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INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY 
CAMPUS ESTADO DE MÉXICO 
 
 
 
 
PREDICCIÓN DE PROPIEDADES MECÁNICAS Y 
REOLÓGICAS DE SUELOS USANDO TEORÍA DE 
PERCOLACIÓN 
 
 
 
 
 
 
TESIS QUE PRESENTA 
 
 
MARÍA DE LA LUZ PÉREZ REA 
 
 
 
 
 
 
 
 
DOCTORADO EN CIENCIAS E INGENIERÍA DE LOS MATERIALES 
DIM 95 
 
ENERO, 2005 
 
 
INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY 
CAMPUS ESTADO DE MÉXICO 
 
 
 
 
PREDICCIÓN DE PROPIEDADES MECÁNICAS Y 
REOLÓGICAS DE SUELOS USANDO TEORÍA DE 
PERCOLACIÓN 
 
 
 
TESIS QUE PARA OPTAR EL GRADO DE 
DOCTOR EN CIENCIAS E INGENIERÍA DE LOS MATERIALES 
PRESENTA 
 
 
MARÍA DE LA LUZ PÉREZ REA 
 
 
 
 
Asesor: Dr. VÍCTOR M. CASTAÑO MENESES 
 
 
Jurado: Dr. JOAQUÍN OSEGUERA PEÑA 
Dr. ARMANDO BRAVO ORTEGA 
Dra. OLIMPIA SALAS MARTÍNEZ 
Dr. SERGUEI KANAOUN MIRONOV 
Dr. VÍCTOR M. CASTAÑO MENESES 
Presidente 
Secretario 
Vocal 
Vocal 
Vocal 
 
 
 
 
Atizapán de Zaragoza, Estado de México, enero de 2005.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A HUGO, 
SOFIA Y GABRIELA 
 
 
 
 
 
 
AGRADECIMIENTOS 
 
 
 
Agradezco a Dios todopoderoso que me ha dado fortaleza y paciencia para llegar hasta aquí y 
espero me permita continuar por este camino. 
 
Un especial agradecimiento a mi tutor, el Dr. Víctor Castaño Meneses por sus consejos, asesoría, 
dirección e incondicional apoyo durante todo el desarrollo de mi trabajo doctoral. Al Centro de 
Física Aplicada y Tecnología Avanzada de la UNAM, por el gran apoyo recibido en todos los 
aspectos de mi trabajo. 
 
Agradezco también a mi álma máter, la Universidad Autónoma de Querétaro y a sus autoridades, 
en especial a la Facultad de Ingeniería, por el apoyo brindado durante estos estudios, tanto 
económico como en conocimiento e instalaciones para la realización de una parte experimental y 
el desarrollo del modelo. Un agradecimiento muy especial al Dr. Jaime Horta por su asesoría, 
apoyo y amistad y al Sr. Joaquín López y a mi alumna Adriana Castañón por su disposición 
incondicional para en el laboratorio. 
 
Mi agradecimiento también para el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, 
Campus Estado de México, donde cursé mis estudios de doctorado y realicé la mayor parte de mi 
investigación bibliográfica y caracterización con MET, un agradecimiento especial a la Dra. 
Olimpia Salas por su paciencia y apoyo. 
 
Agradezco especialmente al PROMEP (Programa de Mejoramiento del Profesorado), organismo, 
a la par de CONACYT que me brindó el apoyo económico para mis estudios de doctorado. 
 
Mi agradecimiento también al Dr. Fernando Rojas González por su apoyo, asesoría y amistad. 
 
Gracias también al Centro de Investigaciones y Estudios Avanzados del IPN, campus Querétaro, 
por su apoyo en la caracterización por Rayos X, así como a la Unidad de Ciencias de la Tierra de 
la UNAM, Campus Juriquilla. También mi sincero agradecimiento al Instituto de Física de la 
UNAM por su apoyo en la caracterización por MEB y al Instituto Mexicano del Petróleo por el 
apoyo técnico recibido. 
 
Mil gracias a todos mis compañeros y amigos que compartieron conmigo durante todo este 
tiempo y con los cuales he logrado tener una verdadera amistad y a todos aquellos que me 
apoyaron y que por razones de espacio no puedo incluir. 
 
Especiales gracias a Olga Esmeralda por su apoyo. 
 
 
 4
 
 
 
 
RESUMEN 
 
 
Con el desarrollo de nuevas técnicas experimentales, ha sido posible el estudio de la estructura de 
sistemas desordenados y la profundización del conocimiento, así como la predicción, de muchas 
de sus propiedades. Los conceptos de teoría de percolación han jugado uno de los papeles más 
significativos en el entendimiento de estas nuevas técnicas. La razón más importante para el 
rápido desarrollo de estos métodos es que se ha apreciado el papel de la interconectividad de los 
elementos microscópicos y sus efectos en las propiedades macroscópicas. Esto ha sido posible a 
través del desarrollo y aplicación de teoría de percolación, sin embargo, no siempre ha sido 
posible comparar las predicciones con los datos y aún más, no siempre se ha podido establecer 
una precisión cuantitativa de las predicciones. 
En Mecánica de Suelos, las tentativas para definir el comportamiento de los suelos no saturados 
han estado basadas en una comprensión empírica de los fenómenos y en la utilización de 
aproximaciones teóricas simples pero siempre de manera macroestructural. Se ha comprobado 
que el comportamiento de los suelos está influenciado por los siguientes factores: cantidad y tipo 
de minerales, naturaleza del fluido intersticial que ocupa los poros, peso unitario, estructura de 
los componentes del suelo, succión, variaciones en la humedad y las condiciones de esfuerzo. 
Además, el suelo es un medio poroso “desordenado” y complejo al cual se le pueden observar al 
menos tres fases: sólida, líquida y gaseosa. 
El objetivo de este trabajo es predecir ciertas propiedades mecánicas macroestructurales como el 
módulo elástico y el módulo de Poisson abordando la modelación de la estructura microscópica 
del suelo con teoría de percolación utilizando redes rectangulares y hexagonales que toman en 
cuenta ciertas propiedades microestructurales tales como la disposición, tamaño y forma de las 
partículas de arcilla. Las microrredes fueron sujetas a un esfuerzo externo y se asumió que cada 
uno de sus componentes tiene un comportamiento elástico individual. El comportamiento 
esfuerzo-deformación de la red completa se analizó a través del método del elemento finito 
(MEF). El modelo de predicción fue calibrado mediante determinaciones de las propiedades 
elásticas del suelo en el laboratorio, arrojando resultados aceptables. La precisión de las 
predicciones es de alrededor del 72%, lo cual es muy bueno, considerando que los coeficientes de 
correlación para la mayoría de las propiedades geotécnicas de los suelos son aproximadamente 
del 40%. 
Una contribución importante de este trabajo es que se observó que la transmisión de esfuerzos 
entre los granos de suelo no se realiza únicamente a través de los puntos de contacto, sino que 
existe una contribución de la fase líquida en forma de efecto viscoso, lo cual es parte fundamental 
de la teoría de la consolidación. 
La posibilidad de utilizar la teoría de percolación para la modelación del comportamiento 
mecánico del suelo, abre nuevos horizontes dentro de la Mecánica de Suelos tradicional que sin 
duda será aceptado por algunos y rechazado por muchos que clasifican a éstos, como métodos 
“suaves” de modelación. 
 
 
 5
 
 
 
 
ABSTRACT 
 
 
The development of novel experimental techniques, has been possible, the study of the structure 
of disordered systems and allowed a better and deeper knowledge, as to predict many of its 
properties. Percolation theory concepts have played one of the most significant roles towards the 
understanding of these complex systems. The most important reason for the fast development of 
these methods is the role of the interconnectivity at the microscopic and its effect on the 
macroscopic properties. This has been possible through the development and application of 
percolation theory; nevertheless, it is difficult to compare prediction with real data, and even 
more, it is hard to establish a quantitative framework of the abovementioned predictions. 
In Soil Mechanics, attempts to define unsaturated-soil behaviour have been based upon empirical 
data on the utilization of simple theoretical approximations, but always a macro-structural level. 
It has been shown that soil behaviour is influenced by factors as quantity and type of minerals, 
nature of the pores interstitial fluid, unit weight, structure of soil components, suction, moisture 
variations and the stress conditions. Together with the above, soil is a “disordered” porous media 
with increasing difficulty, since soil can have at least three phases, namely, solid, liquid and 
gaseous. 
In this work, the modellingof microscopic soil structure via percolation theory was achieved. For 
predicting the Elastic and Poisson moduli, rectangular and hexagonal nets were chosen. These, in 
turn, take into account some micro-structural properties such as allocation, size and shape of clay 
particles. The micro-nets were subjected to an external load and it was assumed that each 
component had an elastic behaviour. Stress-deformation behaviour of the whole net was analysed 
by the Finite Element Method (FEM). The prediction model was calibrated by determining soil 
elastic properties experimentally, and the results obtained afterwards were acceptable. 
The possibility of using percolation theory for the modelling of soil mechanical- behaviour seems 
to open new horizons in traditional Soil Mechanics. 
 
