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Traducción: Federico Velasco Coba Coordinador del InstitUto de Geofísica Facultad de Ciencias Universidad Nacional Autónoma de México Revisión técn(ca: Emilio Lluis Riera Instituto de Matemáticas Facultad de Ciencias Universidad Nacional 'Autónoma de México Gráficas, relaciones y funciones National Council of Teachers of Mathematics U.S.A. Editorial Trillas rtl México, 1972 � Titulo tleesta obra en inglt<: Topics in Mothemali� /or Elementory School Teachtrs Booklet nu1flber 1.1. GropJu. Rdt�tions and FunclionJ C 1968, Thc Natie>11al Onmdl o/ T.achr71 óf Mathematics. btr. Wa1Mmrton. D. C.. U. S. A. Priwuraldici411 '" aPdO/, 1970 R•i,.pr,.i6n, •n•ro1972 Segunda reimpreeión, odubre 1972 lA Pr<'$m/oci6n y dispasici6n e11 conjunto dt< Tt/ftor dr MattmtUicas. c,.a;lerno 13 Gr4ficas, relacionu y {JJncionu, $On propitdod del tditor Der�chos ,.,.u�ados tn lengua tsPDRola O 1970 Edilorial Trillas, S. A. Av. 5 dt Maya 43-105, Mb.ico 1, D. F Mit1flbro d• la Cámi1To Nacional dt la Industria Editorial. Rt(l. nÑm. l.SR ¡.,p,,so "' Mb.ico Prólogo Este cuaderno es uno de las diez nueyas unidades de una sene mtro ducida en 1964 por el Consejo Naciona) de Profesores de Matemáticas (N ational Council of Teachers of Mathematics: NCTM) . Como los ocho primeros cuadernos �ibieron tan buena acogida -ya se han reimpreso varias veces--, se pens6 que una exte�6n de los temas tratados sería conveniente. Como los primeros cuadernos (nú.ms. 1 al 8), las nuevas unidades se han escrito pensando más bien en los profesores de escuelas primarias que en sus alumnos. Cada cuaderno presenta la exposici6n de un tema básico de las matemáticas. Los temas escogidos están entre aquellos con los que deben familiarizarse los profesores de primaria para poder tratar con ver· dadera comprensión las matemáticas que por lo común se enseñan en la escuela primaria. Los cuadernos presentan una introducción al tema que enfocan, no un tratamiento exhaustivo de él; el lector interesado puede estudiar estos temas con mayor profundiqad en otras publicaciones. Los temas se han escogido especiahn�nte con el propósito de propor cionar material básico a los profesores que creen que las experiencias de aprendizaje que se proporcionan a los niños en sus primeros años escolares deben incluir una introducción sencilla a 'algunos de los conceptos unifica dores centrales de la matemática. Muchos,profesores se han encontrado con que su educación profesional no los prep;tró para la enseñanza de la arit mética de un modo acorde con este pun�o de vista. Los autores tienen la esperanza, al igu.,.l que la NCTM, de q\le esta nueva serie de cuadernos pueda ayudar eficazmente a los profesores� y también a otros, y ciertamente a todas aquellas personas interesadas en mejorar la enseñanza de las matemáticas. Los primeros títulos son los siguientes: Cuaderno 1: Conjuntos Cuaderno 2: Números enteros Cuaderno 3: Sistemas de num4raci6n para los números enteros Cuaderno 4: Algoritmos d4 las operaciones con números entero: S 6 PROLOGO Cuaderno 5: Números y sus factores Cuaderno 6: Números racionales Cuaderno 7: Sistemas de numeración para los números racionales Cuaderno 8: Proposiciones numéricas Los nuevos títulos sop. los siguientes: Cuaderno 9 : El sistem:a de los enteros Cuaderno 10: El siste11'i;a de los números racionales Cuaderno 11: El sistema de los números reales Cuaderno 12: Lógica Cuaderno 13: Gráficas, relaciones y funciones Cuaderno 14: Geometría informal Cuaderno 15: Medida Cuaderno 16: Recopila�ión, organización e interpretación de datos Cuaderno 17: Sugerencias para la resolución de problemas Cuaderno 18: Simetrla, congruencia y semejanza Se sugiere que, de ordinatio, los cuadernos se lean en el orden de los números que se les han asignado, pues, hasta cierto punto, se ha seguido un proceso en espiral para abordar los distintos temas. Los nuevos cuadernos comenzaron a elaborarlos, en 1966, los miembros escritores de un grupo de verano. Los autores expresan aquí su más sincero agradecimiento a las siguient�s personas, por haber leído parte de los ma nuscritos, y por sus cambios qe impresiones con los auton;s durante la pre paración de estos cuadernos: a Joseph M. Trotter, director de la Escuela de San Luis Rey, y a Bonita Trotter, profesora de la Laurel School, ambos del Distrito Oceánico de la Vnion School; a John M. Hoffman, director de Ja Sección de Recursos .E�ucativos de la Comunidad del Departamen to de Educación del condad,o de San Diego ; y a James E. lnskeep, Jr., profesor de educación en el S'an Diego State College. Los autores se sienten en deuda, especialmente con Alice C. Beckenbach, por su amplia ayuda en la organización y edición del material para varios de los cuadernos. Expre san también su profundo a$radecimiento a Elaine Barth y a su selecto grupo de mecan6grafos por su excelente trabajo en la preparación del manuscrito. El nuevo proyecto, empn,mdido para proseguir el trabajo del primero, lo inicio y apadrinó el Co�ité de Publicaciones Suplementarias de la NCTM, bajo la presidencia de William Wooton. La NCTM, que propor cionó apoyo financiero, hace ahora público su agradecimiento al grupo de PRóLOGO 7 autores de la presente extensión de la serie Temas. A continuación damos los nombres de ellos. George Arbogast Manuel P. Berri Marguerite Brydegaard Louis S. Cohen Helen L. Curran Pataicia Davidson Walter Fleming Joseph Hashisaki Lenore S. John David Johnson Robert H. Sorgenfrey J. Dean Swift Williám Wooton Edwin F. Beckenbach, coordinador lndice general PROPOSICIONES ABIERTAS EN UNA VARIABLE 11 Proposiciones castellanas abiertas y sus valores de verdad 12 Proposiciones matemáticos abierta$ 13 Variables y conjuntos de reemplazamiento 14 Proposiciones abiertas compuestas 15 Notación constructivo 18 Gráficos de proposiciones abierto$ en una variable 19 PROPOSICIONES ABIERTAS EN DOS VARIABLES 22 Pares ordenados 22 Conjuntos de verdad finitos 23 Conjuntos de verdad infinitos 25 El método tabular 26 Gráficas de pares ordenados 28 Gráficas de proposiciones abiertas de dos variables 31 Proposiciones compuestas en dos variables 36 RELACIONES 41 Definición de lo palabro "relación" 42 Ejemplo de relaciones 44 Gráficas de relaciones 46 Gráficas de relaciones no numéricas 49 Representación de relaciones mediante diagramas de flechas 50 ConveJ�ción 54 RELACIONES DE EQUIVALENCIA 55 Definición de relaciones de equivó,lencia 56 Propiedades de las relaciones 58 Ejemplos de relaciones de equivalencia 61 9 10 Clases de equivalencia Identificación INDICE GENERAl Dos relaciones especiales de equivalencia Implicaciones en las gráficas RELACIONES DE UN CONJUNTO EN OTRO FUNCIONES Definición de la palabra "función" Prueba de la vertical · Notación funcional Las funciones como "reglas" .. Los funciones como "transformaciones'' La "máquina función" PROBLEMAS EN QUE APARECEN FUNCIONES Problemas del tipo 1 Problemas del tipo 2 Problemas del tipo 3 RESUMEN RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS 63 67 70 7 1 74 76 76 82 84 S7 90 9 1 92 93 95 96 10 1 103 Gráficas, relaciones y funciones CUADERNO TRECE 13 fROPOS!CIONES A§IERTAS FN L !NA J(ARIABLt; En esta primera sección discutiremos v¡uias ideas de considerable impor tancia que serán usadas en el resto del cuaderno. La sección siguiente, "Proposiciones abiertas en dos variables", pensamos que será de gran utilidad para los prof�sores en los últimos años de enseñanza elemental. Estas dos secciones forman una extensión natural del material del cuaderno 8: Proposiaiones numéricas. Es posible que el lector quiera ver -o volver a ver- el cuaderno citado antes de comenzar el estudio de éste; pero no es indispensable que lo haga, puesto que comenzaremos repasando las ideas fundamentales que hay en él. Suponemos que el lector está familiarizado con laidea de recta numérica y tiene cierto conocimiento, aunque sea superficial, de alguno de los sistemas numéricos usados comúnmente. Los conjuntos de números que usaremos, al igual que sus nombres estándar, se mencionan luego para conveniencia del lector: N = el conjunto de los números naturales = { 1, 2, 3, ... ) ; W = el conjunto de los números plenos = {O, 1, 2, 3, • • . } ; ] = el conjunto de los enteros = { . . . , -2, -1, O, 1, 2, ... }; R = el conjunto de los números reales. (Véase el cuaderno 11 : El siste ma de los números reales.) Usaremos también el símbolo de igualdad, "= ", el símbolo de no es igual a "#', y los símbolos de orden que aqw se enumeran junt� con sus significados: <significa "es menor que", > significa "es mayor que", ::; significa "es menor o igual que", ¿significa "es mayor o Igual que''· 1\ 12 PROPOSICIONES: ABIERTAS EN UNA VARIABLE �1=,��3i\W:jllenss pb¡ertgs x sus El lenguaje de las matemá�cas tiene una gramática, exactamente igual que la tiene el idioma castellano. Es cierto que a menudo se usan símbolos en lugar de palabras, pero �tos símbolos son partes m�temáticas del lenguaje -nombres, pronombres, verbos, etc.