Apuntes mecanismos SEMESTRE 2020-I

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RESUMEN DE LAS EXPOSICIONES DE MECANISMOS 2 
 
 
 
 
 
 
 
PRESENTO: GABRIELA TORRES SALAS 
COD: 201810057 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD PEDAGOGICA Y TECNOLOGICA DE COLOMBIA 
INGENIERIA ELECTROMECANICA 
DUITAMA 
2021 
 
 
EXPOSICION 1: SINTESIS DE LOS MECANISMOS 
Conceptos básicos de la síntesis de los mecanismos 
• Sintesis: Es un proceso de creación de un patron, método o sistema que 
cumpla ciertas condiciones de un problema. 
• Sintesis de mecanismos: Es la búsqueda de una solución para una trayectoria o 
movimiento a través de los mecanimos. 
• Sintesis cualitativa: En la solución se presenta la ausencia de un algoritmo que 
lo configure 
• Sintesis cuantitativa: En la o las soluciones se presenta un algoritmo definido, el 
cual se puede cuantificar por medio de ecuaciones ya dadas. 
• Sintesis dimensional: Se realiza una medición de las longitudes de los eslabones 
para plantear una solución ya sea cualitativa o cuantitativa. 
• Sintesis de tipo: Es una forma de síntesis cualitativa; para la realización de esta 
síntesis se debe tener un amplio conocimiento de los diversos mecanismos 
presentes y factibles desde el punto de vista funcional y manufacturero. 
Sintesis grafica de 2 posiciones 
• Mecanismo manivela-corredera: es un mecanismo el cual transforma un 
movimiento rotacional en uno traslacional o viceversa. 
• Mecanismo de manivela corredera en línea: 
 
• Mecanismo de manivela corredera descentrado: el movimiento no es simetrico 
con respecto al eje de deslizamiento por lo cual el angulo de la manivela es 
diferente para realizar el avance. Este mecanismo posee retornorapido y es 
inversamente proporcional al avance. 
Procedimiento grafico de sintesis se un mecanismo manivela corredera 
 
 
1. Localizar el eje de la union sobre el eslabon deslizante. 
2. Dibujar las posiciones extremas del eslabon. 
3. Construir una línea que pase por la unioin sobre las posiciones 
extremas. 
4. Se dibuja otra línea el la otra posición extrema pasando sobre la unión. 
5. Al prolongar las líneas se debe encontrar una intersección definiéndolo 
como el punto del pivote. 
6. Se realiza una relación arcos con longitudes para determinar la longitud 
de la manivela. 
Metodo analitico 
 
Razon de tiempo 
Mecanismo de retorno rápido: este mecanismo tiene la 
particularidad de que posee una razón de tiempo, la cual esta 
modelada de forma matemática por: 
𝑸 =
𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒓𝒆𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒂𝒗𝒂𝒏𝒄𝒆
𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒓𝒆𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒕𝒐𝒓𝒏𝒐
 
Hay tres posibles datos para Q cuando: 
✓ 𝑸 > 𝟏: Cuando el avance recorre en el tiempo mas lento y el 
retorno recorre en el tiempo más rápido. 
✓ 𝑸 = 𝟏: Cuando es un mecanismo In-line Slider Crank ya que 
las velocidades angulares son constantes. 
✓ 𝑸 < 𝟏: Cuando el avance recorre en el tiempo más rápido y 
el retorno recorre en el tiempo más lento. 
También se puede hallar Q con respecto al ángulo de avance y de 
retorno y este dado por la ecuación: 
𝑸 =
𝟏𝟖𝟎° + 𝜷
𝟏𝟖𝟎° − 𝜷
 
Al hacer la síntesis del mecanismo podemos determinar las 
posiciones mínimas y la distancia de las dos posiciones y teniendo en 
cuenta la excentricidad 
 
 
EXPOSICION 2: MECANISMO CRANK-ROCKER (MANIVELA-BALANCIN) 
• Mecanismo manivela-oscilador: es un mecanismo de cuatro barras en el 
cual posee dos posiciones extremas, como se muestra la figura la 
posición extrema 1 es la que está en color rojo que es cuando la 
manivela y el acoplador están alineados con un ángulo de 0°, la posición 
2 es la que esta en color azul que es cuando la manivela y el acoplador 
están alineados con un ángulo de 180° 
 
Pasos para la síntesis: 
1. Tenemos de entrada un eslabón y ubicamos el ángulo de 
oscilación 
2. Se ubica el otro punto del otro eslabón en una distancia paralela 
a los otros dos extremos. 
3. Se realiza una mediatriz ya que la distancia de un extremo a la 
mediatriz es la misma distancia del radio de la manivela. 
4. Se realiza la gráfica del mecanismo 
5. Verificar Grashof 
6. Verificar ángulo de trasmisión. 
EXPOSICION 3: SINTESIS GRAFICA DE DOS POSICIONES (PARA GENERACION DE 
MOVIMIENTO) 
Mecanismo Grashof 
Dado un mecanismo con 𝑄 = 1 
 
 
 
 Procedimiento: 
1. Dibuje el eslabón 𝐶𝐷 en sus posiciones deseadas 𝐶1𝐷1y 𝐶2𝐷2 
2. Trace líneas del punto 𝐶1 a 𝐶2y de punto 𝐷1 a 𝐷2 
3. Trazar una bisectriz entre 𝐶1𝐶2 y 𝐷1𝐷2 y extienda las bisectrices 
perpendiculares hasta intersecar a 𝑂4. Su intersección es el rotopolo. 
4. Seleccione un radio conveniente y trace un arco alrededor del rotopolo 
para cortar ambas líneas 𝑂4𝐶1 y 𝑂4𝐶2. Marque las intersecciones como 𝐵1 y 
𝐵2 . 
 
Posible mecanismo 
 
Ejemplo con mecanismo no grashof 
Dado el mecanismo ilustrado en la siguiente gráfica, se realizará la síntesis gráfica: 
 
 
 
Procedimiento: 
1. Dibuje el eslabón CD es sus dos posiciones deseadas, C1D1 y C2D2 como se 
muestra en el plano. 
2. Trace líneas de construcción del punto C1 a C2 y del punto D1 a D2. 
3. Trazar una bisectriz entre C1C2 y D1D2 y extienda las bisectrices 
perpendiculares en direcciones convenientes. 
El rotopolo no será utilizado en esta solución. 
4. Seleccione cualquier punto conveniente en cada bisectriz como pivotes fijos 
O2 y O4, respectivamente. 
5. Conecte O2 con C1 y llámelo eslabón 2. Conecte O4 con D1 y llámelo 
eslabón 4. 
6. La línea C1D1 es el eslabón 3, la línea O2O4 es el eslabón 1. 
7. Verifique la condición de Grashof, y repita los pasos 4 a 7 si no está 
satisfecho. Observe que cualquier condición de Grashof es potencialmente 
aceptable en este caso. 
8. Construya un modelo de cartón y verifique su funcionamiento para 
asegurarse de que puede pasar de la posición inicial a la final sin encontrar 
posiciones límite (agarrotamiento). 
9. Verifique los ángulos de transmisión. 
Posible mecanismo 
 
EXPOSICION 4: SINTESIS GRAFICA DE TRES POSICIONES (PARA GENERACION DE 
MOVIMIENTO) 
 
 
Mecanismo de tres posiciones con pivotes moviles especificados 
Dado un mecanismo, ilustrado en la siguiente grafica realizar la síntesis gráfica: 
 
• Procedimiento: 
 
1. Trazar líneas que unan la secuencia de posiciones de cada punto. 
2. Trazar las respectivas bisectrices de los segmentos de recta 
𝐶1𝐶2,𝐶2𝐶3,𝐷1𝐷2 𝑦 𝐷2𝐷3 
3. Identificar la intersección de ambas bisectrices de los segmentos de recta 
𝐶1𝐶2 𝑦 𝐶2𝐶3 y denotar el punto como 𝑂2. De igual manera hacer el mismo 
con los segmentos 𝐷1𝐷2 𝑦 𝐷2𝐷3 pero denotándolo con 𝑂4. 
4. Identificar los eslabones faltantes, ya que se puede deducir por simple 
inspección que el segmento 𝐶1𝐶2 es el eslabón 3. 
• Posible mecanismo: 
 
 
Mecanismo de tres posiciones con pivotes moviles alternos 
Dado el siguiente mecanismo realizar la síntesis gráfica: 
 
 
 
• Procedimiento: 
 
1. Graficar cada una de las posiciones del eslabón a considerar y trazar la 
bancada del mecanismo con respecto a una posición del acoplador. 
2. Trazar líneas de construcción desde cada uno de los extremos del acoplador 
hacia un extremo de la bancada, realizar el mismo proceso con el otro 
extremo de la bancada. 
• Trazar un nuevo pivote pero que tenga relación con el graficado 
anteriormente(medidas), pero basándose en la siguiente posición del 
acoplador. 
3. Se repite el paso dos, pero con la última posición del eslabón y se grafica el 
ultimo pivote. 
4. Se repite el proceso para síntesis de tres posiciones con los pivotes móviles 
específicos. 
 
 
• Posible mecanismo: 
 
 
 
 
EXPOSICION 5: SINTESIS POR GENERACION DE TRAYECTORIA 
Se puede evidenciar diferentes tipos de trayectoria dependiendo de las posiciones 
en las que se encuentren los eslabones, ya va al criterio de la persona elegir cual de 
las trayectorias se asemeja a la buscada. 
Ítems a seguir para trayectorias: 
1. Se debe seleccionar un mecanismo que posea curva de acoplador, además 
de eso que se acerquelo mas aproximadamente con la forma solicitada. 
Esto se obtiene cambiando los parámetros de longitud. 
2. Se puede considerar en adicionar eslabones ya que en algunos casos puede 
tener limitaciones de movimiento. 
3. Se puede verificar los requerimientos de la trayectoria por medio de las 
gráficas de posición, velocidad y aceleración. 
EJEMPLO: 
 
Se puede presentar el caso en el que solo se haga una proyección de las 
trayectorias, la grafica es un mecanismo Slider-Crank, los pasos a seguir para 
realizar la síntesis son: 
 
 
o Se obtienen graficas de la manivela y el bloque. 
o La manivela tiene un movimiento circular, el bloque tiene un movimiento 
rectilíneo. 
o Con esta deducción se puede hacer una relación entre distancias y ángulos. 
o Se obtiene la longitud de la carrera. 
o Al realizar la grafica se pueden deducir los ángulos de avance y retorno, los 
cuales se pueden definir como el intervalo entre [0°,180°] son ángulos de 
avance y del intervalo [180°,360°] son los ángulos de retorno. 
 
o Con este análisis se puede determinar el Q. 
EXPOSICION 6: INTRODUCCION A LAS LEVAS 
 Definicion: 
Es un mecanismo que se conforma por dos partes unidas por una semi-junta (Junta 
deslizante). La primera parte que conforma el mecanismo es llamada leva y la 
segunda se conoce como seguidor el cual se desplaza según el movimiento de la 
leva. 
Su función principal es generación de movimientos alternantes en los cuales se 
requiere posiciones y tiempos de detenimiento. 
Tipos de leva. 
1. Leva de placa: la leva es una placa con determinada forma también 
llamadas lecas radiales abiertas su desplazamiento es rotacional. Posee 
configuraciones como las siguientes: 
2. Leva cilindrica: se conforma por un tambor en el cual el seguidor se 
desplaza por una muesca en la superficie radial del cilindro su 
desplazamiento es rotacional. 
3. Leva lineal: en este caso la leva posee una ranura y se desplaza linealmente. 
 
