31619_APUNTEN4MAT62100I2009(borrador)

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Prof.: luis orozcofuenzalida
RESUMEN DE CONTENIDOS MATEMÁTICAS I MAT62100 (versión borrador) (OTOÑO 2008)
1.1.- Las relaciónes de orden , , y , con y números reales se+  , +  , + Ÿ , +   , + ,
llaman desigualdades.
1.2- Ley de Tricotomía: Para dos números reales cualesquiera y sólo una de las tres+ ,
expresiones siguientes es verdadera +  , + œ , ,  + ; ; .
1.3- Propiedad transitiva: si y , entonces .+  , ,  - +  -
1.4.- Para cualquier número real , el de denotado por es:+ + +valor absoluto ¸ ¸
¸ ¸ œ+ œ + +   ! + +  !
 
 
; si
; si
1.5.- Propiedades del valor absoluto:
(i) ii) ssi (iii) ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸¸ ¸B   ! B œ ! B œ ! BC œ B C (
(iv) , (v) (vi) ¹ ¹BC BCœ C Á ! B œ B B C Ÿ B  C¸ ¸¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸
1.6.- Si y son dos puntos en la recta numérica,la de a es: + , + , .Ð+ ,Ñ œ ,  +distancia , ¸ ¸
1.7.- ara todo , y se tiene que:Potencia. P 8 − B −™ ‘
(i) ; n factores (ii) (iii) , .B œ À B † B † BâB † B B œ B Á ! B œ " B Á !8 8 !"B8 ,
1.8.- Propiedades de la Potencia. Sean e números reales, y números enterosB C 7 8
entonces:
(i) (ii) (iii) B † B œ B ÐB Ñ œ B ÐBCÑ œ B † C7 8 78 7 8 78 8 8 8 
(iv) (v) (vi) En general Š ‹B B BC C B
8
78 8œ œ B ÐB CÑ Á
8 7
8 8 
B  C8 8
1.9.- Cualquier número real que se escribe de la forma: , con y+ ‚ "! " Ÿ +  "!8
8 − ™ , se dice que está escrito en .notación científica
1.10.- ssi Raíces. È8 B œ < < œ B8 Þ
2
1.11.- Leyes de las raíces. Sean y enteros positivos y e números reales, entonces:7 8 B C 
(i) (ii) (iii) Š ‹È ÈÈ œ¸ ¸ È È8 8B œ B B œ B C œ BCB 8B 8
8
8 
 ; si es impar
; si es par
8 8 8
(iv) (v) 
È
È
8
8
8B
C
B
Cœ B œ BÉ ÉÈ È7 8 78
1.12.- : (i) Racionalización "
B
B B
B BÈ È
È È
8 8
8 88" 8"
8"
† œ
(ii) "
+  , +  ,
+  , +  ,
+  ,È ÈÈ È
È ÈÈ È
† œ
1.13.- : ; con y enteros positivos y unExponente Racional B œ B B B" 78 88 8È È œ 7 8 B7
número real que "tenga sentido".
1.14.- Las propiedades de 1.8.- son igualmente válidas para exponentes racionales.
1.15.- Un en la variable es una expresión algebraica de la forma:polinomio de grado 8 B
+ B  + B  + B âââ+ B  + B  + + Á !8 8" 8# # " ! 8
8 8" 8# # ; con 
donde es un entero positivo y es un número real para cualquier8 +3
3 œ !ß "ßá ß8 "ß8.
1.16.- :Productos notables y Factorización
(i) (ii) ÐB„CÑ œ B „#BC  C ÐB CÑÐB  CÑ œ B  C# # # # # 
(iii) (iv) ÐB„CÑ œ B „$B C  $BC „C ÐB„CÑÐB …BC  C Ñ œ B „$ $ # # $ # # $ 
C$
1.17.- Una es de la forma donde y son polinomios.expresión racional
TÐBÑ
UÐBÑ TÐBÑ UÐBÑ 
2.1.- Una se obtiene cuando dos expresiones algebraicas se igualan, como porecuación
ejemplo:
È ¸ ¸B $ œ % B  " œ ÐB "ÑÐB  "Ñ #B * œ  (; ; .#
2.2.- Una es de la forma ; donde y .ecuación lineal +B , œ ! + Á ! + , − ‘
3
2.3.- Sugerencia para solucionar problemas de palabras:
a) Lea el problema cuidadosamente.
b) Relea el problema e identifique una cantidad desconocida que se necesite
encontrar.
c) Si es posible, haga un diagrama.
d) Asigne una variable, digamos , que represente la cantidad desconocida. Escriba laB
definición de esta variable en su hoja.
e) Si es posible, represente cualquier otra cantidad que haya en el problema en
términos de . Escriba cada una de estas cantidades en su hoja.B
f) Escriba una ecuación, o inecuación, que exprese con precisión la relación descrita
en el problema.
g) Solucione la ecuación, o inecuación.
h) Verifique que su respuesta concuerde con todas las condiciones planteadas en el
problema.
2.4.- Una es una ecuación de la forma:ecuación polinomica de grado 8
+ B  + B  + B âââ+ B  + B  + œ ! + Á ! 88 8" 8# # " ! 8
8 8" 8# # ; ,donde 
es un entero positivo y es un número real para cualquier .+ 3 œ !ß "ßá ß 8 "ß83
Si se llama . Si se llama .8 œ " 8 œ #ecuación lineal ecuación cuadrática
2.5.- La solución de una ecuación polinómica se llama raíz del polinomio asociado.
2.6.- .Si entonces las soluciones de estanFórmula cuadrática + Á ! +B  ,B  - œ !# ß
dadas por:
B œ ,„ , %+-#+
È #
2.7.- La expresión de 2.6 se llama de la ecuación cuadrática,  %+-# discriminante
+B  ,B  - œ !# y se tiene que :
Discriminante raíces 
dos soluciones reales distintas
dos soluciones reales e iguales
no hay s
,  %+-  !
,  %+- œ !
,  %+-  !
#
#
# oluciones reales
4
2.8.- Sugerencia para resolver :ecuaciones con radicales
(i) Aisle el radical más complicado a un lado de la ecuación.
(ii) Elimine ese radical elevando ambos lados de la ecuación a una potencia apropiada.
(iii) Si no hay radicales resuelva la ecuación. En caso contrario, vuelva a (i).
(iv) Verifique las soluciones obtenidas en (iii), en la ecuación original, en el caso que
los radicales tengan índice par.
2.9.- Los enunciados que incluyen relaciones de orden se llaman . Ejemplos:inecuaciones
 #B &  ) $B  %B   &; #
2.10.- Una es cualquier número, que cuando se le sustituye porsolución de una inecuación
la variable, hace que el enunciado sea verdadero.
2.11.- Dos inecuaciones son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciónes.
2.12.- Operaciones que producen inecuaciones equivalentes: Sean , y números reales.+ , -
(i) Si y es cualquier número real, entonces+ , - +  -  ,  -
(ii) Si y es positivo, entonces +  , - +-  ,-
(iii) Si es negativo, entonces+  , - +-  ,- y
 2.13.- Cualquier inecuación que pueda escribirse de la forma , , se+B ,  ! + Á !
llama . Lo mismo con , y .inecuación lineal  Ÿ  
 2.14.- La significa que tanto como . inecuación simultánea +  B  , +  B B  , 
 2.15.- Intervalos:
INTERVALO NOTACION NOMBRE GRAFICA 
intervalo abierto
intervalo cerrado
˜  ™ ‘ 
˜  ™  ‘
˜
B +  B  , +ß ,
B + Ÿ B Ÿ , +ß ,
B
−
−
−
‘
‘
 
