Capitulo04_Ley_Gauss

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Física II
Capitulo 2.- Ley de Gauss 
Profesores: Luis Soto-Mardones y Mónica Díaz Sepúlveda, Dpto. de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
Física II
Problema 1.- Un cilindro aislante macizo de radio R esta 
cargado positivamente con una distribución que depende de 
r según la función de densidad volumétrica ρ=
Ao
lo 1
1
r3 
 , donde Ao y lo son constante positiva. Hallar:
(a) La cantidad de carga contenida en el superficie 
gaussiana mostrada en la figura 1.1.
(b) El flujo eléctrico a través de una superficie 
gaussiana mostrada en la figura 1.2, de radio 2R y 
largo h. 
(c) El campo eléctrico a una distancia 2R del eje del 
cilindro. 
Respuesta :
a  De figura 1.1, la distribución volumétrica
de carga dq= dV .Si el volumen de un
cilíndro es V=r2h ⇒ dV
dr
=2r h
⇒ dV=2hrdr
Reemplazando en la ecuación e integrando, tenemos:
∫
ri=0
r f=Q
dq=∫
ri=0
rf =r Ao
lo
11
r3
2hrdr
Q=2h
Ao
lo
[ ∫
ri=0
r f=r
rdr∫
ri=0
r f=r 1
r2
dr ]=
2h Ao
l o
[
r2
2
−
1
r
] [C ]
b  Para la figura 1.2, usando la misma expresión
anterior , cambiando solamente los límites de
integración ⇒ ∫
r i=0
r f=Q
dq= ∫
ri=0
r f=R Ao
lo
1
1
r3
2hrdr ,
por lo tanto la carga neta encerrada por la
superficie gaussiana es : Qneta=
2h Ao
l o
[
R2
2
−
1
R
] ,
reemplazando en la ecuación de flujo eléctrico
E=
Qneta
o
=
2h Ao
o lo
[
R2
2
−
1
R
] Nm2/C 
 c  Usando la Ley de Gauss ∮E  ds=
Qneta
 o
Expandiendo la integral cerrada en las tres áreas
del cilíndro: TS:Tapa Superior , TI :Tapa Inferior
y Manto. Usando coordenadas cilíndricas :
 Figura 1.1
 Figura 1.2
∮E  ds=∫
TI
E  ds∫
TS
E  ds ∫
Manto
E  ds
∫
TI
E r ds−k ∫
TS
E r dsk 
 ∫
Manto
E r  ds r=
Qneta
o
donde r  k=0, y r  r=1, quedando
solamente la integral del manto:
∫
Manto
Eds=
Qneta
o
E2rh=
2h Ao
lo o
[
R2
2
−
1
R
]
E=
Ao
l o o
[
R2
2
−
1
R
]
1
r
r , r2R
Profesores: Luis Soto-Mardones y Mónica Díaz Sepúlveda, Dpto. de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
Física II
La figura 2.- La figura esta compuesta por tres 
esferas macizas y concéntricas. La esfera aislante 
de radio a esta cargada con una carga -2Q. La 
segunda esfera es conductora de radios b y c, 
contiene una carga neta de +3Q. Finalmente, la 
esfera conductora externa de radios d y e contiene 
una carga neta de -5Q. Determine el campo 
eléctrico aplicando en forma extremadamente 
rigurosa la Ley de Gauss en:
(a) r < a
(b) a<r<b
(c) b<r<c
(d) c<r<d
(e) d<r<e
(f) r>e