 
 
 
Tipos de seguidores. 
1. Seguidor de cuña: sigue la trayectoria correctamente, pero posee dos 
problemas principales a alta velocidad, el primero es que presenta fricción y 
el segundo es que se puede generar saltos del seguidor permitidos por el 
resorte que lo mantiene es contacto a la leva. 
2. Seguidor rodillo con pivote: soluciona algunos problemas generados por el 
tipo cuña, sin embargo, se presenta un desgaste en el rodillo dependiendo 
del tipo de material de fabricación causando imprecisiones. 
3. Seguidor de cara plana excetrico: como generalmente estos seguidores son 
excéntricos los esfuerzos aplicados generan fractura del eje por esfuerzos 
cortantes. 
4. Seguidor de cara plana excentrico: posee propiedades similares los 
seguidores anteriores principalmente a los de rodillo con pivote. 
 
 
 
Configuraciones de levas. 
 
 
1. Leva con cierre de forma con seguidor trasladante: 
Es un tipo de leva de placa la cual posee una ranura que no hace necesario 
un resorte para mantener el seguidor y la leva en contacto. Como 
inconveniente posee el doble de fricción que otros tipos de levas. El 
seguidor puede ser de tipo trasladante oscilante. 
 
 
2. Levas conjudas: se usan dos pistan una para generar el movimiento del 
seguidor y la otra para mantenerlo en contacto con la leva. Esta 
segunda leva se diseña por movimiento acoplador una vez se diseña la 
primera. 
3. Leva excentrica circular: este mecanismo de leva seguidor se puede 
representar como un mecanismo de 4 barras(biela-manivela-corredora). 
Sin embargo, no se puede considerar una leva por que el seguidor no 
tiene ningún tiempo o posición de detenimiento. 
 
 
 
EXPOSICION 7: MOVIMIENTO DEL SEGUIDOR 
El mecanismo de leva seguidor solo posee un grado de liberar. El movimiento se 
puede describir en función de un Angulo 𝜃(𝑡) y la salida como un 𝑦 que es el 
movimiento del seguidor. 
Para el diseño de este mecanismo generalmente se inicia con el movimiento del 
seguidor. es decir, partiendo los tiempos para cada una de las posiciones y 
desplazamientos del seguidor se calcula un tiempo total de movimiento. 
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∑ 𝑇𝑖 = 𝑇1 + 𝑇2 + ⋯ + 𝑇𝑁 
Con este dato se pueden calcular tanto la velocidad angular en revoluciones por 
segundo como grados por segundo, esta última con el fin de conseguir el Angulo 
𝜃𝑛 que se necesita para cada movimiento. 
𝜔𝑐𝑎𝑚 =
1𝑟𝑒𝑣
∑ 𝑇𝑖
=
360º
∑ 𝑇𝑖
 
𝜃𝑛 = (𝜔𝑐𝑎𝑚)(𝑇𝑛) 
 
 
Se procede a llevar estos valores a una gráfica para el movimiento del 
seguidor.
 
El siguiente paso es determinar las curvas con las cuales se llega de un nivel 
de altura del seguidor a otro. 
Curvas para el movimiento del seguidor. 
1. Velocidad constante: se lleva de un nivel de altura a otro a través de 
una línea recta en la gráfica lo que representa una velocidad 
constante. Esta puede ser con pendiente positiva o negativa. Esta 
curva se modela con la siguiente ecuación. 
 
 
se pasa entonces a analizar las características de esta curva 
empezando por su perfil de velocidad. Se evidencia que hay cambios 
bruscos de velocidad lo que genera aceleraciones infinitas. Lo 
anterior es perjudicial para el mecanismo. 
 
 
 
 
2. Aceleración constante: esta curva genera una ecuación cuadrática 
para el desplazamiento de la leva. Es mejor que la curva de 
velocidad constante, pero tiene el problema de que los cambios 
bruscos de aceleración generan vibraciones. 
 
3. Movimiento armonico: estas curvan parte de funciones seno y 
coseno su integración y derivación generan nuevamente ondas 
sinusoidales tanto para ascenso como descenso. Estas también 
tienen el problema de cambios bruscos de aceleración. 
 
 
 
4. Movimiento cicloidal: son un conjunto de ondas seno y coseno que 
al sacar su tercera derivada las ondas pasen a cero. Estas curvas se 
utilizan en el movimiento del seguidor para que se desplace de 
forma correcta sin esfuerzos, tensiones o vibraciones. 
 
EXPOSICION 8: LEVAS DE DOBLE DETENIMIENTO 
 
Levas de doble detenimiento: son levas de amplia utilización industrial. Estas 
poseen el siguiente patrón: detenimiento bajo-subida-detenimiento alto-bajada. 
 
 
 
Ley fundamental de diseño de levas: para levas a velocidades más alta de las muy 
bajas se tiene: 
“La función de la leva debe ser continua en la primera y segunda 
derivadas de desplazamiento a través de todo intervalo (360 
grados).” 
Además. 
“La función de rapidez de la aceleración debe ser finita a través de 
todo el intervalo de (360 grados).” 
Todo se resume que las funciones de desplazamiento, velocidades y aceleraciones 
no pueden ser discontinuas. 
Para este caso las levas de forma cicloidal cumplen, sin embargo, se obtienen 
aceleraciones y velocidades pico de gran magnitud. 
 
Levas de doble detenimiento (funciones combinadas): se trata de combinar varias 
funciones para obtener los perfiles correctos. 
Se parte de un perfil de aceleración constante (golpeteo infinito) y se 
modifica a un perfil trapezoidal. 
 
 
Aunque este último cumple se mejora a través de un perfil de onda seno dividido 
en secciones que son rampas de aceleración las cuales se incrustan el perfil de 
aceleración constante generando un perfil más suave. Se concluye entonces que se 
 
 
deben combinar una gran cantidad de funciones complicando matemáticamente el 
perfil. 
 
 
Otra forma es obtener una curva es a través de una sinusoidal modificada. En la 
cual se combinan dos ondas de tipo sinusoidal de dos periodos diferentes para 
obtener la curva requerida. En este caso se necesitan menos ecuaciones por lo cual 
se simplifica matemáticamente. 
 
 
 
 
EXPOSICION 9: FAMILIA SCCA Y FUNCIONES POLINOMIALES 
 
FAMILIA SCCA (Aceleración Coseno-Seno Contante): es una de generar una serie 
de ecuaciones con una solo ecuación. 
Se parte del movimiento de un seguidor mostrado. 
 
 
Posteriormente las variables son normalizadas. 
𝑥 =
𝜃
𝛽, 𝑦 =
𝑠
ℎ
 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑜 
 
 
 
 
Las ecuaciones para cada zona se encuentran en los libros además de los 
parámetros y coeficientes de la familia de funciones SCCA para la réplica de 
funciones. 
 
 
Teniendo en cuenta que las funciones son normalizadas para pasar a variables no 
normalizadas se tiene: 
𝑠 = ℎ𝑦 , 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 
 
 
𝑠 =
ℎ
𝛽
𝑦‘ ,
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑
𝑟𝑎𝑑
 
𝑎 =
ℎ
𝛽2
𝑦‘‘ ,
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑
𝑟𝑎𝑑2
 
𝑗 =
ℎ
𝛽3
𝑦‘‘‘ ,
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑
𝑟𝑎𝑑3
 
Entonces 
𝑆 = 𝑠 , 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 
𝑉 = 𝑣𝜔 ,
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑
𝑠
 
𝑎 = 𝑣𝜔2 ,
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑
𝑠2
 
𝑗 = 𝑣𝜔3 ,
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑
𝑠3
 
FUNCIONES POLINOMIALES: 
 
la curva se puede representar como un polinomio. esto a través de variables 
normalizadas igual a la familia SCCA. 
Este método no es solo para levas de detenimiento simple o doble. Se parte de la 
especificación las condiciones fronteras y su número el cual determina el grado del 
polinomio. Las levas diseñadas con este método se le conocen como levas 
polinomiales. 
 
Se genera un polinomio cuyo número de coeficientes el número de condiciones 
fronteras por lo cual el polinomio grado n-1. Estos coeficientes se encuentran en 
los libros. Se encuentran dos polinomios uno para subida y otro para bajada. Se 
deriva el polinomio de desplazamiento de subida para obtener el polinomio de 
velocidad y aceleración. 
 
 
 
Reemplazando las condiciones fronteras en la ecuación se obtiene un sistema 
cuyas incógnitas son los coeficientes. 
Se obtiene que el polinomio para la rampa de subida es para un polinomio con 6 
condiciones de frontera es: se conoce como polinomio 3-4-5 
 
polinomio 4-5-6-7 se produce con 8 condiciones frontera 
 
 
Este último tiene un golpeteo más suave con respecto a las anteriores sin embargo 
se tiene una mayor aceleración pico. 
 
EXPOSICION 10: LEVAS CON DETENIMIENTO SIMPLE. 
 
Se da un detenimiento simple cuando el seguidor tiene un movimiento subida-
bajada-detenimiento. Este tipo de leva se utiliza para alta velocidad por lo que 
se debe diseñar con la menor cantidad de fuerzas(aceleraciones) y vibraciones. 
 
 
Para el diseño de este mecanismo el movimiento cicloidal es deficiente. Se 
necesita una aceleración que en su ciclo de subida no regrese a cero es decir la 
aceleración del ciclo de bajada debe empezar donde la de subida finaliza. 
 
Funcion armonica doble (dos cosenos): esta se compone de dos cosenos: 
 
Esta función aumenta las aceleraciones al tener un pico muy alto además 
solo se puede utilizar cuando el tiempo de subida es igual al de bajada. 
 
Polinomios a detenimiento simple: se usa un segmento para la subida y una para 
la baja, estos posteriormente se combinan, se obtiene la siguiente función: 
POLINOMIO 3-4-5-6 
 
Se utilizan siete condiciones de frontera, esta última es que a 90° debe subir 
el seguidor debe subir a un pico. Esta una mejor solución que las anteriores. 
 
En el caso de tener segmentos asimétricos no es útil el método de 
polinomios para su diseño. 
 
Movimiento de trayectoria critica (cpm): cuando se necesita un detenimiento 
simple con un movimiento a velocidades constantes lo que se hace es utilizar 
varios polinomios y varios segmentos. 
 
 
 
EXPOSICION 11: DISEÑO GRAFICO DEL PERFIL DE UNA LEVA. 
 
Para el diseño de la leva de manera gráfica se realiza utilizando círculos, lo más 
es el circulo base de tamaño asignado por el diseñador representado por el 
circulo gris. La segunda figura el desplazamiento de un seguidor para una leva 
circular de mayor diámetro. 
 
