Teoremas de Green, Gauss y Stokes - Guillermo Monsivais, Sylvia de Neymet - Kendra Martinez

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Guillermo Monsivais
Sylvia de Neymet
TEOREMAS DE GREEN, GAUSS
Y STOKES PARA FUNCIONES
CONTINUAS Y DISCONTINUAS
FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM
2013
Teoremas de Green, Gauss y Stokes para
funciones continuas y discontinuas
1º edición, octubre de 2008
2
Universidad Nacional Autónoma de México.
Impreso y hecho en México.
º
Diseño de portada: Laura Uribe Hernández
ISBN: 978-607-02-4090-4
© D.R. 2013.
Facultad de Ciencias.
Ciudad Universitaria. Delegación Coyoacán,
C. P. 04510, México, Distrito Federal.
editoriales@ciencias.unam.mx
Prohibida la reproducción parcial o total de la obra por cualquier medio,
sin la autorización por escrito del titular de los derechos patrimoniales.
Monsivais, Guillermo
Teoremas de Green, Gauss y Stokes para funciones continuas y discon-
tinuas / Guillermo Monsivaís, Sylvia de Neymet. -- 2ª edición. –-
México : UNAM, Facultad de Ciencias, 2013. Reimpresión, 2016.
x, 288 p.: ilustraciones ; 22 cm. –- (Temas de matemáticas)
Bibliografía: página 283-286
ISBN 978-607-02-4090-4
1. Matemáticas. 2. 3.
4.
I. Neymet, Sylvia de. II. Universidad Nacional Autónoma de México.
Facultad de Ciencias. III. título. IV. Serie.
515.3scdd21 Biblioteca Nacional de México
Cálculo vectorial. Funciones continuas y
discontinuas Ecuaciones diferenciales
1a reimpresión, 2016
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Índice general
Prólogo V
Prólogo a la segunda edición IX
1. Curvas e integrales de ĺınea 1
2. Teorema de Green 21
3. Superficies 35
4. Área de una superficie 45
5. Área de una superficie 57
6. Teorema de Gauss 65
7. Teorema de Stokes o del rotacional 83
8. Función delta de Dirac 95
9. Teorema de Green para funciones discontinuas 117
10.Teorema de Gauss para funciones discontinuas 149
11.Teorema de Stokes para funciones discontinuas 177
A. Complemento al caṕıtulo ocho 209
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iv Índice general
B. Cambio de variable en integrales
múltiples 231
C. Resumen de fórmulas 269
Bibliografa 283
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Prólogo
El objetivo de este libro es presentar un estudio de los tres teoremas in-
tegrales más importantes del Cálculo Vectorial y algunas de sus formas
alternativas equivalentes, tanto para funciones continuas como para funcio-
nes discontinuas. Concretamente, los teoremas que se estudian aqúı son los
teoremas de Green, Gauss y Stokes. Sin embargo, como no hay una nomen-
clatura universal para estos teoremas ni una forma única de escribirlos y es
frecuente encontrarlos en la literatura con otros nombres o bien encontrar
teoremas diferentes con estos nombres, a continuación presentamos expĺıci-
tamente los teoremas que se estudiarán aqúı, escritos en una de las formas
más comunes de cada uno de ellos
∫ ∫
A
(
∂g
∂x
− ∂f
∂y
)
dA =
∫
∂A
fdx+ gdy (Teorema de Green)
∫ ∫ ∫
V
∇ · FdV =
∫ ∫
∂V
F · n̂dσ (Teorema de Gauss)
∫ ∫
S
∇× F · n̂dσ =
∫
∂S
F · dx (Teorema de Stokes)
El significado de cada śımbolo se discutirá con detalle en el texto. Por lo
pronto lo único que interesa especificar es que A es una región de un espacio
euclidiano bidimensional, V una región de un espacio euclidiano tridimensio-
nal y S una superficie en un espacio euclidiano tridimensional. ∂A, ∂V y ∂S
son sus respectivas fronteras. En la mayoŕıa de los casos en que aparecen en
la literatura teoremas diferentes con estos nombres se trata de propiedades
que se derivan trivialmente de las expresiones anteriores.
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vi Prólogo
En varios sentidos los teoremas de Green, Gauss y Stokes son genera-
lizaciones del Teorema Fundamental del Cálculo de una sola variable. En
efecto, este teorema establece la igualdad
∫ b
a
df
dx
dx = f(b) − f(a),
que es una relación entre el valor de la integral de la derivada de f y los valo-
res de f en los puntos frontera del intervalo de integración. Lo tres teoremas
que se verán aqúı también tienen esa caracteŕıstica: establecen una relación
entre la integral de cierto tipo de derivada de una función vectorial y los va-
lores de la función en la frontera del conjunto de integración. Además, como
se verá, el Teorema Fundamental del Cálculo juega un papel fundamental en
la demostración de los tres teoremas. Las versiones más generales de estos
teoremas para espacios de dimensiones mayores sólo se estudiarán superfi-
cialmente, ya que un estudio riguroso requiere de conceptos más elaborados
que quedan fuera de los objetivos de este texto.
El libro está escrito principalmente con la idea de establecer un puente
entre los conocimientos que adquieren los estudiantes de f́ısica y matemáti-
cas sobre estos teoremas durante sus cursos de Cálculo y los conocimientos
que deben tener de estos teoremas en las aplicaciones en donde aparecen
funciones discontinuas o con derivadas parciales discontinuas. Prácticamen-
te en todos los cursos de Cálculo en donde se estudian estos teoremas las
demostraciones que se dan requieren que las funciones tengan derivadas par-
ciales continuas. De esta manera, los estudiantes sólo pueden estar seguros
de la validez de dichos teoremas para estos casos. Pero con toda razón pue-
den sentir desconfianza al aplicarlos a funciones discontinuas o con derivadas
parciales discontinuas, ya que las demostraciones para estas funciones no se
siguen en forma inmediata de lo que ya conocen. Esta situación constituye
la brecha que el libro intenta subsanar. No obstante, en la primera parte del
texto (los primeros siete caṕıtulos) se presenta una exposición estándar de
los teoremas para funciones con derivadas parciales continuas. Esta primera
parte puede usarse para el estudio tradicional de ellos. Sin embargo, a lo
largo de todo el libro se supone que el lector ya tiene conocimientos razo-
nablemente sólidos de las integrales dobles y tripes. Aquellos lectores que
ya estén familiarizados con el material de la primera parte pueden pasar sin
dificultad a los caṕıtulos 9, 10 y 11 dedicados a las funciones discontinuas.
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Prólogo vii
Para escribir la primera parte se usaron como base, por un lado las
notas que escribió Sylvia de Neymet Urbina para su curso de Cálculo IV y
por otro las notas que escribió Guillermo Monsivais Galindo para su libro
Cálculo Vectorial y Aplicaciones. Sin embargo, los caṕıtulos siguientes no
tienen ese antecedente y constituyen la parte más importante y novedosa
del libro. Fue elaborada por los autores, motivados por el hecho de que el
material estándar contemplado en los primeros caṕıtulos no cubre muchos
de los casos con los que se enfrentan posteriormente los estudiantes, y por
el hecho de que no existe literatura con el nivel apropiado que cubra esa
brecha. Esta segunda parte inicia con el caṕıtulo 8, en donde se introduce
de manera no rigurosa la función delta de Dirac y sus derivadas. En el
apéndice A se ampĺıa esa discusión y se indica brevemente cómo se puede
formalizar rigurosamente su estudio. Se ve que esta función está enmarcada
dentro de la Teoŕıa de Distribuciones (o bien Funciones Generalizadas) y
se indican algunas versiones que hay de esta teoŕıa. En los caṕıtulos 9, 10 y
11 se tratan, respectivamente, los teoremas de Green, Gauss y Stokes para
funciones discontinuas.
Las demostraciones que se dan aqúı para el caso de funciones discon-
tinuas tienen un nivel de formalidad compatible con la manera en que los
estudiantes de f́ısica utilizan la función delta de Dirac. Sin embargo, los
lineamientos generales para las demostraciones más rigurosas siguen esen-
cialmente los mismos pasos. Bastaŕıa rehacer los puntos en donde se utilizan
las propiedades de la delta de Dirac de la manera como se hace en la Teoŕıa
de Distribuciones. El tratamiento poco formal que se da aqúı está justi-
ficado porque,como hemos dicho, es el que se utiliza en las aplicaciones
f́ısicas y porque los resultados finales son los mismos que se obtienen con el
tratamiento riguroso pero más complicado de la Teoŕıa de Distribuciones.
Por otro lado, para seguir este libro no es necesario ningún conocimiento de
esa teoŕıa. Sin embargo, una experiencia previa con la delta de Dirac, tal y
como se manipula en f́ısica, resultará útil, aunque no esencial, ya que en el
caṕıtulo ocho se presenta una exposición del tema.
Puesto que en el texto se ven algunos ejemplos que involucran siste-
mas de coordenadas no cartesianas, y debido a que los teoremas integrales
proporcionan una demostración de la regla para efectuar cambios de coor-
denadas en integrales dobles y triples, se ha incluido el apéndice B. En él se
discuten con detalle algunos sistemas de coordenadas y la regla para cambiar
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viii Prólogo
de coordenadas en las integrales dobles y triples. Este apéndice proporcio-
na además información útil y complemetaria a algunas de las discusiones
del texto. A lo largo del libro se resuelven diversos ejemplos que amplian
la exposición de los temas y al final de cada caṕıtulo se proponen algunos
ejercicios al lector. En la última parte del libro se presenta un resumen de
fórmulas.
Finalmente, es útil indicar la forma en que puede utilizarse este libro. Se
principiará enfatizando que para poder acceder a su contenido es indispen-
sable que el lector haya estudiando previamente los conceptos de integrales
dobles y triples y que los maneje con soltura ya que no son estudiados aqúı y
son definitivamente necesarios. Si ya se tienen esos conocimientos y se desea
estudiar únicamente los teoremas usuales de Green, Gauss y Stokes para
funciones continuas se puede restringir el estudio a los caṕıtulos 2, 6 y 7.
Sin embargo, debe tomarse en cuenta que estos teoremas involucran además
conceptos tales como curvas, superficies, integrales de ĺınea y/o integrales de
superficie, los cuales son abordados en los caṕıtulos 1, 3, 4 y 5. Por lo tanto,
para un estudio sistemático y detallado de estos teoremas se recomienda
el estudio completo de los primeros siete caṕıtulos. El libro también puede
ser de utilidad para aquellos que únicamente les interese estudiar la función
delta de Dirac y sus derivadas tal y como se utilizan en f́ısica. Este tema se
estudia en el caṕıtulo 8. Aśı mismo, será de utilidad para aquellos que les
interese tener una idea de cómo se formaliza la función delta de Dirac en la
Teoŕıa de Distribuciones. Esto se discute brevemente en el apéndice A. Los
lectores que ya conozcan los temas de los primeros ocho caṕıtulos pueden
abordar directamente los caṕıtulos 9, 10 y 11 que es la parte dedicada a los
teoremas de Green, Gauss y Stokes para funciones discontinuas.
Lamentablemente la Dra. Sylvia De Neymet falleció tres d́ıas antes de
que el manuscrito fuera entregado al comité editorial de la Facultad de
Ciencias. No obstante, todo el material que se entregó en esa ocasión fue
discutido y acordado por los dos autores. La modificaciones posteriores que
han surgido a ráız del intercambio de ideas con el comité editorial son res-
ponsabilidad mı́a.
Guillermo Monsivais Galindo
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Prólogo a la segunda edición
Aunque una buena parte del material que se presenta en esta segunda edi-
ción se encuentra también en la primera, muchos textos se han modificado
buscando siempre una mayor claridad. En este punto fue muy valiosa la de-
sinteresada contribución de los colegas y alumnos que se tomaron la molestia
de hacerme llagar sus sugerencias y a quienes se lo agradezco públicamente.
