Guia1_Integrales_multiples - Alfredo Mallea (2)

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Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa
Departamento de Matemática
Campus Santiago
GUIA 1 - Integrales Múltiples
1. Calcular las siguientes integrales dobles:
(a)
∫ 4
1
∫ 5
2
(x2 − y2 + xy − 3) dxdy
(b)
∫ 2
0
∫ 2
−3
(x3 + 2x2y − y3 + xy) dxdy
(c)
∫ 2
0
∫ 2
1
x√
1 + x2 + y2
dxdy
(d)
∫∫
D
xy(x+ y) dxdy donde D = [0, 1] × [0, 1].
(e)
∫∫
D
| cos(x+ y)| dxdy donde D = [0, π] × [0, π]
2. Grafique la región D e invierta el orden de integración. Integre.
(a)
∫ π
0
∫ asenθ
0
ρ dρ dθ
(b)
∫ a
0
∫ √a2−x2
0
x dydx
(c)
∫ 2
−2
∫ √4−x2
−
√
4−x2
y dydx
(d)
∫ 3
−3
∫ 18−x2
x2
xy3 dydx
3. Dibuje la región de integración y calcule la integral doble
(a)
∫∫
D
x cos(x+ y)dxdy si D es el triángulo de vertices (0, 0) , (π, 0)
y (π, π).
(b)
∫∫
D
ex+y dxdy si D = {(x, y) ∈ R2 / |x|+ |y| ≤ 1}.
(c)
∫∫
D
x2y dxdy siD es la región del primer cuadrante acotada por las curvas
xy = 1; xy = 2; y = x e y = 4x.
4. Encuentre el volumen, usando integrales dobles, del sólido sobre la región
x2 + y2 ≤ 1 y entre las supeficies z = 0 y z = x2.
5. Encuentre el volumen, usando integrales dobles, del cuerpo sobre la región
R : 1 ≤ x ≤ 2 , x ≤ y ≤ x2
y entre las superficies z = 0, z =
y
x
6. Encuentre el volumen del cuerpo limitado por los tres planos coordenados y
el plano ax+ by + cz = 1, donde a , b , c son positivos. Use integrales dobles.
7. Encuentre el volumen del elipsoide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
8. Encuentre los volúmenes de los cuerpos indicados:
(a) z = x2 + y2 , z = 4.
(b) x = 0 , x = y , z2 = 1− y2.
(c) Los planos x = 0 , y = 0 , 2x+ 3y + z = 4 , 6x+ y − z = 8.
9. Calcular las siguientes integrales, usando el cambio de variables que se indica:
(a)
∫∫
R
48xy dxdy donde R es el cuadrado de vértices (0,0), (1,1), (2,0) y
(1,-1). Use el cambio de variable x = 1
2
(u+ v) y = 1
2
(u− v).
(b)
∫∫
R
4(x+ y)e(x−y) dxdy donde R es el triángulo de vértices (0,0),
(-1,1) y(1,1). Use el mismo cambio de variables anterior.
(c)
∫∫
R
√
x2 + y2 dxdy donde R es el triángulo de vertices (0,0), (4,0) y (4,4).
Use el cambio x = u y = uv.
10. Calcule las siguientes integrales usando fórmula de cambio de variables
apropiada:
(a)
∫∫∫
S
dV siendo S el sólido limitado por dos esferas concéntricas de radios
a y b , (0 < a < b) y con centro en el punto (1,-1,1).
(b)
∫∫∫
S
(x2 + y2) dxdydz siendo S el sólido limitado por la superficie
x2 + y2 = 2z y el plano z = 2.
11. Encuentre el volumen usando coordenadas polares, grafique previamente las
regiones:
(a) x2 + y2 ≤ 1 ; 0 ≤ z ≤ x2 + y2.
(b) x2 + y2 ≤ 4 ; 0 ≤ z ≤ x+ 2.
(c) x2 + y2 ≤ 9 ; x2 + y2 ≤ z ≤ 9.
(d) 1 ≤ x2 + y2 ≤ 9 ; 1√
x2 + y2
≤ z ≤ 1.
(e) −2 ≤ x ≤ 2 ; 0 ≤ y ≤
√
4− x2 ; 0 ≤ z ≤ x√y.
12. Encuentre el volumen del cuerpo limitado por las superficies indicadas:
(a) x2 + y2 = 9 ; x2 + z2 = 9.
