4 Polinomios - Axel Sánchez Nazario (1)

Vista previa del material en texto

POLINOMIOS
ELABORÓ: M . I FR ANCISCO BAR R ER A DEL R AYO
Definición de polinomio
Un polinomio en x es un expresión de la forma:
! " = $%"% + $%'("%'( +⋯+ $(" + $*
O
! " = +
,-*
%
$,",
Donde n es un número entero no negativo y los $. son los coeficientes del
polinomio con $. ∈ ℂ.Se define como grado de un polinomio al exponente
mayor al que aparece elevada la variable en el polinomio, siendo su
coeficiente diferente de cero
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Igualdad de polinomio
Sean !(#) y %(#) dos polinomios del mismo grado donde:
! # = '(#( + '(*+#(*+ +⋯+ '+# + '-
% # = .(#( + .(*+#(*+ +⋯+ .+# + .-
Se dice que:
! # = % # ⟺ '0 = .0 ∀ 2
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Adición de polinomio
Sean !(#) y %(#) dos polinomios:
! # = '(#( + '(*+#(*+ +⋯+ '+# + '-
% # = .(#( + .(*+#(*+ +⋯+ .+# + .-
Se define ! # + % # como:
! # + % # = ('(+.()#( + ('(*++.(*+)#(*+ +⋯+ ('++.+)# + ('-+.-)
Nota: No importa el grado de los polinomios
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Propiedades de la adición
Sean los polinomios !, # y $
Propiedades Adición
Cerradura ! + # ∈ '
Asociatividad ! + # + $ = ! + # + $
Conmutatividad ! + # = # + !
Elemento idéntico ∃ 0 ∈ ' | ! + 0 = !
Elementos inversos ∃ −! ∈ ' | ! + (−!) = 0
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Multiplicación de polinomios
Sean !(#) y %(#) dos polinomios:
! # = '(#( + '(*+#(*+ +⋯+ '+# + '-
% # = ./#/ + ./*+#/*+ +⋯+ .+# + .-
Se define ! # 0 % # como:
('(./)#(1/ + ('(+./*+)#(1/*+ +⋯+ ('(.-)#( +
('(*+./)#(*+1/ +⋯+ ('-./)#/ +⋯+ ('-+.-)
Nota: No importa el grado de los polinomios
! # 0 % # =
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Propiedades de la multiplicación
Sean los polinomios !, # y $
Propiedades Adición
Cerradura ! % # ∈ '
Asociatividad ! % # % $ = ! % # % $
Conmutatividad ! % # = # % !
Elemento idéntico ! % 1 = !
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Multiplicación de un polinomio por un escalar
Sean ! " = $%"% + $%'("%'( +⋯+ $(" + $* y ∝ ∈ ℂ
Se define ∝ ! " como:
∝ ! " =∝ $% "% + ∝ $%'( "%'( +⋯+∝ $(" + ∝ $*
Propiedades:
1. ∝ .! " = ∝ . !(")
2. ∝ ! " + 1 " = ∝ ! " + ∝ 1 "
3. ∝ +. ! " = ∝ ! " + . !(")
4. 1 3 ! " = !(")
M.I Francisco Barrera Del Rayo
División de polinomios
Sean ! " y # " dos polinomios, con g " ≠ 0. La operación ((*),(*) se
define como:
!(")
#(") = . " +
0(")
#(")
Donde:
!(") → Dividendo
#(") → Divisor
.(") → Cociente
0(") → Residuo
# " !(")
0 "
. "
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Algoritmo de la división
Dados ! " y # " con g " ≠ 0, existen dos polinomios únicos ' " y
( " , tales que:
!(") = ' " #(") + ((")
Donde #( ((") < #( #(") o bien ( " = 0
Cuando al efectuar la división de dos polinomios, se tiene que el residuo
es ( " = 0, entonces se dice que ! " es divisible entre #("), o también
se dice que #(") es un factor de ! " , esto es:
! " = ' " #(")
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Teorema del residuo
Al dividir un polinomio !(#) entre (# − &), el residuo de la división es
!(&).
Teorema del factor
Un polinomio !(#) es divisible entre (# − &), si y sólo si, ! & = 0.
M.I Francisco Barrera Del Rayo
División sintética
Se utiliza para dividir un polinomio cualquiera ! " entre otro de la
forma (" − %).
−3
4 2 − 1 1
−12 30 − 87
4 − 10 29 − 86
!(")
(" − %) =
4"1 + 2"3 − " + 1
" + 3 = 4"
3 − 10" + 29 x + 3 + (−86)
%
56789:97;<7= >7? !(")
@7=9>A6 B(")
56789:97;<7= >7? 56:97;<7 C(")
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Raíces de un polinomio
Sea ! " un polinomio con coeficientes en ℂ y sea ∝∈ ℂ. Decimos que
∝ es una raíz de !("), si y sólo si, ! ∝ = 0.
Ejemplo:
Sea ! " = "* − "
= " (", − 1)
= " " + 1 (" − 1)
∝/= 0 ∝, = −1 ∝*= 1
! "
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Teorema fundamental de álgebra
Todo polinomio !(#) con grado % tiene exactamente %
raíces, entonces el polinomio !(#) lo podemos expresar de la
siguiente manera:
! # = (#−∝)) (#−∝*) (#−∝+)…(#−∝,)
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Técnicas para obtener raíces 
Las raíces de un polinomio !(#) con coeficientes en ℚ pueden ser: Reales ℝ o
complejos ℂ.
Teorema
Sea ! # un polinomio con coeficientes enteros y sea () una raíz racional de
!(#) reducida a su mínima expresión, entonces:
*
+
*,Es factor de
Es factor de *-
! # = *-#- + *-01#-01 +⋯+ *1# + *,
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Cotas de las raíces reales de un polinomio
Sea !(#)un polinomio coeficientes reales donde:
! # = &'#' + &')*#')* +⋯+ &*# + &, con &' > 0
Al realizar la división sintética de ! # entre (# −∝) se tiene que:
1. Con ∝ > 0, si no existen números negativos en el tercer renglón, entonces las
raíces de ! # son menores que ∝. (∝ es cota superior)
2. Con ∝ < 0, si los números del tercer renglón son alternadamente positivos y
negativos, entonces las raíces de ! # son mayores que ∝. (∝ es cota inferior)
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Teorema
Sea !(#) un polinomio con coeficientes en ℚ y ∝'= ) + + ,,
con a, +, , ∈ ℚ , + ≠ 0 y , > 0 , una raíz racional de ! # ,
entonces ∝3= ) − + , también es raíz de ! # .
Teorema
Sea !(#) un polinomio con coeficientes en ℝ y ∝= ) + +7, con
+ ≠ 0, es una raíz de ! # , entonces 8∝= ) − +7 también es raíz
de ! # .
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Regla de signos de Descartes
Sea !(#) un polinomio con coeficientes en ℝ , ordenado en
potencias decrecientes de la variable con &' ≠ 0.
a) El número de raíces reales positivas del polinomio !(#) es igual
al número de cambios de signo en ! # , o menor que éste en un
número par.
b) El número de raíces reales negativas del polinomio !(#) es igual
al número de cambios de signo en ! −# , o menor que éste en
un número par.
M.I Francisco Barrera Del Rayo