Por supuesto que los errores que aparećıan en la primera edición y que fue-
ron detectados en la detallada revisión que se hizo para la preparación de la
presente fueron corregidos. Los cambios más sustanciales están concentrados
en los caṕıtulos 8, 10 y 11. En varias partes de ellos se hicieron modificacio-
nes importantes y se agregaron fórmulas y figuras. En los caṕıtulos 10 y 11,
en donde se discuten los Teoremas de Gauss y Stokes para funciones discon-
tinuas, se agregaron ejemplos que discuten problemas t́ıpicos de la Teoŕıa
Electromagnética y que consisten en analizar las propiedades de discon-
tinudad de los campos electromagnéticos en las interfaces. La numeración
de las fórmulas, figuras y ejemplos, que en la primera edición era general, en
esta versión se renumeraron para hacerla particular de cada caṕıtulo. Por
último, el formulario del apéndice C fue ampliado con diversas identidades
que frecuentemente son útiles para la solución de problemas relacionados
con los temas de este libro.
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Caṕıtulo 1
Curvas e integrales de ĺınea
El objetivo de este caṕıtulo es hacer un breve resumen de los conceptos
preliminares de curva y de integral de ĺınea. El término curva tiene varios
significados en matemáticas y en general todos ellos están relacionados entre
śı. En lo que sigue se usa el término curva en los siguientes sentidos (Refs.
[1a], [2a], [3a] y [4a]).
Una curva C en <n es una función continua X que mapea uno o varios
intervalos Ii de < en <n. Aqúı se trabajará únicamente con curvas en <2 y
<3. Aśı, una curva en <3 es una función de la forma X : I ⊂ < → <3 donde
I = I1 ∪ I2 ∪ I3 · · · . La función X evaluada en t ∈ I determina un punto
x = (x, y, z) ∈ <3 mediante la ecuación
x = X(t)
o bien
x = X1(t)
y = X2(t)
z = X3(t),
siendo X1, X2, X3 las componentes de la función X. A estas componentes
se les denotará también como X, Y , Z respectivamente. A las tres ecua-
ciones de arriba se les llama ecuaciones escalares paramétricas de la curva
y a la ecuación vectorial anterior ecuación vectorial paramétrica. Es claro
que conociendo las ecuaciones escalares se conoce la ecuación vectorial y
viceversa. A la variable t se le llama parámetro.
También se le llamará curva a la imagen de X y entonces se dirá que
la ecuación vectorial x = X(t) (o sus correspondientes ecuaciones escalares)
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2 Caṕıtulo 1. Curvas e integrales de ĺınea
es una parametrización de la curva C. Asimismo, se dirá que la curva C
está descrita por la función X, lo que se denotará como
C : x = X(t) con t ∈ I
o bien como
C :



x = X1(t)
y = X2(t) con t ∈ I
z = X3(t).
Si el conjunto I = I1∪I2∪I3 ··· es un intervalo y si a y b son sus extremos
entonces a los puntos x = X(a) y x = X(b) se les llamará extremos de la
curva.
Un ejemplo de una curva en <2 es
C :



x = 5cos t
con t ∈ [0, π]
y = 5 sen t.
La imagen de esta función es una semicircunferencia de radio 5 con sus
extremos en los puntos (5, 0) = X(0) y (−5, 0) = X(π). Ver figura 1.1.
−5 0
5
5
C
x
y
Figura 1.1
La identificación indistinta de una curva con la función X, o con la
imagen de X, en ocasiones da lugar a confusiones, ya que existen funciones
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Caṕıtulo 1. Curvas e integrales de ĺınea 3
diferentes que tienen la misma imagen. Aśı, desde un punto de vista se trata
de curvas distintas y desde otro punto de vista se trata de la misma curva.
Por ejemplo la expresión



x = t
con t ∈ [−5, 5]
y =
√
25 − t2
define la función X(t) =
(
t,
√
25 − t2
)
, que es diferente a la del ejemplo
anterior, pero su imagen es exactamente la misma (la semicircunferencia
de la figura 1.1). Es decir, se tienen dos parametrizaciones diferentes de
esta curva. De hecho, existe un número infinito de parametrizaciones de ella
como se deduce de lo siguiente.
Supóngase que se tiene una parametrización
x = X(t) t ∈ [a, b]
de una curva arbitrariaC. Entonces, es claro que por cada función f : < → <
continua monótona creciente o (decreciente) que mapee un intervalo [α, β]
en el intervalo [a, b] existe una parametrización de C dada por
x = X(f(u)), u ∈ [α, β]
en donde en general la función compuesta X ◦ f es diferente de X. Como
existe un número infinito de tales funciones f , por ejemplo
f(u) = (b− a)
(
u− α
β − α
)n
+ a, con n = 1, 2, 3, ...,
entonces existe un número infinito de parametrizaciones. Cuando se tienen
dos parametrizaciones con la propiedad de que una de ellas se obtiene de la
otra sustituyendo el parámetro t por una función f con las caracteŕısticas
arriba indicadas se dice que las parametrizaciones son equivalentes
Para evitar la posible confusión originada por la identificación indistinta
de una curva con la función o con su imagen, en estudios avanzados de análi-
sis se utilizan distintos nombres. Pero para los objetivos de este libro no es
necesaria una distinción tan estricta y esa ambigedad no causará problemas.
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4 Caṕıtulo 1. Curvas e integrales de ĺınea
También es común llamar curva en <2 a la gráfica de una función f : < →
<. Es decir, al conjunto de puntos (x, y) ∈ <2 tales que satisfacen y = f(x).
Finalmente, también se acostumbra llamar curva a un conjunto de puntos
de <2 que satisfacen una ecuación de la forma F (x, y) = 0. Sin embargo,
estos dos casos se pueden considerar como casos particulares de la definición
que considera una curva como la imagen de una función. Por ejemplo, si x,
y satisfacen y2 − 3x4 − 16 = 0 con y ≥ 0, entonces y =
√
16 + 3x4 y si se
define t = x se tienen las ecuaciones paramétricas escalares
{
x = t
y =
√
16 + 3t4
o la ecuación paramétrica vectorial
x = X(t) =
(
t,
√
16 + 3t4
)
.
Por lo tanto, los puntos que satisfacen y2 − 3x4 − 16 = 0, o bien, y =√
16 + 3x4 son la imagen de la función X.
Si C es una curva descrita por la función continua X : I → <n y el
conjunto I = I1 ∪ I2 ∪ I3 · ·· es un intervalo en <, se dice que C es una curva
continua, y si su derivada dXdt también es continua y diferente de cero, se
dice que C es una curva lisa o curva suave.
La interpretación geométrica de dXdt se puede visualizar con ayuda de
la figura 1.2, en donde se muestra la curva C y los puntos x1 y x2 que
corresponden a X(t) y X(t+ ∆t), respectivamente. Entonces,
∆X
∆t
=
X(t+ ∆t) − X(t)
∆t
es un vector paralelo a la cuerda de longitud ∆` ≡ |∆X| = |X(t+∆t)−X(t)|
que une x1 con x2 . Si X es diferenciable en t, y si
dX(t)
dt 6= 0, el vector
ĺım
∆t→0
∆X
∆t
=
dX
dt
corresponde a nuestra idea intuitiva de vector tangente. Por esta razón a
dX
dt se le llama vector tangente a C. Además, la diferencial de longitud de
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Caṕıtulo 1. Curvas e integrales de ĺınea 5
X(t)
X(t+ ∆t)
C
dX
dtx1
x2
x
y
z
Figura 1.2
arco sobre la curva C está dada por
d` = ĺım
∆t→0
∆` = ĺım
∆t→0
|∆X| = |dx| = ĺım
∆t→0
∣
∣
∣
∣
∣
X(t+ ∆t) − X(t)
∆t
∆t
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
dX
dt
∣
∣
∣
∣
∣
dt
De acuerdo con esto, una curva continua se puede trazar sobre el papel
sin despegar el lápiz y una curva suave tiene vector tangente en todos sus
puntos. Por lo tanto no tiene esquinas, lo que justifica su nombre. Notar
también que la igualdad d` = |dx| implica que dxd` = dxdt dtd` es un vector
unitario tangente a la curva. Si una curva C se puede descomponer en un
número finito de curvas lisas se dirá que C es una curva lisa a trozos o una
curva seccionalmente lisa. La figura 1.3 representa una curva lisa a trozos
en <3, en donde se ve que C es la unión de las dos curvas lisas C1 y C2 unidas
en el punto (0,2,3), en donde no hay vector tangente.
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6 Caṕıtulo 1. Curvas e integrales de ĺınea
(0,−2, 3) (0, 2, 3) (0, 6, 3)
C C1
C2
x
y
z
Figura 1.3
Una parametrización de esta curva podŕıa ser, por ejemplo,
C :



x =
(√
4 − t2, t, 3
)
si t ∈ [−2, 2]
x =
(√
4 − (t− 4)2, t, 3
)
si t ∈ [2, 6]
Si una curva no se interseca consigo misma, es decir, si
X(t1) = X(t2) ⇒ t1 = t2
se le llama curva simple. En este caso X es una función inyectiva. Si la
curva es tal que sus dos extremos coinciden, o sea X(a)= X(b) se le llama
curva cerrada. Una curva cerrada puede tener varios puntos de intersección
consigo misma. Ver figura 1.4b. Si el único punto de intersección consigo
misma es X(a) = X(b) se le llama curva cerrada simple. La figura 1.4a
muestra una curva cerrada simple y la 1.4b una curva que no es cerrada
simple.
Cuando se tiene una curva en donde se indica el sentido en que se reco-
rre se le llama curva orientada; en caso contrario, se dice que la curva no
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Caṕıtulo 1. Curvas e integrales de ĺınea 7
0
X
X(a) = X(b)
a b
x
y
(a)
0
X
X(a) = X(b)
a b
x
y
(b)
Figura 1.4
está orientada. Por ejemplo, si C está descrita por la función X : [a, b] ⊂
< → <n su dirección de recorrido se puede definir por el sentido en que va
generándose la curva cuando el parámetro t se va variando desde a hasta b.
Se trata aśı de una curva orientada.
En <2 hay dos tipos de curvas cerradas simples orientadas:
a.- Si la curva se recorre en sentido contrario al giro de las manecillas
del reloj, se dice que C tiene sentido positivo
b.- Si se recorre en el mismo sentido que las manecillas del reloj se dice
que tiene sentido negativo.
Se dará ahora la definición de una de las integral de ĺınea más comunes
(Refs. [1b], [2b], [3b], [4b], [5a] y [6a]).
Definición.- Sea C la curva lisa en <n descrita por x = X(t) con t ∈ [a, b]
y sea la función F : <n → <n que es continua sobre un conjunto abierto
que contiene a C. Se define la integral de ĺınea de F a lo largo de la curva
C, denotada por
∫
C F · dx, mediante la expresión
∫
C
F · dx ≡
∫ b
a
F(X(t)) · dX(t)
dt
dt.
De acuerdo con la definición, este tipo de integral de ĺınea es igual a una
Integral de Riemann de la función escalar F(X(t)) · dX(t)dt . Es decir, es el
ĺımite cuando ∆t tiende a cero de una suma de términos de la forma
F(X(ti)) · dX(ti)dt ∆t, en donde se está suponiendo que el intervalo [a, b] se
ha dividido en subintervalos I1, I2, ..., (todos con la misma longitud ∆t por
simplicidad) y que ti es un valor dentro del subintervalo Ii. Cada uno de
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8 Caṕıtulo 1. Curvas e integrales de ĺınea
estos términos se puede escribir como |F(X(ti))| |dX(ti)dt | cos θi∆t o bien
como |F(X(ti))| ∆`i cos θi, siendo θi el ángulo entre F(X(ti)) y dX(ti)dt .
Por lo tanto, cada término es igual a la proyección del vector F(X(ti)) sobre
dX(ti)
dt ∆t que, en el ĺımite ∆t→ 0, es un vector tangente a la curva.
