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MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 12.10 Un paquete de 40 kg. Se encuentra sobre un plano inclinado cuando se le aplica una fuerza P. Los coeficientes de fricción estática y cinética entre el paquete y el plano son: 0.30 y 0.25 respectivamente. Determine: la magnitud de P si se requieren 4 s para que el paquete recorra 10 m al ascender por el plano. ∑ F=ma→ Tomando la dirección del movimiento como eje x. →∑ Fx=ma Pcos500−Wsen 200−f r=ma [1 ] ↑∑ Fy=0 N−Psen500−Wcos 200=0 [2 ] MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 Si f r=μN De la ecuación [1 ] se tiene: f r=μN Pcos500−Wsen 200−μN=ma [3 ] Despejando N de la ecuación [2 ] N=Psen500+Wcos 200 Sustituimos N en la ecuación [3 ] Pcos500−Wsen 200−μ [Psen500+Wcos200 ]=ma Pcos500−μPsen500=ma+Wsen 200+μWcos200 P (cos500−μsen500)=ma+W (sen200+μcos200) Despejando P de la ecuación: P= ma+W (sen200+μcos200) (cos500−μsen500) [4 ] Siendo la aceleración la única incógnita, la calculamos utilizando las ecuaciones de movimiento: MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 a= dv dt ⟹adt=dv Integramos con sus respectivos límites: ∫ t=0 t adt=∫ v0 v dv⟹at=v−v0 Sustituimos v= dx dt e integramos at= dx dt atdt=dx Evaluando en sus respectivos limites: ∫ t=0 t atdt=∫ x0 x dx 1 2 a t2=x−x0 Despejando la aceleración: a= 2 (x−x0 ) t 2 [m/ s2 ] Sustituyendo valores: MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 a= 2 (10 ) ( 4 )2 =1.25 m s2 Tomamos la ecuación [4] y considerando que a=0 y μ=0.30 P= ma+W (sen200+μcos200) (cos500−μsen500) Así la fuerza necesaria para iniciar el movimiento es: P= 244.46 0.413 =591.91N La fuerza que se requiere para que el bloque se mueva a una aceleración de 1.25 m/s2 (considerando μ=0.25) es: P= ma+W (sen200+μcos200) (cos500−μsen500) P= 276.02 0.451 =612.01N 12.51 Una curva en una pista de carreras tiene un radio de 1000 ft y una rapidez máxima de 120 mi/h. (Vea en el problema resuelto 12.6 la definición de velocidad máxima.) Si se sabe que un automóvil de carreras comienza a derrapar sobre la curva cuando viaja a una rapidez de 180 mi/h, determine a) el ángulo θ del peralte, b) el coeficiente de fricción estática entre las llantas y la pista bajo las condiciones prevalecientes, c) la rapidez mínima a la cual el mismo automóvil podría pasar la curva sin dificultades. MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 El automóvil se traslada en una trayectoria circular de radio ρ = 1000 ft. La componente normal an=v 2 / ρ , la masa del auto es W / g . Puesto que no se ejerce fuerza de fricción lateral sobre el auto, la reacción R de la pista se presenta perpendicular al mismo. Aplicando la segunda ley de Newton: +↑∑ F y=0 R cosθ−W=0 [1 ] R= W cosθ [2 ] +¿ → ∑ FN=man ¿ Rsenθ= W g an [3 ] a) ángulo θ del peralte Considerando que an=v 2 / ρ : Sustituimos [2] en [3]: MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 W cosθ senθ=(Wg )( v2 ρ ) v2=gρ tanθ Despejando θ θ=tan−1 v2 gρ θ=tan−1 (177 fts ) 2 (1000 ft )(32.2 fts2 ) θ=44.210 an=v 2 / ρ an= (177 fts ) 2 1000 ft =31.32 m s2 b) coeficiente de fricción estática entre las llantas y la pista bajo las condiciones prevalecientes. →∑ Fx=ma →−FN+Wsenθ=ma MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 Con a=0 FN=Wsenθ Pero: μS=FN↔μS=Wsenθ ↑∑ F y=0 N−Wcosθ=0 μS=Wcosθ Así que: μS= Wsenθ Wcosθ =tg θ μS=0.972 c) la rapidez mínima a la cual el mismo automóvil podría pasar la curva sin dificultades. MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 Iniciamos el análisis de movimiento y plateamos las ecuaciones del