Respuesta:
a  Usando la Ley de Gauss ∮E  ds=
Qneta
o
∫
Sup. Esf.
E  ds= ∫
Sup. Esf.
E−r ds r= ∫
Sup. Esf.
−Eds=
QP
o
Hay dos formas de calcular QPra:
 i  Como QT=−2Q=cte , de la figura2.1 tenemos:
QT
V T
=
QP
V P
⇒
−2Q
4
3
a3
=
QP
4
3
r3
⇒ QP=−2Q
r3
a3
[C ]
 ii  dq=∫dV ,donde el volumen de la esfera es
V =4
3
a3 ⇒ dV
dr
=4r2 ⇒ dV=4r2dr
como=cte. ⇒ =
QT
V T
=
−2Q
4
3
a3
=
−3Q
2a3
Reemplazando ∫
0
QT
dq=∫
0
r
−3Q
2a3
⋅4r2 dr
⇒ QT=−2Q
r3
a3
[C ]
Por lo tanto , reemplazando en la integral :
∫
Sup. Esf.
−Eds=
Q P
o
⇒ −E 4r2=−2Q
r3
oa
3
E= 1
4  o
2Qr
a3
−r  [N
C
] , para rR
Figura 2.1
Figura 2.2
Profesores: Luis Soto-Mardones y Mónica Díaz Sepúlveda, Dpto. de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
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b  Para arb , de la figura 2.2 tenemos:
∫
Sup. Esf.
E  ds=∫
SE
E−r ds r=−∫
SE
Eds=
Qneto
o
=
−2Q
o
⇒ −E4r2=−2Q
o
E= 1
4  o
2Q
r2
−r [N
C
] , para arb
 c  Para b rc , de la figura 2.3 tenemos:
∫
Sup. Esf.
E  ds=
Qneto
o
=
−2Q2Q
o
=0
⇒ No existe Ebrc , debido a que la carga
neta encerrada por la superficie gaussiana es cero.
d  Para crd , de la figura 2.4 tenemos:
∫
Sup. Esf.
E  ds=
Qneto
o
=
−2Q2Q−2Q3Q
o
⇒ ∫
SE
Er ds r =E 4 r2=
Q
o
E=
1
4  o
Q
r2
r  [
N
C
] , para crd
 e  Para dre , de la figura 2.5 tenemos:
∫
Sup. Esf.
E  ds=
Qneta
o
=
−2Q2Q−2Q2Q3Q−3Q
o
=0
⇒ No existe Edre , debido a que la carga
neta encerrada por la superficie gaussiana es cero.
 f  Para re , de la figura 2.6 tenemos :
∫
Sup. Esf.
E  ds=
Qneta
o
, entonces evaluando la Qneta , tenemos:
Qneta=−2Q2Q−2Q2Q−2Q3Q−3Q3Q−5Q=−4Q
⇒ ∫
SE
E−r ds r =−E 4r2=
−4Q
o
E= 1
 o
Q
r2
−r  [N
C
] , para re
Figura 2.3
Figura 2.4
Figura 2.5
Figura 2.6
Profesores: Luis Soto-Mardones y Mónica Díaz Sepúlveda, Dpto. de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
Física II
Problema 3.- Una esfera conductora sólida de radio 
R, que tiene una carga positiva +5Q, es concéntrica 
con una coraza maciza aislante de radio interior 2R 
y exterior 3R que también tiene una carga +5Q. 
Aplicando la Ley de Gauss en forma más rigurosa 
que la generación anterior obtenga el vector campo 
eléctrico en:
(a) 0<r<R.
(b) Demuestre además que en la región R<r<2R 
en vector campo eléctrico vale:
E=
1
4o
⋅
5Q
r 2
r 
(c) Aprovechando el resultado anterior 
determine la diferencia de potenciales 
usando el modo integral VR-V2R. 
(d) Determine la carga neta encerrada por la 
superficie gaussiana en 2R<r<3R. 
a  Para 0 rR , usando la Ley de Gauss:
∮E  ds=
