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1 “Solución numérica de ecuaciones algebraicas y trascendentes” Planeación didáctica del tema Tópicos SOLUCIÓN NUMÉRICA DE FUNCIONES LINEALES Y TRASCENDENTES Temas Métodos de Bisección, Newton-Raphson, Newton Segundo Orden Objetivos específicos Proponer soluciones a fenómenos que involucran el cálculo de raíces, mediante el análisis del comportamiento de funciones polinomiales de grado n y transcendentes. Tomar decisiones sobre la elección de los algoritmos de Bisección, Newton- Raphson y Newton Segundo Orden, y determinar el de mayor eficiencia. Determinar el criterio de precisión en la búsqueda de solución de raíces irracionales. Codificar el algoritmo de alguno de los métodos en lenguaje de programación y/o usar paquetería ad hoc al caso. Niveles de comprensión Niveles Evidencia de aprendizaje 1. Reproducción de conocimiento Reproduce el concepto de raíz. Ubica detalles de una función e interpreta su comportamiento. Evidencia de aprendizaje 1.1, 1.2 2. Aplicación básica de habilidades y conceptos Interpreta las propiedades de funciones y visualiza la vecindad donde se pueden encontrar las raíces de una función. Resuelve problemas rutinarios en múltiples etapas Aplica el concepto de raíz, mediante la identificación de patrones de un evento y su efecto. Evidencia de aprendizaje 1.3, 1.4, 1.5 3. Desarrollo de un plan o una secuencia de pasos lógicos Construye una representación que muestra cómo se ve y/o funciona un caso. Cita evidencia y desarrolla un argumento lógico para hacer conjeturas. Resuelve el problema y analiza escenarios distintos. Evidencia de aprendizaje 1.6, 1.7, 1.8 4. Pensamiento matemático (razonamiento y abstracción) Sintetiza ideas en nuevas representaciones Conduce una investigación sobre el problema resuelto. Evidencia de aprendizaje 1.9 Recursos digitales: Ejecutables elaborados por integrante proyecto PAPIME Métodos de Bisección Newton-Raphson 2 Newton Segundo Orden De apoyo: http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/division_sintetica/Dsintetica_hom e.html https://www.youtube.com/watch?v=rBVrbzvOka8 Test de reposición Ponte a prueba Tema para participación en foro Opcional: Cartel digital con fotografías ¿Qué otras aplicaciones del concepto de raíz puedes reconocer de la vida real? Encuesta de satisfacción Preguntas de reflexión Referencias bibliográficas - Bello I. & Kopf F. (2006). Intermediate Algebra, a real world approach. McGrawHill, U.S. - Bello I., Britton J., Kaul A. (2008). Topics in Contemporary Mathematics. Houghton Mifflin Company, New York. - Chapra S.C. & Canale R.P. (2010). Numerical Methods for Engineers. McGraw Hill, U.S. - Forsythe A., Keenan T., Organick R., Stenberg W. (1973). Lenguajes de diagramas de flujo. Técnicas de Computación. Limusa, México - Kharab A. & Guenther R.B. (2012). An Introduction to Numerical Methods. A MATLAB Approach. Taylor & Francis Group, U.S. - Nieves Hurtado A. & Domínguez Sánchez F.C. (2014). Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería. Grupo Editorial Patria. México. - Salvador Granados A., Díaz García A.F., Rincón Orta C.A., Fautsch Tapia E.L., Vázquez Islas M., Rubín Rivero S.Y. (2013). Álgebra Superior. McGraw Hill, México. Contenido Presentación 4 Objetivos específicos 5 ¿Qué vas a aprender? 6 Lo que debes saber antes de comenzar 7 Autoevaluación diagnóstica 9 Investiga y define 10 Nivel 1 11 http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/division_sintetica/Dsintetica_home.html http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/division_sintetica/Dsintetica_home.html https://www.youtube.com/watch?v=rBVrbzvOka8 3 ¿Cuándo se necesita calcular una raíz? 11 ¿Qué pasa si…? 14 Evidencias de aprendizaje 18 Foro de discusión 19 Nivel 2 19 Métodos para ecuaciones algebraicas y trascendentes 19 Métodos de bisección 20 Evidencia de aprendizaje 24 Método de Newton- Raphson 25 Evidencia de aprendizaje 30 Método de Newton Segundo Orden 31 Evidencia de aprendizaje 34 Nivel 3 35 Ejemplos de aplicación 35 Evidencia de aprendizaje 49 Nivel 4 52 Tu proyecto 52 Pseudocódigo 53 Evidencia de aprendizaje 55 Ponte a prueba 56 Test de reposición 56 Preguntas de reflexión 58 Rúbricas de evaluación 59 4 En este apartado se estudiará el concepto de raíz. En un sentido estricto, en aritmética, una raíz es una cantidad que se multiplica por sí misma una o más veces para presentarse como un número determinado. Para encontrar una raíz, se debe realizar una operación inversa a la potenciación, y para ello, se emplea la radicalización. Pero, ¿qué sucede cuando se tiene un polinomio que representa una función? El concepto de raíz se define como los números que hacen que la función valga cero, y cuando se obtienen las raíces de la misma, se dice que se han encontrado las soluciones. El estudio de las ecuaciones algebraicas y trascendentes se aplican en numerosos campos, tal es el caso de la optimización, en el que se trata de usar en forma eficiente recursos escasos con respecto a objetivos organizacionales determinados; ¿se decide invertir en contratar más recursos humanos, o más producto que se vaya a vender, o dejarlo en inversión bancaria? La raíz define el equilibrio entre la inversión y el beneficio que se asocia a cada acción. El cálculo de raíces a partir del grado 2, se hace muy complicado, si es que imposible por medio de una fórmula general (analítica). De hecho, el Teorema de Abel indica que no es posible calcular raíces de forma exacta, solo aproximaciones, para un polinomio de grado 4 o mayor. Las intenciones educativas del presente texto, son las de presentar actividades de aprendizaje, a partir de escenarios concretos en el campo de la ingeniería, que le permitan al estudiante formalizar conceptos de raíces, tomar decisiones en el momento de resolver un problema real y/o abstracto, y emplear algoritmos, aplicando o diseñando software necesario. El texto está organizado por niveles de aprendizaje, del uno al cuatro, en donde se entremezclan cápsulas explicativas sobre la naturaleza de las ecuaciones algebraicas y trascendentes con la presentación de solución de problemas, paso a paso, que se describen con modelos matemáticos, principalmente, aquellos que se presentan en el desempeño profesional. Presentación 5 Consecuentemente, en cada nivel, existen actividades de aprendizaje interactivas que coadyuvan al desarrollo de habilidades de razonamiento matemático y estrategias de solución en un entorno de ingeniería, con ejercicios, ligas a sitios de internet e incluso, se proporciona software didáctico, para hacer más significativo y efectivo el aprendizaje. Cada nivel tiene un propósito, tal es el caso que el nivel 1, está referido a la adquisición del conocimiento. En este nivel el estudiante requiere recordar sus conocimientos previos y ubicar en forma concreta fenómenos proclives a ser tratados con Métodos Numéricos. El nivel 2 trata del uso de conceptos y habilidades cognitivas que permitan la aplicación de raíces. El nivel 3, tiene una orientación estratégica para razonar acerca de los algoritmos, y para tomar decisiones en la solución de problemas, es un nivel de análisis y síntesis. Finalmente, el nivel 4, va hacia el diseño, tiene una orientación en la que el estudiante use lo que ha aprendido, no solo en la asignatura de Métodos Numéricos, también en otros contextos académicos y externos, que se refleje en su creación. Las actividades aquí presentes constituyen un apoyo a la docencia, cuyo diseño también favorece el trabajocolaborativo en un intento de emular el futuro profesional y, por tanto, conduzcan a que el estudiante valore la importancia del conocimiento y su comportamiento profesional. Los objetivos específicos de esta sección son: Proponer soluciones a fenómenos que involucran el cálculo de raíces, mediante el análisis del comportamiento de funciones polinomiales de grado n y transcendentes. Tomar decisiones sobre la elección de los algoritmos de Bisección, Newton-Raphson y Newton Segundo Orden, y determinar el de mayor eficiencia. Determinar el criterio de precisión en la búsqueda de solución de raíces irracionales. Codificar el algoritmo de alguno de los métodos en lenguaje de programación y/o usar paquetería ad hoc al caso. Objetivos específicos 6 ¿Qué vas a aprender? A continuación, se presenta una explicación de los objetivos de aprendizaje. Uno de los problemas más comunes de matemáticas aplicadas se refiere a encontrar la raíz, esto es, dado una función f, se trata de encontrar los valores de x que satisfacen una relación. Las soluciones de una ecuación se llaman los ceros de f o raíces de la ecuación. En la solución numérica de funciones, analizar e interpretar, implica vislumbrar los posibles ceros reales de una función, mediante el uso de la Regla de los signos de Descartes, el análisis de posibles raíces racionales, la tabulación, así como bosquejar las gráficas de funciones, tanto algebraicas como trascendentes. Debido a que no siempre se encuentran raíces por métodos tradicionales como podría ser mediante la Fórmula General, se discutirán tres métodos numéricos: el primero en el cual, la convergencia está garantizada, el algoritmo de bisección, y dos más, en los