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ENERGÍA POTENCIAL Y CONSERVACIQN DE LA ENERGIA ¡ J cuando un clavadista se tira de un trampolín a la alberca, golpea el agua rápi damente, con mucha energia cinética. ¿De donde proviene esa energia? La respuesta que dimos en el capitulo 6 fue que la fuerza gravitacional (el peso) rea liza trabajo sobre el clavadista al caer. La energia cinética del clavadista ener gia asociada con su movimiento aumenta en una cantidad igual al trabajo realizado. I Sin embargo, hay ona forma muy útil de ver el trabajo y la energia cinética. Es te nuevo enfoque se basa en el concepto de energía potencial, que es energia aso ciada con la posicion de un sistema, no a su movimiento. En este enfoque, hay eiiergi'o poieacioi groviiocioriri! incluso cuando el ciavadista esta parado en el trampolín. A1 caer, no se agrega energia al sistema Tierra clavadista, sino que una Mientras un clavadista se precipita hacia el agua, cierta energia potencial gravitacional se convierte en energia cinética del clava dista. Cuando el clavadista entra en el agua, pierde rapidez v su energia cinética se convierte en energia termica del agua, elevando un poco su temperatura. Medicio nes cuidadosas demuestran que no se pier de energia en este proceso; la energia soio cambia de forma. _ ¬_ ":.7.I._"\_4_.,_ 1 ¬ . n Cuando el clavarlista entra en el agua, ¿ésta realiza sobre el trabajo positivo o negativo? ¿La fuerza de la gravedad efectúa trabajo positivo o negativo sobre él? 241 I Í I I 'I . 'I .. . 'I I |.l. li 2! 1': ji' pablo Resaltar pablo Resaltar 242 F1 I ¬ Movimiento FUIIHS ri J 2 iii = ing' U Ú “ (al La energia potencial gravitacional U disminuye ""' Forros I IT* = mš Movimiento F1 251% 1 [bj La energia potencial gravitacionaì U aumenta }'.1 La fuerza gravitacional 11" realiza trabajo durante el movimiento vertical de tm cuerpo desde una altura inicial y, a una altura final ji 11. La energía potencial gravitacional (al disminuye si el cuerpo se mueve hacia abajo y (b) aumenta si se mueve hacia arriba. _' 'I _. C2 A P í T U L o 7 I Energía potencial y conservación de la energia reserva de energía se transforma de una forma (energia potencial) a ot.ra tfenergia cinética). En este capítulo, veremos cómo puede entenderse esta transformación con el teorema de trabajo energía. Si el clavadista rebota en el trampolín antes de saltar, la tabla flesionada alma cena otra clase de energía potencial llamada energia ,ootencioi eirisrico. Veremos la energía potencial elástic a. de sistemas sencillos como un resorte estirado o com primido. (Otra clase importante de energia potencial se asocia. a. las posiciones re lativas de particulas con carga eléctrica. Veremos esto en el capitulo 23). Demostraremos que, en algunos casos, la suma de las energías cinética v po t.encial de un sistema, llamada, energia mecánico roroi, es constante durante su movimiento. Esto nos llevará. al enunciado general de la ley de conservacion de io eiiergic, uno de los principios mas fundamentales y trascendentales de la ciencia. 7.1 | Energia potencial gravitacional Una partícula gana o pierde energía cinética porque interactúa con otros cuerpos que ejercen fuerzas sobre él. En el capitulo 6 vimos que, en cualquier interacción, el cambio de energía cinética de una partícula es igual al trabajo total efectuado sobre ella por todas la.s fuerzas que actúan sobre ella. En muchas situaciones, parece que se almacena energía en un sistema para re cuperarse después. Es como una cuenta de ahorros, depositamos dinero que luego retiramos. Por ejemplo, hay que efectuar trabajo sobre el martillo de un martinete para levantarlo. Parece razonable que, al elevar el martillo en el aire, se esta alma cenando energia en el sistema, la cual se convierte después en energía cinética al caer el martillo. O considere a su primo Tito en su columpio. Suponga que le da un empujón, confiriéndole cierta energía cinética y luego lo deja oscilar libremen te. Tito se detiene momentáneamente cuando llega a los extremos de su arco, asi que ahí no tiene energía cinética, pero la recupera al pasar por el punto bajo del ar co. Parece como si en los puntos altos la energía se almacenara en algunaotra for ma, relacionada con su altura sobre el suelo, y se reconvirtiera en energia cinética al oscilar hacia el punto bajo. ` Ambos ejemplos apuntan a la idea de una energía asociada a la posicion de los cuerpos en un sistema. Este tipo de energia es una medida del potenciar? o posibi iidoa' de efectuar trabajo. A1 levantar el martillo, existe el potencial de que la fuer za de gravitación realice trabajo sobre él, pero sólo si el martillo se deja caer al suelo. Por ello, la energia asociada con la posición se llama energía potencial. Lo dicho sugiere que hay energía potencial asociada al peso de un cuerpo 3; a su altu ra sobre el suelo: la crzergio poreccioi gm virocionoi. Cuando un cuerpo cae sin resistencia del aire, la energía potencial gravitacio nal del cuerpo disminuye y su energía cinética aumenta. Sin embargo, en el capi tulo 6 usamos el teorema de trabajo energía para concluir que la energía cinética de un cuerpo que cae aumenta porque la fuerza de la gravedad terrestre [el peso del cuerpo) realiza trabajo sobre el cuerpo. Usemos ese teorema para demostrm que ambas descripciones del cuerpo que cae son equivalentes y para deducir la es presión de la energia potencial gravitacional. Consideremos un cuerpo de masa nt que se mueve en el eje y (vertical), como en la figura 7.1. Las fuerzas que actúan sobre él son su peso, de magnitud tv = mg, ji tal vez otras; llamamos a la suma vectorial (resultante) de todas las otras fuerzas F,,,,.,,. Suponemos que el cuerpo permanece tan cerca de la superficie terrestre que el peso es constante. (Veremos en el capitulo '12 que el peso disminuye con la al pablo Resaltar 1. __. _ ¬. 7'.l I Energía potencial gravitacional tura,) Queremos determinar el trabajo efectuado por el peso cuando el cuerpo cae de una altura yl sobre el origen a una alttu*a menor yg (Fig. 7. la). El peso y el des plazamiento tienen la misma dirección, así que el trabajo WW, efectuado sobre el cuerpo por su peso es positivo; Wgrav = FS : W(yl _ 1,2) : mgyl _ mgyl E sta expresión también da el trabajo correcto cuando el cuerpo sube yy, es mayor que _v1 (Fìg. T, lb). En t.al caso, y, 312 es negativo y Wg,.,,,,. es negativo porque el pe so y el desplazamiento tienen direcciones opuestas. La ecuación (7.1) muestra que podemos expresar Wg,,,,. en términos de los va lores de la cantidad aigy al principio y al final del desplazamiento. Esta cantidad, el producto del peso aig y la altura ,ti sobre el origen, es la energía potencial gra vitacional, U: U = ragy (energía potencial graoitacional) (7.2) Su valor inicial es U, = mgy, y su valor final es U2 = mgyg. El cambio en U es su valor final menos su valor inicial: AU = U2 U1. Podemos expresar el trabajo WW, realizado por la fuerza gravitacional durante el desplazamiento de jr, a y_ ,_, como Wgmv=U1_ U2:_(U2_U|) = “ÉU (7 3) El signo negativo de AU esfimdcmertrol. Cuando el cuerpo sube, y aumenta, el trabajo realizado por la gravedad es negativo y la energía potencial gravitacional aumenta (AU ';> 0). Si el cuerpo baja, y disminuye, la gravedad realiza trabajo po sitivo y la energia potencial gravitacional se reduce (AU si 0). Es como sacar di nero del banco (reducir U) y gastarlo (realizar trabajo positivo). Como muestra la ecuación (723), la unidad de energia potencial es el joule (J), la misma del trabajo. ÉAunque se sienta tentado a hacerlo, no es correcto llamar a U = mgy la "energia potencial gravltacional del cuerpo". La energía potencial gravi tacional es una propiedad compartida del cuerpo y la Tierra. Esta energia au menta si la Tierra permanece fija y la altura aumenta; también aumenta si el cuerpo esta fijo en el espacio y la Tierra se aleja de él. Observe que en la fórmu la U = ingy intervienen caracteristicas tanto del cuerpo (su masa rn) como de la Tierra (el valor de gl. IrConservaclon dela energia mecánica (sólo fuerzas gravitacionales) Si quiere ver para qué sirve la energia potencial gravitacional, suponga que el pe so del cuerpo es la iinico fuerza que actúa sobre él Íí',,,,,,,_._ = 0. El cuerpo cae libre mente sin resistencia del aire, y podría estar subiendo o bajando. Sea U] su rapidez en y,, y og, en yy, El teorema de trabaj o energia (ecuación 6.6) dice que el trabajo total efectuado sobre el cuerpo es igual al cambio en su energia cinética; Pi/Ím, = AK = KE K¡. Si la gravedad es la única fuerza que actua, entonces, por la ecuación (7.3), Wm, = Wgm, = .ó.U= U, U2. Jtmtando esto tenemos ' U K2_K1:UI_U2 1 pablo Resaltar pablo Resaltar pablo Resaltar Puede ser pregunta teorica F ll I' ,ÉI__ . . _. _'Í ,"†.f'.'i'i"'_¦'_|_1 1:' ¿F "".'... '.'.'_ ¦' I; _ ' :_ ' "" ' ..'