 6
 
CONTENIDO 
 
 
TEMA PÁGINA 
 
INTRODUCCIÓN 
 
14 
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS 
 
1.1 Teoría de percolación 
1.2 Caracterización de los medios porosos 
1.3 Redes elásticas 
 
21 
 
21 
30 
34 
CAPÍTULO 2. ANÁLISIS DE SUELOS 
 
 2.1 Métodos físicos 
 2.1.1 Microscopía electrónica de barrido 
 2.1.2 Microscopía electrónica de transmisión 
 2.1.3 Espectroscopía infrarroja 
 2.1.4 Difracción de rayos X 
 2.1.5 Análisis termo gravimétrico 
 2.1.6 Porosimetría con nitrógeno líquido 
 
 2.2 Métodos de mecánica de suelos 
 2.2.1 Propiedades físicas e índice de suelos 
 
 2.3 Propiedades mecánicas y reológicas de los suelos 
 2.3.1 Propiedades elásticas de los suelos y ensayes triaxiales 
 
37 
 
41 
41 
42 
42 
43 
44 
45 
 
46 
46 
 
50 
51 
CAPÍTULO 3. MODELO TEÓRICO 
 
 3.1 Propiedades mecánicas y reológicas de materiales compuestos 
 3.2 Modelamiento teórico 
3.2.1 Modelo de elemento finito aplicado a redes (modelo híbrido de 
percolación-MEF) 
 3.3 Desarrollo de algoritmos 
 
56 
 
56 
60 
 
61 
65 
CAPÍTULO 4. RESULTADOS Y DISCUSIÓN 
 
 4.1 Identificación y caracterización del suelo 
 4.1.1 Propiedades geotécnicas 
 4.1.2 Caracterización 
 4.2 Análisis con el modelo híbrido de percolación-MEF 
 4.3 Validación del modelo híbrido de percolación-MEF 
4.4 Validación estadística de los resultados obtenidos con el modelo híbrido de 
percolación-MEF 
 
 
71 
 
71 
71 
77 
83 
102 
 
106 
 
 7
 
CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS 112 
BIBLIOGRAFÍA 
 
116 
ANEXO 
APÉNDICE ANSYS 
 
 A.1 Análisis en Ansys 
 A.1.1 Construcción del modelo 
 A.1.2 Aplicación de cargas y obtención de la solución 
 A.1.3 Revisión de los resultados 
 A.2 Tipos de análisis estructural 
 A.3 Elementos “Birth and Death” 
 A.4 Lenguaje APDL 
 A.4.1 Macros 
 
119 
 
 
119 
120 
121 
122 
123 
124 
125 
126 
 
 
 8
 
INDICE DE FIGURAS 
 
No. Tabla Página 
1 Esquema representativo del modelo utilizado por Darcy para el flujo 
de agua en un medio poroso. 
18 
1.1.1 Esquemas representativos de redes regulares de lazos. (a) Red 
cuadrada, (b) red hexagonal. 
 
 
22 
1.1.2 Esquemas representativos de redes regulares de sitios. (a) Red 
cuadrada, (b) red hexagonal. 
 
 
23 
1.1.3 Algunas redes regulares. (a) Red de Bethe (Z=3). (b) Red de panal 
(Z=3). (c) Red cuadrada (Z=4). (d) Red Kagomé (Z=4). (e) Red 
triangular (Z=6). 
 
 
 
24 
1.1.4 Modelo queso suizo bi-dimensional para percolación continua. 
 
28 
1.1.5 Esquema representativo de un modelo bidimensional de Voronoi. 
 
27 
1.2.1 Representación esquemática de los cuerpos de poro y las gargantas de 
poro en un medio poroso. 
32 
2.1 Estructura simple para la representación del acomodo de los granos en 
suelos no cohesivos (arenas y gravas). (a) Estructura simple en estado 
más suelto, (b) estructura simple en estado más compacto. 
 
 
 
38 
2.2 Estructuras compuestas para la representación del acomodo de los 
granos en suelos cohesivos (arcillas). (a) Estructura floculenta, (b) 
estructura panaloide. 
 
 
 
38 
2.3 Analogía bidimensional de la zona de contacto entre dos granos de 
arcilla montmorilonita, a) unidad consistente de cuatro moléculas de 
H2O, b) superficie con alto contacto de partícula, c) superficie de bajo 
contacto de partícula. 
 
 
40 
2.4 Analogía bidimensional de un suelo cohesivo. Fr son las fuerzas 
respulsivas entre partículas. Fs y Fn son las fuerzas cortante y normal, 
respectivamente que actúan en la zona de contacto entre las partículas. 
 
 
41 
2.2.1.1 Diagrama representativo de las tres fases que constituyen un suelo. 47 
2.3.1.1 Propiedades elásticas del suelo. 
 
53 
3.2.1.1 Representación esquemática del elemento viga. 
 
62 
3.2.1.2 Resultados para el elemento viga, con el MEF. 
 
 
65 
 
 9
 
 
3.3.1 Red rectangular para p=0.70. Los lazos negros son los ocupados con 
probabilidad p y son de “material 1”. Los lazos verdes son de 
“material 2”. Cada lazo es un elemento finito viga, las presiones y las 
restricciones nodales también están representadas en la figura. 
 
 
 
 
66 
3.3.2 Red hexagonal para p=0.70. Los lazos negros son los ocupados con 
probabilidad p y son de “material 1”. Los lazos verdes son de 
“material 2”. Las presiones y las restricciones nodales también están 
representadas en la figura. 
 
 
 
 
67 
3.3.3 Resultados del análisis por el método del elemento finito de la red 
cuadrada. En la figura se muestran tanto la configuración original 
como la configuración deformada para p=0.70. 
 
 
 
68 
3.3.4 Resultados del análisis por el método del elemento finito de la red 
hexagonal. En la figura se muestran tanto las configuración original 
como la configuración deformada para p=0.70. 
 
 
 
68 
3.3.5 Desplazamientos verticales en los nodos para una red cuadrada en 
p=0.70. 
 
 
69 
3.3.6 Desplazamientos verticales en los nodos para una red hexagonal en 
p=0.70. 
 
 
69 
4.1.1.1 Diagrama de Mohr para un suelo cohesivo-friccionante. φ es el ángulo 
de fricción interna del suelo, c es la cohesión y σ1 y σ3 son los 
esfuerzos principales mayor y menor, respectivamente. 
 
73 
4.1.1.2 Equipo automático ELE para ensayes triaxiales. (a) Cámara de lucita, 
(b) marco automático de carga con sistema administrador de presión. 
 
74 
4.1.2.1 Difractograma que permite identificar a los minerales de arcilla en el 
suelo de Jurica. 
77 
4.1.2.2 Isoterma de adsorción-desorción para el suelo de Jurica. 79 
4.1.2.3 Distribución del tamaño de poro para el suelo de Jurica. 82 
4.1.2.4 Prueba del hidrómetro para la determinación 
de la granulometría de las partículas finas del suelo. 
82 
4.2.1 Configuración de una red cuadrada para una p=0.75. 
 
84 
4.2.2 Configuración original y configuración deformada para la misma red 
que la fig. 4.2.1, después de la aplicación de la carga externa. 
 
 
85 
4.2.3 Desplazamientos verticales para la misma configuración de red de la 
 
 10
 
fig. 4.2.1. 
 
85 
4.2.4 Configuración de una red cuadrada para una p=0.70. 
 
86 
4.2.5 Configuración original y configuración deformada para la misma red 
que la fig. 4.2.4, después de la aplicación de la carga externa. 
 
 
86 
4.2.6 Desplazamientos verticales para la misma configuración de red de la 
fig. 4.2.4. 
 
 
87 
4.2.7 Configuración de una red cuadrada para una p=0.60. 
 
87 
4.2.8 Configuración original y configuración deformada para la misma red 
que la fig. 4.2.7, después de la aplicación de la carga externa. 
 
 
88 
4.2.9 Desplazamientos verticales para la misma configuración de red de la 
fig. 4.2.7. 
 
 
88 
4.2.10 Configuración de una red cuadrada para una p=0.57. 
 
89 
4.2.11 Configuración original y configuración deformada para la misma red 
que la fig. 4.2.10, después de la aplicación de la carga externa. 
 
 
89 
4.2.12 Desplazamientos verticales para la misma configuración de red de la 
fig. 4.2.10. 
 
 
90 
4.2.13 Configuración de una red hexagonal para una p=0.90. 
 
 
91 
4.2.14 Configuración original y configuración deformada para la misma red 
que la fig. 4.2.13, después dela aplicación de la carga externa. 
 
 
91 
4.2.15 Desplazamientos verticales para la misma configuración de red de la 
fig. 4.2.13. 
 
 
92 
4.2.16 Configuración de una red hexagonal para una p=0.75. 
 
92 
4.2.17 Configuración original y configuración deformada para la misma red 
que la fig. 4.2.16, después de la aplicación de la carga externa. 
 
 
93 
4.2.18 Desplazamientos verticales para la misma configuración de red de la 
fig. 4.2.16. 
 
 
93 
4.2.19 Configuración de una red hexagonal para una p=0.70. 94 
 
 11
 
 
4.2.20 Configuración original y configuración deformada para la misma red 
que la fig. 4.2.19, después de la aplicación de la carga externa. 
 
94 
4.2.21 Desplazamientos verticales para la misma configuración de red de la 
fig. 4.2.19. 
 
 
95 
4.2.22 Resultados para la red cuadrada, p vs. E. El umbral de percolación, 
pcr = 0.50 
 
 
95 
4.2.23 Resultados para la red cuadrada, (p-pcr) vs. E. El umbral de 
percolación, pcr = 0.50 
 
 
96 
4.2.24 Resultados para la red hexagonal, p vs. E. El umbral de percolación 
geométrico, pcr = 0.6527 
 
 
97 
4.2.25 Resultados para la red hexagonal, (p-pcr) vs. E. El umbral de 
percolación geométrico, pcr = 0.6527 
 
 
97 
4.2.26 Comparación entre los resultados obtenidos con el modelo híbrido de 
percolación-MEF para la red cuadrada y la red hexagonal vs. los 
resultados medidos en laboratorio del módulo elástico en función de p. 
 
 
 
99 
4.2.27 Resultados de la variación de p vs. el módulo de Poisson para la red 
cuadrada. 
 
 
99 
4.2.28 Resultados de la variación de (p-pcr) vs. el módulo de Poisson para la 
red cuadrada. 
 
 
100 
4.2.29 Resultados de la variación de p vs. el módulo de Poisson para la red 
hexagonal. 
 
 
100 
4.2.30 Resultados de la variación de (p-pcr) vs. el módulo de Poisson para la 
red hexagonal 
 
 
101 
4.2.31 Comparación entre los resultados obtenidos con el modelo híbrido de 
percolación-MEF para la red cuadrada y la red hexagonal vs. los 
resultados medidos en laboratorio del módulo de Poisson vs. p. 
 
 
 
102 
4.3.1 Porosidad vs. módulo elástico. Datos experimentales. 
 
103 
4.3.2 Valores de p vs módulo elástico. Datos experimentales. 
 
103 
4.3.3 Valores de (p-pcr) vs. módulo elástico. Datos experimentales. 
 
104 
 
 12
 
4.3.4 Valores de porosidad (1-p) vs. módulo de Poisson. Datos 
experimentales. 
 
 
104 
4.3.5 Valores de p vs. módulo de Poisson. Datos experimentales. 
 
105 
4.4.1. Validación estadística de los resultados del modelo para una red 
cuadrada. Módulo elástico. 
 