 
‘
‘
‘
‘
 ™ ‘ ‘
˜  ™  
˜  ™ ‘ 
˜  ™  
+  B Ÿ , +ß ,
B + Ÿ B  , +ß ,
B +  B +ß _
B + Ÿ B +ß _
 
 
 
 
int. semiabierto
int. semiabierto
intervalo infinito
intervalo inf
−
−
− inito
intervalo infinito
intervalo infinito
˜  ™ ‘ ‘
˜  ™ ‘ 
B B Ÿ , _ß ,
B B  , _ß ,
−
−
‘
‘
 
 
5
2.16.- Para resolver inecuaciones con valor absoluto hay que tener en cuenta la definición
o las siguientes propiedades: Sea un número positivo entonces,
(i) ssi (ii) ssi o¸ ¸ ¸ ¸\  ,  ,  \  , \  , \  , \   , 
idem para en vez de y en vez de .Ÿ    
2.17.- Cualquier inecuación que puede escribirse de la forma ,+B  ,B  -  !# ; + Á !
donde , y son números reales se llama . Lo mismo para , + , - Ÿ   inecuación cuadrática
y .
2.18.- Cualquier inecuación de la forma: se llama inecuación racional. LoTÐBÑUÐBÑ  ! 
mismo para , y .Ÿ    
2.19.- Propiedades de los signos de los productos o cocientes:
(i) Si el producto (o cociente) de dos números reales es positivo, entonces los dos
números tienen los mismos signos.
(ii) Si el producto (o cociente ) de dos números reales es negativo, entonces los dos
números tienen signos opuestos.
3.1.- Las coordenadas de un punto E en el plano cartesiano está representado por un par
ordenado de la forma , donde es la proyección del punto sobre el eje e es laÐBß CÑ B \ C
proyección del punto sobre el eje .]
3.2.- La expresión se lee: "El punto tiene coordenadas ". se llama absisaEÐBß CÑ E ÐBß CÑ B 
de e ordenada de .E C E
3.3.- La distancia entre dos puntos y está dado por el número realEÐB ß C Ñ FÐB ß C Ñ" " # #
no-negativo ..ÐEßFÑ œ ÐB  B Ñ  ÐC  C ÑÈ # " # "# #
3.4.- Algunas propiedades de la distancia son:
(i) (ii) (iii) .ÐEßEÑ œ ! .ÐEßFÑ œ .ÐFßEÑ .ÐEßFÑ  .ÐFßGÑ .ÐEßGÑ  
(iv) si y sólo si ..ÐEßFÑ  .ÐFßGÑ .ÐEßGÑ F − EGœ 
3.5.- Las coordenadas del punto medio del trazo , donde y , estáEF EÐB ß C Ñ FÐB ß C Ñ " " # #
dado por: Q ßEFŠ B B# #C C" # " # ‹.
3.6.- La recta vertical , que pasa por los puntos y , se representa6 EÐB ß C Ñ FÐB ß C Ñ" " " #
(algebraicamente) por la ecuación . La expresión se lee:"la rectaB œ B 6 À B œ B 6" "
tiene ecuación ".B œ B"
3.7.- La pendiente , de una recta no-vertical que pasa por los puntos y7 EÐB ß C Ñ " "
FÐB ß C Ñ 7 œ# # , está dada por el número real 
C C
B B
# "
# "
.
6
3.8.- La recta no-vertical , que pasa por el punto 6 EÐB ß C Ñ 7" " y tiene pendiente , se
representa (algebraicamente) por la ecuación . La expresiónC  C œ 7ÐB B Ñ" "
6 À C  C œ 7ÐB B Ñ 6 C  C œ 7ÐB B Ñ" " " " se lee:"la recta tiene ecuación ".
3.9.- La ecuación , llamada ecuación principal, representa una recta conC œ 7B8 
pendiente , que corta al eje en el punto . se llama coeficiente de posición.7 ] Ð!ß8Ñ 8 
3.10.- Pendiente Gráfico de la recta Coeficient
La recta es creciente
La recta es horizontal
La recta es decreciente
7
7
7œ !
7  !
 !
 