Para los casos de curvas en <2 y <3 también se acostumbra escribir la
expresión
∫
C F · dx como
∫
C
(F1dx+ F2dy)
y como
∫
C
(F1dx+ F2dy + F3dz),
respectivamente, siendo Fi la componente iésima de F. Cuando la curva
C es cerrada la integral
∫
C F · dx también se denota como
∮
C F · dx. Las
expresiones F1dx+F2dy y F1dx+F2dy+F3dz son ejemplos de las llamadas
formas diferenciales que serán discutidas más adelante.
Si C es una curva lisa a trozos formada por la unión de las curvas lisas
Ci, con i = 1, 2, .., de manera que las curvas Ci no se traslapan excepto
posiblemente en sus extremos, entonces se define la integral de ĺınea de F
sobre C como la suma de las integrales de ĺınea de F sobre cada una de las
curvas Ci, es decir,
∫
C
F · dx =
∫
C1
F · dx +
∫
C2
F · dx +
∫
C3
F · dx + · · ··
Se denota como −C a la curva C con orientación opuesta, y fácilmente
se demuestra que
∫
−C F · dx = −
∫
C F · dx
Ejemplo 1.1.- Calcular la integral de ĺınea
∫
C
(x2 + y2, 7, yz) · dx,
donde C es el arco de circunferencia en <3 descrito por x = X (t) =
(t,
√
4 − t2, 8) con t ∈ [0, 1].i
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Caṕıtulo 1. Curvas e integrales de ĺınea 9
Solución.-
∫
C
(x2 + y2, 7, yz) · dx =
∫ 1
0
(
t2 + 4 − t2, 7, 8
√
4 − t2
)
·
(
1,
−t√
4 − t2
, 0
)
dt
=
∫ 1
0
(
4 +
−7t√
4 − t2
)
dt
=
(
4t+ 7
√
4 − t2
)∣
∣
∣
∣
1
0
= −10 + 7
√
3.
Hay integrales de ĺınea cuyo valor sólo depende de los puntos inicial y
final de la curva C sin importar los detalles intermedios de C. A continuación
se discutirán estas integrales y el concepto de diferencial exacta con el que
están ı́ntimamente relacionadas (ver Ref. [1c]). Se principiará definiendo
algunos conjuntos especiales.
Definición.- [a.-] Se dice que un conjunto abierto es conexo si no puede
representarse como la unión de dos conjuntos ajenos no vacos y abiertos.
[b.-] Un conjunto E ⊂ <2 es simplemente conexo si todos los puntos del
interior de cualquier curva cerrada de E están también contenidos en E . Ver
figura 1.5. [c.-] Un conjunto es convexo si el segmento rectiĺıneo que une un
par cualquiera de puntos del conjunto está todo contenido en el conjunto.
Ver figura 1.5. [d.-] Un conjunto se llama región si es la unión de un conjunto
abierto conexo junto con algunos, ninguno o todos sus puntos frontera. [e.-]
Una región R del plano es simplemente conexa si toda curva cerrada simple
en R encierra solamente puntos de R.
Definición.- Sea la función F = (F1, F2, ..., Fn) : <n → <n y sea E ⊂ <n
un conjunto abierto. Si existe una función g : <n → < tal que F es igual al
gradiente de g sobre E , lo que se escribe como
F = ∇g ∀ x ∈ E ,
entonces a la expresión F ·dx se le llama diferencial exacta sobre E . En estos
casos la diferencial total dg de g es igual a la diferencial exacta F · dx, es
decir,
dg = ∇g · dx = F · dx.
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10 Caṕıtulo 1. Curvas e integrales de ĺınea
Notar que si F ·dx es una diferencial exacta y F tiene derivadas parciales
continuas entonces, por el Teorema de Schwartz (ver Ref. [1d]),
∂2g
∂xi∂xj
=
∂2g
∂xj∂xi
∀x ∈ E (i, j = 1, 2, ..., n)
o bien, equivalentemente,
∂Fj
∂xi
=
∂Fi
∂xj
∀x ∈ E (i, j = 1, 2, ..., n),
lo que da una condición necesaria para que F ·dx sea una diferencial exacta.
Esto significa que si ∂Fj/∂xi 6= ∂Fi/∂xj para algún x ∈ E y algún i y j
entonces F no es el gradiente de ninguna función. Sin embargo, la igualdad
de las derivadas parciales para toda x de un conjunto abierto E no es en
general una condición suficiente para que F ·dx sea una diferencial exacta, a
menos que se pidan condiciones adicionales sobre el conjunto E . Por ejemplo,
en <2, si se exige además que el conjunto E sea convexo se puede asegurar
que F · dx es una diferencial exacta en E , lo cual queda plasmado en el
siguiente teorema.
Teorema.- Si F1 y F2 tienen derivadas parciales continuas en un conjunto
abierto y convexo E y si
∂F1
∂y
=
∂F2
∂x
sobre E
entonces F · dx es una diferencial exacta en E .
Una demostración de este teorema se puede consultar en la referencia
[5b]. La condición de convexidad del conjunto E que se exige en el teorema
anterior se puede sustituir por la condición de que E sea simplemente conexo.
Para una discusión sobre esta posibilidad se sugiere ver las referencias [7a]
y [7b].
Ejemplo 1.2.- Sea F = (F1, F2) : <2 → <2 definida como F (x) =
(y sen(xy), y3 + x sen(xy)). Investigar si F · dx es una diferencial exacta.
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Caṕıtulo 1. Curvas e integrales de ĺınea 11
(a) Convexo y simplemen-
te conexo
(b) No convexo pero
simplemente conexo
(c) No convexo y no sim-
plemente conexo
Figura 1.5
Solución.- Como
∂F1
∂y
=
∂(y sen(xy))
∂y
= sen(xy) + xy cos(xy)
∂F2
∂x
=
∂(y3 + x sen(xy))
∂x
= sen(xy) + xy cos(xy) =
∂F1
∂y
y esto se cumple en todo <2, que es un conjunto convexo, se sigue que F ·dx
es una diferencial exacta. De hecho, es fácil comprobar que F es igual al
gradiente de g(x) = y
4
4 − cos(xy) + C, siendo C una constante arbitraria.
Si el conjunto E no es convexo (o simplemente conexo) la expresión
F ·dx puede o no ser una diferencial exacta en E , dependiendo de cada caso
particular. En los dos ejemplos que siguen se verá un caso en el que śı existe
la función g y otro en el que no existe.
Ejemplo 1.3.- Investigar si la siguiente expresión
x
(x2 + y2)3/2
dx+
y
(x2 + y2)3/2
dy
es una diferencial exacta en la región anular E =
{
(x, y)|0 < r1 <
√
x2 + y2
< r2; r1, r2 ∈ <
}
Solución.- En este ejemplo se ha tomado una región anular para excluir al
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12 Caṕıtulo 1. Curvas e integrales de ĺınea
origen, puesto que ah́ı la expresión anterior no está definida. Se tiene que
∂F1
∂y
=
∂
∂y
x
(x2 + y2)3/2
= −3 xy
(x2 + y2)5/2
∂F2
∂x
=
∂
∂x
y
(x2 + y2)3/2
= −3 xy
(x2 + y2)5/2
=
∂F1
∂y
en toda la región E . Por lo tanto, la expresión analizada podŕıa en principio
ser una diferencial exacta, pero como E no es convexa ni simplemente conexa
no se puede utilizar el teorema anterior para decidirlo. Sin embargo, es fácil
comprobar que la función
g(x) = − 1√
x2 + y2
es tal que ∇g = F ∀x ∈ E y que es una función bien definida en todo E . Por
lo tanto, la expresión analizada śı es una diferencial exacta en E .
Ejemplo 1.4.- Este ejemplo tiene varios aspectos interesantes, algunos de
ellos se verán aqúı y otros en los problemas (I.4), (II.4) y en la discusión
previa al ejemplo (9.1). Aqúı se investigará si la siguiente expresión es una
diferencial exacta en la región anular del ejemplo anterior
−y
x2 + y2
dx+
x
x2 + y2
dy.
Solución.- Nuevamente se ha tomado una región anular para excluir al
origen, donde la expresión no está definida. Se tiene que
∂F1
∂y
=
∂
∂y
−y
x2 + y2
=
y2 − x2
(x2 + y2)2
∂F2
∂x
=
∂
∂x
x
x2 + y2
=
y2 − x2
(x2 + y2)2
=
∂F1
∂y
en toda E . Aśı, la expresión analizada podŕıa en principio ser una diferencial
exacta, pero como E no es convexa ni simplemente conexa no se puede
utilizar el teorema para decidirlo. Por lo tanto se procede de otra forma.
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Caṕıtulo 1. Curvas e integrales de ĺınea 13
Si existiera g tal que F = ∇g se tendŕıa que F1 = ∂g/∂x y que F2 =
∂g/∂y simultáneamente. Entonces, integrando F1 respecto a x se obtiene
g(x) = ang tan yx + h1(y) e integrando F2 respecto a y se obtiene g(x) =
ang tan yx +h2(x), donde h1 y h2 son dos funciones diferenciables arbitrarias.
Estas dos posibilidades para g se satisfacen simultáneamente si se toman a
h1 y a h2 iguales a una constante C, con lo que se obtiene la expresión
ang tan
y
x
+ C
y es tal que su gradiente es igual a F ∀x ∈ E . Esto aparentemente lleva a
concluir que śı existe la función buscada y que la diferencial analizada es
una diferencial exacta en E . Pero esto no es aśı, ya que ang tan(y/x) no es
una función propiamente dicha; en realidad es una función multivaluada y
este simple hecho hace toda la diferencia. Una gráfica de ang tan(y/x) se
muestra en la figura 1.6, en donde se ve que tiene la forma de una resba-
ladilla de caracol. Si se restringe el codominio al intervalo [0, 2π) entonces
śı se tiene una función pero con una discontinuidad sobre el eje X. Por lo
tanto, no existe su gradiente para todo x ∈ E y la diferencial analizada
no es una diferencial exacta. No obstante, en cualquier otra región que no
rodee al origen es posible trabajar con una sola rama de ang tan(y/x) y
aśı convertirla en una función univaluada y continua.
Figura 1.6
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14 Caṕıtulo 1. Curvas e integrales de ĺınea
Teorema.- Si F : <n → <n es una función continua en una región abierta
R ⊂ <n y si x1 y x2 son dos puntos arbitrarios de R, entonces el valor de
la integral de ĺınea ∫
C
F · dx
es independiente de la trayectoria C ⊂ R que se utilice para unir dichos
puntos siy sólo si F · dx es una diferencial exacta en R.
Demostración
Sólo se probará que si F · dx es una diferencial exacta entonces la integral
es independiente de C, siendo ésta una curva lisa que va de x1 a x2 (una
demostración completa puede consultarse en la referencia [1e]). Si C es una
curva lisa descrita por x = X(t) con t ∈ [a, b] y g es tal que F = ∇g entonces
x1 = X(a), x2 = X(b) y
∫
C
F(x) · dx =
∫
C
∇g(x) · dx =
∫ b
a
∇g(X(t)) · dX(t)
dt
dt,
pero por la regla de la cadena ∇g(X(t))· dX(t)dt es igual a la derivada respecto
a t de la función compuesta h(t) ≡ g(X(t)). En consecuencia,
∫
C
F(x) · dx =
∫ b
a
dh(t)
dt
dt
= h(b) − h(a) = g(X(b)) − g(X(a))
= g(x2) − g(x1).
Por lo tanto, la integral sólo depende de la función g evaluada en los puntos
inicial y final x1 y x2, y no de la forma de la trayectoria utilizada para
unirlos.
Ejemplo 1.5.- Evaluar la integral de ĺınea
∫
C
(−8x+ 6x2y4)dx+ (2y + 8x3y3)dy,
siendo C la curva que va del punto x1 = (0, 0) al punto x2 = (−7π2, 0)
descrita por x = X(t) = (7t2 cos t,−8t3 sen t) con t ∈ [0, π].