 
107 
4.4.2 Validación estadística de los resultados del modelo para una red 
cuadrada. Módulo de Poisson. 
 
 
107 
4.4.3. Validación estadística de los resultados del modelo para una red 
hexagonal. Módulo elástico. 
 
 
108 
4.4.4. Validación estadística de los resultados del modelo para una red 
hexagonal. Módulo de Poisson. 
 
 
109 
4.4.5 Barras de error para la desviación estándar de datos experimentales 
del módulo elástico vs. modelos de predicción para las redes cuadrada 
y hexagonal. 
 
 
 
110 
4.4.6 Barras de error para la desviación estándar de datos experimentales 
del módulo de Poisson vs. modelos de predicción para las redes 
cuadrada y hexagonal 
 
 
 
 
111 
 
 
 13
 
ÍNDICE DE TABLAS 
 
 
No. Tabla 
 
Página 
1.1.1 Valores típicos aceptados del umbral de percolación de algunas redes 
bi-dimensionales. 
 
 
24 
1.1.2. Valores típicos del umbral de percolación de algunas redes 
tridimensionales. 
 
 
24 
1.1.3. Exponentes críticos de percolación. 
 
27 
2.1 Características de algunos minerales de arcilla. 
 
39 
2.1.4.1 Espacios basales (distancia interplanar) de los grupos minerales de 
arcilla. 
 
 
44 
2.2.1.2 Grado de plasticidad de acuerdo al LL. 
 
48 
2.2.1.3 Actividad de las arcillas. 
 
49 
2.3.1.1 Valores o rangos de valores para la relación de Poisson ν. 
 
53 
2.3.1.2 Rango de valores para el módulo esfuerzo-deformación estático Es 
para diferentes tipos de suelos. 
 
55 
4.1.1.1 Propiedades geotécnicas del suelo de Jurica, Qro. 
 
72 
4.1.1.2 Resumen de propiedades elásticas del suelo. 
 
76 
4.1.1.3 Análisis químico mineralógico del suelo de Jurica. 
 
78 
4.1.1.4 Resultados de la porosimetria BET. 
 
79 
4.4.1 Resumen de propiedades elásticas determinada con el modelo híbrido 
percolación-MEF para una red cuadrada. 
 
 
106 
4.4.2. Resumen de propiedades elásticas determinadas con el modelo híbrido 
de percolación-MEF para una red hexagonal. 
 
 
108 
 
 
 
 
 14
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
 
 
A lo largo de la historia de la humanidad, los ingenieros han aprendido a trabajar con los 
materiales que existen en la naturaleza, desde los materiales usados para la fabricación de las 
herramientas más primitivas, de las primeras vestimentas y de las primeras construcciones hasta 
los modernos materiales utilizados en la nanotecnología. Siempre han trabajado en un mundo de 
mezclas y materiales compuestos enfrentándose a sus propias limitaciones en la comprensión de 
la estructura y el comportamiento de esos materiales, los cuales se ha tratado de modelar de 
diferentes maneras, ya sea utilizando modelos a escala o el planteamiento de sofisticadas 
ecuaciones constitutivas. Sin embargo existe una aparente aleatoriedad en la morfología de los 
sistemas que integran esos materiales que nos hace pensar que en la naturaleza hay cierto 
desorden y que dichos materiales también pueden ser modelados con teorías que tomen en cuenta 
esas estructuras. 
Este desorden juega un papel fundamental en muchos procesos de interés científico e industrial. 
De todos los sistemas desordenados, los medios porosos son quizás los mejor conocidos, pero 
existen otros tipos de sistemas desordenados como los polímeros y los compósitos que también 
son importantes y han sido estudiados desde hace tiempo. 
La morfología de un sistema tiene dos aspectos principales: la geometría, que estudia la forma y 
tamaño de los elementos individuales que integran el sistema y la topología, que se enfoca a la 
interconectividad de esos elementos microscópicos. 
 
Durante las pasadas dos décadas, el desarrollo de una clase de poderosos métodos teóricos ha 
permitido interpretar observaciones experimentales y predecir muchas propiedades de sistemas 
desordenados [1]. Las técnicas empleadas para determinar la distribución de los tamaños de los 
poros en medios porosos tales como la intrusión de mercurio y la adsorción de vapor fueron 
mejor interpretadas con métodos de análisis derivados de aplicaciones probabilísticas. El estudio 
de la estructura de los materiales así como el entendimiento de muchas de sus propiedades fueron 
 15
vistas de otro modo a la luz de estos métodos. En épocas más recientes los suelos han recibido 
especial atención para entrar a ser estudiados desde esta óptica. En sus trabajos sobre 
fracturamiento de arcillas, Lytton [2] reconoció la naturaleza estocástica de las fracturas y las 
investigaciones reportadas de Sahimi [3] han permitido conocer la aplicación de técnicas 
innovadoras en la predicción del comportamiento de acuíferos y reservas de petróleo. 
Estas nuevas técnicas que ahora son parte fundamental de la ingeniería de materiales también 
permiten diseñar la estructura de muchos sistemas desordenados para que éstos cuenten con las 
características que uno desee. 
Una de estas teorías es la teoría de percolación. Los conceptos de teoría de percolación han 
jugado uno de los papeles más importantes en el entendimiento de sistemas desordenados y sus 
propiedades. En este aspecto, los problemas en medios porosos han tenido una amplia atención. 
Así, se ha podido abrir el entendimiento a problemas de flujo bifásico en medios porosos y 
reconocer que, al menos en ciertos límites, tales problemas representan un fenómeno de 
percolación. 
 
Las investigaciones en estos campos han hecho muchos progresos. La física estadística de 
sistemas desordenados tiene por objeto proporcionarmétodos que deriven las propiedades 
macroscópicas de tales sistemas a partir de las leyes que gobiernan el mundo microscópico, o 
alternativamente, deducir propiedades microscópicas a partir de la información macroscópica que 
puede ser observada con técnicas experimentales. El rápido desarrollo de estas teorías se debe a 
que se ha apreciado el papel de la interconectividad de los elementos microscópicos y sus efectos 
en las propiedades macroscópicas. 
 
Según reporta Sahimi [ 1], los procesos de percolación fueron desarrollados primero por Flory [4] 
y Stockmayer [5] para describir la reacción de moléculas ramificantes que formaban 
macromoléculas. Este proceso de polimerización puede conducir a la formación de una red muy 
grande de moléculas conectadas por enlaces químicos. Después Broadbent y Hammersley [6] 
trataron con el concepto de la dispersión de partículas de fluido hipotéticas a través de un medio 
aleatorio, utilizando la teoría de percolación. Los términos fluido y medio se propusieron de 
manera totalmente general: fluido puede ser un líquido, vapor, flujo de calor, corriente eléctrica, 
infección, sistema solar o cualquier fluido que pueda moverse a través de un medio. El medio, 
donde se lleva el fluido puede ser el espacio poroso de una roca, un suelo, un arreglo de árboles o 
el mismo universo. La dispersión de un fluido a través de un medio desordenado envuelve 
algunos elementos aleatorios, pero el mecanismo, puede ser uno de dos muy diferentes tipos. En 
el primer tipo, la aleatoriedad se atribuye al fluido en un proceso de difusión y en el segundo, se 
atribuye al medio, en un proceso de percolación. 
Los primeros reportes en el área de suelos, se tienen cuando se intenta relacionar la 
interconectividad del espacio de los poros en la porosimetría con mercurio en un problema de 
flujo en un medio poroso [7, 8], y hasta muy recientemente se reconoció la conexión entre este 
fenómeno y la percolación. Chatzis y Dullien [9] y Larson y Morrow [10] fueron los primeros en 
reconocer la conexión entre la percolación, la porosimetría con mercurio y el fenómeno de 
presión capilar, ya que utilizaron la teoría de percolación para describir el modelo simple de 
penetración del mercurio en un medio poroso y sus propiedades en el proceso. 
En areniscas, Schmidt y McDonald [11] estudiaron el proceso de formación de los suelos 
residuales (aquellos suelos que sobreyacen a la roca madre que les dio origen). Durante este 
 16
proceso, la porosidad de las rocas va disminuyendo hasta hacerse más pequeña cuando culmina 
en un suelo. Los poros pueden tomar cualquier forma y tamaño. La percolación no puede modelar 
la formación de los poros de las rocas pero sí puede predecir la porosidad crítica. Sahimi [1, 3] 
continuó con este trabajo, añadiendo además estudios de formación de fracturas en rocas. 
Barton y Hsieh [12] estudiaron el fracturamiento de las formaciones montañosas en Nevada a 
través de la teoría de percolación. Más recientemente [1, 3, 13], Sahimi ha reportado numerosos 
campos de aplicación de la teoría de percolación al flujo en medios porosos, especialmente en 
rocas. Rodríguez et al. [14] presentaron un modelo de percolación que toma en cuenta los enlaces 
físicos y químicos entre la fase discreta del compósito polybutadieno-diacetato de celulosa para 
obtener el módulo elástico con buena aproximación respecto a los resultados experimentales. 
 
