito similar com o
cálculo de limite de funções de uma variável, sendo necessário tomar
cuidado com as indeterminações. Usando as propriedades de limite de
funções de várias variáveis, determine o valor do limite:
𝑥,𝑦( ) 1,2( )
lim
→
3𝑥2𝑦
𝑥2 − 𝑦2
A) 0.
B) 1.
C) − 2.
D) − 1.
Resposta
Substituindo os valores dos limites de x e y, onde e𝑥 = 1
, temos:𝑦 = 2
𝑥,𝑦( ) 1,2( )
lim
→
3𝑥2𝑦
𝑥2 − 𝑦2
= 3×1
2×2
12 − 22
= 6−3 =− 2
6 No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para
determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge
naturalmente em dezenas de problemas de Física. Resolva a questão a
seguir e assinale a alternativa CORRETA:
Integre a seguinte função: .𝑓(𝑥) = 𝑥
3
3
I. 13 𝑥
3 + 𝑐
II. 12𝑥4 + 𝑐
III. 112 𝑥
4 + 𝑐
IV. 212 𝑥
3 + 𝑐
A) Somente a opção IV está correta.
B) Somente a opção II está correta.
C) Somente a opção I está correta.
D) Somente a opção III está correta.
Resposta
Encontraremos a primitiva da função .𝑓(𝑥) = 𝑥
3
3
∫ 𝑥
3
3 𝑑𝑥 =
1
3 × ∫ 𝑥
3 = 13 ×
𝑥4
4 + 𝐶 =
𝑥4
12 + 𝐶
7 O Teorema Fundamental do Cálculo é a base das duas operações centrais
do cálculo, diferenciação e integração, que são considerados como inversos
um do outro. Isto significa que, se uma função contínua é primeiramente
integrada e depois diferenciada (ou vice-versa), volta-se na função original.
Sobre as integrais imediatas, classifique V para as opções verdadeiras e F
paras as falsas, depois assinale a alternativa que apresenta a sequência
CORRETA:
A) V - F - V - V.
B) V - V - V - F.
C) F - V - V - V.
D) V - V - F - V.
Resposta
8 O conceito e os processo de cálculo envolvem as derivadas parciais. Deste
modo, leia a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
Dada a função Calcule a derivada parcial no ponto .𝑓 𝑥, 𝑦( ) = 𝑥𝑥+1 .
∂𝑓
∂𝑦 1, 2( )
I. ∂𝑓∂𝑦 1, 2( ) = − 9
II. ∂𝑓∂𝑦 1, 2( ) = −
2
9
III. ∂𝑓∂𝑦 1, 2( ) = −
4
9
IV. ∂𝑓∂𝑦 1, 2( ) = −
1
9
A) A opção II está correta.
B) A opção I está correta.
C) A opção III está correta.
D) A opção IV está correta.
Resposta
9 (ENADE, 2005) Considere em uma bola de centro na origem e raio 4. Emℜ3
cada ponto dessa bola, a temperatura T é uma função do ponto,𝑥, 𝑦, 𝑧( )
expressa por:
𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧( ) = 50
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 1
Nessa situação, partindo-se de um ponto da fronteira da bola e𝑥
0
, 𝑦
0
, 𝑧
0( )
caminhando-se em linha reta na direção do ponto ,− 𝑥
0
, − 𝑦
0
, − 𝑧
0( )
observa-se que a temperatura
A) Atingirá o seu maior valor no centro da bola.
B) Estará sempre diminuindo durante todo o percurso.
C) Será máxima nos pontos da fronteira da bola.
D) Estará sempre aumentando durante todo o percurso.
Resposta
Note que a temperatura é dada por 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧( ) = 50
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 1
Como desejamos encontrar o ponto de maior temperatura e T é dada por uma
fração de numerador constante, temos de achar o menor valor para o
denominador .𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 1
Usando gradiente:
∇ 𝑥, 𝑦, 𝑧( ) = ∂𝑇∂𝑥 ,
∂𝑇
∂𝑦 ,
∂𝑇
∂𝑧( ) = (2𝑥, 2𝑦, 2𝑧)
Obs.:∇ nabla (substantivo masculino) 1. MÚSICA m.q. NABLO. 2. CÁLCULO
VETORIAL operadorvetorial que, aplicado a uma função, produz o gradiente e,
multiplicado escalar ou vetorialmente por um campo vetorial, produz,
respectivamente, o divergente e o rotacional; operador del, operador nabla,
atled (símb.:∇).
O mínimo será encontrado quando
∇ 𝑥, 𝑦, 𝑧( ) = (0, 0, 0)
2𝑥, 2𝑦, 2𝑧( ) = (0, 0, 0)
𝑥 = 0
→ O centro da esfera𝑦 = 0
𝑧 = 0
Resposta: o item A) Atingirá o seu maior valor no centro da bola.
10 Seja T uma função que representa a temperatura em graus Celsius de
uma placa fina de metal no plano cartesiano . As curvas de nível de uma𝑥𝑦
função temperatura são todos os pontos onde a temperatura é igual a um
valor predeterminado e por isso são chamadas de curvas isotérmicas.
Considere a função temperatura dada por:
𝑇 𝑥, 𝑦( ) = 40
1 + 𝑥2+ 𝑦2. 
Análise as informações abaixo.
I. A curva de nível, se a temperatura é igual 4°C, é dada pela expressão
. (Verdadeiro)𝑥2 + 𝑦2 = 9
II. Todas as curvas de nível da função são elipses não centradas na
origem. Falso
III. As curvas isotérmicas da função Temperatura são circunferências
centradas na origem. (Verdadeiro)
É correto o que se afirma em
A) III, apenas.
B) I e III, apenas.
C) I, II e III.
D) II, apenas.
Resposta
11 No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para
determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge
naturalmente em dezenas de problemas de Física. Resolva a questão a
seguir e assinale a alternativa CORRETA:
Calcule a área da região limitada pela curva dada: e (eixo𝑦 = 𝑥3 − 𝑥 𝑦 = 0
x).
I. 0,5
II. 1,3
III. 1,0
IV. 0,15
A) Somente a opção III está correta.
B) Somente a opção I está correta.
C) Somente a opção II está correta.
D) Somente a opção IV está correta.
Resposta
12 Calculando a área da região limitada pelas curvas e ,𝑦 = 9 − 𝑥² 𝑦 = 0
obteremos:
A) Área igual a 32 u.a.
B) Área igual a 27 u.a.
C) Área igual a 24 u.a.
D) Área igual a 36 u.a.
Resposta