EMMC Ejercicios resueltos 2 tema4 Esfuerzos - Axel

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EJERCICIOS RESUELTOS 
TEMA 4 
ESFUERZOS 
4. Para una determinada partícula que corresponde a un medio continuo y considerando 
un tiempo mayor al de referencia (t), se tiene su ecuación de trayectoria, así como su 
estado de esfuerzos, el cual ha sido calculado bajo la consideración de un área 
instantánea, y que son 
 
1 1 2 2 3 3
1 1
16 , ,
4 4
x X x X x X= = − = − 
90 30 60
30 60 90
60 90 60
ijT MPa
− − 
 
=
 
 − − 
 
 
Determine: 
a) El primer tensor de esfuerzos de Piola-Kirchhoff. 
b) El segundo tensor de esfuerzos de Piola-Kirchhoff. 
 
Solución 
a) Primer tensor de esfuerzos de Piola-Kirchhoff. 
A partir de la ecuación de trayectoria dada, pueden obtenerse el tensor gradiente de deformación, 
su determinante y su inverso, ya que para obtener este primer tensor de Piola a partir de conocer 
el tensor de esfuerzos de Cauchy 
 
( )
( )
16 0 0
0 1 4 0
0 0 1 4
i
ij
j
x
F
X
 
  
 = = − 
 − 
 
 
( ) ( ) ( )( )11 22 33 12 23 31 13 32 21 11 23 32 22 31 13 33 12 21det 16 1 4 1 4J F T T T T T T T T T T T T T T T T T T= = + + − + + = − − 
 
( )det 1J F = = 
 
Al ser el gradiente de deformación un tensor diagonal, la inversa se obtendrá al invertir a cada 
uno de sus elementos sobre la diagonal principal 
 
( )
1
1 16 0 0
0 4 0
0 0 4
i
ij
j
X
F
x
−
 
  
 = = −
 
 − 
 
 
Empleando la definición para obtener el primer tensor de esfuerzos de Piola-Kirchhoff 
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 
2 
 
( )10
T
T F T F −=  
 
Donde la transpuesta del inverso del gradiente de deformación queda 
( )1
1 16 0 0 1 16 0 0
0 4 0 0 4 0
0 0 4 0 0 4
T
T
F −
    
    
= − = −    
    − −    
 
 
( )0
90 30 60 1 16 0 0 5.63 120 240
1 30 60 90 0 4 0 1.88 240 360
60 90 60 0 0 4 3.75 360 240
T
− − − −     
     
 = − = − −
     
     − − − − −     
 
 
0
5.63 120 240
1.88 240 360
3.75 360 240
T MPa
− − 
 
 = − −
 
 − − 
 
 
b) Segundo tensor de esfuerzos de Piola-Kirchhoff. 
Partiendo de los elementos encontrados, así como de la definición para este segundo tensor 
 
( )1 1 1 0
T
T F F T F F T− − −=   = 
 
( )
1 16 0 0 90 30 60 1 16 0 0 1 16 0 0 5.63 120 240
1 0 4 0 30 60 90 0 4 0 0 4 0 1.88 240 360
0 0 4 60 90 60 0 0 4 0 0 4 3.75 360 240
T
− − − −         
         
= − − = − − −
         
         − − − − − − −         
 
 
1 16 0 0 5.63 120 240 0.35 7.5 15
0 4 0 1.88 240 360 7.5 960 1440
0 0 4 3.75 360 240 15 1440 960
T
− − − −     
     
 = − − − = −
     
     − − − −     
 
 
0.35 7.5 15
7.5 960 1440
15 1440 960
T MPa
− − 
 
 = −
 
 − 
 
 
5. El siguiente estado de esfuerzos se presenta en un elemento descrito bajo un 
sistema de referencia rectangular. 
200 400 300
400 0 0
300 0 100
ijT MPa
 