El estudio de los fenómenos de transporte en medios porosos es importante para diversos campos 
de la ciencia e ingeniería, y presenta un creciente interés tanto desde el punto de vista 
fundamental como de sus aplicaciones. Por ejemplo, en la ingeniería de la construcción, es 
importante el estudio de la permeabilidad y retención de agua en concretos que se utilizan en 
edificios, carreteras, presas, etc. Los iones de sales que se difunden en el agua que se filtra a 
través de estas estructuras de concreto, pueden corroer el acero de refuerzo. En hidrología se 
estudian los flujos de agua subterránea y la restauración de acuíferos [1, 3]. Los fenómenos que 
ocurren en un medio poroso dependen tanto del material de que está hecho como de su estructura 
y están siendo estudiados desde diversos puntos de vista, teóricos y experimentales. En cuanto a 
las aplicaciones, quizás el ejemplo más conocido es la modelación de extracción de petróleo del 
subsuelo [3], el cual fluye a través de rocas porosas. En este caso se hace un estudio de la 
distribución de poros en muestras de rocas con lo cual se determinan las mejores zonas posibles 
de explotación, lo que puede conducir a evitar considerables pérdidas económicas en la 
extracción del recurso. En general, desde el punto de vista teórico, el estudio de estos sistemas se 
realiza mediante la teoría de percolación en donde se utilizan conceptos desarrollados 
originalmente para la investigación de fenómenos críticos en transiciones de fase. 
En el área de suelos, específicamente en física de suelos, se han estudiado características físicas, 
químicas y biológicas de suelo enfocándose a su productividad agrícola. En cuanto a sus 
propiedades físicas, por ejemplo, se considera que una buena distribución de poros en su 
estructura propicia las mejores propiedades para aireación y drenaje de las raíces de las plantas. 
El estudio de las arcillas ha tenido mucha importancia en cuanto a sus aplicaciones en la 
industria. Por ejemplo, se utilizan para espesar pomadas y pinturas, para la fabricación de 
cerámica, etc. Generalmente, las partículas naturales de arcilla tienen formas de placas cristalinas 
pero presentan formas irregulares y polidispersas en tamaño, lo que complica su investigación. 
También se han desarrollado arcillas sintéticas mejor caracterizadas y lo suficientemente 
monodispersas, que pueden ser útiles para investigación y de usos muy específicos. Pero las 
arcillas no sólo son materiales utilizables para investigación, son parte importante de la 
constitución de la mayoría de los suelos donde se asientan las poblaciones humanas y donde 
constantemente se están realizando nuevas construcciones. Estos suelos, constituidos 
principalmente por arcillas, presentan ciertas problemáticas para los constructores especialmente 
cuando se encuentran en estado de parcial saturación. Los problemas asociados a cambios de 
humedad, tales como los movimientos volumétricos ocasionan daños graves a las estructuras. 
En el pasado reciente, las tentativas para definir el comportamiento de los suelos no saturados se 
han basado en una comprensión empírica de los fenómenos y en la utilización de aproximaciones 
 17
teóricas simples. Siempre de manera macroestructural. Pero la microestructura de los suelos 
juega un papel importante en todos los fenómenos que se manifiestan a nivel macro ya que el tipo 
de minerales que lo constituyen y la disposición geométrica de sus granos influirán directamente 
en propiedades como la permeabilidad macroscópica y la compresibilidad. 
En la mayor parte del país, los suelos existen en condición no saturada y tienden a surgir cambios 
en la humedad con los cambios estacionales cíclicos o como resultado de la construcción de 
superestructuras. Esta variación de la humedad tiene un efecto determinante en las propiedades 
de estos suelos. El cambio en sus propiedades y sus efectos sobre las estructuras ligeras apoyadas 
sobre los estratos superficiales son de interés particular de algunos investigadores, dado que el 
problema hasta hoy, no ha sido resuelto satisfactoriamente, principalmente para edificaciones 
residenciales ligeras construidas sobre antiguos terrenos de cultivo ubicados en las zonas de 
expansión de las ciudades. 
Se ha comprobado que el comportamiento de los suelos está influenciado principalmente por los 
siguientes factores: cantidad y tipo de minerales, naturaleza del fluido intersticial que ocupa los 
poros, peso unitario, estructura de los componentes del suelo, succión, variaciones de la humedad 
y las condiciones de esfuerzo. Losminerales de arcilla pueden causar cambios de volumen en el 
suelo. Las montmorilonitas se consideran las arcillas más expansivas que existen, siguiéndolas 
las ilitas y las caolinitas en orden decreciente de expansión volumétrica. La naturaleza del agua 
intersticial afecta el comportamiento dependiendo del tipo y la cantidad de cationes que contenga 
en disolución. La succión o tensión capilar del agua intersticial contribuye al esfuerzo que soporta 
internamente el suelo y depende del grado de saturación del mismo, la forma y tamaño de los 
poros y las características eléctricas y químicas de las partículas de suelo y del agua. En cuanto a 
la estructura microscópica del suelo, las arcillas floculadas tienden a ser más deformables que las 
arcillas de estructura dispersa. Las partículas cementadas aumentan la resistencia del suelo y 
reducen la deformabilidad. La estructura del suelo se ve afectada por la compactación o el 
remoldeo. Densidades altas del suelo usualmente indican que los espacios entre las partículas son 
más pequeños, lo cual puede resultar en fuerzas repulsivas entre las partículas microscópicas y 
por lo tanto mayores potenciales de expansión. Los cambios en la humedad también afectan el 
comportamiento del suelo en cuanto a que suelos más húmedos suelen ser menos resistentes que 
los más secos. Y con respecto a los niveles de esfuerzo, los suelos preconsolidados suelen 
desarrollar resistencias más altas que aquellos normalmente consolidados. Además, el suelo es un 
medio poroso “desordenado” con la dificultad de tener al menos tres fases: sólida, líquida y 
gaseosa. 
Los estudios que se han realizado hasta la fecha en este campo han estado orientados 
principalmente a los problemas de flujo de agua y difusión. La mayoría de los autores que han 
propuesto leyes de comportamiento del flujo de agua en un suelo no saturado, parten de la 
ecuación de Richards, la cual surge de la ley de Darcy y de la ecuación de continuidad del medio. 
Darcy [15] investigó las características del flujo del agua a través de filtros, formados por 
materiales térreos (fig. 1) y encontró que, para velocidades suficientemente pequeñas, el gasto 
queda expresado por: 
kAi
dt
dVQ == (cm3/seg.) (I.1) 
 
 18
donde V es el volumen de agua, A es el área total de la sección transversal del filtro e i es el 
gradiente hidráulico del flujo, medido como 
L
hhi 21 −= . En cualquier punto del flujo la carga 
piezométrica es la carga de elevación más la carga de presión de dicho punto. 
 
 
 
Fig. 1. Esquema representativo del modelo utilizado por Darcy para el flujo 
de agua en un medio poroso [15]. 
 
 
Se desprecia la energía cinética ya que velocidades del agua a través del medio poroso son muy 
pequeñas. La diferencia h1-h2 representa la pérdida de energía potencial sufrida por el flujo en el 
desplazamiento L; esa energía se transforma en calor. 
La ecuación de continuidad del gasto establece que 
 
AvQ = (I.2) 
 
Siendo A el área del conducto y v la velocidad del flujo, por lo que se deduce que 
 
kiv = (I.3) 
 
O sea, que en el intervalo en que la ley de Darcy es aplicable, la velocidad del flujo es 
directamente proporcional al gradiente hidráulico. A la constante de proporcionalidad k, se le 
llama coeficiente de permeabilidad del suelo. 
Richards [16] combinó la ecuación de Darcy con la ecuación de continuidad, para obtener su 
ecuación que describe el problema general de flujo a través de un medio poroso no saturado 
 
( )[ hK
t
∇Ψ∇=
∂
]∂θ (I.4) 
 
donde 
θ = contenido volumétrico de agua, 
 19
h = potencial total del suelo = Ψ + z , 
Ψ = potencial mátrico 
K = K(Ψ) = permeabilidad no saturada del suelo 
 
Lo anterior demuestra que casi todo el análisis se ha hecho a nivel macroestructural sin tener en 
cuenta las propiedades microscópicas del suelo. El suelo ha sido modelado tradicionalmente 
como un continuo. 
Aunque se ha aplicado la teoría de percolación a muchos fenómenos, no siempre ha sido posible 
comparar las predicciones con los datos y aún más, no siempre se ha podido establecer una 
precisión cuantitativa de las predicciones. Aun así, la teoría de percolación ha servido para el 
entendimiento del comportamiento de una gran variedad de materiales con una buena 
aproximación. La predicción de las propiedades más importantes que definen el comportamiento 
macroscópico de los materiales es uno de los objetivos de las ciencias de materiales. Desde esta 
perspectiva, el estudio de los suelos nace desde otro punto: el mismo origen constitutivo de los 
suelos, sus propiedades microscópicas; y va hacia la dirección de la ciencia de materiales: la 
predicción y la modificación de esas propiedades macroscópicas que definen su comportamiento. 
La teoría de percolación puede ser una herramienta poderosa para lograrlo, a partir de la 
información microscópica, según se planteó en el párrafo anterior. La hipótesis principal de este 
trabajo es que propiedades mecánicas como el módulo elástico y el módulo de Poisson de un 
material y específicamente un suelo, se pueden inferir a partir de sus propiedades microscópicas 
utilizando la teoría de percolación. Estas propiedades son fundamentales para la realización de 
análisis de interacción suelo-estructura en ingeniería civil enfocados a la predicción de 
asentamientos de las construcciones. 
La metodología consiste en conocer primero las propiedades mecánicas y reológicas del suelo 
mediante métodos experimentales conocidos por los ingenieros geotecnistas. Posteriormente se 
realiza una caracterización física del suelo que constituye el material en estudio, para lo cual se 
utilizan técnicas tomadas de otras áreas como microscopía electrónica, difracción de rayos X, 
análisis térmicos, métodos de adsorción de vapor, entre otros, para hacer la identificación 
mineralógica y la caracterización microestructural de la arcilla. La modelación de los suelos se 
aborda mediante teoría de percolación de lazos utilizando redes regulares rectangulares y 
hexagonales que toman en cuenta la información microestructural obtenida con las técnicas 
descritas anteriormente, como son tamaño y forma de los granos, así como sus propiedades 
elásticas. Las redes se someten a esfuerzos debidos a cargas externas asumiendo que cada uno de 
sus componentes tiene un comportamiento elástico individual. Mediante programas de 
computadora diseñados específicamente para hacer un análisis con la técnica del elemento finito, 
se calculan las propiedades microscópicas de cada red completa. Finalmente se establecen las 
relaciones entre las propiedades microscópicas y las propiedades macroscópicas estableciendo las 
leyes de escalamiento correspondientes. El modelo de predicción fue calibrado y valorado con la 
información obtenida en el laboratorio a través de mediciones directas arrojando resultados 
aceptables. 
Este trabajo se divide en tres partes: en el capítulo 1, se plantea un panorama general de los 
fundamentos teóricos para la aplicación de la teoría de percolación a esta investigación en 
particular. La profundización en tópicos especializados tales como la percolación continua, el 
modelamiento de ciertas estructuras o la interpretación de resultados de técnicas experimentales, 
puede hacerse consultando directamente las fuentes enunciadas en la bibliografía. 
 20
En la segunda parte, se abordan las técnicas utilizadas en el área de Geotecnia, así como en la 
Física y Química para caracterizar los materiales y específicamente los suelos. Por último, en la 
tercera parte, se expone la manera en que se realizó, calibró y validó el modelo para la predicción 
de las propiedades mecánicas del suelo. 
Esto es sólo el principio; sin duda quedan puntos sin resolver. Las redes no consideran la 
presencia de agua dentro de losintersticios del suelo ya que se considera que los esfuerzos son 
trasmitidos directamente por los puntos de contacto entre los granos. Esta hipótesis es válida 
considerando que la mayoría de los suelos se encuentran en grado de parcial saturación con 
humedades menores al 25% además de que el 98% de los esfuerzos transmitidos por las 
estructuras al suelo son tomados inmediatamente por la parte sólida del mismo [15], lo cual está 
representado por los lazos de las redes de percolación. Otras estructuras para el suelo también 
pueden sugerirse para trabajos posteriores. En este modelo sólo se consideraron dos tipos de 
redes regulares, pero utilizar redes aleatorias con percolación continua puede también arrojar 
resultados interesantes. Una variante más podría ser agregar al comportamiento elástico de los 
granos y a las uniones empotradas de los mismos la componente viscosa, asociada al agua, que 
aquí no se consideró importante dados los tiempos de relajación tan diferentes de la fase sólida y 
la fase líquida del suelo. En datos experimentales [15] se ha demostrado que el 98% de los 
esfuerzos mencionados anteriormente ocurren prácticamente en el momento de la colocación de 
la estructura y el 2% restante, asociados a la dificultad de desalojar el agua de los poros de suelo, 
ocurren en los siguientes 100 ó 150 años de vida útil de las construcciones. 
En si, la teoría de percolación y los modelos de elemento finito para hacer análisis de esfuerzo-
deformación en materiales no son nada nuevos, la combinación de ambos en un modelo híbrido y 
la perspectiva de analizar el comportamiento de los suelos con estas técnicas son una idea 
original y abren un nuevo camino para el entendimiento de los suelos como la materia prima de 
nuestro desempeño como ingenieros geotecnistas. A partir de esto, los suelos no pueden seguir 
siendo vistos como una caja negra, si existen las técnicas y los procedimientos para conocerlos a 
fondo. 
 21
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS 
 