-, y podemos usarlos para formar oraciones tanto simples como compuestas. En matemáticas, como en castellano, hay oraciones que s.e denominan enunciativas. En esta sección, clasificamos las oraciones enun�ativas que tienen sentido en tres tipos. Observemos algunas oracio�es enunciativas en castellano. V {La ciudad de San Francisco está en Californla. La Tierra es mayor que la Luna. F { Abraham Lincoln nació en Francia. Napoleón &nap*ne murió en 1962. A {tl fue un presidente de Estados Unidos. Ella es la mujer del prlncipe Felipe. Cada una de estas seis· oraciones enuncia algo acerca de algo y ·es, por tanto, enunciativa. Las que están en el grupo V son proposiciones ver daderas, mientras que las que están en el grupo F son falsas. Por tanto, dada una cualquiera de las ppmeras cuatro proposiciones, podemos asig narle lo que los lógicos llaman un valor de verdad; es decir, podemos decidir si es verdadera o es falsa. Pero, ¿qué puede decirse de. las proposiciones del grupo A? ¿Podemos de cir que la proposición: "Ella es la mujer del príncipe Felipe" es verdadera?, ¿o que es falsa? Desde luego, el nombre de "Isabel Il" nos viene a la mente, y la proposición es seg.;¡ramente verdadera si éste es el nombre que usamos para reemplazar al sujeto -pronombre- de la oración. ¿Pero, y si el nombre con que reempl�emos al sujeto fuera "Brigitte Bardot"? La proposición seguiría teniendo sentido, pero en esta ocasión sería falsa. Dos cosas han surgido de esta discusión. Primera, que tan pronto como usamos el nombre de alguna mujer cualquiera para reemplazar al sujeto, entonces la proposición tfene un valor de verdad; es decir, o es verdadera o es falsa. Segunda, que si la sentencia es verdadera o falsa es un problema abierto en tanto no efectuemos cierto reemplazo. A una proposición de este tipo se le llama proposición abierta. Tenemos, pues, una clasíficaci6n de ora ciones enunciativas con sentido en tres tipos: verdaderas, falsas y abiertas. Las oraciones enunciativas sin �entido como, por ejemplo, .. El rey de Francia PROPOSICIONES MATEMÁTICAS ABIERTAS 13 tiene el pelo rojo", no serán consideradas en este cuaderno (Véase el cua· demo 12! Lógica.) proposiciones motemgticas gbiertas = El método wado en el lenguaje cotidiano para la clasificación de las oraciones enunciativas con sentido en verdaderas, falsas o abiertas, también se emplea en el lenguaje matemático. La idea de proposici6n abierta resulta, sin embargo, de mucha más importancia en matemáticas que en el caste llano. En esta seccí6n discutiremos solamente proposiciones numérícar; es decir, proposiciones en que se afirma algo aJ.:erca de números. Las siguientes hacen precisamente eso: V {3 :S 7. 2 X 3+5. F {i+i= �· 5-2> 4. Cada una de estas cuatro proposiciones tiene un valor de verdad definido; esto es, en cada caso podemos decir si la proposición es verda dera o falsa. Las del grupo V, desde luego, son verdaderas, y las del grupo F, falsas. Ahora bien, ¿qué aspecto tiene en matemáticas una proposicl6n abierta? He aquí algunas: {2+0 = 7. A 3 X n< 12. 6- 1:!. = 2. X+ 2 > 5. En estos casos, no podemos decir si las afirmaciones son verdaderas o falsas hasta que hayamos reemplazado los símbolos O, n, 6. y x por núme ros. Por ejemplo, la proposici6n "2 + O = 7" se convierte en una proposi ci6n verdadera si O se reemplaza por 5; pero resulta una proposición falsa si O se reemplaza por 4:, 7 o, ciertamente� por cualquier numeral de un número cualquiera distinto del 5. (De aquí en adelante, para ahorramos palabras, omitiremos a menudo lo de etnumeral de un número". Este hábito popular da, en muy pocas ocasiones, lugar a error.) Análogamente, la proposición "3 X n < 12", se convierte en una proposici6n verdadera si reemplazamos n por 2, porque 3 X 2 = 6 y es verdad que 6 < 12. Pero tenemos una falsa si reemplazamos a n por 4:, porque 3 X 4 = 12, y es falso que 12 < 12. Desde luego estos no son los únicos números que hacen que la proposición "3 X n < 12" sea verdadera.o falsa. ¿Puede el lector encon· trar algunos más? 14 PROPOSICIONES ASIERTAS EN UNA VARIABLE \lqcjgbl;s v Qi?Oiuntp� ge reemplazamiento Los símbolos O, n, 6 y :f, que aparecen en Los ejemplos anteriores, desempeñan el mismo papel que los pronombres, en ese caso sujetos, "él" y "ella" juegan en las proposiciones abiertas en castellano que se vieron en la página 12. En matemáticas se les llama variables. Vemos, pues, que proposiciones abiertas son las que contienen variables. Consideremos la proposición abierta "3 X n < 12" más detenidamente. Al contestar a la pregunta "¿cuáles serán los reemplazamientos de n que harán que esta proposición sea verdadera? Se observa pronto que si se reemplaza la variable n por 1, 2, ó 3, se obtiene una proposición verdadera; pero si n se reemplaza por 4 o cualquier número mayor que 4, la proposi· ción resultante es falsa. ¿Podemos concluir de ello que la proposición "3 X n < 12,. es verdadera sólo sin se reemplaza por 1, 2, ó 3? Este es, ciertamen te, el caso si los únicos reemplazamientos pennisibles para la variable n son Jos números naturales; es decir, los números del conjunto N = {1, 2, 3, 4, . .. }. Pero supongamos que, dijimos que n podía reemplazarse por cual quier entero; es decir, cualqui�r número del conjunto ] = { . . . , -2, ·1, O, 1, 2, ... } . En este caso la proposición abierta "3 X n < 12" se convierte en una proposición verdadera cuando la variable n se reemplaza por cual quier entero menor que 4. Por ejemplo, si n se reemplaza por -s, la pro posición se vuelve "3 X -5 < 12", es decir, "-15 < 12!), lo que es una proposición verdadera. Vemos, de acuerdo con este ejemplo, que para ser del todo precisos en la discusión de proposiciones abiertas, debemos hacer algo más que sola mente enunciar la proposición. Debemos también especificar el conjunto de reemplazamientos permisibles para la variable en la proposición. A este conjunto se le llama conjunto de reemplazamiento de la variable. Así pues, si se nos da una proposición abierta y el conjunto de reemplazamientos para su variable, entonces los {micos números que es permitido poner en lugar de la variable son los números del conjunto de reemplazamiento. De ordi nario, algunos de estos números harán que la proposición sea verdadera y otros harán que sea falsa. Como usualmente nuestro mayor interés está en el conjunto de números que hacen que la proposición sea verdadera, damos a este conjunto un nombre especial: el de conjunto de verdad. Decimos que eJ conjunto de verdad -o conjunto solución- de una propo· sición abierta es el conjunto d.e todos los números del conjunto de reempla· zamiento que hacen que la proposición sea vetdadera. Aclararemos estas ideas por medio de cierto número de ejemplos; véasela tabla I. Recuérdense los nombres comunes de los conjuntos que se dieron en la página 11. Proposiciones abierta!! 3 X 0 < 12 3 X n < 12 3 x o< 12 3 X 0 < 12 3 X�= 12 x2<5 xz<5 2+ �:S2 2+�:S2 PROPOSICIONES ABIERTAS COMPUESTAS TABLA 1 CONJUNTOS DE VElUlAD ConJunto de Jeemplazamlco.to w w 1 R N, W, 1 o R N 1 w N Conjunto de verdad {O, 1, 2, 3) {0, 1, 2, 3} { · • ·, ·2, ·t, O, 1, 2, 3} {números reales menores que 4-} (4} {1, 2} {-2, -1, o, 1, 2} (O} { } 15 Deben haeerse dos observaciones acerca de estos ejemplos. En los dos primeros notamos que los conjuntos de verdad son los mismos aunque la variable en una de las proposiciones se llama O y en la otra se llama n. Esto no debe sorprendernos, porque las dos proposiciones abiertas afirman lo mismo; a saber, que "tres por algún número es menor que doce". Conside ramos por ello que dos proposiciones abiertas son la misma si la única diferencia entre ellas es el símbolo que se usa para la variable. La proposi· ci6n "3 + � = 10" significa lo mismo que u3 + x = 10". La otra observación está ligada con la notación para los conjuntos. Los conjuntos de verdad en los últimos dos ejemplos son {O} y { ). Estos conjuntos son diferentes, porque el conjunto {O} contiene un elemento, a saber, el número O, mientras que { } no tiene elemento alguno. Al último se le llama el conjunto r;acío y se representa habitualmente por� o por { }. pmgq§jcjgpe§ gl¡¡jertgs sgmpuestgi Una proposici6n abierta compuesta puede formarse, en matemáticas, tomando dos proposiciones simples del tipo que hemos estado considerando y uniéndol�s con una u otra de las conjunciones "y'• y "o". Así, si ligamos la proposid6n ''-2 < x" con la proposición "x < 4" por medio de 'Y' obtenemos "-2 < x y x < 4", lo que usualmente se escribe ''-2 < x < 4" para mayor brevedad. Un número hace que esta proposici6n sea verdadera si y sólo si hace que las dos proposiciones simples sean verdaderas. (Véase el cuaderno 12: Lógica.) Los conjuntos de verdad de esta proposici6n para distintos conjuntos de reemplazamiento se muestran en la tabla Il. 16 PROPOSICIONES ABIERTAS EN UNA VARIABLE TA1!LA D CONJUNTOS DE VERDAD PARA Dl'f'ERENTES CONJUNTOS DE RE.'!MPLAZAJoUENTO Conj"unto de reezi>p azarniento Conjunto da verdad {1, 2, 3} {O, 1, 2, 3) {-1, o, 1, 2, 3} Podemos observar que el conjunto de verdad para la proposición com� puesta es la intersección de los .conjuntos de verdad de las dos proposiciones simples. Recuérdese que la intersección de dos conjuntos, A y B, consiste en el conjunto de todos los elemc;ntos que pertenecen a los dos conjuntos; es decir, el conjunto de todos los �lementos que A y B tienen en común. Se de· nota por A n B. En este ejemplo, con el conjunto de reemplazamiento / el conjunto de verdad de "-2 < x'' es {-1, (j� 1, 2, 3, 4, 5, . . . }, e l conjunto de verdad de ".x < 4" es ( ... , "'3, -2, -1, o, 1, 2, 3}, y la intersección de estos dos conjuntos es, sin duda, {-1, o, 1, 2, 3}. Veamos, mediante un ejemplo, qué es lo que sucede cuando unimos dos proposiciones simples con "o".