Laboratorio 5 2021

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ
CENTRO REGIONAL DE CHIRIQUÍ
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
MATERIA:
DINÁMICA APLICADA
LABORATORIO 5:
PENDULO SIMPLE
ESTUDIANTE:
BRYAN CUBILLA 
	4-790-881	
PROFESORA: JACQUELINE QUINTERO
I SEMESTRE 2021
Péndulo Simple
Introducción
El péndulo simple o matemático es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo, mediante un hilo inextensible y sin peso. Este péndulo ideal es un buen ejemplo de sistemas de segundo orden no amortiguado, y al igual que un sistema masa resorte, éste oscilará indefinidamente debido a una condición inicial a la frecuencia natural de vibración. En este laboratorio se estudiará el comportamiento del péndulo simple, ante una condición inicial de posición angular, se determinará experimentalmente la frecuencia de vibración y se analizará que parámetros influyen en la respuesta del sistema.
Objetivos
· Obtener el modelo matemático de un péndulo simple.
· Investigar los parámetros que influyen en la respuesta a condición inicial de un péndulo simple.
· Calcular la frecuencia natural de vibración de un péndulo simple.
Fundamento Teórico
El péndulo simple y el péndulo físico
El péndulo simple o matemático es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo O mediante un hilo inextensible y sin peso. Un péndulo físico o péndulo compuesto es cualquier cuerpo rígido que pueda oscilar libremente en el campo gravitatorio alrededor de un eje horizontal fijo, que no pasa por su centro de masa.
El péndulo físico (ver figura 9.1) es un sistema con un sólo grado de libertad; el
correspondiente a la rotación alrededor del eje fijo. La posición del péndulo físico queda determinada, en cualquier instante, por el ángulo que forma el plano determinado por el eje de rotación y el centro de gravedad (G) del péndulo, con el plano vertical que pasa por el eje de rotación.
Cuando el péndulo se desvía de su posición de equilibrio un ángulo _, actúan sobre él dos fuerzas, la gravedad y una normal en el punto de articulación; sin embargo, es solo la componente tangencial del peso la que origina un momento con respecto al eje de rotación, este momento está dado por mghsin_, siendo h la distancia del centro de rotación del péndulo al eje de rotación.
La ecuación de movimiento del péndulo, estará dado por:
la cual es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden; pero que, para pequeñas oscilaciones, toma la forma:
La solución a esta última ecuación, como se ha visto en las clases teóricas, está dada por:
donde los valores de C1 y C2 se determinan a partir de las condiciones iniciales.
Materiales
· Hilo 
· Objeto
· Marco para soporte
· Cinta métrica
· Celular
Procedimiento Experimental
1. Escoja una de las esferas pendulares del laboratorio, mida su masa y diámetro y calcule su momento de inercia respecto a su centro de gravedad.
2. Fije un extremo del hilo monofilamento al marco y el otro extremo a la esfera de
acero. La longitud entre el extremo fijo y el centro de masa de la esfera debe ser
de 20 cm.
3. Desplace la esfera de acero de la posición de equilibrio estático, y libere. Recuerde usar una desviación angular pequeña (< 10_), para que sea válido el modelo lineal. Tome nota de esta posición angular inicial. Mida el periodo de oscilación de tres ciclos de movimiento.
4. Obtenga el periodo de oscilación.
5. Determine la frecuencia natural de oscilación a partir del periodo natural medido.
6. Obtenga el modelo matemático del sistema péndulo simple para la masa puntual empleada en la experiencia.
7. Resuelva la ecuación diferencial de movimiento para la condición inicial utilizada.
8. Obtenga analíticamente la frecuencia natural y el periodo de oscilación.
9. Compare los resultados obtenidos experimentalmente y analíticamente. Explique las diferencias.
10. Grafique la posición, la velocidad y la aceleración.
11. Repita el procedimiento para longitudes de hilo de 40 cm y 60 cm.
12. Haga una comparación de los resultados obtenidos para las tres longitudes de hilo (20 cm, 40 cm y 60 cm).
Resultados
1. Tabule sus medidas y resultados para las 3 longitudes de hilo.
Tabla 1 Resultados de la experiencia del péndulo simple.
	Longitudes (m)
	Tiempo 3 oscilaciones (s)
	Periodo experimental
(s)
	Frecuencia
(Rad/s)
	Periodo teórico (s)
	% error
	0.20
	2.8
	0.933
	7
	0.89
	4.6
	0.40
	4.0
	1.33
	4.95
	1.27
	4.5
	0.60
	4.8
	1.6
	4.04
	1.55
	3.1
Inferencia: en esta tabla podremos observar los valores que extrajimos de los diferentes videos tomados a la prueba del péndulo. Se realizaron los cálculos analíticos y sacamos el porcentaje de error.