e Gráfico de la recta
Corta en 
Pasa por el origen
Corta en 
8
8 ]
8 œ !
8  ! ]
 ! 
 
3.11.- La ecuación , con , es llamada ecuación generalEBFCG œ ! E F Á !# #
de la recta.
3.12.- Casos especiales en la ecuación general: Recta horizontal.
Recta vertical.
Recta que pasa por el origen.
E œ !
F œ !
G œ !
F Á ! 7 œ  à 8 œ
E
F 
G
F .
3.13.- Dos rectas horizontales son paralelas y, dos rectas verticales son paralelas. Una
recta horizontal es perpendicular a una recta vertical y viceversa.
3.14.- Las rectas y son paralelas ssi .6 À C œ 7 B8 6 À C œ 7 B8 7 œ7" " " # # # " #
3.15.- Las rectas y son perpendiculares ssi6 À C œ 7 B8 6 À C œ 7 B8" " " # # #
7 7 œ "" # .
3.16.- Si dos rectas 6 À E BF CG œ ! 6 À E BF CG œ !" " " " # # # # y se intersectan
en algún punto, entonces las coordenadas del punto en cuestión queda determinadoÐBß CÑ
al resolver el sistema
E BF CG œ !
E BF CG œ !
" " "
# # #
.
3.17.- El número de soluciones del sistema anterior determina la posición relativa de las
rectas y . Hay tres casos a considerar:6 6" #
Condición de los parámetros Sistema de ecuación Posición relativa de las rectas
Solución única. y se cortan en un punE FE F
" "
# #
Á 6 6" # to.
No tiene solución. y son paralelas y distintas.
Infinitas soluciones. y son coincidentes
E F G
E F G
E F G
E F G
" " "
# # #
" " "
# # #
œ Á 6 6
œ œ 6 6
" #
" # .
7
3.18.- La distancia del punto TÐB ß C Ñ 6 À EBFCG œ !" " a la recta , está dada por:
.ÐT ß 6Ñ œ
¸ ¸
È
EB  FC  G
E F
" "
# #
 
.
3.19.- La distancia entre dos rectas paralelas se define como la distancia de un punto
cualquiera de una a la otra.
4.1.- Inducción matemática es el nombre que recibe un principio fundamental de la
lógica y que se puede usar para demostrar cierto tipo de proposiciones matemáticas.
Normalmente se usa la inducción matemática para probar que cierta afirmación o ecuación
se cumple para todo entero positivo o a partir de cierto entero positivo. Este método de
demostración se basa en el llamado "principio de inducción matemática" que aceptaremos
como postulado.
4.2.- Si un conjunto de enteros positivos es talPrimer Principio de inducción matemática. W 
que:
(i) El entero positivo es un elemento de ." W 
(ii) El entero positivo es un elemento de cada vez que el entero 8 " W
positivo es un elemento de .8 W
Entonces es el conjunto de todos los enteros positivos.W
4.3.- Sea un enunciado, expresión, fórmula,etc.. Una demostración por induccciónTÐ8Ñ
matemática de que es verdadera para todo entero positivo envuelve los siguientesTÐ8Ñ 8
pasos. Si se cumple que:
(i) es verdadero.TÐ"Ñ
(ii) Si es verdadero entonces es verdadero, cuando es un enteroTÐ8Ñ T Ð8 "Ñ 8
positivo.
Entonces, por el principio de inducción matemático, es verdadero para todoTÐ8Ñ
entero positivo .8
Lo anterior lo podemos usar en el caso que deseemos probar que es válido paraTÐ8Ñ
8   7 8 7 con , enteros positivos.
4.4.- Una alternativa al primer principio de inducción matemática es el, Segundo Principio
de Inducción matemática:
Si un conjunto de enteros positivos es tal que:W 
(i) El entero positivo es un elemento de ." W 
(ii) El entero positivo es un elemento de cada vez que los enteros8 " W
"ß #ß $ß %ß ÞÞÞÞÞÞß 8 W, son elementos de .
Entonces es el conjunto de todos los enteros positivos. W
4.5.- es un listado infinito de números reales(llamados de la Una sucesión términos 
sucesión) . + ß + ßá ß+ ßá" # 8 Al tener las sucesiones infinitos términos, no es posible
escribirlos todos uno a uno. A veces se escribe sólo el inicio del listado dando por supuesto
que continúa de modo evidente.
8
4.6.- Para describir de manera precisa una sucesión, hay dos métodos distintos:
el primero es dar una que permita calcular el para cualquierfórmula término general +8
valor del índice . El segundo es dar una que determine cada término8 ley de recurrencia
a partir del o los anteriores, definiendo previamente el o los primeros términos.
4.7.- Para indicar "la suma de" términos de una forma dada y "el producto de" factores de
una forma dada, respectivamente,se define un y un símbolo sumatorio símbolo
producto. La letra mayúscula "sigma" , es usada como símbolo sumatorio y la letraD
mayúscula griega "pi" , es usada como símbolo producto. Por definición:C
! ! ! # #
3œ7 3œ7 3œ7 3œ7 3œ7
8 8" 7 8 7
3œ7
8"
+ œ +  + + œ + + œ + † + + œ +
3 3 3 38 7 3 3 78Œ  Œ #y y 
donde y son enteros, , y es el término de una sucesión de números reales7 8 7  8 + 3
que depende de la variable .3
4.8.- El símbolo es llamado el ; es el del3 7índice de la sumatoria límite inferior
índice, y es el del índice.8 límite superior
4.9.- Una definición alternativa, a partir de la anterior, y más "popular" está dada por:
! #
3œ7 3œ7
8 8
+ œ +  +  + â+ + œ + † + † + † † +
3 3 7#7 87" 8 7 7"7#
 â
donde y son enteros y .7 8 7 Ÿ 8
4.10.- Algunas propiedades:
SUMATORIA PRODUCTORIA
1.- 1.-
2.- 
! ! ! # # #
3œ7 3œ7 3œ7 3œ7 3œ7 3œ7
8 8 8 8 8
Ð+  , Ñ œ +  , Ð+ † , Ñ œ + † ,
Ð+  , Ñ œ
3 3 3 3 3 3 3
 