· Cuando combinamos "6 < n" con "n < 3'' en esta fonna, obtenemos la proposición compuesta "6 < n o n < 3". No escribimos esto en la forma "Q < n < 3" porque esta fonna abreviada ha sido ya apropiada por las proposiciones ''y". Un número hace que la pro posición "6 < n o n < 3" sea. verdadera si y sólo si hace que una u otra -o ambas-- de las proposiciones simples sea verdadera. De aquí que, para N como conjunto de reemplazamiento, el conjunto de verdad de esta pro posición compuesta es la unión del conjunto de verdad de "6 < n", a saber {7, 8, 9, . . . ), y el conjunto de verdad de "n < 3", es decir, {1, 2}. Re cuérdese que la unión de dos <;onjuntos A y B, representada por A U B, es el conjunto de todos los objetos que pertenecen a A o a B o a ambos. Por tanto, el conjunto de verdad es {1, 2, 7, 8, 9, . . . }. Obsérvese que, en matemáticas, usamos la conjunción "o" en el sentido "inclusivo" --distributivo gramaticalmente hablando-- de "o uno, u otro, o PROPOSICIONES ABIERTAS COMPUESTAS 17 ambos". (El barbarismo "yfo" se emplea a veces fuera de las matemáticas con este propósito expresivo .) Por ejemplo, si J es el conjunto de reempla. zamicnto para la variable :< es la proposición "2 < :< o x < 6", entonces el conjunto de verdad es el mismo ]. porque todo número en J hace, al menos que una de las dos proposiciones simples asociadas sea verdadera. Algunos números, tales como M2, 1 y 7, hacen que solo una de las proposiciones sea verdadera; otros, por ejemplo 3 y 5, hacen que ambas sean verdaderas. Obsétvese, también, que una proposición tal como la x < 3 es una pro· posición "o", puesto que se lec, ":< es igual � menor que 3". Si el conjunto de reemplazamiento para esta proposición es N, entonces el conjunto so· lución es {1, 2, 3}. GRUPO DE EJERCICIOS 1 l. ¿Son verdaderas, falsas o abiertas las siguientes proposiciones? a) �1 es primer ministro de Inglaterra. b) Lincoln fue el primer presidente de Estados U nidos. e) Ella está sentada en la primera fila. d) Morelia es la capital de Michoacán. 2. ¿Son verdaderas, falsas o abiertas las siguientes proposiciones matemá ticas? a) 3 + 3 = 33 b) 9 X 0 =54 e} 7- 7:::; O d) n + 13 > 27 e) -4 < 1 < 3 f)2<1o2>3 g) 2 < 1 o 2 > -3 h) -4 <o< 3 i) � > 2 o 6. < -2 j) 2:::; 2 < 4 3. Encuéntrese el conjunto de verdad de cada una de las siguientes pro posiciones cuando el conjunto de reemplazamiento es W = {0, 1, 2, . .. }: a) n- 8 = 28. b) 6 + 1 < 5. e) 2 X q > 5. d) X + 1 < 2. e) z + 1 < l. 4. Encuéntrese el conjunto de verdad en cada una de las siguientes pro posiciones compuestas cuando el conjunto de verdad es J = { ... , -2, -¡, o, l, 2, ... ) : a) 1 <O< 5 b) -1 <X< 1 e) 1 < n < 2 d) 4 < -2 o 6. > 2 e) /::, < 2 o 6. > -2 f)z�3 18 PROPOSICIONES ABIERTAS EN UNA VARIABLE Notgsiéo coo&!n'rtixg Es conveniente tener una notación "taquigráfica" para el conjunto de verdad de una proposición abierta dada. Como ejemplo, tornemos la propo· sición "D. < 4", con N como conjunto de reemplazamiento. La notaci6n que adoptaremos para indicar el conjunto de verdad de esta proposición es {D.J D. está en N, y D.< 4}. Su traducción al lenguaje cotidiano es "el conjunto de todo «triángulo» tal que «triángulo» está en N y «triángulo» es menor que 4". Así pues, al leer la notación comiéncese con la frase "el conjunto de todo"; luego, el nolll bre de la variable; entonces léase la barra vertical como ''tal que"; y, final mente, léase la proposición o proposiciones que siguen a la barra. A veces también se lec empleando plurales: "el conjunto de todos (o todas) los «aquí el nombre de la variable en plural (triángulos, equis, etc.)» tales que «y aquí, al final, la proposición o proposiciones que siguen a la barra»". Obsérvese que aunque esta notación parece complicada, comunica toda la información pertinente acerca del ejemplo. El hecho de que se usen llaves, { }, nos pone sobre aviso de que Jo que se describe es un conjunto. La primera mención de /)., antes de la barra vertical, nos dice qué sím bolo es el que se está usando para la variable. Como observamos anterior. mente, el símbolo particular usado es de poca importancia, pero debemos decidirnos por algún símbolo antes de que podamos escribir la proposición abierta. Después de la barra está la información que nos dice cuál es d conjunto de reemplazamiento y cuál es la proposición abierta. La harta está ahí como una especie cie barrera para impedir que las cosas se mezclen; también suelen usarse en vez de la barra los dos puntos ( : ) • Digamos ahora unas palabras acerca de la parte de la notación "D. está en N". Sabemos que es importante haber especificado cuál es el conjunto de reemplazamiento, pero a veces el conjunto de reemplazamiento se ha especificado de antemano. Si estamos seguros de que éste es el caso, entonces podemos omitiruna frase como "D. está en N". Incluso si la frase no puede omitirse sin peligro de confusión, se puede abreviar escl'ibiendo en su lugar simplemente "D. e N", en que se usa el símbolo común "e" que significa "es un elemento de" o "es un miembro de" o "pe.t·tenece a11• Consideremos algunos ejemplos. {6,. 1 6,. t. N y D, < 4) :::: {1, 2, 3}. {D. 1!:::. E: R y f:::. < 4} = {todos los números reales menores que 4}. {nlnt.Wy-2<n<l) ={O}. {nlnt:Jy-2<n<l} = {-1, O}. GRÁFICAS DE PROPOSICIONES ABIERTAS EN UNA VARIABlE 1 9 {xlx&] y -S < x < 4} = {-2,-1, O, l, 2 , 3}. {0 1 O es uno de )os Estados de Estados Unidos} = {Alabama, Alaska, • • • , Wyomíng}. {zlu:]y,z.=::-2} = {-2,-1,0,1,2,3, ... ). {V' 1 V'&] y V' �-2} = {-2, -l, 0', 1 , 2, 3, . . . }. Los últimos dos ejemplos señalan de nuevo el hecho de que no importa cuál sea el símbolo que usemos para la variable. Como nuestra notaci6n parece, en cierto sentido, ser una especie de "plan" para la construcción de un conjunto específico, la llamamos nota ci6n constructiva. Podemos usar la notación constructiva de un modo diferente, podríamos decir, hacia atrás. Hacemos esto cuando tenemos un conjunto definido in mente y deseamos describirlo con la notación. Todo lo que tenemos que hacer es construir una proposici6n abierta que tenga el conjunto dado como su conjunto de verdad. Supongamos, por ejemplo, que deseamos describir el conjunto {0, 1, 2, 3}. Podríamos razonar como sigue: todos los elementos del conjunto son enteros, el menor es O, el mayor es 3, y todos los enteros entre o y 3 están en el conjunto; por tanto {0, 1, 2, 3} = {0 1 o e. J y o< o :;:; 3}. Un razonamiento un poco diferente nos habría llevado a escribir o a {O,t, 2, 3}={xjxe] y -l<x<4}> {0, 1, 2, 3} = {ni n e W y n :;:; 3}. Es perfectamente admisible usar algunas palabras. Por ejemplo, para describir el conjuntQ {1, 3, 5, . . . , 99} de todos los números naturales im pares menores que 100, podría escribirse {x 1 x e N, x < 100, y x es impar}. 2rgfjsg§ dft pmggskjgpe§ ghjg;�g§ eg ugg ygrjgbl� Volveremos ahora al problema de diir una representación gráfica del conjunto de verdad de una proposición abierta en una variable. Para este propósito necesitaremos la recta numérica que mostramos en la figura 1. Hemos mostrado, desde luego, solamente una parte de la re· ta y hemos rotulado splamente aJgunos de !os puntos que se correspondt.n con enteros. "2 -, o 2 3 4 5 La recta numérica. FIGURA 1 20 PROPOSICIONES ABIERTAS EN UNA VARIABLE Sin embargo, sabemos que a cada número de cualquiera de nuestros con� juntos ya habituales, N, W, J y R, corresponde un punto único sobre la recta. Parece, por tanto, razonable intentar retratar sobre la recta los con juntos de verdad de las clases de proposiciones abiertas que hasta el mo mento hemos considerado. Verdaderamente, lo único que necesitamos es algún método gráfico para distinguir un conjunto particular de puntos. Una forma de hacerlo consiste simplemente en ampliar las imágenes de sus elementos, es decir, de hacer puntos más grandes. Esto no implicará que los puntos se hagan mayores. Los puntos, después de todo, solamente son sugeridos en cualquier represen tación; lo cierto es que no tienen existencia física alguna. También pode mos rotular Jos puntos del conjunto con letras. A la representación del conju.nto de verdad de una proposición abierta • por medio de un dibujo, la llamamos gráfica de la proposición. Veamos ahora tmos cuantos cj<'mplos en la íigul'a 2, donde la descripción de cada g.-áfica cstít dada abajo de ella en una notación �onstructiva adecuada. En lugar de estar expresada como <icl conjunto de verdad de la proposición abierta O < 4, con conjunto de reemplazamiento N", la información se .3 .2 -, o 2 3 4 5 (01 OzN r o� 4} = 11, 2, 3, 41. ' o • •• • • • • • "3 "2 -1 o 1 2 3 4 5 In 1 neJ y n > -2} = {-I, O, 1, 2, 3, · • · l . "3 -. o 2 3 5 o 2 3 4 5 j:r; 1 z e R y z < 21 .,. 1J conjunto de todos los númerosjl reales menores que 2 o 2 3 4 5 ....:: } _ {conjunto de todos los números} {x 1 x t: R y x- 2 - 1 • 1 ? rca es 1gua es o menores que - Gráficas de proposiciones numéricas. FIGURA 2 GRÁFICAS DE PROPOSICIONES ABIE�TAS EN UNA VARIABlE 21 expresa simplemente como "{O 1 O ct N y O :::;; 4)." En los primeros tres ejemplos el conjunto de verdad se da también explícitamente. En los últimos dos ejemplos presentados en la figura 2, nos encontramos con una dificultad técnica. ¿Cómo mostra,r que el punto que representa a 2 no está incluido en la primera gráfica, pero sí está claramente incluido en la segunda? Hay varias maneras de resolver este problema artístico. Aquí, la que hemos escogido es la de indicar la inclusión rnedian�e un punto sólido, y la no inclusión mediante uno húeco. Para indicar que todos los puntos de un segmento o rayo están en la ¡gráfica, usamos una línea gruesa como puede verse. Veamos la figura 3, para unos cuantos ejemplos -más, ahora usando proposiciones compuestas. �3 '2 -, o 2 3 4 5 lz 1 z e J y -2 ::; z < 31 -3 '2 ., o -2 3 4 5 ID IOcR y -2 �o� 3} "3 �2 -, o 2 3 4 5 lt 1 ta R y t < -1 o t > 21 GriCicas de proposiciones numéricas compuestaa. FIGURA 3 GaUPO DE EJBCICIOS 2 l. Exprésense, usando palabras, cada unQ de los conjuntos descritos abajo en notación constructiva: a) (O 1.0 e W y O< 3} b) {n fn & ] y -2 < n < 3} e) {616 &N y -2 <!:::. < 3} d) {x]x&R y x+1=3} e) {61!:::. r.NJ!:::. < 14, y 6 es par} f) {x 1 x es el nombre de un Estado de Estados Unidos que comienza con "A"}. 