 
 
La teoría de percolación ha jugado un papel muy importante en el entendimiento de medios 
desordenados y sus propiedades. El desarrollo de las computadoras y la apertura de las ciencias 
clásicas a este nuevo tipo de métodos ha permitido ver la solución de problemas desde otra 
perspectiva. Si bien la teoría de percolación no es un concepto del todo nuevo, ya que empezó a 
vislumbrarse a finales de los años 50, sus aplicaciones han sido descubiertas en los últimos veinte 
años como ha sido reportado en la literatura. En este capítulo se presentan los conceptos básicos 
de la teoría de percolación así como una revisión de los antecedentes del tema enfocándose 
básicamente al problema que nos ocupa: la modelación del comportamiento esfuerzo 
deformación en los suelos. 
 
 
1.1 TEORÍA DE PERCOLACIÓN 
 
Con el avance en el conocimiento de la ingeniería de materiales, abordar los problemas desde el 
punto de vista microscópico se ha vuelto necesario. Numerosos materiales han sido desarrollados 
por los científicos sin que aún terminemos de conocer otros. Los ingenieros trabajan todo el 
tiempo con compósitos y mezclas cuya complejidad hace más difícil predecir el comportamiento 
tomando en cuenta las propiedades de cada uno de los elementos que constituyen el material. 
Todos los materiales presentan impurezas, defectos y condiciones de frontera que hacen que el 
modelamiento se complique. Pero existe una aparente aleatoriedad en la morfología de estos 
sistemas que nos hace pensar en estructuras desordenadas que bien pueden ser modeladas con 
métodos aleatorios. La morfología de un sistema tiene dos aspectos principales: topología, la 
interconectividad de los elementos microscópicos del sistema; y geometría, la forma y tamaño de 
esos elementos individuales. 
 
 22
En teoría de percolación, estos materiales pueden ser representados por sistemas ordenados o 
desordenados, en función de la microestructura que presentan. Dicha estructura puede ser 
representada por sistemas de redes regulares o aleatorias. La modelación más sencilla con esta 
teoría consiste en considerar que la red está compuesta básicamente por una fase presente y otra 
fase ausente o vacante [1]. Las redes pueden ser de diferentes formas, dependiendo de la 
estructura del material o el fenómeno que se quiera modelar. De acuerdo con Broadbent y 
Hammersley [6], un proceso difusivo involucra una caminata aleatoria de una partícula en un 
medio regular. En contraste, la percolación involucra un movimiento regular (fluido) a través de 
un medio aleatorio. 
La teoría de percolación clásica se centra alrededor de dos problemas: percolación de lazos y 
percolación de sitios. En la percolación enlazada, la red está constituida por lazos. Los lazos de la 
red están ocupados aleatoriamente e independientemente de los otros con probabilidad p, (por 
ejemplo, están abiertos al flujo, difusión y reacción, o bien, son elementos conductores 
microscópicos de un compuesto), o están vacantes (están cerrados al flujo o corriente, o han sido 
desconectados, o son elementos aislantes de un compuesto, etc.) con probabilidad 1-p. Para una 
red grande, estas asignaciones son equivalentes a remover una fracción 1-p para todos los lazos al 
azar. Dos sitios se llaman “conectados” si existe al menos una trayectoria entre ellos consistente 
únicamente de lazos ocupados. Un conjunto de lazos conectados es llamado un “cluster”, racimo 
o agregado. Un agregado es, por definición, un conglomerado de lazos o sitios ocupados, los 
cuales se comunican vía la regla del vecino más cercano. Si la red es de extensión muy grande y 
si p es suficientemente pequeño, el tamaño de cualquier agregado conectado es pequeño. Pero si 
p es cercano a 1, la red debería estar completamente conectada, con pequeños agujeros 
ocasionales. A algunos valores de p bien definidos, existe una transición en la estructura 
topológica de la red aleatoria; partiendo de una estructura macroscópicamente desconectada a una 
conectada; este valor se llama “umbral de percolación enlazada pcb”. Esta es la fracción más 
grande de lazos ocupados abajo de la cual no existe agregado percolante de lazos ocupados (fig. 
1.1.1) 
 
 
 
(a) 
 
(b) 
 
Fig. 1.1.1. Esquemas representativos de redes regulares de lazos. (a) Red cuadrada, (b) red 
hexagonal. 
 
 23
Similarmente, en el problema de percolación de sitio, los sitios de la red están ocupados con 
probabilidad p y las vacantes con probabilidad 1-p. Los dos sitios vecinos más cercanos se llaman 
“conectados” si están ambos ocupados, y los agregados conectados en la red son otra vez 
definidos en la manera obvia. Existe un umbral de percolación de sitio “pcs” arriba del cual un 
agregado infinito (percolante) de sitios ocupados atraviesa la red (fig. 1.1.2). Se debe apuntar que, 
dependiendo de una aplicación específica, se pueden desarrollar muchas variantes de la 
percolación enlazada o de sitio. 
 
 
 
(a) 
 
(b) 
 
Fig. 1.1.2. Esquemas representativos de redes regulares de sitios en los que se indica por lo 
menos un agregado percolante. (a) Red cuadrada, (b)red hexagonal. 
 
 
La fig. 1.1.3 muestra algunas redes bidimensionales regulares presentadas por Sahimi [1], entre 
las que se encuentran la red de Bethe, utilizada por Hammersley [6] para los primeros trabajos de 
percolación en materiales poliméricos. Z es el número de coordinación, o sea el número de lazos 
o sitios con que puede conectar un lazo o sitio individual, también llamado “conectividad”. 
La deducción de los valores exactos de pcb y pcs es posible sólo para ciertas redes relativas a la 
red de Bethe y para algunas cuantas redes bidimensionales. El umbral de percolación de una red 
tridimensional se ha calculado numéricamente por simulaciones Montecarlo o por otras técnicas. 
El valor de la probabilidad crítica pcr, depende de la dimensión del espacio d, del tipo de 
problema (de lazo o de sitio), y del tipo de red. En dos dimensiones, en algunos casos, pcr se 
puede calcular exactamentedebido al hecho de que las probabilidades críticas de ciertas redes se 
pueden referir unas a otras, ya que son complementarias. En el caso tridimensional, los umbrales 
de percolación no se conocen de manera exacta. Sólo se encuentran disponibles algunos datos 
numéricos. Puede demostrarse que, en dos o tres dimensiones, existe por lo menos un agregado 
infinito para p≥pcr, o no existe para p<pcr [1], ya que el umbral de percolación corresponde a la 
mínima concentración en la cual un agregado infinito forma un puente en la red. 
En las tablas 1.1.1 y 1.1.2 se resumen estimaciones típicas de pcb y pcs para redes bi y 
tridimensionales respectivamente. En general, pcb≤pcs. Estos valores toman en cuenta únicamente 
las propiedades geométricas de las redes. 
 
 24
 
Fig. 1.1.3. Algunas redes regulares. (A) Red de Bethe (Z=3). (B) Red de panal (Z=3). (C) Red 
cuadrada (Z=4). (D) Red Kagomé (Z=4). (E) Red triangular (Z=6)[1]. 
 
 
 
Tabla 1.1.1. Valores típicos aceptados del umbral de percolación de algunas redes bi-
dimensionales. [1] 
Red Z pcb pcs 
Panal 3 1 - 2 sen (π/18) ≅ 0.6527* 0.6962 
Cuadrada 4 1/2* 0.5927 
Kagomé 4 0.522 0.652 
Triangular 6 2 sen (π/18) ≅ 0.3473* 1/2* 
* Resultado exacto. 
 
 
Tabla 1.1.2. Valores típicos del umbral de percolación de algunas redes tridimensionales. [1] 
Red Z pcb pcs 
Diamante 4 0.3886 0.4299 
Cúbica simple 6 0.2488 0.3116 
BCC 8 0.1795 0.2464 
FCC 12 0.198 0.119 
 
 
Al parecer, no existe una regla para encontrar los valores de las probabilidades críticas para 
diferentes tipos de redes, sin embargo, Scher y Zallen [17] propusieron una relación basándose en 
que, para cada dimensión existe una invariante casi independiente del tipo de red. Esta invariante, 
cc fp=φ , es la fracción crítica de espacio ocupado por esferas (discos en 2D) de diámetro igual a 
la longitud de los lazos, colocadas en los sitios ocupados de la red. A esta cantidad se le llama 
“factor de llenado” de la red y denota la fracción de volumen ocupado por esferas que se tocan 
mutuamente y colocadas en cada sitio. Los valores reportados por Scher y Zallen son 
02.0±44.0=cφ para dos dimensiones y 005.0154.0 ±=cφ para tres dimensiones. 
 