 
=
 
 − 
 
 
Determine: 
 EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 4. ESFUERZOS 
3 
a) El vector de esfuerzos, o distribución de esfuerzos, para un punto que pasa por el 
plano 1 2 32 2 5x x x+ + = . 
b) La componente normal del vector obtenido (magnitud y dirección). 
c) La magnitud de la componente de corte del vector de esfuerzos obtenido. 
d) Para un giro del sistema de referencia original ( )1 2 3, ,x x x , obtenga el tensor de 
esfuerzos descrito 'T bajo el nuevo sistema girado ( )1 2 3, ,x x x   . Para esto la matriz de 
transformación está dada por 
 
3 0 4
1
0 5 0
5
4 0 3
Q
− 
 
=
 
  
 
 
Solución 
a) Vector de esfuerzos para el plano. 
A partir de la ecuación del plano, puede encontrarse el vector normal que define a esta superficie 
a través de obtener su gradiente, de tal forma que se tiene 
( )1 2 3 1 2 3 1 2 32 2 5 , , 2 2 5x x x x x x x x x+ + =  = + + − 
 
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3
2 2 , 2 2e e e e e e N e e e
x x x
  
 
  
 = + + = + + = = + +
  
 
 
2 2 21 2 2 9 3N = = + + = = 
 
Debido a que para encontrar el vector de esfuerzos se proyecta el estado de esfuerzos sobre la 
normal unitaria al plano de interés, se definirá esta última 
 
( )1 2 3
1
2 2
3
N
n e e e
N
 = = + + 
 
Por tanto, el vector de esfuerzos para la superficie mostrada es igual a 
 
200 400 300 1 1600 533.33
1 1
400 0 0 2 400 133.33
3 3
300 0 100 2 100 33.33
t T n t
       
       
=   = = =
       
       −       
 
 
 1 2 3533 33 133 33 33 33it . e . e . e MPa = + + 
 
b) Componente del vector de esfuerzos en dirección normal. 
La magnitud de esta componente está dada por la proyección del vector de esfuerzos sobre la 
normal unitaria al plano 
 
( ) ( )1 2 3 1 2 3
1
533 33 133 33 33 33 2 2 177 77 88 88 22 22 288 87
3
n t n . e . e . e e e e . . . . =  = + +  + + = + + = 
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 
4 
 
por lo que la componente vectorial en dirección normal asociada al vector de esfuerzos queda 
 
( ) ( )1 2 3 1 2 3
1
288 87 2 2 96 29 192 58 192 58
3
n n n . e e e . e . e . e = = + + = + + 
 
 1 2 396 29 192 58 192 58n . e . e . e MPa = + + 
 
c) Magnitud de la componente de corte del vector de esfuerzos. 
Para obtener esta magnitud es necesario recordar que, al generar el vector de esfuerzos junto 
con sus componentes normal y tangencial un triángulo rectángulo, la magnitud de la cortante τ 
queda definida por 
 
2 2 2 2 2 2
n nt t   = +  = − 
 
de donde la magnitud del vector de esfuerzos es igual a 
 
( ) ( ) ( )
2 2 2
533 33 133 33 33 33 303328 66 550 75t . . . . . MPa= + + = = 
 
y la magnitud de la componente normal, obtenida previamente era igual a 
 
2
288 87 83445 88n n. MPa . = → = 
 
por lo que la magnitud de la componente de corte queda 
 
2 2
303328.66 83445.88 219882.78 468.92nt = − = − = = 
 
 468 92. MPa = 
 
d) Campo de esfuerzos descrito bajo el nuevo sistema de referencia. 
Para obtener éste, partiendo de la matriz de transformación Q y del tensor de esfuerzos original 
T, se tiene 
 
TT QTQ = 
 
ya que el tensor de cambio de base es unitario y ortogonal queda: 
 
3 0 4 200 400 300 3 0 4 280 240 60
1 1
0 5 0 400 0 0 0 5 0 240 0 320
5 5
4 0 3 300 0 100 4 0 3 60 320 380
T
− −       
        = =
       
       − −       
 
 
 EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 4. ESFUERZOS 
5 
280 240 60
240 0 320
60 320 380
ijT MPa
− 
  =
 