3
8
3œ7
8
 ! !3 3
3œ7 3œ7 3œ7
8 8 8
3œ7 3œ7
8 8
87"
3œ7 4œ7 3œ7 4œ7
8 8 8 8 8
5œ7
+  , œ
- œ -Ð87"Ñ - œ -
+ œ + + + œ +
3 3
3
3
3 35
! # Š ‹
! #
! ! ! # #
 2.- 
3.- 3.-
4.- 4.- 
+
,
4
#
#
3œ7
8
3
3œ7
8
3
+
,
œ 4
+
+
œ +
+ œ +  + + œ
+ œ + + œ +
#
! ! ! #
! ! # #
! !
5œ7
8
3œ7 3œ" 3œ" 3œ7
8 8 7" 8
3œ7 3œ7
8 82 8 82
3œ72 3œ72
3œ" 4
8
5
3 3 3 3
3œ"
8
3
3œ"
7"
3
3 32 3 32
5.- 5.- 
6.- 6.- 
7.- 
#
#
œ" 3œ" 4œ" 3œ" 4œ" 3œ" 4œ"
7 8 7 8 7 8 7
7
3œ7 3œ7
8 8
+ , œ + † , + , œ Ð+ Ñ † ,
Ð+  + Ñ œ +  + œ
3 4 3 4 3 4 3 4
3 3" 8 7"
! ! # # # #
! #
7.- 
8.- 8.- 
 
Š ‹++ ++3 8
3" 7"
9
4.11.- Observe que .! !Š ‹
3œ7 3œ7
8 8
#Ð+ Ñ Á +
3 3
#
4.12.- Algunas sumas importantes:
(i) (ii) (iii) ! ! !
3œ" 3œ" 3œ"
8 8 8
#" œ 8 3 œ 3 œ 
8Ð8"Ñ 8Ð8"ÑÐ#8"Ñ
# '
(iv) (v) ! !’ “
3œ" 3œ"
8 8
$ 3"
#
3 œ < œ
8Ð8"Ñ
# 
< "
<"
8
4.13.- Una se dice que está en ( ) si cada términosucesión progresión aritmética P.A.
se obtiene del anterior sumándole una cantidad fija . Ésta queda caracterizada, una vez.
dados su y la , mediante la ley de recurrenciaprimer término diferencia + .
"
+ œ +  . 8 −8" 8 , .™

4.14.- El término general de una con primer término y diferencia , está dado porP.A. + .
"
+ œ +  Ð8 "Ñ. 8 −8 " , .™

4.15.- Para pasar de un término a un término se pasa sumando veces la+ + Ð7 :Ñ: 7 
diferencia , es decir:.
+ œ +  Ð7 :Ñ.7 : .
4.16.- La suma de los primeros términosW œ +  +  + â+ 88 " $# 8
+ ß + ß + ßá ß+
" # $ 8
 de una P.A. está dada por las fórmulas:
W œ 8 W œ #+  Ð8 "Ñ.8
" 8
8 "
+  +
# #
8 o Š ‹
4.17.- Una se dice que está en ( ) si cada términosucesión progresión geomética P.G.
es igual al anterior multiplicado por una cantidad fija . Ésta queda caracterizada, una vez<
dados su y la , mediante la ley de recurrenciaprimer término razón + <
"
+ œ + < 8 −8" 8 , .™