.. ,; _ . ¬¬¬_`¬¬¬ ¬¬¬ C A P íT U L o 7 I Energía potencial y conservación de la energía que podemos reescribir como K, + U1 = Kg + U2 (si sólo la gravedad realiza trabajo) (7.4) D 1 l šmofí + mgyl ïmof + mgyg (si sólo la gravedad realiza trabajo) (`i.5) Ahora definimos la suma. K + U de las energías cinética y potencial como E, la energia mecánica total del sistema. "Por “sistema”, nos referimos al cuerpo de masa m y la Tierra considerados juntos, porque Ues una propiedad compartida de am bos cuerpos. Así, El = K, U1 es la energía mecánica total en yl y E2 = K, + U2 es la energía mecánica total en y¿. La ecuación (7.4) dice que, cuando el peso del cuerpo es la única fuerza que realiza trabajo sobre él, El = E2. Es decir, E es cons tante; tiene el mismo valor en _,v1 que en yg. No obstante, dado que las posiciones y, y yg son puntos arbitrarios en el movimiento del cuerpo, la energía mecanica to tal E tiene el mismo valor en todos los puntos durante el movimiento; E = K + U = constante (si sólo la gravedad efectúa trabajo) Una cantidad que siempre tiene el mismo valor es una cantidad que se conservo. Si solo lo fuerza de gravedad efectúa trabajo, lo energia mecánico toroi es cons tante, es decir; se conservo (Fig. 7.2). Este es nuestro primer ejemplo de la con servacion de la energia mecánica. Cuando lanzamos una pelota al aire, su rapidez disminuye al subir, a medida que la energía cinética se convierteien energía potencial; .Mí < U y ió U Z `> U. Al ba jar, la energía potencial se convierte en cinética y la rapidez de la pelota aumenta; AK > 0 y AU si 0. No obstante, la energía mecánica roto! (cinética més potencial) es la misma en todos los puntos del movimiento, siempre que ninguna otra fi.1erza realice trabajo sobre la pelota (la resistencia del aire debe ser insignificante). Si gue siendo verdad que la fuerza gravitacional efectúa trabajo sobre el cuerpo al subir o bajar éste, pero ya no tenemos que calcularlo directamente; basta ver có mo cambia el valor de U. Un punto importante en lo que se refiere a la energia potencial gravitacional es que no importa que altura escojamos comoy = ti, el origen de coordenadas. Si desplazamos el origen dey, los valores de y, yy, cambiaran, pe Al subir __ Al bajar K disminuye K aumenta U aumenta _! _ ; ¿ inuye _ ' J "` ._` _ c = mg ......... .. fu. _ F' 7.2 Mientras el atleta esta en el aire, sólo la gravedad efectua trabajo sobre él (si despreciamos los efectos menores de la resistencia del aire). La energía mecanica la suma de las energias ci_nética y potencial gravitacional_ se conserva. pablo Resaltar !!! 1 . _ . 7.1 I Energía potencial gravitacional 245 ro su diferencia no. Se sigue que aunque U, y U2 dependen de dónde coloque mos el origen, la diferencia U, U, =mg(y, y,) es independiente. La cantidad que tiene importancia fisica no es el valor de U en cierto punto, sino la diferen cia en Uentre 2 puntos. Así, podemos definir U como cero en cualquier punto ` f"d|` " Et 'I l"t`mIosin afectar la tstca e a sttuaclon. s o se I ustra en e slguten e eje p _ %“'“i Lanzamos una pelota de béisbol con masa de 0.145 kg hacia arriba, dandole una rapidez inicial de 20.0 mis. Use la conservación de la energía para determinar qué altura alcanza, despreciando la resistencia del aire. IDEIllTlFICAR¦ Una vez en el aire, la única fuerza que actua sobre la pelota es su peso; por tanto, podemos usar la conservación de la energia mecanica. . PLANTEJKR: Usaremos las ecuaciones (7.4) y ("i.5); el punto 1 sera el punto en que la bola abandona la mano, y el ptutto 2, donde la pe lota alcanza su altura máxima. A1 igual que en la figura 7.1, esco gemos un eje y que apunta verticalmente hacia arriba. La rapidez de la pelota en el punto 1 es o, = 20.10 mis. La pelota está instantánea mente cn reposo en el punto mas alto de su movimiento (punto 2), asi que oy = ll. La incógnita es la distancia que la pelota se mueve verticalmen te entre estos dos puntos, es decir, el desplazamientoyy y,. Por sencillez, colocaremos el origen en el punto 1, donde la pelota , si , , U 'iv I o1=2íl.[ln1is si = disc te ' 1 JP] _ü CEITÚ .s .fr tf _ _ ,.... ` ' "' s . ; r'= * . . ';__ ¦ ., ss ._ se.,.U . I'.› 'I:____¡¬12"' HI '+.› f.":'E:1ií . __. _ , _. . _ . . . '_. . _ _. . ' ' ' _ . _' . 1 L _ _ ¬ ._ '_ . .r____. II. _ ~_:_. _ _ ' __ 7.3 Después de separarse la pelota de la mano, la única fuerza. que actúa sobre ella es su peso (despreciando la resistencia del aire), asi que la energia mecánica E = K + U se conserva. Las gráficas de barras de energia muestran los valores de E, K y U son ='L`1ria Altura de una pelota por conservación de la energia abandona la mano. Entonces, yl = 0 (Fig. 13) y la incógnita es sim plemente yy. EJECUTAR: Puesto que yl = 0, la energía potencial en el punto 1 es U, = ingy, `= D. Además, dado que la pelota esta en reposo en el pun to 2, la energía cinética en ese punto es Kg = åmof = il. La ecua ción (7.4), que dice que K, + U, = Kg + U1, se convierte en Ki _: Us Como se ve en las graficas de barras de energía de la figura 1.3, la energia cinética de la bola en el punto l se convierte totalmente en ener gía potencial gravitacional en el ptmto 2. En el punto l, la energia cinética es _ 1 , 1K, = ¿ mv; = ¿(0.145 1<g)(2c.c meji = zac J y es igual a la energia potencial U2 = mgyg en el punto 2, así que Uv .y2_ ,_ 2901 Í? :mmm tng (0.145 kg) (9.80 misr) También podemos resolver K, = U2 algebraicamente despejando y 2: 1 1¿nar = msn of (20.0 mis)i yz _ ' Zg 2(9.8O mis ) EVALUAR: La masa se elimina, como esperábamos; en el capitulo 2 vimos que el movimiento de un cuerpo en caida libre no depende de su masa. De hecho, podríamos haber deducido el resultado yy = o1íi2g utilizando la ecuación (2.13). Al realizar el cálculo anterior, escogimos el origen en el punto l, de modo que y, = CI y U, = D. ¿Qué pasa si escogemos otro origen? Suponga que lo colocamos 5.0 m debajo del punto 1, de modo que yj = 5.0 m. Entonces, la energía mecanica total en el punto l será en parte cinética y en parte potencial, pero en el punto 2 sera puramen te potencial; Sí realiza el calculo usando este origen, obtendrá 3:3 = 25.4 m, este es 20.4 tn sobre el punto 1, igual que con el primer ori gen. En cualquier problema, .corresponden Ud. escoger la altura donde U ~= D; no se rompa la cabeza, porque la tìsica de la respues ta no depende de su decisión. ïmflm_†"\=± 246 Act v CIl'~lL NEPhyscs 5.2 Detenienclo un elevador que asciende 5.3 Detención de un elevador que baja 5.5 Rapidez de un esquiador Hi n ll W IDENTIFICÃR los conceptospertinentes: Primero decida si con viene resolver el problema con métodos de energía, usando EE = nai' directamente, o con una combinación de estrategias. El enfoque de energia es muy útil si el problema implica movi miento con fuerzas variables, en una trayectoria curva (que vc remos mas adelante) o ambas cosas. Si el problema implica ' _._¿'_. ' e A P í T U L o 7 l Energía potencial y conservación de la energía Efecto de otras fuerzas Si otras fuerzas actúan sobre el cuerpo ademas de su peso, entonces Íi',,,,,_,, d_e la figura 7.1 no es 0. En el caso del martinet_e del ejemplo 6.5 (sección 6.2) la fuerza aplicada porel cable y la íriccjón de las guías verticales son ejemplos de fuerzas que podrían estar incluidas en F,,,,,,. El trabajo gravitacional WW. aún esta dadp por la ecuación (7.3), pero el trabajo total W,,_,, es la suma de W,,_,,,_ y el trabajo de F,,,,,,_ Llamamos a este trabajo adicional W,,,,,, de modo que el trabajo total realizado por todas las fuerzas es W,,,, = Wg,__,,_ + W,,,,,,. lgualando esto al cambio de energía cinética, tenemos W +WH Q n omotras gra». _ Además, por la ecuación (7.3), Wgm, = U, U2., así que Wotras + U1 _ U2 = KE _ Ki que podemos reacomodar así: K, + U, + W,,,,,,, = K, + U, (7.7) (si otras fuerzas además dela gravedad efectúan trabajo) Por último, usando las expresiones apropiadas para los distintos términos de ener gia, obtenemos l l šnwfi I ingy, + W,,,,_,, = ïinuf I rngy, (7.8) (si otras fuerzas además de la gravedad efectúan trabajo) El significado de las ecuaciones (7.7) y (7.8) es que ei rraiiaio realizado por ro das lasƒiierzas distintas de la gravitacional es igirai ai carnbio en la energia rneca nica total E = K I U del sistema, donde U es la energia potencial gran nacional. Si W,,,,,, es positivo, E aumenta y (K, + U_,) I> (K, + U,). Si W,,,,.,, es negativo, E dismi nuye. En el caso especial en que sólo el peso realiza trabajo, W,,,,,,, = U. La energia mecánica total es entonces constante, y volvemos a la ecuación (7.4) o (7.5). Problemas en los que se utiliza energia mecánica ra el final. Resulta útil hacer dibujos que muestren los es tados inicial y final. 2. Defina su sistema de coordenadas, sobre todo el nivel en el que y = D. Esto le servira para calcular las energias po tenciales gravitacionales. La ecuación (7.2) supone que la dirección +y es hacia arriba; le sugerimos tomar esa deci sión de forma consistente. ti tr 'd , l nf d ' 1 l ' _ _ _ _ _Empü anscum D E E Úqufl G energia im sus E ser E meiür 3. Identifique las fuerzas no gravitactonales que efectuen porque en él no interviene el tiempo directamente. PLAHTEAH ei problema ernpieantio ios pasos siguientes.: trabajo. Los diagramas de cuerpo libre siempre son útiles. Si algunas de las cantidades que necesita son incógnitas, represéntelas con simbolos algebraicos l. Si usa el enfoque de energia, primero decida cuales son 4. Haga una lista de las cantidades conocidas y desconoci los estados inicial y final (posiciones y velocidades) del sistema. Use el subíndice l para el estado inicial y el 2 pa das, incluidas las coordenadas y velocidades en cada pun to. Decida qué incógnitas resolverá. pablo Resaltar La energia mecanica no es constante 7.1 l Energía potencial gravitacional 24? EJECUTÃH la solución.: Escriba expresiones para las energías EVALUAR ia respuesta.: Verifique si su respuesta es lógica fisi cinéticas y potenciales iniciales y finales (K,, Kg, U, y U, ,). En camente. Tenga presente, aquí y mas adelante, que el trabajo general, algunas seran conocidas y otras no. Relacione las cner efectuado por cada fuerza debe estar representado en U, U, , = gías cinética y potencial y el trabajo no gravitacional W,,,,,,, . AU o bien en W,,,,,,,, pero nunca en ambos. El trabajo gravita usando la ecuación (7.7). (Tendrá que calcular W,,,,,,, en términos cional está incluido en oli; tenga cuidado de no incluirlo 'otra de las fuerzas no gravitacionales_) Si no hay trabajo no gravita vez en W,,,,,,,_ ' cional, la expresión se convertirá en la ecuación (7.5). Las gra ficas de barras que muestran los valores iniciales de K, U y E = K + U son útiles. Despeje la cantidad desconocida. Trabajo y energia al lanzar una pelota En el ejemplo 7.1, suponga que la mano sube 0.50 m al lanzar la pelota, la cual, al separarse, tiene una velocidad hacia arriba de 20.0 mis. Haga, otra vez, caso omiso de la resistencia del aire. a) Supo niendo que su mano ejerce una fuerza constante hacia arriba sobre I la pelota, calcule la magnitud de esa fuerza. b) Calcule la rapidez de la U3 ;¿_~_ __ = " ,rr Its = 15 Ú 111 E K U pelota en un punto l5.