2. Muestre los cálculos efectuados.
3. Realice las gráficas solicitas en el procedimiento con Excel, o Matlab u otro programa. Recuerde identificar adecuadamente cada gráfico.
Para una longitud de 20 cm
· Periodo de una oscilación
· Frecuencia natural experimental
· Modelo matemático del sistema
Tenemos que 
· El modelo matemático 
· Solución de la ecuación diferencial
· Determinación de las constantes con las condiciones iniciales
· Derivación de nuestra ecuación para conseguir la velocidad
 
· Con las condiciones de frontera
· Respuesta del sistema
· Frecuencia analítica
· Periodo analítica
Conseguidos estos parámetros podemos graficar.
Con la evaluamos con distintos tiempos
Ilustración 1 Grafico de posición del péndulo con una longitud de 20 cm,
Para la gráfica de velocidad utilizamos 
Ilustración 2 Grafico de la velocidad del péndulo con una longitud de 20cm
Para la gráfica de aceleración, utilizamos la ecuación 
Ilustración 3Grafico de la aceleración del péndulo con una longitud de 20 cm.
Para una longitud de 40 cm
· Periodo de una oscilación
· Frecuencia natural experimental
· El modelo matemático 
· Respuesta del sistema
· Frecuencia analítica
· Periodo analítica
Con la evaluamos con distintos tiempos
Ilustración 4 Grafico de la posición del péndulo con una longitud de 40 cm.
Para la gráfica de velocidad utilizamos 
Ilustración 5 Grafico de la velocidad del péndulo con una longitud de 40 cm.
Para la gráfica de aceleración, utilizamos la ecuación 
Ilustración 6 Grafico de la aceleración del péndulo con una longitud de 40 cm.
Para una longitud de 60 cm
· Periodo de una oscilación
· Frecuencia natural experimental
· El modelo matemático 
· Respuesta del sistema
· Frecuencia analítica
· Periodo analítica
Con la evaluamos con distintos tiempos
Ilustración 7 Grafico de la posición del péndulo con una longitud de 60 cm
Para la gráfica de velocidad utilizamos 
Ilustración 8 Grafico de la velocidad del péndulo con una longitud de 60 cm0
Para la gráfica de aceleración, utilizamos la ecuación 
Ilustración 9 Grafico de la aceleración del péndulo con una longitud de 60 cm
3-De acuerdo a su experiencia, ¿Cómo se relaciona la frecuencia y el período con
la longitud de la cuerda?
Con mi experiencia, esos tres parámetros tienen relación con el tamaño de la cuerda. Si esta cuerda tiene una gran longitud va a tener mayor periodo y menor frecuencia. Cuando esta cuerda tiene menor longitud va a tener un periodo menor y una frecuencia mayor.
4- ¿Cómo se compara los resultados analíticos con los experimentales?
Los datos analíticos y los datos experimentales son muy similares y que tienen diferencias gracias a el error en la medición que siempre están presente por partes de los que realizan las experiencias.
5-¿Qué concluye respecto al ángulo de fase de la posición, velocidad y aceleración?
El ángulo de fase cumple un rol muy importante en el comportamiento del sistema. Pero entre mayor sea el ángulo de fase, los valores de velocidad y aceleración serán mayores en el péndulo. 
Conclusiones
En la experiencia construimos con materiales del hogar un péndulo simple, con el que conseguí modelar el sistema del péndulo despreciando la masa del objeto. Con diferentes longitudes pude observar como variaba la frecuencia, el periodo. Logre probarmediante la experiencia que la longitud de la cuerda tiene un papel importante porque la frecuencia y el periodo se verán afectadas por esta. Se puede notar en la tabla como las oscilaciones aumentaban con el aumento de la longitud de la cuerda. En último lugar pude notar que la frecuencia natural angular y el período eran independientes de la masa, fue por eso que la masa se despreciaba en los cálculos.