 25
El valor de la probabilidad crítica decrece conforme aumenta la dimensión; por ejemplo, un 
agregado no percolante en una red en 2D puede ser una sección transversal de un agregado 
percolante en 3D. Si se supone una red cuadrada, aún cuando todos los agregados fueran finitos 
( 5), podrían ser parte de un agregado infinito en 3D ( ). Otra 
diferencia fundamental entre la percolación en 2D y 3D es que en 2D la percolación ocurre en 
una sola fase a la vez y nunca podrá ocurrir simultáneamente en las dos fases (la fase ocupada y 
la fase vacía). En cambio en 3D, la percolación puede ocurrir simultáneamente en ambas o más 
fases. Y aunque el comportamiento de los fenómenos en 3D es muy diferente al comportamiento 
en 2D, frecuentemente se hacen simplificaciones para reducir los problemas tridimensionales a 
dos dimensiones debido a las limitaciones de procesamiento de los equipos de cómputo 
existentes. 
.0=< crpp 248.0≅> crpp
Además del umbral de percolación, las propiedades topológicas de las redes de percolación se 
caracterizan por varias cantidades importantes [1]. 
 
1.- Probabilidad de percolación P(p). Esto es, la probabilidad que, cuando una fracción de lazos 
ocupados es p; un sitio dado pertenece al agregado (percolante) infinito de lazos ocupados. 
 
2.- Fracción accesible XA(p). Esto es, la fracción de lazos ocupados pertenecientes al agregado 
infinito. 
 
3.- Fracción de soporte XB(p) Esto es, la fracción de lazos ocupados en el agregado infinito, el 
cual actualmente lleva el flujo o la corriente. Algunos de los lazos en el agregado son terminales 
y no pueden llevar ningún flujo. El esqueleto de un sistema de percolación juega un papel 
fundamental en sus propiedades de transporte, porque la tortuosidad de las trayectorias del 
transporte se controla por la estructura del esqueleto. 
 
4.- Longitud de correlación ξp(p), Esto es el radio típico de los agregados conectados para p<pc, 
y la escala de longitud sobre la cual la red aleatoria es macroscópicamente homogénea (p, ej.- la 
escala de la longitud sobre la cual las propiedades del sistema son independientes de su tamaño 
lineal L) para p > pc, Entonces, en cualquier simulación Montecarlo de percolación se debería 
tener L >> ξp para que el resultado sea independiente de L. 
 
5.- Número promedio de agregados de tamaño s (por sitio de red) ns(p).- A partir de sns es la 
probabilidad que un sitio dado sea parte de un s-agregado, un tamaño de agregado principal Sp(p) 
se puede definir por 
( )
∑
∑=
ss
ss
p sn
ns
pS
2
 (1.1.1) 
 
6.- Conductividad eléctrica efectiva ge. Esto es la conductividad eléctrica de una red de 
resistencia aleatoria en la cual una fracción p de lazos es conducente y el resto son aislantes. 
Similarmente, si una red representa el espacio del poro en un medio poroso en el cual una 
fracción p de los poros está abierta al flujo o la fusión, se pueden definir una difusividad efectiva 
Dr y una permeabilidad hidrodinámica k. 
 
 
 26
7.- Módulo elástico efectivo G. Esto es el módulo elástico de la red en el cual una fracción p de 
los lazos son elementos elásticos (por ejemplo - resortes), mientras que el resto no tienen rigidez 
(están cortados). 
 
Las propiedades topológicas tales como las fracciones accesible o de soporte son usualmente 
calculadas por simulaciones Montecarlo. Por ejemplo, Stauffer et al. [18] proporciona un 
programa de computadora para calcular XA(p), mientras Liem y Jan [19] discuten un método para 
calcular XB(p). Las propiedades de transporte, tales como la conductividad efectiva o el módulo 
elástico, se pueden calcular por simulaciones Montecarlo o por aproximaciones analíticas. 
Unas de las características más importantes de los procesos de percolación son las leyes de 
escalamiento universal. El comportamiento de muchas redes cerca del umbral de percolación es 
independiente del tipo de red y del tipo de percolación (lazos o sitios). Existe una aparente 
universalidad que permite que algunas propiedades obedezcan leyes de escalamiento cerca del 
umbral de percolación. A los exponentes que dependen únicamente de la dimensión euclidiana 
del sistema que caracterizan dichas leyes de escalamiento se les llaman “exponentes críticos” [3]. 
Las leyes de escalamiento pueden escribirse como sigue: 
 
( ) α−−∝ 2crs pppn (1.1.2a) 
 
( ) ( )βcrpppP −∝ (1.1.2b) 
 
( ) ( )βcrA pppX −∝ (1.1.2c) 
 
 ( ) ( )βcrB pppX −∝ (1.1.2d) 
 
( ) νξ −−∝ crp ppp (1.1.2e) 
 
( ) ( )µcrpppG −∝ (1.1.2f) 
 
 
En la tabla 1.1.3. se presenta un resumen de algunos de los exponentes críticos de percolación. 
Estos exponentes dependen solamente de la dimensión en el espacio y no del tipo de red o de la 
clase de problema de percolación; por esta razón se les llama también “universales”. Los 
exponentes críticos se obtienen de las leyes de potencia que definen el comportamiento de las 
propiedades de las redes. En la mayoría de los casos y utilizando las ecuaciones anteriores, sólo 
dos de ellos se calculan a partir de los principios básicos. Se considera al exponente de longitud 
de correlación ν y el exponente de densidad del agregado infinito β como los exponentes de 
percolación básicos. La elección de estos exponentes es relativa, ya que se consideran básicos 
porque fueron los primeros en ser determinados analíticamente en 2D. Los demás exponentes se 
obtienen usando argumentos de escalamiento o de autosimilitud [20]. 
 
 
 
 27Tabla 1.1.3. Algunos exponentes críticos de percolación. [20] 
Exponente d=2 d=3 
α=2-νd -2/3(d,e) -0.64±0.054(a) 
β 5/36=0.138881,2,3(d) 
0.15±0.025(a) 
0.138±0.0076(a) 
0.14±0.028(c) 
0.39±0.075(e) 
0.454±0.0084(a) 
0.45±0.27(c) 
0.43±0.049(b) 
0.405±0.02510(a) 
ν 4/31,2,3(d) 
1.34±0.025(a) 
1.343±0.0198(c) 
1.33±0.0715(c) 
1.35±0.0314(b) 
1.35±0.0616(b) 
1.333017(b) 
0.82±0.055(a) 
0.89±0.0113(b) 
0.91±0.0814(b) 
0.88±0.024(e) 
0.94±0.027(c) 
0.88±0.059(b) 
0.905±0.02310(e) 
µ 1.25±0.0518(b) 
1.10±0.0518(b) 
1.3021(f) 
1.25±0.123(f) 
1.28±0.0324(b) 
1.27±0.0425(b) 
1.31±0.0426(b) 
1.22±0.0816(b) 
ν=4/327(g) 
1.24±0.0528(b) 
1.32±0.0528(c) 
1.6±0.119(b) 
1.725±0.00520(b) 
1.422(c) 
1.70±0.0518(b) 
1.75±0.118(b) 
1.50±0.1023(f) 
9ν/4≅2.0027(g) 
2.46±0.128(c) 
1.95±0.128(b) 
τ=(2νd-β)/(νd-β) 187/91=2.0549(d,e) 
2.0±0.18(c) 
2.19±0.0112(b) 
Fuente: M.B. Isichenko.- (1992)[20] 
1 den Nijs (1979). 
2 Pearson (1980). 
3Nienhuis (1982). 
4Gaunt and Sykes (1983). 
5Dunn et al. (1975). 
6Sykes et al. (1976ª, 1976b, 1976c). 
7Elan et al. (1984). 
8Gawlinski and Stanley (1977). 
9Grassberger (1986ª). 
10Adler et al. (1990). 
11Lee (1990). 
12Streski et al. (1991). 
13Heermann y Stauffer (1981). 
14Kertész et al. (1982). 
15Vicsek y Kertész (1981). 
16Mitescu et al. (1982). 
17Kertész (1986). 
18Straley (1977). 
19Kirkpatrick (1973). 
20Onizuka (1975). 
21Smith y Lobb (1979). 
22Webman et al. (1976). 
23Clerc et al. (1980). 
24Derrida y Vannimenus (1982). 
25Li e Strieder (1982). 
26Fogelholm (1980). 
27Family y Coniglio (1985). 
28Murat et al. (1986). 
 
(a) De series de expansión. 
(b) Redes con simulación Montecarlo. 
(c) Simulaciones continuas Montecarlo. 
(d) Exacto. 
(e) A partir de relaciones de escalamiento. 
(f) Experimental. 
(g) Aproximación de Flory (1969). 
 
Nota: todas las referencias enumeradas en esta tabla se encuentran 
contenidas en [19]. 
 
 
En dos dimensiones (d=2), estos exponentes se conocen analíticamente, ν= 4/3 y β= 5/36. Para 
d=3, sólo se tienen disponibles aproximaciones numéricas: ν ≅ 0.90 y β ≅ 0.40. A estos dos 
exponentes críticos se les llama también exponentes “estáticos” porque caracterizan sólo la 
geometría y distribución de agregados. El resto de los exponentes pueden expresarse como 
función de los exponentes básicos y se les denomina “dinámicos”. Éstos expresan las propiedades 
físicas correspondientes a redes de percolación que representan medios desordenados (tales como 
la conductividad, la elasticidad, o la permeabilidad). Los agregados de percolación se utilizan 
 
 28
usualmente para modelar objetos físicos, como sólidos amorfos, materiales compuestos, rocas 
porosas y polímeros, entre otros. 
El concepto de universalidad de los exponentes críticos reduce el enorme número de modelos 
diferentes a unos pocos, cuyos conjuntos de exponentes críticos son calculados y tabulados. El 
cálculo de los exponentes no es fácil. En cierto sentido, es una parte importante que estudia la 
física de fenómenos críticos. En estos términos, el problema de percolación pertenece a una de las 
clases de universalidad más simples, la cual es usualmente llamada la “clase de universalidad de 
percolación aleatoria, o no-correlacionada”. Los exponentes críticos universales ν y β no 
dependen del tipo de red (cuadrada, triangular, o cualquiera de las descritas) sino únicamente de 
la dimensión d. Esta afirmación ha sido confirmada por una vasta variedad de experimentos 
numéricos reportados en la literatura. 
 