ü m arriba de donde se le soltó. ii sotución _ $ IDENTIFICAR: En el ejemplo 7.1, usamos la conservación de la energia mecanica porque sólo la gravedad efectuaba trabajo. En es U = ,O 0 mk, _ __ _ ,___ cero te ejemplo, en cambio, deberemos incluir también el trabajo no g1:a . vitacional efectuado por la mano. ,P _ _, ,,,, = U ' :T . T e rr o: PLANTEHR: La figura 7.4 muestra un diagrama de la situación, con H _›' | _ _ ' _ _ _ _I _ _ .__,_. .,__ :_ __ í .,.,__ '. I. _un diagrama de cuerpo libre de la pelota al ser lanzada. El movi : _ ___ _ : miento de la pelota tiene dos etapas: mientras está en contacto con U 513 H1 la mano y después de lanzada. Pa1:a definir esas etapas, sea el pun ' to l el punto donde la mano inicia su movimiento, el punto 2, don ul de la pelota pierde contacto con la mano y el punto 3, donde la .: , 05,] 'im' pelota esta 15.0 m arriba del punto 2. La fuerza no gravitacional de ¦._ _ ii ,` _j_ su mano, E sólo actua entre los puntos 1 y 2. Utilizando el mismo I' F _ if sistema de coordenadas que en el ejemplo 7.1, tenemos y, = 0.50 (_, ,1) m, jr, = D y y _ _, = 15.0 m. La pelota parte del reposo en el punto l, asi que ti, = U, y nos dicen que la rapidez con que la pelota abandona la J' mano es U, = 20.0 mis. Las incógnitas son (a) la magnitud F de la fuer l za que la mano aplica y (b) la rapidez ti, en el punto 3. Í ,__ _ __ __ _,, I ___ ._, _? jj] = _ lll III nin | ,_..r J E K U F EIECUTÁR: a) Para determinar la magnitud de ,primero usaremos la 'ecuación (7 .7_) para calcular el trabajo li:Í,,,,_,, efectuado por esa fi1erza_ Tenemos ir, = o U, = rngy, = (lll.l¿l 5 l{g)(9_3Ú l1L(S2)(_'[l_5Ú 111) = _Ú_7l .l .t 1 ,I , I F, tv: K, = ntoy = (0.145 kg) (20.0 mJ's)* = 29.0 .l 2 2 en tr, = i s._.,¬¿v, = (dins 1<g)(s_so mni)(o} = o _ _ _ 7.4 (a) Lanzamiento vertical de una pelota hacia arriba. __ La flllflfgliï liüiflilüifll inicial Ut E5 negativa Püfflue la Peiülfl estaba (b) Diagrama de cuerpo libre de la pelota mientras la fuerza F tllïiiijiïi del Uflgflfl. FUI' liì ¢¢UflGiÓfl'(7 7), Ki + U1 + Wenas = Ki + Un aplicada por la__mano efectúa eltrabajo ltl/,,,,,, sobre la pelota. Entre asi que jr, y ji, actúan F y la gravedad; de _v, a _v, sólo actúa la gravedad. li K, \ 24 B c A P í T u L o 7 I Energia potencial y conservación de la energia Woms = (KE _ Ki) + (U2 _ Ul) = (zsor ti) + (o ( ont 1)) =2s_rJ La energia cinética de la pelota aumenta en K, K, = 29.0 J, y la potencial, en U, U, = 0.71 J; la suma es E, E,, el cambio en la energía mecanica total, que es igual a W,,,,,,_ Suponiendo que la fuerza ii' hacia arriba aplicada por la mano es constante, el trabajo W,,,,,.,, efectuado por esa fuerza es igual a la magnitud F de la fuerza multiplic ada por el desplazamiento hacia arriba y, y, en el que actúa: H}i_:L| a_s : _ Fl) W, 29.7 JF ii ~ _ sa N _]›"2 _ _)r`] ITI Esto es unas 40 veces mas que el peso de la pelota. b) Para obtener la rapidez en el punto 3, tomamos nota de que, en tre los puntos 2 y 3, se conserva la energia mecanica total; la fuer za de la mano ya no actúa, asi que W,,,,,,,, = 0. Podemos obtener la energia cinética en el punto 3 usando la ecuación (7.4): Ka `l' U1 = Ka + Us tr, = mg,›, = (dias t<, ,f)(9_sc mn e)(1s_c in) = 21.3 J T _ ¿_ “í _ .___""̀ .'i'__.'_`_`.T_` '_ >¦ ,r iej tlf' = ing U Dado que K, = jmogf, donde o,,_,, es la componente y de la veloci dad de la pelota en el punto 3, tenemos _+ ZK3 + 2(7_7.l) __,_ 113,, _ _ i _lll1nis in Ú_l45 kg El significado del signo masimenos es que la pelota pasa a'os oeces por el punto 3, una vez de subida y otra de bajada. La energia mc cánica total E es constante e igual a 29.0 .i mientras la pelota está en caída libre, y la energia potencial en el punto 3 es U, = 21.3 J, sea que la pelota esté subiendo o bajando. Asi, en el punto 3 la energia cinética y la rapidez de la pelota no dependen de la dirección del movimiento. La velocidad u,_,_ es positiva (+10 mis) cuando la pelo ta sube y negativa ( 10 mis) cuando baja; la rapidez o, es de lil mis en ambos casos. EVALUAR:Para comprobar el resultado, recordemos que en el ejemplo 7.1, la pelota alcanza una altura máxima de y = El). 4 m. En ese punto, toda la energia cinética que la pelota tenía cuando aban donó la mano en y = 0 se ha convertido en energia potencial gravi tacional. En y = 15.0, la pelota está a tres cuartas pat:tes del camino hacia su altura maxima, asi que unas tres cuartas partes de su ener gía mecanica deberán estar en forma de energia potencial. ¿Puede demostrar que es asi, con base en los valores obtenidos para K, y U3? Energia potencial gravitacional para movimiento curvo , ,;¬'mm, En nuestros primeros dos ejemplos, el cuerpo se movió en una trayectoria vertical , recta. ¿Qué sucede si la trayectoria es inclinada o curva (Fig. 7_5a)'? Sobre el cuer "i ` pp actúa la gravedad iii = mg y tal vez otras fuerzas cuya resultante llamamos F,,,,,,. Para calcular el trabajo efectuado por la fuerza gravitaciona_l durante este desplazamiento, dividimos la trayectoria en segmentos pequeños dd: uno de ellos 0. se muestra en la figura 7_5b_ El trabajo realizado por la gravedad sobre este seg mento es el producto escalar de la fuerza y el desplazamiento. En términos de vec iii) tores unitarios, la fuerza es iii = tng' = rngji y el desplazamento es ds' = Axi + Ayj, así que el trabajo efectuado por la fuerza gravitacional es dx l .óy ¿,_ì__l fii=rn§ 7.5 (a) Desplazamiento a lo largo de una trayectoria curva. (b) El trabajo realizado por la fuerza gravitacional tii = mg sólo depende de la componente vertical del desplazamiento ¿ty (en esta figura, fly es negativo). tii = rngj' (Ari + óyj) = nsgilty El trabajo efectuado por la gravedad es el mismo que si el cuerpo se hubiera des plazado verticalmente una distancia Ay, sin desplazamiento horizontal. Esto se cumple para cada segmento, así que el trabajo rorai de la fuerza gravitacional es ing multiplicado por el desplazamiento vertical roiai (y, y,): Wai, main _ .vil = mari _ titan = U1 : Us mi Esto es igual a la ecuación (7.1) o (7.3), donde se supuso una trayectoria vertical Asíque, aun si la trayectoria de un cuerpo entre dos puntos es curva, el trabajo to tal efectuado por la gravedad depende sólo de la diferencia de altura entre esos puntos. Este trabajo no se ve afectado por ningún movimiento horizontal que pue da darse. Por tanto, potiernos usar la inisina expres ión para ia energia potencial gravitacional, sea ia trayectoria del cuerpo recta o curoa. .__'_'_'_l'_'_',_",í :ï:j¦'T"' _ i;'1'1;iå É pablo Resaltar 7.l I Energía potencial gravitacional 249 UT' 1 = :.'l .L Il'†' ' _T_.'.C.;T'` .É Se batean dos bolas idénticas con la misma rapidez inicial pero dis tintos ángulos iniciales. Demuestre que, a una altura dada fr, ambas bolas tienen la misma rapidez si puede despreciarse la resistencia del aire. sotucléu Si no hay resistencia del aire, la única fuerza que actúa sobre cada bola después de ser bateada es su peso, asi que la energia mecánica total de cada una es constante. La figura 7.6 muestra las trayecto rias de dos bolas bateadas a la misma altura con la misma rapidez inicial jr por tanto la misma energia mecánica total, pero con dife rentes ángulos iniciales. En todos los puntos con la misma altura, la energia potencial es la misma, asi que la energia cinética a esta al tura debe ser igual para ambas bolas y su rapidez es idéntica. ..,¬.__ .¬ En el ejemplo 3.10 (seccion 3.3), dedujimos una expresión para la altura máxima F: de un proyectil lanzado con rapidez inicial vn, a un angulo cin: ¡T = of senï ci., 2a Deduzca esta expresión empleando consideraciones de energia. IDEHTIFICÁH v PLANTEÄR: Hacemos caso omiso de la resistencia del aire, así que, igual que en el ejemplo conceptual 7.3, la energía ji' 2 U2¿.{U2J_, = _ Un . iz UIFP | I Ú U Lt' cero E K U E _It' U Punto 1 (3: = U] Punto 2 (__v = Ft) 17.? Travectoriade un proyectil. _ .».¡ dé¬_ _».:.ï._í. __I.¿_ 1 .."_I'\ 1 ' :í '_ miEU.. í " †'P¦'†| "' |'|¦ì' _íå 17 Íï1'_"'¦l'¶!'ÍE Energia en el movimiento de proyectiles "l¡! ¿_ __ __ ____ __ E' K U En 3,* = .lt ' cero I E K U Ú En 3,1 = Q 7.6 Para la misma rapidez y altura inicial, la rapidez de un proyectil a una altura dada Ii. siemprees la misma si se desprecia la resistencia del aire. ` _ ìI¡,¡'¡ Í If.:HT, íÍÍ|† F¦ ï_:Lí¿Ifld¦Z _ '= Altura máxima de un proyectil, usando métodos de energia mecánica total se conserva. Sea cl punto 1 el punto de lanzamiento, donde la rapidez es U 1 = U0, y sea el punto 2 el cenit de la trayecto ria (Fig. 7.7). La incógnita es la altura maxima h, donde la energía cinética es minima y la energía potencial gravitacional es maxima. El problema parece fácil: la energia_po_tencial_en el punto 2 es U2 = mg fr, por lo que aparentemente solo necesitamos es despejar U2 de la ecuación de conservación de la energia', K, t U1 = K, + U3. Sin embargo, aunque conocemos las energías cinética v' potencial ini ciales (K, = årnvf = åinvüi y U1 _= 0), no conocernos la rapidez ni la energía cinética en el punto 2. Para superar esta deficiencia, usaremos dos resultados relacionados con el movimiento de pro yectiles que obtuvimos en el capítulo 3: (_ 1) la componente x de la aceleración es cero, así que la componente .ir de la velocidad es constante, y (2) laic omponente y de la velocidad es cero en el pun to 2 (el cenit de la trayectoria). EJECUTAR: Podemos expresar la energia cinética en cada punto en términos de las componentes de la velocidad usando ni = of + nf: l Ki Z š.lil'Í(U]¿.2 `l“ Ullgl) 1 'Í 'F Kg Z `à'fl'1(U2¿.. 