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Caṕıtulo 1. Curvas e integrales de ĺınea 15
Solución.- Se intentará utilizar el teorema anterior para calcular la integral.
Como
∂F1
∂y
=
∂
∂y
(−8x+ 6x2y4) = 24x2y3
∂F2
∂x
=
∂
∂x
(2y + 8x3y3) = 24x2y3 =
∂F1
∂y
en todo el plano XY , se tiene que (−8x+6x2y4)dx+(2y+8x3y3)dy es una
diferencial exacta y se puede utilizar el teorema para evaluar la integral. Se
comprueba fácilmente que g está dada por g(x) = −4x2 + y2 + 2x3y4 + C,
siendo C una contante arbitraria. En consecuencia
∫
C
(−8x+ 6x2y4)dx+ (2y + 8x3y3)dy = g(x2) − g(x1) = −196π4
Corolario Si F : <n → <n es una función continua en una región abierta
R ⊂ <n, y C es una curva cerrada arbitraria en R, entonces
∫
C
F · dx = 0
si y sólo si F · dx es una diferencial exacta en R. La demostración de este
corolario se deja como ejercicio para el lector en el problema (I.15).
Ejemplo 1.6.- Evaluar la integral de ĺınea
∫
C
(4xy − 12x3y3 + y)dx+ (2x2 − 9x4y2 + x)dy,
siendo C la curva cerrada descrita por x = X(t) = (8 cos t, 8 sen t) con
t ∈ [0, 2π]
Solución.- Se intentará utilizar el corolario anterior para calcular la inte-
gral. Como
∂F1
∂y
=
∂
∂y
(4xy − 12x3y3 + y) = 4x− 36x3y2 + 1
∂F2
∂x
=
∂
∂x
(2x2 − 9x4y2 + x) = 4x− 36x3y2 + 1 = ∂F1
∂y
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16 Caṕıtulo 1. Curvas e integrales de ĺınea
en todo el planoXY , se sigue que (4xy−12x3y3+y)dx+(2x2−9x4y2+x)dy
es una diferencial exacta y se puede utilizar el corolario anterior para evaluar
la integral. En consecuencia
∫
C
(4xy − 12x3y3 + y)dx+ (2x2 − 9x4y2 + x)dy = 0.
Como en regiones arbitrarias no basta con que se cumpla la igualdad
∂F1/∂y = ∂F2/∂x para asegurar que la expresión F · dx sea una diferencial
exacta, puede haber casos en donde el integrando sea tal que ∂F1/∂y =
∂F2/∂x y que la integral sobre trayectorias cerradas sea diferente de cero
(ver problema (I.4)).
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Caṕıtulo 1. Curvas e integrales de ĺınea 17
Problemas del caṕıtulo 1
I.1.-) Calcular la integral de ĺınea
1
2
∫
C
xdy − ydx
a lo largo de las curvas:
a.-) Circunferencia de ecuación x2 + y2 = 1, recorrida en sentido de
las manecillas del reloj.
b.-) Peŕımetro del triángulo con vértices (0, 0), (0, 2), (2, 0), recorrido
en sentido positivo.
c.-) Peŕımetro del rectángulo con vértices (−1, 0), (3, 0), (−1, 2), (3, 2),
recorrido en sentido positivo.
I.2.-) Considerar el campo vectorial definido ∀x como
F(x) = αk̂
donde α es una constante, y sean C1, C2 y C3 tres trayectorias rectas
de longitud 1 paralelas respectivamente a los vectores î, (ĵ + k̂), k̂.
Sin hacer ningún cálculo indicar cuál de las tres integrales de ĺınea
∫
C1
F · dx ,
∫
C2
F · dx ,
∫
C3
F · dx
es mayor y cuál menor.
I.3.-) Obtener el valor de la integral de ĺınea
∫
C
(0, yz2, y) · dx
donde C está dada por
x = 7
y = cos t t ∈
[
0,
π
2
]
z = 3 sen t
I.4.-) Calcular la integral de ĺınea
∫
C
−ydx+ xdy
x2 + y2
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18 Caṕıtulo 1. Curvas e integrales de ĺınea
si:
a.-) C es una circunferencia unitaria centrada en el origen y recorrida
en sentido positivo.
b.-) C es la circunferencia unitaria centrada en el punto (4,3) reco-
rrida en sentido negativo dos veces.
I.5.-) Sea
F = (y2, z3 + 2xy, 3yz2),
calcular la integral de F a lo largo del peŕımetro del cuadrado con
vértices en (1,1,6), (1,-1,6), (-1,1,6), (-1,-1,6).
I.6.-) Suponiendo que ω = y e(z
2)dx + x e(z
2)dy + 2xyz e(z
2)dz es una
diferencial exacta, obtener f tal que df = ω y f(0, 0, 1) = 0.
I.7.-) Sea F : <2 → <2 una función continua en una región R de <2.
Demostrar que
∫
F · dx es independiente de la trayectoria si y sólo
si
∮
C F · dx = 0 para toda curva cerrada lisa a trozos en R.
I.8.-) Sea C una recta de longitud ` paralela al plano XY y sea
F(x) = (0, 0, F3(x)).
Demostrar que
∫
C F · dx = 0.
I.9.-) Se sabe que si la curva C está descrita por la ecuación paramétrica
x = X(t) t ∈ [0, 1]
entonces la curva −C se puede describir mediante la ecuación pa-
ramétrica x = X(1 − t) con t ∈ [0, 1]. Demostrar que
∫
−C F · dx =
−
∫
C F · dx.
I.10.-) Sea F : <2 → <2 definida como
F(x) = (y, x)
Obtener una curva C de longitud 1 que inicie en el punto (2,1) y tal
que
∫
C
F · dx = 0.
I.11.-) Calcular
∮
C r× dr alrededor de una circunferencia de radio a que se
encuentra en el plano XY centrada en el origen.
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Caṕıtulo 1. Curvas e integrales de ĺınea 19
I.12.-) Sea C una curva arbitraria que va del punto (0, 0) al punto (1, π/2).
Probar que la integral de ĺınea
∫
C
ex sen y dx + ex cos y dy
es independiente de la trayectoria y calcular su valor utilizando el
concepto de diferencial exacta.
I.13.-) Sea C una curva que va del punto (1, 1) al punto (−2,−1) y sea la
integral de ĺınea
∫
C
(4x+ y)dx+ (x− 6y)dy
a.-) Demostrar que es independiente de la trayectoria.
b.-) Evaluar la integral por medio de alguna trayectoria.
c.-) Evaluar la integral utilizando el concepto de diferencial exacta.
I.14.-) Evaluar la integral
∫
C
x2y dx+
x3
3
dy
a.-) A lo largo de la trayectoria parabólica y = x2 que va del origen
al punto (2,4).
b.-) Sin utilizar trayectoria alguna.
I.15.-) Demostrar el corolario previo al ejemplo (1.6).
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Caṕıtulo 2
Teorema de Green
Este teorema relaciona una integral doble sobre una región plana con
una integral de ĺınea sobre la curva cerrada que rodea a la región. Se ini-
ciará definiendo algunas regiones especiales.
Definición.- Se dirá que una región del plano es del tipo Rx cuando se
pueda expresar como
Rx =
{
(x, y)
∣
∣
∣
∣
a ≤ x ≤ b; y1(x) ≤ y ≤ y2(x)
}
y se dirá que es del tipo Ry cuando se pueda expresar como
Ry =
{
(x, y)
∣
∣
∣
∣
c ≤ y ≤ d; x1(y) ≤ x ≤ x2(y)
}
,
donde a, b, c y d son números reales y las gráficas de las funciones y1(x) ,
y2(x), x1(y), x2(y) son curvas lisas a trozos.
En la figura 2.1a se muestra una región del tipo Rx en donde se ve que su
frontera se puede descomponer en las curvas C1 : y = y1(x), C2 : y = y2(x)
con x ∈ [a, b] y dos segmentos de recta verticales I1, I2. Estos segmentos
de recta pueden constar de un solo punto. Este tipo de regiones tienen la
caracteŕıstica de que toda recta paralela al eje Y corta a su frontera en,
a lo más, dos puntos. La figura 2.1b muestra una región del tipo Ry. Sus
caracteŕısticas son semejantes a las de las regiones Rx pero con los papeles
de x y y intercambiados. Por ejemplo, toda recta paralela al eje X corta a la
frontera de Ry en, a lo más, dos puntos. La figura 2.1c muestra una región
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22 Caṕıtulo 2. Teorema de Green
que no es del tipo Rx ni del tipo Ry. Sin embargo, ésta es la unión de las
regiones R1, R2 y R3 que son cada una de ellas regiones del tipo Rx. No
toda región de un tipo es también una región del otro tipo. La región de la
figura 2.1a no es del tipo Ry y la de la figura 2.1b no es del tipo Rx.
I1 I2
C1
C2
Rx
a b
x
y
(a)
Ry
c
d
x
y
(b)
R1
R2
R3
x
y
(c)
Figura 2.1
Definición.- Una región R del plano se le llama estándar o regular, si se
puede expresar indistintamente como una región del tipo Rx o del tipo Ry.
La figura 2.2 muestra una región estándar en donde se ve que la frontera
de R, denotada por C o por ∂R, se puede descomponer en las curvas C1 : y =
y1(x), C2 : y = y2(x) con x ∈ [a, b] y dos segmentos de recta verticales I1, I2.
También se puede descomponer en las curvas C′1 : x = x1(y), C′2 : x = x2(y),
con y ∈ [c, d] y dos segmentos de recta horizontales I ′1, I ′2. En general se
tomará a C recorrida en sentido contrario a las manecillas del reloj a menos
que se diga lo contrario. Esto implica que al recorrer la curva la región R
queda la izquierda. Como C1 y C2, o bien C′1 y C′2, son lisas a trozos entonces
C también es una curva lisa a trozos.
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“prueba-final” — 2013/2/6 — 14:28 — page 23 — #33
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Caṕıtulo 2. Teorema de Green 23
I ′1
I ′2
I1 I2C′1 C′2
C1
C2
R1
a b
c
d
x
y
Figura 2.2
Sean f, g : <2 → < funciones definidas en R con derivadas parciales
continuas en R. Entonces, considerando a R como una región del tipo Rx,
∫∫
R
∂f
∂y
dA =
∫ b
a
∫ y2(x)
y1(x)
∂f
∂y
dydx
=
∫ b
a
f(x, y2(x))dx −
∫ b
a
f(x, y1(x))dx. (2.1)
Pero, de la definición de integral de ĺınea y de la definición de las curvas C1
y C2,
∫ b
a
f(x, y2(x))dx =
∫
C2
(fdx+0dy) y
∫ b
a
f(x, y1(x))dx =
∫
C1
(fdx+0dy).
Por lo tanto
∫ ∫
R
∂f
∂y
dA =
∫
C2
(fdx+ 0dy) −
∫
C1
(fdx+ 0dy) = −
∫
C1∪−C2
(fdx+ 0dy).
Además, como
∫
I1
(fdx+0dy) =
∫
I2
(fdx+0dy) = 0 (puesto que en las ecua-
ciones paramétricas de I1 y I2 la x es constante), la suma de las integrales
del miembro derecho de (2.1) es igual a
−
∮
C1∪−C2∪I2∪−I1
(fdx+ 0dy).
Orientando C en sentido positivo resulta que C es igual a la unión de C1, de
−C2 y los segmentos de recta −I1, I2. De donde
∫ ∫
R
∂f
∂y
dA = −
∮
C
fdx.
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24 Caṕıtulo 2. Teorema de Green
Considerando ahora a R como una región del tipo Ry,
∫ ∫
R
∂g
∂x
dA =
∫ d
c
∫ x2(y)
x1(y)
∂g
∂x
dxdy =
∫ d
c
g(x2(y), y)dy −
∫ d
c
g(x1(y), y)dy,
=
∫
C′2
gdy +
∫
−C′1
gdy.