22 PROPOSICIONES ABIERTAS EN DOS VARIABl.ES 2. Grafíquense cada uno de los· siguientes conjuntos sobre una recta nu mérica: a) El conjunto de verdad de O - 1 = 4; conjunto de reemplazamien· to: N b) El conjunto de verdad de !::. - 1 < 4; conjunto de reemplazamien- to: N e) {!::. J D. e N y !::. - 1 < 4} d) {x 1 x e R y -2 < x < 1} e) El conjunto de verdad de -2 < O< 1; conjunto de reemplazamien to: R f) {t.jD.eJ y 6<3)., PRQPOS!pONES ABIERTAS EN ROS y&RIABLES Hasta el momento hemos considerado proposiciones abiertas que con tienen solamente una variable. Pasamos ahora a una discusión de las que contienen dos. Las proposicione� abiertas pueden presentarse en lenguaje cotidiano en construcciones tales como "esto es mayor que aquello" y "ella es su mujer". Estas proposiciones son abiertas si no ha habido ninguna discusión previa que especifique les sujetos n i ningún otro medio de espe cificación ha establecido antecedentes de los pronombres. Com�;> en español, proposiciones tan vagas como éstas raramente se presentan fuera de un contexto, no proseguiremos con ellas. En contraste, proposiciones abiertas con dos variables se presentan con frecuencia en matemáticas y son de gran importancia. Pares ordeqgdg:r Est�diemos la expresión (2 X 0) + � = 9. Esta expresión �s declarativa en su forma, pero no podemos decir si lo que en ella se afirma es verdadero o falso hasta que se hayan reemplazado por números los dos S'Ímbolos, O y D., que en ella aparecen. Llamamos a estos símbolos variables, lo mismo que hicimos en las proposiciones abiertas que consideramos anteriormente. Si la variable O se reemplaza por 2 y la variable D. se reemplaza por 5, la proposición se convierte en la "(2 X 2) + 5 = 9", que es verdadera. Si O se reemplaza por 3 y D. por 4, la pro porción resultante es "(2 X 3) + 4 = 9", que es falsa. Vemos que es nece sario sustituir un par de números, uno para O y el otro para 6, en la proposición, antes de que tal proposición tenga un valor de verdad; es decir, CONJUNTOS DE VERDA!) FINITOS 23 antes de que sea verdadera o falsa. Podemos querer enumerar muchos de tales pares. Para ser consistentes, convengamos en llamar a O primera va riable y a � segunda variable. Esta elección es completamente arbitraria, pero una vez hecha tenemos que apegarnos a ella. Cuando estas variables tienen que expresarse mediante letras del alfabeto, usualmenteel orden alfabético es el que rige nuestra elección sobre la que debe considerarse pri mera variable y la que debe considerarse segunda. Entonces, al enumerar un par escribiremos el reemplazamiento de·O primero, y el de � en se gundo lugar. Los dos pares que se emplearon en la anterior sustitución se escribirían ( 2, 5) y (3, 4). El orden en que se escriben los números de cada par es muy importante. Vimos que el par ( 2, 5) hace que la proposición sea verdadera. Pero el par ( 5, 2) que contiene a los mismos números pero en orden opuesto, hace que la proposición abierta se convierta en la " ( 2 X 5) + 2 = 9", que es falsa. Debemos, por tanto, distinguir (2, 5) y (5, 2). Señalar esto es la razón por la que usamos paréntesis, ( ) , en lugar de llaves, { ), al escribir tales pares: {2, 5} y {5, 2} representarían exacta� mente al mismo conjunto. Para enfatizar que el orden es importante, lla mamos a (2, 5) y (5, 2) pares ordenados. Al primero de los dos números que aparecen en un par ordenado le llamamos primer componenJe del par y, al otro, segundo componente. Antes de continuar con este ejemplo recordemos que al considerar pro· posiciones en una variable es importante conocer el conjunto de reempla zamiento para la variable, es decir, el conjunto del que está permitido ob tener reemplazamientos para la variable. La situación es la misma para las proposiciones en dos variables, excepto que ahora debemos tener conjuntos de reemplazamiento para ambas variables. Se nos da una proposición abierta que contiene dos variables, a una de las cuales se le llama primera variable y, �gunda variable, a la otra. Se nos da, también, un conjunto de reemplazamiento, llamémosle A, para la pri mera variable, y un conjunto de reemplazamiento B, para la segunda. (El conjunto .8 puede ser o no igual al conjunto A.) Un par ordenado pertenece al conjunto de verdad de la proposición dada si su primer componente es un elemento de A, su segundo componente es un elemento de B, y hace de la proposición una afirmación verdadera. El conjunto de verdad de )a proposición' es el conjunto de tales pares ordenados. eooiuntos de yerdgd fjgjtos Ilustraremos las ideas introducidas al . final de la anteriol' .sección con tinuando nuestra discusión de la proposición abierta (2 X 0) + L = 9. 24 PROPOSICION�S ABIERTAS EN DOS VARIABlES Tornemos corno con junto ge reemplazamiento para cada una de las va riables O y /:::,. el conjunto N = (1, 2, 3, . . . } . La mayoría de nuestros ejemplos lo serán del importan'te tipo de proposición en que ambas variables tienen el mismo conjunto de x:ecrnplazarnicntos. Ahora bien, los números 2 y 5 están en N, y hemos visto ·que cuando reemplazarnos O por 2 y /:::,. por 5 la proposición resulta verdadera. Por tanto, el par ordenl:\do (2, 5) está en el conjunto de verdad de 1� proposición. Busquemos más elementos del conjunto de verdad. Una fo'r!Tla sistemática de conducir esta investigación sería la de reemplazar una de 'las variables, digamos O, por algún número en N y ver luego si hay algún reemplazamiento para /:::,. que haga que la proposición sea cierta. Por ejemplo, si sustituimos a O por 1, la proposición toma la forma " (:! x 1 ) + /:::,. = 9''. Esta es todavía una proposición abier ta; pero corno solo le queda una variable, el problema se ha hecho más fácil. Pronto veremos que si se reemplaza /:::,. po.r 7, la proposición se vuelve verdadera. Hemos encontrado, así, otro par ordenado, el ( 1, 7), del conjunto de verdad. Si sustituimos ahora; O por 2, obtenemos el par ordenado (2, 5) que el lector puede comprobar· por sí mismo que pertenece al conjunto de verdad. Si repetimos este procedimiento, obtenemos ( 3, 3) y ( 4, 1 ) como resultados de la sustitución de tJ por 3 y por 4. Si sustitujmos O por 5, la proposición se vuelve "(2 X 5� + /:::,. = 9". Vemos que si 6. se reemplaza después por cualquier elemento· de N -recuérdese que N es el conjunto de reemplazamiento para ambas v�riables-, el primer miembro será mayor que 9; por tanto, no puede haber nihgún par ordenado cuyo primer componente sea 5 en el conjunto de verdad. De la misma manera vemos que si reem plazarnos O por cualesquiera de los números 6, 1, 8, . . · . , no podemos reemplazar a /:::,. por ningún elemento de N que haga que la proposici6n sea verdadera. Podemos, por tanto, concluir que: El conjunto de verdad de la proposición (2 ).( 0) + /:::,. = 9, con N como cónjunto de reempluamiento para ambas variables, es { (1, 7), (2, 5), (3, 3), (4-, 1 ) }. Esta proposición puede expresarse más sucintamente en la notaci6n constructiva: {(0, 6) l O e N, !:::. e N, y (2 X 0) + /:::,. = 9} = (1, ?), (2, 5), (3, 3 ) , ( 4, l } } . El primer miembro de esta igualdad se leería, "el conjunto de todos los pares ordenados --cuadrado, triángulo-- tales que cuadrado está en N, triángulo está en N, y dos por cuadrado, más triánguJo, es igual a nueve". Todo lo cual está de acuerdo con la forma en que usamos la notación constructiva en la sección anterior. Sin embargo, ahora tenemos d()J variables a nombrar en el espacio antes de la barra vertical, y éstas de- CONJUNTOS. OE VERDAD INFINITOS 25 ben nombrarse en un orden específico; de aquí que allí escribamos el par ordenado (0, .6.). Q>gjugtes de yerdad ipfjgjto§ En el ejemplo que estamos considerando, el conjunto de verdad re sultó finito; es decir, contenía solo un número finito de pares ordenados (cuatro). Veamos lo que sucede si conservamos la misma proposici6n abier ta y el mismo conjunto de reemplazamiento, N, para la variable O, pero establecemos J como conjunto de reemplazamiento para .6. (/ es el conjun to de los enteros). Es decir, buscamos el conjunto {(0, .6. ) 1 0 e N, !::. e J, y (2 X 0) + .6. = 9}. Este conjunto contendrá todos los pares ordenados que antes encontramos, porque todo elemento de N es también un elemento de J. Pero ahora, si reemplazamos O por 5, obteq.íendo "(2 X 5) + .6. = 9", podemos encon trar un reemplazamiento para .6. en J que haga que la proposici6n sea verdadera, a saber, -1. Luego ( 5,-1) está en ·nuestro conjunto de verdad. De la misma manera podemos encontrar ( 6, -g), ( 7,-5), etc., todos en nuestro conjunto de verdad. Por tanto ( (0, 6,} 1 0 E N, ,6. 1: ], y (2 X 0) + 0 = 9} = {(1, 7), (2,5), (3,3), (4, 1) , (5,-1), (6,-3}, . . . ). Este conjunto de verdad contiene infini.tos pares ordenados, y observa mos que en los elementos sucesivos el primer componente aumenta en 1, comenzando con 1, mientras que el segundo componente disminuye en 2 y comienza con 7. Con frecuencia es más difícil darse cuenta de una característica de los pares ordenados del conjunto solución, particularmente si la proposición es complicada; por ejemplo, si su "verbo" es � en lugar de ::::, o si los conjuntos de reemplazamiento para las variables son conjuntos muy grandes, por ejemplo, R. Como ejemplo, consideremos la. proporción abierta "m + n � 2", donde el conjunto de reemplazamiento para cada 'una de las variables m y n es J. Describamos 'su conjunto de verdad: {(m, n) l m & j, n & j, y m + n $ 2}. Desde luego, lo que acabamos de expresar describe al conjunto, ¿pero no podemos hacer algo mejor? No es difícil encontrar un número de parea ordenados que pertenezcan a este conjunto de verdad; por ejemplo: (1, 1 ) , (1, 0), (0,0) , (2,0), (-1, 2), (-1,3) , (4,-3). 26 PROPOSICIONES ABIERTAS EN DOS VARIABLES Pero enumerarlos de modo tal que muestren alguna característica es difícil. ¿Hay alguna otra forma de describir este conjunto? ¡ Si pudiéramos mostrarlo gráficamente! Veamos otra vez la proposición abierta que acabamos de considerar, "x + y :;;; 2" (recuérdese que el nombre que demos a las variables no im porta) ; pero establezcamos como conjunto de reemplazamiento'para ambas variables a R, el conjunto de los números reales. Hay ahora'·todavía más pares ordenados en el conjunto ;de verdad ; por ejemplo, ( !. 