'l' U2). ) 11| La conservacion de la energia da K, + U1 = K; + U2, asi que 1 1 , ïnrlulf + t1¡_,,2) l U = 5 rn(U¿,,2 + o¿_,,') + mgh Para simplificar, multiplicamos todo por Éfrn, obteniendo UL? `l` ll.. 7] ¡ig 1 ll. ¡lg ` `l_ UETÉ “l” .FìíLilL | 1 rw runn 'l 1 __. _ï¬_u.r 25Ú c a P iT U L o 7 I Energía potencial y conservación de la energia Ahora usatnos nuestros resultados para el movimiento de proyectiles. Sin embargo, n1_,, no es mas que la componente y de la velocidad ini Puesto que la componente .ir de la velocidad no cambia, u,_, = ug, y cial, igual a ug sen du. Sustituyendo y despejando iz obtenemos podremos cancelar los términos 11,2 de ambos miembros de la ecua ción anterior. Ademas, puesto que el proyectil tiene velocidad verti cal cero en el punto más alto de su movimiento, ug. = U. Asi, tenemos UU? : nisengcrti ua=_ ~ 2a EVALUAR: Esto concuerda con el resultado del ejemplo 3.1tl, corno debe ser. Imagine que su primo Tito baja en patineta una rampa curva en un parque. Tratando a Tito y su patinete como una partícula, ésta des cribe un cuarto de circulo de radio R (Fig. 7.8). La masa total de Ti to y su patineta es de 25.0 kg. Tito parte del reposo y no hay fricción. (a) Calcule su rapidez en la base de la rampa. (b) Calcule la fuerza normal que actúa sobre él en ese punto. s IDENTIFICAR: No podemos usar las ecuaciones de movimiento con aceleración constante; la aceleración no es constante porque la pendiente disminuye a medida que Tito desciende. En vez. de ello, usaremos el enfoque de energía. Dado que Tito se mueve en un ar CEIÚ I sao U1=U J/Í u to l DE W / Él R Nivel de referencia Cálculo de rapidez en un circulo vertical co circular, también usaremos lo que aprendimos acerca del movi miento circular en la sección 5.4. PLANTEAR: Puesto que no hay fricción, la única fuerza ademas del peso de Tito es la fuerza normal E ejercida por la rampa (Fig. '?.Sb}. Aunque ii actúa en toda la trayectoria, no efectúa trabajo porque siempre es perpendicular a la velocidad de Tito. Asi, W,,,,,, = U y se conserva la energía mecánica total. Llamemos 1 al punto de partida y 2 a la base de la rampa, y sea y = O en la base (Fig. 7.8a). Entonces, y, = R y yy = Cl. (Estamos tra tando a Tito como si toda su masa estuviera concentrada en su cen tro.) Tito parte del reposo en el tope, asi que ul = O. La incógnita en la parte (a) es su rapidez en la base, nl. En la parte (lo), nos interesa la magnitud n de la fuerza normal en el punto 2. Puesto que esta fuerza no efectúa trabajo, no aparece en la ecuación de energia, asi que usaremos la segunda ley de Newton. H; 2 Punto 2 tv iv ÚETD (ai .s K U un 18 (a) Tito baja en patineta por una rainpa circular sin fricción. La energia mecanica total es constante. (b) Diagramas de cuerpo libre de Tito y su patinete en varios puntos de la rampa. ¬.¡. . ai 7.1 I Energia potencial gravitacional 251 EJECUTAR: a) Las diferentes energias son K1 = U U¡ = rngR l 1 Kg : 5.l'll'1'.l'. l2_ U2 = D Por la conservación de la energia, K, + U, = K, + Uy 1 lU I mgR = Earn; + U U2 : lv' La rapidez es la misma que si Tito hubiera caido verticalmente una altura R, y es independiente de su masa. Como ejemplo numérico, sea R = 3.00 m. Entonces tf, = \/zrasc mae) (3.00 m) = mi me Cabe señalar que esta respuesta no depende de que la rampa sea circular; sea cual sea la forma de la rampa, Tito tendrá la misma rapi dez ng = \/Ze? en la base. Esto se cumpliría aunque las ruedas de su patinete perdieran contacto con la rampa durante la bajada, porque la fuerza gravitacional seguiría siendo la única que efectúa trabajo. b) Para obtener n en el punto 2 empleando la segunda ley de Newton, necesitamos el diagrama de cuerpo libre en ese ptmto (Fig. 7.813). En el ptmto 2, Tito se mueve con rapidez n 1 = "\/2?' en un círculo de radio R; su aceleración es hacia el centro del circulo y tiene magnitud Circulo vertical con fricción En el ejemplo 7.5, suponga que la rampa tiene fricción y la rapidez de Tito enla base es de sólo 6.00 mis. ¿Qué trabajo efectuó la fuer za de fricción sobre el? Use R = 3.00 m. IDENTIFICAR y PLANTEAR: Usamos el mismo sistema de coorde nadas y los mismos puntos inicial y final que en el ejemplo 7.5 (Fig. T9). Una vez més, la fuerza normal no realiza trabajo, pero ahora hay una fuerza de fricción que si efectúa trabajo. Por tanto, el trabajo no gravitacional efectuado sobre Tito entre los puntos 1 y 2, lfF`,,,,¬,,,,_es igual al trabajo efectuado por la fricción, lïífa Ésta es la incógnita, que obtendremos con la ecuación (7.7). EJECUTAR: Las energías son K | Z U U, = rngR = (25.0 kg)[9.SU tuƒsfj (3.00 m) = 735 J 1 | _rr, = šiatff = ;(as.o kg) (ano mc=.)1 = 45o J U2 = U Por la ecuación (TT), W,»= KE + U1 K¡ U, .=45DJ+D ¬ü 735J= ¬¬285J hIU12_2gR_ .tìtmcl É T Ég Si tomamos la dirección +y hacia arriba, la componente y de la se gunda ley de Newton es = rt + ( iv) = rnctmd = Ílrng n = ur l Érng = Érrtg En el punto 2, la fuerza normal es el triple del peso de Tito. Este re sultado es independiente del radio de la rampa. En los ejemplos 5.10 (sección 5.2) y 5.25 (sección 5.4) aprendimos que la magnitud de ii es el peso aparente, asi que Tito sentiré que tiene tres veces su peso real ing. Sin embargo, tan pronto como llegue a la parte hori zontal de la rampa a la derecha del punto 2., la fuerza normal baja ra a iv = reg, y Tito se sentiré. normal. ¿Entiende por qué? EVALUAR: Este ejemplo ilustra una regla general acerca del papel de las fuerzas en problemas en que usamos técnicas de energia: lo que importa no es sólo si actúa una fuerza, sino si efectúa trabajo. Si no es asi, como en el caso de la fuerza normal si en este ejemplo, no aparece en la ecuación (?.'i')_, K, + U1 + lfi”,,,,, = K; + U2. Observe que tuvimos que usar rn, un el enfoque de energia como la segunda ley de Newton para resolver este problema; la conserva ción de energia nos dio la rapidez, y EE = md nos dio la fuerza normal. En cada parte del problema usamos la técnica que más fá cilmente nos lleva a la respuesta. El trabajo efectuado por la fuerza de fricción es 285 J, y la ener gía mecánica total disminrrye en 285 J. ¿Entiende por qué Wf debe ser negativo? f=U Puntol *rr = U uk /l f H R tv 'll f n CBTD L` H Pt '32 :_ 1 .¬ .1 W f 1Í Punto _ I 'H ' ' iv I | cero E K' U 7.9 Diagrama de cuerpo libre de Tito bajando en patineta una rampa con fricción. La energia mecanica total disminuye con forme Ti to baja. 'FÉ' | n¶¡ ri F Ira E l _.fllQ.__ tii _ 252 C A P Í T U L o T I Energia potencial y conservación de la energía EUALUARI El movimiento de Tito está determinado por la segunda ley de l'~le\vton, ÉF = ind. Pero seria muy dificil aplicar esa ley di rectamente al problema porque las fuerzas normal y de fricción, asi como la aceleración, estan cambiando continuamente de magnitud y dirección conforme Tito baja. El enfoque de energia, en cambio, fi ¡ L Plano inclinado con friccion Queremos subir una caja de 12 kg a un camión deslizandola por una rampa de 2.5 m inclinada 30°. Un obrero, sin considerar la fric ción, calcula que puede subir la caja dandole una rapidez inicial de 5.0' mis con un empujón en la base. Sin embargo, la fricción no es despreciable; la caja sube 1.6 m por la rampa, se para, y regresa (Fig. '?.1tl], a) Suponiendo que la fuerza de fricción que actóa sobre la caja es constante, calcule su magnitud. b) Qué rapidez tiene la ca ja al volver a la base de la rampa? IDENTIFICAR: La fuerza de fricción que efectúa trabajo sobre la caja mientras ésta se desliza. Igual que en el ejemplo 7.2, obtendre mos la magnitud de la fuerza no gravitacional que efectúa trabajo (en este caso la fricción) con el enfoque de energia. Una vez que co nozcamos la magnitud de esa fuerza, podremos calcular cuánto tra bajo no gravitacional efectúa mientras la caja se desliza rampa abajo. Entonces podremos usar el enfoque de energia otra vez para obtener la rapidez de la caja en la base de la rampa. PLANTEAR: La primera parte del movimiento es del punto l, la ba se de la rampa, al ptmto 2, donde la caja se para instantáneamente (Fig. T,l Da). En la segunda parte del movimiento, la caja vuelve a la base de la rampa, que llamaremos punto 3 (Fig. 7. lüb). Tomare mos y = 0 [y por tanto U= U) en el piso, asi queyj = 0,3/2 = (1.6 m) sen 3Iì° = [LSD m yy, = 0. Nos dicen que ti, = 5.0 mis y uy = 0 (la caja esta instantaneainente en reposo en el punto 2). La incógnita en la parte (al esf la magnitud de la fuerza de fricción, que obtendre mos con la ecuación (7.7). En la parte (la), la incógnita es U3, la ra pidez en la base de la rampa. EJECUTAR: a) Las energias son K, = å(12tg)(.5.oma)t =15oJ U, = 0 rr, = o U, = (12 1<g)(9.s mfs1)(o.sc rn) = 941 PF otras E _.ƒšl donde ƒ es la magnitud desconocida de la fuerza de fi icción y s = l.ó m. Usando la ecuación (7.7), obtenemos K] `l` lll. 'r1“l` Wnu1q:K2+U2 Wotras " ff _ (Ki + U2) _ (Ki + Ut relaciona los movimientos en el tope y la base de la rampa sin im plicar los pormenores de lo que sucede en medio. Muchos proble mas son faciles si usamos consideraciones de energía y muy complejos si tratamos de usarlas leyes de Newton directatnente. La fuerza de fricción de 35 N, actuando a lo lmgo de 1.6 m, reduce la energia mecanica de la caja de l50 a 94 J. (Fig. T. lüc). b) La c aja vuelve al punto 3 en la base de la rampa; yy, = 0 y U3 = tl (Fig. T. lDb). Éjççl U2 = 'El 5.0 m. "s \ ' =c CBTD I CETD I I C'ÉI`CI ) ilƒ (K,+U,) (K,+U,) C .e si U E K U E s' U S D 94] _ 150] fl_ ii + > f + ii,m, l.óm ` Punto 1 Puntoì Punto 3 7.10 (a) Una caja sube deslizándosepor tma rampa, se para y Lt I(b) baja. (c) Gráficas de barras de energia para los puntos l, 2 y 7.2 I Energía potencial elástica 253 rección pero tienen las mismas magnitudes, asi que el trabajo por : i' = 2 5 TU ¡S fricción tiene el mismo valor negativo en cada mitad del viaje, y ei total entre los puntos l y 3 es Al bajar, la fuerza de fricción y el desplazamiento invierten su di .'2¡:33 J) ui _ \/ la \i iz ag EVALUAR: Dbserve que la rapidez de la caja cuando regresa a la `W“"““ : WW Z _2fil = _2(35 N) l L6 m) : nl 12 J base dela rampa, U3 = 2.5 mfs, es menor que la rapidez n1= 5.0 rnƒs Por la parte (. gi), K, = 150 J 1,: U, = 0, La ecuación (T_T) da con que salió de ese punto. Eso esta bien: se perdió energia debido a la fricción, Ki + U] + Wmfü : Ki + U3' En la parte (b) aplicamos la ecuación ("i'.'