Ahora C (recorrida con sentido positivo) es la unión de C′2,−C′1 y los
segmentos de recta I ′1, I
′
2 orientados convenientemente. Sin embargo, las
integrales de g dy sobre I ′1, I
′
2 son cero, por lo tanto
∫ ∫
R
∂g
∂x
dA =
∮
C
gdy.
Sumando los dos resultados
∫ ∫
R
(
∂g
∂x
− ∂f
∂y
)
dA =
∫
C
(fdx+ gdy).
Se generalizará ahora este resultado para regiones R que pueden des-
componerse mediante curvas lisas a trozos en un número finito de regiones
estándar, por ejemplo R1, ...,Rm, cuyas fronteras C1, ..., Cm son lisas a tro-
zos. Entonces,
∫∫
R
(
∂g
∂x
− ∂f
∂y
)
dA =
m∑
i=1
∫∫
Ri
(
∂g
∂x
− ∂f
∂y
)
dA
=
m∑
i=1
∫
Ci
(fdx+ gdy), (2.2)
donde en las integrales de ĺınea cada Ci se toma en sentido positivo. Si Cj
y Ck tienen uno o más arcos comunes, estos arcos con la orientación de Cj
tienen un sentido y con la inducida por Ck tienen precisamente el sentido
opuesto; aśı que, en la suma de las integrales de ĺınea, la contribución de los
arcos comunes se cancela y la unión de los arcos restantes es precisamente
la frontera de la región R con el sentido inducido por los sentidos positivos
de las curvas Cj. A éste se le llamará sentido positivo de ∂R. Notar que
al ser ∂R la frontera de R es una curva cerrada. Por lo tanto el miembro
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Caṕıtulo 2. Teorema de Green 25
derecho de la ecuación (2.2) será igual a
∫
∂R(fdx+ gdy). En consecuencia,
nuevamente se tiene
∫ ∫
R
(
∂g
∂x
− ∂f
∂y
)
dA =
∫
∂R
(fdx+ gdy).
Las regiones que pueden descomponerse mediante curvas lisas a trozos en
un número finito de regiones estándar incluyen como casos particulares a las
regiones que no son simplemente conexas (ver figuras 1.5c y 2.3a). En estos
casos la frontera ∂R consiste en varias curvas cerradas. Se aclarará cómo
debe recorrerse cada una de ellas con la región mostrada en la figura 2.3a.
C C′
R
(a) (b)
Figura 2.3
Esta región no es simplemente conexa y ∂R = C ∪ C′. Ahora bien,
si se divide la región como se muestra en la figura 2.3b se obtienen dos
regiones simplemente conexas. En la figura se han indicado las fronteras de
cada región recorridas con sentido positivo. Este procedimiento indica cómo
puede definirse el sentido positivo de ∂R. Éste corresponde a C recorrida
con sentido positivo y a C′ con sentido negativo. Esta definición nuevamente
da como resultado que al avanzar sobre las curvas que forman ∂R la región
R siempre queda a la izquierda.
Queda aśı demostrado lo siguiente.
Teorema de Green.- Sea R una región del plano tal que puede dividirse
mediante curvas lisas a trozos en un número finito de regiones estándar.
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26 Caṕıtulo 2. Teorema de Green
Para f y g funciones con derivadas parciales continuas en R se tiene
∫ ∫
R
(
∂g
∂x
− ∂f
∂y
)
dA =
∫
∂R
(fdx+ gdy), (2.3a)
donde la integral de ĺınea sobre la frontera de R se toma recorriendo ∂R en
sentido positivo.
Hacia la derecha de la ecuación (2.3) se ha escrito (a) para indicar que
es la primera de las formas en que se va a escribir el Teorema de Green.
Más adelante se verán otras formas. Si las derivadas parciales de f y g
no son continuas en R el teorema anterior en principio no se aplica. Se
recomienda al lector ver una discusión más amplia en la referencia [6b].
Sin embargo, en estos casos es posible utilizar extensiones del teorema en el
marco de la Teoŕıa de Distribuciones, en donde las derivadas de las funciones
discontinuas dan lugar a distribuciones Delta de Dirac. Éstas se pueden
manejar en muchos aspectos como las funciones usuales. En el caṕıtulo 9 se
presenta una extensión de este teorema para funciones discontinuas.
Formas alternativas de expresar el teorema de Green.
Sean R una región de <2 cuya frontera es la curva plana ∂R recorrida
en sentido positivo, T̂ el vector unitario tangente a ∂R y d` la diferencial
de longitud de arco. Entonces:
— Si F = (f, g) : R → <2 es una función con derivadas parciales
continuas en R se tiene que
f(x, y)dx+ g(x, y)dy = F(x) · dx
= (F(x) · T̂)d`,
ya que
T̂ =
dx
d`
=
dx
d`
î +
dy
d`
ĵ
y
T̂d` = dx̂i + dyĵ.
Por lo tanto, el Teorema de Green se puede escribir como
∫ ∫
R
(
∂g
∂x
− ∂f
∂y
)
dA =
∮
∂R
F · dx (2.3b)
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Caṕıtulo 2. Teorema de Green 27
o también como
∫ ∫
R
(
∂g
∂x
− ∂f
∂y
)
dA =
∮
∂R
(F · T̂)d`. (2.3b′)
La expresión
∮
∂R(F · T̂)d` (o equivalentemente
∮
∂R F · dx) es la integral de
la componente de F en la dirección tangente a la curva ∂R y se le conoce
como circulación de F alrededor de ∂R.
— Considérese ahora a F y a T̂ como funciones de tres componentes, es
decir ,
F = (f, g, 0)
T̂ =
(
dx
d`
,
dy
d`
, 0
)
siendo la tercera componente igual a cero. De esta forma se sigue teniendo
que
f(x, y)dx+ g(x, y)dy = (F(x) · T̂)d`.
Por otro lado, si se calcula el rotacional de F se tiene
∇× F =
∣
∣
∣
∣
∣
î ĵ k̂
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
f g 0
∣
∣
∣
∣
∣
= 0̂i + 0̂j +
(
∂g
∂x
− ∂f
∂y
)
k̂
y por lo tanto, si se denota con n̂R al vector unitario normal a la región R
que apunta hacia la dirección positiva del eje Z (o sea n̂R = k̂), se tiene que
(∇× F) · n̂R = ∂g/∂x − ∂f/∂y. Entonces
∫ ∫
R
(∇× F) · n̂RdA=
∮
∂R
F · dx (2.3c)
o bien ∫ ∫
R
(∇× F) · n̂RdA =
∮
∂R
(F · T̂)d`. (2.3c′)
Estas formas de escribir el Teorema de Green son casos particulares del
Teorema de Stokes que se tratará más adelante.
— Sea F = (g,−f) : R → <2 y sea n̂e el vector unitario normal a la
curva ∂R, que apunta hacia el exterior de R. Como ∂R está recorrida en
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28 Caṕıtulo 2. Teorema de Green
sentido positivo el vector n̂e se puede obtener girando -90 grados al vector
T̂ = (∂x/∂`)̂i + (∂y/∂`)̂j. Aśı
n̂e =
dy
d`
î − dx
d`
ĵ.
Entonces,
F · n̂ed` = (g,−f) ·
(
dy
d`
,−dx
d`
)
d`
=
(
g
dy
d`
+ f
dx
d`
)
d`
= fdx+ gdy.
Por lo tanto,
∮
∂R
F · n̂ed` =
∮
∂R
fdx+ gdy
=
∫ ∫
R
(
∂g
∂x
− ∂f
∂y
)
dA,
donde en la última igualdad se ha utilizado el Teorema de Green usual. Por
otro lado,
∂g
∂x
− ∂f
∂y
=
(
∂
∂x
,
∂
∂y
)
· (g,−f)
=
(
∂
∂x
,
∂
∂y
)
· F
= ∇ · F
en donde, en este contexto, el operador ∇ sólo tiene dos componentes. Aśı,
el Teorema de Green queda escrito como
∫ ∫
R
∇ · FdA =
∮
∂R
F · n̂ed`. (2.3d)
Esta forma de escribir el Teorema de Green es una versión en el plano del
Teorema de Gauss que se estudiará más adelante. Como F · n̂e representa
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Caṕıtulo 2. Teorema de Green 29
la componente de F en la dirección normal a ∂R, a la integral de ĺınea
∮
∂RF·n̂ed` se le conoce como flujo del campo a través de ∂R. Esta magnitud
da información acerca de la ”cantidad de campo que sale” a través de ∂R
desde el interior de R.
— El teorema escrito en la forma (2.3a), con la diferencial de área escrita
como dxdy, es
∫
R
(
∂g
∂x
− ∂f
∂y
)
dxdy =
∫
∂R
fdx+ gdy,
denotando con ω a fdx + gdy y con dω a (∂g/∂x − ∂f/∂y)dxdy, el
teorema se escribe como ∫
R
dω =
∫
∂R
ω (2.3e)
La expresión para ω es un ejemplo de una forma diferencial de primer orden
(Ref. [8a]) (también llamada 1-forma (Refs. [2c] y [4c]) y la expresión para
dω un ejemplo de una forma diferencial de segundo orden (2-forma). La
notación dω está justificada porque (∂g/∂x−∂f/∂y)dxdy se puede obtener
efectuando una operación semejante a la diferenciación usual sobre ω =
fdx+gdy, pero con la convención de que dxdx = dydy = d(dx) = d(dy) = 0
y dydx = −dxdy. El problema (II.10) consiste en comprobar la validez
de esta afirmación. A esta operación se le llama diferenciación de formas
diferenciales (o bien diferenciación de k-formas) y a dω se le llama derivada
de la forma diferencial ω. Es importante hacer notar que la regla de signos
dydx = −dxdy sólo se aplica durante el proceso de diferenciación de formas
diferenciales y que el resultado final debe escribirse en el orden dxdy. Pero
una vez obtenida dω se pueden conmutar los śımbolos dx y dy sin hacer
ningún cambio de signo.
En este punto vale la pena agregar que también el śımbolo ∂R está jus-
tificado, porque el proceso de formar la frontera de un conjunto presenta
analoǵıas formales con la derivación. Sin embargo, una discusión más deta-
llada de este tema está fuera de los objetivos de este texto.
Ejemplo 2.1.- Mostrar que si R es una región estándar limitada por la
curva cerrada C lisa a trozos y simple, entonces el área A(R) de R es igual
a 1/2
∫
C(xdy − ydx).
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30 Caṕıtulo 2. Teorema de Green
Solución.- Como C = ∂R se puede utilizar el Teorema de Green. Sean
f(x, y) = −y, g(x, y) = x, de modo que
∫
C
(xdy − ydx) =
∫ ∫
R
[1 − (−1)]dA = 2
∫ ∫
R
1dA = 2A(R).
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Caṕıtulo 2. Teorema de Green 31
Problemas del caṕıtulo 2
II.1.-) Dadas las siguientes regiones del plano, que se pueden expresar in-
distintamente como regiones del tipo Rx o Ry, escribir la integral
doble ∫ ∫
Rx
f(x, y)dA
en términos de sus dos integrales iteradas asociadas.
a.-) R = triángulo con vértices (1,0), (3,0), (3,3).
b.-) R = {(x, y)
∣
∣x2 ≤ y ≤ 4; x, y ∈ <}.
II.2.-) Utilizando el Teorema de Green calcular la integral de ĺınea de la
función
F(x) = (y + 2x)̂i + (5y − x)̂j
a lo largo de la elipse de ecuación x
2
9 +
y2
4 = 1, en dirección de las
manecillas del reloj.
II.3.-) Sea R una región estándar. Suponiendo que la función F = (f, g)
es tal que f y g tienen derivadas parciales continuas en R y que
∂f
∂y =
∂g
∂x , para toda x ∈ R. Demostrar que para toda curva cerrada
C contenida en R ∫
C
F · dx = 0.