Qneta
o
⇒ QN=0, por tratarse de una
esfera conductora, toda la carga se concentra
en la superficie. ⇒ No existe campo eléctrico:
b  Para Rr2R :
∫
Sup. Esf.
E  ds= ∫
Sup. Esf.
Er ds r=
QN
o
Como r  r= 1 y QN=5Q
⇒ ∫
SE
Eds=
5Q
o
⇒ E 4r2=
5Q
o
E= 1
4  o
5Q
r2
r [N
C
] , para Rr2R
 c  Usando V R−V 2R=−∫
2R
R
E  dl
Usando el resultado anterior :
V R−V 2R=−∫
2R
R
1
4o
5Q
r2
r dr −r 
Como r  r= 1
V R−V 2R=
5Q
4o
∫
2R
R
dr
r2
=
5Q
4o
[
−1
r
]
2R
R
V R−V 2R=
−5Q
4o
[
1
R
−
1
2R
]=
−5kQ
2R
[V ]
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d  Para 2R r rR , La carga neta QN=5QQP , hay dos formas de calcular QPra :
 i  Como QT=5Q=cte , de la figura3.1 tenemos :
QT
V T
=
QP
V P
⇒
5Q
4
3
[3R3−2R3]
=
QP
4
3
[r3−2R3]
⇒ Q P=
5Q[r3−8R3]
19R3
[C ]
 ii  dq=∫dV ,donde el volumen de la esfera es V =43 r
3 ⇒
dV
dr
=4r2 ⇒ dV=4r2dr
como=cte. ⇒ =
QT
V T
=
5Q
4
3
19R3
=
15Q
76R3
∫
0
QT
dq=∫
2R
r
15Q
76R3
⋅4r2dr=
15Q
19R3
∫
2R
r
r2dr
⇒ QT=
15Q
19R3
[
r3
3
]
2R
r
=
5Q [r3−8R3]
19R 3
[C ]
Profesores: Luis Soto-Mardones y Mónica Díaz Sepúlveda, Dpto. de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
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Problema 4.- La figura 4.1 muestra dos conductores 
esféricos concéntricos de radios R1 y R2, tienen 
cargas Q1 y Q2, respectivamente. Calcular, con 
ayuda del teorema de Gauss, el campo eléctrico:
(a) En el interior de la esfera de radio R1
(b) Entre las esferas (0<r<R1 ) 
(c) En el exterior (r>R2).
Respuestas:
a  Para rR1 , usando la Ley de Gauss:
∮E  ds=
Qneta
o
⇒ QN=0, por tratarse de una
esfera conductora fig. 4.2 , toda la carga se
concentra en la superficie. ⇒ No existe campo
eléctrico.
b  Para R1rR2Fig.4.3:
∫
Sup. Esf.
E  ds= ∫
Sup. Esf.
Er ds r=
QN
o
Como r  r= 1 y QN=Q1
⇒ ∫
SE
Eds=
Q1
o
⇒ E 4r2=
Q1
o
E=
1
4  o
Q1
r2
r [
N
C
] , para R1rR2
 c  Para rR2 Fig.4.4 :
∫
Sup. Esf.
E  ds= ∫
Sup. Esf.
Er ds r=
QN
o
Como r  r= 1 y QN=Q1−Q1Q1Q2=Q1Q2
⇒ ∫
SE
Eds=
Q1Q2
o
⇒ E 4r2=
Q1Q2
o
E= 1
4  o
Q1Q2
r2
r  [N
C
] , para rR2
 Figura 4.1
 Figura 4.2 
 Figura 4.3 
 Figura 4.4
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Problema 5.- La figura muestra dos anillos de radio 
R concéntricos al eje X, los cuales se ubican en el 
plano YZ de. Ambos anillos están cargados con 
distribuciones lineales de carga +λ y -λ, 
respectivamente. Determine:
(a) El vector campo eléctrico en el punto P.
(b) Aprovechando el resultado anterior determine 
la diferencia de potenciales usando el modo 
integral VR-V2R.
 