cuales, la eficiencia se pone de manifiesto, aunque la convergencia depende del valor inicial que se tome; estos métodos se llaman Newton-Raphson y de Newton Segundo Orden. Los métodos numéricos se trabajan con procedimientos iterativos. Una iteración es una herramienta útil para refinar una aproximación paso a paso que, en cierta forma converge naturalmente hacia una solución. De hecho, las iteraciones son uno de los fundamentos para cada algoritmo, para lo cual es necesario establecer una tolerancia o grado de precisión que está asociado con las cifras decimales para expresar lo medido, y también para denotar el alcance de las iteraciones. Así, la precisión se refiere a qué tan cercano se encuentra el valor medido o calculado con la tolerancia estipulada desde el inicio de las iteraciones. Por ejemplo, 𝛿 ≤ 0.001 Significa que, si el valor calculado respecto al anterior exhibe una diferencia menor a 0.001, se ha alcanzado una precisión aceptable y se detiene el cálculo. De lo anterior, se requiere una comprensión del origen del problema ya que es necesario determinar lo que se constituye como una buena y aceptable solución 7 aproximada del problema. Por ejemplo, un error de unos pocos centímetros podría ser aceptable en la localización de un auto, pero no sería nada aceptable en la localización de un tumor para una cirugía con láser. Además, incluso si un algoritmo teóricamente produce una solución exacta, cuando se implementa en medios computacionales usando precisión aritmética finita, los resultados producidos podrían ser inexactos, esto es parte del análisis numérico relacionado con la comprensión del impacto de operaciones finitas, sobre la precisión de resultados. Con el surgimiento de los métodos numéricos, se ha mejorado la potencia de los cálculos iterativos mediante el uso de las computadoras. Para el desarrollo del pensamiento matemático, es muy importante que el estudiante de ingeniería programe, por lo menos utilice algún software matemático y maneje de forma eficiente una hoja de cálculo. La codificación implica el desarrollo de algoritmos y su desarrollo en un programa, tal como puede ser lenguaje C, Visual Basic, etc. Sobre software matemático se tiene MATLAB, MathCad, Mathematica, por mencionar algunos de ellos. Finalmente, Excel proporciona una herramienta muy útil para llevar a cabo formas alternativas de obtener los cálculos iterativos. La teoría de polinomios define que una función polinómica con grado n y números reales distintos de cero 𝑓(𝑥) = 𝒂𝒏𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥 𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝒂𝟎 Es una relación, como una suma finita de potencias de x, multiplicadas por coeficientes reales. Existen distintos tipos de funciones, por ejemplo, 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 4𝑥 + 1.5 Esta función se le denomina como cuadrática, su correspondiente lugar geométrico es una parábola continua, y con raíces o ceros en x=0.5 y x=1.5, ya que al evaluar la función en cualquiera de estos dos valores se obtiene por resultado 0 (Fig. 1.1) Lo que debes saber antes de comenzar 8 Fig. 1.1 Función con dos ceros graph.tk 𝑓(0.5) = 2(0.5)2 − 4(0.5) + 1.5 𝑓(0.5) = 0 𝑓(1.5) = 2(1.5)2 − 4(1.5) + 1.5 𝑓(1.5) = 0 A partir de lo siguiente, es importante tener en cuenta: 1. Puntos de inflexión: Una función f tiene al menos n-1 puntos de inflexión, esto significa que su gráfica puede cambiar de creciente a decreciente, y viceversa (Véase Fig. 1, tiene una inflexión, con cambio de dirección). 2. Las siguientes ideas son equivalentes: a. (a, 0) implica que existe una intersección en el eje de las abscisas x de la gráfica f. b. Cuando ocurre x=a, implica que existe un cero de la función f. c. Cuando ocurre x=a, significa que a es un cero de la función f. d. Si (x-a), se interpreta que x-a es un factor de la función polinómica f(x) 3. La Regla de los Signos de Descartes dice lo siguiente: En un polinomio con coeficientes reales se puede inferir el número posible de ceros reales positivos al distinguir las variaciones de signos de f(x). Cuando se evalúa la función como 𝑓(−𝑥), y se encuentran variaciones de signo, se puede inferir el número posible de raíces negativas. Véase el caso con el ejemplo de la parábola: Tabla 1.1 Evaluación de funciones por Regla de Descartes 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 4𝑥 + 1.5 Nótese +2𝑥2 tiene signo positivo −4𝑥 tiene ahora un signo negativo HAY UN CAMBIO DE SIGNO De -4x a+1.5, se tiene de nuevo un signo positivo. DE NUEVO HAY UN CAMBIO DE SIGNO 𝑓(−𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥 + 1.5 Porque 2(−𝑥)2 queda positivo 9 −4𝑥 → −4(−𝑥) = +4𝑥 NO HAY CAMBIOS DE SIGNO En el ejemplo de la parábola, al compararlo con su correspondiente gráfica se observa que existen dos raíces positivas, lo cual es congruente con la Regla de Descartes. 4. Teorema Fundamental del Álgebra establece que todo polinomio de grado n, donde n>o, entonces tiene al menos un cero, en el dominio de los números complejos. 5. Un polinomio puede tener dos tipos de raíces reales y/ o complejas. Dentro de las reales, puede haber racionales e irracionales. La raíz racional es aquella que cumple con la definición de número racional. Véase el mismo ejemplo: Tabla 1.2 Análisis de raíces racionales Función Descripción 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 4𝑥 + 1.5 Es de segundo grado, cuyo término de mayor potencia es 𝑥2, o sea cuenta con dos raíces ∓1, 2 Los factores de 𝑎𝑛 ∓1, 1.5, 0.5,0.3 Los factores de 𝑎0. Sigue el procedimiento de búsqueda de raíces por División Sintética http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/division_sintetica/Dsintetica_home.html Autoevaluación diagnóstica a. Encontrar las raíces de 𝑥2 − 9 = 0 b. Usar el graficador de tu preferencia, por ejemplo graph.tk y generar la gráfica de 𝑥4 − 18𝑥2 + 81 = 0 a) Tome captura de pantalla y súbala http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/division_sintetica/Dsintetica_home.html 10 c. Si la función es tangente en un punto al eje x, ¿Se considera raíz al punto de tangencia?, ¿por qué si o por qué no? d. Tabular la siguientefunción, en el rango [0,4], con tamaño de paso h=1 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙− 𝟔 X y ¿Distinguiste cambios de signo en la tabulación? Estos cambios de signo representan la existencia de una raíz. Investiga y define En el contexto de aplicaciones de la integral a. ¿Qué representa una función trascendente? _______________________________________ _______________________________________________________________________________________ b. ¿Cuál es la diferencia entre función y ecuación? __________________________________ ________________________________________________________________________________________ c. ¿Qué propiedad tiene un factor como divisor de otro número? __________________ ________________________________________________________________________________________ 11 d. ¿A qué se le llama un número irracional? ______________________________________ ________________________________________________________________________________________ NIVEL 1 Una raíz es una causa, es un concepto de interés que en matemáticas se interpreta como la relación de dos variables, consecuentemente, se dice que se ha encontrado la solución de un problema. En términos geométricos, es un lugar donde la curva intersecta a un eje de referencia, esto es, el eje x. Desde una perspectiva algebraica, una raíz que responde al cuestionamiento ¿para qué valor de x, hace que y sea igual a cero? En física, una raíz es una medida de estabilidad. A continuación, se presentan casos que distinguen cuándo emplear el concepto de raíz. Caso 1. Mecánica Siempre que se necesite encontrar el equilibrio entre dos o más variables relacionadas, se justifica el cálculo de la raíz. Por ejemplo, en Ingeniería Mecánica, cuando se aplica carga a un material, este se deforma. La deformación se puede conceptuar como una función matemática, que puede ser de tercer grado. El objetivo es determinar qué carga se debe aplicar para que el material no se deforme más allá de lo especificado por la norma. La pregunta es ¿qué fuerza se debe aplicar a la pieza para que no se deforme? (Nota: material elástico). En el ejemplo, se deduce la necesidad de encontrar una compensación entre la fuerza y resistencia del material. Caso 2. Economía ¿Cuándo se necesita calcular una raíz? 12 La ley de la oferta y la demanda define el concepto de mercado. Matemáticamente, se interpreta la función 𝑃 = 𝑓(𝑄), donde P es el precio del producto y Q es la cantidad demandada. Generalmente, se considera el número de bienes ofertados (O) y demandados (D) que los compradores y vendedores negocian para obtener un beneficio común (Fig. 2). Fig. 1.2 Punto de equilibrio Las curvas de oferta y demanda definen el equilibrio de mercado, esto es, donde la demanda del producto se cruza con la oferta. En este punto de coincidencia, hay una traslación del concepto de RAÍZ, ya que ahora el interés no radica en la intersección con el eje x, sino entre las curvas Cantidad-Precio (Q y P). Caso 3. Inventarios Imagina una bodega. Se observa de la gráfica ( ) que la función es 𝑄 = 𝑓(𝑇), que significa