4.18.- El término general de una con primer término y razón , está dado porP.G. + <
"
+ œ + < 8 −8 " 
8" , .™
4.19.- Para pasar de un términoa un término se pasa multiplicando veces+ + Ð7 :Ñ: 7 
por la razón , es decir:<
+ œ + <7 : 
7:
4.20.- La suma de los primeros términosW œ +  +  + â+ 88 " $# 8
+ ß + ß + ßá ß+
" # $ 8
 de una P.G. está dada por las fórmulas:
W œ W œ < Á "8 8
" "8
8+ + < + Ð"< Ñ
"< "< o .
4.21.- Las P.A. con diferencia y las P.G. con razón tienen todos sus términos. œ ! < œ "
iguales y se llaman .sucesiones triviales
10
4.22.- El producto de los enteros desde hasta se denota por y se llama " 8 8x factorial
de 8, es decir:
8x œ 8 † Ð8  "Ñ †â † $ † # † " 8x œ " † # † $ †â † Ð8 "Ñ † 8 8x œ 3 o o #
3œ"
8
4.23.- Para que algunas fórmulas encajen mejor se define .!x œ "
4.24.- Si y son dos números enteros no-negativos, con . El < 8 < Ÿ 8 número
combinatorio o coeficiente binomial , leído " sobre ", se define como:Œ 8< 8 <
Œ 8< œ 8x<xÐ8<Ñx .
4.25.- El cálculo de se simplifica notablemente en cuanto se aprende a cancelarŒ 8<
factores comunes. Observe además que el número indica la cantidad de factores que hay< 
tanto en el numerador como en el denominador y la cantidad de veces que son cada uno
disminuido, por lo que, por ejemplo .Œ )$ œ œ &')†(†'$†#†"
4.26.- Algunas propiedades:
(i) (ii) Œ  Œ  Œ  Œ 8 8 8 8< 8 < ! 8œ œ œ "
(iii) Œ  Œ  Œ 8 8 8 "< " < <œ+
4.27.- Si un proceso consta de varias etapas, en la primera de las cuales hay opciones8
"
distintas entre las que elegir, en la segunda hay opciones, en la tercera hay 8 8
# $
opciones, etc., el número total de opciones en la construcción de este proceso es el
producto . Esta regla también se llama 8 † 8 † 8 †â" $# principio fundamental de
enumeración.
4.28.- Se llaman a las diferentes formas enpermutaciones de elementos distintos8
que se pueden ordenar en fila.
4.29.- El número de permutaciones de objetos (distintos) dados, denotado por ,8 T
8
(siguiendo la regla del producto) está dado por:
T œ 8 † Ð8 "Ñ †â † $ † # † " T œ 8x
8 8
 o bien 
4.30.- El número de permutaciones distintas formadas con elementos, de los cuales 8 8"
son iguales entre sí, son iguales entre sí, son iguales entre sí, etc., denotado por8 8# $
T
8 ß 8 ß 8 ßÞÞÞ" # $
8
 , está dado por:
T
8 ß 8 ß 8 ßÞÞÞ" # $
8
" # $
œ 8x8 x †8 x†8 x†††††
11
4.31.- El número de maneras de ordenar diferentes objetos alrededor de un círculo es8 
Ð8  "Ñx maneras.
4.32.- Se llaman a lasvariaciones de elementos distintos tomados de en 8 < <
distintas filas ordenadas de longitud que se pueden formar con ellos (las variaciones de < 8
elementos distintos tomados de en son lo que hemos llamado permutaciones). 8 8
4.33.- El número de variaciones de elementos distintos tomados de en , denotado por8 < <
Z8ß< , (siguiendo la regla del producto) está dado por:
Z œ 8 † Ð8 "Ñ † Ð8  "Ñ † † † † Ð8  Ð<  "ÑÑ Z œ8ß< 8ß< o 
8x
Ð8<Ñx
4.34.- Las variaciones (y por supuesto las permutaciones) son ordenaciones de elementos,
por lo que, antes de efectuar el cómputo de las posibilidades de un problema real mediante
variaciones, asegúrese de que el orden es significativo.
4.35.- Se llaman a lascombinaciones de elementos distintos tomados de en 8 < <
distintas seleciones de elementos que se pueden efectuar de entre esos . Sólo importa< 8
cuáles son los escogidos, . Una combinación es una selección, una< no importa el orden
elección de cierto grupo.
4.36.- Es claro que cada combinación da lugar a tantas variaciones como formas haya de
permutar sus elementos, o sea . Luego si denotamos por al número de< <x G 8ß<
combinaciones de elementos distintos tomados de en , se tiene que:8 < <
 y por lo tanto .G œ œ G œ
8
<8ß<
8ß<
<
Z
T <xÐ8<Ñx
8x
8ß< Œ 
4.37.- La , para entero positivo,fórmula de Newton para el desarrollo del binomio 8
está dada por:
Ð Ñ+  ,
8 8 " #! 8" 8# " 8" ! 8
œ + ,  + ,  + , â + ,  + ,
8 8 8 8 8
! " # 8 " 8Œ  Œ  Œ  Œ  Œ 
o bien Ð Ñ+  ,
8 85 5
œ + ,
8
5
!
5œ!
8
Œ 