1 i), ( H, i), (?T, -2), (·V2, 3). E l problema d e cómo indicar una lista completa d e estos pares es insuperable. ¿Estamos, pues, reducidos a decir únicamente que el conjunto de verdad es { (x, y) J x e R, y e R, y x + y < 2) y quedarnos en eso? Esta es una descripción precisa, desde luego, pero no nos dice intuiti vamente mucho de lo que el conjunto de verdad es realmente. De nuevo sentimos que si solo tuviéramos un modo de representar gráficamente el conjunto, las cosas serían bastante más claras. Afortunadamente un modo tal existe, y después de algunos preliminares lo discutiremos. El métgdg tgbu!er Con frecuencia es conveniente usar un procedimiento tabular de enu meraci6n de algunos de los pares ordenados del conjunto de verdad de una proposición abierta. Ocasionalmente podemos, incluso, evaluarlos todos, como en el siguiente ejemplo. En la página 22 considerábamos la proposición abierta "(2 X 0 ) + D. = 9", con N como conjunto de reemplazamiento para cada una de las variables. Encontramos que el conjunto ,de verdad {(0, .6.) 1 0 e N, .6. eN, y (2 X 0) + .6. = 9) era { ( 1, 7), (2, 5) , (3, 3), (4, 1 )}. Podemos enumerar sus elementos eficien temente en una tabla, como mostramos en )a figura 4. El 1 en la columna O o .6. 1 7 .2 5 3 3 4 1 {(2 X 0) + .6. = 9, D e N, .6. eN}. FIGURA 4 tiene que emparejarse con el 7 eil la columna .6. para que se obtenga el par ordenado (1, 7 ) . Los números que se encuentran en el rcngl6n siguiente forman el par ordenado (2, 5), y así sucesivamente. El MBODO TABUlAR 27 o !::, 1 7 2 5 3 3 4 1 5 -1 6 -3 {(2 X 0) + 1:::, :::: 9, O t: N, 1:::, e.J}. FIGURA 5 , Desde luego, no siempre es posible tabular el conjunto de verdad en su totalidad. La figura 5 nos muestra una tabulaci6n parcial del conjunto de verdad para la, misma proposición abierta " ( 2 X O} + 1:::, = 9", cuando el conjunto de reemplazamiento para O sigue siendo N, pero es ] el con junto de reemplazamiento para 1:::, . Las columnas de puntos indican que la tabla es incompleta. GRUPO DE EJERC:ICIOS 3 1. Dígase explícitamente cuáles son los conjuntos de pares ordenados si. guientes. En los ejercicios la y le, el conjunto de reemplazamiento dado es el conjunto de reemplazamiento para ambas variables: a) El conjunto de verdad de O + 1:::, = 5; conjunto de reemplaza miento: N b) {(x,y) l x e N, y e N, y x + y = 5} e) El conjunto de verdad de m + n < ,2; conjunto de reemplazamien to: W 2. Encuéntrense, al menos, cuatro elementos de cada uno de lo.s siguientes conjuntO$. El conjunto de reemplazamiento, cuando se da, es para ambas variables: a) El conjunto de verdad de x = y; conjunto de reemplazamiento: R b) El conjunto de verdad de O + !::, = 2, conjunto de reemplazamien to: J e) {(m,n) 1 m e ], n. e ], y m + n = 2} 28 PROPOSICIONES ABIERTAS EN DOS VARIABlES d) {(0, 6) I O �t R, D. r. R, y 0 < .6.} e) E l conjunto d e verdad d e ·(2 X O) - D. < O ; conjunto d e reempla zamiento: f 3. Escríbanse en forma tabular las contestaciones a los ejercicios l a y 2.b. ljffifisq§ de pQ[ftS grd;qndp� J El lector recordará que cuando grafkábamos proposiciones abiertas de una variable -es decir, cuando· graficábamos sus conjuntos de verdad-, utilizábamos una recta numérica1. Parece razonable pensar que para graficar los conjuntos de verdad de proposiciones de dos variables, deberemos em plear con ventaja dos rectas numéricas. Pero, ¿cómo hacerlo? Fue una gran contribución a las matemáticas que René Descartes ( 1596-1650), filó sofo y matemático francés, conc�biese la idea de colocar dos rectas numé ricas, una horizontal, vertical la otra, de manera que se cortasen en el punto cero de cada una, tal como se muestra en la figura 6. Resulta que este plano coordenado es precisamente lo que necesitamos para representar pares or denados de números y, por tant9, para representar el conjunto de verdad qe una proposición abierta en d� variables. La gráfica de un par ordenado de números será un punto --qué representaremos por medio de un pul'íto 5 4 3 2 -.. 2 3 4 5 El plano coordenado. FIGURA 6 GRÁFICAS DE PARES ORDENADOS 29 físico- en el plano determinado por las dos ,rectas numéricas que se ínter secan -por ejemplo, el plano de la hoja de papel o del pizarrón sobre el que se han dibujado las rectas. Al describir cómo localizar el punto que es la gráfica de un par ordenado dado, será conveniente tener un nombre para el punto en el cual las dos rectas numéricas se cruzan; se llamará origeJ.t. Localicemos ahora el punto que es la gráfica del par ordenado (3, 2 ) . Comenzamos en el origen y "co rremos" tres Wlidades hacia la derecha. D�pués corremos dos unidades perpendicularmente hacia arriba, y allí localizamos el punto. Esto es lo que se muestra en las dos gráficas de la figura 7. 4 3 2 o "3 "2 "1 o "1 "2 "3 (9.) �(3,2) 2 3 4 3 1'2 segundo componente 4 3 2 1 o 'l "1 o 1 "'2 "3 (b) (3.2) 12 ;:s Gráfica del punto (3, 2) en -el plano coordenado. FIGURA 7 � primer componente La línea de puntos de la figura 7(a) muestra la ruta (hacia la derecha 3, hacia arriba 2) que seguimos para alcanzar la gráfica de (3, 2) y de ahora en adelante debemos ignorarla. La figura ,7 (b) difiere de la figura 7 (a) solamente en' que se han trazado rectas horizontales y verticales por los "puntos enteros" de las dos rectas numéric�s originales. Todas estas rectas forman una malla o red que nos hace más sencillo encontrar nuestro ca· mino. El papel en el que ya aparece impresa tal malla o red se llama papel para gráficas o papel cuadriculado. ¿Por qué comenzamos por correr tres unidades horizontalmente hacia la derecha a partir del origen, en lugar de subir verticalmente? Esto no es 30 PROPOSICIONES: ABIERTAS EN DOS VARIABlES nada más que un convenio, pero uno muy fuerte. Casi siempre asociamos la dirección horizontal con el primer componente del par ordenado y la dirección uertical con d segundo componente. Los economistas a menudo hacen precisamente lo contrario. Pero, ¿por qué corremos tres unidades a la derecha en lugar de a la izquierda? También esto nada más que por otro poderoso convenio: que las unidades que están hacia la derecha y hacia arriba han de considerarse positivas, y las que están hacia la izquier da y hacia abajo, negativas. A�í pues, medimos tres unidades a la derecha del origen sobre la recta numérica horizontal; si hubiésemos corrido hacia la izquierda estaríamos en ·3. Análogamente, al correr dos unidades ha cia arriba --después de haber corrido tres a la derecha- estamos enfrente del 2 que está sobre la recta numérica vertical, en lugar de estar enfrente del ·2, adonde habríamos llegado si hubiéramos corrido hacia abajo. No hay nada, sin embargo, que nos obligue a obedecer estos convenios, y un mate mático no vacilaría en violarlos si por cualquier raz6n pareciera preferible para determinado problema. Las anteriores observaciones sugieren la forma en que localizaríamos un punto correspondiente a un par de números que tuviera, al menos, uno de sus componentes negativo. Para localizar ( ·3, 1 ) ; es decir, para localizar el punto correspondiente a (-3, 1), o que tiene -3 y 1 como coordenados, co menzamos corriendo tres unidades hacia la izquierda a partir del origen, y luego una unidad hacia arriba. Para localizar (-2, -3), corremos dos uni dades hacia la izquierda desde el origen, y Juego tres unidades hacia abajo. Para localizar ( 1-!, -2!), corremos una y media unidades hacia la derecha, y luego dos y un tercio unidades hacia abajo. Todos estos puntos aparecen gralicados en la figura 8. ¿Y qué ocurre si uno o ambos componentes de un par ordenado son O? Lo único que tenemos que hacer es interpretar la instrucci6n "correr O uni dades" como si significaran "qpedane en donde se está". Esto puede, sin embargo, causar alguna confusion por dos razones. Primera, a algunas per sonas les parece contradictoriala idea de que O sea algo, a pesar de que O es un número perfectamente correcto. En segundo lugar, y esto confunde más, cuando seguimos las instf\lcciones para localizar (-4, O), digamos, co rriendo cuatro unidades hacia la izquierda y luego quedándonos allí, nos encontramos en el punto marcado -4 en la recta horizontal. Pero -4 no es lo mismo que (·4, O). Lo que ha sucedido ha sido esto: El r6tulo -4 se dej6 allí desde el tiempo en que est�bamos considerando solamente la recta nu mérica horizontal. Dejamos tales rótulos sobre la recta numérica, simple mente porque nos resultaba conveniente para localizar puntos en el plano. Es importante tener presente q1,1e todos los puntos en el plano, estén o no en una de las rectas numéricas originales, tiene dos coordenadas. La figu- GRÁFICAS DE PROPOSICIONES ABIERTAS DE DOS VARIABLES 31 ra 8 muestra varios puntos que representan pares ordenados con un com ponente igual a O. Nótese en la figura 8 que las gráficas de (3, 2) y (2, 3) están localizadas en puntos distintos del plano. Como debe ser, puesto que los pares ordenadQs son distintos. ('4.4 3.1) 4.0) 4 3 -2 segundo componente 5 4 3 (0.3) 2 ' o 0.0) 1 o � ·¡ Jl(0:2' 2,3) (3.2) (2.0) ¡2 3 2:31 .3 1\:-2 ) (44) 4 primer componente Gráficas de puntos en el plano coordenado. FIGURA 8 La cuadrícula de la figura 8 recuerda el plano de las calles de una ciu dad. La verdad es que pensarlo de este modo nos ayuda a aclarar las ideas que hemos estado presentando. El lector puede pensar en fas rectas verti cales como si representaran calles y en las hc>rizontales como si representaran avenidas. Entonces, la "dirección" { -3, 1) éstá en la intenecci6n de la ter cera calle negativa y la primera avenida positiva, mientras que (2, O) está en la intersección de la segunda calle positiva y la avenida cero. <;¡ráfjs¡ts. de pmpg§kjgges qhiertgs de dos ygrjgbl¡¡ Ahora que podemos representar