Evaluaciones 2020-2 - Maria Cristina Rodriguez Escalante

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Práctica Calificada 1
Matemáticas II Viernes 11 de agosto de 2020
P1V1 (2 puntos )
Teorema de Weierstrass:
Si f : [a, b] ! R es continua, entonces f alcanza un valor máximo y un valor mı́nimo sobre
[a, b]. Es decir,
9x1, x2 2 [a, b], 8x 2 [a, b], [f(x2)  f(x)  f(x1)]
La función f : [�3, 3] ! R definida por:
f(x) =
⇢
3x� 1 ; si x � 0
1 ; si x < 0
es un ejemplo que muestra que el rećıproco del teorema de Weierstrass no se cumple, pues
f alcanza un valor máximo igual a y un valor mı́nimo igual a pero
.
Observación: La rećıproca de P ! Q es Q ! P
Respuesta: 8 , -1 , f no es continua.
P2V1 (2 puntos )
Sean b 2 R y f : [0,+1[! R una función real. Si la recta de ecuación y = 7x+ b es aśıntota
obĺıcua de la gráfica de f , calcule:
L = ĺım
x!+1
(
p
xf(x) + 2x2 � 3x)
Respuesta: b/6.
P3V1 (2 puntos )
Sean a > 0, b 2 R y g : R ! R tales que:
ĺım
x!+1
g(x) = �1
ĺım
x!+1
b
2
g(x)� ap
ag
2(x)� g(x) + a
= �4
p
a
Determine, en caso existe, el valor (o valores) de b en términos de a.
(Observación: Si no existen, debe indicarlo.)
Respuesta: b = 2
p
a , b = �2
p
a.
P4V1 (2 puntos )
Sean f, g : R ! R tales que g(x) = xf(x). Además, la gráfica de g se muestra a continuación:
Determine el valor de cada uno de los siguientes ĺımites y complete:
ĺım
x!+1
f(x)
x
= A
ĺım
x!�1
f(1/x)
x
= B
Respuesta:A = 0, B = �3
P5V1 (4 puntos )
Sean a, b 2 R+. A continuación se muestra la gráfica de g : R ! R, donde L1 y L2 son
tangentes a la gráfica de g.
Determine los valores de A, B y C.
g
0(a) = A
g
0(2a) = B
ĺım
x!2a
g(x/2)� g(a)
2a� x = C
Sugerencia: Para calcular el ĺımite realice el cambio de variable y = x/2
Observación: Las respuestas pueden darse en términos de a y b.
Respuesta:A = b/a , B = 0 y C = �b/2a.
P6V1 (3 puntos )Sean a, b 2 R� {0} y f : R ! R definida por:
f(x) =
8
>>>><
>>>>:
x
2 � a2
a sen(x� 2) , si x < 2
2 , si x = 2
b� ax
ax
2 � (ab+ b)x+ b2 , si x > 2
Si f presenta una discontinuidad removible en x0 = 2, calcule el o los valores que pueden
tomar a y b.
Respuesta: a = �2 y b = 3/2.
P7V1 (5 puntos ) Sea L 2 R. Grafique una función f : R ! R que cumpla con las siguientes
propiedades:
f es continua en R� {�2, 0, 2, 4}.
ĺım
x!0+
1
f(x)� L = �1
ĺım
x!0�

f
✓
1
x
◆
+
1
x
+ 2
�
= 0
ĺım
x!�2
f(x) = �1
ĺım
x!2�
f(x) = +1
ĺım
x!+1
f(x) = �1
f posee discontinuidad de tipo removible en 0 y en 4.
La gráfica de f se interseca con su aśıntota oblicua exactamente en 5 puntos diferentes.
La ecuación f(x) = 0 posee únicamente 4 soluciones.
f es estrictamente decreciente en los intervalos ]�1,�2[ y en [4,+1[.
f es estrictamente creciente en los intervalos ]� 2, 0[ y en [2, 4].
8x 2]0, 2[, [ f(x) > 0 ]
8x 2]2, 4[, [ f(x) < 0 ]
Respuesta:
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Matemáticas II Viernes 02 de octubre de 2020
Pregunta 1 versión 1
Sea f : R ! R una función derivable cuya gráfica y recta tangente (L
T
) se muestran en la figura.
Sean h, g, w : R ! R tales que:
h(x) =
e
(f(x))2
e
16
+ x y h
0
(x) = e
(f(x))2 · g(x) + w(x)
donde g(x) es:
2f(x) · f 0(x)
e
16
y w(x) es: 1
Entonces h
0
(1) es: 9
y la ecuación de la recta tangente a h en x = 1 es: y � 2 = 9(x� 1)
Solución. Determinamos la recta L
T
que es tangente a f en x = 1, f(1) y f
0
(1):
La recta pasa por los puntos (�3, 0) y (0, 3). Por lo tanto, su ecuación es: y = x+ 3
El punto (1, f(1)) 2 L
T
. Entonces f(1) = 4
La pendiente de la recta tangente a f(1) es 1. De aqúı: f
0
(1) = 1
Ahora determinamos la recta tangente a h en x = 1:
h(1) =
(f(1))
2
e
16
+ 1 =
e
42
e
16
+ 1 = 2
Ahora determinamos la pendiente de dicha recta en x = 1:
h(x) =
e
(f(x))2
e
16
+ x ) h0(x) = e
(f(x))2
2f(x) · f 0(x)
e
16
+ 1
Como h
0
(x) = e
(f(x))2 · g(x) + w(x), entonces:
g(x) =
2f(x) · f 0(x)
e
16
y w(x) = 1
.