la cantidad en inventario de un producto Q está en función del tiempo T. 13 Fig. 1.3 Inventario Nótese que la gráfica comienza en (0, 𝑞1) y se observa un pedido por Q unidades con un lote máximo (lmax). En el tiempo 𝑡1 se estima que el producto se ofertó en su totalidad. Cuando el producto se ha terminado, viene un periodo de escasez 𝑡2, en donde el proveedor suministra el producto en el lote máximo. Este proceso es cíclico como se observa en la gráfica. En el momento en que existe un cruce con el eje de referencia x, implica para el vendedor hablar con su proveedor para que le surta el producto de nuevo. Este tipo de cálculos los realiza el analista de la información con la pregunta ¿cada cuánto se debe generar un punto de reorden? Notar que matemáticamente esto implica calcular la raíz Diente de sierra. Por ejemplo, el concepto de la moda. Una tienda departamental le indica a su proveedor que le proporcione ropa de otoño-invierno. Se acaba este tipo de ropa, esto significa que ha habido un cruce con el punto de re-orden, o sea la raíz, de manera que viene un periodo de escasez. Posteriormente, se le solicita al proveedor la ropa de primavera- verano, y así, sucesivamente. La interpretación de la raíz dice mucho. Caso 4. Imposibilidad para despejar la variable independiente Considere el siguiente caso 𝑐 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 (1 − 𝑥)3 14 La relación arriba mostrada representa el factor de compresibilidad c de los gases reales. Si c=0.9, encontrar el valor de x. Se observa la imposibilidad para obtener el valor de x por métodos tradicionales. El problema trata de “ajustar” el valor de x, para que c (o sea, y) sea igual a 0.9. Nótese que si la pregunta original es ¿para qué valor de x, hace que y sea igual a cero?, ahora el concepto de raíz se piensa en términos de una ecuación, de lograr que la igualdad satisfaga 0.9 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 (1 − 𝑥)3 La pregunta ahora es ¿cuál es el valor de x, para que c sea igual a 0.9? Los métodos numéricos útiles para situaciones como la aquí descrita pueden ser abordados por el Método de Newton Raphson, y también mediante métodos que corresponden a la Interpolación Numérica. Existen métodos analíticos para obtener raíces de polinomios de hasta cuarto grado. En particular, los métodos para obtener raíces de tercer y cuarto grado son extremadamente complicados. No existen métodos para obtener raíces de 5 grado en adelante. Esto lleva a plantear que los métodos analíticos son insuficientes, y por ello, se han desarrollado métodos numéricos para abordar estos casos. Existen muchos métodos numéricos, entre ellos, se encuentran el de bisección y los de aproximaciones sucesivas como Newton-Raphson, Lin Bairstow, Newton Segundo Orden, Von Misses, etc. A continuación, se presenta interpretaciones gráficas del concepto de raíz, con el propósito de mejorar la comprensión del comportamientos de una función. ¿Qué pasa si...? 15 Fig. 1.4 Algunos casos de funciones RAÍCES POSITIVAS Se observan dos raíces positivas en una función creciente, con un intervalo definido por un límite inferior 𝑥1 y uno superior en 𝑥2, ambos positivos. Esto implica que la búsqueda de raíces debe comenzar en 𝑥 > 0. Las raíces de polinomios tienden a encontrarse en la vecindad del origen. RAÍCES NEGATIVAS ¿De qué grado es el polinomio representado en la gráfica? Recuerde que por el Teorema de Álgebra, el grado del polinomio indica el número de raíces de una función. En este caso, es de tercer grado. El polinomio es decreciente, ya que la trayectoria de izquierda a derecha termina en el tercer y tendiente al cuarto cuadrante. RAÍCES COMPLEJAS Y REAL El polinomio es de tercer grado, ya que tiene dos puntos de inflexión donde se encuentran dos raíces complejas*. El polinomio es decreciente, porque la variable de mayor potencia viene dado por −𝑥3. Nota: Las raíces complejas siempre vienen en un número par. AUSENCIA DE RAÍCES REALES La forma de la función indica que no cuenta con raíces reales. Existe un punto de inflexión, y es un polinomio de grado 2, por tanto tiene dos raíces complejas. 16 FUNCIÓN DISCONTINUA Las curvas como las presentadas, demuestran simetría y también discontinuidad. Por ello, solo se podrán hacer derivaciones en rangos de valores aceptables. En el primer caso, los puntos extremos de signo contienen a las dos raíces. En el segundo caso no hay raíces reales. RAÍCES MÚLTIPLES La curva es tangente al eje de las abscisas. La función 𝑥2 − 4𝑥 + 4,puede factorizarse como 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 − 2). Observe que cuando x=2, dos términos en este polinomio son iguales a cero. Matemáticamente, x=2 y se llama raíz múltiple. Para integrar los conceptos vertidos en páginas anteriores, se procede a realizar la evaluación de una función. Ejemplo. Analizar numéricamente la función𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥 − 6 1. El grado del polinomio: 3, entonces tiene tres raíces. 2. El comportamiento del polinomio: Creciente, el signo de 𝑥3 es positivo, la curva se mueve de izquierda a derecha con dos inflexiones. 3. Regla de signos de Descartes: Evaluación de la función positiva 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥 − 6 Existen tres cambios de signo De + a -, 𝑥3 − 6𝑥2 De - a +, −6𝑥2 + 11𝑥 De + a -, +11𝑥 − 6 Evaluación de la función negativa 𝑓(−𝑥) = −𝑥3 − 6𝑥2 − 11𝑥 − 6 No hay cambios de signo Conclusión preliminar: Posiblemente existen tres raíces positivas y las alternativas pueden ser: 17 RAÍCES TOTALES 3 Raíces reales 3 Raíces complejas 0 RAÍCES TOTALES 3 Raíces reales 1 Raíces complejas 2 4. Análisis de raíces racionales: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥 − 6 Factores de 𝑎0: ±6, 3, 2, 1 Factores de 𝑎𝑛: ±1 Procede la operacionalización por división sintética, resultando que las raíces son: 𝑥1 = 1 𝑥2 = 2 𝑥3 = 3 De todas formas en Excel, también se pueden realizar los cálculos, como una tabulación: X y 0 -6 1 0 2 0 3 0 4 6 5 24 6 60 7 120 Finalmente, la gráfica de la función: La tabulación comienza con cero, porque la regla de Descartes indicó raíces positivas. Hay un cambio de signo, esto significa que la función ha cruzado el eje de x. Recuerda: ¿para qué valor de x, hace que y sea igual a cero? 18 Evidencia de aprendizaje 1.1 ¿Recuerdas la gráfica Diente de sierra? Proporcionar dos ejemplos del caso y justificar tus respuestas. a. b. Evidencia de aprendizaje 1.2 Lee con atención lo que se te pide, y elige la respuesta correcta. Analizar la función 𝑥3 + 𝑥2 − 10𝑥 + 8 a. El grado del polinomio es de: i. Grado 3 ii. Grado 2 iii. Grado 1 b. El comportamiento global de la función es: i. Creciente ii. Decreciente iii. Permance constante 19 c. Por la regla de Descartes se distinguen i. Dos raíces positivas y una negativa ii. Tres raíces complejas positivas iii. Dos raíces negativas y una positiva d. Realiza la tabulación de la función. Las raíces se encuentran en: i. 𝑥1 = −4 𝑥2 = 1 𝑥3 = 2 ii. 𝑥1 = 4 + 𝑏𝑖 𝑥2 = −4𝑏𝑖 𝑥3 = 2 + 𝑏𝑖 iii. 𝑥1 = −4 𝑥2 = −1 𝑥3 = 2 Ya puedes pasar al segundo nivel, en el cual conocerás tres métodos numéricos: Biseción, Newton Raphson y Newton Segundo Orden. FORO DE DISCUSIÓN Realiza un cartel digital con fotografías que reflejen: ¿Qué otras aplicaciones del concepto de raíz puedes reconocer de la vida real? NIVEL 2 Para comprender la naturaleza de estos métodos, considera el problema de buscar la palabra “lemniscata” en un diccionario de 500 páginas. No se te ocurriría buscar la palabra de una forma sistemática página por página. Debido a que las palabras están organizadas alfabéticamente de la A a la Z, es más fácil abrir el diccionario en alguna página aleatoria y determinar si la letra L, se encuentra antes o después de la seleccionada. Esta acción, reduce por mucho el número de páginas para continuar la búsqueda. Luego, se vuelve a seleccionar una página aleatoria de la parte del diccionario donde la palabra puede encontrarse, y se determina de nuevo si L se encuentra antes y/ o después de este segundo punto. Las particiones ocurren hasta llegar a L. Se continúa en una sección más pequeña para ubicar la segunda letra “e”, y luego “m”, y así hasta haber alcanzado suficiente precisión para completar la palabra buscada. Este tipo de acción de búsqueda de palabras implica: Contar con un punto inicial de búsqueda. Métodos para ecuaciones algebraicas y trascendentes 20 Definir los límites inferiores y superiores, de acuerdo al valor de la solución. Realizar la misma acción en forma iterativa. Refinar los límites y reducir los intervalos de solución. Detener el intervalo hasta que se presente un rango de error aceptable para ubicar la solución. Métodos de Bisección El método de bisección consiste en elegir dos puntos sobre el eje x, a los cuales se les llama LI y LS que significan respectivamente, Límite Inferior y Límite Superior. Se recomienda que antes de elegir estos puntos sobre el eje x, se efectúe una tabulación de la función f(x) para determinar la región donde dicha función cruza al eje de las x. También para este método se recomienda efectuar la prueba de si la función es creciente o decreciente en la región donde dicha función f(x) cruza al eje x. Esto se debe a que el procedimiento