4.38.- El desarrollo de se obtiene sin más que cambiar por en el desarrolloÐ Ñ ,  ,+  ,
8
de y así se obtiene:Ð Ñ+  ,
8
Ð Ñ+  ,
8 8 " 8! 8" 8# # ! 8
œ + ,  + ,  + , â Ð "Ñ + ,
8 8 8 8
! " # 8Œ  Œ  Œ  Œ 
o bien Ð Ñ+  , Ð  "Ñ
8 5 85 5
œ + ,
8
5
!
5œ!
8
Œ 
4.39.- El ésimo término del desarrollo de es:Ð<  "Ñ +  , ˆ ‰8
X œ + ,
<" Œ 8< 8< <
12
4.40.- La definición del se puedenúmero combinatorio o coeficiente binomial Œ B<
generalizar para , recursivamente como:B − ‘
 ; para todo entero no-negativo .a b a bB B B! <" <" <B<œ À" œ À <ˆ ‰
4.41.- Algunas propiedades:
(i) (ii) ˆ ‰ ˆ ‰B" B B B B"8" 8" 8 8 8 " 8"B"œ  œa b a b a b 
(iii) ssi a bB8 œ ! B 8 B  8 y son enteros no-negativos, y . 
4.42.- El Teorema del Binomio se puede extender para exponentes enteros negativos o
fraccionarios donde es un número menor que . Sin embargo el desarrollo tiene¸ ¸ ¸ ¸, +
infinitos términos y queda escrito de la siguiente forma:
ˆ ‰ Š ‹+  , œ + " œ + 8 −8 8 88
5œ!
_
5
 ; , ,+ 5 +
8! ˆ ‰a b 
5.1.- Una de un conjunto en un conjunto es una regla de correspondencia quefunción \ ]
le asigna a cada elemento en uno y sólo un elemento en . El conjunto se llamaB \ C ] \ 
dominio de la función .
5.2.- Una función es un conjunto de pares ordenados tales que no hay dos paresÐBß CÑ 
ordenados diferentes del conjunto que tienen el mismo primer elemento.
5.3.- Una función se denota usualmente con una letra, por ejemplo , o por símbolos tales0
como , , , etc.È =/8 691
5.4.- Si es una función de un conjunto en un conjunto , la podemos representar0 \ ] 
como . El número en que está asociado con por medio de se escribe0 À \ ] C ] B 0Ò 
C œ 0ÐBÑ C 0 B 0ÐBÑ, y se lee " es igual a de ". También se dice que el número es el valor 
de la función en o la imagen de sobre .0 B B 0 
5.5.- A menudo una función se define por medio de una . Por ejemplo:fórmula explícita
0ÐBÑ œ B#. . En este curso y denotarán números realesB 0ÐBÑ
5.6.- Como el valor de la variable en siempre depende de la elección de ,C C œ 0ÐBÑ B 
decimos que es la . Por el contrario la elección de esC B variable dependiente
independiente de , por lo tanto se llama .C B variable independiente
5.7.- El es el conjunto de todos los dominio de una función 0 , denotado or ,H970 B
donde es un número real y el conjunto de todos los se llama o0ÐBÑ 0ÐBÑ rango de 0
recorrido de 0 , lo cual se denota V/-0 .
13
5.8.- Cuando una función se define por una fórmula se considera que el dominio es el
conjunto de números reales para los cuales la fórmula tiene sentido en el sistema de los
números reales.
5.9.- Una función que incluye más de una fórmula se llama .función definida a trozos
5.10.- En el plano , la se define como la gráfica de la ecuación\] 0gráfica de la función
C œ 0ÐBÑ, es decir el conjunto de puntos dado por:
š ‚ ›ÐBß CÑ C œ 0ÐBÑß B 0en el dominio de .
5.11.- Si está en el dominio de , el de su gráfica es . Para! 0 0Ð!Ñintersecto en el eje ]
hallar los de la gráfica debemos resolver la ecuación .intersectos en \ C œ 0ÐBÑ 0ÐBÑ œ !
5.12.- Para dos funciones reales y la suma , la diferencia , el producto 0 1 0  1 0  1 01 ,
y el cociente se definen como sigue:01
Š ‹
Š ‹
Š ‹
0  1 ÐBÑ œ 0ÐBÑ  1ÐBÑ
0  1 ÐBÑ œ 0ÐBÑ  1ÐBÑ
0 † 1 ÐBÑ œ 0ÐBÑ † 1ÐBÑ
ÐBÑ œŠ ‹01 1ÐBÑ0ÐBÑ ; 1ÐBÑ Á !
Y sus dominios son la intersección de los dominios de y . En el caso de debemos0 1 01 
excluir tal que .B 1ÐBÑ Á ! 
5.13.- La denotada por es otra función definida por:composición de y 0 1 0 ‰ 1 
Š ‹ Š ‹0 ‰ 1 ÐBÑ œ 0 1ÐBÑ
donde el rango de está en el dominio de .1 0 
5.14.- En general 0 ‰ 1 Á 1 ‰ 0 .
5.15.- La gráfica de una función con dominio es con respecto:0 \ simétrica
(i) al eje si para todos los en (se dice también que y] 0Ð  BÑ œ 0ÐBÑ B \ 0 es par)
(ii) al origen si para todos los en (se dice también que 0Ð  BÑ œ  0ÐBÑ B \ 0 es impar)
5.16.- Si es una función, las gráficas de las siguientes funciones se obtienen haciendo:0 
FUNCIÓN GRÁFICA DE
Trasladada haciaunidades
Trasladada hacia unidades
Traslad
5  ! C œ 0ÐBÑ
C œ 0ÐBÑ  5 5
C œ 0ÐBÑ  5 5
C œ 0ÐB 2Ñ
 