h
0
(x) =
e
(f(x))2
2f(x) · f 0(x)
e
16
+ 1 ) h0(1) = e
(f(1)2
2f(1) · f 0(1)
e
16
+ 1
) h0(1) = e
(42
2(4)(1)
e
16
+ 1
) h0(1) = 9
La ecuación de la recta tangente es: y � h(1) = h0(1)(x� 1).
Por lo tanto, la ecuación es:
y � 2 = 9(x� 1)
Pregunta 2 versión 1
Si a > b, entonces:
ĺım
x!2+
(a� b)(x� 2)Ln(x� 2) + 3x = (a� b) ĺım
x!2+
Ln(x� 2)
(x� 2)�1 + ĺım
x!2+
3x
= (a� b) ĺım
x!2+
(x� 2)�1
�(x� 2)�2 + 6
= 6
Solución.
ĺım
x!2+
(a� b)(x� 2)Ln(x� 2) + 3x = (a� b) ĺım
x!2+
Ln(x� 2)
(x� 2)�1 + ĺım
x!2+
3x
= (a� b) ĺım
x!2+
✓
1
x� 2
◆
�(x� 2)�2 + 6
= (a� b) ĺım
x!2+
(x� 2)�1
�(x� 2)�2 + 6
= (a� b) ĺım
x!2+
�(x� 2) + 6
= 6
Pregunta 3 versión 1
La ganancia obtenida por un productor de mesas está modelada por la función f(t) = e
t
en fun-
ción del tiempo t (medido en meses). Por otro lado, la cantidad demandada de mesas q está dada
por: q(t) = t
6
+ 4t
3
+ 8t+ 1.
Entonces:
1.
df
dt
es e
t
y
dq
dt
es 6t
5
+ 12t
2
+ 8 .
De aqúı, la derivada de la ganancia con respecto a la cantidad demandada, en términos de
t, es:
e
t
6t
5
+ 12t
2
+ 8
2. Si q = 1, entonces t = 0 .
Por lo tanto, la derivada de la ganancia con respecto a la cantidad demandada, cuando q =
1, es:
1
8
Solución. 1. Tenemos que: f(t) = e
t
q(t) = t
6
+ 4t
3
+ 8t+ 1 Entonces:
df
dt
= e
t
y
dq
dt
= 6t
5
+ 12t
2
+ 8
Por lo tanto:
df
dq
=
✓
df
dt
◆
✓
dq
dt
◆
=
e
t
6t
5
+ 12t
2
+ 8
2. Como q = 1, hallaremos t:
t
6
+ 4t
3
+ 8t+ 1 = 1
) t = 0
Reemplazando en el item (a), tenemos que :
df
dq
����
q=1
=
1
8
Pregunta 4 versión 1
La función de demanda de arroz p = p(q), en cierto páıs, viene modelada impĺıcitamente por la
siguiente ecuación, donde p está en unidades monetarias, q en kilos, a > 0 y b < 0,
aq
4 � bqp2 + ap3 = a,
Si p
0
(q) =
bp
2 � 4aq3
R
i) R =
ii) p(0) =
iii) Determine el precio aproximado, en términos de a y b, al cual las personas están dispuestas
a comprar 200 gr de arroz.
Solución. Derivando impĺıcitamente tenemos
P
0
(q) =
bp
2 � 4aq3
3ap
2 � 2bpq .
Evaluando q = 0 en el dato y tomando en cuenta que a 6= 0, ap3 = a, de donde p(0) = 1. Nos
piden
P (0,2) ' P (0) + P 0(0)(0,2) = 1 + b
15a
.
Pregunta 5 versión 1
En una economı́a, el cociente entre el ingreso medio
¯
I(q) de una empresa monopolista, y la fun-
ción g(q) = a� bq, es constante igual a 5. Además, la variación relativa real del ingreso entre 10 y
20 unidades es
1
5
. Si el ingreso marginal por 2 unidades es de 10 soles, determine
De la variación relativa, la relación entre a y b es:
a =
b =
I(31) =
Solución. De
¯
I(q)
g(q)
= 5
tenemos que I(q) = 5aq � 5bq2. Además I(20)� I(10)
I(10)
=
1
5
, tenemos que a = 35b. De I
0
(2) = 10,
tenemos que 5a � 20b = 10. Resolviendo el sistema tenemos que a = 70
31
, b =
2
31
y I(q) =
350
31
q � 10
31
q
2
. De donde I(31) = 40.