?) a los puntos 1 y 3, K li = Xi 'l' U1 _ Us `l` Weiss considerando el viaje redondo en conjunto. También podriamosha : 150' l 'l' Ú " 0 + (_l12 l) : 33 J ber considerado sola la segunda pa.rt.e del movimiento, aplicando la ecuación (7.7) a los puntos 2 y 3. lnténtelo y vea si obtiene el misLa caja vuelve a la base de la rampa con sólo 38 J de los 150 J ori mo valor de U3.ginales de energia mecanica (Fig. T. 1 Dc). Usando K; I åi ri.o¡,2, ob tenemos _ _.. ¬ |¬¬¬ .uu sua. _. in |..a un rr H .f:fl± |' .'..'.'D:.___._._'' ' _¦_¡_ _ fïf.. N' _; "_ ' ' '. ."."n'å.'1'_`.'I'.f1"Z"|'.T."Z".TEí» ÉZÍ1 La figura 7.11 muestra dos rampas distintas sin fricción. Las alturas yy y yy son iguales en cada rampa. Si un bloque con masa rn se suelta del reposo desde el ex tremo izquierdo de cada rampa, ¿cuál bloque tendrá mayor rapidez al llegar al extre mo derecho? ¡"._ "| I 7.11 Dos rampas con las inisiiias ji, y yy. 7.2 | Energia potencial elástica Cuando un vagón de ferrocarril choca coii un parachoques de resorte al final de la via, el resorte se comprime y el vagón se para. Si no hay fricción, el resorte rebo ta y el vagón se aleja con su rapidez original en la dirección opuesta. Durante la interacción con el resorte, la energia cinética del vagón se “guardó” en la defor mación elástica del resorte. Algo similar ocurre en una liga de hule de una resor tera. La fuerza que estira la liga efectúa trabajo sobre ella, el cual se almacena en la liga hasta que se suelta. Entonces, la liga imparte energia cinética al proyectil. Éste es el mismo patrón que vimos en el martinete de la sección 7.1: efectuar trabajo sobre el sistema para almacenar energia, que después se convierte en ener f gia cinética. Describimos el proceso de guardar energia en un cuerpo deformable, 112 E1 tenggn de ,±«,qu¡1gS, ,_ ¿ue ,fa ¿É 1,, como un resorte o una liga, en términos de eiiergilz poten.ci`ol aiii. rticn (Fig. 7.12). parte de atras del tobillo al hueso del talón, Un cuerpo es elástico si recupera su forma y tamaño originales después de defor HCUÍIH C Dlïlfl 1 111 fväüflv Hfilïlfiil Úlfifliïliì' SE estira y luego se relaja, el tendón almacenamarse. Específicamente, consideraremos el almacenamiento de eiiergia en un re _ _ , _ , ,y despues libera energia potencial elasuca. sorte ideal como los dela seccion 6.3. Para mantener un resorte ideal estirado una Esta accmn ¿B 1_ESm_tE__ reducü E¡ nba] U distancia x, debemos ejercer una fuerza F = llcr, donde il: es la constante de fuerza que 105 músculüs de 13 pierna daban del resorte. Esta es una idealización útil porque muchos cuerpos elásticos exhiben efectuar al correr. pablo Resaltar pablo Resaltar pablo Resaltar Cuerpo elastico pablo Resaltar li 'i ' _› 254 ¦T__ = ri .'. __ 1 I lt il | D* '_ `fi¬"1 ' _ 0,1. á I FFCSDHG tb) :T tí li" Ti'_¬"1 _.¡, ,,¿¬ I ¿ sevrrsvvrlvtar Gi _, um l Frcsnrle (G1 mí | le .=;,i¦ 1 r _,*P 0 `F1'tì"SIZ!'1`lÉ (dl ?.13 (a) Bloque conectado a un resorte en equilibrio (ir = D) en una superficie horizontal. (b) Cuando el resorte sufre un estiramiento, efectúa trabajo negativo sobre el bloque. (c) Cuando el resorte se relaja, efectúa trabajo positivo sobre el bloque. (d) Un resorte comprimido también realiza trabajo positivo sobre el bloque al relajarse. ii? C al PÍT U L o 7 I Energia potencial y conservación de la energia tal proporcionalidad directa entre la fuerza F y el desplazamiento x, siempre que .t no sea demasiado grande. Procedemos igual que con la energia potencial gravitacional. Comenzamos con el trabajo realizado por la fuerza elástica (del resorte) y lo combina.mos con el teorema de trabajo energia. La diferencia. es que la energia potencial gravitacional es una propiedad compartida de un cuerpo y la Tierra, pero la elástica sólo se al macena en el resorte (u otro cuerpo deformable). La figura 7.13 muestra el resorte ideal de la figura 6.15, con su extremo iz quierdo fijo y el derecho conectado a un bloque de masa ni que puede moverse so bre el eje x. En la figura 7. 13a, el cuerpo está en x = 0 con el resorte ni estirado ni comprimido. Movemos el bloque lateralmente, estirando o comprimiendo el re sorte, y lo soltamos. Al moverse el bloque de una posición x, a otra posición xy, ¿curšuito trabajo realiza la fuerza. elástica sobre el bloque? En la sección 6.3 vimos que el trabajo que debemos efectuar sr; bre el resorte para mover un extremo desde tin alargamiento .r:, a otro distinto x, es 1 l W = ïkxf šk_r,2 (trabajo efectuado soi: ra un resorte) donde k es la constante de fuerza del resorte. Si estiramos mas el resorte, realiza mos trabajo positivo sobre él; si lo dejamos relajarse sosteniendo un extremo, rea lizamos trabajo negativo sobre él. También vimos que esta expresión para el trabajo sigue siendo correcta si el resorte se comprime, en vez de estirarse, de mo do que x, o x2, o ambos, son negativos. Ahora nos interesa el trabajo efectuado por el resorte. Por la tercera ley de Newton, un trabajo es el negativo del otro. Cam biando los signos en la ecuación, vemos que, al desplazarse de x, a xy, el resorte efectúa un trabajo W,, dado por l l We, = ïkxfi šitxƒ (trabajo efectuado por un resorte) El subindice “el” significa elástico. Six, y Jr, son positivos y Jr, `;> x, (Fig. T.13b), el resorte efectúa trabajo negativo sobre el bloque, que se mueve en la dirección +x mientras el resorte tira de él en la dirección x, El resorte se estira mas y el bloque se frena. Si ic, y x, son positivos y x, =rï ic, (Fig. 7.13c), el trabajo del resor te es positivo al relajarse y el bloque se acelera. Si el resorte puede comprimirse, x, o x,, o ambos, pueden ser negativos, pero la expresión para W,,, sigue siendo válida. En la figura 7.l3d, ir, y sf, son negativos, pero ic, lo es menos; el resorte comprimido efectúa trabajo positivo al relajarse, acelerando al bloque. Como hicimos con el trabajo gravitacional, podemos expresar el trabajo del re sorte en términos de una cantidad dada al principio y al final del desplazamiento. Esta cantidad es ljkxf, que definimos como la energía potencial elástica: l U = ïkxf (energia potencial elástica) (7.9) La figtira 7.14 es una grafica de la ecuación (T9). La unidad de U es el joule (J), la misma de todos las cantidades de energia y trabajo; esto es evidente en la ecuación (7.9) si recordamos que las unidades de ir son Nfm y que l N m = l J. pablo Resaltar pablo Resaltar pablo Resaltar pablo Resaltar pablo Resaltar pablo Resaltar pablo Rectángulo Energia potencial elastica _,__ 7.2 I Energia poteiicial elástica Podemos usar la ecuación (7.9) para expresar el trabajo W,, efectuado sobre el bloque por la fuerza. elástica en términos del cambio en la. energia potencial: 1 1 , We! : škxlg _ škxf : U1 _ U2 Z Si un resorte estirado se estira más, como en la figura 7. l3b, l/V,,, es negativo y U nrrarenin; se almacena más energia potencial en el resorte. Si un resorte estirado se relaja (Fig. 7. l 3c), x disminuye, W,,, es positivo y U disnri`nrrye; el resorte pier de energia potencial elástica. Los valores negativos de .r corresponden a un resor te comprimido pero, como muestra la figura 7.14, U es positiva para .:t tanto positiva como negativa, y las ecuaciones (7.9) y (7.10) son válidas en ambos ca sos. Asi, cuando un resorte comprimido se comprime más, W,, si 0 y U aumenta; si un resorte comprimido se relaja (Fig. 7.13d), WC, .`> 0 y U disminuye. Cuanto más se comprime o estira un resorte, mayor es su energia potencial elástica. ÉUna diferencia importante entre la energía potencial gravitacio nal U = iagyy la elástica U = åitr 2 es que no podemos escoger .r = 0 donde nos plazca. Para que sea congruente con la ecuación (7.9), .tf = O debe ser la posición en la que el resorte no está ni estirado ni comprimido. Ahí, su energía potencial elástica y la fuerza que ejerce son cero. El teorema de trabajo energia dice que W,,,, = K, K`,, sin importar qué fuer zas actúen sobre el cuerpo. Si la fuerza elástica es la :laica que realiza trabajo so bre el cuerpo, l' Vier = Wei = U1 _ U2 El teorema de trabajo energia W,,,, = K, K, nos da entonces K, + U, = K, l U, (si sólo la fuerza elásticarealiza trabajo)(7.l1) Aqui, U está dada por la ecuación (7.9), asi qtie 1 . 1 , 1 , 1 Errivf + škxff = širivf + škx ,E (7.12) (si sólo la fuerza elástica realiza trabajo) En este caso, la energia mecánica total E = K + U (la suma de las energias cinéti ca y potencial elástica) se conservo. Un ejemplo es el movimiento del bloque de la figura 7.13, siempre que la superficie horizontal no tenga fricción y ninguna fuerza además de la ejercida por el resorte efectúe trabajo. Para que la ecuación (7.12) sea estrictamente correcta, el resorte ideal no debe tener nrnsn; si la tiene, también tendrá energia cinética al moverse las espiras del resorte. Podemos despreciar la energia cinética del resorte si su masa es mucho menor que la masa .vr del cuerpo conectado al resorte. Por ejemplo, un auto común tiene una masa de 1200 kg o más. Los resortes de su suspensión tienen masas de unos cuantos kilogramos, asi que podemos despreciarlas si queremos estudiar có mo el atito rebota sobre su suspensión. 255 U ïíï_L.