 
 
Se tiene la siguiente nomenclatura. 
 
 
 
 
 
A continuación, se muestra el diseño de diferentes tipos de seguidor. 
 
SEGUIDOR DE CUÑA: dado el perfil de desplazamiento se asigna un círculo base, 
sobre el circulo asignan los ángulos en sentido contrario al de la dirección del giro 
de la leva. Para cada Angulo sobre el circulo se asignan los valores de la gráfica y 
se grafica el perfil de la leva- 
 
 
SEGUIDOR DE RODILLO EN LINEA: se asigna un círculo base, sobre ese círculo 
se ubica el circulo del rodillo y el punto trazador. Las distancias determinadas 
 
 
en la gráfica se colocan entre el circulo base y el punto trazador para cada 
ángulo. 
 
SEGUIDOR DE RODILLO DESCENTRADO: se coloca el circulo base y el circulo del 
rodillo se ubica el punto de trazado y sobre este se traza una línea en dirección 
del eje del seguidor. Se traza el circulo descentramiento en el origen de circulo 
base y tangente a la línea anteriormente trazada. Se generan los ángulos, se 
colocan las distancias después del circulo dado por el punto trazador 
finalmente se ubican los círculos del rodillo en los puntos finales de las 
distancias y se traza el perfil de la leva tangente a ellos 
 
 
 
SEGUIDOR DE TRASLACIÓN CON CARA PLANA: el proceso es similar al de cuña. 
 
 
 
SEGUIDOR DE RODILLO CON PIVOTE: las alturas se miden con los arcos que se 
mueve el rodillo pivotado. 
 
LEVA AXIAL: se toma el radio del barril con él se crea una superficie y sobre 
esta se dibuja curva de desplazamiento. 
 
 
 
 
EXPOSICION 12: DISEÑO ANALITICO DEL PERFIL DE UNA LEVA Y ANGULO DE PRESION 
 
Se tiene el siguiente perfil de leva en el cual se tiene un desplazamiento par dado 
ángulo. 
 
 
En la leva se representa ese punto como R de coordenada (𝑅𝑥, 𝑅𝑦), el cual se puede 
representar como un vector de magnitud 𝑅 Y un ángulo 𝜃 con respecto a al eje x. por 
tanto. 
𝑅𝑥 = (𝑅𝑏 + ∆𝑅)𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝑅𝑦 = (𝑅𝑏 + ∆𝑅)𝑠𝑒𝑛𝜃 
 
 
 
 
 
En el caso en que la leva se mueva en sentido diferente y tenga una excentricidad y 
con un seguir de rodillo. Donde 𝑅𝑓 es el diámetro del rodillo y 𝑒 es la excentricidad. Se 
debe tener en cuenta que el rodillo tiene un ángulo de desfasamiento con su radio. 
 
 
 
Angulo de presion 
 
• Definicion 
Esta representado por la letra , puede definirse como el ángulo que se 
encuentra entre la dirección del movimiento y la dirección del eje de 
transmisión. 
 
✓  = 0: la fuerza de transmisión se aplica en su totalidad al movimiento 
del seguidor y la velocidad de desplazamiento no le transmiten fuerza. 
✓  = 90 : no habrá movimiento del seguidor. 
Se puede recomendar que el ángulo de presión este entre [0°,30°] ya que si 
supera este rango hay una alta probabilidad de que surjan cargas literales 
excesivas en el seguidor deslizante. Hay una excepción en el cual el 
seguidor oscilante puede llegar hasta el ángulo de 35° y no hay probabilidad 
de aparición de cargas. 
Para valores de ángulos grandes incrementa la fricción en el pivoteo o 
deslizante del seguidor a niveles indeseables. 
 
 
 
 
• Excentricidad: 
Como se muestra a continuación la grafica es de una leva y un seguidor de 
rodillo el cual es un caso general en el que el eje del movimiento del 
seguidor no es concéntrico con la leva. Hay que tener en cuenta la 
excentricidad en este tipo de casos ya que esta define la distancia de la leva 
y el eje del movimiento del seguidor. 
 
 
En el mecanismo, se hace una proyección del eslabón efectivo 1 considerado como 
bancada. Aparece una intersección y se nota como 𝐼2,4 considerado como centro 
 
 
instantáneo y por definición se sabe que tiene la misma velocidad que la leva y el 
seguidor. Se sabe que el seguidor tiene rotación pura se sabe que en todos los 
puntos tendrá la misma velocidad lineal que a su vez es igual a la de 𝐼2,4 en la leva. 
Se determina con esto una expresión para la velocidad de 𝐼2,4 en función de la 
velocidad angular de la leva y el radio de esta. 
𝑣𝐼2,4 = 𝑏𝜔 = �̇� 
Con la siguiente relación se determina que la distancia b al centro instantáneo 𝐼2,4 
es igual a la velocidad del seguidor v. 
 
A continuación, se puede expresar b en función del radio del circulo 𝑅𝑝y la 
excentricidadlograda con la construcción lograda anteriormente. 
1. Se realiza un corte en el eje del movimiento del seguidor cuando oscila el 
arco del radio. 
2. Se determina la longitud del eslabón efectivo 1 a esta intersección. 
3. Se forma el triangulo 𝐴, 𝐶, 𝐼2,4cuyo Angulo superior es el ángulo de presión 
. 
 
 
4. Teniendo en cuenta el triángulo 𝐶𝐷𝑂2 se tiene: 
 
 
5. Al realizar un sistema de ecuaciones despejando para el ángulo de presión 
 se obtiene la expresión en función del desplazamiento s, la velocidad v, la 
excentricidad  y el radio del circulo primario 𝑅𝑝 
 
 
Se puede decir que mientras incrementa 𝑅𝑝 el ángulo de presión se reducirá. Se 
presenta unas limitaciones en los valores grandes de 𝑅𝑝 . 
 
 
• ENGRANAJES TERMINOLOGÍA, NORMATIVIDAD Y REGULACIÓNARCHIVO 
✓ Definición. 
Es una rueda dentada que se utiliza para transmitir movimientos mecánicos 
circulares de un eje a otro, teniendo en cuenta que el moviente se transmite el 
sentido contrario. 
En la imagen se muestran las partes que componen un engranaje. 
 
✓ Terminología. 
➢ Piñón: en un acoplamiento de dos engranajes, es el pequeño. 
➢ Piñón: en un acoplamiento de dos engranajes, es el grande. 
➢ Paso circular (𝑃𝑐): es la distancia en pulgada de un diente a otro. 
➢ Paso diametral (𝑃): es el número de dientes del engrane por pulgada 
de diámetro de paso. 
➢ Modulo (𝑚): es la razón del diámetro de paso al número de dientes 
en milímetros, 
➢ La cabeza (addendum[a]): distancia radial entre borde superior y 
circulo de paso. 
➢ La raíz (dedendum) [b]: es la distancia radial del borde inferior al 
círculo de paso. 
➢ La altura total (ℎ1): suma de addendum y dedendum. 
➢ Circulo de holgura: circulo tangente a la cabeza del engranaje 
acoplado. 
➢ Juego entre dientes: cantidad en que la anchura de un espacio entre 
dientes excede el espesor del diente acoplado sobre el círculo de 
paso. 
✓ Ecuacuaciones. 
➢ 𝑃 =
𝑁
𝑑
 , donde 𝑑 es el diámetro de paso y N número de dientes. 
➢ 𝑚 =
𝑑
𝑁
 , donde 𝑑 es el diámetro de paso y N número de dientes. 
➢ 𝑃𝑐 =
𝜋𝑑
𝑁
= 𝜋 ∙ 𝑚 
➢ 𝑃𝑐 ∙ 𝑃 = 𝜋 
 
 
 
✓ Ley fundamental del engranaje. 
A los perfiles del diente se les da una forma tal que produzca una razón 
constante entre velocidades angulares durante el endentamiento. Las curvas 
que satisfacen esta ley se denominan superficies conjugadas; si no se cumple se 
generan vibraciones y problemas de impacto incluso a bajas velocidades. 
La forma de los dientes de un engranaje debe ser tal que la normal común en el 
punto de contacto entre dos dientes debe pasar siempre a través de un punto 
fijo sobre la línea de centros llamados P. 
 
✓ Teorema de la razón de las velocidades angulares. 
 
Se tiene que: 
𝜔2
𝜔1
=
𝑟1
𝑟2
 
Donde r es radio hasta el punto P. y 𝜔 la velocidad angular. 
“el punto de paso P se debe mantener fijo sobre la línea de los centros” 
No se debe presuponer que cualquier perfil para el que se pueda encontrar una 
conjugada resulta satisfactorio. 
✓ Perfil de involuta. 
Es un perfil de dientes que se utiliza universalmente en los engranajes. Esta curva 
satisface que la normal común en todos los puntos debe pasar por el punto de 
contacto. 
 
La involuta o evolvente del circulo es una curva plana de desarrollo y como se 
puede ver en la siguiente figura se identifica el punto P el cual se representa con 
el punto rojo, la línea celeste representa la línea tangente de los círculos de paso, 
la azul representa el eje de transmisión de la fuerza, el ángulo entre los dos se 
conoce como el ángulo de presión. 
 
 
 
 
✓ Intercambiabilidad de engranes. 
 
Es una norma que identifica las relaciones entre el addendum, dedendum, altura 
de trabajo, espesor del diente y ángulo de presión para lograr la 
intercambiabilidad del de los engranes de todos los números de dientes y paso. 
 
 
 
Se debe seleccionar el sistema adecuado teniendo en cuentas las ventajas y 
desventajas, también se debe utilizar en lo posible los pasos de la siguiente tabla 
con el fin de mantener el inventario de herramientas de corte de engrane. 
 
 
✓ Trazado de un par de engranes. 
El proceso es el siguiente: 
➢ Cálculo de diámetro de paso y trazo de círculos de paso tangentes 
entre sí. 
𝑑 =
𝑁
𝑃
 
➢ Trazo de línea perpendicular a la normal común de los centros, para 
poder construir la línea de presión generando un ángulo de presión. 
➢ Se construyen perpendiculares en cada engrane con respecto a la 
línea de presión. Este representa el radio del circulo base, se debe 
trazar dicho circulo. 
➢ Generar curva de involuta en cada circulo base. Se divide los 360° en 
el numero de dientes para determinar el ángulo para el trazo de la 
línea radial. 
Posteriormente se construyen las perpendiculares a las rectas radiales y 
tangentes al circulo de base. El primer punto es A0, el segundo punto es 
la distancia de A0 con el siguiente punto, se trazan los mismos puntos de 
la misma forma. 
➢ Con ayuda de una hoja se realiza el trazo de la curva para determinar 
la mitad del diente. 
➢ Se debe determinar el paso circular ya que para la construcción de la 
anchura del diente y el espacio corresponde a la mitad del paso 
circular. 
𝑃𝐶 =
𝜋
𝑃
 
 
 
 
 
➢ Construcción de círculos de addendum y dedendum 
Por tablas.𝑎 =
1
𝑃
 y 𝑏 =
1.25
𝑃
 
➢ Se traza la porción de involuta de los perfiles de los dientes para 
engrane y piñón. 
 