  
 
 
6. Un elemento metálico de geometría rectangular se encuentra bajo la acción directa 
de una fuente de calor, cambiando la temperatura de éste con diferente velocidad e 
intensidad en cada dirección y, debido a la cual, se genera un campo de deformación y 
esfuerzos en el elemento. El estado de esfuerzos T bajo los que se encuentra el 
elemento debido a la solicitación térmica se pueden obtener a través de la ecuación 
 
( )ij y ijT E   =  
 
Donde yE es el módulo de elasticidad del material de cual está constituido el elemento, 
α es el coeficiente de dilatación térmica del material y Δθ es la diferencia de 
temperaturas registrada en cada dirección del elemento. El elemento en cuestión tenía 
una temperatura inicial de 25°C y está constituido en una aleación de magnesio para 
colada AZ91D con un módulo de elasticidad de 44.8GPa y un coeficiente de dilatación 
térmica de 25.2µm/m-K. Si al final los termistores colocados en el elemento en dirección 
uno, dos y tres registraron una temperatura final de 40°C, 90°C y 95°C respectivamente, 
determine: 
 
a) El estado de esfuerzos resultante para el cuerpo. 
b) El estado principal de esfuerzos y las direcciones principales. 
c) Las componentes hidrostática y desviadora de esfuerzos asociadas. 
d) ¿Cuál será la distribución de esfuerzos en la superficie 1 22 2 2x x+ = que pasa por el 
punto (1,0) que pertenece al cuerpo? 
e) La magnitud de la componente cortante del vector de esfuerzos para la superficie1 22 2 2x x+ = que pasa por el punto (1,0). 
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 
6 
 
Solución 
a) Estado de esfuerzos T. 
A partir de la ecuación dada, como de las temperaturas inicial del cuerpo (25°C = 298K) y final 
en cada dirección (40°C = 313K, 90°C = 363K, 95°C = 368K), quedan definidas las 
componentes del tensor de esfuerzos de la siguiente forma 
 
( ) ( ) ( )9 611 11 44.8 10 25.2 10 313 298 16.9yT E x x MPa   −=  = − = 
( )12 21 12yT T E   = =  ( )
0
13 31 130 , yT T E   = = = 
0
0= 
( ) ( ) ( )9 622 22 44.8 10 25.2 10 363 298 73.4yT E x x MPa   −=  = − = 
( )23 32 23yT T E   = = 
0
0= 
( ) ( ) ( )9 633 33 44.8 10 25.2 10 368 298 79yT E x x MPa   −=  = − = 
 
Quedando el tensor de esfuerzos expresado por 
 
16.9 0 0
0 73.4 0
0 0 79
ijT MPa
 
 
 =
 
  
 
 
b) Estado principal de esfuerzos. 
Para obtener estos, se obtendrá la ecuación característica del sistema; para lo cual se necesitaría 
determinar la magnitud de los invariantes asociados al sistema. La solución de la ecuación 
característica proporcionará los valores de esfuerzo principales asociados, caracterizado por 
 EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 4. ESFUERZOS 
7 
representarse mediante una matriz diagonal. Sin embargo, el tensor de esfuerzos ya se encuentra 
diagonalizado, por lo que ya es un estado principal y no es necesario realizar operación alguna. 
 
(p)
16.9 0 0
0 73.4 0
0 0 79
ij ijT T MPa
 
 
 = =
 
  
 
 
De hacerse las operaciones mencionadas se llegará a verificar este hecho. 
 