para el cálculo de la raíz, es diferente si la curva es creciente o decreciente. La siguiente figura muestra la ubicación de LI y LS en una curva creciente. El método es iterativo y consiste en los siguientes pasos P. P1-Se calcula el punto medio (PM) del segmento LI-LS como: 𝑃𝑀 = 𝐿𝐼 + 𝐿𝑆 2 P2- Se evalúa la función en el punto medio f(PM) P3- Si al evaluar f(PM) se obtiene un valor positivo, esto es, si f(PM)>0, entonces se designa a PM como LS, esto es, 𝑠𝑖 𝑓(𝑃𝑀) > 0 → 𝑳𝑺 = 𝑷𝑴 Se regresa al paso P1. LS LI PM x y f(x) 21 P4- Si al evaluar f(PM) se obtiene un valor negativo, esto es si f(PM)<0, entonces se designa a PM como LI, así 𝑠𝑖 𝑓(𝑃𝑀) < 0 → 𝑳𝑰 = 𝑷𝑴 Se regresa al paso P1. Como los métodos numéricos generalmente no generan valores exactos, es necesario determinar una tolerancia 𝛿 para el cálculo de la raíz. Así que, en la serie de pasos se necesita incluir si 𝑓(𝑃𝑀) ≤ |𝛿| entonces se acepta que la raíz corresponde en el PM. Si la función es decreciente en la región determinada, como se observa en la siguiente figura, entonces ocurre lo siguiente: 𝑠𝑖 𝑓(𝑃𝑀) < 0 → 𝑳𝑺 = 𝑷𝑴 𝑠𝑖 𝑓(𝑃𝑀) > 0 → 𝑳𝑰 = 𝑷𝑴 Calculando nuevamente el punto medio 𝑃𝑀 = 𝐿𝐼 + 𝐿𝑆 2 Repitiendo este proceso hasta encontrar que 𝑓(𝑃𝑀) ≤ |𝛿| En cuyo caso se dice que la raíz es el punto medio, y se concluye el procedimiento. Si la función f(x) tuviera dos o más raíces reales, entonces hay que repetir este procedimiento tantas veces como raíces reales tenga la función f(x). LS LI PM x y f(x) 22 Si se llama n al número de intervalos 𝛿 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑦 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐿𝑆 − 𝐿𝐼 y que se designan por 𝑟 = 𝐿𝑆 − 𝐿𝐼 Entonces se tiene que 𝑛 = 𝑟 𝛿 Con estos valores y dada la naturaleza del método que siempre divide en dos al rango actual, se puede calcular su eficiencia, tomándola como el número de iteraciones que se espera hará en promedio. Así la eficiencia es: 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑙𝑜𝑔2𝑛 Por lo que se puede decir que es un método con una alta eficiencia. Ejemplo. Calcular una raíz de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 10𝑥 − 20 Solución Se tabula la función, usando división sintética en los puntos dados de acuerdo al procedimiento de cálculo de posibles raíces racionales, siendo estos puntos 1, 2, 4, 5,10. x f(x) 1 -7 2 16 4 116 10 1288 Se nota en la tabla que hay un cambio de signo entre x=1 x=2 Lo cual se corrobora con la gráfica de la función, se muestra una parte de ella. 23 Estos valores se tomarán para el cálculo del punto medio. 𝑃𝑀 = 1 + 2 2 = 1.5 El cual se evalúa en la función 𝑓(𝑃𝑀) = (1.5)3 + 2(1.5)2 + 10(1.5) − 20 𝑓(𝑃𝑀) = 2.875 Como la función es creciente en el rango LI-LS se asignaLS=1.5. Se procede a iterar el método. El valor asignado a 𝛿, es de 𝛿 = 0.001 Debido a que 2.875 > 0.001 Se continúa el proceso, deteniéndose cuando 𝑓(𝑃𝑀) ≤ 𝛿. El número de iteraciones esperadas es de: 𝑟 = 2 − 1, 𝑟 = 1, 𝛿 = 0.001, 𝑛 = 1 0.001 , 𝑛 = 1000 Por tanto, el número de iteraciones esperadas será 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑙𝑜𝑔21000 y x 24 Así que el número de iteraciones esperadas son aproximadamente 11. Al desarrollar el método de bisección sobre la función se obtiene La raíz buscada se considera igual a 𝑥 = 1.3688 REVISA EL EJECUTABLE DEL MÉTODO DE BISECCIÓN Evidencia de aprendizaje 1.3 Aplicar el método de bisección para encontrar una raíz real del polinomio 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 7𝑥2 + 14𝑥 − 6 Tomar un delta de 0.01. 1.3a ¿Cuántas posibles raíces positivas existen? Explica cómo se realiza el análisis para la determinación de las mismas 1.3b Subir una tabla con la tabulación de la función y determinar los cambios de signo, para determinar los valores de x, donde posiblemente se encuentra la raíz de la función. LI LS PM f(PM) 1 2 1.5 2.875 1 1.5 1.25 -2.421875 1.25 1.5 1.375 0.13085938 1.25 1.375 1.3125 -1.16870117 1.3125 1.375 1.34375 -0.52481079 1.34375 1.375 1.359375 -0.19845963 1.359375 1.375 1.3671875 -0.03417253 ··· ··· ··· ··· 1.3687 1.3691 1.3689 0.0019 1.3687 1.3691 1.3689 -0.0002 25 x y f(x) x y f(x) 1.3c Obtener las tres raíces de la función. Se sugiere usar una hoja de cálculo y tomando en cuenta 𝛿=0.01 Método de Newton Raphson El método numérico llamado de Newton- Raphson es también llamado método de las tangentes. Este método es aplicado al cálculo de raíces de funciones, tanto algebraicas, como trascendentes, y la derivación de su expresión se puede obtener de la siguiente forma. En la figura siguiente, se muestra la gráfica de una función f(x). Se parte de que f(x) es igual a la ordenada correspondiente a la abscisa x, esto es y=f(x). Se determina un punto inicial al cual se le llama 𝑥0 a su abscisa y cuya ordenada será igual a 0, esto es, el punto inicial (𝑥0, 0). El punto (𝑥0, 0) se proyecta hacia la curva, y la intersecta en el punto según la siguiente gráfica. (𝑥0, 0) 26 x y f(x) x y f(x) (𝑥1, 0) La recta tangente a la curva f(x) corta al eje x en el punto (𝑥1, 0). También se observa que este nuevo punto, se acerca más a la raíz buscada (una raíz de una función, es el punto donde la curva f(x) corta al eje de las x). La ecuación de la tangente a la curva, es la ecuación de una línea recta dada por 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) Siendo m, la pendiente de la recta, (𝑥1, 𝑦1) un punto conocido sobre la recta y (x, y), un punto cualquiera sobre la recta. De manera que, (𝑥0, 𝑦0) es el punto conocido, 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) y como un punto cualquiera desconocido sobre la recta, en este caso, por el punto (𝑥0, 0), que es la intersección de la recta con el eje x, quedando la expresión: 0 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥1 − 𝑥0) Al realizar un despeje sobre el segundo término, se tiene 𝑦0 𝑚 = 𝑥1 − 𝑥0 Es decir; 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑦0 𝑚 Dado que según la expresión de una función 𝑦0 = 𝑓(𝑥0) que sustituida en la última expresión 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑓(𝑥0) 𝑚 (𝑥0, 0) (𝑥0, 0) 27 x y f(x) (𝑥0, 0) (𝑥1, 0) (𝑥2, 0) Esto, por cálculo diferencial, es la pendiente de la curva f(x) en el punto (x, y), y está dado por la primera derivada de la función f(x), esto es, 𝑚 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 , lo cual en notación de funciones se representa como m=f’(x), así que la expresión final para calcular el valor de x, estará dada por 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑓(𝑥0) 𝑓′(𝑥0) Es importante tener en cuenta que este método numérico de aproximaciones sucesivas, ahora trata de irse acercando cada vez más hacia la raíz, siguiendo el mismo procedimiento, por lo que se repiten todos los pasos hasta calcular el siguiente punto, según la figura, que simbólicamente se expresa como: 𝑥2 = 𝑥1 − 𝑓(𝑥1) 𝑓′(𝑥1) Este proceso se continúa hasta encontrar a la raíz buscada o hasta encontrar un punto muy cercano a dicha raíz, esto es, un valor que fuera menor o igual que una tolerancia establecida, de acuerdo a la naturaleza del problema a resolver, a esta tolerancia se le llama 𝜹. Simbólicamente, el procedimiento iterativo está dado por 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑓(𝑥0) 𝑓′(𝑥0) 𝑥2 = 𝑥1 − 𝑓(𝑥1) 𝑓′(𝑥1) 𝑥3 = 𝑥2 − 𝑓(𝑥2) 𝑓′(𝑥2) ⋯ 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1 − 𝑓(𝑥𝑛−1) 𝑓′(𝑥𝑛−1) Otra forma de obtener la expresión de Newton- Raphson es aplicando un enfoque no geométrico, sino matemático, y para ello, se considera la serie de Taylor, la cual adaptada a la naturaleza del sistema actual sería: 𝑦1 = 𝑦0 + 𝑥1 − 𝑥0 1! 𝑓′(𝑥0) + (𝑥1 − 𝑥0) 2 2! 𝑓′ ′(𝑥0) + (𝑥1 − 𝑥0) 2 3! 𝑓′ ′′(𝑥0) +⋯ 28 Tomando únicamente los dos primeros términos del lado derecho de la serie 𝑦1 = 𝑦0 + 𝑥1−𝑥0 1! 𝑓′(𝑥0), y con el objetivo de encontrar la raíz de la función f(x), y la raíz es el punto de la curva donde corta al eje x, se asume que la expresión 𝑦1, es la ordenada de la raíz, así que 0 = 𝑦0 + 𝑥1 − 𝑥0 1! 𝑓′(𝑥0) Que en un arreglo algebraico queda 𝑥1 − 𝑥0 = − 𝑦0 𝑓′(𝑥0) Donde, se recuerda que 𝑦0 = 𝑓(𝑥0) 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑓(𝑥0) 𝑓′(𝑥0) Debido a que el método es iterativo, de aproximaciones sucesivas, se debe repetir la aplicación de esta expresión hasta encontrar un valor 𝑦 ≤ 𝜹, que se refiere a 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑓(𝑥0) 𝑓′(𝑥0) , 𝑥2 = 𝑥1 − 𝑓(𝑥1) 𝑓′(𝑥1) , 𝑥3 = 𝑥2 − 𝑓(𝑥2) 𝑓′(𝑥2) ⋯𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1 − 𝑓(𝑥𝑛−1) 𝑓′(𝑥𝑛−1) , lo cual es la expresión del método de Newton- Raphson. La naturaleza de este método indica que 𝑥𝑛+1 = 𝑔(𝑥𝑛), donde 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) . El método de Newton- Raphson converge siempre que |𝑔′(𝑥)| < 1 Por lo que derivando g(x) se tiene 𝑔′(𝑥) = 1 − [𝑓(𝑥)]2 − 𝑓(𝑥)𝑓′′(𝑥) [𝑓´(𝑥)]2 𝑔´(𝑥) = 1 − 1 + 𝑓(𝑥)𝑓′′(𝑥) [𝑓´(𝑥)]2 𝑔´(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑓′′(𝑥) [𝑓´(𝑥)]2 Y se concluye que el método convergirá siempre que |𝑔´(𝑥)| = | 𝑓(𝑥)𝑓′′(𝑥) [𝑓´(𝑥)]2 | < 1 Por lo anterior, se puede afirmar que el método iterativo de Newton- Raphson converge a una raíz de la función f(x)=0, si se verifica la expresión de g’(x), es decir; que si 𝑥0 es la primera aproximación a la raíz f(x)=0 se debe cumplir: 29 1.