__ _ïï±,. ïïl _± ¬ 1 $11 11 I reo ò sao (comprimido) (extendido) 7.14 La gráfica de la energia potencial elástica para un resorte ideal es una parábola: U = jkf, donde x es la extensión o compresión del resorte. En el caso de una extensión (estiramiento), .t es positiva. En una compresión (si es posible), .ic es negativa. La energía potencial elástica U nunca es negativa. u¬ _ï_` _¡___ I pablo Resaltar !!! pablo Rectángulo pablo Resaltar pablo Resaltar 256 7.15 La caida de una persona atada a un bungee implica interacciones entre energia cinética, energia potencial gravitacional y ciiergia potencial elástica. Sin embargo, la energia mecánica no se conserva porque tanto fuerzas de fricción dentro del bungee como la resistencia del aire tainbién efectúan trabajo. Esto es bueno: si la energia mecánica se conservara, la persona seguiría rebotando eternamente. _FT I'__ . "r r: .ft P ir U L o 7 I Energia potencial y conscrvacióii de la energia Si otras fuerzas además de la elástica efectúan trabajo sobre el cuerpo, llama mos a su trabajo W,,,,,,, igual qtie antes. Entonces, el trabajo total es lflf',,,, = WL., + lfV,,,,,,, y el teorema de trabajo energia da H/el l Wotrm : KE _ Ki El trabajo realizado por el resorte sigue siendo W_,, = U, U,, asi que, otra vez, K, + U, + W,,,,,, = K, + U, (7.13) (si otras fuerzas aparte de la elástica efectúan trabajo) VJ l. 1 l ¬ 1 ' š'??'IU¡g l“ 12l" WD[|_aS : 51 3 ¡Ud ,C + EÉIEÉ __ (si otras fuerzas aparte de la elástica efectúan trabajo) Esta ecuación muestra que el tinónjo realizado por todos t'r:rs_,fi.ierzris aparte de la elástica es igual' ni ccurróio de energia rr r.acrinr'cc roto! E = K + U del .rrÍsrfenrc, tiende U es lo er iergin ,potencial eld.str`co. El “sistema” se compone del cuerpo de masa ni y el resorte de constante ir. Si W,,,,,,,, es positivo, E aumenta; si W,,,,,,, es ne gativo, E disminuye. Compare la ecuación (7.14) con la (7.8), que describe situa ciones en las que hay energia potencial gravitacional pero no elástica. Situaciones con energia potencial tanto gravitacional como elástica Las ecuaciones (7.1 l), (7.12), (7.13) y (7.14) soii válidas si la única energía poten cial del sistema es la elástica. ¿Qué sucede si tenemos fuerzas tonto gravitaciona les conto elásticas, digamos un bloque conectado al extremo inferior de un resorte que cuelga verticalmente? Aún podemos usar la ecuación (7.13), pero ahora U, y U, son los valores inicial y final de la energia potencial total, que incluye la gra vitacional y la elástica (U: Ug,,,,. + U,,,). Asi, ln e.'r,nresióri airis general de la rela ción entre energía cinética, energia potencial y trabajo realizado por otras fuerzas es K] + Ugrav',l + Uc.l,l + ppiitras : KE l Ugrat',2 l 'U el,'l (válida en general) ' Esto es, el trabajo realizado por todas las fuerzas aparte de la gravitacio nal ola elástica es igual al cambio en la energía mecánica total E = K + U del sistema, donde U es la suma de las energías potenciales gravitacional y elásti ca. Si las fuerzas gravitacional y elástica son las riirrfc. :rs que efectúan trabajo sobre el cuerpo, W,,,,,,, = 0 y la energia mecánica total (que incluye energias potenciales gravitacional y elástica) se conserva. El salto con bungee (Fig. 7.15) es un ejemplo de transformaciones entre ener gia cinética, energia potencial elástica y energia potencial gravitacional. Al caer la persona, la energia potencial gravit.acional disminuye y se convierte en la energia cinética del saltador y la energia potencial elástica del bungee. Más allá de cierto punto de la caida, la' rapidez dela persona disminuye, con lo que tanto la energia potencial gravitacional como la energia cinética se convierten en energia poten cial elástica. pablo Rectángulo !!! pablo Resaltar Muy importante para los problemas pablo Rectángulo pablo Resaltar pablo Resaltar pablo Resaltar 7.2 I Energia potencial elástica La estrategia bosquej ada en la sección 7.1 es igualmente útil para resolver pro blemas que implican fuerzas elásticas además de gravitacionales. Lo único nuevo es que ahora U incluye la energia potencial elástica U,,, = jkxf, donde .tt es el des 2 57 est'r,Physics plazamiento del resorte respecto o su longitud no estirado. La energia potencial da cuenta del trabajo realmado por las fuerzas gravitacional y elástica; el trabajo de las otras fuerzas, W,,,,,,,, debe incluirse por separado. _ En la figura 7. lóa, un deslizador de masa ni = 0.200 kg descansa en un riel de aire horizontal, sin fricción, conectado a un resorte con k = 5.00 Nim. Se tira del deslizador, estirando el resorte 0.100 m, y luego se suelta con velocidad inicial cero (Fig. 7.l6b). El deslizador regresa a su posición de equilibrio (.t = 0). ¿Qué velocidad tiene cuando x = {}.ü3U m? sotución IDENTIFICAR: Dado que la fuerza del resorte varía con la posición, este problema no puede resolverse con las ecuaciones para movi miento con aceleración constante; usaremos el método de energia para obtener una solución sencilla. En particular, utilizaremos la idea de que, al comenzar a moverse el deslizador, la energia poten cial elástica se convierte en cinética. (E1 deslizador permanece a la misma altura durante todo el movimiento, asi que la energia poten cial gravitacional no es factor). .r=0 (H) Cfifü CÉFD BETO' Punto 1 [bj cero ___? E K U Punto 2 tel _ss tr 5.4 Salto inverso con bungee 5.5 Bolos con impulso de resorte Movimiento con energia potencial elástica PLANTEAR: La fuerza del resorte es la única que efectúa nubajo sobre el deslizador, asi que W,,,,,,, = 0 y podemos usar la ecuación (7.11). Sea el punto 1 donde se suelta el deslizador (Fig. 7.lób), y el 2, en .ir = 0.080 m (Fig. 7.l6c). Conocemos la velocidad en el punto 1 (_u,, = 0); la incógnita es la velocidad .r en el punto 2, n,_,,. EJECUTAR: Las energias son 11<,= ï(o.2co 1<g)(0)i = o 1 U, = ;(5.00 ni'm)(O.lUU m)2 = U.D'250.l [\.Jo ›I JI I Ka = _mUzi2 U, = ¬ (5.00 Nƒm)'((l.(l3Ú m)2 = lÍI.0lóüJ o=U 7.15 (a) Deslizador de riel de aire conectado a un resorte. (b) Se agrega energia potencial elástica al sistema estirando el resorte. (c) La energia potencial elástica se transforma en energia cinética cuando el deslizador ' regresa hacia su posición de equiiiìzaio. pablo Resaltar pablo Resaltar longitud de x, energia potencial elastica 253 c it Pi T U L o 7 I Energía potencial y conservación de la energia Entonces, por la ecuación (7.11), ' K, = it', I U, U, = U + tl.()25U.T Ú.ü16tlJ = 0.0090 J _+ 2x,_+ l2(o.ooaoi) _+030 F, l'7t__\l si __"\ ozooirg __' mg Escogemos la raiz negativa porque el deslizador se está moviendo en la dirección sc; la respuesta que queremos es r.r,, = 0.30 mis. EVA|.UAH¦ ¿Qué significa la segunda solución, o,_, = +1130 mis? En algún momento, el resorte se comprirnirá y empujará el deslizador por otras fuerzas Para el sistema del ejemplo 7.8, suponga que el deslizador está en reposo en .tf = U, con e_l resorte sin estirar. Usted aplica al deslizador una fuerza constante F en ladirección +x con rnagnitud de 0.610 N. ¿Qué velocidad tiene éste cuando .t = 0.100 m? IDENTIFICARI Aunque la fuerza aplicada fi' es constante, la fuerza del resorte no lo es, asi que la aceleración del deslizador no es cons tante. La energia mecánica total no se conserva a causa del trabajo efectuado por F, pero aun asi podemos usar la relación de energia de la ecuación (7.13). PLANTEAR: Tomemos como punto 1 en .ir = 0, donde la rapidez es o,_, = U, y como punto 2, x = 0.160 m (no son los mismos puntos ro tulados en la figura 7.16). La incógnita es o,,, la velocidad en el punto 2. EJECUTAR: Las energias son K] = 0 U] = U 1 1 1 1K, = irn.u,,_.' U, = š(5.l}0 Nim) (0.100 m)“ = 0.02501 ir,,,,, = (o.s1cN)(o.ioorn) = uosioi las demás fuerzas En el ejemplo 7.9, suponga que Í? deja de actuar cuando el desliza dor llega al punto .r = llltlü m. ¿Cuánto más avanza el deslizador antes de parar? I IDEHTIFICARI Al quitarse fi' la fuerza del resorte es la única que efectúa nubajo asi que eii esta parte del movimiento la energia me cánica total E = K+ U se conserva. hacia la derecha (la dirección +x) (véase la Fig. 7. l Sd). La segunda solución nos dice que, cuando el deslizador pase por ..t = U.DSlÍ.l rn moviéndose hacia la derecha, su rapidez será de 0.30 mis: la misma que cuando pasó por este ptmto moviéndose hacia la izquierda. Cuando el deslizador pase por el punto Jr = 0, el resorte estará re lajado y toda la energia mecánica estará en fomta de energia cinéti ca. ¿Puede demostrar que la rapidez del deslizador en ese punto es de (1.50 ntfs? Movimiento con energia potencial elástica y trabajo efectuado (Para calcular W,,,,,.,,, mult.iplicamos la magnitud de la ftierza por el desplazamiento, ya que ambas tienen la dirección +.r.) Inicialmen te, la energia mecánica total es cero; el trabajo realizado por F au menta la energía mecánica total a 0.0610 J, de los que tl.t]25l} J corresponde a energia potencial elástica. El resto es energia cinéti ca. Por la ecuación (7.13), Ki+Ui+Waaa . =K2+Ui Kz=Ki`l`Ui`l`Werras"`Uz = O l 0 l 0.0610] ¬ 0.0250] = 'U.Ú3i5Ú.l /zx, /2.(c.c3a:iJ) 060 ¡_ Dll __ ni 0.200 kg ' m 5 Escogemos la raiz cuadrada positiva porque el deslizador se mueve en la dirección +.r. _ EVALUAR: Para verificar la respuesta, piense en que cambiaria si desconectáramos el deslizador del resorte. Entonces, fi' seria la úni ca firerza que efectúa trabajo, la energia potencial seria cero en to do momento y la ecuación (7.13) nos daria K, = K, + W,,,,,, = 0 + oneioi _ air, 2(c.osioi)_mS J, ”1”_\l ai '\l rtzncifg 7' mi Obtuvimos una velocidad menor que este valor porque el resorte efectua trabajo negativo sobre el deslizador al estirarse. Movimiento con energia potencial elástica al dejar de actuar PLANTEAR¦ Tomaremos el punto 2 en st = tllütl m, como en el ejemplo 7.9, y sea el punto 3 el punto donde el deslizador está ins tantáneamente en reposo. La incógnita es la coordenada sr, de este pimto. Obtendremos su valor empleando las expresiones para con servación de la energia, ecuación (7.1 l), junto con la relación U = jkxfpara la energia potencial elástica. EJECUTAR: Vimos en el ejemplo 7.9 que las energias cinética y po tencial en el punto 2 soii K, = lIl.lÍl3 ótl J y U, = tl.tl25il .l, respectiva 7.?. I Energia potencial elástica 259 mente. Por tanto, la energia mecánica total en este punto y más adelante es K, + U, = tl.tlól0 J. Cuando el cuerpo se para en .rr =.r:,, la energia cinética K, es cero y la energia potencial U, es igual a la energia mecánica total de 0.0610 J. Esto también se deduce de K, + U, = K, + U,: . tr, = s, + o, Jr, = 0.03601 + 0.0250 J o = acero J Pero U, = %k.t,f,asi que _ %_ /z(o.os1ci)_O156 '“"'“`\' ir X s.ooi vm " m En una situación de diseño “de peor caso", un elevador de 2000 kg con cables rotos cae a 25 nus cuando hace contacto con unresorte amortiguador en el fondo del cubo. Se supone que el resorte debe detener al elevador, comprimiéndose 3.00 m al hacerlo (Fig. 7.17). Durante el movimiento, un freno de seguridad aplica una fuerza de fricción constante de 17,l]D0 N al elevador. Imagine que es un con sultor de diseño y le piden determinar que constante de fuerza debe tener el resorte. IDENTIFICAR: Lisaremos el enfoque de energía para determinar la constante de fuerza que aparece en la expresión de eiiergia poten cial elástica. Ubserve que en este problema intervienen energias potenciales tonto gravitacional corno elástica. Además, la energia mecánica total no se conserva porque la fricción realiza trabajo nc gativo ii',,,,.,,_, sobre el elevador. PLAl'tlTEAR¦ Puesto que la energia mecánica no se conserva e inter vienen dos tipos de energia potencial, usaremos la forma más gene ral de la relación de energia, la ecuación (7.15). Tomaremos como punto l la posición de la base del elevador cuando recién entra en ._____,I1I1 '_›..f`:':_ ¡ ¬ ¢.1.LI,..'