arriba 
abajo
ada hacia unidades
Trasladada hacia unidades
la izquierda 2
C œ 0ÐB 2Ñ 2la derecha 
14
5.17.- La gráfica de es una reflexión de la gráfica de a través delC œ  0ÐBÑ C œ 0ÐBÑ 
eje .\
6.1.- Se dice que una función si y solo cada elemento del 0 es uno a uno (o inyectiva)
rango de está asociado con exactamente un elemento de su dominio .0 \
6.2.- Lo anterior significa que una función si se pueden encontrar0 NO es uno a uno
 diferentes elementos en el dominio de tales que .+ Á , 0 0Ð+Ñ œ 0Ð,Ñ
6.3.- Si cada recta horizontal intersecta la gráfica de una función en máximo un punto,
 entonces la función es uno a uno.
6.4.- Sea una función uno a uno, con dominio y rango . La es una0 \ ] 0 inversa de 
función con dominio y rango para la cual:1 ] \ 
0 1ÐCÑ œ C C ] 1 0ÐBÑ œ B B \Š ‹ Š ‹ para cada en y para cada en 
y diremos que las funciones y son inversas entre sí.0 1 
6.5.- Denotaremos la inversa de una función uno a uno como , luego:0 0 "
0 0 ÐCÑ œ C 0 0ÐBÑ œ BŠ ‹ Š ‹" " y .
6.6.- Para hallar de una función uno a uno:0 ÐBÑ 0" 
(i) Desarrolle la composición de y , esto es .0 0 0 0 ÐBÑ " "Š ‹
(ii) Desarrolle la ecuación y,0 0 ÐBÑ œ BŠ ‹" 
(iii) Resuelva la ecuación para el símbolo .0 0 ÐBÑ œ B 0 ÐBÑŠ ‹" " 
6.7.- Otra forma para hallar para una función uno a uno .0 ÐBÑ 0" 
(i) Intercambie las variables e en la ecuación , y,B C C œ 0ÐBÑ 
(ii) Resuelva la ecuación resultante para .B œ 0ÐCÑ C 
6.8.- La gráfica de es una reflexión de la gráfica de en la recta .0 C œ 0ÐBÑ C œ B" 
6.9.- Para una función que no sea uno a uno, puede ser posible determinar una nueva0 
función en una parte del dominio de de modo que sea uno a uno y tenga elJ 0 J 
mismo rango de . Entonces, la función determinada en el dominio restringido,0 J 
tendrá una inversa.
15
6.10.- Sea una función definida en un intervalo dado , y sean y dos números0 M B B " # 
cualesquiera en ese intervalo.
(i) es creciente en el intervalo si siempre que .0 M 0ÐB Ñ 0ÐB Ñ B B " # " # 
(ii) es no-decreciente en el intervalo si siempre que .0 M 0ÐB Ñ 0ÐB Ñ B B " # " #Ÿ 
(iii) 0 M 0ÐB Ñ 0ÐB Ñ B Bes decreciente en el intervalo si siempre que . " # " # 
(iv) es no-creciente en el intervalo si siempre que .0 M 0ÐB Ñ 0ÐB Ñ B B " # " #  
7.1.- Una función se llama si:0 función polinomial
0ÐBÑ œ + B  + B  + B âââ+ B  + B  +8 8" 8# # " !
8 8" 8# # ;
donde , son constantes reales, llamados coeficientes del polinomio, y es+ ß + ß ÞÞÞÞÞß + 8! " 8 
un entero no negativo.
7.2.- Si , decimos entonces que una función polinomial tiene + Á ! 0 88 , denotadogrado
por 1< 0ÐBÑ œ 8ˆ ‰ . El número se denomina del polinomio.+8 coeficiente principal
7.3.- Dos polinomios son iguales si y sólo si tienen el mismo grado y sus coeficientes
respectivos son iguales.
7.4.- Una función polinomial de la forma para todos los del dominio se llama0ÐBÑ œ - Bß
función constante. En el caso que - 1< 0ÐBÑ œ ! -Á ! œ !, entoncesˆ ‰ (si 
1< 0ÐBÑ œ _ˆ ‰ ).
7.5.- Una función polinomial de grado ; , se llama 8 œ " 0ÐBÑ œ +B , + Á !, función
lineal.
7.6.- Una función polinomial de grado , , se llama8 œ # 0ÐBÑ œ +B  ,B  - + Á !# ,
función cuadrática .
7.7.- La gráfica de una función cuadrática se llama parábola.
7.8.- Para determinar si la gráfica tiene intersectos en el eje debemos hallar las\ 
soluciones reales de la ecuación +B  ,B - œ !# .
7.9.- , 
Dos raíces reales diferentes
Dos intersectos en 
La gráfica atraviesa el eje d
+B  ,B - œ ! B œ
,  %+-  !
\
\
#
#
,„ ,  %+-
#+
È # 
 os veces
Raíces reales iguales
El intersecto está en 
La gráfica es tangente al eje 
No hay raíces reales
No 
,  %+- œ !
B œ
\
,  %+-  !
#
#
 ,#+
hay intersectos en 
la gráfica está totalmente encima o debajo del eje 
\
\
16
7.10.- Si la gráfica de una función cuadrática se abre hacia arriba (abajo), el punto más
bajo o mínimo (más alto o máximo) sobre la parábola se llama vértice y sus coordenadas
son Š 0Ð Ñ, ,#+ #+ ß ‹.
7.11.- Si :ÐBÑ ;ÐBÑ -ÐBÑ y son dos polinomios, entonces existen polinomios (llamado
cociente) y (llamado resto), con <ÐBÑ 1< <ÐBÑ 1< ;ÐBш ‰ ˆ ‰ , tales que:
:ÐBÑ œ ;ÐBÑ -ÐBÑ  <ÐBÑ -ÐBÑ † o .
:ÐBÑ <ÐBÑ
;ÐBÑ ;ÐBÑœ
(i) Si y .1< :ÐBÑ 1< ;ÐBш ‰ ˆ ‰ , entonces -ÐBÑ œ ! <ÐBÑ œ :ÐBÑ 
(ii) Si y se obtienen dividiendo por1< :ÐBÑ 1< ;ÐBш ‰ ˆ ‰  , entonces -ÐBÑ <ÐBÑ :ÐBÑ
;ÐBÑ.
(iii) Si diremos que es divisible por1< :ÐBÑ 1< ;ÐBÑ <ÐBÑ œ !ˆ ‰ ˆ ‰ y , entonces :ÐBÑ
;ÐBÑ.
(iv) Si entonces el resto es .;ÐBÑ œ B + < œ :Ð+Ñ
7.12.- El método de división sintética o regla de Rufini permite efectuar la división de un
polinomio no nulo por . Para hacerlo menos extenso lo ilustraremos con un:ÐBÑ B  +
ejemplo. Si queremos dividir por hacemos::ÐBÑ œ $B  &B  #B % ;ÐBÑ œ B #% # 
Coeficientes de
Coeficientes de y
 