- 𝑥0 debe estar suficientemente cercano a la raíz de f(x)=0. 2.- f’’(x) no debe ser excesivamente grande 3.- f’(x) no debe estar muy próxima a cero La última restricción significa que no hay raíces cercanas unas de otras, aunque esto puede ser relativo, debido a la lejanía o cercanía de la primera aproximación a la raíz que se busca. Ejemplo. Calcular una raíz de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 9𝑥2 + 12𝑥 − 3 Solución Se recomiendo usar la Regla de los Signos de descartes, para determinar las posibles raíces positivas y negativas que tiene una función, así que: 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 9𝑥2 + 12𝑥 − 3, tiene tres cambios de signos 𝑓(−𝑥) = −2𝑥3 − 9𝑥2 − 12𝑥 − 3, no tiene cambios de signo Por lo que Raíces + 3 1 Raíces - 0 0 Raíces complejas 0 2 TOTAL 3 3 Posteriormente, se determinan cuáles son las posibles raíces racionales: Factores de 2: 1, 2 Factores de -3: 1, 3 Las posibles raíces racionales serán: 1, 1 2 , 3, 3/2 Por división sintética se prueban estos valores, obteniendo en cada una de ellas residuos diferentes de cero, por lo que esta función no tiene raíces racionales. Se presenta una gráfica de la función, donde se observa que la raíz se encuentra entre x=0 y x=1.30 Tomando un valor inicial igual a cero, esto es 𝑥0 = 0, y aplicando la expresión 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1 − 𝑓(𝑥𝑛−1) 𝑓′(𝑥𝑛−1) En una hoja de cálculo se tiene: ejemplo.xlsx Por lo que la raíz buscada es 0.32750698. Evidencia de aprendizaje 1.4 De nuevo encontrar una raíz real del polinomio, por medio del método de Newton- Raphson. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 7𝑥2 + 14𝑥 − 6 Tomar un delta de 0.01 1.4a Realiza el cálculo del criterio de conversión Realiza tus cálculos con apoyo de software de tu conocimiento, y sube una fotografía x f(x) f´(x) f(x)/f'(x) xn delta 0 -3 12 -0.25 0.25 0.001 0.25 -0.546875 7.875 -0.06944444 0.31944444 0.001 0.31944444 -0.05247181 6.86226852 -0.00764642 0.32709087 0.001 0.32709087 -0.00281056 6.75429498 -0.00041612 0.32750698 0.001 0.32750698 -0.00013495 6.74843924 -1.9997E-05 0.32752698 0.001 x y ejemplo.xlsx 31 1.4b Realiza el procedimiento de Newton- Raphson Realiza tus cálculos con apoyo de software de tu conocimiento, y sube una fotografía 1.4c ¿Cómo le explicarías a tu compañero las diferencias de resultados entre el método de bisección y el de Newton- Raphson? Método de Newton Segundo Orden Este método se puede derivar del método de Newton Raphson, utilizando la serie de Taylor, y aceptando que la función f(x) tiene derivadas en todos los órdenes en el intervalo que contiene a 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛. Se puede desarrollar la función en serie de potencias por medio de la serie de Taylor para obtener el valor de 𝑓(𝑥𝑛+1) de términos del valor de la función 𝑓(𝑥) y de sus derivadas en 𝑥𝑛 se tiene que 𝑓(𝑥𝑛+1) = 𝑓(𝑥𝑛) + 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 1! 𝑓′(𝑥𝑛) + (𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛) 2 2! 𝑓′′(𝑥𝑛) + (𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛) 2 3! 𝑓′ ′′(𝑥𝑛) +⋯ Admitiendo que 𝑥𝑛+1 es un valor aproximado de la raíz a se puede escribir 𝑓(𝑥𝑛+1) ≅ 0, 𝑜 𝑠𝑒𝑎 𝑓(𝑥𝑛) + 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 1! 𝑓′(𝑥𝑛) + (𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛) 2 2! 𝑓′ ′(𝑥𝑛) + (𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛) 2 3! 𝑓′ ′′(𝑥𝑛) +⋯ ≅ 0 Si se considera a los tres primeros términos de la serie anterior y se representa con ∆𝑥𝑛 a la diferencia 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 Entonces se tiene, 𝑓(𝑥𝑛) ∆𝑥𝑛 1! 𝑓′(𝑥𝑛) + ∆𝑥2̅̅ ̅̅ ̅ 2! 𝑓′′(𝑥𝑛) ≅ 0 32 Por tanto, 𝑓(𝑥𝑛) + ∆𝑥𝑛 [𝑓 ′(𝑥𝑛) + ∆𝑥𝑛 2! 𝑓′′(𝑥𝑛)] ≅ 0 Por el método de Newton-Raphson, se sabe que ∆𝑥𝑛 equivale a la fracción − 𝑓(𝑥𝑛) 𝑓′(𝑥𝑛) Por lo que al sustituirla en la última expresión se tiene 𝑓(𝑥𝑛) + ∆𝑥𝑛 [𝑓 ′(𝑥𝑛) + 1 2 𝑓(𝑥𝑛) 𝑓′(𝑥𝑛) 𝑓′′(𝑥𝑛)] ≅ 0 A continuación, se presentan las maniobras algebraicas para llegar al método iterativo de Newton Segundo Orden. ∆𝑥𝑛[𝑓′(𝑥𝑛) − 1 2 𝑓(𝑥𝑛) 𝑓′(𝑥𝑛) 𝑓′′(𝑥𝑛)] = −𝑓(𝑥𝑛) Se divide todo entre ∆𝑥𝑛 [𝑓′(𝑥𝑛) − 1 2 𝑓(𝑥𝑛) 𝑓′(𝑥𝑛) 𝑓′′(𝑥𝑛)] = − 𝑓(𝑥𝑛) ∆𝑥𝑛 Ahora se pasa el numerador al lado izquierdo 𝑓′(𝑥𝑛) 𝑓(𝑥𝑛) − 1 2 𝑓(𝑥𝑛)𝑓 ′′(𝑥𝑛) 𝑓′(𝑥𝑛)𝑓(𝑥𝑛) = − 1 ∆𝑥𝑛 Se multiplica todo por (-1) La fórmula que define al método de Newton Segundo Orden que resuelve la función f(x)=0. 1 ∆𝑥𝑛 = − 𝑓′(𝑥𝑛) 𝑓(𝑥𝑛) + 1 2 𝑓′′(𝑥𝑛) 𝑓′(𝑥𝑛) Si se compara la fórmula de Newton- Raphson con la de Newton 2° Orden se puede afirmar que este método es mejor, ya que se considera un mayor número de términos de la serie de Taylor. 33 Por lo tanto, al aplicar el método de Newton 2° Orden a una función, se llegará más rápidamente a su raíz, aunque esta nueva fórmula es un tanto más complicada que la de Newton- Raphson. Ejemplo. Obtener una raíz de la función, por medio del método de Newtos 2° Orden 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 9𝑥2 + 12𝑥 − 3 Solución Como primer paso se recomienda tabular la función, usando la división sintética para elegir apropiadamente el valor inicial, que se llamará 𝑥0. Para este ejercicio, se toma el valor inicial 𝑥0 = 2.5. En seguida, se establece para la función, expresiones para f(x), f’(x) y f’’(x). 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 9𝑥2 + 12𝑥 − 3 𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 − 18𝑥 + 12 𝑓′′(𝑥) = 12𝑥 − 18 Las expresiones anteriores se introducen en el formato del método para facilitar su manipulación. Siempre que sea posible, se recomienda factorizar o simplificar las expresiones algebraicas para facilitar el proceso. El método de Newton Segundo Orden es un método numérico de aproximaciones sucesivas, por lo que su estructura general es 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + ∆𝑥𝑖 Lo cual en este caso resulta: 1 ∆𝑥𝑖 = − 6𝑥𝑖 2 − 18𝑥𝑖 + 12 2𝑥𝑖 3 − 9𝑥𝑖 2 + 12𝑥𝑖 − 3 + [ 2𝑥𝑖 − 3 2𝑥𝑖 2 − 6𝑥𝑖 + 4 ] Nota: se ha realizado una maniobra algebraica donde ya se ha incluido ½. Se procede a sustituir 𝑥𝑖 por su valor inicial 𝑥0 = 2.5 1 ∆𝑥0 = − 6(2.5)2 − 18(2.5) + 12 2(2.5)3 − 9(2.5)2 + 12(2.5) − 3 + [ 2(2.5) − 3 2(2.5)2 − 6(2.5) + 4 ] 34 1 ∆𝑥0 = − 4.5 2 + ( 2 1.5 ) 1 ∆𝑥0 = −2.25 + 1.333 1 ∆𝑥0 = −0.92 Se procede a determinar el valor de ∆𝑥0 ∆𝑥0 = − 1 0.92 ∆𝑥0 = −1.087 Entonces, 𝑥1 = 2.5 − 1.087 = 1.413 Siguiendo este procedimiento, hasta que dos valores consecutivos en su diferencia absoluta sea cero o un valor dentro de una tolerancia 𝛿 preestablecida. Con este método, la raíz que se encontró es 𝑥 = 0.322 Evidencia de aprendizaje 1.5 Encontrar las raíces, por medio del método de Newton Segundo Orden, de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥10 − 10𝑥 + 4 Se ha graficado la función y se puede observar que existen dos raíces reales positivas a. Calcular las dos raíces positivas de la función, con apoyo de software de tu elección x y 35 NIVEL 3 En este nivel se pone a prueba tu pensamiento estratégico. Se trata de plantear un fin, analizar los medios con los que se cuentan para llegar a este, y luego se les dispone de tal forma que faciliten el alcance, de la mejor manera posible, considerando también el concepto de error. La estrategia debería involucrar una alternativa explícita, un método de solución, acerca de cómo abordar problemas. En esta sección esperamos que emplees los conceptos vertidos en páginas anteriores y el desarrollo de tus habilidades, como lo muestra la figura 1.5. Fig. 1.5 Pensamiento estratégico para la solución de sistemas no lineales Situación del problema… La siguiente función obedece a los pronósticos de ingresos económicos de una empresa de nueva creación con base en los productos que planea ofrecer a lo largo de varios semestres después de ser creada; el interés se encuentra en determinar el punto/los puntos en donde no existirán ganancias y tampoco pérdidas económicas, con el propósito de determinar acciones preventivas ante tales sucesos. Ejemplos de aplicación Anticipar Analizar Interpretar Decidir Acción Aprender 36 El modelo matemático que representa tal situación está dado por: 3 2( ) 4 10f x x x= + − La función dada, fue obtenida gracias a la cuenta de pérdidas y ganancias que pronostica la empresa, con base en un estudio de mercado previamente elaborado por ellos mismos, lo que hace la cuenta de pérdidas y ganancias es resumir los ingresos y gastos que se realizan en un ejercicio contable; los resultados que se obtienen en este indican las utilidades de la empresa, dichas utilidades están expresadas en la función propuesta. Cabe decir que la empresa planea realizar dos ejercicios contables por año. El punto en donde la empresa no obtiene ganancias ni perdidas, en donde su utilidad es igual a cero, en matemáticas se le conoce como raíz; la raíz es el punto en donde la función intercepta al eje de las 𝑥, en donde la función “𝑓(𝑥)” tiene un valor igual a cero. Análisis del modelo matemático La función del problema propuesto es 3 2( ) 4 10f x x x= + − . Por regla de los signos se puede saber la cantidad de raíces y el tipo que son. Elmayor orden del polinomio (el exponente más grande de la función) indica la cantidad de raíces que se pueden obtener, en este caso el máximo orden del polinomio es tres (𝑥3). Existen dos tipos de raíces: real y compleja. A continuación, se presenta una tabla con las combinaciones de las posibles raíces que se pueden encontrar en esta función: http://graph.tk 37 Orden de la Función: 3 Raíces Posibilidad 1 Posibilidad 2 Raíces Reales: 3 1 Raíces Complejas: 0 2 Solo se pueden encontrar dos posibilidades, la primera es que se encuentren tres raíces reales y cero raíces complejas. Y la segunda posibilidad es que se encuentre una raíz real, y dos raíces complejas. Solo existen esas dos posibilidades. No es posible tener dos raíces reales y una compleja, debido a que los números complejos van siempre en pares (𝑎 ± 𝑏𝑖). Al momento de graficar la función, se encuentra una sola raíz real (punto rojo), las raíces reales se identifican fácilmente, ya que la función intercepta el eje de las “𝑥”, mientras que las otras dos, se encuentran en el dominio de los números complejos. Recordando los componentes de la gráfica, el eje 𝑥 en el problema representa el tiempo dado en ejercicios contables, mientras que el eje 𝑦 representa la utilidad de la empresa, se desea encontrar el valor de la raíz en el eje 𝑥, que es el punto en donde sabemos el tiempo en donde la utilidad de la empresa es igual a cero. Los métodos numéricos de solución El método de bisección es un método iterativo que ayuda a encontrar raíces, en donde el intervalo se divide siempre a la mitad. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en la mitad del subintervalo, dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación. http://graph.t k x y 38 Se propone utilizar este método para resolver el problema porque es un método eficaz, ya que se encuentra siempre se llega a la raíz si se eligió un intervalo en donde exista una raíz, no se necesita derivar una función polinómica, simplemente basta con sumar y dividir. A continuación, se presenta un algoritmo sencillo para los cálculos de la bisección: Paso 1: Elija valores iniciales inferior “𝑥𝑙”, que representa el límite inferior LI y superior “𝑥𝑢” que representa el límite superior. Lo ideal es que se realice la tabulación y en el momento que haya un cambio de signo en y, elegir esos valores como los límites. Otra forma de interpretar lo anterior e evaluando las las funciones en cada punto “𝑥𝑙” y “𝑥𝑢”, se deberá obtener un valor menor a un 𝛿: 𝑓(𝑥𝑙) ∙ 𝑓(𝑥𝑢) < 𝛿 Paso 2: Una aproximación de la raíz 𝑥𝑟 se determina mediante la obtención del punto medio: 𝑥𝑟 = 𝑥𝑙 + 𝑥𝑢 2 Paso 3: Determina si la función es creciente o decreciente en el intervalo (𝑥𝑙 , 𝑥𝑢). La función será: Creciente si: Decreciente si: Al momento de evaluar 𝑥𝑟 en la función el resultado es positivo. 𝑓(𝑥𝑟) > 0 Al momento de evaluar 𝑥𝑟 en la función el resultado es negativo. 𝑓(𝑥𝑟) < 0 Paso 4: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en qué subintervalo está la raíz dependiendo de la trayectoria de la función: a. Si 𝑓(𝑥𝑟) < 0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo inferior o izquierdo. Por lo tanto, haga 𝑥𝑢 = 𝑥𝑟 y vuelva al paso 2. b. 𝑓(𝑥𝑟) > 0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior o derecho. Por lo tanto, haga 𝑥𝑙 = 𝑥𝑟 y vuelva al paso 2. 39 c. Si 𝑓(𝑥𝑟) = 0, la raíz es igual a 𝑥𝑟, o en su caso, 𝑓(𝑥𝑟) < 𝛿; termina el cálculo. Consulte el siguiente video de los pasos del método de bisección: https://www.youtube.com/watch?v=rBVrbzvOka8 En la siguiente figura se muestra una representación gráfica del método. Solo representa la primeras tres iteraciones. Pero ¿Hasta qué punto se debe detener el cálculo de iteraciones si se tiene un número irracional? Bien, las operaciones realizadas en cada iteración tienen un cierto porcentaje de error, existen dos tipos de errores, el error relativo, y el error real o aproximado. El error relativo es la diferencia del resultado obtenido 𝑥𝑟1 de la nueva iteración con el resultado 𝑥𝑟0 de la anterior iteración, esto se expresa en porcentaje y se representa con la siguiente ecuación: 𝐸𝑅 = |𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑁𝑢𝑒𝑣𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟| 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑁𝑢𝑒𝑣𝑜 (100) Mientras que el error aproximado es la diferencia del resultado obtenido 𝑥𝑟1 de la nueva iteración con el valor de la raíz verdadera, esta ecuación se aplica evidentemente cuando de antemano se conoce el valor de la raíz verdadera de la función, se representa con la siguiente ecuación: 𝐸𝐴 = |𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑅𝑒𝑎𝑙 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜| 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑅𝑒𝑎𝑙 (100) Estos porcentajes de error permiten conocer qué tan cercanos de la raíz estamos y a su vez, permitiría saber qué tan exacta es la raíz que se está calculando. En ocasiones, es tan pequeña la raíz que con una cantidad grande de iteraciones no se podría encontrar, por lo que se puede conocer el número de iteraciones necesarias para obtener una raíz con un porcentaje de error predefinido, se representa con la siguiente ecuación: 40 𝑛 = log2 ( 𝛥𝑥 𝐸𝑅 ) En donde: • 𝑛 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑡𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 • 𝛥𝑥 = 𝑥𝑢 − 𝑥𝑙 • 𝐸𝑅 = 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 Resolución… La siguiente hoja de cálculos se ha diseñado específicamente para este problema, a continuación, se explicarán sus partes. (Selecciona el ícono del documento para visualizarlo). Método De Bisección.xlsx La primera parte está diseñada para introducir datos. El intervalo indica los valores que va a tomar el método de bisección. El paso son los saltos que va a tomar la gráfica para hacer una representación del comportamiento de la función y ayudarnos a visualizar en dónde se encuentra la raíz. La raíz real es el valor verdadero de la raíz para ejemplificar el método. El error es el error relativo al que se quiere aproximar, este dato es procesado por la casilla de iteraciones necesarias para así obtener cuántas iteraciones se deben hacer para obtener un resultado con ese porcentaje de error deseado. Paso Raiz Real Delta It. Necesarias x l = 1 0.1 1.365 0.01 15 xu = 4 x y 1 -5 1.1 -3.829 1.2 -2.512 1.3 -1.043 1.4 0.584 1.5 2.375 1.6 4.336 1.7 6.473 1.8 8.792 1.9 11.299 2 14 2.1 16.901 2.2 20.008 2.3 23.327 2.4 26.864 2.5 30.625 2.6 34.616 2.7 38.843 2.8 43.312 2.9 48.029 3 53 3.1 58.231 3.2 63.728 3.3 69.497 3.4 75.544 3.5 81.875 3.6 88.496 3.7 95.413 3.8 102.63 3.9 110.16 4 118 Powered by: Cristian Villanueva MATERIAL DIDÁCTICO | MÉTODO DE BISECCIÓN ¡Encuentra la raíz! Inserta valores en las casillas obscuras para comenzar. Función: Intervalo 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 −𝟏𝟎 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 y 41 La segunda parte muestra los resultados de las operaciones realizadas en la Tabla del método de bisección. En donde las casillas en rojo o verde indican si el resultado de la multiplicación es negativo o positivo y así saber qué hacer en el Paso 2 antes mencionado. Iteración x l x S x r f(x l ) f(x u ) f(x r ) 1 1 4 2.5 -5 118 30.625 2 1 2.5 1.75 -5 30.625 7.609375 3 1 1.75 1.375 -5 7.609375 0.162109375 4 1 1.375 1.1875 -5 0.162109375 -2.68481445 5 1.1875 1.375 1.28125 -2.68481445 0.162109375 -1.33029175 6 1.28125 1.375 1.328125 -1.33029175 0.162109375 -0.60163498 7 1.328125 1.375 1.3515625 -0.60163498 0.162109375 -0.22418737 8 1.3515625 1.375 1.36328125 -0.22418737 0.162109375 -0.03214997 9 1.36328125 1.375 1.369140625-0.03214997 0.162109375 0.064701356 10 1.36328125 1.369140625 1.366210938 -0.03214997 0.064701356 0.016206182 11 1.36328125 1.366210938 1.364746094 -0.03214997 0.016206182 -0.00798926 12 1.364746094 1.366210938 1.365478516 -0.00798926 0.016206182 0.004104116 13 1.364746094 1.365478516 1.365112305 -0.00798926 0.004104116 -0.00194366 14 1.365112305 1.365478516 1.36529541 -0.00194366 0.004104116 0.001079957 15 1.365112305 1.36529541 1.365203857 -0.00194366 0.001079957 -0.00043192 TABLA DEL MÉTODO DE BISECCIÓN RAIZ = 1.3652039 42 En la tercera tabla se pude observar el cálculo de los dos tipos de errores que se han revisado anteriormente, muestra el error relativo y el error real, recordar que el error real solo se puede calcular cuando se conoce el valor real de la raíz. Cabe decir que ésta tabla se puede ocultar si no se requiere en un determinado momento. Para comenzar, se debe elegir el intervalo donde se desea analizar la función, se debe ajustar el paso para encontrar de manera visual la raíz de la función, o en el punto en donde la función toca al eje de las “x” ya que, a partir de este punto, la empresa comienza a percibir ganancia, dado que los valores de “y” representan la utilidad, si son negativos esos valores es dinero que debe la empresa, el eje “x” representa el tiempo dado en años. Por lo que la raíz nos dice en que año la empresa comienza a percibir ganancias. También es importante determinar el porcentaje de error que tendrá el valor que calculemos (Delta), ya que es importante saberlo para determinar el número de iteraciones que el programa debe realizar, en este caso, hemos colocado un delta de 0.01, ya que es un porcentaje de error aceptable, en ingeniería, se le conoce a ese valor como el valor de error ingenieril. Una vez colocado el valor de delta que