gráficamente pares ordenados de nú meros, es fácil representar conjuntos de p�res ordenados y, por tanto, los conjuntos de verdad de las proposiciones a�iertas. Como ejemplo, veamos una vez más la proposición abierta "(2 X 0) + b, == 9", con N como conjunto de reemplazamiento para ambas varia- 32 PROPOSICIONES ABIERTAS EN DOS VARIABLES D. 6 a 8 1.7) e(1.7) 6 6 2.5) •(2,5) 4 4 3Jl •(3.3) � 2 (4,Í) •(4,1) (1 o 1'2 o 2 4 o .2 o 2 4 o "2 "2 (a) (b) Gráfica de (2 X 0) + � = 9, Q t: N, � e: N. FIGURA 9 bies. Ya vimos anteriormente que el conjunto de verdad es { ( l, 7), (2, 5}, {3, 3), (4, 1 )}. Las figuras 9(a) y 9(b) m�estran la representación gráfica de este con· junto de verdad, es decir, la gráfica de la proposición abierta. Rotulamos las dos rectas numéricas con "O" y "�" para que quede claro que los reemplazamientos para O, es decir, los primeros componentes de los pares ordenados, están asociados con la dirección horizontal y que los reempla zamientos para la � están asociados con la dirección vertical. Aquí hemos suprimido la cuadricula porque hace excesivamente denso el dibujo. De aquí en adelante la suprimiremos siempre. Si el lector lo desea puede di. bujar la cuadricula. El conjunto de verdad en el caso que acabamos de considerar era relativamente s�ncillo. Con todo, supongamos que el conjunto de reemplazamiento para las variables en "(2 X O) + � = 9" es R, en lugar de N. Ahora el conjunto de verdad ( (0, l:l) 1 O e R, ·6 e R, y (2 X O) + !:l = 9} contiene in finitos pares ordenados. Enumeremos algunos de ellos en una tabla, figu· ra lO( a) y, al hacerlo, localicen)os los puntos correspondientes, figura lO(b). Después de un momento notamos que parece haber una línea recta que GRÁFICAS DE PROPOSICIONES A&IERTAS DE DOS VARIABLES 33 contiene a todos estos puntos. Parece ra:t.onable suponer que si todos los puntos correspondientes a los pares ordemidos del conjunto de verdad pudieran ser graficados, llenarían tal recta. Dibujamos, por ello, toda la recta y decimos que es la gráfica de ]a proposición abierta. Esto requiere cierta dosis de fe por parte nuestra. Una rania de las matemáticas, llamada geometría analítica, nos da los medios para probar que la gráfica de e�ta proposición abierta es, ciertamente, la recta -que hemos trazado. o 6 l 7 2 5 3 3 4 1 5 .1 6 .3 o 9 "1 11 l 8 � 6 "4 s o (a) (b) Gr§.fica de (2 x 0) + 6. = .9, O &R, 6. &R. FIGURA 10 Consideremos l a proposici6n abierta "m + n < 2", con 1 como con junto de reemplazamiento para las dos varíablcs. Este ejemplo ya s� consideró brevemente en la página 14. Quizá la manera más sencilla de graficar esta proposición es comen7.ar con la gráfica de m + n = 2, con J, también, como conjunto de reemplazamiento. El primer paso se muestra en la fi gura 1 1 como el conjunto diagonal de puntos agrandados. N6tcse que la suma de las coordenadas del punto representado por cualquiera de estos puntos gran�es es exactamente 2. Ahora, al observar cualquiera de estos pun tos, el lector puede ver que todo punto que se encuentre directamente -es decir, verticalmente- debajo de él, tiene la misma primera coordenada que el punto agrandado, pero una segunda coordenada menor que la suya. Lue go, la suma de estas cordenadas es menor que 2. Así que cualquiera de esos puntos que tenga coordenadas enteras está en la gráfica de m + n < 2 con 1 como conjunto de reemplazamiento para m y para n. Para ilustrar lo 34 PROPOSICIONeS ABIERTAS EN DOS VARIABLES dicho, comencemos con ( -1, 3) . . A medida que recorremos para abajo su ce� sivas unidades de distancia, llegamos a ios puntos correspondientes a (-1, 2 ) , (-1, 1 ) , (-1, 0), (-1, -1), etc. En todos los casos, la suma de los componentes es i�al o menor que 2, por tantp, todos estos puntos están en la gráfica del conjunto { (m, .n) J m e ], n e ], y m + n. < 2}. La gráfica de la proposi ción abierta dada, consiste, pues, en una especie de ''triángulo infinitp", una parte del cual aparece en la figura 11. Tal gráfica se llama, a veces, "grúfica incompleta", pero ordinariamt•ntc el nombre se omite cuando el conttxto implica que la gráfica es un tri{,ngulo infinito. n 7 • 6 • • 5 • • • 4 • • • • 3 . • • • 2 • • . • 1 • o ""T· ·z '1 o 2 3 4 m • • . . . , • • • • . • • '2 • • . • • • • • '3 • • • • • Gráfica de m + n ,:$ 2, m & J, n t: /. (gráfica incompleta) FIGURA 1 1 De la figura 1 1 podemos sacar la gráfica de m + n < 2 con J como conjunto de reemplazamiento para cada una de las variables. Todo lo que tenemos que hacer es borrar la recta diagonal r.uperior de ·puntos. Las gráficas de las proposiciones ".t' + y S:; 2" y ·"x + y < 2", con R como conjunto de reemplazamiento para ambas variables en las dos pro posiciones puede construirse de un modo análogo al que acabamos de des cribir. Se muestran en las figuras 12(a) y 12(b), respectivamente. Nótese que hemos optado por indicar la presencia en la gráfica 12(a) de los puntos sobre la recta x + y = 2, tales como (3, -1) y (-�, ll), mediante el dibujo de una recta continua, mientras que su ausencia la indicamos en la gráfica l2(b) mediante una rt-cta interrumpida -de trazo interrumpido. En cual quiera de ambos casos todos los puntos que se encuentran debajo y a la izquierda de la recta diagonal, están en la gráfica. GRÁFICAS DE PROPOSICIONES ABIERTAS DE DOS VARIABlES y 4 3 3 Gráfica de x + y � 2, :c & R, y �: R. (a) y 4 3 4 X 3 4 X Gráfica de x + y < 2, x E R, y E R. (b) FIGURA 1 2. 35 36 PROPOSICIONES ABIERTAS EN DOS VARIABLES En los ejemplos ant<·rion$, hemos <'stado usando con mucha libertad el síwbo)o ''<". tina de las pw¡losicimws mús st'll<:illus que pueden íonnarse con este símbolo de ord .. n t�s .'( < )'. En la sección siguiente m·t�t�sitarcmo� la gt·Mica <.le esta pn1po:;ición. La mostrrunos t•n la figura 13 par·a 1•l caso 1�11 que el conjunto de reemplaza miento para cada una de Jas variabks es R. Hemos rotulado unos cuantospuntos para firws de c:ontml: d punto (3, 1 ) 110 l'Stá l'Jt la gráfica, ya que 3 -( t. y �3,1) Cráfk.a de x < y, x E ll, y 1: R. FIGURA 1 3 R'992§i'ͺPft§ cgmg'!ft§ÍQfi liP QQ§ vgngble§ A Jo largo de toda esta scr..ción, el cClnjunto de reemplazamiento para todas las variables que aparc"can será R. Fonnemos una proposición conectando las siguientes proposiciones sim ples con la conjunción "y" : (2 X 0) + /::, = 9; 0 = 4 X �. Obtenemos la proposición compuesta (2 X 0) + /::, = 9 y 0 = 4 X /::, PROPOSICIONeS COMPUESTAS EN DOS VARIABLES 37 Nos gustaría encontmr d conjunto d(· \'f'rdad de t•sta proposidón. H•:mos considerado ya la prinwra de las d'•s proposidoJI(:S simples, y con l'ierto detenimiento, en las p:íginas 22 a �+. La pmpn-;ición "O = + X 6" l'.S fácil de analizar; alg¡mos de los par(•s or<h:nados el� su conjunto de wrdad son (8, 2), (-4, -1}, (2, � ) , (O, O) , (4, l ) ! (.J. v'2, y'2). Rc·cuét"(lt·sc qu•� lu� mos convenido en que el conjunto de rcempla�atnil·nto será R. Ahora hit•n, \ó 10 (a) ((2 X 0 ) + !::;. = 9}. 8 0 t::. 10 6 6 4 (b) 10 = 4 X D,). 6 10 8 6 2 o o 2 (4.1) • 4 8 0 (e) { ( 2 X 0 ) + D, =9}; {0=4Xb,}. (d} { ( 2 X 0 ) + D, =9 y 0=4Xb,}. Pasos para graficar una prop9sici6n compuesta. FIGURA 14 38 PROPOSICIONES ABIERTAS EN DOS VARIABLE$ un par ordenado hace que la proposición sea verdadera si y sólo si hace que las ·dos proposiciones simples s�an verdaderas. N otcmos que el par ( 4, 1) verifica t'Sto y está, por tanto, eh el conjunto de \'Crdad, { (0, 6) 1 ( 2 X O) + !::, = 9 y o = 4 X 6), de la proposición compuesta. ¿Hay algunos pares ordenado� •más en este conjunto de verdad? Después de algunas investigaciones, que quizá impli quen la construcción de una tabla para cada una de las dos proposiciones simples, comen amos a sentirnos convencidos de que ( 4, 1) es, ciertamente, el único. Esta conclusión se refuerz.a cuando miramos las gráficas. El conjunto de verdad de esta proposición compuesta de tipo "y" es la intersección de los conjuntos de verdad de las dos proposiciones simples. Por tanto, la grá fica de la proposición compuc�ta es la intersección de las gráficas de las proposic.iones simples. La gráfica de "(2 X O) + !::, = 9'' se obtuvo en la figura 10; la reproducimos en la figura 14(a). La gr:lfica de "O = 4 X .6.'' no es difícil de trazar. Es 'una línea recta, tam.bi�n, como se muestra en la figura 14 ( b) . En la figura 14 (e) hemos vuc lto a dibujar estas dos gráficas en un mismo plano. Resulta evidente ahora que su intersección es un solo punto, a saber, el asociado con (4, 1 ) . La figura 14(d) muestra la gráfica de la proposición t"ompuesta. Estamos ahora convd1cidos de que { ( 0, 6 ) : ( 2 X 0 ) + !::, = 9 y 0 = 4 X !::, } = { ( 4, 1 ) } ; es decir, el conjunto de verdad de la proposición compuesta (2 X 0) + 6 = 9 y 0 = 4 X 6 es l'i conjunto cuyo único elem�nto es el par ordenado (4, 1 ) . EstudiC'mos ahora una proposición compuesta cuyo conjunto de verdad ticnt.' más elementos; por ejemplo, X < y y X + y < 2. Las dos proposiciones simples que aquí se asocian se estudiaron en la sección precedente. De nuevo deseamos encontrar el conjunto de verdad { (:�, y) l x < y y x + y < 2} de la proposición compuesta. Este conjunto contiene muchos pares orde nados: (0, 1 ) , (�, �), (-3, 2), (-2, -1 ) , para nombrar unos cuantos. El lector debe vcrific.ar que estos pares están realmente en el conjunto de verdad de la proposición compuesta. Recuérdese que cada uno de ellos debe hacer verdaderas a ambas proposiciones. Parece que probablemente la PROPOSICIONES COMPUff>TAS EN DOS VARIABLES 39 y __ _ ::.