Fracciones algebraicas - Carlos Tomas Santana Colin

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Unidad I: Fracciones algebraicas 
1.1 Simplificación 
1.1.1 Factor común máximo 
Para entender las expresiones racionales, es preciso comprender las 
técnicas de factorización. Una expresión racional es de la forma 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
 donde P y Q 
son los polinomios. Q ≠ 0 
Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son: 
2
𝑥
 
𝑥+3
𝑥
 
𝑥2+4𝑥
𝑥−6
 para resolver 
problemas que incluyen expresiones algebraicas, debemos asegurarnos de escribir 
la respuesta en términos mínimos. Una expresión racional esta simplificada cuando 
el numerador y el denominador no tienen factores comunes salvo el uno. 
1.1.2 Reducción 
Para reducir las fracciones algebraicas: 
1. Factorice tanto como sea posible el numerador y el denominador. 
2. Divida el numerador y el denominador entre factores comunes. 
Ejemplos: 
1) 
𝑥−𝑥𝑦
𝑥
= 
𝑥(1−𝑦)
𝑥
= 1 − 𝑦 
 2) 
5𝑥2−20𝑥𝑦
15𝑥
= 
5𝑥(𝑥−4𝑦)
15𝑥
= 
5𝑥(𝑥−4𝑦)
(3)(5𝑥)
= 
𝑥−4𝑦
3
 
Ejercicios: 
1) 
𝑥2−5𝑥
𝑥
= 𝑥 − 5 
2) 
𝑎2−3𝑎−10
𝑎2+5𝑎
= 𝑎 − 1 
 
 
4 
3) 
𝑥3−𝑥
𝑥2−1
 = x 
4) 
5𝑟−8
8−5𝑟
= −1 
5) 
𝑝2−2𝑝−24
6−𝑝
= -(p+4) 
6) 
𝑥2+7𝑥
𝑥2−2𝑥
 = 
𝑥+7
𝑥+2
 
1.2 Operaciones 
1.2.1 Multiplicación y división de fracciones 
Para multiplicar expresiones racionales utilice la siguiente regla: 
𝑎
𝑏
∗
𝑐
𝑑
 = 
𝑎𝑐
𝑏𝑑
 𝑏 ≠ 0 𝑑 ≠ 0 
Para multiplicar expresiones racionales, siga estos pasos: 
1. Factorice tanto como sea posible todo, los numeradores y denominadores. 
2. Divida entre los factores comunes. 
3. Multiplique usando la regla anterior. 
4. Cuando sea posible simplifique la respuesta. 
Ejemplos: 
1) 
𝑥−5
6𝑥
∗
𝑥2−2𝑥
𝑥2−7𝑥+10
=
(𝑥−5)(𝑥)(𝑥−2)
(6𝑥)(𝑥−5)(𝑥−2)
=
𝑥
6𝑥
=
1
6
 
2) 
2𝑥−3
𝑥−4
∗
𝑥2−8𝑥+16
3−2𝑥
=
(2𝑥−3)(𝑥−4)(𝑥−4)
(𝑥−4)(−1)(2𝑥+3)
=
𝑥−4
−1
= 4 − 𝑥 
Ejercicios: 
1) (
2𝑥
5𝑦
) (
𝑦3
6
) =
2𝑥𝑦3
30𝑦
=
𝑥𝑦2
15
 
2) (
32𝑥2
𝑦4
) (
5𝑥3
8𝑦2
) =
160𝑥5
8𝑦6
=
8(20𝑥5)
8(𝑦6)
=
20𝑥5
𝑦6
 
 
 
5 
3) 
3−𝑟
𝑟−3
÷
𝑟−9
9−𝑟
= 1 
4) 
7𝑎+7𝑏
5
÷
𝑎2−𝑏2
𝑎−𝑏
=
7(𝑎+𝑏)
5
÷
(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)
𝑎−𝑏
=
7(𝑎+𝑏)
5(𝑎+𝑏)
=
7
5
 
5) 
𝑝2+7𝑝+10
𝑝+5
∙
1
𝑝+2
= 1 
Ejercicios resueltos: 
1) (
6𝑥3−𝑥2−𝑥
2𝑥2+𝑥−1
) (
𝑥2−1
𝑥3−2𝑥2+𝑥
) =
𝑥(6𝑥2−𝑥−1)
(2𝑥−1)(𝑥+1)
∗
(𝑥+1)(𝑥−1)
𝑥(𝑥2−2𝑥+1)
=
𝑥(2𝑥−1)(3𝑥+1)(𝑥+1)(𝑥−1)
(2𝑥−1)(𝑥+1)𝑥(𝑥−1)(𝑥−1)
=
3𝑥+1
𝑥−1
 
2) (
𝑥+2
𝑥3−8
) (
(𝑥−2)2
𝑥2−4
) =
𝑥+2
(𝑥−2)(𝑥2+2𝑥+4)
∗
(𝑥−2)(𝑥−2)
𝑥2−4
=
𝑥2−4
(𝑥2+2𝑥+4)(𝑥2−4)
=
1
(𝑥2+2𝑥+4)
 