queremos, solito el programa determinará las iteraciones necesarias para llegar a un valor que dicho porcentaje de error. Como se sabe la raíz real de esta función, se empezará ingresando los siguientes datos para que se observen los resultados obtenidos del programa. Relativo Real 6.227106 5.45454545 0.732601 2.80373832 2.014652 Error (%) 43 Interpretación de resultados del problema… El programa determinó que se deben realizar doce iteraciones para un delta con valor igual a “0.01”. La raíz obtenida tiene el valor de “1.3652”, esto quiere decir que, al cabo de este tiempo, la empresa llegará al punto de utilidad igual a cero, a partir de este punto la empresa comenzará a percibir ganancias. Las otras dos raíces complejas requieren métodos de otro tipo. REVISA EL EJECUTABLE DEL MÉTODO DE NEWTON- RAPHSON Ingresa la función 3 2( ) 4 10f x x x= + − Hasta aquí ha quedado resuelto el problema. Ejemplo Situación del problema… Imagine que se tiene un tanque de agua totalmente esférico, y que es utilizado para abastecer un pequeño poblado que se encuentra en desarrollo. Cada mañana el tanque se llena con el fin de satisfacer la demanda de los habitantes, que por lo regular consumen 30 3m de agua al día. Considere que este tanque tiene un radio de 3 metros. Aproxime la altura a la que debería de llegar el agua del tanque, cuando lo están llenando, con el fin de asegurar el abastecimiento de agua diario para la población. Utilice el método de Newton Raphson y determine el número de iteraciones necesarias Iteración x l x S x r f(x l ) f(x u ) f(x r ) Relativo Real 12 1.365185547 1.365332031 1.365258789 -0.00073428 0.001684745 0.00047519 0.00536471 0.018959 TABLA DEL MÉTODO DE BISECCIÓN RAIZ = 1.3652588 Error (%) 44 para llegar a la raíz, considerando un error de 0.01. Planteamiento del problema… Es adecuado establecer las funciones que describen el comportamiento de nuestro sistema: El volumen total de una esfera está dado por la ecuación: 𝑽 = 𝟑 𝝅 𝒓𝟑 El volumen del tanque de agua, conforme se llena respecto a su altura, está dado por la siguiente ecuación: 𝑽 = 𝝅 𝒉𝟐(𝒓 − 𝒉 𝟑 ) Para ambos casos, donde: V = volumen [ 3m ] h = profundidad del agua en el tanque [m] r = radio del tanque [m] La realización del modelo matemático… Este modelo es una expresión matemática o función que sirve para expresar la relación entre las variables que existen dentro de un sistema y así poder estudiar su comportamiento ante distintas situaciones. Aplicándolo a nuestro ejercicio, esta función describe cómo cambia el volumen de líquido contenido en el tanque a medida que va cambiando la altura que alcanza el agua dentro de él. 𝑽 = 𝝅𝒉𝟐 (𝒓 − 𝒉 𝟑 ) 𝑽 = 𝒓𝝅𝒉𝟐 − 𝝅 𝟑 𝒉𝟑 𝒇(𝒉) = 𝒓𝝅𝒉𝟐 − 𝝅 𝟑 𝒉𝟑 − 𝑽 1. Se presenta la función tal cual fue presentada en el ejercicio 2. Se descompone la operación dentro del paréntesis. 3. La función se iguala a 0 o f(h), así, se obtiene una función dónde la variable será la altura “h”. 45 Con la función, se pueden realizar distintas interpretaciones de la misma: 𝒇(𝒉) = 𝒓𝝅𝒉𝟐 − 𝝅 𝟑 𝒉𝟑 − 𝑽 “h” o altura, es la variable cuyo valor nos dará el volumen deseado. “r” es el radio del tanque, un parámetro determinado por el ejercicio. Es igual a 3 metros. El signo negativo acompañando al monomio de mayor grado indica que es una función principalmente decreciente. El volumen es nuestro valor deseado u objetivo, fijado en 30 metros cúbicos o 30,000 litros de agua. El polinomio es de tercer grado, por lo tanto, tendrá 3 raíces solución, donde las combinaciones de raíces reales e imaginarias podrían ser las siguientes: Caso Número de raíces reales Número de raíces complejas Número total de raíces I 3 0 3 II 1 2 3 A partir del planteamiento del problema se pueden obtener algunas restricciones que limitarán los resultados: 𝑟 > 0 El radio del tanque tendrá que ser mayor a 0, de lo contrario no existiría el tanque. ℎ ≥ 0 La altura que alcanza el agua dentro del tanque tendrá que ser mayor o igual a 0, así, se puede asegurar un volumen nulo o positivo de agua dentro del tanque. ℎ ≤ 6 La altura del agua no podrá superar los 6 metros de altura, al llegar esta marca el tanque estará en su máxima capacidad debido a que su radio es de 3 metros y es totalmente esférico. La tolerancia para este caso se toma como 0.01. v v Nota: La manipulación algebraica para obtener el modelo matemático puede variar, sin embargo, es importante recordar que su derivada (parte de la resolución por el método de Newton Raphson) se puede obtener de forma analítica o mediante el uso de software, donde el programa determinará la derivada de la función sin mayor problema. 46 Teniendo la función, se sustituirán los valores de los parámetros para un mejor análisis: 𝒇(𝒉) = 𝒓𝝅𝒉𝟐 − 𝝅 𝟑 𝒉𝟑 − 𝑽 𝒇(𝒉) = 𝟑𝝅𝒉𝟐 − 𝝅 𝟑 𝒉𝟑 − 𝟑𝟎 Para ayudar a determinar las raíces o tener un mayor acercamiento a la solución del problema, se deberá recurrir al método gráfico, sustituyendo los valores de nuestros parámetros: 𝑓(ℎ) = 𝑟𝜋ℎ2 − 𝜋 3 ℎ3 − 𝑉 ; 𝑓(ℎ) = 3𝜋ℎ2 − 𝜋 3 ℎ3 − 30 ; 𝑓(ℎ) = 3𝜋ℎ2 − 𝜋 3 ℎ3 − 30 Gráfica realizada en https://www.desmos.com *Se puede observar que la función tiene tres raíces reales, (x1=-1.64, x2=2.028 y x3=8.614), de las cuales una es negativa (-1.64), por lo tanto, queda descartada de las posibles soluciones, además para el método de Newton-Raphson es necesario contar con un punto inicial (𝑥𝑖) para aproximar la solución en el menor número de iteraciones, pudiendo ser 2 u 8 para llegar a las raíces deseadas, siendo 2.028 y 8.614 las raíces positivas. 47 Resolución por Newton Raphson (MATLAB). Para plantearel programa es necesario establecer la información que se nos otorgó inicialmente: La función que describe el sistema: 𝒇(𝒉) = 𝟑𝝅𝒉𝟐 − 𝝅 𝟑 𝒉𝟑 − 𝟑𝟎 El método numérico a utilizar: Newton-Raphson La fórmula del método numérico: 𝒙𝒊+𝟏 = 𝒙𝒊 − 𝒇(𝒙𝒊) 𝒇′(𝒙𝒊) Error permitido: 0.001 Punto de inicio (𝑥𝑖): 2 u 8 para que la convergencia se lleve a cabo en la menor cantidad de iteraciones posibles. MATLAB es un entorno de computación y desarrollo de aplicaciones totalmente integrado orientado para llevar a cabo proyectos en donde se encuentren implicados elevados cálculos matemáticos y la visualización gráfica de los mismos. MATLAB integra análisis numérico, cálculo matricial, proceso de señal y visualización gráfica en un entorno completo donde los problemas y sus soluciones son expresados del mismo modo en que se escribirían tradicionalmente, sin necesidad de hacer uso de la programación tradicional. A continuación, se muestran las pantallas obtenidas tras programar el método de Newton-Raphson y resolver el ejercicio utilizando MATLAB: 48 El programa encuentra una solución en 2.02691 cuando se le da un valor inicial (xi) de 3, luego de realizar 3 iteraciones. Observe como con este método la función converge rápidamente, obteniendo la raíz positiva que se observó al graficar la función. Interpretación de los resultados… Es posible determinar entonces que cuando el agua alcance una altura de 2.026 metros dentro del tanque, este contendrá los 30 metros cúbicos de agua requeridos para sustentar al pequeño poblado que lo requiere. Esto también se puede comprobar sustituyendo este valor en la función inicial: Hasta aquí ha quedado resuelto el problema… Nota: Como se pudo observar en la gráfica hay otra raíz positiva en 8.61. Por lo tanto, se ejecutará el programa nuevamente con el fin de llegar a este valor, fijando un punto inicial cercano “8”. Radio = 3 metros Altura = 2.02691 metros 𝑉 = 𝜋 ℎ2 (𝑟 − ℎ 3 ) 𝑉 = 𝜋 (2.02691𝑚)2 (3𝑚 − 2.02691𝑚 3 ) 𝑽 = 𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟏 𝒎𝟑 V 49 El programa encuentra una solución en 8.61391 cuando se le da un valor inicial (xi) de 8, luego de realizar 4 iteraciones. Recordando nuestra restricción: ℎ ≤ 6 La altura del agua no podrá superar los 6 metros de altura, al llegar esta marca el tanque estará en su máxima capacidad debido a que su radio es de 3 metros y es totalmente esférico. Está claro entonces que este valor es irreal para nuestro caso, es decir, no es solución de nuestro ejercicio. Evidencia de aprendizaje 1.6 Muchas ecuaciones de gases describen la relación PVT, una de ellas es la de Beattie-Bridgeman: 𝑃 = 𝑅𝑇 𝑉 + 𝛽 𝑉2 + 𝛾 𝑉3 + 𝛿 𝑉4 P= Presión V=Volumen molar T= Temperatura 𝛽, 𝛾, 𝛿 son parámetros dependientes de las características del gas, bajo estudio R= Constante universal de los gases Encontrar el volumen molar V del gas. Se sugiere usar el método de Newton Raphson. Evidencias de aprendizaje 50 La función se debe reescribir en términos de f(V) para el cálculo de su derivada: 𝑓(𝑉) = 𝑅𝑇𝑉−1 + 𝛽𝑉−2 + 𝛾𝑉−3 + 𝛿𝑉−4 − 𝑃 a. Obtener la derivada de la función Toma una fotografía y súbela b. ¿Cómo quedaría la fórmula iterativa de Newton-Raphson? Toma una fotografía y súbela c. Investigar, ¿cuál sería el criterio de convergencia para Newton- Raphson? Toma una fotografía y súbela Evidencia de aprendizaje 1.7 Comprobar que la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 10𝑥 − 20, tiene una raíz de x=1.368808107. Utilizar los métodos de bisección y de Newton Rahpson. a. Mostrar la tabulación de la función b. Subir la tabla de iteraciones del método de bisección c. Subir la tabla de iteraciones por el método de Newton- Raphson 51 d. ¿Qué se concluye de ambos métodos? Evidencia de