Pregunta 6 versión 1
*Esta versión es para adjuntar archivo
El precio por acción de una empresa petrolera es modelada por la siguiente función:
P (t) = �t5 � a
t
2 � 8 + 1000, t � 3,
donde t está en meses y P en dólares. Determine el mayor valor de a tal que el precio del petróleo
sea decreciente en [3,+1[. Además, determine la razón de cambio instantánea del precio en el
tercer mes.
Solución. Tenemos que la derivada de P es dada por:
P
0
(t) = �5t4 + 2ta(t2 � 8)�2
queremos P
0
(t)  0, o equivalentemente:
5t
4 � 2ta(t2 � 8)�2 �0
5t
4
(t
2 � 8)2 � 2ta �0
5t
3
(t
2 � 8)2 �2a · · · (⇤)
Definimos la función g(t) = (t
2 � 8)2, esta función es creciente para t � 3, pues
g
0
(t) = 2(t
2 � 8)2t � 0 para t � 3
luego como f(t) = 5t
3
es creciente, h(t) = 5t
3
(t
2 � 8)2 � h(3) � 2a para todo t � 3, por lo tanto
el mayor valor de a será
h(3)
2
= 67.5. Además,
P
0
(3) = �5(3)4 + 6 · (67.5) = 0.
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actica Calificada (Solucionario)
Matemáticas II Viernes 6 de noviembre de 2020
1. Pregunta 1
(3.5 ptos.) Determinesi es verdadera (V) o falsa (F) cada una de las siguientes proposicio-
nes:
I. Sea Q(K,L) la función de producción de Cobb-Douglas Q(K,L) = 20K1/2L1/2. Si
duplicamos el capital invertido K y la fuerza laboral L, entonces la producción se cua-
druplica. F
II. Sea U(x, y) = x + y la función de utilidad (donde x e y son las unidades de art́ıculos).
Las curvas de indiferencia son conjuntos abiertos. F
III. Sea la función de producción Q(x, y) = x2y3, donde x representa la fuerza laboral e
y representa el capital invertido. En las curvas isocuantas se cumple que si la fuerza
laboral crece indefinidamente, entonces el capital invertido se aproxima a cero. V
IV. Sea I(x, y) =
p
16� x2 � y2 la regla de correspondencia del ingreso al vender x e y
art́ıculos. El máximo dominio de I está dado por el conjunto:
A =
�
(x, y) 2 R2 : x2 + y2  16
 
F
Solución:
I. Cuando se duplica el capital invertido y la fuerza laboral, tenemos que:
Q(2K, 2L) = 20(2K)1/2(2L)1/2
= 20(2)1/2K1/2(2)1/2L1/2
= 2
�
20K1/2L1/2
�
= 2Q(K,L)
Por lo tanto, la producción se duplica. Entonces, la afirmación es FALSA.
II. Las curvas de indiferencia son N
U
(0) = {(0, 0)}. Entonces, las curvas de indiferencia
no son conjuntos abiertos ya que
9r > 0 : B ((0, 0), r) 6⇢ N
U
(0)
De aqúı, la afirmación es FALSA.
III. Q(x, y) = c, donde c es una constante.
x2y3 = c
) y3 = c
x2
) y = 3
r
c
x2
De aqúı, si x ! +1, tenemos que y ! 0.
Por lo tanto, la afirmación es VERDADERA.
IV. De la regla de correspondencia del Ingreso, tenemos que el máximo dominio está dado
por
DomI =
�
(x, y) 2 R2 : x2 + y2  16 ^ x � 0 ^ y � 0
 
Por lo tanto, la afirmación es FALSA.
2. Pregunta 2
Esta pregunta es para enviar archivo.
a) (2 ptos.) Sean f, g : R ! R, derivables y H : R2 ! R definida por
H(x, y) = f
�
y2g(x)
�
Si
g(1) =
1
2
, g0(1) = �1
2
, f(2) = 4, f 0(2) = 3
Determine H
x
(1, 2) y H
y
(1, 2)
b) (1 pto.) Sea f : R2 ! R, dada por:
f(x, y) = 3
p
ax(by � 5b) + 5ax, a > b > 0
Determine, usando la definición, el valor de
@f
@x
(0, 5)
Solución:
a) Sea u = y2g(x)
H
x
(x, y) = f 0(u)
@u
@x
=
⇥
f 0
�
y2g(x)
�⇤ ⇥
y2g0(x)
⇤
H
y
(x, y) = f 0(u)
@u
@y
=
⇥
f 0
�
y2g(x)
�⇤
[2y · g(x)]
Reemplazando x = 1, y = 2 y los datos dados, tenemos que:
H
x
(1, 2) = �6 H
y
(1, 2) = 6
b) Para calcular la derivada pedida usamos la definición:
@f
@x
(0, 5) = ĺım
h!0
f(h, 5)� f(0, 5)
h
= ĺım
h!0
3
p
ah(0) + 5ah� 0
h
= ĺım
h!0
5ah
h
= 5a
3. Pregunta 3
(3.5 ptos.) Sea f : A ⇢ R2 ! R, donde A es un cono y f una función homogénea tal que:
f
x
(x, y) = x2 + y2ex/y
Entonces:
El grado de homogeneidad de f
y
(x, y) es: 2
El grado de homogeneidad de f(x, y) es: 3
Si se sabe que f(1, 1) =
2
3
+ e, entonces:
El valor de f
y
(1, 1) es: 1 + 2e
El valor de f
y
(2, 2) es: 4 + 8e
Solución: Al calcular f
x
(↵x,↵y), tenemos que f
x
(↵x,↵y) = ↵2f
x
(x, y). Por lo tanto, el
grado de homogeneidad de f
x
(x, y) es 2, el grado de homogeneidad de f(x, y) es 3 y el gra-
do de homogeneidad de f
y
(x, y) es 2.