-= =-, (a) {x < y}. (b) {x + y < 2}. (1.1) (e) {x < y} ; {x + y < 2} . Pasos para graficar proposiciones de desigualdad compuestas. fiGURA 1 5 mejor forma de describir d conjunto en cuestión es el de representarlo di bujando su gráfica. Para hacer esto, comenzamos por dibujar las gráficas de "x < y" [íig. lS (a)] y de "x + y < 2" [fig. 15(b)]. Después las volvemos a dibujar en un mismo plano como aparece en la figura 15(c) . Después de alguna práctica, los pasos (a) y (b) pueden omitirse. Usamos ahora el he· cho de que el conjunto de verdad de una proposición compuesta del tipo "y" es la in�crsccción de los conjuntos de verdad de las proposiciones sim· pies que se unen para fonnarla. Supcrponici\do la gráfica de uno de los con juntos de verdad sobre la del otro, podemos ver que la gráfica del conjunto de verdad de la proposición compuesta es la parte del doble rayado de la figura 15( e) . En la figura 15 ( d) se ha simplificado el dibujo de manera que el conjunto que b•ascamos aparezca mejor. 40 PROPOSICIONES ABIERTAS EN DOS VARIAilLfS Formemos ahora un tipo dif�rcnte de proposición compuesta conectando las mi.o;mas dos proposiciones simples c.on la conjunción "o" : El conjunto de vl'rdad .'1: < y O X + y < 2. { (x, y) 1 x < )' o >: + y < 2} dr. rstc tipo de proposición "o"· consiste en todos los pares ordenados que hacen que las proposiciones de cualquiera de las proposiciones abiertas simples sean verdaderas x < y .Y + Y < 2. Es deci .. , el conjunto de verdad de la proposición compuesta es la unión de los conjuntos de verdad de las dos proposiciones simples. Este hecho facilita el trazo de la gráfica de la proposición compuesta; és, sim plemente, la unión de las gráficas de las proposiciones simples. Este conjunto aparece en la figura 15 (e) como toda 1a parte del dibujo que está som breada. La mostramos en la íigura 16. Recuérdese que una línea interrum pida indica que todos los puntos ltasta la línea están incluidos, pero que no �stán incluidos los puntos situados sobre la linea interrumpida -de trazo interrumpido. En particular, el par ordenado (1, 1 ) no hace que sea ver Qadera la proposici6n compuesta. ( x < y o x + y < 2}. FIGURA 16 PROPOSICIONES COMPUESTAS EN DOS VARIABLES 41 En conexión con esto, podemos hacer notar que la uni6n de las dos .rt•<·tas de la figura 14( c.), página 37, es la grá(ka de la proposición c.om pucsta (2 X 0) + l::. = 9 o 0 = 4 X l::.. GRUPO DE EJERCICIOS 4 l. Grafíquense las siguientes proposiciones en el mismo cuadro. Como con· junto de reemplazamiento tomaremos a 8, el conjunto de los números reales, a) )' = x. b) y = 2 X x. e) y = 3 X x. 2. Grafíqucnsc cada una de las siguientes proposiciones en cuadros separa· dos, usando W = {0, 1, 2, . . . } como conjunto de ret'mplazamicnto: a) O + l::. = 2. b) D + t::. < 2. e) O + l::. > 2. 3. Grafíquense cada una de las siguientes proposiciones compuestas, usando R como conjunto de reemplazamiento: a) x + y > 2 y y < L b) ·" + y > 2 o y < l . RELACIONES En las secciones precedentes hicimos uso de los shnbolos "<" y ";::: ··, que se usan en lugar de las frases "es menor que" y "es mayor o igual que", respectivamente. Ahora, cada una de estas frases puede considerarse como el nombre de una relación que existe entre 'los elementos de ciertos pares ordenados de números. Pot ejemplo, 1a relación es menor que existe entre 2 y 5, en este orden. Unas cuantas frases que parece denominan a relaciones entre pares de cosas aparecen a continuación. Nombre de la relad6n Cos:lS que se relacionan es un múltiplo de • • • • • • • • • • • • • • • • enteros tiene pelo más claro que • . • • • • • • • • persona• l'S paralela a . • • • • . . • . • • • • . . . • • • • líneas rectas es \tn hl'mumo de • • . . • • • • • • . . • • • . • personas es \In subconjunto de • . . • . • • . • • . . • conjuntos es congruente con . • • . • • . . . • • • • . . . triángulos da mb )�che que . . • • • . . . . , • • . . • ,·acns no es igltal a • • • • • . • • • • • • • • • • . • • • números es el cuadrado de . . • • . . . • • • • . • • • • números .42 RELACIONES En la siguiente sección decidiremos exactamente qué es lo que queremos expresar por relación,daremos una definición bastante técnica de la palabra ''relación" y estudiaremos, después, ciertas clases de relaciones que son de particular importancia en matemáticas. Pefjgjsjég de lg Qglqbm ''reladég" Casi todo el mundo cree conocer lo que significa la palabra relación; pero si se le precisa a que diga e.xactamcnte lo que es una relación, lo más probable será que se limite a dar algunos ejemplos. En matemáticas no se definen las cosas dando ejemplos de ellas, aunque es verdad que los ejemplos ayudan a cualquiera a entender lo que significa una definición. Lo que aquí requerimos, en términos tan simples como sea posible, es una proposición que diferencia cada ente que sea una relación de todos aquellos entes que no lo sean. Al intentar formular una definición tal es perfectamente admisible que algunos ejemplos específicos nos guíen. ¿ Qué es lo que tienen de común todas las frases de la lista anterior? Cada uno es parte de una proposición sobre un par de cosas; por ejemplo, "12 es un múltiplo de 3", ''Mary tiene el pelo más claro que Juan'', y "Blanca da más leche que Pinta". Si el lector no está seguro de lo que la frase es un múltiplo de significa, puede saltar hasta la página 47 en .donde se discute esto con cierto detalle. Por otra parte, el orden de los <:lemcntos del par de cosas ha de tenerse en cuenta. Por ejemplo, "12 es un múltiplo de" es una propQSición verdadera, mientras que "3 es un múltiplo de 12" es falsa. Todo esto nos hace recordar nuestra discusión sobre las proposiciones abiertas. Es claro que cada una de las frases de que hemos estado hablando puede asociarse de un modo natural con una proposición abierta simple en dos variables: "O es un múltiplo de 6", "x tiene el pelo más claro que y'', y así sucesivamente. Ahora bien, ¿qué es realmente lo que queremos que sea la relación indicada por es un múltiplo de? Podíamos decir que es la proposición abit�rta "O es un múltiplo de 6", pero preferimos decir que es el conjunto de verdad de esta proposición. Según este acuerdo, la relación es un múltiplo de es el con junto { (O, 6 ) 1 O es un múltiplo de 6}, la relación tiene el pelo más claro que es el conjunto { (x, y) 1 x tiene el pelo más claro que y}, y así sucesivamente. Desde luego, los conjuntos de reem plazamiento deben, en cada caso, especificarse. La ventaja que tiene tomar el conjunto de verdad como la relación, es que nos dice exactamente qué cosas se considera que están relacionadas con qué otras cosas. Es decir, si el par ordenado (a, IJ) es uno de los elementos ele CÍ\:rta relación, entonces sabemos que a está relacion:vl" ron b por t:><;-� relación. DEFINICIÓN DE LA PALABRA "RELACióN" .43 No hemos terminado del todo. Sabemos qué es lo que entendemos por cualquier relación específica como, digamos, es un múltiplo de. Pero, ¿qué es una relación en gen�ral? Es decir, ¿qué cosas son relaciones y qué cosas no lo son? Para contestar esta pregunta, veamos qué es lo que tienen en común todas nuestras relaciones específicas. Para comenzar, todas ellas son conjuntos de pares ordenados. Pero esto es también todo lo que encontra mos como rasgo común. ¿ Qué más es lo que tienen en común conjuntos tales como {(12, 3), ( 18, 3) , (8, 2) . . . }, { { María, Juan ) , (Juan, Elena), . . . }, etc.? ¡Nada! Nos vemos, pues, casi C:ompletamente obligados a dar la siguiente definición: Una relación es un conjunto de pares ordenados. Esta definición tiene ciertas ventajas. Solo usa términos elementales, "conjunto" y "par ordenado" ; y discrimina completamente. No deja duda alguna sobre si una cosa es una relación o no. Por otra parte, no parece amoldarse a nuestra idea intuitiva sobre Jo que es una relaci6n. Probable· mente la. razón para esto es que tenden1os a pensar en relaciones específicas; relaciones que tienen nombres o que pueden describirse con facilidad. Como ejemplo de esta dificultad, consideremos { (Tombuctú, Roma), (Roma, Londres), (Tornbuctú, Londres) } . De acuerdo con nuestra definición, este conjunto de pares ordenados es una relación. ¿Pero qué relaci6n es? ¿Cuál es su nombre? Podría ser tiene una población más pequeña qtte, o está sÍ· tuada al Sur de, o alguna otra cosa. Sin embargo, subsiste el hecho de que la única cosa común a todas las relaciones es que todas ellas son conjuntos de pares ordenados. Una palabra más acerca de la terminología. En muchas situaciones im· portantes, una relación dada asocia alguno;; elementos de cierto conjunto con otros elementos del mismo con junto. ESte es el caso de todas las rela ciones que enumeramos en la página 41. Di;eimos entonces que la relación está definida sobre ese conjunto. En términos más técnicos, una rela. ción está definida sobre un conjunto A si los dos componentes de cada uno de los pares ordenados de la relación son elemento A. Algunas veces abre viamos esa fr�seología y simplemente decirnos que una relación está sobre A. Por ejcmploj la relación es un múltiplo de está definida sobre ], los enteros ; da más leche que está definida sobre cualquier hato de ,·acas; y es el cua· drado de está sobre R, el conjunto de Jos .números reales. Esto no quiere decir que estas relaciones no puedan definirse sobre otros conjuntos. Por ejemplo, es un múltiplo de está también définida sobre N, el conjunto de los n!'1meros naturales. RELACIONES No todas. las relaciones están ddinidas sobre un solo conjunto. Por �;j(:m plo, nació en el año -como ''Juan nació en d aiío 1958"- relaciona gentes con enteros.