 
:ÐBÑ $ !  & #  %
+ œ # # # # #† † † †$ ' ( "'
-ÐBÑ $ ' ( "'< #)
Por lo que -ÐBÑ œ B  B  B$ ' ( "'$ # y <ÐBÑ œ #).
7.13.- Un número real o complejo es una raíz de un polinomio si y sólo si ;+ :ÐBÑ :Ð+Ñ œ !
son los valores de en los que el polinomio se hace cero.B
7.14.- es raíz del polinomio si y sólo si es solución de la ecuación .+ :ÐBÑ + :ÐBÑ œ ! 
7.15.- es raíz del polinomio si y sólo si es factor de (es decir, existe+ :ÐBÑ ÐB  +Ñ :ÐBÑ 
-ÐBÑ :ÐBÑ œ ÐB +Ñ-ÐBÑ tal que ).
7.16.- Las raíces determinan las intersecciones de la gráfica de con el ejeC œ :ÐBÑ
horizontal y se calculan resolviendo la ecuación \ :ÐBÑ œ !Þ
7.17.- Todo polinomio de grado tiene exactamente raíces (reales o complejas, iguales8 8
o distintas).
7.18.- Si , con :ÐBÑ œ ÐB +Ñ -ÐBÑ -Ð+Ñ7 Á ! +, entonces se llama raíz de multiplicidad
7 :ÐBÑ del polinomio .
7.19.- Si es un polinomio con coeficientes enteros, entonces :ÐBÑ sólo pueden ser raíces
enteras del polinomio los enteros divisores del coeficiente constante.:ÐBÑ
17
7.20.- pueden ser raícesSi es un polinomio con coeficientes enteros, entonces :ÐBÑ sólo
racionales del polinomio las fracciones de la forma , donde es un divisor del:ÐBÑ 7 78
coeficiente constante y divisor del coeficiente principal.8
7.21.- Si es un polinomio real y (es decir, el número complejo :ÐBÑ :Ð+  ,3Ñ œ ! +  ,3
es raíz de ), entonces y es divisible por:ÐBÑ :Ð+  ,3Ñ œ ! :ÐBÑ
;ÐBÑ œ B  #+B Ð+  , Ñ# # # .
7.22.- Un polinomio real siempre se puede factorizarse como producto de polinomios:ÐBÑ
reales de grado 1 y grado 2.
7.23.- Una función es racional si se puede expresar en la forma0
0ÐBÑ œ
:ÐBÑ
;ÐBÑ
donde y son polinomios reales. Su dominio es el conjunto de números reales:ÐBÑ ;ÐBÑ
excepto las raíces de .:ÐBÑ
7.24.- El método de permite escribir unadescomposición en fracciones parciales
función racional como suma de fracciones donde el numerador tiene grado 0 o 1,
dependiendo si el denominador es potencia de un polinomio de grado 1 o 2,
respectivamente. Para hacerlo menos extenso lo ilustraremos con un ejemplo.
CASO I Si 1< :ÐBÑ 1< ;ÐBш ‰ ˆ ‰
:ÐBÑ
B Ð$B#Ñ ÐB #B &Ñ B B $B# Ð$B#Ñ
E F G H
I JBK
Ð$B#Ñ ÐB #B &Ñ
LBM NBO
ÐB #B &Ñ ÐB #B &Ñ
PBQ
ÐB #B &Ñ
# $ # % # #
$ #
# # # $
# %
œ    
 
  


Los valores de las constantes etc. se obtienen sumando el lado derecho,Eß Fß Gß
igualando el numerador a y resolviendo el sistema de ecuaciones lineales (en este:ÐBÑ
caso es un sistema de 13 por13 y requeriría, para efecto de rapidez, un método
computacional, pero si es "más chico" se puede hacer con lápiz y papel).
CASO II Si existen polinomios y , con1< :ÐBÑ 1< ;ÐBш ‰ ˆ ‰  , entonces -ÐBÑ <ÐBÑ 
1< <ÐBÑ 1< ;ÐBш ‰ ˆ ‰ , tales que: :ÐBÑ <ÐBÑ <ÐBÑ;ÐBÑ ;ÐBÑ ;ÐBÑœ -ÐBÑ  y se aplica CASO I a .
8.1.- Si y , la función exponencial con base es .,  ! , Á " , 0ÐBÑ œ , B
8.2.- La función exponencial , anterior, tiene las siguientes propiedades:0
(i) El dominio de es el conjunto de números reales.0
(ii)El rango de es el conjunto de los números reales positivos.0 
(iii) El intersecto en para le gráfica de es . La gráfica de no tiene intersectos en .] 0 " 0 \