Posición vs Tiempo
Posición vs Tiempo	0.1	0.2	0.30000000000000004	0.4	0.5	0.6	0.7	0.79999999999999993	0.89999999999999991	0.99999999999999989	1.0999999999999999	1.2	1.3	1.4000000000000001	1.5000000000000002	1.6000000000000003	1.7000000000000004	1.8000000000000005	1.9000000000000006	2.0000000000000004	2.1000000000000005	2.2000000000000006	2.3000000000000007	2.4000000000000008	2.5000000000000009	2.600000000000001	2.7000000000000011	2.8000000000000012	0.13346496168114322	2.965926643609202E-2	-8.80956452526752E-2	-0.16441779844668086	-0.16341169193224395	-8.555051332395204E-2	3.2546408464239313E-2	0.13533624580003856	0.17447533204890595	0.13155	594338290677	2.6763738925607482E-2	-9.0615870143361629E-2	-0.16537741957187901	-0.1623593	8448227943	-8.2981193935300415E-2	3.5424348736372548E-2	0.13716926667661153	0.17440133516992529	0.1296097306367899	2.3860644577266346E-2	-9.3110475459801556E-2	-0.16629028399681314	-0.16126117361276088	-8.0388413503282199E-2	3.8292273580400861E-2	0.13896350606594132	0.17427803028399094	0.12762687369013831	Tiempo (s)
Posición Angular (rad)
Velocidad vs Tiempo
0.1	0.2	0.30000000000000004	0.4	0.5	0.6	0.7	0.79999999999999993	0.89999999999999991	0.99999999999999989	1.0999999999999999	1.2	1.3	1.4000000000000001	1.5000000000000002	1.6000000000000003	1.7000000000000004	1.8000000000000005	1.9000000000000006	2.0000000000000004	2.1000000000000005	2.2000000000000006	2.3000000000000007	2.4000000000000008	2.5000000000000009	2.600000000000001	2.7000000000000011	2.8000000000000012	2.9000000000000012	-0.78594557842998314	-1.2022486705859214	-1.0531154273116257	-0.40868554319020367	0.42795553778133621	1.0633224423445775	1.1985921874016858	0.77014529820423239	-2.0512958590905565E-2	-0.80152365043692186	-1.2055652453299404	-1.0426106678677021	-0.38930000206620957	0.4471045376873526	4	1.0732288271654384	1.1945968295646063	0.75412727692917891	-4.1020117609791101E-2	-0.81687510987985801	-1.2085409739477424	-1.0318111339943774	-0.36980439522975261	0.4661271289644951	1.0828317809694374	1.1902637266711504	0.73789604333565972	-6.1515679124318351E-2	-0.83199561648313169	-1.2111750151198077	Tiempo (s)
Velocidad angular (rad/s)
Aceleración vs Tiempo
0.1	0.2	0.30000000000000004	0.4	0.5	0.6	0.7	0.79999999999999993	0.89999999999999991	0.99999999999999989	1.0999999999999999	1.2	1.3	1.4000000000000001	1.5000000000000002	1.6000000000000003	1.7000000000000004	1.8000000000000005	1.9000000000000006	2.0000000000000004	2.1000000000000005	2.2000000000000006	2.3000000000000007	2.4000000000000008	2.5000000000000009	2.600000000000001	2.7000000000000011	2.8000000000000012	2.9000000000000012	3.0000000000000013	3.1000000000000014	3.2000000000000015	3.3000000000000016	3.4000000000000017	3.5000000000000018	3.6000000000000019	3.700000000000002	3.800000000000002	3.9000000000000021	4.00000000000	00018	4.1000000000000014	4.2000000000000011	4.3000000000000007	4.4000000000000004	4.5	4.5999999999999996	4.6999999999999993	4.7999999999999989	4.8999999999999986	-6.5394007012823758	-1.453219071797059	4.3164341	943287852	8.0560010127170294	8.0067046763363088	4.1917300224629805	-1.5946807585630154	-6.6310882612626347	-8.5487913410781999	-6.4458642746352606	-1.311346520423748	4.4399179926976622	8.1030196982210079	7.9551446264956409	4.0658407343657226	-1.7356915856503459	-6.7209010320058962	-8.5451657060335897	-6.3505054266163548	-1.1691032156769472	4.5621465053369823	8.1477474393854017	7.901335440625247	3.9388019223671229	-1.8762116854580366	-6.8088136209959806	-8.5391241199319357	-6.2533511177689558	-1.0265293736126884	4.6830851749175721	8.1901715904596966	7.8452923320473777	3.8106495037989672	-2.0162013291270569	-6.8948011729498493	-8.5306682908941571	-6.15442881	62619916	-0.88366530373883012	4.8026998087839319	8.2302801569810278	7.7870311456750727	3.6814197108401316	-2.1556209377726914	-6.9788393768447445	-8.5198006096134193	-6.0537664901241923	-0.7405513976188699	4.9209565886214355	8.2680617991653023	Tiempo (s)
Aceleración Angular (rad/s2)
Posición vs Tiempo
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Posición angular(rad)
Velocidad vs Tiempo
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Velocidad angular (rad/s)