mismo, en este caso Movimiento normal y tangencial. →∑ F N=man Sabiendo que R=F+N y an= v2 ρ Rsen (μS−θ )=m v2 ρ [4 ] ↑∑ F y=0 R cos (μS−θ )−W=0 R cos (μS−θ )−W=mg [5 ] De lo anterior deducimos por identidad trigonométrica: R sen (μs−θ ) R cos (μs−θ ) = m v2 ρ mg Y despejando la velocidad: MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 vmin=√ gρtg (μS−θ ) vmin=80.86 ft s MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 12.5 Un bloque de 40 lb inicia su movimiento desde el reposo desplazándose hacia arriba cuando se aplican fuerzas constantes de 10 y 20 lb sobre las cuerdas que lo sostienen. Si se ignoran las masas de las poleas y el efecto de fricción, determine la velocidad del bloque después de que se ha movido 1.5 ft Analizando por poleas se tiene: F=ma Por lo tanto a= f m MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 a= 322 lbft / s2 40lb a=8.05 ft / s ² a= dv dt =v= dv dy ady=vdv a=∫ y 0 y dy=∫ 0 v vdv a(Y−Y ₀)=1 2 V 2 V 2=2a ( y− y0 ) V=√2(8.05 ft s2 )(1.5 ft ) V=4.91 ft s 12.5 La plomada de un péndulo de 2 m describe un arco de círculo en un plano vertical. Si la tensión de la cuerda de estos puntos es cinco veces el peso de la plomada en la posición que se indica, determine la velocidad y la aceleración de la plomada en esa posición. MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 DEL DCL SE TIENE QUE ∑FN=manan= v2 ρ T−mgcosθ=man Si T=5mg 5mg−mgcosθ=man mg (5−cosθ)=man an=g (5−cosθ) ¿9.8 m s2 (5−cos30) an=40.51 m s2 MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 an= v2 ρ entonces v=√an ρ=√(40.51ms2 )(2m) v=9.0 m s 12.6 Determine la velocidad máxima de la curva de una autopista de radio ρ=400 ft que tiene un ángulo de peralte de θ =18 ° . La velocidad máxima MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 de la curva peraltada de una autopista es aquella a la cual un automóvil debe viajar para que no exista fuerza de rozamiento lateral en sus neumáticos. +↑∑ F y=0 . Rcosθ−W=0 R= W cosθ [1 ] +¿ ← ∑ Fn=man ¿ Rsenθ= W g an [2 ] Al sustituir R de (1 ) en (2 ) y recordando que an= v2 ρ W cosθ senθ=(Wg )( v2 ρ ) v2=gρ tgθ v=√(32.2 fts2 ) (400 ft ) tg 180 MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 v=64.7 ft s =44.1 mi h 12.46 En el transcurso de una persecución a alta velocidad, un automóvil deportivo de 2400lb que viajaba a una rapidez de 100 mi/h apenas pierde contacto con el camino cuando alcanza la cresta A de una colina. a) Determine el radio de curvatura ρ del perfil vertical del camino en A. b) MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 utilizando el valor de ρ . Que se encontró en el inciso anterior a), determine la fuerza que ejerce el asiento de un conductor de 160lb que conduce un automóvil de 3100lb, cuando este último, viajando a una rapidez constante de 50 mi/h, pasa por A. Datos: g=32.2 ft /s2 W 1auto=2400lb v=100mi/h =146.66 ft/s a) Determine el radio de curvatura ρ del perfil vertical del camino en A. W pers=160 lb W 2auto3100 lb v=50mi/h =73.33 ft/s b) utilizando el valor de ρ . Que se encontró en el inciso anterior a), determine la fuerza que ejerce el asiento de un conductor de 160 lb que conduce un automóvil de 3100 lb, cuando este último, viajando a una rapidez constante de 50 mi/h, pasa por A. MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 Teniendo realizada las conversiones de la velocidad a pies por segundo. De acuerdo al diagrama de cuerpo libre, se procede analizar con la ecuación de la segundo ley Newton. +↓∑ Fn=man m= W g y a= v2 ρ ∴W 1auto= W 1auto g ∗v2 ρ Despejando ρ en la ecuación anterior se tiene: g∗¿ ρ= W 1auto∗v 