Problemario_Calculo-29 - Eduardo Gonzalez Garcia

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Continuidad en un intervalo abierto y en un intervalo cerrado 
 
Definición 3. Una función 𝑓 es continua 
(a) Sobre un intervalo abierto (𝑎, 𝑏) si es continua en todo número del intervalo; y 
(b) Sobre un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] si es continua en el intervalo (𝑎, 𝑏) y, 
además 
lim
𝑥→ 𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 𝑦 lim
𝑥→ 𝑏−
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏) 
 
Comprueba que la función 
ℎ(𝑥) = 𝑥√16 − 𝑥2 
Es continua en el intervalo [−4,4]. 
Solución. Como podemos observar, ℎ = 𝑓𝑔 donde 𝑓(𝑥) = 𝑥 y 𝑔(𝑥) = √16 − 𝑥2. 
El dominio de 𝑓(𝑥) es el conjunto ℝ y el dominio de 𝑔(𝑥) es el conjunto [−4,4]. Por 
lo tanto, el dominio de la función ℎ(𝑥) es el conjunto [−4,4]. Y de esta forma, para 
𝑎 ∈ (−4,4), se tiene 
lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑥√16 − 𝑥2 = (lim
𝑥→𝑎
𝑥 ) (lim
𝑥→𝑎
√16 − 𝑥2) = (lim
𝑥→𝑎
𝑥 ) (√lim
𝑥→𝑎
(16 − 𝑥2)) 
= (𝑎) (√16 − 𝑎2) = ℎ(𝑎) 
Y de acuerdo a la definición 3, ℎ es continua en el intervalo (−4,4). También 
debemos calcular el límite derecho en −4 y el límite izquierdo en 4. 
lim
𝑥→ −4+
ℎ(𝑥) = lim
𝑥→ −4+
𝑥√16 − 𝑥2 = ( lim
𝑥→ −4+
𝑥 )(√ lim
𝑥→ −4+
(16 − 𝑥2)) = (−4) (0) = ℎ(0) 
Y por lo tanto ℎ(𝑥) es continua por la derecha en −4. Similarmente, 
lim
𝑥→ 4−
ℎ(𝑥) = lim
𝑥→ 4−
𝑥√16 − 𝑥2 = ( lim
𝑥→ 4−
𝑥 ) (√ lim
𝑥→ 4−
(16 − 𝑥2)) = (4) (0) = ℎ(0) 
De manera que h(x) también es continua por la derecha; por consiguiente, según 
la definición 3, la función ℎ(𝑥) es continua en el intervalo [−4,4]. 
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ℎ(𝑥) = 𝑥√16 − 𝑥2 
Operaciones con funciones continuas 
En lugar de aplicar siempre las definiciones 1, 2 y 3 para comprobar la continuidad 
de una función, como en los ejercicios anteriores, resulta conveniente aplicar el 
teorema siguiente. 
Teorema 1. Sea 𝐴 ⊆ ℝ y sean 𝑓 y 𝑔 funciones definidas de 𝐴 a ℝ. Sean 𝛼 ∈ ℝ y 
𝑐 ∈ 𝐴, tales que 𝑓 y 𝑔 son funciones continuas en 𝑎. Entonces las siguientes 
funciones también son continuas en 𝑎. 
(𝑖) 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓𝑔 y 𝛼𝑓. 
(𝑖𝑖) La función ℎ =
𝑓
𝑔
 siempre que 𝑔(𝑥) ≠ 0 para toda 𝑥 en 𝐴. 
 
Continuidad de una función compuesta 
El siguiente teorema establece que la composición de dos funciones continuas es 
continua. 
Teorema 2. Si 𝑔 es continua en un número 𝑎 y 𝑓 es continua en 𝑔(𝑎), entonces la 
función compuesta (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = ( 𝑓(𝑔(𝑥)) es continua en 𝑎. 
1.- Sean 𝑓(𝑥) = 𝑥
1
3 y 𝑔(𝑥) = 1 − √𝑥. 
(𝒊) Determina (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) y el dominio de 𝑓𝑜𝑔. 
(𝒊𝒊) Donde es continua la función ℎ(𝑥) = (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) 
Solución. (𝒊) Como la raíz cubica de un numero negativo es también un numero 
negativo, se puede concluir que 𝐷(𝑓) = ℝ y que 𝐷(𝑔) = [0,∞). 
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Por otra parte, 
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(1 − √𝑥) = (1 − √𝑥)
1
3. 
 El dominio de ℎ = 𝑓𝑜𝑔 es el conjunto de todas las 𝑥 ∈ 𝐷(𝑔) = [0,∞) tales que 
𝑔(𝑥) = 1 − √𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) = ℝ.. 
Como todo número real tiene raíz cubica, entonces se sigue que 
𝑔(𝑥) = 1 − √𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) = ℝ, para toda 𝑥 ∈ [0,∞). 
Por lo tanto, el dominio de la composición ℎ = 𝑔𝑜𝑓 es el conjunto𝐷(𝑓𝑜𝑔) = [0,∞). 
(𝒊𝒊) Por el teorema 2, ℎ(𝑥) es continua para toda 𝑎 ∈ [0,∞) pues lim
𝑥→ 𝑎
ℎ(𝑥) =
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑔(𝑥)) = lim
𝑥→𝑎
{𝑓 (lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥))} = (1 − lim
𝑥→𝑎
√𝑥)
1
3
= (1 − 𝑎)
1
3 = ℎ(𝑎). 
2.- Sean 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) = 1 − √𝑥 
(𝒊) Determina ℎ(𝑥) = (𝑔𝑜𝑓)(𝑥) y el dominio de ℎ(𝑥). 
(𝒊𝒊) Donde es continua la función ℎ(𝑥) = (𝑔𝑜𝑓)(𝑥) 
Solución. (𝒊) 
ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔( 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)) = 1 − √𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
El dominio de 𝑓 es el conjunto 𝐷(𝑓) = ℝ, y el de 𝑔 es el conjunto 
𝐷(𝑔) = [0,∞). 
Y para que, 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ∈ 𝐷(𝑔) se debe cumplir que 
𝑠𝑒𝑛(𝑥) ≥ 0 
Por lo tanto, el dominio de la composición ℎ = 𝑔𝑜𝑓 es el conjunto 
 
𝐷(ℎ) = 𝐷𝑔∘𝑓 = {𝑥|𝑥 ∈ [2𝑛𝜋, 𝜋 + 2𝑛𝜋]; 𝑛 ∈ Ζ ∪ {0} }. 
 
(𝒊𝒊) Por el teorema 2, ℎ(𝑥) es continua para toda 
𝑎 ∈ {𝑥|𝑥 ∈ [2𝑛𝜋, 𝜋 + 2𝑛𝜋]; 𝑛 ∈ Ζ ∪ {0} } 
Pues en tal caso 
lim
𝑥→ 𝑎
ℎ(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑓(𝑥)) = lim
𝑥→𝑎
{𝑔 (lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥))}