1 11 22 33 169.3kkI T T T T = = + + = 
( )2 2 22 11 22 22 33 33 11 12 23 31I T T T T T T T T T= + + − + +
( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 16.9 73.4 73.4 79 79 16.9 0 0 0 8374.16I = + + − + + = 
( )2 2 23 11 22 33 12 23 31 11 23 22 31 33 122I T T T T T T T T T T T T= + − + + 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 23 16.9 73.4 79 2 0 0 0 16.9 0 73.4 0 79 0 97996.3I = + − + + = 
 
Quedando la ecuación característica del sistema de la siguiente forma 
 
3 2 3 2
1 2 3 0 169.3 8374.16 97996.3 0T I T I T I T T T− + − =  − + − = 
 
La solución de la ecuación verifica los valores principales asociados al tensor de esfuerzos 
definidos previamente 
 
1 2 316.9 , 73.4 , 79T T T= = = 
 
c) Componentes hidrostática y desviadora de esfuerzo. 
La componente hidrostática asociada a los esfuerzos se define a través de 
 
( ) ( )11 22 33
1 1
16.9 73.4 79 56.43
3 3 3
kk
H H
T
T T T T T MPa= = + +  = + + = 
 
( )
1 0 0 56.43 0 0
56.43 0 1 0 0 56.43 0
0 0 1 0 0 56.43
H
ij H ijT T MPa
   
   
 = = =
   
      
 
 
Teniendo la componente hidrostática, la definición para obtener a la componente desviadora 
asociada a los esfuerzos S es la siguiente 
 
( ) ( )H H
ij ij ij ij ij ijT T S S T T= +  = − 
 
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 
8 
16.9 56.43 0 0 39.53 0 0 39.5 0 0
0 73.4 56.43 0 0 16.97 0 0 17 0
0 0 79 56.43 0 0 22.57 0 0 22.6
ijS
− − −     
     
 = − =
     
     −     
 
 
39.5 0 0
0 17 0
0 0 22.6
ijS MPa
− 
 
 =
 
  
 
 
d) Distribución de esfuerzos para la superficie dada. 
Para poder obtenerse la distribución (vector) de esfuerzos en la superficie, para el punto dado 
(1,0), cuya ecuación que la describe es 1 22 2 2x x+ = , es necesario ocupar la ecuación 
 
t T n=  (ley de Cauchy). 
 
Para obtener un vector normal a la superficie, debe obtenerse el gradiente de la ecuación que 
describe a la superficie, tal que 
 
1 22 2 2x x = + − 
1 2 32 2 0N e e e = = + + 
 
Para obtener el vector normal unitario que define a la superficie, es necesario dividir al vector 
normal obtenido entre su magnitud (normalizarlo) 
 
2 2 22 2 0 4 4 8 2 2N = + + = + = = 
 
( ) ( )1 2 3 1 2 3
1 1
2 2 0 0
2 2 2
N
n e e e e e e
N
 = = + + = + + 
 
Por lo tanto, el vector de esfuerzos para la superficie indicada es igual a 
 
16 9 0 0 1 16 9 11 95 12
1 1
0 73 4 0 1 73 4 51 9 51 9
2 2
0 0 79 0 0 0 0
i ij j
. . .
t T n . . . .
         
         
= = = =
         
                  
 
 
( )1 2 312 51 9 0it e . e e MPa = + + 
 
e) Magnitud de la componente cortante del vector de esfuerzos obtenido. 
Para obtener la magnitud de esta componente es necesario obtener la proyección del vector de 
esfuerzos sobre la normal unitaria al plano 
 
( ) ( )1 2 3 1 2 3
1
12 51 9 0 0
2
n t n e . e e e e e =  = + +  + + 
 EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 4. ESFUERZOS 
9 
 
( ) ( )
1 1
12 51 9 0 63 9 45 18
2 2
n . . . MPa = + + = = 
 
Para obtener la magnitud de la componente cortante es necesario utilizar el teorema de Pitágoras, 
quedando 
 
 
 
( )
1
2 2 2 2 2 2
n nt t   = +  = − 
 
La magnitud del vector de esfuerzos es igual a 
 
( ) ( ) ( )
2 2 2
12 51 9 0 2837 61 53 27t . . . MPa= + + = = 
 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 1
1 12 2 2 22 2
2 253 27 45 18 2837 61 2041 23 796 38 28 22nt . . . . . .  = − = − = − = = 
 
Por lo que la magnitud de la componente de corte es igual a 
 
28 22. MPa =