_L mi: '¿ I l| = ' UÉZD 25 mis .T I.¡. H ' = s rs Ii j _ ._` "_ _ ' =|'l' .`.='!L 'iL|'¦\.Ti.'31. 1 7.1? La caida' de un elevador es detenida por un resorte y una El cuerpo se mueve 0.056 m más después de retirarse la.fuerza en .if = 0.1.00 in. EVALUAR: La energia mecánica t.otal para el movimiento del punto 2 al punto 3 es de 0.0ólil J, igual al trabajo W,,,,¬,, efectuado por la fuerza fi' en el ejemplo 7.3. ¿Es coincidencia? De ninguna nianera; inicialmente (en el punto 1 del ejemplo 7.9), el sistema deslizador re sorte tenia energía mecáriica cero, asi que toda la energia mecánica que tiene proviene del trabajo efectuado por Movimiento con fuerzas gravitacional, elástica y de fricción contacto con el resorte, y como punto 2, su posición cuando queda en reposo. Escogemos el origen en el punto 1, asi que y, = U y y, = 3.00 m. Entonces, la coordenada del extremo superior del resorte es la misma que la del elevador, y la energia potencial elástica en cualquier punto entre el 1 y el 2 es UC, = jkyf. (La energia poten cial gravitacional es Ugg, = nrgy, como siempre.) Conocemos la ra pidez inicial y final del elevador y la magnitud de la fuerza de fricción, asi que la única incógnita es la constante de fuerza ir. EJECUTAR: La rapidez inicial del elevador es ri, = 25 mis, asi que su energia cinética inicial es 1 l K, = 2 *Jir.u,2 = š(2U00 l<g)(25 mi's)1 = 625,000] El elevador se detiene en el punto 2, asi que K, = ll. La energia po tencial en el punto 1, U,, es cero; Ug,,,,. = U porque y, = 0, y U,, = D porque el resorte aún no se ha comprimido. En el punto 2, hay ener gia potencial tanto gravitacional como elástica, asi que l U2 = W ãïz + ïlfytg La energia potencial gravitacional en el punto 2 es 1 aga, = (zooo kg) (asc mae) ( 3.00 rn) = sasoo J La otra fuerza es la de fricción (l7,l}ÚÚ N), que actúa opuesta al desplazamiento de 3.00 m, asi que W,,,,,_ = (17,0ÚÚ N) (3.00 m) = 51,000 .T Incluimos estos términos en K, + U, + W,,,,.,,, = K, + U, y obtenemos 1 Ki + 0 + Wenas : U + ( mglflâ + šfgllgj asi que la constante de fuerza del resorte es k + Wotms'_ ff _ 2[ó25,üt`]ÚJ + ( 51,0001) ( 53,300 1)] ( 3.(li.lm)2 = l. 41 > í 105 Niin ,=,,E, Z, ,_ gg 1:, ¡,,,,¡¿,', ,_,,,,,,,,,,,,¿, Esta es comparable con la de la suspension de un auto ,_ 1. _._ _,_. r ¦I I __. l Itt i l l lll| || ¦ É | I I L1 i 250 t: a Pi T U L o 7 l Energía potencial y conservacion de la energía EVALUAR: Ei taminemos lo que podria parecer una paradoja aquí. Ésta no es sino la energia mecanica inicial de 625,000 J menos los La energia potencial elástica del resorte en el punto 2 es 51 000 J perüìüüe PDI" 1 H fflflüìöfl. Ahora, como consultor de diseño, le corresponde advertir a su cliente que el elevador no se quedara en el fondo del cubo; rebota rá. Ello se debe a que, en .el punto 2, el resorte comprimido ejerce una fuerza hacia arriba de magnitud F,,,,_,,,,,, = (1,41 I>< 105 N¡m)(3.00 m) = 422,000 N. 131 peso del elevador es solo w = mg = (2000 kg)(9.B0 mƒsf) = 19,600 N, asi que la fuerza neta sera hacia arriba. El elevador subirá a pesar de que el freno ahora ejerce tma fuer za de friccion hacia abajode magnitudf= 11,000 N; la fuerza del resorte es mayor que la suma defv mg. El elevador rebotarå una v otra vez hasta que la fñceion haya eliminado suficiente energia me åfq. ,1 %(1.41 si 1ott«vm)( 3.00 m)i = sszsooi Esto es más que la energia mecánica total en el punto 1, El = K1 + U, = 625,000] + 0 = 625,000] Sin embargo, la fiieiza de friccion hizo que la energia mecánica del sis tema riisminuyern en 51,000 J entre el punto 1 y el punto 2. ¿Apa recìo energia de la nada? No se preocupe; no hay tal paradoja. En el punto 2 también hay energia potencial gravitacional n.egnt1`uo mgyï = 58,800 J porque el punto 2 está debajo del origen. La energia Cåflicfl Para fl' le Se deffinga mflcánica mtaj aquí es ¿Puede demostrar que la aceleracion del elevador cuando gol pea el resorte es inaceptablemente alta? 1 ¬ .E2 = K1 `1' U2 = 'O '1' škyf "1' fllgyg = 632,800] 1 ( 53,3001) = 574,000] . ..._ I ' " ' '. ' ' ._ . .'.."'1I .¬'..'I .' ._ _ 1,." , "| . """ . Obtenga el valor de y cuando el elevador del ejemplo 7.11 por fin se detiene, y también los valores de K, Ug,,,,, Uel y E en ese punto. Suponga que el freno de se guridad ejerce una fuerza hacia arriba de 17,000 N. (Sugerencim ¿Qué relacion hay entre la compresión del resorte y la fuerza que ejerce sobre e1 e1evador?) Compare la energía mecánica en este punto con su valor en el punto 1. 7.3 | Fuerzas conservativas y no conservativas Al estudiar la energia potencial hemos hablado de “almacenar” energia cinética convirtiéndola en energía potencial, pensando siempre que podremos recnperarla después como energia cinética. Una pelota lanzada hacia arriba se frena al conver tirse su energía cinética en potencial, pero al bajar la conversion se invierte y la bola se acelera al convertirse energia potencial otra vez en cinética. Si no hay re sistencia del aire, la pelota se mueve con la misma rapidez cuando regresa al pun to de lanzamiento que cuando se lanzo. Si un deslizador sobre un riel de aire horizontal sin friccion choca con un amor tiguador de resorte en el eztremo del riel, el resorte se comprime y el deslizador se detiene, pero luego rebota y, como no hay friccion, tiene la misma rapidez 1; energía cinética que tenía antes de chocar. Aqui también, hay una conversion bidi reccional de energia cinética a potencial a cinética. En ambos casos, vemos que podemos definir una funcion de energia potencial tal que la energia mecánica to tal, cinética más potencial, es constante o se conservo durante el movimiento. Decimos que una fuerza que ofrece esta oportunidad de conversion bidireccio nal entre energias cinética y potencial es una fuerza conservativa. Hemos visto dos ejemplos de fuerzas conservativas: la gravitacional v la de resorte. Una ca racteristica fundamental de las fuerzas conservativas es que su trabajo siempre es reversible. Lo que depositamos en el “banco” de energia puede retirarse sin pér dida. Otro aspecto importante delas fuerzas conservativas es que un cuerpo pue de moverse de1 punto l al 2 siguiendo varios caminos, pero el trabajo realizado pablo Resaltar pablo Resaltar pablo Resaltar 251ativas 3' no conservativas I __ 7.3 I Fuerzas conserv 1' ¬ ui 'I. r'. LF'. .'r=.s*=*. .___; I' J onservativa, el P' 7.18 Para cualquier fuerza c ' do por esa fuerza depende ovimiento, .ii _ Fr F F Ies if un J ;_ r " _' 1 trabajo realiza solo de los extremos del m __ no del camino seguido. Asi, la fuerza f gravitacional, que es conservativa, realiza __ el mismo trabajo sobre el corredor sin 1 ' importar qué camino siga para ir del punto 1 al punto 2. 7 18). Asi, si un cuerpo "' s indepen para todos (Fig. _ ravitacional mg e ambio de altu (/ (`\ el mismo fuerza g de del c artida, el I por una fuerza conservativa es se mantiene cerca de la superficie terrestre, la diente de la altura, y el trabajo realizado por ella solo depen ra. Si el cuerpo describe una trayectoria cerrada, volviendo al punto de p trabajo toro! de la fuerza gravitacional siempre es cero. Eltrabajo realizado por una fuerza conservativa siempre tiene estas propiedades: 1. Siempre puede expresarse como la diferencia entre los valores inicial y fi nal de una funcion de energía potencial. 2. Es reversible. 3. Es independiente de la trayectoria del cuerpo y depende solo de lospuntos inicial 1; final. ` 4. Si los puntos inicial y final son el mismo, el trabajo total es cero. Si las únicas fuerzas que efectúan trabajo son conservativas, la energía mecánica total E = Ki Ues constante. No todas las fuerzas son conservativas. Considere la fuerza de friccion que ac túa sobre la caja que se desliza enla rampa del ejemplo 7.7. (seccion 7.1). El cuer po sube jv regresa al punto de partida, pero el trabajo total efectuado por la friccion sobre él no es cero. A1 invertirse la direccion del movimiento, se invierte la fuerza de friceion, que realiza trabajo negativo en ambos direcciones. Si un auto con fre nos bloqueados derrapa con rapidez (y energía cinética) decreciente, la energia ci nética perdida no se puede recuperar invirtiendo el movimiento ni de ninguna otra manera, jr Ia energia mecanica no se conserva. No hay funcion de energia poten cial para la fuerza de friccion. De manera análoga, la fuerza de resistencia de fluidos (seccion 5.3) no es cou servativa. Si lanzamos una pelota hacia arriba, la resistencia del aire efectúa tra bajo negativo sobre ella al subir y al bajar. La bola regresa a la mano con menor rapidez ¬_v menos energia cinética que cuando salio, y no hay forma de recuperar la energia mecánica perdidas pablo Resaltar pablo Resaltar pablo Resaltar pablo Resaltar pablo Resaltar pablo Resaltar pablo Resaltar pablo Resaltar T ll _.i__ì_.