3) 
𝑥2−𝑦2
𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2
÷
(𝑥+𝑦)2
(𝑥−𝑦)2
=
(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)
(𝑥−𝑦)(𝑥−𝑦)
∗
(𝑥−𝑦)(𝑥−𝑦)
(𝑥+𝑦)(𝑥+𝑦)
=
𝑥−𝑦
𝑥+𝑦
 
1.2.2 Múltiplo común minino (Mínimo común denominador) 
Para determinar el mínimo común denominador de expresiones racionales 
se siguen los siguientes pasos: 
1. Escriba como producto de números primos cada coeficiente no primo de los 
monomios del denominador. 
2. Factorice por completo cada denominador. Si aparece más de una vez debe 
expresarse como potencia. 
3. Enliste todos los factores diferentes que aparezcan en cualquiera de los 
denominadores. Cuando aparezca en más de un denominador escríbalo con 
la mayor potencia. 
4. El mínimo común denominador es el producto de todos los factores 
encontrados en el paso 1. 
 
 
6 
Ejemplo: 
1) 
3
5𝑥
− 
2
𝑥2
= 𝑀. 𝐶. 𝐷. = 5𝑥2 
2) 
1
8𝑥3𝑦
+
5
27𝑥3𝑦3
= 𝑀. 𝐶. 𝐷 = (2)3(3)3𝑥3𝑦3 
Ejercicios: Determine el M.C.D 
1) 
𝑥+12
16𝑥2𝑦
−
𝑥2
3𝑥3
= 𝑀. 𝐶. 𝐷 = (2)4(3)𝑥3𝑦 
2) 
1
𝑥−1
−
𝑥
𝑥−3
= 𝑀. 𝐶. 𝐷 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 3) 
3) 
4
(𝑟−7)(𝑟+2)
−
𝑟+8
𝑟−7
= 𝑀. 𝐶. 𝐷 = (𝑟 − 7)(𝑟 − 2) 
1.2.3 Adición y sustracción 
El procedimiento que se usa para sumar o restar expresiones racionales sin 
denominador común es el siguiente: 
1. Determine el MCD. 
2. Reescriba la fracción como una fracción equivalente con el MCD, esto se 
hace multiplicando el numerador y el denominador por los factores 
necesarios de cada fracción hasta obtener el MCD. 
3. Conserve el denominador factorizado, pero desarrolle el numerador. 
4. Sume o réstelos numeradores conservando el MCD. 
5. Cuando sea posible factorizar el numerador hágalo. 
Ejemplos: 
1) 
3
𝑥2+3𝑥−4
− 
4
4𝑥2+5𝑥−9
+ 
𝑥+2
4𝑥2+25𝑥+36
=(X+4)(4x+9) 
2) 
𝑥+12
16𝑥2𝑦
− 
𝑥2
3𝑥3
= 
3𝑥2+36𝑥
48𝑥3𝑦
− 
16𝑥2𝑦
48𝑥3𝑦
= 
3𝑥2+36𝑥−16𝑥2𝑦
48𝑥3𝑦
 
Ejercicios: 
 
 
7 
1) 
2
3𝑎4𝑏2
+
7
2𝑎3𝑏5
= 6𝑎4𝑏5 
2) 
1
𝑥−1
+
𝑥
𝑥−3
= 𝑥 − 3 
3) 
4𝑥
𝑥+3
+
6
𝑥+9
= 𝑥 + 9 
4) 
4
(𝑟−7)(𝑟+2)
−
𝑟+8
𝑟−7
= −14𝑟2 
5) 5𝑧2 +
9𝑧
𝑧−6
= 𝑧 − 6 
1.3 Ecuaciones 
1.3.1 Solución de ecuaciones 
Una ecuación racional es aquella que contiene al menos una expresión 
racional. Para resolverlas se siguen la siguiente metodología: 
1. Determine el MCD. 
2. Multiplique ambos lados de la ecuación por el MCD. 
3. Elimine los paréntesis que haya, y reduzca los términos semejantes. 
4. Resuelva la ecuación utilizando las propiedades necesarias. 
5. Verifique la solución en la ecuación original 
Ejemplo: 
3𝑥
4
+
1
2
=
2𝑥 − 3
4
=
(4)(3𝑥)
4
+
1(4)
2
=
(2𝑥 − 3)(4)
4
= 3𝑥 + 2 = 2𝑥 − 3 = 𝑥 = −5 
Ejercicios: 
1) 
2
3𝑟
+ 
8
𝑟
= 
2
3𝑟
+ 
8 (3)
𝑟 (3)
=
26
3𝑟
 