• Más adelante consideraremos estas relaciones. Gjemplo de 'elgdep&» Quizá sea de ayuda para aclarar la idea de n•lación como conjunto de pares ordenados que consideremos un ejemplo en el•que algunas rela ciones pueden enunciarse explícitamente en forma total. Consideremos la familia Pérez, que consiste en el matido, la esposa, dos hijos varones y una hija. En la tabla III se dan algunos de sus datos fundamentales. TABLA lii LA I'AMILJA PÉRE:Z: Nombre Edad Peso Est;.tura (años) (lg) {m) El señor Pérez (papi) 42 7 7 1.87 La señora Pérez {mamá) 40 57 1.68 Tom&s J!) 6 1 1.80 Edmundo 1 7 66 1.63 Linda 15 43 1.53 Hay muchas relaciones definidas en la familia Pérc7.. Es hermano de -hermano, no hermana- es una. De acuerdo con la secdón anterior, esta relación, como conjunto de pares ordenados, es el conjunto de verdad de la proposición abierta "X es lwrmano de Y", con la familia Pércz como con junto de reemplazamiento para cada una de las \'ariablt�S. Es drdr, esta rda<·ión sobre la familia Pércz es d conjunto { (X, Y) l X t•s hcnnano de Y}. Este conjunto t'!r suficicntemE:'nic pequeño para que podamos enumerar todos sus elementos, y cncontran¡os así que la relación es hermano de es {(Tomás, EdmundoL (Edmundo, Tomás), (Tomás, Linda) , (Edmundo, Linda)}. El lectm· puede convencerse de que cada uno de estos pares pertenece al conjunto sustituyéndolos uno por uno en la proposición abierta. Debe • El lector preparado podrá decir, con razón, que tal proposición está defi· nida en el conjunto unión dd conjunto de gentes con el conjunto de enteros. [N. del T.] EJEMPlO DE RELACIONES AS también asegurarse de que ningunos otros pares pertenecen al conjunto. Por ejemplo, pruébese el par (Linda, Tomás} en la proposición abierta. Antes ele dar más ejemplos de relaciones sobre la familia Pérez, y con el fin de abre\'Íar lo que tengamos que decir, convengamos en represen tar d nombre del señor Pérez por P (papá), el de la señora Pérez por lvf (malllá), el de Tomás por T, el de Edmundo por E, y finalm�nte, el de Linda por L. Entonces, la primera reladón definida sobre la familia Pé rez es C'S hermano de = { (T, E), (E, T), (T, L), (E, L) ). Algunas otras rdaciones definidas sobre la familia Pércz son es hijo de = { (T, P), (T, M) , (E, P) , (E, M), (L,P), (L, M) }. nació antes de haber pasado tres años de haber nacido = {(P,P), (P, M), (M, M) , (M,P}, (T,T), (T,E}, (E,E) (E, T), (E, L) ,(L, L), (L, E) } . Nótese aquí que, por ejemplo papá nació antes de haber pasado tres años el<� haber nacido papá. Si, arbitraria!llente, convenimos en que una persona es más grande que otra si y solo si es más alta y de mayor peso, ambas cosas, que esta otra, entonces es más grande que = {(P,M}, (P, T), (P,E), (P,L), (M, L) , (T, M), (T, L) , (E, L} }. Pruebe el lector nombrar algunas otras relaciones específicas definidas sobre la familia Pérez y t•numere después lo� pares ordenados del correspon diente conjunto. Algunos de estos pueden ser bastante extensos. Por ejemplo, es Jel mismo sexo qtte consta de 13 pares ordenados; contiene pares como (P, P) y tanto {P, T) como (T, P). GRUPO DE EJElCIC�OS 5 1. EnúncÍ<',llSc explícitamente, como conjuntos de pares ordenados, las si guientes relaciones definidas sobre la familia Pérez de la sección prece dente: a) es la hermana de b) es hermano o hermana de e) es de más edad y más estatura que 46 RELACIONES 2. Encuéntrense al menos cuatro pares ordenados pertenecientes a cada una de las relaciones que abajo se indican : a) nació antes que, definida sobre el conjunto {Colón, Cieopatra, Eisen hower, Napoleón}. b) está situada al Este de, definida sobre el conjunto de todas las ciu dades de Estados Unidos. 3. Encuéntrense dos frases que tengan dos significados diferentes, pero de nominen la siguiente relación, definida sobre el conjunto {Esfinge, Par tenón, Torre Eiffel}: (Esfinge, Partenón) , {Partenón, Torre Eiffel), (Esfinge, Torre Eiffcl) . GráHsgs de re¡adog¡¡ Hay dos fonnas estándar de representar las relaciones. Una, es por mi!· dio de diagramas de flechas, procedimiento que discutiremos en la siguiente sección; la otra, es por medio de gráficas. Comencemos por considerat· las gráficas de relaciones numéricas, es decir, de relaciones que están definidas sobre conjuntos de números. Vere mos primero la relación es menor que ( <), definida sobre R, el conjunto de los números reales. De acuerdo con nuestra definición, esta relación es precisamente el conjunto de verdad de la proposición abierta x < y, con R como conjunto de reemplazamiento, y a este conjunto de verdad ya lo hemos representado gráficamente en la figura 13. El dibujo de la figura 13 es la gráfica de la relación es menor que definida sobre R. La gráfica en la figura 17, como la de la figura 13, es desde luego incompleta. y • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1 X • • • • • • La relación es menor que, definida sobre /. FIGURA 1 7 GRÁFICAS DE RELACIONES 47 Supóngase que consideramos ahora la misma relación es menor que, pero esta vez definida sobre J, el conjunto de los enteros. (Véase la figura 17.) No es difícil ver que la gráfica consiste ahora en aquellos puntos de la gráfica que aparecen en la figura 13, correspondientes a pares ordenados cuyos dos componentes son enteros. En este momento podemos hacer una pausa para recordar que el con junto de verdad de toda proposici6n abierta en dos variables, es un conjunto de pares ordenados y es, por tanto, una relación. La segunda sección de este cuaderno ''Proposiciones abiertas en dos variables", nos proporciona, en consecuencia muchos ejemplos de relaciones y sus gráficas. Algunas de éstas son un poco difíciles de denominar verbalmente. Por ejemplo, discutimos la proposición abierta "m + n :::; 2" con J, el conjunto de los enteros, como conjunto de reemplazamiento. Si nos empeñamos, podemos construir una frase que denomine a la relación correspondiente. Por ejemplo, la frase da lugar a una suma que no es mayor que 2 cuando sumado a Ensáyese poniendo un 3 delante de la frase y un -¡ detrás de ella. Esto está muy lejos de frases tan sencillas como e� menor que o es la suma de, pero describe la relación en cuestión. El punto importante, no obstante, es que podamos pensar en un nombre adecuado para ella o no, {(m, n) 1 m e J, n e:. J, y m + n :::; 2} es una relación definida sobre J. La figura 11 , muestra su gráfica. Vemos, pues, que nada nuevo tenemos que aprender para poder graficar relaciones porque ya sabemos cómo graficar conjuntos de pares ordenados de números. Daremos, sin embargo, un ejemplo más. Hemos hecho frecuentes referencias a la relación es un múltiplo de, definida sobre el conjunto J de los enteros. Observémosla en detalle y cons truyamos su gráfica. Para fijar la idea de múltiplo en nuestras mentes, preguntémonos cuáles son ]os múltiplos de 3. Cierto, 1 X 3, 2 X 3, y 3 X 3 son algunos de ellos. Pero también ]o son O X 3, -¡ X 3, -2 X 3, . . . . Ve mos, pues, que todos los números . . . , -6, -s, O, 3, 6, 9, . . . son múltiplos de 3 ; y, por tanto, los pares ordenados . . . (-6, 3 ) , (-3, 3) , (O, 3 ) , (3, 3 ) , (6, 3 ) , (9, 3 ) , • • . están en l a relaci6n es un múltiplo de. Análogamente, Jos múltiplos de -3 son . . . , -2 X -3, -1 X -3, 0 X -3, 1 X -3, 2 X -3, y, consecuentemente, los pares ordenados . . . ' (6, -3)' (3, -3)' (0, -3 ) ' (-3, -3)' (-6, -3)' . . . están en la relación. Nótese que todos los pares ordenados en las dos listas son diferentes. Si graficamos los pares orden�dos que hemos obtenido hasta 48 RELACIONES el momento, tendremos dos renglones de puntos, uno a tres unidades sobre la recta numérica horizontal, el otro a tres unidades por dehajo de ella. Repitamos el procedimiento para los múltiplos de O, los múltiplos de l y -1, de 2 y ·2, de 4 y de -4 (ya hemos graficado los múltiplos de 3 y -3), de 5 y -5, etc. Nótese que el único múltiplo de O es el propio O, porque el producto de cualquier número por O es O. Los múltiplos de i son todos los enteros, que también son los múltiplos de -I. Cuando hayamos grafkado bastantes puntos, habremos obtenido la gráfica en forma de mariposa que mostramos en la figura 18. � 3 • 12 f9 ro � 3 6 ¡g 12 .3 "6 La relación el un múltiplo de, definida sobre ]. FIGURA 1 8 Podríamos haber abordado este problema de obtención de la gráfica de es un múltiplo de, en forma diferente: para un entero dado, por ejemplo 6, podríamos preguntar, ¿cuáles s.on los enteros del que es múltiplo? Como 6 es igual a cualquiera de los productos 1 X 6, 2 X 3, 3 X 2, 6 X 1, -6 X -1, -3 X -2, -2 X -3 y -1 X -6, pero no a ningún otro producto de enteros, vemos que 6 es un múltiplo de, exactamente, 6, 3, 2, 1, -1, -2, -3, -s. Por tanto, Jos pares (6, 6), (6, 3), (6, 2), (6, 1 ) , (6, -1), (6, -2) , (6, -3) y (6, -6) GRÁFICAS DE RELACIONES NO NUM�RICAS 49 están en la relación, pero no está ningún otro par con 6 como primer com ponente. Cuando graficamos estos pares ordt·nados, obtenemos toda la parte de la gráfica que se encuentra directamente arriba y abajo dd punto de la recta numérica horizontal ·que tiene 6 com() rótulo. Insistimos en este momento ante el lector para que cicr·rc este cuaderno y grafique es un múltiplo de, definida sobre ]� por sí mismo -el papel cua driculado facilita la tarea. La construcción de esta grMira es un medio excelente de llegar a entender realmente lo que son los múltiplos de los enteros. �réfkgs de relgdopes go gumé[jss¡i ¿Cómo -podemos graficar una relación que está definida sobre un con junto de cosas que no son números sino, por ejemplo, personas o vacas? Pongamos un ejemplo de técnica apropiada para estos casos. L • • L E • E T • T M M • • • p p • • • M T B L � M T B L es hcnnano de e.!l hijo de (a.) (b) L • • L • • • • E • • • E • T • • T • M • • M • • p • • p p M T E L p M T L se lleva rnencu de tres años con es más grande que (e} (d) Gráficas de relaciones definidas soqre la familia Pérez. FIGURA 1 9 50 RELACIONES Recuérdese que en las páginas 44 y 45 considerábamos algunas relacio nes definidas sobre la familia :Pérez. Los elementos de la familia y los sím bolos que usamos para rcpres�ntarlos eran los siguientes: señor Pérez, P; señora Pérez, M; sus hijos, Tomás, T, y Edmundo, E; su hija, Linda L. Una de las relaciones
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