En el piñón el circulo base está por encima de la raíz del diente, el perfil del 
diente entre el circulo base y el dedendum no es involuta. 
✓ Cremallera de involuta. 
 
La cremallera se considera un engrane de dientes rectos con un diámetro de 
paso infinitamente grande. Por tanto, se tendría un numero infinito de dientes 
en la misma. 
 
 
 
 
Los lados de los dientes de involuta son paralelos y tienen una distancia 
constante y fundamental entre ellos. El paso de base y el paso circular tienen la 
siguiente relación. 
𝑐𝑜𝑠∅ =
𝑃𝑏
𝑃𝑐
 
 
 
✓ Engranaje interno. 
 
Los dos centros se encuentran en el mismo lado del punto de paso y se invierten 
las posiciones del círculo de addendum y dedendum respecto al círculo de paso. 
 
✓ Interferencia y socavado. 
 
El perfil de involuta del diente se define entre el circulo base y el circulo de 
addendum (engranajes de pocos dientes). Si el diente del engrane contactara 
esta porción del diente del piñón, se infringirla la condición fundamental de la 
razón de velocidad constante, el contacto de partes de los perfiles de dientes no 
conjugados (que no poseen el perfil de involuta). que es el caso del piñón, se 
 
 
llama interferencia. El diente del engrane intenta penetrar el diente del piñón, 
esto provoca que se pierda material lo que a su vez debilita el diente lo que se 
denomina socavamiento. Para evitarlo se debe diseñar aumentar el número de 
dientes de forma par en igual proporción para el conjunto de engranes, lo 
anterior genera más tamaño y peso del mismo. 
 
 
Las siguientes tablas muestran los números de dientes mínimos para evitar 
interferencia. 
 
 
 
 
 
Otra forma de evitar la interferencia es el uso de formas de dientes de cabeza 
desigual. El AGMA estipula formas de cabezas de dientes de profundidad 
total como las mostradas en la siguiente figura en la parte izquierda: 
 
Lo que sucede es que se varían las proporciones en igual medida del addendum 
y el dedendum manteniendo la altura total del diente y la curva de involuta del 
diente. 
✓ Razón de contacto. 
Es el número de dientes que están en contacto en un momento de terminado, 
este contacto se genera en una zona de acción sobre la línea de presión. Se debe 
tener en cuenta que siempre la cabeza del impulsado choca contra el flanco del 
impulsor. 
 
Se debe considerar la distancia radial de A hasta P y de P hasta B.el primer arco 
se llama arco de aproximación 𝑞𝑎 y el segundo arco de retroceso 𝑞𝑟. Por tanto: 
𝑞𝑡 = 𝑞𝑎 + 𝑞𝑟(𝐴𝑅𝐶𝑂 𝐷𝐸 𝐴𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁) 
Se dan dos situaciones. 
1. Si 𝑞𝑡 = 𝑝𝑐, donde 𝑝𝑐 es el paso circular, entonces. cuando se inicia el contacto 
en 𝑎 se termina el contacto en 𝑏. 
 
 
2. Si 𝑞𝑡~1.2𝑝𝑐 se tendrán dos pares de dientes en contacto. 
Las ecuaciones para su cálculo son así. 
𝑚𝐶 =
𝑞𝑡
𝑃𝑐
 
O también. 
𝑚𝐶 =
𝐿𝑎𝑏
𝑝𝑐𝑐𝑜𝑠𝜃
 
Donde 𝐿𝑎𝑏 es la distancia de la línea de acción. 
De una forma más rigurosa. 
 
 
 
𝑅𝑜𝑝 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑖ñó𝑛 
𝑅𝑏𝑝 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑖ñó𝑛 
𝑅𝑂𝐺 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑛𝑔𝑟𝑎𝑛𝑒 
𝑅𝑏𝐺 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑛𝑔𝑟𝑎𝑛𝑒 
𝐶 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑠 
𝑃𝑐 = 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 
𝑃𝑏 = 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒 
∅ = 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 
 
 
 
 
 
✓ Variación entre centros. 
El circulo de paso de genera cuando se conectan varios engranajes y se posee un 
radio entre centros de los círculos bases. Si el contacto de los dientes se da en 
zonas no conjugada no se cumplirá con la ley fundamental de los engranas, una 
opción para solucionar esto es variar la distancia en entre los centros de los 
círculos bases con el fin de que se dé el contacto en la curva de involuta. 
Dicha variación lo que genera es un cambio en el ángulo de presión, debido a 
que los círculos base ya están construidos y se mantienen constantes en su 
separación; también la línea de contacto de disminuye a medida que se separa 
los dientes, como consecuencia de lo anterior mas fuerza entre diente va a 
aumentar, aumentan sus velocidades. 
✓ Juego entre dientes. 
El incremento en la distancia de centros provocará un incremento en el juego 
entre diente. 
𝑚𝑐 =
√𝑅𝑜𝑝2 − 𝑅𝑏𝑝2 + √𝑅𝑜𝐺2 − 𝑅𝑏𝐺2 − 𝐶 ∗ 𝑠𝑒𝑛∅
𝑃𝑐 𝑐𝑜𝑠∅
 
𝑅𝑜𝑝 =
𝑁𝑝 + 2
2𝑃𝑑
 𝑅𝑏𝑝 =
𝑁𝑝
2𝑃𝑑
𝑐𝑜𝑠∅ 
𝑅𝑜𝐺 =
𝑁𝐺 + 2
2𝑃𝑑
 𝑅𝑏𝐺 =
𝑁𝐺
2𝑃𝑑
 𝑐𝑜𝑠∅ 
𝐶 =
𝑁𝑝 + 𝑁𝐺
2𝑃𝑑
 𝑃𝑐 =
𝜋
𝑃𝑑
 
 
 
 
Se tiene la siguiente ecuación para el juego angular: 
 
El juego entre dientes genera oscilaciones, que pueden producir falla y para 
solucionar eso se usan engranajes anti-juego. 
✓ Dientes no estandar de engranajes 
 
Se puede identificar que al modificar aspectos o características del engrane puede 
generar ciertos efectos, con dichas modificaciones no se anulan la 
intercambiabilidad se busca mejorar el funcionamiento generalmente para evitar la 
interferencia, eliminar la socavación y mantener una razón de contacto constante 
 
Algunas modificaciones que se pueden presentar son: 
• Modificaciones de la holgura 
• Modificaciones de la distancia entre os centros 
• Sistemas de adendum largo y corto 
 
➢ MODIFICACIONES DE LA HOLGURA: la holgura es la parte inferior del 
diente, al ser modificado tiende a cambiar el chaflan o sea también 
aumenta el tamaño del diente y con esto aumenta la resistencia a la 
fatiga y le da mayor altura para el cepillado del perfil. 
Comúnmente se utiliza la modificación de la holgura hasta 0.400/𝑃 
 
 
 
 
➢ MODIFICACIONIES DE LA DISTANCIA ENTRE LOS CENTROS: al hacer 
esta modificación hay una reducción en la interferencia y 
conjuntamente mejora la razón de contacto. 
Esta modificación se logra cambiando las proporciones del diente y 
del ángulo de presión, con esto se pueden producir cortadores de 
cremallera esto se lleva a cabo cuando la línea de paso se ha 
desplazado en relación al círculo de paso 
 
El aumento sobre la magnitud estándar está representado por: 
2𝑒 tan 𝜙 
Y el nuevo espesor del diente esta representado por la siguiente 
expresión: 
𝑡 = 2𝑒 tan 𝜙 +
𝑝
2
 
A continuación, se puede simular como se hallan los nuevos valores 
realizando el cambio de la distancia entre los centros 
 
 
 
 
➢ SISTEMAS DE ADDENDUM LARGO Y CORTO: en esta modificación no 
existe ningún cambio en los círculos de paso ni en el ángulo de 
presión. 
Consiste en alejar la región de contacto del piñón, aproximándola al 
centro del engrane dejando en una corta distancia la acción de 
aproximación y alargando la de retroceso. 
 
En la grafica anterior se muestran dos tipos de engranes, la de la derecha 
muestra el sistema sin modificaciones o estándar, en el que el addendum 
y dedendum son iguales, esto genera en los dientes una interferencia con 
lo cual se pretende hacer una modificación en el tamaño del dedendum 
(disminución) del piñón, teniendo en cuenta que el addendum va a 
aumentar, con esto se busca disminuir dicha interferencia en el 
segmento BD. 
 
➢ VENTAJAS Y DESVENTAJAS 
• Se obtiene mayor acción de retroceso que de aproximación 
• Si los engranes acoplados no son del mismo tamaño no ofrece 
ninguna ventaja ya que al incrementar el addendum en cualquier 
engrane aumentaría la socavación del otro. 
✓ Perfil cicloidal 
Este perfil se puede construir por medio del rodamiento de un círculo sobre un 
círculo base. Al hacer este movimiento se generan dos curvas la hipocicloidal y 
la epicicloidal. 
 
• HIPOCICLOIDE: Es la curva formada al hacer girar un circulo al interior 
del circulo base. 
• EPICICLOIDE: Es la curva formada al hacer rodar un circulo al exterior 
del circulo base. 
 
 
Se debe tener en cuenta que el circulo utilizado para la formación de la 
epicicloide en el engrane, es el mismo circulo que se va a utilizar para la 
formación de la hipocicloide del piñón, de la misma manera el circulo utilizado 
para la formación de la hipocicloide de el engrane es el mismo que se va a utilizar 
en la formación de la epicicloide del piñón, expresado en la siguiente figura 
 
 
Se puede establecer que con la ley de engranes una relación, la cual puede 
determinarse casi siempre como 1:3 respecto a los diámetros de los círculos; 
además se establece que el circulo base de un engrane cicloidal corresponde al 
círculo de paso. 
 
➢ PRO Y CONTRA 
➢ PRO 
• La forma de los dientes tiene un perfecto dentado 
• La producción de estos perfiles funciona con un número 
menor de dientes. 
 
 
 
 
➢ CONTRA 
• Poseen alta sensibilidad a los ajustes inexactos de la distancia 
entre ejes. 
• No posee un ángulo de presión constante ya que la línea de 
acción del engrane no es recto. 
• Dicho ángulo de presión variable genera ruido, desgaste 
adicional y produce cambios en los cojinetes. 
• Engranjes helicoidales con ejes paralelos. 
Normalmente se prefiere el uso de engranajes rectos para la transmisión de 
movimiento, debido a que se facilita el diseño y su fabricación es más económica, 
además son más silenciosos que lo engranajes rectos. Los engranajes helicoidales 
tienen diferentes configuraciones de eje como: ejes paralelos, ejes oblicuos o ejes 
perpendiculares. 
Los engranajes helicoidales de ejes paralelos proporcionan una marcha más suave 
que la de los engranajes rectos, ya que se da contando entre varios pares de 
dientes a la vez. Como resultado se da una transmisión de movimiento más 
uniforme segura. La forma de los dientes de estos engranajes es un helicoide de 
involuta. 
Los engranajes rara vez se intercambian, normalmente se fabrican a pares. 
 