 
Percolación en redes aleatorias y continuas 
 
Muchos problemas prácticos tratan con sistemas desordenados con redes regulares, pero con el 
desarrollo de computadoras más potentes, el uso de redes continuas, y redes topológicamente 
aleatorias ha ido cobrando mayor interés, sobre todo porque el número de coordinación Z se 
puede variar de un sitio a otro. 
En la literatura existente se han reportado diferentes maneras de realizar percolación continua, 
aunque estas propuestas no son del todo nuevas, ya que comenzaron en los años 60. Uno de los 
métodos, llamado modelo de queso suizo (fig. 1.1.4) consiste en hacer una distribución aleatoria 
de inclusiones, tales como círculos, esferas o elipses, en un sistema uniforme diferente. En este 
sistema, la percolación se define como la formación de un agregado percolante de las trayectorias 
entre inclusiones intocables, o como la formación de un agregado percolante de inclusiones 
tocables o traslapados. Este modelo se ha utilizado con éxito para la modelación de materiales 
compuestos (del inglés, composites) de dos o más fases. También se ha utilizado una variante de 
esta red para predecir la conductividad hidráulica en suelos finos compactados [21]. 
 
 
 
 
 
Fig. 1.1.4 Modelo queso suizo bidimensional para percolación continua [1]. 
 
 
 
 29
Otro método conocido es el llamado Poliedro de Voronoi [22], el cual se ha utilizado para tratar 
estructuras no cristalinas de materiales como sólidos amorfos, líquidos y gases densos (fig. 1.1.5). 
En este método, se divide el espacio en poliedros aleatorios o regulares, una fracción de los 
cuales está ocupada (conductores), mientras que el resto no están ocupados. Los poliedros de 
Voronoi se conocen también como celdas de “Wigner-Seitz” y se utilizan algunas veces para 
denotar estructuras de sólidos cristalinos. Un ejemplo se muestra en la fig. 1.1.5. 
 
 
 
 
 
Fig. 1.1.5 Esquema representativo de un modelo bidimensional de Voronoi [22]. 
 
 
En el tercer método, se distribuyen varas conductoras aleatorias de una proporción dada, o placas 
de una extensión dada. Este último tipo de desorden continuo se ha utilizado para modelar flujo 
de agua a través de fracturas en rocas y predecir la conductividad hidráulica con muy buenos 
resultados [1, 21]. 
Para la percolación continua, la fracción de volumen ocupada crítica φc, se define como 
 
φc = pcr ƒl , (1.1.3) 
 
donde ƒl es el factor de relleno (previamente definido) de una red bajo la suposición de que cada 
sitio está ocupado por una esfera impermeable, de tal forma que cuando dos esferas vecinas -las 
dos más cercanas- se tocan una a otra en un punto, ƒl parece ser una invariante del sistema cuyo 
valor es alrededor de 0.45 para d=2 y 0.15-0.17 para d=3, [16]. Shante y Kirkpatrick [23] 
generalizaron esta idea para esferas permeables y mostraron que la conectividad promedio por 
sitios Bc en la probabilidad crítica pcr está relacionado con φc de la siguiente manera: 
 
φc = 1 - exp(-Bc/8), (1.1.4) 
 
y que el valor de Bc para percolación continua es el valor límite de pcr Z, cuando Z → ∞. Haan y 
Zwanzig [24] hicieron estimaciones para encontrar los valores precisos de Bc para muchos 
sistemas. 
 
 30
Se puede cambiar la definición de conectividad a partir de la regla del vecino más cercano a la 
del vecino próximo al más cercano. En general, se puede introducir el rango de interacción, o el 
rango de conectividad R, tal que cualquiera dos sitios separados por una distancia menor que R 
son atribuidos al mismo agregado. Debido a la mejor conectividad de sitios, el umbral de 
percolación pc(R) se disminuye conforme R crece, con el escalamiento aparente de pc(R)∝R-d [25, 
26]. No obstante, los exponentes de esta percolación no muestran diferencias notables con 
respecto a aquellas de la percolación de vecinos más cercanos estándar. 
 
1.2 CARACTERIZACION DE MEDIOS POROSOS 
 
Los medios porosos se encuentran literalmente en todas partes y la mayoría son materiales con 
los que estamos muy familiarizados. Los encontramos en todas las etapas de nuestra vida en 
forma de materiales producto de la tecnología o bien, en estado natural. Según Dullien [27], “con 
excepción de los metales, algunas rocas densas y algunos plásticos, casi todos los materiales 
sólidos y semisólidos son porosos en diferentes grados”. Los materiales porosos están 
constituidos por material sólido y contienenpequeños espacios a los que se les denomina poros o 
vacíos embebidos en la matriz sólida. Los poros usualmente contienen algunos fluidos como aire, 
agua, petróleo, etc., o una mezcla de fluidos. Si el fluido puede entrar por una cara y salir por otra 
cara del material, entonces se dice que el material poroso es “permeable”. La característica 
principal para que un material poroso sea llamado “medio poroso” es que debe ser permeable 
[27]. Los medios porosos pueden variar desde un catalizador hasta un macizo rocoso. 
Todas las propiedades macroscópicas de los medios porosos están influenciadas por la estructura 
de los poros. Las propiedades macroscópicas más importantes son la porosidad φ, la 
permeabilidad, la superficie específica y el umbral de presión capilar. Los modelos de 
percolación se han utilizado para estudiar las propiedades morfológicas de medios porosos. La 
morfología de un medio poroso consiste en sus propiedades geométricas, tales como la forma, el 
tamaño y el volumen de los poros. Las propiedades topológicas tratan la manera en que se 
encuentran conectados los poros uno con otro. 
Hoy en día, existen muchas técnicas experimentales sofisticadas para caracterizar la morfología 
de un medio poroso [28], pero sólo algunos emplean la teoría de percolación. La estructura de un 
medio poroso depende de su heterogeneidad y la escala de longitud a la cual el medio es 
inspeccionado. Sahimi [3] ha utilizado la teoría de percolación para modelar el proceso de 
formación de los suelos residuales, también llamado proceso diagenético de los suelos. 
El proceso diagenético comienza con el depósito de sedimentos y su subsecuente compactación y 
procesos de alteración que provocan cambios drásticos en la morfología de un acuífero rocoso. El 
modelo se enfocó básicamente a areniscas. Las areniscas son rocas constituidas de granos 
cementados con una amplia variedad de compuestos químicos y mezclas. Es conocido que la 
permeabilidad de las areniscas permite que sean un medio ideal para constituir acuíferos. Si el 
medio ambiente alrededor de las areniscas cambia, los granos comienzan a reaccionar 
químicamente y producen nuevos compuestos, los cuales se depositan en la superficie de los 
granos de arena. Como resultado, las propiedades mecánicas de los granos, como su resistencia a 
la fractura, también cambian. Los cambios físicos y químicos en la arena después de esta 
 
 31
depositación constituyen un proceso diagenético. Las principales características del proceso 
diagenético son: 
 
1. La deformación mecánica de los granos; 
2. la solución de minerales; 
3. la alteración de los granos; y 
4. la precipitación de los minerales que llenan los poros, cementantes, y otros materiales. 
 
Estas características tienen una influencia clave en el volumen de almacenamiento de un acuífero, 
por ejemplo, porque controlan la porosidad de la roca, la cual es la fracción de volumen de poros 
abiertos. Quizás el resultado más importante del proceso diagenético sea que los poros 
permanecen interconectados aún cuando la porosidad sea muy pequeña. Se ha encontrado por 
microscopía electrónica de barrido que algunos poros pueden estar conectados con más de otros 
veinte poros [3]. Esto implica que la porosidad crítica φc del sistema para tener un agregado 
percolante de poros abiertos (el umbral de percolación del sistema) sea muy baja. 
Sahimi utilizó un modelo geométrico, el cual ignora la cinética de reacción y los procesos de 
transporte, pero modela el proceso diagenético comenzando por un modelo de espacio poroso no-
consolidado y haciendo suposiciones simples acerca de la velocidad de cambio de los granos y la 
forma y tamaño de los poros, tomando en cuenta el efecto de la conectividad y la percolación de 
poros y granos. 
El modelo puede ser aplicado en una gran variedad de problemas debido a que la porosidad de 
areniscas y rocas similares es usualmente menor de 0.4, y proporciona resultados razonables del 
proceso diagenético. Aún más, el medio poroso resultante es muy similar a areniscas naturales. 
Schwartz et al. [29], consideraron además una extensión del modelo para medios porosos donde 
los granos no son esféricos sino elipsoidales, para modelar rocas anisotrópicas o medios 
estratificados, los cuales son abundantes en la naturaleza. 
Otro problema que también ha sido objeto de las investigaciones de Sahimi, es el fracturamiento 
de las rocas, ya que este domina muchos de los fenómenos de transporte en reservas de agua o de 
petróleo. El proceso diagenético tiene una vital importancia en el desarrollo de las fracturas que 
aparecen en las rocas y debe ser tomado en cuenta para la modelación de dichas 
heterogeneidades. 
Estos modelos han sido muy utilizados para desarrollar un marco teórico unificado para describir 
muchas propiedades de medios granulares, como las areniscas. Sin embargo, tales medios 
porosos poseen fases porosas o sólidas que tienen característica relativamente simples. 
Otros medios porosos son más complejos y la geometría de sus fases porosa y sólida no es tan 
simple como la de los medios granulares. Todavía no se han propuesto modelos de percolación 
para tales medios que comprenden rocas y suelos. 
 