Aceleración vs Tiempo
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aceleración angular (rad/s2)
Posición vs Tiempo
0.1	0.2	0.30000000000000004	0.4	0.5	0.6	0.7	0.79999999999999993	0.89999999999999991	0.99999999999999989	1.0999999999999999	1.2	1.3	1.4000000000000001	1.5000000000000002	1.6000000000000003	1.70000000000000041.8000000000000005	1.9000000000000006	2.0000000000000004	2.1000000000000005	2.2000000000000006	2.3000000000000007	2.4000000000000008	2.5000000000000009	2.600000000000001	2.7000000000000011	2.8000000000000012	2.9000000000000012	3.0000000000000013	3.1000000000000014	3.2000000000000015	3.3000000000000016	3.4000000000000017	3.5000000000000018	3.6000000000000019	3.700000000000002	3.800000000000002	3.9000000000000021	4.0000000000000018	4.1000000000000014	4.2000000000000011	4.3000000000000007	4.4000000000000004	4.5	4.5999999999999996	4.6999999999999993	4.7999999999999989	4.8999999999999986	4.9999999999999982	5.0999999999999979	5.1999999999999975	5.2	999999999999972	5.3999999999999968	5.4999999999999964	5.5999999999999961	5.6999999999999957	5.7999999999999954	5.899999999999995	5.9999999999999947	6.0999999999999943	6.199999999999994	6.2999999999999936	6.3999999999999932	6.4999999999999929	6.5999999999999925	6.6999999999999922	6.7999999999999918	6.8999999999999915	6.9999999999999911	7.0999999999999908	7.1999999999999904	7.2999999999999901	7.3999999999999897	7.4999999999999893	7.599999999999989	7.6999999999999886	7.7999999999999883	7.8999999999999879	7.9999999999999876	8.0999999999999872	8.1999999999999869	8.2999999999999865	8.3999999999999861	8.4999999999999858	8.5999999999999854	8.6999999999999851	8.7999999999999847	8.8999999999999844	8.999999999999984	9.0999999999999837	9.1999999999999833	9.2999999999999	829	9.3999999999999826	9.4999999999999822	9.5999999999999819	9.6999999999999815	9.7999999999999812	9.8999999999999808	0.12043182284507702	6.1205003049302611E-2	-7.8763172256108484E-3	-7.5689486728419783E-2	-0.13131603673820832	-0.16579964283027634	-0.17358816554172743	-0.15342758972726456	-0.10856	393113928145	-4.6220601639959953E-2	2.3564618527027816E-2	8.9555744535107257E-2	0.14112767140157442	0.16997690181908778	0.171458476375699	0.14533384958573514	9.5809297642200544E-2	3.0858673931942776E-2	-3.9060445847222139E-2	-0.10269051794826242	-0.14978658616225099	-0.17276580262287061	-0.16792832763827475	-0.13605303380348835	-8.2272101213569274E-2	-1.5244694962407185E-2	5.4237230467364478E-2	0.11498652315472326	0.15722205567430669	0.17414356571560261	0.16302655331125762	0.12566094736589026	6.8062912626609712E-2	-4.9380149628628527E-4	-6.8971009584719176E-2	-0.12634332733515433	-0.16337334759795819	-0.17409893763492296	-0.1567931907081607	-0.1142424720310552	-5.329779143451055E-2	1.6228264622556228E-2	8.314143	8831226488E-2	0.13666816899154549	0.16819021865662259	0.17263228289954269	0.14927915345252818	0.1018908730222122	3.8097338004972489E-2	-3.1830176538769871E-2	-9.6632775236993054E-2	-0.14587671561595486	-0.17163332502011591	-0.16975558103188335	-0.14054581561939433	-8.8707037244572087E-2	-2.2585708465734038E-2	4.7172102035325583E-2	0.10933482260991816	0.15389375251190712	0.17367454366201218	0.16549232871026479	0.13066451043658886	7.479864924889483E-2	6.8896006069269775E-3	-6.2128729451584264E-2	-0.12114383160966094	-0.16065379714221603	-0.17429720206634849	-0.15987734784985438	-0.11971594764044942	-6.0279311672407541E-2	8.8627809766734823E-3	7.6577894211820915E-2	0.13196334716422983	0.16610163398528305	0.173496214	40744564	0.15295650117995779	0.10778955424493872	4.5267617341252356E-2	-2.4542772050861854E-2	-9.0401576656028743E-2	-0.14170499630754846	-0.17019276553120624	-0.17127812309053897	-0.1447863176407935	-9.4982744108712908E-2	-2.9886180613453495E-2	4.00222996615111E-2	0.1034868660153719	0.15028921000300657	0.17289377573399964	0.16766104531391857	0.13543353065948213	8.1400122266257147E-2	1.4260635874332746E-2	-5.5174928224561243E-2	-0.11572688265861322	Tiempo (s)
Posición angular(rad)
Velocidad vs Tiempo
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Velocidad angular (rad/s)
Aceleración vs Tiempo
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Aceleración angular (rad/s2)