(c) Un electrón colocado en el punto P, adquiere 
una rapidez a lo largo del eje OX. Determine 
con que velocidad atraviesa el anillo. 
Respuestas:
a  E= E1 E2−=2⋅E1
Del Capitulo de Campo Eléctrico :
E1=∫
0
2 K⋅dq1[ r P− rdq1]
∥rP− rdq1∥
3
Con dq1=dl= Rd y r P=0,
De la figura 5.2 y 5.3, tenemos el vector
posición: rdq1=Rcos
kR sen j−L i
E1=∫
0
2
k⋅Rd[0−Rcos k−R senjL i ]
[Rcos2R sen2L i2]
3
E1=
−kR
R2L23/2
[∫
0
2
R cosd k∫
0
2
R sind j ]

kR
R2L23 /2
[∫
0
2
Ldi ]
E1=
2k LR
R2L23/2
i , ⇒ E=4 k LR
R2L23/ 2
i [N
C
]
b  Usando V B−V P=−∫
P
B
E  dl
Usando el resultado anterior :
V P−V B=−∫
P
B
4k LR
R2L23 /2
i  dx −i 
Como r  r= 1
V B−V P=
4k LR
R2L23/2
∫
0
L
dx=4k LR
R2L23/2
[x]0
L
V B−V P=
4 k L2R 
R2L23 /2
[V ]
 Figura 5.1.-
 Figura 5.2.-
 Figura 5.3.-
 c  ΔEM=0 ; ⇒ ΔEkqo ΔV=0
EkB−EkPq V B−V P=0
1
2
mevB
2
−
1
2
me⋅0
2
−e V B−V P=0
vB=2eme V B−V P =4k L
2R
R2L23/2
vB=
2L k R
R2L23
i  [m
s
]
Profesores: Luis Soto-Mardones y Mónica Díaz Sepúlveda, Dpto. de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
Física II
Problema 6.- El sistema compuesto por 3 cargas 
puntuales donde q1=+2Q, q2=-Q y q3=+2Q, como 
nuestra la figura 6.1, determine:
(a) ¿Cuanta energía tiene el sistema compuesto por 
las tres cargas puntuales?
(b) ¿Calcule el potencial eléctrico en un punto P del 
eje Y?
(c) ¿Que diferencia de potencial VD-VE se mide en 
las posiciones D(6a,0,0) y E(10a,0,0)?
(d) ¿Si la diferencia de potencial eléctrico VD-VE 
=2000 V y un electrón pasa por E con una 
rapidez de 2x10 m/s ¿Con que rapidez pasa⁷
Respuestas :
a  La figura 6.2 muestra las posiciones de las
cargas puntuales:
r1=−a i , r2=−a j , r3=a i y rP= y j
U i=U12U 13U 23
U i =
kQ1Q2
∥r1−r2∥

kQ1Q3
∥r1−r3∥

kQ2Q3
∥r2−r3∥
U i =
−2kQ2
∥−a i−a j∥

4kQ2
∥−a i−a i∥
−
2kQ2
∥−a j−a i∥
U i=
−2kQ2
a2

4kQ2
2a
−
2kQ2
a2
U i =
2kQ2
a
[
−1
2
1−
1
2
]=
2kQ2
a
[
−2
2
1 ]
U i= −0.8284
kQ2
a
[Joule ]
b  V p=V 1V 2V 3
V P=
k q1
∥r p−r1∥

k q2
∥r p−r2∥

k q3
∥rp−r3∥
V p =
K⋅2Q
∥y ja i∥
−
K⋅Q
∥y ja j∥

K⋅2Q
∥y j−a i∥
V p =
2kQ
 y2a2
−
kQ
ya

2kQ
 y 2a2
V p=
4kQ
  y 2a2
−
kQ
ya
[V ]
 c  Utilizando la ecuaciónanterior , se tiene :
V D=
4kQ
6a 2a2
−
kQ
6aa
V D=
4kQ
36a 2a2
−
kQ
6aa
V D=0.51
kQ
a
[V ] ⇒
 Figura 6.1
 Figura 6.2
V E=
4kQ
10a2a2
−
kQ
10aa
V E=
4kQ
100a2a2
−
kQ
10aa
V E=
4kQ
a101
−
kQ
11a
V E=0.307
kQ
a
[V ]
Finalmente
V D−V E=0.51
kQ
a
−0.307kQ
a
V D−VE=0.2071
kQ
a
[V ]
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Física II
Problema 7.- Considere dos cargas puntuales q1=2Q 
fija en P1 (-2a, 0 , 2a) y q2=-4Q en P2 (2a, 3a, 2a).
(a) Calcule el potencial eléctrico total en un 
punto P(X,0,0) del eje OX generado por este 
par de cargas.
(b) Con el resultado anterior obtenga VA-VB 
donde A(4a,0,0) y B(10a,0,0) 
Respuesta:
a  Las posiciones mostradas en la figura 7.2
r1=−2a i2a k y r2=2a i3a j2a k
b  V p=V Q1V Q2
V P=
k Q1
∥r p−r1∥

k Q2
∥r p−r2∥
V P=
k⋅2Q
∥x i2a i−2a k∥
−
k⋅4Q
∥x i−2a i−3a j−2a k∥
V p=
2kQ
[ x2a 24a2]
−
4KQ
[ x−2a29a24a2]
V P=
2KQ
[ x2a24a2]
−
4kQ
[ x−2a213a2]
[V ]
Usando esta expresión en A  x=4a 
V A=
2KQ
[4a2a24a2]
−
4KQ
[4a−2a213a 2]
V A =
2KQ
a⋅ 40
−
4KQ
a⋅17
V A=−5.885⋅10
9Q
a
[V ]
Para B x=10a, tenemos :
V B =
2KQ
[10a2a 24a2]
−
4KQ
[ 10a−2a213a2]
V B=
2KQ
a⋅148
−
4KQ
a⋅77
V B= −2.623⋅10
9Q
a
[V ]
Finalmente
V A−V B =−5.885⋅10
9Q
a
−−2.623⋅109
Q
a