 
1.2.1 CONCEPTOS DE PERCOLACIÓN APLICADOS PARA LA CARACTERIZACIÓN 
DE PROPIEDADES MORFOLÓGICAS DE MEDIOS POROSOS 
 
Una de los parámetros más importantes para caracterizar la geometría del espacio poroso es la 
distribución de tamaños de poros. Los poros están básicamente constituidos de dos partes: los 
 
 32
cuerpos de poro, en los cuales reside la porosidad y las gargantas de poro, las cuales son los 
canales que conectan los cuerpos de poro. Usualmente, se asignan radios efectivos a los cuerpos 
de poro y gargantas, los cuales son burdamente radios de esferas que tienen el mismo volumen 
que el cuerpo de poro y la garganta de poro (fig. 1.2.1). 
Los medios porosos son frecuentemente representados por una red de lazos y sitios; los cuerpos 
de poro están representados por sitios de red y las gargantas de poro están representadas por lazos 
de red. Se define la distribución de tamaños de poro como la función de densidad de probabilidad 
que proporciona la distribución del volumen de poro por un tamaño de poro efectivo o 
característico. Los poros están interconectados, así que el volumen que se asigna a un poro puede 
depender del método experimental y del modelo de espacio poroso que se emplee para interpretar 
los datos. 
La porosimetría con mercurio y los experimentos de adsorción-desorción, son dos métodos 
ampliamente usados para medir la distribución de tamaño de poros que utilizan percolación para 
interpretar los datos. 
 
 
 
 
Figura 1.2.1 Representación esquemática de los cuerpos de poro 
y las gargantas de poro en un medio poroso. 
 
 
Porosimetría con mercurio y teoría de percolación 
 
En la porosimetría con mercurio [27], la fase líquida del medio poroso es evacuada y después, el 
material se embebe en mercurio, el cual comienza a penetrar el espacio poroso al aplicar una 
presión externa al sistema. La presión aplicada se incrementa y el volumen de mercurio que 
penetra se va midiendo como una función de la presión. Cada vez son necesarias presiones más 
grandes para penetrar los poros más pequeños. En una segunda etapa, la presión se regresa al 
valor atmosférico y como resultado, el mercurio se va retrayendo de los poros, presentándose un 
efecto de histéresis. Esta técnica fue desarrollada en los 1940s, y continua siendo popular. 
Usualmente se utiliza para poros entre 0.003 y 100 µm. 
 
 33
Mientras que la porosimetría con mercurio es un experimento relativamente sencillo, la 
interpretación de los datos no es tan simple y se ha utilizado la teoría de percolación para 
describir el modelo de penetración. Aunque inicialmente no se hayan manejado los conceptos 
propios de la teoría de percolación, la interpretación toma en cuenta el efecto de la 
interconectividad de los poros. La idea principal es que durante la inyección,los poros más 
grandes serán los primeros en ser ocupados por el mercurio, siguiendo una función de 
distribución f(r), donde r es el radio de poro. Durante la retracción, el mercurio será expulsado 
primero de los poros más pequeños. Los medios porosos se modelan con redes cuadradas 
formadas por lazos capilares y se simula el efecto de penetración y retracción del mercurio, 
obteniendo una distribución de tamaño de poros. La presión capilar (Pc) y la saturación S, se 
miden durante el experimento. El método es iterativo, suponiendo inicialmente una conectividad 
Z y una distribución f(r), hasta encontrar una Z y una f(r) satisfactorias. 
 
 
Geometría del espacio poroso: adsorción-desorción y percolación 
 
Otro método para determinar la distribución de tamaño de poros de un medio poroso es utilizando 
datos de isotermas de adsorción-desorción [30]. Normalmente se utiliza nitrógeno líquido, 
aunque se pueden utilizar otros gases. 
Considerando primero la adsorción del nitrógeno en un poro simple en el cual se incrementa la 
presión, resulta una capa adsorbida de nitrógeno que forma una pared en el poro cuyo espesor se 
incrementa cuando se incrementa la presión. En la presión de condensación el poro se llena con 
líquido, lo que resulta en un incremento de un paso en la isoterma de adsorción (un aumento de 
radio de poro r). La presión de condensación viene dada por la ecuación de Kelvin [27]. Cuando 
la presión se reduce, la isoterma de desorción no se retrae pero, tal como ocurre en la 
porosimetría con mercurio, se forma el ciclo de histéresis antes de recomenzar otra adsorción. 
Similarmente a la porosimetría con mercurio, la desorción es controlada por las gargantas de 
poro. La desorción comienza en el umbral de percolación en el cual se forma un agregado simple 
percolante de gargantas de poro que contienen vapor. Por otro lado, la adsorción es controlada 
por los cuerpos de poro, los cuales se van llenando de gas hasta llegar a la presión de 
condensación del vapor. 
La simulación de los procesos de adsorción y desorción es similar a la que se hace para el método 
de penetración con mercurio. Generalmente, el espacio poroso se representa por una red de 
cuerpos de poro interconectados (sitios) y gargantas de poro (lazos). Al final de la adsorción 
primaria y en la máxima presión, teóricamente todos los poros de la red están llenos de nitrógeno 
líquido. A medida que la presión va disminuyendo, el nitrógeno vaporiza de algunos de los poros 
de la superficie externa de la red, y continúa vaporizando hasta que percola. Similarmente a la 
porosimetría con mercurio, se puede derivar una formulación analítica para encontrar la 
distribución de tamaños de los cuerpos de poro y de las gargantas de poro ocupados por la fase 
líquida o de vapor del nitrógeno durante la adsorción o la desorción; o bien se pueden utilizar 
simulaciones Montecarlo. Los parámetros que caracterizan al medio poroso se van variando hasta 
encontrar los resultados de la simulación que más se asemejen a los datos experimentales. 
 
 
 34
Adicionalmente a la distribución de tamaños de poros, la geometría de un espacio poroso se 
caracteriza también por la porosidad y la rugosidad de las superficies de sus poros. Se ha 
establecido que, en ciertas escalas de longitud, la superficie de poro y el volumen de poro de la 
mayoría de los medios porosos son fractales, aunque sus dimensiones fractales son 
probablemente, no relacionadas a las de percolación. 
 
 
Topología del espacio poroso: adsorción-desorción y percolación 
 
Uno de los conceptos más simples para caracterizar la topología de un medio poroso es el número 
de coordinación Z, definido como el número de gargantas de poro conectadas a un cuerpo de 
poro del medio. Para estructuras de poros regulares, tales como arreglos cúbicos de esferas, es 
fácil determinar Z, mientras que para espacios porosos irregulares es frecuentemente difícil y 
ambiguo. Se tiene que definir un número de coordinación promedio Z y el promedio se toma de 
una muestra del medio lo suficientemente grande. Para medios macroscópicamente homogéneos, 
microscópicamente desordenados, Z es independiente del tamaño de la muestra. 
Seaton [31] utilizó la teoría de percolación en combinación con el método de adsorción de 
nitrógeno para estimar el número de coordinación promedio de partículas catalizadoras, el 
resultado fue satisfactorio de acuerdo con sus datos. 
La Teoría de percolación proporciona una herramienta para la interpretación de datos 
experimentales y la comprensión de la estructura de medios porosos. Los viejos modelos de tubos 
capilares son totalmente inadecuados para la interpretación de la porosimetría con mercurio y los 
datos de adsorción-desorción y eso lleva a errores serios en las conclusiones. La teoría de 
percolación abre el camino para la modelación de medios porosos y cualquier problema que 
tenga que ver con ellos. 
 
 
1.3 REDES ELÁSTICAS 
 
A partir de 1980, se creyó que el comportamiento elástico de las redes desordenadas como el 
caucho se podía modelar como el comportamiento eléctrico de una red aleatoria de resistencias 
[18]. Así como se necesita una cadena continua de conductores para tener un flujo de corriente 
eléctrica, también se necesita una cadena elásticamente activa en el material elástico para crear 
alguna resistencia contra la deformación. El módulo elástico es proporcional al radio de las 
fuerzas aplicadas y de la deformación producida. Además, se pensaba que existía una analogía 
con la conductividad eléctrica que tendía a pc con el mismo exponente µ. 
Para percolación de lazos en una red cuadrada, se reemplaza cada lazo por un resorte, el cual trata 
de mantener una distancia unitaria entre los sitios vecinos. La fuerza “central” aparece al 
elongarse o contraerse ese resorte. Hasta que p toma el valor de 1, una red cuadrada es inestable 
contra las fuerzas cortantes, y para p < 1 una red triangular puede ser inestable aún si existe una 
red infinita de lazos conectados. En el umbral de percolación, los esfuerzos son soportados por el 
esqueleto del único agregado infinito. El resto de los agregados (finitos) no tiene continuidad ya 
que se encuentran separados por lazos inexistentes, por lo tanto, no contribuyen a la resistencia de 
 
 35
la red, volviéndola inestable. El umbral para el módulo elástico finito es así más grande que para 
la conectividad [18]. 
Tales traslaciones de umbrales de percolación se evitan si sustituimos estas fuerzas centrales por 
fuerzas de flexión en los lazos (debidas a momentos o a cargas externas) [18]. Así, la energía de 
deformación consiste de dos términos. Una energía de resorte (como en la ley de Hooke), 
proporcional al cuadrado del cambio de la longitud, y una energía flexural, proporcional al 
cuadrado de la deformación angular (las longitudes y los ángulos son medidos entre sitios 
vecinos y lazos, respectivamente). 
En este modelo, el comportamiento elástico llega a ser crítico en el umbral de percolación 
geométrico. Sin embargo, la elasticidad y la conductividad tienen exponentes críticos diferentes. 
El cambio de un ángulo entre dos lazos es proporcional no solamente a la fuerza aplicada, sino 
también a la distancia a la cual ésta fuerza es aplicada, por ejemplo: está dada por el momento 
[32]. Esta distancia no es análoga al cálculo de conductancia y afecta cuadráticamente a la 
energía de deformación. En los diagramas de nodos-lazos, la distancia es ξ. Si uno considera 
solamente la respuesta elástica de lazos simplemente conectados, entonces la constante de resorte 
(igual a la relación de la fuerza y la deformación del resorte, como en la ley de Hooke) de un lazo 
típico de tamaño lineal ξ es [18] 
 
( ) ( ) 1212 +−− −∝∝ νξ ξξ crSC ppMk (1.3.1) 
 
donde Msc(ξ) es el número de lazos simplemente conectados de tamaño ξ. 
 
el coeficiente elástico de rigidez del esqueleto se comporta con (p-pcr)τ, con: 
 
( ) 1122 +=++−= ννντ dd