Por Euler:
3f(x, y) = xf
x
(x, y) + yf
y
(x, y)
) 3f(1, 1) = f
x
(1, 1) + f
y
(1, 1)
) 3
✓
2
3
+ e
◆
= 1 + e+ f
y
(1, 1)
) f
y
(1, 1) = 1 + 2e
Como f
y
(x, y) es una función homogénea de grado 2, entonces:
f
y
(2, 2) = 22f
y
(1, 1)
= 4(1 + 2e)
= 4 + 8e
4. Pregunta 4
Sean a y b constantes reales positivas. Una cadena de restaurantes tiene una función de uti-
lidad semanal dada por
U(x, y) = 180x1/2y1/4 � ax� by, en miles de soles,
donde x representa al capital invertido semanalmente en miles de soles, e y representa a la
fuerza laboral semanal medida en cientos de horas-trabajador.
I. (0.5 puntos c/u) Determine U
x
(x, y) = y U
y
(x, y) = .
Actualmente el capital invertido es de 324 000 soles, y la fuerza laboral es de 8 100 horas-
trabajador.
II. (1 punto) Si el capital invertido tiene una cáıda del 10%, y la fuerza laboral disminuye
en 9%, entonces la variación aproximada de la utilidad es de miles de soles.
(Dar la respuesta en términos de a y b)
III. (2 puntos) Si los valores actuales de x e y maximizan la utilidad, determine los valores
de a = , y b = . En este caso, la utilidad semanal máxima es de
miles de soles.
Solución. Como U(x, y) = 180x1/2y1/4 � ax� by, tenemos que:
I. Las derivadas parciales de U son:
• U
x
(x, y) = 90x�1/2y1/4 � a,
• U
y
(x, y) = 45x1/2y�3/4 � b.
II. Tenemos que la variación aproximada de la utilidad es dada por
dU = U
x
(324, 81) ·�x+ U
y
(324, 81) ·�y
donde �x = (�1/10)324, y �y = (�9/100)81. Aśı, la variación aproximada de la
utilidad es
U
x
(324, 81) · (�324/10) + U
y
(324, 81) · (�729/100) = �324
10
(15� a)� 729
100
(30� b) miles de soles.
= �704,7 + 32,4a+ 7,29b miles de soles.
III. Como los valores actuales x = 324 e y = 81 maximizan la utilidad, tenemos que
⇢
U
x
(324, 81) = 90(324)�1/2(81)1/4 � a = 0
U
y
(324, 81) = 45(324)1/2(81)�3/4 � b = 0
Por lo tanto, a = 15 y b = 30. Aśı, la utilidad semanal actualmente es de U(324, 81) =
2430 miles de soles.
5. Pregunta 5
Esta pregunta es para enviar archivo.
Sean a, b y k constantes reales no nulas. Dada la función f : R2 ! R, definida por
f(x, y) = e�ax
2�by2+2bky.
Con el fin de determinar el Hessiano de f , calcule
(1.5 puntos)
f
x
= ; f
xx
= ; f
yy
= ;
f
y
= ; f
xy
= ; f
yx
= .
(0.5 puntos) Por lo tanto, �(x, y) = .
Dadas las siguientes proposiciones, justifique la veracidad de cada una de ellas:
A) (0.5 puntos) El punto (0, k) es el único punto cŕıtico de f .
B) (1 punto) Si ab < 0 entonces (0, k) es un punto silla de f .
C) (1 punto) Si a > 0 y b > 0 entonces (0, k) es un máximo local de f .
D) (1.5 punto) Si a < 0 y b < 0 entonces (0, k) es un mı́nimo global de f .
Solución. Tenemos que
f
x
(x, y) = (�2ax)e�ax2�b(y�k)2+bk2 y f
y
(x, y) = �2b(y � k)e�ax2�b(y�k)2+bk2 .