II.4.-) Sean f(x) = − y
x2+y2
y g(x) = x
x2+y2
.
a.-) Probar que ∀(x, y) 6= (0, 0) ∂f∂y =
∂g
∂x .
b.-) Probar que
∮
C F·dx =
∫
fdx+gdy 6= 0, tomando como trayecto-
ria la circunferencia de radio 3 centrada en el origen recorrida en
sentido positivo. Comparar con el resultado del problema (I.4).
c.-) Explicar por qué los resultados de los incisos (a) y (b) no con-
tradicen el Teorema de Green (o, equivalentemente, el resultado
del problema (II.3)).
d.-) Obtener el valor de
∫
C
−ydx+xdy
x2+y2
, donde C es la circunferencia
(x− 6)2 + y2 = 1.
¿Se puede utilizar el Teorema de Green en este caso?
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32 Caṕıtulo 2. Teorema de Green
Para una discusión más amplia sobre las propiedades de la fun-
ción
F(x) = (−y, x) 1
x2 + y2
se recomienda al lector que vea también los comentarios de la
página 16 y la referencia [6c]
II.5.-) Utilizar el Teorema de Green para calcular las siguientes integrales
de ĺınea alrededor de las curvas indicadas que se recorren en sentido
positivo.
∫
C 2xdy + 2ydx C : 8x
2 + 18y2 = 2.
∫
C e
x sen ydx+ex cos ydy C : cuadrado de vértices (-1,-1), (-1,1),
(1,-1), (1,1)
∫
C x
2ydx+ xy2dy C : cuadrado del inciso anterior.
II.6.-) Demostrar que el Teorema de Green en coordenadas polares adquiere
la forma
∫
∂R
f(r, θ)dr + g(r, θ)dθ =
∫ ∫
R
1
r
(
∂g
∂r
− ∂f
∂θ
)
dA
II.7.-) Verificar que se cumple el Teorema de Green para el caso en el que
f(x, y) = −yex ; g(x.y) = xey y R es el cuadrado definido por
−1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1.
II.8.-) Demostrar que si f y g satisfacen las condiciones requeridas en el
Teorema de Green, entonces
∫
∂R
fgdx+ fgdy =
∫ ∫
R
g
(
∂f
∂x
− ∂f
∂y
)
dA
+
∫ ∫
R
f
(
∂g
∂x
− ∂g
∂y
)
dA
II.9.-) Demostrar que si ϕ y ψ tienen segundas derivadas continuas en
R ⊂ <2 y ∇ representa al operador ( ∂∂x , ∂∂y ), entonces
∫ ∫
R
(ϕ∇2ψ + ∇ϕ · ∇ψ)dA =
∫
C
ϕ∇ψ · n̂d`
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Caṕıtulo 2. Teorema de Green 33
y ∫ ∫
R
(ϕ∇2ψ − ψ∇2ϕ)dA =
∫
C
(ϕ∇ψ − ψ∇ϕ) · n̂d`.
Estas igualdades son la versión en el plano de las Identidades de
Green que se mencionan en el problema 12 del caṕıtulo 6.
II.10.-) Comprobar que si se opera sobre la expresión ω = fdx+ gdy en una
forma semejante a como se procede para calcular la diferencial de
una función común, pero con la convención de que dxdx = dydy =
d(dx) = d(dy) = 0 y dydx = −dxdy, se obtiene dω = (∂g/∂x −
∂f/∂y)dxdy.
II.11.-) Verificar el Teorema de Green para el caso de la forma diferencial de
primer orden ω = xdx+xydy , en donde R es un cuadrado unitario
con vértices (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).
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Caṕıtulo 3
Superficies
Una superficie S en <n es una función vectorial continua X = (X1,
X2, . . . , Xn) que mapea una región plana D ⊂ <2 en <n. También se
acostumbra llamar superficie a la imagen de tales funciones y decir entonces
que X describe a la superficie S. Aqúı sólo se considerarán superficies en
<3 y a las funciones X1,X2,X3 se les denotará también como X, Y , Z
respectivamente. Para indicar que la superficie S está descrita por la función
X se utiliza la notación S : x = X(u) o bien
S :



x = X(u)
y = Y (u)
z = Z(u),
donde u = (u, v) ∈ D y x = (x, y, z) ∈ <3. Aśı, x, y, z son funcionesde u y
v, lo que se expresa como x = X(u, v) ∈ S o bien x = X(u, v), y = Y (u, v)
y z = Z(u, v). A las tres ecuaciones anteriores se les llama ecuaciones pa-
ramétricas escalares de S con parámetros u, v y a la ecuación x = X(u, v) se
le llama ecuación paramétrica vectorial de S. Es claro que dadas las ecua-
ciones paramétricas escalares se conoce la ecuación paramétrica vectorial y
viceversa. Algunos autores utilizan la notación x = x(u, v), y = y(u, v) y
z = z(u, v) en vez de x = X(u, v), etc. Sin embargo, aqúı se usará prefe-
rentemente la forma x = X(u, v) o bien x = X1(u, v), etc., con el objeto de
diferenciar claramente la función X del valor que toma X en (u, v).
También es común llamar superficie en <3 a un conjunto de puntos del
espacio que satisfacen una ecuación F (x, y, z) = 0. Por ejemplo la gráfica
de una función f(x, y) es una superficie, puesto que por definición la gráfica
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36 Caṕıtulo 3. Superficies
de f(x, y) es el conjunto de puntos (x, y, z) tales que F (x, y, z) = 0 con
F (x, y, z) = f(x, y)− z. Sin embargo estos casos se pueden considerar como
casos particulares de la primera definición, ya que los puntos que satisfacen
F (x, y, z) = 0 se pueden considerar como la imagen de una función continua
X : D ⊂ <2 → <3 definida como X(x, y) = (x, y, f(x, y)) (ver ejemplo
(3.2)).
Ejemplo 3.1.- Sea la región plana D =
{
(u, v)
∣
∣
∣u ∈ [0, 2π], v ∈ [0, h]
}
y
sea a > 0. Entonces la función X(u, v) = (a cos u, a sen u, v) describe a la
superficie S que consiste en un ciĺındro que tiene radio a, altura h y eje
coincidente con el eje Z (ver figura 3.1):
S :
{
x2 + y2 = a2
0 ≤ z ≤ h.
a
h
x
y
z
Figura 3.1
Ejemplo 3.2.- Si S es la gráfica de una función f(x, y) entonces x, y son
los parámetros y las ecuaciones paramétricas son: x = u, y = v, z = f(u, v).
Además, la función X está dada por X(u, v) = (u, v, f(u, v)).
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Caṕıtulo 3. Superficies 37
Ejemplo 3.2.- El elipsoide x
2
a2 +
y2
b2 +
z2
c2 = 1 tiene ecuaciones paramétricas
x = a cos u cos v, y = b senu cos v, z = c sen v con 0 ≤ u ≤ 2π, − π/2 ≤
v ≤ π/2. Ver figura 3.2.
x
y
z
Figura 3.2
Otras ecuaciones paramétricas del elipsoide son las discutidas en el ejemplo
(4.2) del caṕıtulo siguiente. De hecho, cualquier superficie, considerada como
la imagen de alguna función, se puede describir mediante un sinnúmero de
ecuaciones paramétricas diferentes.
Plano tangente y vector normal
Considérese una superficie S descrita por una función X : D ⊂ <2 → <3,
sea xo = (xo, yo, zo) = X(uo, vo) ∈ S. Si se mantiene fijo al parámetro
v en el valor vo y se vaŕıa u, la imagen bajo X es una curva Cvo en la
superficie S que pasa por xo. Si ∂x/∂u existe y es diferente de cero en
(uo, vo) esta derivada será un vector tangente a Cvo en xo. Sea t1 = ∂x/∂u =
(∂x/∂u, ∂y/∂u, ∂z/∂u) evaluado en (uo, vo). Ver figura 3.3.
Ahora se deja fijo u en uo y se vaŕıa v. Se obtiene Cuo , una curva en
S que pasa por xo y si ∂x/∂v existe y es diferente de cero en (uo, vo)
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38 Caṕıtulo 3. Superficies
esta derivada será un vector tangente a Cuo en xo. Sea t2 = ∂x/∂v =
(∂x/∂v, ∂y/∂v, ∂z/∂v) valuado en (uo, vo).
t1
t2
Cu0
Cv0
u = u0
u = u1
v = v0
v = v1
x
y
z
Figura 3.3
La condición necesaria y suficiente para que t1 y t2 determinen un plano
es que no sean paralelos entre śı, es decir, que t1 × t2 sea diferente de cero.
Entonces, si t1 × t2 6= 0, el plano que determinan t1 y t2 se llama plano
tangente a S en el punto xo y t1 × t2 es un vector normal a S en xo. Este
vector se denotará en este texto con N y al vector normal unitario N|N| con
n̂, es decir, n̂ = N|N| =
t1×t2
|t1×t2| (notar que el sentido de N = t1 × t2 depende
del orden en que se consideren los parámetros u y v).
Es fácil comprobar que cuando S está dada por z = f(x, y) (ver ejem-
plo (3.2)), el vector normal N es el negativo del vector normal calculado
mediante el gradiente de F = f − z. En efecto, al calcular N = t1 × t2 se
obtiene
N ≡ t1 × t2 =
(
1, 0,
∂f
∂x
)
×
(
0, 1,
∂f
∂y
)
= −
(
∂f
∂x
,
∂f
∂y
,−1
)
= −∇F.
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Caṕıtulo 3. Superficies 39
También se puede comprobar que si S tiene plano tangente en xo entonces
toda curva en S que pasa por xo tiene un vector tangente que está en el
plano tangente.
Definición.- A una superficie que tiene plano tangente en todos sus puntos
se le llama superficie lisa.
Para nuestros fines es necesario restringirnos a superficies lisas simples.
Definición.- S es una superficie lisa simple si se puede describir por una
función continua X : D ⊂ <2 → <3 tal que:
i.-) D es una región en <2 cerrada, acotada y simplemente conexa,
cuya frontera es una curva lisa a trozos.
ii.-) S no tiene puntos dobles, es decir, X es inyectiva, lo que se
expresa matemáticamente como X(u, v) = X (u′, v′) ⇒ (u, v) =
(u′, v′), ∀u, v ∈ D. (toda superficie que cumple (ii) se le llama
superficie simple).
iii.-) X tiene derivadas parciales continuas en D (⇒ ∃ t1, t2 y N ≡
t1 × t2).
iv.-) Al menos alguna de las componentes de N es diferente de cero
en D.
La condición (ii) expresa que S no se interseca consigo misma. La condi-
ción (iii) expresa que ∂x∂u ,
∂x
∂v ,
∂y
∂u ,
∂y
∂v ,
∂z
∂u ,
∂z
∂v existen y son continuas en todo
punto (uo, vo) ∈ D, lo cual implica que existe el vector N = t1 × t2. Las
condiciones (iii) y (iv) implican que N existe y es diferente de cero. Por
lo tanto, existe plano tangente en toda S. En consecuencia, lo que se ha
definido como superficie lisa simple satisface la definición de superficie lisa.
Aśı, se ha demostrado el siguiente lema:
Lema.- Toda superficie lisa simple tiene plano tangente en cada uno de sus
puntos (o sea es una superficie lisa).
A continuación se va a demostrar que el vector normal N ≡ t1 × t2
está ı́ntimamente relacionado con los determinantes jacobianos asociados a
la función X : D ⊂ <2 → <3 que describe a la superficie S. Primero se
recordará el concepto de determinante jacobiano.