íni_ 1 ' ï,__ 262 c a Pí T U L o 7 I Energia potencial y conservacion de la energia El trabajo realizado por una fuerza no conservatìva no puede rcpresentarse con una funcion de energia potencial. Algunas fuerzas no conservativas, como la friccion cinética o la resistencia de fluidos, hacen que se pierda o disipe energia mecanica; son fuerzas disìpadoras. También hay fuerzas no conservativas que otoiieiitort la energia mecanica. Los fragmentos de un petardo salen despedidos con una energia cinética muy grande, gracias a unareaccion quimica de la polvo ra con el oxigeno. Las fuerzas liberadas por la reaccion no son conservativas por que el proceso no es reversible. ¡Imagine los trozos armándose espontáneamente para formar un petardo! Imagine que esta reacomodando sus muebles y desea mover 2.50 m un sillon de 40.0 kg en una habitacion (Fig. 7.19), pero el camino recto está bloqueado por ima pesada mesa de centro que no desea mover. Por tanto, mueve el sillon siguiendo una trayectoria acodada cuyos miembros tienen 2.00 m y 1.50 m de longitud. En compara cion con la trayectoria recta, ¿cuánto trabajo más se cleberealizar para empujar el sillon por la trayectoria acodada? El coeficiente de friccion cinética es de 0.200. IDE1't|TIFlCAR:Aquí efectúan trabajo tanto usted como la fuerza de friccion, asi que deberemos usar la relacion de energia que incluye fuerzas distintas de las elásticas y gravitacionales. Con esa relación, Sofá 'N . 1.. ._ __: _ > Íf_ Í i:.' iI"'2'. H; ÍMesa de centro '11 ";¿ì'< __ _ zoo ni ""'l I 1 I I I |_ *Wax tii' P _¬m Q 5* ._ _ . ¡ 1 ,_______ 1 IE 1EIC1*`š1T4L______J 1"'M Q E I I I I I |_ 119 Vista superior de los muebles. ¿Cuanto trabajo más se requiere para mover el sofa por la trayectoria acodada? í El trabajo de friccion depende de la trayectoria obtendremos un vinculo entre el trabajo efectuado por usted y el efectuado por la ji iccidn. PLANTEAR: Los puntos inicial y final se muestran en la figura 7.19. El sofá esta en reposo en ambos, asi que K, = K; = 0. La ener gia potencial gravitacional no cambia porque el movimiento es ho rizontal: U, = U2 = 0. De la ecuacion (7.7), se sigue que W,,,,.,,, = 0. El trabajo realizado sobre el sofa es la suma del trabajo positivo que Ud. realiza, WW y el trabajo negativo WH, de la fuerza de friccion cinética. Puestoque la suma es cero, tenemos Woa. = _ Ware Por tanto, para determinar W,_;,,_, calcularemos el trabajo efectuado por la friccion. EJECUTAR: El piso es horizontal, asi que la fuerza normal sobre el sillon es igual a su peso mg, y la magnitud de la fuerza de friccion esjj, = tun = ukia.g. El trabajo que usted debe efectuar en cada tra yectoria es entonces Wua. = "Wise = _l“Jit Si = "¡'!1fl<"iå' `i = (0.200) (40.0 1<g)(9.s0 mai) raso m) = 196 J (nayectoria recta) Won = " Wim; = (0.200) (40.0 kg) (9.80 miso) (2.00 m + 1.50 m] = 274 J (trayectoria acodada) El trabajo extra es 2 74 J _ 196 J = 78 J EVALUAR: El trabajo efectuado por la friccion es Wai, = WLM = 196 J por el camino recto y 274 J por el acodado. El trabajo efectuado por la friccion depende del camino seguido, v esto de muestra que la fiiccion es una .fuerza no conservativa. ¿Conservativa o no conservativa? _ . Eo_c ..e1¬¬'sa region del espacio, la fuerza que actua sobre un electron quinag @11(1;, y) = (0, 0), (L, 0), (L, L] 3,1 (0, L) (Fig. 7120). Calcule el fi F = ÚÍ ¿*?U*`ïf C E5 UH 3 Cüflällfiflffl PÚSÍÚVH E1¢1"ïClïïÚH SE ITIUÉ trabajo de F sobre el electron durante una vuelta. ¿Esta fuerza es se m antiboraria en un cuadrado sobre el plano xy con es günggl eating U 1 ,U günggnigtioav pablo Resaltar pablo Resaltar pablo Resaltar pablo Subrayar Puede ser una pregunta teorica, creo q corresponde a la pregunta "si una bomba estalla en mil pedazos" pablo Resaltar 713 I Fuerzas conservativas y no conservativas 2 G3 ir F ro, L) (L, L) Tramo 3 “KTal I Tramo 2 F=o jar ari', j A Tramo4 F=CL“l F vi 1 , (0, 0) Tramo 171 (L, 0) df 120 Electron que se mueve en un ciclo cuadrado bajo la accion de la fuerza F = Cxj. EEEWH IDENTIFICÂR Y' PLANTEAR: En el ejemplo 7.12, la fuerza de fric cion tenia magnitud constante y siempre era opuesta al desplaza miento, así que era fácil calcular el trabajo efectuado. Aquí, en cambio, la fuerza fi' no es constante y en general no está en la direc cion del desplazamiento, asi que usaremos la expresion más gene ral del trabajo (ecuacion 6.14): P, _* __a=ƒFaf P; donde df es un desplazamiento infinitesimal. Calculemos el trabajo de F en cada tramo y sumemos los resultados para obtener el traba jo efectuado en el viaje “redondo”. EJECUTAR: En el primer tramo, de (_0, 0) a (L, 0), la fuerza varia pe ro siempre es perpendicular al desplazamiento, asique df = 0, y el trabajo es W, = 0. En cl tramo de (L, 0) a (L, L), la fuerza tiene siempre F =__CLj. El desplazamiento en este tramo es en la direccion +y, asi que di = dyj y FN H. ri íF'd1.' CL] *oïjy CL¿ij,f El trabajo efectuado en el segundo tramo es entonces (L, tii* _* _v=.L L %=ƒ am=ƒ m@=mƒ@=mi (L, 0] _v=0 0 En el tercer tramo, de (Ji, L) a (0, L), F es otra vez perpendiculm al desplazamiento, y W, = 0, La fiierza es cero en el tramo final, de (0, L) a (0, 0), asi que W, = 0. El trabajo efectuado porÍi` en el viaje “re dondo” es W=W,+W,+W,+W_,=o+CL.1+o+c|=CLi Los puntos inicial y final son el mismo, pero el trabajo total de F no es cero. Es una fuerza no conservativa; no puede rcpresentarse con una fimcion de energia potencial. EVALUAR: Dado que W es positivo, la energia mecánica del elec tron ri tmierira en el recorrido. Esto no es una curiosidad matemáti ca; es una descripcion de lo que sucede en una planta generadora de electricidad. Un lazo de alambre se mueve en un campo magnético, el cual produce una fuerza no conservativa similar a la del ejemplo. Los electrones que se mueven en el alambre adquieren energia al dar vuelta al lazo, y esa energía se lleva mediante lineas de transmi sion al consumidor. (Veremos esto con detalle en el capitulo 29.) ¡Toda la electricidad usa.da en hogares e industrias proviene de tra bajo efectuado por fuerzas no conservativas! ¿Corno cambiaría Wsi el electron viajara en sentido horario? La fuerza F no cambiaria, pero la direccion de cada desplazamiento in finitesimal dl' se invertiría. Por tanto, el trabajo tendria siglo opues to y, para el recorrido completo en sentido horario, sería W = CL?. Este comportamiento es distinto del de la fuerza de friccion. Cuando un cuerpo se desliza sobre una superficie estacionaria con friccion, el trabajo de ia friccion siempre es negativo, sea cual sea la direccion del movimiento (_véase el ejemplo T_T en la seccion 7'. 1). ¡_ ___ ;_ï_:_T==†_ ì_ . r_a rnn1_ír 1 ¦¦¡|_¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡. ¡¡.ï,L , Í La ley de conservacion de la energía Las fuerzas no conservativas no pueden rcpresentarse en términos de energia po tencial, pero podemos describir sus efectos en términos de energias distintas de la cinética y la potencial, Cuando un auto con frenos bloqueados derrapa hasta dete nerse, las ruedas y el camino se calientan. La energia asociada a este cambio en el estado de los materiales se denomina energia interna. Cuando se eleva la tempe ratura de un cuerpo, su energia interna aumenta; si se reduce su temperatura, su energia interna disminuye. I ' Para captar el significado de la energia interna, consideremos un bloque que se desliza por una superficie áspera. La friccion realiza trabajo negativo sobre el blo que, y el cambio de energia interna del bloque y la superficie es positivo (ambos se calientan). Experimentos cuidadosos demuestran que el aumento en la energia interna es exacroiaenre igual al valor absoluto del trabajo efectuado por la fric cion. Dicho de otro modo, ¿Un it = I 'Wotras rr I.. 2| :tj I I. 5. . i. I_.: _¡._ i¦¦ __.|I'..¦__ pablo Resaltar pablo Rectángulo !!! l '¬'_|í_| _''hìiïfl i 264 . . _' ___¦¬'_› _' I .' ¬ .› = *t'. ' " "'¦..| un .,| | . '| ' '.'.'| ' _ ` ' Z .~ . .'1: ri: r._.. if .~`. F ¬"f'f"' ' 7.21 Cuando se quema un litro de gasolina en el motor de un automovil, libera 3.3 ïsï 10? J de energía interna. Por tanto, o.U,,,, = 3.3 2>< 101 J, donde el signo menos indica que la cantidad de energia almacenada en la gasolina ha disminuido. Esa energia se puede convertir en energia cinética (para hacer que aumente la rapidez del auto) o en energia potencial (para hacer que el auto suba una cuesta). fièct v HL NEPhys cs 5.7 Máquina de Atwood modificada c it Pi T U L o 7 I Energia potencial y conservacion de la energia donde AU,,,, es el cambio de energia interna. Si sustituimos esto en la ecuacion (7.7), (7.13) o (7. 15), vemos que Ki 1 UI _ AUint : KE + U2 Si escribimos AK K, K, y oU= U, ~ U1, podemos expresar esto como AK + AU + AU,,,, = 0 (ley decbnservacion de la energia) (7.16) Este notable enunciado es la forma general de la ley de conservacion dela ener gia. En un proceso da.do, las energias cinética, potencial e interna de un sistema pueden cambiar, pero la srviro de todos los cambios siempre es cero. Una dismi nucion en una forma de energia se compensa con un aumento en las otras (Fig. 7.21). Si ampliamos nuestra definicion de energia. para incluir la interna, la ecua cion (7.16) dice que lo en.ergio nunca se creo ni se riesfirvye, soto cambio de _for ina. No se ha observado aún una excepcion a esta regla. Observe que el concepto de trabajo no aparece en la ecuacion (116). Esta ecuacion nos invita a pensar solo en términos de conversion de energia de una for ma a otra. Si lanzamos una pelota hacia arriba, convertimos parte de la energia in terna de las moléculas de nuestro cuerpo en energia cinética de la pelota, que se convierte en energia potencial gravitacional conforme la pelota sube y otra vez en energia cinética al bajar. Si hay resistencia del aire, parte de la energía calienta el aire y la pelota, aumentando su energía interna. Si atrapamos la pelota al caer, la energia que no se perdio en el aire se convertirá. otra vez en energia interna; la pe lota y su mano ahora están más calientes que a.l principio. En una estacion generadorahidroeléctrica, el agua que cae impulsa las turbinas (_“ruedas de agua”) que a su vez impulsan generadores eléctricos. Básicamente, se libera energía potencial gravitacional al caer el agua, y la estacion generadora la convierte en energia eléctrica. Aun si no conocemos los detalles
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