Además,
f
xx
(x, y) = (4a2x2 � 2a)e�ax2�b(y�k)2+bk2
f
yy
(x, y) = (4b2(y � k)2 � 2b)e�ax2�b(y�k)2+bk2
f
xy
(x, y) = f
yx
(x, y) = 4abx(y � k)e�ax2�b(y�k)2+bk2
Por lo tanto,
�(x, y) = det

f
xx
f
xy
f
yx
f
yy
�
=
⇥
(4a2x2 � 2a)(4b2(y � k)2 � 2b)� (4abx(y � k))2
⇤
e�2ax
2�2b(y�k)2+2bk2
A) (VERDADERO) El punto (0, k) es el único punto cŕıtico de f , pues f
x
(0, k) = f
y
(0, k) =
0 y, si f
x
(x, y) = 0 y f
y
(x, y) = 0 entonces (x, y) = (0, k).
B) (VERDADERO) Si ab < 0 entonces (0, k) es un punto silla de f . En efecto, ya que
(0, k) es un punto cŕıtico y �(0, k) = 4abe2bk
2
< 0.
C) (VERDADERO) Si a > 0 y b > 0 entonces (0, k) es un máximo local de f . En efecto,
puesto que (0, k) es un punto cŕıtico, f
xx
(0, k) = �2aebk2 < 0 y �(0, 0) = 4abe2bk2 > 0.
D) (VERDADERO) En efecto, en caso que a < 0 y b < 0, tenemos que
�ax2 � b(y � k)2 � 0 para todo (x, y) 2 R2.
�ax2 � b(y � k)2 + bk2 � bk2 para todo (x, y) 2 R2.
Aśı, f(x, y) = e�ax
2�b(y�k)2+bk2 � ebk2 = f(0, k) para todo (x, y) 2 R2.
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Matemáticas II
1. Si se gastan “x” miles de soles en mano de obra, “y” miles de soles en equipo, la producción de
cierta fábrica será Q(x, y) = x↵ + 2y↵. Se sabe además que Q es una función homogénea de grado
1
4 y que hay c miles de soles disponibles. Se desea determinar cómo debe distribuirse el dinero entre
mano de obra y equipo para generar la mayor producción posible.
a) (1 punto) Determine la función de Lagrange asociada a este problema.
b) (1.5 puntos) Determine el(los) punto(s) cŕıticos de la función de Lagrange.
c) (1.5 puntos) Determine la matriz Hessiana y el Hessiano Orlado asociado a este problema.
d) (0.5 puntos) Pruebe que el signo del Hessiano orlado en el (los) punto(s) cŕıtico (s) es positivo.
e) (0.5 puntos) ¿Cómo debe distribuirse el dinero entre mano de obra y equipo para generar la
mayor producción posible?
Solución. .
a) (1 punto) Determine la función de Lagrange asociada a este problema es
L(�, x, y) = x↵ + 2y↵ + �(x+ y � c)
b) Las condiciones de primer orden son:L
�
(�, x, y) = x+ y � c = 0 · · · (1)
L
x
(�, x, y) = ↵x↵�1 + � = 0 · · · (2)
L
y
(�, x, y) = 2↵y↵�1 + � = 0 · · · (3)
De las ecuaciones (2) y (3) tenemos
�� = ↵x↵�1 = 2↵y↵�1.
Por lo que obtenemos x = 2
1
↵�1 y, reemplazando en (1) obtenemos 2
1
↵�1 y + y = c de donde
y =
c
1 + 2
1
↵�1
;x =
2
1
↵�1 c
1 + 2
1
↵�1
y � =
c) La matriz Hessiana viene dada por:
2
4
0 1 1
1 Q
xx
Q
xy
1 Q
xy
Q
yy
3
5 =
2
4
0 1 1
1 ↵(1� ↵)x↵�2 0
1 0 2↵(1� ↵)y↵�2
3
5
y el Hessiano Orlado por:
�(�, x, y) = �Q
y
y �Q
x
x = �2↵(1� ↵)y↵�2 � ↵(1� ↵)x↵�2 = �↵(1� ↵)[2y↵�2 + x↵�2].
d) Como la función es homogéna de grado 14 , entonces ↵ =
1
4 por lo tanto 1 � ↵ < 0, aśı
�(�, x, y) > 0.
e) Por lo anterior, se tiene que debe utilizar 2
1
↵�1
c
1+2
1
↵�1
miles de soles en mano de obra y c
1+4
1
↵�1
miles de soles en equipo.
2. La suma de Riemann
NX
i=1
f
�
2+i
2
�
h
es representada por el área sombreada a continuación,
x
y
4
y = f(x)
1
y aproxima la integral I =
Z
b
a
(A�Bx2)dx. Complete:
a) (0.5 puntos) N =
b) (0.5 puntos) h =
c) (0.5 puntos) A =
d) (0.5 puntos) B =
e) (0.5 puntos) a =
f ) (0.5 puntos) b =
g) (1.5 puntos) I =
Solución.
a) N = 4
b) h = 1/2
c) A = 4
d) B = 1/3
e) a = 1
f ) b = 3
g) I = 46/9
3. Sea H : [�1,+1[! R dada por
H(x) =
Z
x
2
�1
f(t)dt,
donde
x
y
f4
Si el área de la región sombreada es A = 10u2, determine:
a) (0.5 puntos) El valor de H(2) = .
b) (1 punto) La fórmula de la derivada de H es H 0(x) = .
c) (0.5 puntos) H 0(2) = .
d) (1 punto) El valor aproximado de H(2.5) = .