 
En los engranes helicoidales la recta que es tangente al diente de paso y cuyo 
ángulo es el ángulo de hélice es diagonal a la cara del diente, el gradual 
encastramiento de los dientes y la suave transferencia de carga da la capacidad de 
 
 
transmitir pesadas a altas velocidades. 
 
Para acoplar engranes helicoidales estos deben estar a diferente mano pero con 
mismo ángulo de hélice. 
 
✓ Relación entre los dientes de engranajes helicoidales. 
La relación de los dientes se entiende mejor a través de una cremallera 
helicoidal. 
Para una cremallera helicoidal se tienen los siguientes términos. 
𝜓 = Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑒𝑙𝑖𝑐𝑒. (𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑎𝑙) 
𝑃𝑡 = 𝑃𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 
𝑃𝑛 = 𝑃𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 = 𝑃𝑡cos (𝜓) 
𝑃𝑥 = 𝑃𝑎𝑠𝑜 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 =
𝑃𝑡
tan (𝜓)
 
𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑃𝑛 ∙ 𝑃𝑛
′ = 𝜋 
𝑃𝑛
′ = 𝑃𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 =
𝑃𝑡′
cos (𝜓)
 
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑃𝑡
′𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 
 
Se puede asumir un engranaje helicoidal desdoblado como una cremallera 
helicoidal cuyos dientes poseen un ángulo (ángulo de hélice). Cabe resaltar que 
 
 
el corte A-A es un corte sobre el eje (transversal). Mientras que el corte B-B es 
un corte normal al eje, en este último dejaría ver los dientes como si fueran 
rectos. 
 
Debido a la angularidad de los dientes se definen dos ángulos de presión. 
Φ𝑡 = Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 
Φ𝑛 = Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 
Partiendo de estos ángulos se puede expresar el ángulo de hélice como: 
𝑐𝑜𝑠𝜓 =
tan Φn 
tan Φt 
 
 
 
 
Las ecuaciones y relaciones que se aplican en engranajes rectos, también se 
aplican en plano transversal de los engranajes helicoidales en la siguiente figura 
se realiza un corte A-A. 
 
Para determinar la como se compartan las relaciones geométricas entre un 
engranaje recto y uno helicoidal se utiliza la elipse data por la intersección del 
plano y el cilindro de paso de radio. en el punto de paso P es tiene un radio del 
cilindro 𝑟𝑒, entonces se tiene. 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
𝜌(𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎) =
[1 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
2
]
3
2
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
 
𝜌 =
𝑎2
𝑏
 
𝑎 =
𝑟
cos 𝜓
 𝑦 𝑏 = 𝑟 
𝑟𝑒 =
𝑟
cos2 𝜓
 
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑛𝑔𝑟𝑎𝑛𝑎𝑗𝑒 ℎ𝑒𝑙𝑖𝑐𝑜𝑖𝑑𝑎𝑙 
𝑦 𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 
Si se necesita determinar el número se tendría la siguiente relación. 
𝑁𝑒 =
𝑑
cos2 𝜓
∙
𝑃𝑡
cos 𝜓
=
𝑁
cos3 𝜓
 
✓ PROPORCIONES DE LOS DIENTES EN LOS ENGRANEJES HELICOIDALES. 
No existen proporciones estándar para los dientes de este tipo de engranajes. 
Como regla general las proporciones se basan en un ángulo de presión de 20°. 
 
 
Con esto se consigue utilizar las proporciones mostradas en la tabla, además, 
para dar uso de las proporciones mostradas en la tabla se emplea el paso 
diametral normal. 
Estas proporciones son adecuadas para ángulos de hélice entre 0 y 30°, sin 
embargo, se estandarizaron ángulos de 15, 23, 30 ,45°. Se selecciona el ángulo 
según la velocidad a transmitir y su relación de velocidades se determina igual 
que en los engranajes rectos. 
 
✓ Contacto de los dientes en los engranejes helicoidales. 
En los engranajes rectos hay un contacto puntual (realmente es una línea) entre 
diente y diente que se desplaza por la cara de los dientes. Pero en lo helicoidales 
aparece un contacto puntual que se va convirtiendo en una línea recta oblicua y 
termina en el lado opuesto al punto inicial. A esto ultimo se le denomina 
encastramiento gradual de los dientes. 
 
Un engranaje helicoidal respecto a uno recto con el mismo diámetro y paso 
diametral es mas fuerte, la transmisión de fuerza ya no se da sobre una línea 
horizontal sino sobre la línea oblicua mostrada en la figura, como esta tiene mas 
longitud se da una mayor transmisión de potencia, sumado a esto, otra ventaja 
 
 
es que la longitud del diente es mayor al ancho del engranaje que representa 
mayor superficie lo que implica menor grosor del engranaje para transmisión de 
altas potencias. 
La desventaja de estos engranajes es que generan fuerzas de empuje en 
direcciones axiales. En la figura se muestra la ubicación de los rodamientos 
debido a las fuerzas generadas en cada caso de los engranajes en contacto. 
 
Existen tres clases de razones de contacto para evaluar el desempeño del 
engranaje. 
𝑚 = 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 
𝑚𝑛 = 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 =
𝑚
cos2 𝜓𝑏
 
La razón de contacto transversal se halla sobre la cara radial del engrane o plano 
transversal del engrane, mientras que 𝑚𝑛 se determina sobre el plano normal, 
estás dependen de la geometría de un par de engranajes acoplados. 
𝜓𝑏 = 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 ℎé𝑙𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 
𝜓 = 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 ℎé𝑙𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑜 
Para los ángulos se tiene la siguiente relación. 
𝜓𝑏 = tan 𝜓 cos 𝜙 
También se tiene la razón de contacto Axial también llamada contacto de cara 
solo depende de la geometría de un solo engrane. 
𝑚𝑛 = 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 =
𝐹
𝑃𝑥
=
𝐹 tan 𝜓 
𝑃𝑡
 
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 
 
 
 
Finalmente se tiene una razón de contacto total que es la suma de la razón de 
contacto de cara y transversal. Da el numero toral promedio de dientes en 
contacto. 
✓ Engranes de espina de pescado. 
En esta configuración balancea las fuerzas de empuje generadas en los 
engranajes helicoidales simples. Se tiene la desventaja de un montaje difícil ya 
que el encastramiento se genera al inicio en la parte central y se distribuirá hacia 
afuera y si no están orientados no funcionará. Este tipo de engranaje se utiliza 
en transmisión de altas potencias como en transmisiones de buques. 
Exista también el doble engrane helicoidal donde se elimina la parte central del 
de espina de pescado reduciendo la complejidad de su montaje. 
 
 
• ENGRANEJES CONICOS DE DIENTES RECTOS. 
Este tipo de engranaje se utiliza para la transmisión de movimiento entre ejes que 
son concurrentes (que se cruzan en el espacio), el ángulo entre los ejes puede ser 
mayor, menor e igual a 90°. 
✓ Forma del diente. 
Las condiciones acción y de contacto se representan sobre una superficie esférica. 
Esto quiere decir que haciendo girar dos engranajes rectos como se muestra en la 
figura se obtendría dos una configuración de engranajes cónicos. 
 
 
 
Partiendo de esto, se pude determinar de la verdadera forma del diente se traza una 
superficie esferica que pase por el diente y cuyo centro sea el punto de corte de los 
ejes. Obviamente es la forma para el radio de la esfera dada, sin embargo este radio 
puede variar, al aumentar el radio de la esfera asu vez aumenta el la superficie de 
esta, como el numero de dientes es el mismo pero la superficie de la esfera aumenta 
se da un aumenta en el tamaño de los dientes. 
En caso contrario cuando el radio de la circunferencia se acerca al modulo, se da una 
reducción en el modulo. Se deduce que el numero de modulos es infinito mientras 
que el numero dientes es constante, por tanto se tiene un numero infinito de 
diametros de paso, se estandariza el diametro de paso en engranajes conicos como 
el diametro de la base del cono primitivo. 
 
✓ Razon de velocidades. 
Se da igual que los engranajes rectos. 
𝜔2
𝜔3
=
𝑟3
𝑟2
=
𝑁3
𝑁2
 
Partiendo de que. 
Σ = 𝛾2 + 𝛾3 
Σ = ángulo entre los ejes 
𝛾 = 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 
Se obtiene que la razón de velocidad en los engranajes cónicos se puede 
expresar en función del ángulo primitivo. 
 
 
tan 𝛾2 =
𝑠𝑒𝑛 Σ
N3
N2
+ cos Σ
 
tan 𝛾3 =
𝑠𝑒𝑛 Σ
N2
N3
+ cos Σ
 
Un caso especial es el que se muestra a continuación y se da cuando el ángulo 
es de 90°. 
tan 𝛾2 = N2/N3 
tan 𝛾3 = N3/N2 
Para el diseño cinemático se debe conocer el numero de dientes y de cada 
engranaje y el ángulo entre los ejes. 
 
 
 
✓ Aproximación de Tredgold. 
Debido a que proyectar los dientes sobre una superficie esférica es un proceso 
complejo. Se utiliza el método de Tredgold que da buenas aproximaciones para 
engranajes de 8 o mas dientes y que reduce el problema a engranajes rectos 
ordinarios. 
 
El método se basa en trazar conos posteriores que son perpendiculares a los 
conos de paso y que se trazan a partir de la base del mismo cono. Con estos 
conos se construyen engranajes rectos equivalentes. Sus ecuacionesse 
muestran a continuación. 
𝑅𝑒2 =
𝑅2
cos 𝛾2
, 𝑅𝑒3 =
𝑅3
cos 𝛾3
 
Se determina el numero de dientes de los engranajes equivalentes como. 
𝑁𝑒 =
2𝜋𝑅𝑒
𝑝
 
 
 
El numero de dientes en los engranajes equivalentes normalmente no es 
entero, y se usa la siguiente razón para transpórtalos a el engranaje cónico: 
𝑁𝑒 = 𝑁
𝑟𝑒
𝑟
=
𝑁
𝐶𝑜𝑠 𝛾
 
 
✓ Proporciones de los dientes en los engranajes conicos. 
Se estandariza que el ángulo de presión con el que se construye este tipo de 
engranajes es 20° y normalmente se utiliza un sistema de adendum largo y corto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La característica principal de los engranajes cónicos es que se presentan 
esfuerzos de flexión, como resultado de que tiende a sacar el extremo más 
pequeño del diente, haciendo que el esfuerzo en el extremo más grande sea 
mayor, para contrarrestar esto se utilizan anchos de cara pequeños. 
 