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40 Caṕıtulo 3. Superficies
Definición.- Sea X una función diferenciable que mapea puntos de <2 en
puntos de <3 mediante una expresión de la forma x = (x, y, z) = X(u) =
(X(u), Y (u), Z(u)), donde u = (u, v) ∈ <2. Los siguientes tres determinan-
tes
J1 ≡
∣
∣
∣
∣
∣
∂y
∂u
∂y
∂v
∂z
∂u
∂z
∂v
∣
∣
∣
∣
∣
=
∂y
∂u
∂z
∂v
− ∂y
∂v
∂z
∂u
J2 ≡
∣
∣
∣
∣
∣
∂z
∂u
∂z
∂v
∂x
∂u
∂x
∂v
∣
∣
∣
∣
∣
=
∂z
∂u
∂x
∂v
− ∂z
∂v
∂x
∂u
J3 ≡
∣
∣
∣
∣
∣
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
∣
∣
∣
∣
∣
=
∂x
∂u
∂y
∂v
− ∂x
∂v
∂y
∂u
se llaman determinantes jacobianos, o simplemente jacobianos, de la función
X. Notar que en Ji no aparece la componente i de X y que las restantes
aparecen en orden ćıclico. Los jacobianos se denotan también como
J1 = J1(u) = J1(u, v) = J1
(
y, z
u, v
)
=
∂(y, z)
∂(u, v)
J2 = J2(u) = J2(u, v) = J2
(
z, x
u, v
)
=
∂(z, x)
∂(u, v)
J3 = J3(u) = J3(u, v) = J3
(
x, y
u, v
)
=
∂(x, y)
∂(u, v)
.
Ahora se mostrará que (J1, J2, J3) es el vector normal N ≡ t1 × t2. En
efecto,
N ≡ t1 × t2 =
∂x
∂u
× ∂x
∂v
=
(
∂x
∂u
,
∂y
∂u
,
∂z
∂u
)
×
(
∂x
∂v
,
∂y
∂v
,
∂z
∂v
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
î ĵ k̂
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v
∣
∣
∣
∣
∣
=
(
∂y
∂u
∂z
∂v
− ∂z
∂u
∂y
∂v
,
∂z
∂u
∂x
∂v
− ∂x
∂u
∂z
∂v
,
∂x
∂u
∂y
∂v
− ∂y
∂u
∂x
∂v
)
= (J1, J2, J3).
Notar que la condición (iii) dada más arriba, que define a una superficie
lisa simple expresada en términos de los jacobianos, exige que J1, J2 y J3
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Caṕıtulo 3. Superficies 41
sean funciones continuas en todo punto de (u, v) ∈ D. Además, (iv) es
equivalente a
J21 (u, v) + J
2
2 (u, v) + J
2
3 (u, v) > 0 ∀(u, v)∈ D.
El vector N jugará un papel muy importante en todo lo que sigue.
Igualmente importante será el vector normal unitario n̂ = N|N| . Los ángulos
α, β y γ que forma n̂ con los eje coordenados X, Y , y Z respectivamente
son llamados ángulos directores de n̂ o bien de N. Además, sus cosenos
(llamados cosenos directores están dados por
cosα = n̂ · î = J1√
J21 + J
2
2 + J
2
3
cos β = n̂ · ĵ = J2√
J21 + J
2
2 + J
2
3
cos γ = n̂ · k̂ = J3√
J21 + J
2
2 + J
2
3
y es claro que
n̂ = (cosα, cos β, cos γ)
y que
N = |N|(cosα, cos β, cos γ).
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42 Caṕıtulo 3. Superficies
Problemas del caṕıtulo 3
III.1.-) Sean las superficies
S1 : x = X(u, v) = (u+ v)̂i + (u− v)̂j + 4uvk̂
S2 : x = X(w, q) = wî + qĵ + 8k̂
y sea C su curva de intersección. Identificar las superficies S1 y S2,
y determinar las ecuaciones del plano normal y la recta tangente a
C en el punto (3,-1, 8).
III.2.-) Sea la superficie
S : (2t+ s2)̂i + (2t2s2)̂j + 4(3t− 2)k̂.
Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie S en el punto
(3,-2,1).
III.3.-) Obtener dos representaciones distintas para cada una de las siguien-
tes superficies
a.-) Elipsoide x
2
a2
+ y
2
b2
+ z
2
c2
= 1.
b.-) Paraboloide z = x2 + y2.
c.-) Cono x2 + y2 − z2 = 0.
d.-) Cilindro x2 + y2 = 2.
III.4.-) Calcular J1, J2, J3 para cada una de las superficies del problema
anterior, correspondiente a la primera parametrización elegida.
III.5.-) Cada una de las superficies siguientes no posee plano tangente en
uno de sus puntos. Determinar dicho punto
a.-) r(u, v) = (u2v4, uv2, u2 + u4).
b.-) f(u, v) =
√
1 − u2 − v2.
III.6.-) Demostrar que las funciones
F(u, v)=(2 senϕ cos θ, 2 senϕ sen θ, 2 cosφ); ϕ ∈
[
0,
2π
2
]
; θ ∈ [0, 2π]
G(u, v)=
(
u, v,
√
4 − u2 − v2
)
; (u, v) ∈
{
|u| ≤ 2;−
√
4u2≤v≤
√
4 − u2
}
definen paramétricamente a la misma superficie.
III.7.-) Obtener la curva de intersección de las superficies
z = y2 + 3
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Caṕıtulo 3. Superficies 43
x = y2 + 3.
III.8.-) Sea la superficie descrita por la función
F(u, v) = (u sen v, u cos v, 2u+ 3).
Demostrar que las curvas que se generan manteniendo constante a
u y v respectivamente, son ortogonales entre śı.
III.9.-) Considérese la superficie del ejemplo anterior. Indicar si esta super-
ficie es:
a.-) Diferenciable
b.-) Lisa
c.-) Simple
III.10.-) Obtener una expresión para el plano tangente a la superficie descrita
por la ecuación
z = Z(x, y).
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Caṕıtulo 4
Área de una superficie
Se definirá primero el área de una superficie lisa simple. Sea S una
superficie lisa simple descrita por X : D ⊂ <2 → <3 y sean uo = (uo, vo) ∈
D y xo = X(uo, vo) ∈ S. Si a partir de uo ∈ D se hacen pequeños cambios
du a lo largo de la ĺınea v = vo y dv a lo largo de la ĺınea u = uo se obtiene
un rectángulo de área du dv en el plano UV . Estos cambios inducen cambios
vectoriales en xo ∈ S dados por
dxu =
∂x
∂u
du, dxv =
∂x
∂v
dv.
Estas diferenciales son aproximaciones a los lados de una pequeña porción
de S cuya área será denotada como dσ y se le llamará diferencial de área
de superficie. Consecuentemente el área del pequeño paralelogramo definido
por estas diferenciales es una aproximación a dσ. Ver figura 4.1.
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46 Caṕıtulo 4. Área de una superficie
replacemen
D
X
u0
x0
S
dxu
dxv
dσ
du
dv
u
u0
v
v0
x
y
z
Figura 4.1
Entonces, recordando que el área de un paralelogramo de lados a y b es
igual a la magnitud de a × b, se tiene
dσ = |dxu×dxv| =
∣
∣
∣
∣
∂x
∂u
×∂x
∂v
∣
∣
∣
∣
dudv =
√
J21+J
2
2+J
2
3dudv = |N|dudv = |N|dAuv .
Este argumento indica que la función X transforma el elemento de área
dAuv = du dv ⊂ D en el elemento de área dσ = |N|dAuv = |N|dudv
sobre S. Notar que cuando S está dada en la forma z = f(x, y) entonces
dσ = |∇F |dxdy con F = f −z. En todo lo que sigue la raiz
√
J21 + J
2
2 + J
2
3
siempre se tomará como positiva.
Se define entonces el área A(S) de la superficie lisa simple S como
A(S) =
∫ ∫
D
|N|dAuv .
Se acostumbra denotar a esta integral con
∫ ∫
S dσ. Aśı,
A(S) =
∫ ∫
S
dσ =
∫ ∫
D
√
J21 ,+J
2
2 + J
2
3 dAuv =
∫ ∫
D
|N|dAuv . (4.1)
Una superficie es lisa a trozos si se puede descomponer en un número
finito k de superficies lisas simples S1, S2,... , Sk, mediante curvas lisas a
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Caṕıtulo 4. Área de una superficie 47
trozos. Se define el área de una superficie lisa a trozos ST como la suma de
las áreas de las superficies lisas simples que la componen, es decir,
A(ST ) ≡
k∑
i=1
A(Si) =
k∑
i=1
∫ ∫
Di
√
J21 + J
2
2 + J
2
3 dAuv. (4.2)
Ejemplo 4.1.- Calcular el área del cilindro de altura h y radio a, sin tapas.
Esta superficie fue analizada en el ejemplo (3.1). No es lisa simple pues
X(0, v) = X(2π, v) ∀v ∈ [0, h],
pero śı es lisa a trozos. En efecto, tómese S = S1 ∪ S2 con S1 y S2 teniendo
las mismas ecuaciones paramétricas: x = a cos u, y = a senu, z = v, pero
con dominios D1 y D2 dados por
D1 =
{
(u, v)
∣
∣
∣
∣
0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v ≤ h
}
, D2 =
{
(u, v)
∣
∣
∣
∣
π ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ h
}
.
Es inmediato que se cumplen las condiciones (i) y (ii) de la definición de
superficie lisa simple para S1 y S2. La condición (iii) se satisface pues
∂x
∂u
= −a senu, ∂y
∂u
= a cos u,
∂z
∂v
= 1,
∂x
∂v
=
∂y
∂v
=
∂z
∂n
= 0,
y en consecuencia
J1 = a cos u, J2 = a senu, J3 = 0,
de modo que J21 + J
2
2 + J
2
3 = a
2 > 0. Por lo tanto se cumple (iv) y S1 y S2
son lisas simples. Entonces, utilizando las ecuaciones (4.1) y (4.2) se tiene
A(S) =
∫ ∫
D1
a dAuv +
∫ ∫
D2
a dAuv = aA(D1) + aA(D2) = 2πah,
donde A(D1) =
∫ ∫
D1
dAuv y A(D2) =
∫ ∫
D1
dAuv son las áreas de D1 y
D2 respectivamente.
Ejemplo 4.2.- Considérese un elipsoide cuyos ejes principales tengan lon-
gitudes a, b, c. Sin pérdida de generalidad se puede suponer que b ≥ c. Ver
figura 4.2.
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48 Caṕıtulo 4. Área de una superficie
a
b
c
x
y
z
Figura 4.2
a.-) Demostrar que el área del elipsoide es igual a
8 ab
∫ 1
0
√
1 − µ2
(
1 − c
2
a2
)
E
(
k2,
π
2
)
dµ, (4.3)
siendo E(k2, π2 ) la integral eĺıptica completa de segunda clase, es
decir,
E
(
k2,
π
2
)
=
∫ 1
0
√
1 − k2ω2
1 − ω2 dω,
con k2 =
(1−µ2)
(
1− c2
b2
)
1−µ2
(
1− c2
a2
)
b.-) Evaluar el resultado del inciso anterior para el caso b = c ≡ ρ.
c.-) Sin utilizar el resultado final (4.3) del inciso (a) demostrar que cuan-
do a = b ≡ r el área del elipsoide es igual a
2πr2
∫ 1
0
√
√
√
√1 − z
(
1 − c2r2
)
1 − z dz.
d.-) Evaluar la integral del inciso anterior y comparar con el resultado
del inciso (b).
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Caṕıtulo 4. Área de una superficie 49
Solución.-
a.-) Como no es superficie simple se descompone al elipsoide S en dos
superficies S1, S2, por medio de la elipse x
2
a2
+ y
2
b2
= 1 del plano
XY . En este caso, para ejemplificar, se utilizarán unas ecuaciones
paramétricas diferentes a las discutidas en el ejemplo (3.2). Aśı,
S1 =
{
(x, y, z)
∣
∣
∣
∣
∣
x2
a2
+
y2
b2
≤ 1, z = c
√
1 − x
2
a2
− y
2
b2
}
S2 =
{
(x, y, z)
∣
∣
∣
∣
∣
x2
a2
+
y2
b2
≤ 1, z = −c
√
1 − x
2
a2
− y
2
b2
}
.