V A−V B=−3.2622⋅10
9Q
a
[V ]
 Figura 7.1
 Figura 7.2
Profesores: Luis Soto-Mardones y Mónica Díaz Sepúlveda, Dpto. de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
Física II
Problema 8.- El sistema de tres cargas puntuales 
fijas, como muestra la figura 8.1.
(a) El vector E p para los puntos del eje ox
+.
(b) El potencial eléctrico para puntos del eje 
ox+.
(c) El trabajo realizado por un agente externo 
para trasladar un electrón desde C(2a,0,0) 
hasta D(4a,0,0) con rapidez constante.
(d) La energía potencial eléctrica del sistema 
de 3 cargas fijas.
Respuestas :
a  Ep= E1 E2 E3
Las posiciones obtenidas a partir de la
figura 8.2: r1=0 i0 j0 k , r2=−2a k ,
r3=2a j y rP=x i ;
E p =
kq1[ rP−r1]
∥r P−r 1∥
3 
kq2[ r P−r 2]
∥rP−r2∥
3 
kq3 [ r P−r3 ]
∥r P−r 3∥
3
E p=
2k Q [ x i−0]
x3

3kQ [ x i2a k ]
[x24a2]
3
−
3kQ [ x i−2a j ]
[x24a2 ]
3
Ep =
2kQ i
x2

6akQ j
[ x24a 2]
3 
6akQ k
[  x24a2 ]
3 [
N
C
]
b  V p=V 1V 2V 3
V P=
kQ1
∥r p−r1∥

kQ2
∥r p−r2∥

kQ3
∥rp−r3∥
V P=
2kQ
x

3kQ
 x24a2
−
3kQ
 x24a2
V P =
2kQ
x
[V ]
 c  W CD = q V D−V C
C  x=2a ,D  x=4a  y reemplazandoenV P:
W CD = −e [2kQ 
1
4a
−
1
2a
]=−e [
−2kQ
4a
]
W CD =
ekQ
2a
[J ]
d  U P =U 1U 2U3
U P=
kQ1Q2
∥r2−r1∥

k Q1 Q3
∥r3−r1∥

k Q2 Q3
∥r3−r2∥
U P=
k 2Q 3Q
∥−2a k−0∥

k 2Q −3Q
∥2a j−0∥

k 3Q−3Q 
∥2a j2a k∥
U P=
6kQ 2
2a
−
6kQ2
2a
−
9kQ2
a8
U P =−3.18
kQ2
a
[ J ]
 Figura 8.1
 Figura 8.2
Profesores: Luis Soto-Mardones y Mónica Díaz Sepúlveda, Dpto. de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
Física II
Problema 9.- La figura 9.1, compuesta por dos 
alambres rectos y un semi anillo de 
distribuciones lineales λ1, λ2 y λ3 de cargas -2λ0, 
+3λ0 y +2λ0 respectivamente. Determine el 
potencial eléctrico producido por los dos 
alambres horizontales y el semi anillo sobre el 
punto P.
Respuesta :
V P=V 1V 2V 3
Cálculo deV 1:
V 1=∫
k dq1
∥rP− rdq 1∥
=∫
0
2R k −20dx
∥0− x i−R j∥
V 1=−2k0∫
0
2R
dx
x 2R2
V 1=−2k0[ ln x x2R2]0
2R
V 1=−2k 0[ ln 2RR 5 − lnR ] [V ]
Cálculo deV 3:
V 3=∫
k dq3
∥rP− rdq 3∥
=∫
0
2R k 20dx
∥0− x iR j∥
V 3=2k0∫
0
2R
dx
 x2R2
V 3=2k 0[ ln 2RR 5−lnR ] [V ]
Cálculo deV 2:
V 2=
k dq2
∥r P− rdq2∥
=∫
3 
2