(b) z = x2 + y2 + 1 ; z = 2x+ 2y.
(c) z = x2 + y2 ; z = 2− x2 − y2
13. Use coordenada polares para probar que∫∫
R2
dxdy
(x2 + y2 + 1)
3
2
= 2π
14. Al calcular por integración doble el volumen V limitado por encima por la
superficie z = f(x, y) y por la parte inferior por una cierta región S del plan
xy, se ha llegado a la siguiente suma de integrales reiteradas:
V =
∫ a sen c
0
∫ √b2−y2√
a2−y2
f(x, y) dx
 dy + ∫ b sen c
a sen c
∫ √b2−y2
ycotg c
f(x, y) dx
 dy
siendo 0 < a < b y 0 < c < π
2
, dibujar la región S dando las ecuaciones de
todas las curvas que constituyen su frontera.
15. Sea f : [0, 1] × [0, 1] 7→ R definida por:
f(x, y) =
{
e−(x
2+y2) si x = n−1
n
n ∈ N
1 en los demás puntos del cuadrado
Demostrar que f es integrable y calcular su integral.
16. Un cono se obtiene uniendo todos los puntos de una región plana S con un
punto no situado en el plano de S. Designando con A el área de S, y con b la
altura del cono. Demostrar que:
(a) El área de la sección producida por un plano paralelo a la base y a dis-
tancia t del vértice es
t
h
A, si 0 ≤ t ≤ h.
(b) El volumen del cono es
1
3
Ah.
17. Sea R la región limitada por las rectas x − 2y = 0, x − 2y = 4, x + y = 4 y
x+ y = 1. Calcule usando un cambio de variable adecuado la integral:∫∫
R
3xy dA
.
18. Integre zex
2+y2 sobre el cilindro x2 + y2 ≤ 4 y 2 ≤ z ≤ 3.
19. Sea T la transformación definida por T (u, v) = (4u, 2u + 3v). Considerar el
rectangulo R = [0, 1] × [0, 2]. Hallar la Imagen B = T (R). Evaluar
a)
∫∫
B
xy dA b)
∫∫
B
(x− y) dA
20. En los siguientes ejercicios encontrar la masa y el centro de masa de la lámina
dada si la densidad de área es como se indica.
(a) Una lámina de la forma de la región rectángular acotada por las rectas
x = 3, y = 2 y los ejes coordenados. La densidad de área en cualquier
punto es xy2.
(b) Una lámina en la forma de la región acotada por la parábola x2 = 8y, la
recta y = 2 y el eje y. La densidad de área vaŕıa con la distancia a la
recta y = −1.
(c) Una lámina en la forma de la región en el primer cuadrante acotada por
el ćırculo x2 + y2 = a2 y los ejes coordenados. La densidad de área vaŕıa
con la suma de las distancias a las dos orillas rectas.
21. En cada uno de los problemas, hallar el momento de inercia respecto al eje
dado de la placa cuya densidad y curvas que lo limitan se dan.
(a) R está limitado por x2 + y2 = a2, ρ = k
√
x2 + y2, eje z.
(b) R está limitado por y = x2, y = x+ 2, ρ = k, eje x.
(c) R está limitado por x2 + y2 = a2, ρ = k
√
x2 + y2, eje x.
22. Hallar Ix, Iy y I0 para las regiones dadas. Considere ρ = 1.
(a) La región limitada por la parábola y2 = 8x y la recta x = 2.
(b) La región limitada por el gráfico de la ecuación |x|+ |y| = 1
23. Calcular el momento de inercia de la elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1
(a) respecto al eje y
(b) respecto al origen de coordenadas
24. Evaluar las integrales usando coordenadas ciĺındricas:
(a)
∫∫∫
S
4 +
√
z dV , S es el cono x2 + y2 ≤ 1 ,
√
x2 + y2 ≤ z ≤ 1.
(b)
∫∫∫
S
(x+ y)z dV , S es la región 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤
√
4− x2.
(c)
∫∫∫
S
z√
x2 + y2
dV , S es la región 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 , 0 ≤ z ≤ |x|.
25. Evalúe usando coordenadas esféricas:
(a)
∫∫∫
S
x2 dV , donde S es la esfera x2 + y2 + z2 ≤ 1.
(b)
∫∫∫
S
z
√
x2 + y2 + z2 dV , S es la región dentro del cono φ = α y dentro
de la esfera r = b.