Solución. .
a) (0.5 puntos) El valor de H(2) es el área dada, por lo tanto H(2) = 10.
b) (1 punto) La fórmula de la derivada de H es H 0(x) = 2xf(x2).
c) (0.5 puntos) H 0(2) = 4f(4) = 12.
d) (1.5 puntos) El valor aproximado de H(2.5) es 10 + 12(1/2) = 16.
4. Complete:
a) (1 punto) Para f : R ! R, f(x) = 1
1 + 4x2
se tiene que toda primitiva de f es de la forma
F (x) = +C. La constante que corresponde a la primitiva F que satisface F (⇡/8) = 1
es C = .
b) (2 puntos) Para calcular la integral I =
Z
cos(x)
1 + 25 sen2(x)
dx, realizamos el cambio de variable
u = , para obtener du = 5 cos(x)dx y aśı I =
Z
A
1 + u2
du, donde A = . Luego
I = + C (en términos de u) y aśı I = + C (en términos de x).
Solución. a) F (x) =
1
2
arctan(2x) + C, C = 1� 1
2
arctan(⇡/4).
b) u = 5 sen(x), A = 1/5, I =
1
5
arctan(u) + C, I =
1
5
arctan(5 sen(x)) + C
UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO
Matemáticas II
Segundo Semestre 2020
Profesores Y. Garćıa, D. Proleón, A. Pérez, E. Dávila, J. Flores, A. Chulluncuy
Examen Parcial
1. A) Sean L 2 R y f : A! R una función que cumple la siguiente definición:
ĺım
x!+1
f(x) = L ! 8" > 0, 9M > 0, [x > M ! |f(x)� L| < "]
¿Cuál de las siguientes figuras representa la definición de ĺımite dada?
x
L
y
M
y = f(x)
FIGURA 01
x
L
y
M
y = f(x)
FIGURA 02
x
y
M
L
y = f(x)
FIGURA 03
x
y
M
L
y = f(x)
FIGURA 04
B) Sea a > 0 una constante. Si ĺım
x!+1
3a+ 2x2
9x2
= L, entonces el valor de L es:
C) Usando la definición del item (A), se puede demostrar el ĺımite calculado en el item
(B). En esta demostración se obtiene que el menor valor de M es K"r, donde K y r
son constantes. Determine el valor de estas constantes.
K =
r =
Solución. .
A) FIGURA 03
B) L = 2/9
C) K =
p
a/3 y r = �1/2
1
SOLUCIONARIO EP - Matemáticas II Apellidos y nombres
2. Sea p = f(q) la función demanda de cierto bien, donde p está medido en miles de soles y
q en unidades y sea L
T
la recta tangente a f en q = 30, como se muestra en el plano
cartesiano. Por otro lado, se sabe que la cantidad demandada depende del tiempo de la
siguiente manera: q = q(t) es directamente proporcional a la raiz cuadrada del tiempo t,
donde t indica el número de años transcurridos a partir del primero de enero de 2019. Si
además se sabe que el primero de enero del 2020 se demandaron 30 unidades.
q
p
f
30
L
T
50
b
a) (1 punto) Exprese
dp
dq
en términos de b, cuando la demanda es de 30 unidades.
b) (1 punto) Además, cuando se demandan 30 unidades, por cada unidad adicional que se
demande, el precio unitario cae aproximadamente en un 10%. Luego, el precio unitario
correspondiente a las 30 unidades es . soles.
c) (0.5 puntos) q(t) = .
d) (0.5 puntos) La razón de cambio instantánea del precio unitario con respecto al tiempo
cuando t = 1 es . miles de soles por año.
e) (1 punto) El valor aproximado del precio demandado al inicio del quinto bimestre del
2019 es soles.
Solución. .
a)
b� 50
30
b) 12500 c) 30
p
t d) �75
4
e) 18750
a) Es decir, debemos hallar la pendiente de L
T
y dado que la recta pasa por (0, 50) y
(30, b),
dp
dq
=
b� 50
30
b) El texto es la interpretación de la razón de cambio porcentual del precio con respecto
a la cantidad demandada cuando q = 30, luego
rc%p(30) =
p
0(30)
p(30)
· 100% = �10%
2
SOLUCIONARIO EP - Matemáticas II Apellidos y nombres
+
p
0(30)
p(30)
= � 1
10
+
b� 50
30b
= � 1
10
+
b = 12.5
Luego, el precio unitario es 12 500 soles.
c) De los datos q(t) = k
p
t y q(1) = 30. Luego k = 30 y q(t) = 30
p
t
d) r.c.i.p � q(1) = p0(q(1))q0(1) = p0(30)q0(1) = �5
4
· 15 = �75
4
= �18.75
e) El valor aproximado del precio es:
p(q(2/3)) ⇡ p(q(1)) + p0(q(1))q0(1)�t = 12.5 + (�1.25)⇥ 15⇥
✓
�1
3
◆
= 18.75
Luego, el precio unitario es 18 750 soles.