2 k 30Rd
∥0−R cosiRsen j∥
V 2=3kR0∫
3
2

2
d
R2 cos²R2 sen²
V 2=
3kR 0
R
[]
32

2
=3k 0[

2
−3

2
]
V 2=−3 k  0 [V ]
Finalmente :
V P=−3k 0 [V ]
 Figura 9.1 
Profesores: Luis Soto-Mardones y Mónica Díaz Sepúlveda, Dpto. de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
Física II
Problemas 10.- Dos cargas puntuales iguales a q=2x109 [C] están separadas en la horizontal en una 
distancia de 0.6 [m]. Un electrón es liberado en P sobre la simetral YO y acelera hacia el origen O 
pasando por A. Obtenga:
(a) Los potenciales eléctricos VA y VP.
(b) La diferencia de potencial VA – VP.
(c) La energía cinética y la rapidez del electrón al pasar por A. 
Respuestas :
a  V x=
kq1
∥rx− rq1∥

kq2
∥rx− rq2∥
Donde q=q1=q2 ; y los vectorees posicion rq1=0.3 i y rq2=−0.3 i
V x=
k q
∥rx− rq1∥

k q
∥r x− rq2∥
Así ,con la formulaobtenida se procede acalcular V A y V P :
V A=
k q
∥rA− rq1∥

k q
∥rA− rq2∥
=
k q
∥0.2 j−0,3 i∥

k q
∥0.2 j0,3 i∥
V A=100[V ]
V P=
k q
∥rP− rq1∥

k q
∥r P− rq2∥
=
k q
∥0.4 j−0,3 i∥

k q
∥0.4 j0,3 i∥
VB=72[V ]
b  V A−V P = 100−72=28 [V ]
 c  ΔEcΔE p=ECA−ECPEPA−EPP=
1
2
mvA
2
q V A−V P=0
vA=2qm V P−V A=3.14⋅106[ms ]
ECA=
1
2
mv A
2 =4.48⋅10−18 [J ]
Profesores: Luis Soto-Mardones y Mónica Díaz Sepúlveda, Dpto. de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
Física II
Problema 11.- Para la molécula indicada en la 
figura 11.1 se tiene que el vector intensidad de 
campo eléctrico E(x) para puntos del eje X esta 
dado por la siguiente expresión:
E x=2kq
x2
−
2kqx
a2x2
3 
i
donde q1=−q ; q2=2q y q3=−q
(a) Calcule el trabajo de la fuerza eléctrica 
realizado para trasladar un electrón 
desde A(2a,0,0) hasta B(6a,0,0).
(b) Obtenga el potencial eléctrico resultante 
para un punto P(x,0) del eje X.
(c) De acuerdo con el resultado anterior, 
¿que diferencia de potencial se mide 
entre A y B? 
a  El trabajo realizado por el campo
eléctrico ⇒ W AB=−q V A−V B ;
V B−V A=−∫E⋅dl
Igualando las dos expresiones, se tiene :
W AB=q∫E⋅dl
W AB=−e∫
A
B
[
2kq
x2
−
2kqx
a2x2
3 ]
i⋅dx i
W AB=−2keq∫
2a
6a
dx
x 2
2keq∫
2a
6a
x dx
a2x2
W AB=−2keq [
−1
x
]
2a
6a
2keq [
−1
a2x2
]
2a
6a
W AB=e[
2kq
x
−
2kq
a2x2
]
2a
6a
W AB=2kqe [
1
6a
−
1
2a
−
1
a 37
−
1
55
]
W AB=0.566
kqe
a
[J ]
b  La figura 11.2 muestra los vectores
posicion: r1=a j , r2=0, r3=−a j y r p=x i
V P=V1V 2V 3
V P=
k q1
∥r p−r1∥

k q2
∥rp−r2∥

k q3
∥rp−r3∥
V P=
k⋅2q
x
−
k⋅q
a2x2
−
k⋅q
a2x2
V P=2kq [
1
x
−
1
 a2x2
] [V ]
 Figura 11.1
 Figura 11.2
 c  V A  x=2a =2kq [
1
2a
−
1
a5
]
V Ax=2a=0.106
kq
a
[V ]
V Bx=6a=2kq [
1
6a
−
1
a37
]
VB x=6a=0.00454
kq
a
[V ]
V A−V B=0.106
kq
a
−0.00454 kq
a
V A−V B=0.101
kq
a
[V ]
Profesores: Luis Soto-Mardones y Mónica Díaz Sepúlveda, Dpto. de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
Física II
Profesores: Luis Soto-Mardones y Mónica Díaz Sepúlveda, Dpto. de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.