2) 
5
12𝑥
− 
1
4𝑥2
= 
1 (12)
4𝑥2 (12)
= 
20𝑥−12
48𝑥2
 
3) 
3
8𝑥4𝑦
+ 
1
5𝑥2𝑦3
= 
15𝑥+8𝑥𝑦
40𝑥2𝑦3
 
4) 
𝑏
𝑎−𝑏
− 
𝑎+𝑏
𝑏
= 
2𝑏20−𝑏2
(𝑎−𝑏)𝑏
 
 
 
8 
5) 
4𝑥
𝑥−4
+ 
𝑥+3
𝑥+3
= 
5𝑥2+3𝑥−12
𝑥−4(𝑥+1)
 
6) 
𝑎
𝑎−𝑏
− 
𝑎
𝑏−𝑎
= 
𝑎
(𝑏−𝑎)
 
1.3.2 Despeje de variables en ecuaciones literales 
En ocasiones se puede dar la necesidad de despejar una variable en una 
formula en la que dicha variable aparece en más de un término. Cuando esto 
sucede, es posible despejar la variable mediante factorización. Para hacerlo agrupe 
en un lado de la ecuación todos los términos que contiene la variable y quiere 
despejar y en otro lado todos los demás términos. Luego factorice la variable. 
Ejemplo: 
Una fórmula que se utiliza en óptica es, , 
1
𝑝
+
1
𝑞
 = 
1
𝑓
, en la que "p" representa la 
distancia en la que está un objeto respecto de una lente o espejo, "q" representa la 
distancia de la imagen respecto de la lente o espejo, y "f" representa la longitud focal 
del lente o espejo. En el caso de las personas que utilizan anteojos, la distancia de 
la imagen es la distancia que hay entre las lentes y la retina. 
Solución: 
1
𝑝
+
1
𝑞
=
1
𝑓
 𝑚𝑐𝑑 = 𝑝𝑞𝑓 𝑝𝑓 + 𝑞𝑓 = 𝑝𝑞 =
𝑝𝑓 + 𝑞𝑓
𝑝𝑞𝑓
=
𝑝𝑞
𝑝𝑞𝑓
 
 Despejar f 
𝑓(𝑝 + 𝑞)
𝑝𝑞𝑓
=
𝑝𝑞
𝑝𝑞𝑓
 𝑓(𝑝 + 𝑞) =
𝑝𝑞(𝑝𝑞𝑓)
𝑝𝑞𝑓
 𝑓 =
𝑝𝑞
(𝑝 + 𝑞)
 
Ejemplos: 
4𝑥+3
𝑥2+11𝑥+30
− 
3
𝑥+6
= 
2
𝑥+5
=
4x+3
(𝑥+5)(𝑥+6)
− 
3 (𝑥+5)
(𝑥+5)(𝑥+6)
= 
2(𝑥+6)
(𝑥+5)(𝑥+6)
 = 
4𝑥+3−3𝑥−5
(𝑥+5)(𝑥+6)
=
 
2𝑥+12
(𝑥+5)(𝑥+6)
= 
𝑥−12
(𝑥+5)(𝑥+6) 
 𝑥 = 24 
4
𝑥 + 3
+ 
5
2𝑥 + 6
= 
1
2
 
4 (2)
(𝑥 + 3) (2)
+ 
5
2(𝑥 + 3)
= 
1 (𝑥 + 3)
2(𝑥 + 3)
 
(8+5)=x+3 
13=x+3 
 
 
9 
3-13=x 
x=10 
1.3.3 Problemas prácticos 
Por problemas prácticos nos referimos a aquellos que involucran a dos o más 
maquinas o personas, que trabajan juntas para realizar alguna tarea. Para resolver 
este tipo de problemas partimos de hecho de que la parte del trabajo realizado por 
la primera persona más la parte del trabajo realizado por la segunda persona es 
igual al total del trabajo realizado por ambas personas. 
Ejemplos: 
a) Susana y Jesús trabajan en un jardín botánico, alrededor de cuyos terrenos se 
agregaran varios diseños florares. Susana que tiene más experiencia, puede plantar 
las flores y hacer el diseño en 3 horas. Jesús necesita 5 horas de trabajo para 
realizar la misma tarea. Sí Susana y Jesús trabajan juntos, ¿Cuánto tardarán en 
realizar el diseño? 
Trabajador Velocidad del 
trabajoTiempo 
trabajando 
Parte de la tarea 
realizada 
Susana 1/3 X x/3 
Jesús 1/5 X x/5 
𝑥
3
+
𝑥
5
= 
𝑥(5)
15
+
𝑥(3)
15
=
8𝑥
15
 𝑥 =
15
8
 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
b) Bill y Bob están planeando hacer una tarea juntos. Y Bill puede hacerla en 7 
horas. Bob puede hacerlo en 9 horas. Sea x el tiempo que Bill y Bob hacen juntos 
la tarea. Determine el tiempo que tardarán en realizar la tarea juntos. 
𝑥
7
+
𝑥
9
=? 
𝑥(9)
63
+
𝑥(7)
63
= 
16𝑥
63
 𝑥 =
63
16
 𝑥 = 3.9 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