Se debe tener en cuenta que el vértice del cono de cara no coincide con el vértice 
del cono de paso como consecuencia de que se necesita mantener una holgura 
 
 
entre los dientes, por ello se deben poner en paralelo la cara del diente engrane 
con la raíz del engrane que se encaja, permitiendo un chaflan más grande en el 
extremo menor. 
✓ Formacion de los dientes de engranajes. 
Existen varias maneras fabricar engranes como la siguientes: 
1. Fundición en moldes de arena 
2. Vaciado de cascaron 
3. Fundición revestida 
4. Fundición en molde permanente 
5. Fundición a troquel 
6. Fundición centrifugada 
7. Metalurgia de polvos 
8. Extrusión de Material 
 la extrusión de material es el proceso donde se parte de una barra del material 
para dar forma a los dientes engranes, y luego se corta el ancho que se necesite. 
En caso de engranajes que deben soportar grandes cargas en comparación con 
su tamaño se utiliza acero y se cortan con cortadores, esta herramienta la 
herramienta de corte puede ser de dos tipos la que tiene la forma exacta del 
espacio entre dientes, y la que usa una herramienta con una forma diferente al 
perfil del diente y se va moviendo por la pieza hasta dar la forma deseada. 
 
En la actualidad se emplean tres métodos de extrusión de material para 
engranes: 
 
• Fresado: Usa cortadores de forma y solo puede cortar un espacio entre 
dientes a la vez, después se gira el cilindro de trabajo un paso circular 
para iniciar el nuevo espacio. 
La desventaja es que se necesitan muchas herramientas de corte de diferentes 
tamaños ya que cada una es casi única para un tipo de engrane. 
 
 
 
 
• Cepillado: La herramienta de corte puede ser una cremallera o un 
cortador de piñón. En el caso de la cremallera esta tiene un movimiento 
que avanza hacia el disco de trabajo, el cortador rueda ligeramente 
sobre los círculos de paso, trabajando más de un espacio entre dientes a 
la vez, una vez el disco en blanco y el cortador han girado una distancia 
igual al paso circular, regresan al punto de partida. 
 
• Fresa maestra: Emplea un cortador cilíndrico con una o más roscas 
helicoidales, se hace girar continuamente con una razón apropiada de 
velocidades angulares, y la herramienta de corte también va subiendo 
ascendiendo sobre el cilindro en blanco, para ir modelando la 
profundidad de los engranajes. 
 
 
 
 
 
• ENGRANES CONICOS: GUSANO, ESPIRALES, ZEROL, HIPOIDALES y ESPIROIDALES. 
✓ Engranaje de gusano. 
Este tipo de engranajes se utiliza cuando se tiene la necesidad de reducir en gran 
medida la velocidad entre ejes cruzados que no se intersecan. Es un hilo de rosca 
que se forma sobre un eje. 
Se compone una rueda de diámetro grande junto un tornillo que engrana con 
los dientes de la rueda helicoidal, este tornillo también se le conoce como “sin 
fin”. En la figura se muestra relacionados a este tipo de engranajes. 
 
No existe una relación entre el numero de diente y el diámetro de paso de un 
gusano. Y este gusano se diseñan a partir de una superficie de paso cilíndrica. 
El engranaje normalmente es el impulsado y el gusano el impulsor. 
 
Se tienen dos tipos de esta configuración de engranajes: 
 
 
Envolvente simple: El engrane se acopla con un gusano cilíndrico. 
 
Doble envolvente: cuando el gusano tiene una forma distinta a la cilíndrica como 
es el caso de la forma de reloj de arena. 
Se diferencian de los engranes helicoidales cruzados debido a que el gusano 
engranaje tienen un contacto lineal y no puntual como en el otro caso. Por tal 
motivo, se pude transmitir mas potencia respecto a los engranajes helicoidales 
cruzados. 
 
Se tiene que el diámetro de paso del engrane es el mismo que el de engranes 
rectos, es decir: 
dn =
Nn𝑝
𝜋
 
Donde Nn es el número de dientes, 𝑝 es el paso circular y dn en el diámetro de 
paso. 
 
El AGMA recomiendo que la siguiente relación entre el diámetro de paso del 
gusano y la distancia entre centros. 
𝑑2 =
(𝑟2 + 𝑟3)
0.875
2.2
 
Donde (𝑟2 + 𝑟3) es la distancia entre centros. 
El avance de un gusano es la distancia que se mueve un punto sobre la hélice 
cuando el gusano da una revolución completa. Se tiene la siguiente ecuación. 
𝑙 = 𝑝𝑥𝑁𝑔𝑢𝑠𝑎𝑛𝑜 
Donde 𝑙 es el avance en pulgadas, N es el número de dientes del gusano y 𝑝𝑥 es 
el paso axial. 
El ángulo de avance y el avance se relacionan así. 
ʎ = 𝑡𝑎𝑛−1
𝑙
𝜋𝑑2
 
para un addendum de 
1
𝑃
 para engranajes rectos se tienen las proporciones 
mostradas en la tabla. 
 
 
 
El ancho de la cara se determina con una tangente al círculo de paso como se 
muestra. 
 
 
✓ Corona dentada y de engranajes de cara. 
Cuando el ángulo de paso engranajes cónicos es igual a 90°, el cono de paso se 
transforma en una corona dentada que es una superficie plana. Una corona 
dentada es el equivalente a una cremallera en el engranaje recto. 
 
Si utilizamos un engrane de cara endentado con un engranaje recto es posible 
obtener un juego de engranes pseudoconicos, ya que le ángulo entre los ejes es 
de 90°. 
✓ ENGRANAJES CONICOS ESPIRALES. 
El engrane cónica espiral es el equivalente cónico del engrane helicoidal. En la 
siguiente figura muestra un de engranes cónicos espirales. 
 
 
 
Este tipo de engranajes posee las siguientes características. 
1. Menor ruido. 
2. Mayor transmisión de fuerza que el engranaje helicoidal. 
3. Mayor suavidad en la transmisión de movimiento. 
La razón de contacto debe ser de por lo menos 1.25, los ángulos de presión más 
comunes son 14,5° y 20°, el ángulo de espiras 𝜓 de 30° o 35°, pueden ser de 
mano derecha o izquierda. 
 
Para la fabricación un dato importante es el ángulo de espiral se mide como el 
radio medio del engranaje. los engranajes cónicos espirales se conjugan con una 
cremallera de corona básica. 
 
✓ Engranaje conico zerol. 
El engrane cónico Zerol es un engrane que tiene dientes curvos(diferencia con 
engranajes cónicos) y con ángulo espiral 𝜓 = 0° de cero grados. 
Se diseña para aprovechar la maquinaria cortadora que se usa para producir 
engranes cónicas espirales, este tipo de engranaje no tiene ventaja alguna sobre 
el engrane cónico recto. 
 
 
 
✓ Engranajes hipoidales. 
Es un engrane similar a los cónicos rectos y al engranaje de gusano, pero sus ejes 
van descentrados y excéntricos, su superficie de paso es un hiperboloide de 
revolución. 
La acción de este tipo de engranes es una combinación de rodadura y 
deslizamiento a lo largo de una recta. 
 
Este tipo de engranes tienen mucho en común con los engranes de gusano por 
el movimiento es similar al movimiento de atornillado, 
Sus principales características son: 
1. mayor desplazamiento positivo que se tenga, mayor será la fuerza entre los 
dientes. 
2. este tipo de engranes requieren lubricación especial. 
3. Si existe un desplazamiento negativo disminuye el anglo de espiral y a su vez 
el tamaño del engrane. 
 
• ENGRANAJES HELICOIDALES CRUZADOS. 
Este tipo de engranaje se utilizapara ejes que no son paralelos pero que tampoco 
se interceptan. Los engranajes helicoidales cruzados iguales a los engranajes 
helicoidales ordinarios, pero se diferencian en su montaje. La siguiente figura 
muestra cómo se da el contacto de estos engranajes. 
 
 
 
 En este tipo de engranajes se presenta un contacto puntual, que posteriormente se 
puede convertir en una línea de desgaste. como este contrato solo es un punto, los 
engranajes helicoidales cruzados son utilizados para transmitir pequeñas cargas. 
Además, tienen la ventaja de que la precisión de montaje no debe ser tanta, se 
puede tener una pequeña holgura, permitiendo así, que se pueda realizar un 
montaje con diferente distancia entre centros e incluso con diferente ángulo entre 
ejes. 
A diferencia de los engranajes helicoidales ordinarios, el montaje de estos 
engranajes se da con engranajes de la misma mano. 
 
 
 
La anterior figura muestra dos engranajes helicoidales cruzados con ángulo entre 
ejes diferente a 90°, desde la vista se traza una línea rosa que representa la hélice 
del engranaje pequeño (piñón) para el diente superior, ahora, si el engranaje gira 
esa la línea pasará a ser la roja punteada, que es la hélice del mismo diente en la 
parte inferior del piñón y también es la hélice del diente superior del engranaje 
grande (rueda). Si el piñón se corta y se desdobla se generaría la cremallera 
intermedia donde se verían las líneas de hélices que serían iguales a las de la 
cremallera generada por la rueda. Finalmente, la línea azul representa la fuerza que 
realiza el diente del piñón al diente del engrane y es normal a la hélice común. 
La cremallera generada por el engranaje se muestra a continuación, la vista frontal 
o tangencial se obtiene de mirar la cremallera de frente, en esta vista con respecto 
al eje se ubica el ángulo de hélice. si se realiza un corte respecto a este ángulo se 
obtendrá un perfil normal. La línea azul representa la fuerza con la que un diente 
empuja de manera normal al otro diente. A partir de este perfil se obtiene el paso 
normal con el cual se dan las especificaciones de los dientes. 
 
 
 
 
Partiendo de las siguientes configuraciones mostradas, se conoce que. 
 
Σ = 𝜓1 ± 𝜓2 
𝑠𝑖 𝑠𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑜 (+) 
𝑠𝑖 𝑠𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 (– ) 
Para de terminar lo anterior se tiene que comprobar si es positivo o negativo, se 
debe tener en cuenta la siguiente figura, donde el ángulo de hélice es el ángulo de 
la línea roja común para los dos engranajes y el eje de cada engranaje. 
 
 
 
La relación de velocidades varia para este tipo de engranajes, sino que se tienen las 
siguientes ecuaciones. 
El diámetro de paso será: 
𝑑 =
𝑁
𝑝𝑛 cos 𝜓
 
Donde N es el número de dientes, 𝑝𝑛 es le paso diametral normal y 𝜓 es el ángulo 
de hélice. Por tanto, la razón de velocidades es. 
|
𝜔3
𝜔2
| =
𝑁2
𝑁3
=
𝑅2 cos 𝜓2
𝑅3 cos 𝜓3
 
Si ambos engranajes son de la misma mano y los ángulos de hélices no son iguales, 
el engranaje de ángulo de hélice mayor debe ser el impulsor. Esto solo se aplica en 
casos especiales. 
Como se tiene un contacto puntual se debe tener una razón de contacto de 2 o más. 
Se fabrican normalmente con un ángulo de presión bajo y dientes profundos. 
 
 
 
 
 
 
Como se tienen fuerzas axiales se debe considerar la colocación de cojinetes de 
empuje partiendo del análisis realizado, si no se pude realizar el análisis se deben 
buscar graficas como las mostradas a continuación donde se ilustre la ubicación de 
los cojinetes. 
 