Notar que en ambas superficies el dominio D es la región limitada
por la elipse x
2
a2 +
y2
b2 = 1 del plano XY . Para S1, z = f1(x, y) con
f1 = c
√
1 − x2
a2
− y2
b2
, y para S2, z = f2(x, y) = −f1(x, y). Éstas son
superficies del tipo del ejemplo (3.2). Los parámetros son u = x, v =
y. Entonces, para S1 : ∂x∂u =
∂y
∂v = 1,
∂x
∂v =
∂y
∂u = 0,
∂z
∂u =
∂f1
∂x ,
∂z
∂v =
∂f1
∂y . Comof1 tiene derivadas parciales continuas en x, y, se satisface
(iii) y
J1 = −
∂f1
∂x
, J2 = −
∂f1
∂y
, y J3 = 1,
J21 + J
2
2 + J
2
3 =
(
∂f1
∂x
)2
+
(
∂f1
∂y
)2
+ 1 > 0,
en todo punto (x, y) ∈ D; por lo tanto, se satisfacen (iii) y (iv) para
S1. Procediendo en forma semejante se obtiene que S2 también las
satisface y se puede aplicar (4.2). Aśı
A(S) = A(S1) +A(S2)
y como f2 = −f1, se tiene
A(S) = 2
∫ ∫
D
√
(
∂f1
∂x
)2
+
(
∂f1
∂y
)2
+ 1 dA
= 8
∫ a
0
∫ b
√
1−x2
a2
0
√
√
√
√
√
√
1 − x2
a2
(
1 − c2
a2
)
− y2
b2
(
1 − c2
b2
)
1 − x2
a2
− y2
b2
dydx.
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50 Caṕıtulo 4. Área de una superficie
Sean µ = xa y ν =
y
b , de modo que
A(S) = 8ab
∫ 1
0
∫
√
1−µ2
0
√
√
√
√
√
1 − µ2
(
1 − c2
a2
)
− ν2
(
1 − c2
b2
)
1 − µ2 − ν2 dν dµ.
(4.4)
Sea w = ν√
1−µ2
en la integral interna, por lo que A(S) es igual a
8ab
∫ 1
0
∫ 1
0
√
√
√
√
√
1 − µ2
(
1 − c2
a2
)
− w2(1 − µ2)
(
1 − c2
b2
)
1 − µ2 − w2(1 − µ2)
√
1 − µ2dwdµ,
o bien, igual a
8ab
∫ 1
0
√
1 − µ2
(
1 − c
2
a2
)∫ 1
0
√
√
√
√
√
√
√
1 − w2
(
1− c2
b2
)(
1−µ2
)
1−µ2
(
1− c2
a2
)
1 − w2 dwdµ.
Como k2 =
(1−µ2)
(
1− c2
b2
)
1−µ2
(
1− c2
a2
) (k2 es positivo porque c ≤ b y el
denominador es siempre positivo),
A(S) = 8ab
∫ 1
0
√
1 − µ2
(
1 − c
2
a2
)∫ 1
0
√
1 − k2w2
1 − w2 dwdµ,
donde la integral interna es la integral eĺıptica completa de segunda
especie E(k2, π2 ). Aśı,
A(S) = 8ab
∫ 1
0
√
1 − µ2
(
1 − c
2
a2
)
E
(
k2,
π
2
)
dµ.
b.-) Sea b = c ≡ ρ. En este caso k2 = 0 y E
(
0, π2
)
= π2 . En consecuencia,
A(S) = 8aρ
∫ 1
0
√
1 − µ2
(
1 − ρ
2
a2
)
π
2
dµ
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Caṕıtulo 4. Área de una superficie 51
= 4πaρ
∫ 1
0
√
1 − µ2
(
1 − ρ
2
a2
)
dµ.
Sean
α2 = 1 − ρ
2
a2
≥ 0, si ρ ≤ a
y
β2 =
ρ2
a2
− 1 ≥ 0, si ρ ≥ a.
De este modo
A(S) = 4πaρ


∫ 1
0
√
1 − α2µ2 dµ, si ρ ≤ a
∫ 1
0
√
1 + β2µ2 dµ, si ρ ≥ a


= 4πaρ
{ 1
α
∫ α
0
√
1 − z2dz, si ρ ≤ a
1
β
∫ β
0
√
1 + z2dz, si ρ ≥ a
= 2πaρ




(
ρ
a +
1
√
1− ρ2
a2
ang sen
√
1 − ρ2
a2
)
, si ρ ≤ a
(
ρ
a +
1
√
ρ2
a2
−1
ln
(√
ρ2
a2
− 1 + ρa
)
, si ρ ≥ a




y en ambos casos, al tomar el ĺımite a→ ρ, se obtiene el área de la
esfera, 4πρ2.
En realidad, el caso ρ ≥ a se puede obtener a partir del caso ρ ≤ a.
En efecto, la expresión para el caso ρ ≤ a escrita para ρ ≥ a toma
la forma
A(S) = 2πaρ
(
ρ
a
+
1
i
√
ρ2
a2
− 1
ang sen
[
i
√
ρ2
a2
− 1
])
y al utilizar la identidad ang sen [iΩ] = iln[Ω+
√
1 + Ω2] (ver abajo)
se obtiene la expresión del segundo caso. Para demostrar la identidad
entre las funciones ln y ang sen sea x = sen iai =
ea−e−a
2 . Entonces,
ia = ang sen(ix) y también ea = x±
√
1 + x2
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52 Caṕıtulo 4. Área de una superficie
⇒ ang sen(ix) = iln
(
x±
√
1 + x2
)
.
c.-) En el procedimiento del inciso (a) se estableció la expresión (4.4):
A(S) = 8ab
∫ 1
0
∫
√
1−µ2
0
√
√
√
√
√
1 − µ2
(
1 − c2
a2
)
− ν2
(
1 − c2
b2
)
1 − µ2 − ν2 dν dµ.
Tomando ahora a = b = r
A(S) = 8r2
∫ 1
0
∫
√
1−µ2
0
√
√
√
√
√
1 − (µ2 + ν2)
(
1 − c2
r2
)
1 − (µ2 + ν2) dν dµ.
Sean γ = µ2 +ν2, θ = ang tan νµ , y como la región de integración es
un cuarto de ćırculo, se tiene que γ ∈ [0, 1] y θ ∈ [0, π2 ]. Por lo tanto
A(S) = 8r2
∫ 1
0
∫ π
2
0
√
√
√
√
√
1 − γ2
(
1 − c2
r2
)
1 − γ2 γdγdθ
= 4πr2
∫ 1
0
√
√
√
√
√
1 − γ2
(
1 − c2r2
)
1 − γ2 γdγ.
Sea ξ = γ2
A(S) = 2πr2
∫ 1
0
√
√
√
√
√
1 − ξ
(
1 − c2
r2
)
1 − ξ dξ.
d.-) La evaluación de esta integral da lugar a
A(S) = 2πrc



(
r
c +
1
√
1− r2
c2
ang sen
√
1 − r2
c2
)
, si r < c
(
r
c +
1
√
r2
c2
−1
ln
(√
r2
c2 − 1 + rc
))
, si r > c
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“prueba-final” — 2013/2/6 — 14:28 — page 53 — #63
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Caṕıtulo 4. Área de una superficie 53
que después de hacer las correspondencias necesarias entre los paráme-
tros a, b, c, ρ y r coincide con el resultado del inciso (b). Queda
aśı resuelto el ejemplo (4.2).
En general, si S es una superficie dada por z = f(x, y) con (x, y) ∈ D
que satisface (i) y f tiene derivadas parciales continuas, entonces S es lisa
simple ya que (x, y, f(x, y)) = (x′, y′, f(x′, y′)) ⇒ (x, y) = (x′, y′) y
J1 = −
∂f
∂x
, J2 = −
∂f
∂y
, J3 = 1,
es decir, se cumplen (ii) y (iv). Por lo tanto
A(S) =
∫ ∫
D
√
(
∂f
∂x
)2
+
(
∂f
∂y
)2
+ 1 dA.
Ahora bien, se vio que para el caso general el coseno del ángulo entre k y
N está dado por
cos γ = n̂ · k̂ = J1 î + J2ĵ + J3k̂√
J21 + J
2
2 + J
2
3
· k̂ = J3√
J21 + J
2
2 + J
2
3
lo que implica
|N| =
√
J21 + J
2
2 + J
2
3 =
J3
cos γ
= J3(u, v) sec γ ≥ 0
y por lo tanto, en general,
dσ = J3(u, v) sec γdAuv . (4.5)
Para el caso particular de las superficies dadas por z = f(x, y) se tiene
J3(x, y) = 1. Por lo tanto N tiene componente z positiva, y en consecuencia
1
cos γ
= sec γ > 0.
y
√
J21 + J
2
2 + J
2
3 = sec γ.
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54 Caṕıtulo 4. Área de una superficie
De modo que
dσ = sec γdAxy (4.6)
Notar que para este tipo de superficies el orden de las variables u y v está pre-
determinado y por lo tanto el sentido de N está definido sin ambigedad.
Ahora bien, si por algn método sencillo se puede hallar un vector normal
unitario n̂′ en cada punto de S, se tendrá que n̂ = n̂′ o bien n̂ = −n̂′. En
este último caso, el ángulo γ′ entre k̂ y n̂′ resulta obtuso, esto es, γ′ = π−γ
y sec γ′ < 0. Entonces dσ = sec(π − γ′)dxdy = − sec γ′dxdy.
En forma análoga, si S está dada por x = φ(y, z) y α es el ángulo (agudo)
entre n̂ = N|N| y el vector î, se tiene
dσ = secαdAyz . (4.7)
Finalmente, si S está dada por y = ψ(x, z) y β es el ángulo (agudo) entre
n̂ y ĵ, se tiene
dσ = secβdAxz . (4.8)
Al final del libro se presenta un resumen de las fórmulas más importantes
relacionadas con estos conceptos.
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Caṕıtulo 4. Área de una superficie 55
Problemas del caṕıtulo 4
IV.1.-) Proporcionar una expresión para dσ para el caso de la superficie
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1,
cuando se utilizan a x y y como parámetros.
IV.2.-) Demostrar que una parametrización alternativa para la superficie
del problema anterior es
x = a senϕ cos θ
y = b senϕ sen θ
z = c cosϕ
y proporcionar la expresión para dσ correspondiente a esta parame-
trización.
IV.3.-) Sea P el plano de ecuación
x+ y + z = 3,
y sea S la elipse sobre P que resulta al cortar P con la superficie
ciĺındrica
(y + 1)2 + 2(z − 1)2 = 2.
Calcular el área de S.
IV.4.-) Obtener el área de la superficie descrita por la función z = xy con
dominio D = {(x, y)
∣
∣x2 + y2 ≤ 1}.
IV.5.-) Supóngase que la función f : [a, b] ⊂ < → < es positiva en [a, b].
Demostrar que el área de la superficie de revolución que resulta al
girar la gráfica de z = f(y) alrededor del eje Z es igual a
2π
∫ b
a
√
f ′2(ρ) + 1ρdρ.
IV.6.-) Repetir el problema anterior pero ahora suponiendo que la gráfica
de z = f(y) se gira alrededor del eje Y . En este caso el resultado es
2π
∫ b
a
√
f ′2(y) + 1f(y)dy.
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“prueba-final” — 2013/2/6 — 14:28 — page 56 — #66
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56 Caṕıtulo 4. Área de una superficie
IV.7.-) a.-)Sin utilizar el resultado del problema (IV.5) ni el del (IV.6),
obtener el área de la superficie del toroide horizontal definido por
las ecuaciones paramétricas
x = a cos θ + cosφ cos θ
y = a sen θ + cosφ sen θ θ ∈ [0, 2π]
z = senφ. φ ∈ [0, 2π]
b.-) Verificar el resultado utilizando la fórmula del problema (IV.5).
c.-) Verificar el resultado utilizando la fórmula del problema (IV.6),
en este caso debe hacer una reorientación del Toro, o bien una reasig-
nación de las variables antes de poder usar la fórmula.
IV.8.-) Calcular el área de la porción del ciĺındro y2 + z2