aprendizaje 1.8 Utilizar el algoritmo de Newton- Raphson para calcular el volumen con las siguientes condiciones P= 778 kPa T= 350°K a= 365𝑚6 𝐾𝑃𝑎/(𝐾𝑔 −𝑚𝑜𝑙)2 b=0.3 𝑚3/𝐾𝑔𝑚𝑜𝑙 R=1.618 𝑃 = 𝑅𝑇 𝑉 − 𝑏 − 𝑎 𝑉(𝑉 + 𝑏) + 𝑏(𝑉 − 𝑏) a. Explica la relación del problema con la búsqueda de raíces. Si requiere hacer un esquema para conectar tus ideas, adelante. b. Determinar el grado de la ecuación c. Definir el comportamiento de la curva d. Aplicar la Regla de los signos de Descartes 52 e. Tabular f. Graficar Toma una impresión de pantalla y súbela g. ¿Por qué es preferible usar el algoritmo de Newton- Raphson? h. Aplicar el algoritmo de Newton- Raphson Toma una fotografía y súbela NIVEL 4 En este nivel se requiere de una investigación, tiempo para pensar y analizar las múltiples partes del problema. Demanda de tu parte asertividad y perseverancia. Se comienza por presentar el algoritmo, esto facilita la codificación del mismo en cualquier lenguaje de programación, para hacer adecuaciones pertinentes si son necesarias. Una forma de comenzar es con el pseudocódigo, o sea, describir con lenguaje natural, las acciones sucesivas y lógicas que constituyen al método numérico elegido. Por ejemplo, se presentan los algoritmos de Bisección y de Método de Newton- Raphson: Tu proyecto 53 54 La codificación del algoritmo se ha llevado a la programación en MATLAB. El programa proporciona una gráfica que funciona como punto de partida para la evaluación de la función. A continuación se presenta el código (el texto en color verde, son comentarios para la comprensión del programa). 55 Evidencia de aprendizaje 1.9 Proyecto Tomar en cuenta la evidencia de aprendizaje 1.6 y con base en el problema ahí descrito, elaborar un programa de computadora en un lenguaje de uso general (el que tú conozcas) para resolver el caso por Método de bisección Método de Newton-Raphson Método de Newton 2° orden 1.9a Construir el pseudocódigo y diagrama de flujo para los tres métodos (te recomendamos ampliamente usar la aplicación de lucid chart) (Ingeniería Civil, Ingeniería Eléctrica Electrónica, Ingeniería Industrial, Ingeniería Mecánica). Evidencia de aprendizaje 56 1.9 Generar el programa fuente y presentar el programa ejecutable para los tres métodos (Ingeniería en Computación) 1.9a Realizar una tabla comparativa con las características de los tres métodos, tomando en cuenta el concepto de error (Ingeniería Civil, Ingeniería Eléctrica Electrónica, Ingeniería Industrial, Ingeniería Mecánica). ¿No te fue bien en alguno de los niveles?, ¿Crees que puedes mejorar su nivel de aprendizaje?, ¿simplemente quieres seguir experimentando?... Bienvenido a “Ponte a prueba” Test de reposición Bienvenido a la siguiente prueba sobre el tema “Raíces de polinomios”. Lee con atención y contesta lo que se te solicite. 1. Pruebe resolver la función 3 2( ) 4 10f x x x= + − mediante algún otro método numérico y compare las ventajas y desventajas que encontró al usarlo con respecto al método de bisección. Método de Bisección comparado con:_____________________________ Ventajas de Bisección Desventajas de Bisección 1) 1) 2. ¿En qué punto una empresa con un pronóstico de ventas 2( ) 6f x x x= + − recuperará su inversión y empezará a percibir ganancias? El periodo contable se pronosticó mensualmente. a. Tabule función de (-5, 5). ¿En qué intervalo se encontraron los cambios de signo? (Realiza una tabulación). Elige la opción correcta i. i. [-4,-2] y [1,4] ii. ii. [-4,-2] y [2,4] iii. iii. [-1,-2] y [1,2] b. Evaluarla función 2( ) 6f x x x= + − (con todo su análisis). 57 c. Aplicar el método de bisección y explicar que se ha realizado en cada paso. d. Interprete físicamente los resultados de todas las raíces. 3. Se tiene la siguiente función: 3 2( ) 8 10f x x x= + − a. Tabule y grafique la función y determine todas las combinaciones posibles de los tipos de raíces que se pueden encontrar, seleccione la posibilidad correcta. b. ¿Cuál es el valor de las tres raíces? 4. (Recomendado para eléctricos, mecánicos, industriales) Se carga una viga de la manera que se aprecia en la figura siguiente. Emplee el método de bisección para encontrar la posición dentro de la viga en donde no hay momento. a. Encontrar las reacciones en los apoyos RA y RB. b. Realizar el diagrama de esfuerzos cortantes del sistema. c. Realizar el diagrama de momentos del sistema. d. Definir ecuación que describe el esfuerzo cortante en 0 < 𝑥 < 3. 58 e. Utilizando la ecuación anterior y el método de bisección, encontrar los puntos en donde no hay esfuerzo cortante en la viga. f. Definir la ecuación que describe el momento en 0 < 𝑥 < 3. g. Utilizando la ecuación anterior y el método de bisección, encontrar los puntos en donde no hay momento en la viga. h. Graficar las funciones V y M 5. Se han presentado dos pseudocódigos, uno para el método de bisección, y el otro, para el de Newton Raphson. Con base en lo anterior, y ya sea en forma de pseudocódigo y/ o lenguaje de programación, realizar lo siguiente: a) En caso de no indicar los límites del intervalo, generar el subprograma que solicite dichos límites (solicitud de límite superior e inferior). b) Generación de un módulo de solicitud de delta. c) Presentación de Resultados. d) Generar un módulo para solicitar una nueva corrida. Preguntas de reflexión Lee con atención las preguntas, y contesta lo que se te pide. 1. ¿Cuáles fueron las principales ideas o conceptos matemáticos que aprendieron durante el desarrollo de la unidad? 2. ¿Qué preguntas tienes aún sobre los métodos usados en la unidad? 3. Describe un error o malinterpretación que algún compañero tuvo con el estudio de este tema. 4. ¿Qué nuevo vocabulario aprendiste? Genera una oración con esos términos. 5. ¿Qué fortalezas y debilidades notas de esta forma de evaluar el aprendizaje? 6. ¿Qué TIC emplearon para el desarrollo del proyecto? 7. ¿Los problemas propuestos son modelos reales que te preparan para tu futuro profesional? 59 Rúbrica de evaluación La rúbrica que a continuación se presenta, se orienta a evaluar el aprendizaje en términos de qué tan profundo se ha comprendido el contenido presentado, con el fin de interactuar con este en forma exitosa. Comprende 4 niveles de comprensión. El nivel 1, se orienta a la reproducción y memorización de un hecho, término, principio, concepto, así como a la ubicación de detalles. Puede llegar hasta la solución de problemas rutinarios no complejos. El nivel 2 trata con la aplicación de habilidades y conceptos. Se trata de organizar y mostrar información. Interpretar gráficos, resumir, identificar las ideas principales, explicar relaciones. Hacer uso de la información, del conocimiento conceptual que conlleva a seleccionar el procedimiento básico apropiado para una tarea dada, tomar decisiones y resolver. El nivel 3, es una naturaleza estratégica. Requiere razonamiento o desarrollo de un plan o secuencia de pasos para aproximarse al problema, requiere toma de decisiones. Se trata de hacer justificaciones en cada etapa de resolución de problemas y de presentar evidencia de lo mismo. El nivel 4, tiene que ver con la creación. Puede ser una investigación y/o aplicación de un problema del mundo real. Requiere tiempo para investigar y para resolver problemas no rutinarios. La resolución del problema requiere visualizar múltiples condiciones, además de hacer manipulaciones no rutinarias. Sintetizar información en forma interdisciplinaria, ya sea con contenidos, áreas, fuentes, etc. La rúbrica se presenta por niveles. Para el nivel 1 el estudiante debe cumplir con 6 metas de aprendizaje para acceder al nivel 2. Si el estudiante cumple hasta un mínimo de 4 puntos accede al nivel 2 con las recomendaciones pertinentes que realice el profesor. Con un puntaje menor a 4, se le recomendará al alumno que afiance el nivel 1, y realice los problemas pertinentes del test de reposición. Cada rubro tiene un valor de un punto. 60 Nivel de comprensión1 Evidencia de aprendizaje Puntaje Reproduce el concepto de raíz 1.1a, 1.1b 2 Ubica detalles de una función e interpreta su comportamiento 1.2a, 1.2b, 1.2c, 1.2d 4 Con un puntaje igual o mayor a 5, el alumno puede continuar con el nivel 3. Cada rubro tiene un valor de un punto. Nivel de comprensión 2 Evidencia de aprendizaje Puntaje Interpreta las propiedades de funciones y visualiza la vecindad donde se pueden encontrar las raíces de una función. 1.3a, 1.3b, 1.3c 4 Resuelve problemas rutinarios en múltiples etapas 1.4a, 1.4b, 1.4c 3 Aplica el concepto de raíz, mediante la identificación de patrones de un evento y su efecto. 1.5 1 Con un puntaje igual o mayor a 8, el alumno puede continuar con el nivel 4. Cada rubro tiene un valor de un punto. Nivel de comprensión 3 Evidencia de aprendizaje Puntaje Construye una representación que muestra como se ve y/o funciona un caso 1.6a, 1.6b, 1.7a, 1.7b, 1.7c 5 Cita evidencia y desarrolla un argumento lógico para hacer conjeturas. 1.6c, 1.7d, 1.8a, 1.8g 4 Resuelve el problema y analiza escenarios distintos 1.8b, 1.8c, 1.8d,1.8e, 1.8h 5 Nivel de comprensión 4 Evidencia de aprendizaje Puntaje Sintetiza ideas en nuevas representaciones 1.9 3 Conduce una investigación sobre el problema resuelto. 1.9a 1
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