3. Sea f : R! R una función que satisface las siguientes condiciones:
8x < 0, [f(x) < 3]
ĺım
x!+1
(f(x)� 3x� 2) =
0
ĺım
x!�1
(f(x) + 2) = 0
ĺım
x!0+
f(x) = 4
ĺım
x!0�
f(x) = 3
Calcule los siguientes ĺımites:
a) (1 punto) ĺım
x!0+
3
(f(x) + 3)(f(�x)� 3) = A
b) (1 punto) ĺım
x!+1
f
2(x)� 9x2
f(�x)f(x) + 3xf(�x) = B
c) (2 puntos) ĺım
x!0+
2f(1/x)� xf(1/2)
2� 1/x = C
Solución. .A = �infinito, B = �1 y C = �6
3
SOLUCIONARIO EP - Matemáticas II Apellidos y nombres
4. Sean a, b, c, d, e, g, h números fijos de R y sea f : R ! R una función tal que su función
derivada f 0 : R� {a}! R tiene por gráfico:
x
y
3
ba d e
g
c
f 0
a) Analizando los signos de f 0 y f 00:
Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .
Determine los máximos y mı́nimos relativos de f .
Determine los intervalos de convexidad y de concavidad de f .
Determine los puntos de inflexión de f .
b) De la información de la aśıntota horizontal de f 0, si ĺım
x!�1
f(x) = �1 e
y = mx+ 4 es aśıntota oblicua de f (a la izquierda), determine el valor de m.
c) Grafique f , si se sabe que f tiene una discontinuidad no removible en x = a.
Solución. .De la gráfica analizando los signos, obtenemos la siguiente tabla:
]�1, a[ ]a, b] [b, d] [d, g] [g,+1[
f
0 + + � + �
y
]�1, a[ ]a, c] [c, e] [e,+1[
f
00 + � + �
Por lo tanto:
Intervalos de crecimiento: ]�1, a[; ]a, b]; [d, g]
Intervalos de decrecimiento: [b, d]; [g,+1[
Máx. local: x = b y x = g ; Mı́n. local: x = d
Intervalos de convexidad: ]�1, a[; [c, e]
Intervalos de concavidad: ]a, c]; [e,+1[
Puntos de inflexión: x = c y x = e.
Usando la regla de L’hôpital y viendo la aśıntota horizontal de f 0 se tiene que
ĺım
x!�1
f(x)
x
= ĺım
x!�1
f
0(x) = 3.
Por lo tanto m = 3.
4
SOLUCIONARIO EP - Matemáticas II Apellidos y nombres
x
y
y = 3x+ 4
ba d e
g
c
f
5
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Matemáticas II
Segundo Semestre 2020
Profesores Y. Garćıa, D. Proleón, O. Bueno, A. Pérez, E. Dávila, J. Flores, A. Chulluncuy
Examen final
1. Dada la regla de correspondencia f(x, y) =
p
x2 � 2ax+ y2 + 2by + 1, con a, b 2 R.
i) Determine la inecuación que deben cumplir a y b para que domf = R2 :
.
ii) El mayor valor posible para a es y con esto b es .
iii) Con los datos hallados en el item anterior, la gráfica de la curva de nivel N
f
(1) es
una circunferencia de centro y radio .
iv) Las derivadas parciales
@f
@x
(0, 0) = y
@f
@y
(0, 0) =
Solución. La regla de correspondencia, se puede escribir como
f(x, y) =
p
(x� a)2 + (y + b)2 + 1� a2 � b2
Por lo tanto a2 + b2  1, el mayor valor posible para a es 1, dedonde b = 0. La curva de
nivel
N
f
(1) = {(x, y) : (x� 1)2 + y2 = 1},
de donde, el centro es (1, 0) y el radio es 1.
Las derivadas parciales son
@f
@x
(0, 0) = �1 y @f
@y
(0, 0) = 0
2. La producción agŕıcola Q de cierto páıs depende de la cantidad de tierra cultivable
disponible C (medido en millones de hectáreas), de la cantidad de maquinaria agŕıcola
disponible M (estimada por su valor en millones de soles) y del número de agricultores L
(en millones), y viene dada por la función
Q(C,M,L) = 10
6
p
C2M2L3 miles de millones de soles
Actualmente el páıs dispone de 36 millones de hectáreas cultivables, una maquinaria
valorada en 6 millones de soles y un total de 1 millón de trabajadores agŕıcolas.
i) El grado de homogeneidad de Q
C
es .
ii) La producción actual es mil millones de soles.
iii) La poĺıtica de gobierno de inversión en maquinaria agŕıcola consiste en mantener la
relación M(C,L) =
p
CL. Con esta poĺıtica, la productividad marginal con respecto
a la cantidad de tierra cultivable, cuando C es 1 millón de hectáreas y L es 1 millón
de agricultores, es (no necesita transformar unidades) .
iv) Con las condiciones del item anterior tenemos que las siguientes isocuantas
corresponden al nivel de producción actual y al nivel de 62 mil millones de soles. La
isocuanta del nivel de producción actual es la .