2 g∗W 1auto = v2 ¿ ρ= (146.66 ft /s )2 9.81m /s2 =667.98 ft Para el inciso b) se analiza el diagrama de cuerpo libre sig.: Como la velocidad es constante, entonces se tiene que at=0 , por lo tanto, solo se analizara la aceleración normal que ejerce el conductor. +↓∑ Fn=man W pers−N= W pers g ∗v2 ρ Despejando n se tiene: MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 N=W pers− W pers g ∗v2 ρ N=W pers(1− v2 g∗ρ ) 73.33 ft /s¿2 (¿¿32.2 ft / s2∗667.98 ft) 1−¿ N=160 lb¿ N=119.984 lb MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 12.44. Un niño que tiene una masa de 22 kg se sienta sobre un columpio y un segundo niño lo mantiene en la posición mostrada. Si se desprecia la masa del columpio, determine la tensión en la cuerda AB a) mientras el segundo niño sostiene el columpio consus brazos extendidos de manera horizontal, b) inmediatamente después de soltar el columpio. MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 Diagrama de cuerpo libre: a) ΣF y=0 T AB cos35 ο −W=0 T AB cos35 ο −22kg x 9.81 m s2 =0 T AB= 215.82 cos35ο =263.4 La tensión se divide en dos cuerdas 263.4 2 =131.7N b) ΣF=ma MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 El movimiento que hace el columpio es curvilíneo por lo tanto tenemos una aceleración normal y tangencial En t=0 ; v=0 entonces an= v2 ρ =0 Hacemos una sumatoria de fuerzas normales ΣFn=0 BA−¿wcos35°=0 T ¿ BA−¿176.8=0 T ¿ T BA= 176.8 2 =88.39N MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 12.26 Un resorte AB de constante k se une a un soporte A y a un collarín de masa m. La longitud no alargada del resorte es l. Si se suelta el collarín desde el reposo en x = x0 y se desprecia la fricción entre el collarín y la varilla horizontal, determine la magnitud de la velocidad del collarín cuando pasa por el punto C. Diagrama de cuerpo libre El movimiento del collarín es en el eje X por lo tanto hacemos el análisis de fuerzas en este eje ΣF=ma ΣFx=ma −FR cosθ=ma Donde: θ=¿ x √ x2+l2 cos¿ La magnitud de la fuerza ejercida por un resorte sobre un cuerpo es proporcional a la deformación x del resorte a partir de la posición inicial x0 F=Kx F=K √x2+l2−l - K √x 2 +l2−l( x√x2+l2 )=ma - k m √x2+l2−l( x√x2+l2 )=a MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 - k m (x− xl√ x2+l2 )=a Como tenemos a la integramos para obtener la velocidad Sabemos que a=v dv dx Usamos esta ecuación porque necesitamos conocer la velocidad y las ecuaciones anteriores están en función de la posición x y l En t=0 ; x=x0; v=0 Integramos ∫ 0 v vdv= −k m ∫ x0 0 ( x− xl√x2+ l2 )dx 1 2 v2= −k m [12 x2−l √ x2+l2] 0x0 1 2 v2= −k m [ (−l2 )−( 12 x02−l√x02+l2)] v=√ km (√x02+l2−l ) Problema 12.49 Una piloto de 54 kg vuela un jet de entrenamiento en una media vuelta vertical de 1 200 m de radio de manera que la velocidad del jet disminuye a razón constante. Si se sabe que los pesos aparentes de la piloto en los puntos A y C son respectivamente de 1 680 N y 350 N, determine la fuerza que ejerce sobre ella el asiento del jet cuando éste se encuentra en el punto B. MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 Dadom=54 kg;at=constate A+C : ( W A ¿A=1680N ( W c ¿c=350N Finalmente (F piloto) El peso aparente del piloto es igual a la fuerza vertical que ella ejerce sobre el asiento del avión de entrenamiento. Yaque at=esconstante de AaC . +↑Σ Fn=man:N A−W=m v2 ρ →va N A−mg m = v2n ρ m /¿s2 1680N 54 kg −9.81¿ ¿ m2/¿s2 v A 2 =(1200 ) ¿ √ ρ(N Am −g) ¿v A=159.87 ms MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 DCL A +↓Σ Fn=man:N c+W=m v2 ρ N A−mg m = v2n ρ m /¿s2 350N 54kg +9.81 ¿ ¿ m2/¿s2 vc 2 =(1200m )¿ √ ρ(N Am −g) ¿vC vC=139.82 m s MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 Desde at=cte . teniendo desde A aC . Ecuación de MUA. vc 2 =v A 2 +2at ΔS AC ↔V 2 =V 0 2 +2a(X−X0) V 2=V 0 2 +2a(∆S AC) 1954.7 m 2 /s2 =25561.3 m 2 /s2 + 2at ( π∗1200m ) at=¿ 19549.7m2/s2−25561.3m2/s2 2400π = -0.79730 m /s2 at=−0.79730m /s 2 Entoncesdesde A aB v B 2 =v A 2 +2at Δ S AB ¿25561.3m /s2+2(−0.79730m /s2)( π 2 x1200m) v B 2 =22555.54m2/s2 MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 +←Σ Fn=man:N B−W=m V B 2 ρ NB=54Kg ( 22555m2/s2 1200m ) = 1014.98N +↓Σ Ft=mat :w+PBm|at| P=mat−w P=m(at−mg) PB=(54K g ) ( 0.79730−9.81 )m /s 2 PB=486.69N ↑ F ¿ ¿ ¿ = √N B 2+PB 2 = √(1014.98) 2+(486.69)2 FPiloto¿B=1126N ¿ ( FPILOTO¿B=1126N ∢25.6 0 MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 Problema 12.9. Un paquete de 20 kg se encuentra en reposo sobre un plano inclinado cuando se le aplica una fuerza P. Determine la magnitud de P si se requieren 10 s para que el paquete recorra 5 m hacia arriba por el plano inclinado. Los coeficientes de fricción estática y cinética entre el paquete y el plano inclinado son iguales a 0.3. m=20kg t=10 s MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 x=5m Usando la ecuación de movimiento se determina la aceleración x=x0+v0 t+ 1 2 a t 2 a= 5 (2 ) 102 =0.1 m s2 Haciendo sumatorias de fuerzas en x y y ∑ F y=0 N−wcos20−Psen50=0 N=mgcos20+P sen50 [1 ] Fr=μk∗N ∑ F x=ma P cos50−wsen20−μk N=ma [2 ] Despejando la ecuación 1 en 2 P cos50−mg sen20−μk (mgcos20+P sen50)=ma Resolviendo para P P cos50−67.1−0.3(184.36+P sen50)=2 P cos50−0.3 (Psen50 )=2+67.1+55.3 P= 124.4 cos50−0.3 sen50 =301.22N MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 Problema 12.12 Los dos bloques que se muestran en la figura se encuentran originalmente en reposo. Si se desprecian las masas de las poleas y el efecto de fricción en éstas y se supone que los componentes de fricción entre el bloque A y la superficie horizontal son μs=0.25 y μk=0.20 , determine a) la aceleración de cada bloque, b) la tensión en el cable. MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 Determinando si los bloques se moverán donde primero suponemos que no se mueven por lo tanto: aA=aB=0 MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 Haciendo sumatorias de fuerzas ∑ F y=0 wB−3T=0 T= 1 3 mB g [1 ] ∑ Fx=0 Fa−T=0 FrA−T=0 [2 ] Despejando FrA y sustituyendo la ecuación [1 ]en [2 ] : FrA= 1 3 (25kg )(9.81ms2 )=81.75N ∑ F y=0 w A−N A=0 N A=mAg [3 ] MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 Frmax=μs A∗N A [4 ] Frmax=μsA∗mA g Despejando ecuación [3 ]en [4 ] Frmax=0.25∗30kg∗9.81 m s2 =73.575N FA>Frmax Esto implica que el bloque se moverá Entonces se utilizara el coeficiente de fricción dinámico para resolverlo, entonces haciendo sumatorias de fuerzas ∑ F y=0 Para el bloque A w A−N A=0 N A=mAg Fr=μkA∗N A Fr=0.2∗mAg [5 ] ∑ Fx=mA aA Para el bloque A Fr−T=mAaA [6 ] Despejando T y sustituyendo la ecuación [5 ]en [6 ] : T=0.2∗mA g−3mA aB [7 ] ∑ F y=mBaB Para el bloque B wB−3T=mBaB [8 ] Sustituyendo la ecuación [7 ] en [8 ] y resolviendo para aB MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 mB g−3 (0.2∗mA g+3mAaB)=mBaB 245.25−176.58−270aB=25aB aB= −68.67 −295 =0.2327 m s2 Despejando para T T=(0.2∗30kg∗9.81 m s2 )+(3∗30kg∗0.2327 m s2 ) T=79.803N Despejando para aA Fr−T=mAaA F (¿¿r−T ) mA = 0.2∗mA g−T mA aA=¿ aA= 0.2∗(30kg)(9.81 m s2 )−79.803 30kg aA=−0.698 m s2 MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 . MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2
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