 
 
• TRENES DE ENGRANAJES 
 
✓ Definicion: 
Un tren de engranajes es un sistema formado por varios engranajes conectados 
entre sí con el fin de transmitir: Fuerza, movimiento y velocidad 
 
✓ Relación velocidad-sentido del movimiento 
 
 
 
 
✓ Gran cambio de velocidad y común en transmisión automática vehículos 
 
✓ Relación velocidad-aceleración 
Se debe tener en cuenta la siguiente expresión: 
𝑉𝑇 = 𝜔 ∗ 𝑟 
Se encuentran dos condiciones: 
➢ Al compartirse el eje de giro, se comparte la velocidad angular () 
𝜔𝐴 = 𝜔𝐵 
➢ En el contacto entre dos ruedas, se comparte la velocidad tangencial 𝑉𝑇 
Teniendo en cuenta eso se tiene: 
𝑉𝑇𝐵 = 𝑉𝑇𝐶 
𝜔𝐵𝑟𝐵 = 𝜔𝐶𝑟𝐶 
 
 
 
✓ Solución de trenes de ejes fijos y de ejes móviles (planetarios) 
➢ Para trenes ordinarios ejes fijos: 
El valor del tren o relación de transmisión total: 
𝑒 =
𝑛𝑆
𝑛𝐸
=
𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 # 𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 # 𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑑𝑜𝑠
. 
𝑒 =
𝑛𝐸
𝑛𝑆
=
𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 # 𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 # 𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠
. 
Donde: e es el valor de tren o relación de transmisión, nS es la velocidad 
de salida y nE es la velocidad de entrada. 
 
 
➢ Para trenes planetarios de ejes móviles: 
• Numero de dientes que conforman un tren planetario. 
𝑅 = 𝑠 + 2𝑃 
Donde R es el numero de dientes de la corona, s es el numero de 
dientes del engrane solar y P el numero de dientes del planeta. 
 
En el caso donde hay mas de un planeta montado sobre el mismo 
eje, se suman el numero de dientes y se divide entre dos; así: 
𝑅 = 𝑠 + (
𝑃1 + 𝑃2
2
) 
• Valor del tren o relación de transmisión total. 
𝑒 =
𝑛𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 − 𝑛𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜
𝑛𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 − 𝑛𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜
= ±
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 # 𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 # 𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑑𝑜𝑠
 
 
1. Se tiene en cuenta el sentido de rotación (+ ó -) del primer 
y ultimo engrane. 
2. Si el ultimo engranaje gira en el mismo sentido que el 
primero (+) 
3. Si el ultimo engranaje gira en sentido opuesto al primero 
(+) 
 
 
 
 
• VELOCIDADES Y ACELERACIONES EN REDUCTORES Y DIFERENCIALES. 
 
✓ Definición de reductores: Las máquinas cuya velocidad de giro difiere a la del 
motor acoplado (eléctrico, de combustión u otro) necesitan para su 
funcionamiento de un reductor de velocidad. El reductor de velocidad se 
encuentra formado por uno o más pares de ruedas dentadas que reducen la 
velocidad y aumentan el torque sin variar, teóricamente, la potencia. 
✓ Beneficios de los reductores: los reductores de velocidad poseen una serie de 
beneficios, entre los cuales destacan: 
➢ Mayor regularidad en la velocidad como en la potencia transmitida. 
➢ Mayor eficiencia de transmisión de potencia suministrada por el motor. 
➢ Mayor confiabilidad y disponibilidad, reduciendo los costos de 
mantenimiento. 
➢ Mayor potencia en menores volúmenes. 
➢ Posibilidad de trabajar a altas temperaturas y en ambientes adversos. Entre 
las desventajas destacan: 
➢ Costo elevado. 
➢ Ruido durante el funcionamiento. 
➢ Requieren control y cambio de lubricantes. 
✓ Parámetros característicos de un reductor de velocidades. 
Características de operación: 
➢ Potencia. 
➢ Velocidad (rpm) de entrada y salida 
➢ Torque máximo a la salida 
➢ Relación de reducción 
✓ Tipos de reductores de velocidad 
Existe una amplia gama de reductores de velocidad, los cuales se diferencian 
entre sí, principalmente por los engranajes que los componen y disposición 
de montaje. 
o Reductores de Ejes Coaxiales: 
El eje del motor y el eje de salida del reductor son colineales. 
 
 
La transmisión se realiza mediante engranajes rectos o helicoidales a 
través de múltiples etapas de reducción, al menos dos. Se incluyen aquí 
los reductores planetarios 
 
o Reductores de ejes paralelos: El eje del motor y del reductor se 
encuentran en planos paralelos. La transmisión se realiza mediante 
engranajes rectos o helicoidales. Permite múltiples ejes de salida. 
 
o Reductores de ejes perpendiculares: El eje del motor y del reductor 
se encuentran posicionados a 90°. La transmisión se lleva a cabo 
mediante engranajes cónicos. 
 
o Reductores de sinfín corona: El eje del motor y del reductor se 
posicionan a 90°. Transmisiónmediante sinfín-corona. Sólo es posible 
una etapa de reducción. Este tipo de reductores permite grandes 
reducciones de velocidad, pero soporta bajas cargas. 
 
 
✓ Definición de diferencial: Casi todos los trenes de engranajes ordinarios y 
planetarios tienen un solo grado de libertad, pues funcionan como reductores, 
multiplicadores o simplemente como elementos de transmisión entre ejes. Sin 
embargo, existe una importante aplicación de los trenes planetarios que posee dos 
grados de libertad: los diferenciales. 
Los diferenciales se montan entre el motor y las ruedas motrices de los automóviles 
para permitir que cada rueda pueda dar distinto número de vueltas mientras recibe 
potencia. Por ejemplo, cuando el automóvil toma una curva hacia la derecha, la 
rueda izquierda recorre una distancia mayor que la derecha, por lo que debe dar 
más vueltas que esta o alguna de las dos ruedas patinara. 
 
✓ Constitución del diferencial: 
 
 
Los diferenciales convencionales están formados por los siguientes elementos: 
➢ Piñón de ataque: recibe el movimiento del motor y lo transmite a la corona. 
➢ Corona: está fijada a un elemento denominado jaula donde están acoplados 
los satélites y los planetarios. 
➢ Planetarios: ubicados en la parte estriada de los ejes de las ruedas. 
➢ Satélites: están engranados a los planetarios. Junto a estos son los 
encargados de transmitir el movimiento a los ejes de las ruedas. 
✓ Funcionamiento: El objetivo de un sistema diferencial convencional es adaptar el 
recorrido de las ruedas del vehículo a cada situación, y su funcionamiento se basa en 
la resistencia a la rodadura de las ruedas de un mismo eje de tracción. 
Tomemos como ejemplo la entrada de un vehículo en una curva a derechas. Como 
vemos en la figura, las ruedas del lado derecho deben recorrer menos distancia que 
las del lado izquierdo. La misión del diferencial entonces es reducir el número de 
vueltas de la rueda derecha respecto de la izquierda, garantizando así su estabilidad 
para evitar que se produzcan derrapajes y deslizamientos de las ruedas exteriores. 
 
✓ Tipos de diferenciales: 
 Diferenciales blocantes: Cuando existen diferentes adherencias en las ruedas 
de un mismo eje de tracción, como, por ejemplo, cuando una está sobre 
asfalto rugoso y la otra sobre una capa de hielo, el movimiento entregado 
por el diferencial se dirigirá a la rueda que presenta poca resistencia, en este 
caso a la que está en contacto con el hielo, mientras la otra rueda permanece 
quieta. En consecuencia, el vehículo permanecerá inmóvil sin que exista 
tracción alguna en la rueda con adherencia, y sin posibilidad de salir del 
problema. 
 Diferencial de bloqueo manual: Este sistema de bloqueo de diferencial 
consta de un manguito estriado interiormente que se desliza por el semieje 
estriado de una de las ruedas. Cuando se activa, el manguito se desplaza por 
medio de un sistema de palancas para engranar con las estrías de la caja de 
satélites, de tal forma que el sistema diferencial queda bloqueado y los 
palieres de las ruedas forman un eje rígido de tracción. Así, mientras una de 
 
 
las ruedas motrices apoye sobre un suelo adherente, el vehículo podrá salir 
del lugar de estancamiento. 
 Diferencial autoblocante por conos de fricción: Es un diferencial 
convencional que basa su funcionamiento en la fricción continuada de unos 
conos, solamente en acciones de pérdida total de adherencia sobre una 
superficie. De esta forma la rueda acelerada se frena y se transmite 
movimiento a la otra rueda para que pueda traccionar sobre el suelo. Los 
diferenciales por conos de fricción están compuestos por un diferencial 
convencional, un cono de fricción, cuatro muelles de carga y un soporte de 
accionamiento. 
 Diferencial de tipo Track-Lock 
 Diferencial tipo Torsen: Los diferenciales Torsen son diferenciales de 
bloqueo automático de accionamiento mecánico, capaces de repartir el par 
de fuerza de un 15 a un 85% entre ambas ruedas de un mismo eje, 
dependiendo de la pérdida de adherencia que se dé entre ellas. 
El diferencial Torsen tiene tres pares de engranajes helicoidales engranados 
dos a dos por piñones de dientes rectos en lugar de los satélites 
convencionales. Los planetarios en este caso son tornillos sin fin. El ángulo 
de los dientes tiene mucha importancia, ya que los satélites mueven a los 
planetarios en un solo sentido. 
✓ Método tabular 
Una forma de analizar las velocidades en un tren epicíclico es crear una tabla que 
represente la ecuación: 
𝝎 𝒆𝒏𝒈𝒓𝒂𝒏𝒆 = 𝝎 (𝒃𝒓𝒂𝒛𝒐 + 𝒆𝒏𝒈𝒓𝒂𝒏𝒆𝒃𝒓𝒂𝒛𝒐) 
 
 
 
 
 
 
✓ Método de la formula 
La fórmula de diferencia de velocidad puede resolverse de manera directa para la 
relación del tren para resolverla para el término de diferencia de velocidad. 
Entonces, 𝜔𝐹 representa la velocidad angular del primer engrane en el tren (elegido 
en uno u otro extremo) y 𝜔𝐿 la velocidad angular del último engrane del tren (en el 
otro extremo). 
𝑅 = ±
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑔𝑟𝑎𝑛𝑒𝑠 𝑚𝑜𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑔𝑟𝑎𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑑𝑜𝑠
=
𝜔𝐿 − 𝜔𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜
𝜔𝐹 − 𝜔𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜
 
 
• ESTÁTICAS; FUERZAS APLICADAS Y REACCIONES, CONDICIONES PARA EL 
EQUILIBRIO, DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE, ANÁLISIS DE FUERZAS EN 
MECANISMOS ARTICULADOS. 
 
✓ Leyes de Newton 
 Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o de movimiento uniforme 
en una recta, excepto hasta que es obligado a cambiar ese estado por las 
fuerzas aplicadas. 
 
 
 El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza en movimiento 
aplicada, y se lleva a cabo en la dirección de la recta en la que se aplica dicha 
fuerza. 
 La reacción siempre es igual y opuesta a la acción; esto equivale a decir que 
las acciones de dos cuerpos entre sí son siempre iguales y directamente 
opuestas. 
 