1
SOLUCIONARIO EF - Matemáticas II Apellidos y nombres
L
C
(1) (2)
Solución.
i) El grado de homogeneidad de Q
C
es
1
6
.
ii) 60
iii) Calculando la derivada parcial tenemos
Q
C
(C,L) =
10
6
(C3L4)
�
5
6 · 3 · C2L4
Q
C
(1, 1) = 5.
iv) (1)
3. Sea a una constante real, a 6= 0,±1. Considere f : R3 ! R definida como
f(x, y, z) = 5� 4x� 2ax+ ax2 � 2y � 4ay + 2xy + ay2 � 2az + az2.
Se sabe que f posee un único punto cŕıtico, el cual no depende de a.
a) (2 puntos) Calcule el punto cŕıtico de f .
b) (0.5 puntos) Calcule la matriz Hessiana de f .
c) (1.5 puntos) Determine el intervalo máximo al que debe pertenecer a para que el
punto cŕıtico sea mı́nimo local de f .
Solución.
a) Las derivadas parciales de f son
f
x
= �4� 2a+ 2ax+ 2y = 0,
f
y
= �2� 4a+ 2x+ 2ay = 0,
f
z
= �2a+ 2az = 0,
que determinan el sistema de ecuaciones: ax + y = 2 + a, x + ay = 1 + 2a, z = 1.
Luego x = 1, y = 2 y z = 1 y P0 = (1, 2, 1) es el punto cŕıtico de f .
b) La matriz Hessiana de f es
H(x, y, z) = H(1, 2, 1) =
2
4
2a 2 0
2 2a 0
0 0 2a
3
5 .
2
SOLUCIONARIO EF - Matemáticas II Apellidos y nombres
c) De la matriz Hessiana se obtienen los menores principales
D1 = 2a, D2 = 4(a
2 � 1), D3 = 8a(a2 � 1).
Luego P0 es un mı́nimo local si, y solo si, a > 0 y a2 � 1 > 0, es decir a > 1. Luego
el intervalo pedido es ]1,+1[.
4. Sea f : R3 ! R definida como f(x, y, z) = x2 + 2xy + y2 � z2.
a) (1 punto)La función f posee infinitos puntos cŕıticos, dos de ellos son
P = (�1, , ) y Q = (0, , ).
b) (1 punto) En este caso, el criterio de la segunda derivada para f siempre es no
concluyente, pero se puede verificar que Q es un de f .
Solución. P = (�1, 1, 0), Q = (0, 0, 0), Q es un punto de silla de f
5. Sea a > 0. Dada la función f : [a,+1[! R definida por
f(x) =
(x3 + x)e�ax � ax3 � ax2 � ax
x2 + 1
.
a) (3 puntos.) Determine el área de la región encerrada entre la gráfica de f ; la gráfica
de su aśıntota oblicua y las rectas x = a y x = N , con a < N .
b) (3 puntos.) Determine el área “no acotada” encerrada entre la gráfica de f , la gráfica
de su aśıntota oblicua y la recta x = a.
Solución. . Determinemos la aśıntota oblicua y = mx+ b. Observemos que
f(x) = xe�ax � ax� ax
2
x2 + 1
, luego:
ĺım
x!+1
f(x)
x
= ĺım
x!�1
e�ax � a� ax
2
x3 + x
= ĺım
x!+1
e�ax � a� a/x
1 + 1/x2
= �a
Por lo tanto m = �a. Ahora,
ĺım
x!+1
(f(x) + ax) = ĺım
x!+1
xe�ax � ax
2
x2 + 1
= ĺım
x!+1
xe�ax � a
1 + 1/x2
= �a
⇤ ĺım
x!+1
xe�ax = ĺım
x!+1
x
ex
= ĺım
x!+1
1
ex
= 0 (Por l’hôpital)
Por lo tanto la śıntota oblicua es: y = �ax� a.
(a) El área entre y = f(x), y = �ax� a, x = a y x = N viene dada por
A
N
=
Z
N
a
|f(x)�(�ax�a)|dx =
Z
N
a
����xe
�ax +
a
x2 + 1
���� dx =
Z
N
a
�
xe�ax+
a
x2 + 1
�
dx
A
N
=

� 1
a2
(ax+ 1)e�ax + a arctan(x)
� ���
N
a
=
[� 1
a2
(aN + 1)e�aN + a arctan(N)]� [� 1
a2
(a2 + 1)e�a
2
+ a arctan(a)]
(b) Lo que nos piden es ĺım
N!1
A
N
,
ĺım
N!+1
A
N
= [� 1
a2
(aN + 1)e�aN + a arctan(N)]� [� 1
a2
(a2 + 1)e�a
2
+ a arctan(a)] =
a
⇡
2
+
1
a2
(a2 + 1)e�a
2 � a arctan(a).
3