✓ Fuerzas de restricción 
Cuando varios eslabones se conectan entre sí para formar un mecanismo, las fuerzas 
de acción y reacción entre dos cualesquiera de los eslabones que conectan se 
denominan fuerzas de restricción. 
 
✓ Fuerzas aplicadas 
Son todas aquellas fuerzas externas al mecanismo. 
 
✓ Reacciones 
Son aquellas fuerzas de sujeción de un elemento resistente a la bancada o a otro 
elemento de grandes dimensiones que sirve de soporte al elemento resistente. 
 
✓ Condiciones para el equilibrio 
 La suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre él es cero. 
 La suma de los momentos de todas las fuerzas que actúan en torno a 
cualquier eje único es cero. Matemáticamente, estas dos proposiciones se 
expresan como 
∑ 𝐹 = 0, ∑ 𝑀 = 0. 
 Cuando las fuerzas actúan en un solo plano xy como por ejemplo en los 
mecanismos articulados, queda implícito que los momentos estarán en 
dirección z, de tal modo que: 
∑ 𝐹𝑥 = 0, ∑ 𝐹𝑦 = 0, ∑ 𝑀 = 0. 
 
✓ Diagramas de cuerpo libre 
El diagrama de cuerpo libre es un esquema o dibujo del eslabón, aislado del 
mecanismo, en el que las fuerzas y los momentos se muestran en acción. Por lo 
común, conviene incluir en el diagrama las magnitudes y direcciones conocidas, así 
como cualquier otra información pertinente. 
 
✓ Ventajas de los diagramas de cuerpo libre 
 Facilitan la tarea de trasladar las palabras, pensamientos e ideas a modelos 
físicos. 
 Contribuyen para que se vean con claridad y comprendan todas las facetas 
de un problema. 
 
 
 Ayudan a planear el planteamiento del problema. 
 Permiten que las relaciones matemáticas sean más fáciles de ver o encontrar. 
 Su aplicación facilita el control del avance y ayuda a establecer suposiciones 
simplificadoras. 
 Los métodos utilizados en la resolución se pueden conservar para consultas 
futuras. 
 Son ayudas para la memoria y facilitan la explicación y presentación del 
trabajo a otros. 
 
• ANÁLISIS DE FUERZAS EN ENGRANESRECTOS, HELICOIDALES Y CÓNICOS, ANÁLISIS DE 
MECANISMOS CON FUERZAS ESTÁTICAS DE FRICCIÓN 
 
✓ Análisis de fuerzas en engranes rectos 
➢ Diagramas de cuerpo libre 
Para hallar los diagramas de cuerpo libre del tren de engranes es necesario 
analizar cada componente por separado. Hay que tener en cuenta que las 
reacciones entre los dientes de los engranes ocurren a lo largo de la línea de 
presión, cual tiene un ángulo φ. 
 
 
✓ Análisis de fuerzas en engranes helicoidales. 
Para el análisis de fuerzas en un engrane helicoidal se requiere considerar que el 
punto de aplicación de las fuerzas se encuentra en el plano de paso y en el centro 
de la cara del engrane. 
 
 
 
✓ Análisis de fuerzas en engranes cónicos 
Para determinar las cargas en los engranes cónicos, la práctica habitual consiste en 
utilizar la carga tangencial o transmitida (𝑊𝑡) que ocurriría si todas las fuerzas 
estuvieran concentradas en el punto medio del diente carga transmitida 𝑊𝑡. 
 
Esta carga (𝑊𝑡) también se puede calcular a partir de las fórmulas para engranes 
rectos vistas anteriormente. 
✓ Fuerzas de fricción en los engranes 
 
Por lo general los engranes suelen presentar fricción deslizante y fricción rodante, 
provocada por el contacto diente-diente, la cual causa disipación de energía y 
termina generando esfuerzos y sobre calentamiento y por ende grietas y fracturas 
en los engranes. 
 
✓ Lubricación en los engranes 
 
La lubricación es una de las soluciones más efectivas para contrarrestar la fricción y 
los problemas que esta trae consigo. 
 
 
➢ Tipos de Lubricantes para Engranes: 
• Aceites minerales puros 
• Aceites inhibidores de corrosión y oxidación (R&O) 
• Aceites de presión extrema (EP) 
• Aceites compuestos (COMP), conocidos a veces como aceites de 
cilindro. 
• Aceites sintéticos. 
• Grasas. 
• Lubricantes sólidos. 
 
• FUERZAS DINÁMICAS: ANÁLISIS DE FUERZAS EN LAS MÁQUINAS: REACCIONES ENTRE 
PIEZAS SIN ROZAMIENTO, EFECTOS DEL ROZAMIENTO; FUERZAS CENTRÍFUGAS. 
 
✓ FUNDAMENTOS DE DINÁMICA 
Se estudio con anterioridad en el curso la cinemática de los mecanismos, pero se 
ignoraban las fuerzas que estaban presentes en estos mecanismos, se hará en la una 
introducción a el cálculo de las fuerzas presente en mecanismos y máquinas de 
movimiento. A este tema se le denomina cinética o análisis de fuerzas dinámicas, por 
lo cual se debe tener conocimiento previo de dinámica (la cual tuvo que ser cursada 
por los presentes previamente). 
 
✓ LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON 
El análisis de fuerzas dinámicas implica la aplicación de las tres leyes del movimiento 
de Newton, las cuales son: 
1. Un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo, y un cuerpo en 
movimiento a velocidad constante tiende a mantener esa velocidad a menos 
que actúe sobre él una fuerza externa. 
2. El cambio de la cantidad de movimiento de un cuerpo con respecto al tiempo 
es igual a la magnitud de la fuerza aplicada y actúa en la dirección de la fuerza. 
3. Por cada fuerza de acción existe una fuerza de reacción igual y opuesta. La 
segunda ley está expresada en función de la razón de cambio de cantidad de 
movimiento 𝑀 = 𝑚𝑣, donde m es masa y v es velocidad. Se supone que la 
masa m es constante en este análisis. La razón de cambio de mv con respecto 
al tiempo es ma, donde a es la aceleración del centro de masa. 𝐹 = 𝑚𝑎 donde 
F es la resultante de todas las fuerzas ejercidas en el sistema que actúan en 
el centro de masa. Es posible diferenciar entre dos subclases de problemas 
de dinámica según las cantidades que se conozcan y cuáles se requiere 
encontrar. 
 
✓ Modelos dinámicos 
 
 
En el análisis dinámico a menudo es conveniente crear un modelo simplificado de 
una parte complicada. Estos modelos en ocasiones se consideran como un conjunto 
de masas puntuales conectadas por barras sin masa. Para que un modelo de cuerpo 
rígido sea dinámicamente equivalente al cuerpo original, deben conjuntarse tres 
elementos: 
 
1. La masa del modelo debe ser igual a la del cuerpo original. 
2. El centro de gravedad debe estar en el mismo lugar que el del cuerpo original. 
3. El momento de inercia de masa debe ser igual al del cuerpo original. 
 
✓ Momento de masa y centro de gravedad 
Cuando la masa de un objeto se distribuye sobre algunas dimensiones, poseerá un 
momento con respecto a cualquier eje que se elija. En la figura se muestra una masa 
de forma general en un sistema de ejes coordenados 𝑥𝑦𝑧. También se muestra un 
elemento diferencial de masa. El momento de masa (primer momento de masa) del 
elemento diferencial es igual al producto de su masa por su distancia al eje de interés. 
Con respecto a los ejes 𝑥, 𝑦, 𝑧. 
 
 
A menudo conviene modelar una forma complicada en varias formas simples 
interconectadas, cuyas geometrías individuales permitan calcular con facilidad sus 
masas y las ubicaciones de sus CG locales. Se puede encontrar entonces el CG global 
con la suma de los primeros momentos de estas formas simples e igualar a cero. El 
apéndice C contiene fórmulas para los volúmenes y ubicaciones de los centros de 
gravedad de algunas formas comunes. 
 
✓ Momento de inercia de masa 
La ley de Newton se aplica a sistemas en rotación como a aquellos en traslación. La 
forma rotatoria de la segunda ley de Newton es: 𝑇=𝐼𝛼 donde T es el par de torsión 
resultante con respecto al centro de masa,α es la aceleración angular, e I es el 
momento de inercia de masa con respecto a un eje que pasa por el centro de masa. 
 
 
El momento de inercia de masa del elemento diferencial es igual al producto de su 
masa por el cuadrado de su distancia al eje de interés. Con respecto a los ejes 𝑋, 𝑌, 𝑍, 
éstos son: 
 
 
El exponente de 2 en el término del radio proporciona a esta propiedad su nombre 
de segundo momento de masa. Para obtener los momentos de inercia de masa de 
todo el cuerpo, se integra cada una de estas expresiones 
 
 
En un sistema trasladante la energía cinética es: 
 
 
y en un sistema rotatorio: 
 
 
Por tanto, la energía cinética guardada en el mazo también es proporcional a su momento 
de inercia y a ߱ 2. 
 
✓ Teorema de ejes paralelos (teorema de transferencia) 
El momento de inercia de un cuerpo con respecto a cualquier eje (ZZ) se expresa como la 
suma de su momento de inercia con respecto a un eje (GG) paralelo a ZZ que pasa por su 
 
 
CG y el producto de la masa por el cuadrado de la distancia perpendicular entre esos ejes 
paralelos 
𝐼𝑍𝑍 = 𝐼𝐺𝐺 + 𝑚𝑑 ∗ 𝑑 
 
donde ZZ y CG son ejes paralelos, GG pasa por el CG del cuerpo o ensamble, m es la masa 
del cuerpo o ensamble y d es la distancia perpendicular entre los ejes paralelos 
 
✓ Radio de giro 
El radio de giro de un cuerpo se define como el radio en el cual se podría concentrar 
toda la masa del cuerpo de modo que el modelo resultante tenga el mismo 
momento de inercia que el cuerpo original. La masa de este modelo debe ser la 
misma que la del cuerpo original. Sea IZZ el momento de inercia de masa con 
respecto a ZZ conforme a la ecuación 
 
 
✓ Modelos dinámicos con parámetros concentrados 
 
 
 
✓ Principio de D’alembert 
La segunda ley de Newton es todo lo que se requiere para resolver cualquier sistema de 
fuerzas dinámicas mediante el método newtoniano. Jean Le Rond d’Alembert (1717-
1783), matemático francés, reacomodó las ecuaciones de Newton para crear una 
situación “cuasiestática” a partir de una dinámica. Las siguientes son versiones de 
d’Alembert de las ecuaciones 10.1 y 10.4: 
∑ F − ma = 0 
∑ T − Iα = 0 
La aceleración centrípeta, es decir, dirigida hacia el centro esta dada por la fuerza en el 
pasador según la ecuación de Newton 𝐹=𝑚𝑎 es entonces: 
𝐹12 = 𝑚𝑟𝜔
2 
La fuerza 𝐹12 que el eslabón 2 ejerce en el eslabón 1 se determina a partir de la tercera ley 
de Newton, y obviamente es igual y opuesta a 𝐹12. 
𝐹21 = 𝐹12 
Por tanto, la fuerza de