Ejercicios_Resueltos_de_Análisis_y_Diseño_de_Experimentos_Industriales - Constanza Hidalgo Saelzer

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EJERCICIOS RESUELTOS 
DE 
ANÁLISIS Y DISEÑO DE EXPERIMENTOS INDUSTRIALES 
 
 
 
 
Eric Caroca Sepúlveda 
Iván Cornejo García 
Daniel Navia López 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
©Eric Caroca, Iván Cornejo, Daniel Navia 
Primera Edición 
Editorial USM 
Año 2015 
ISBN: 978-956-356-010-7 
Fotografía y diseño de portada: Daniela Henríquez Esquivel 
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
 
 
 
1 
 
ÍNDICE 
 
Prólogo…...……………………………………………………………………………………………………………2 
CAPÍTULO 1: Descripción de Datos Estadígrafos y elementos gráficos…………..…….3 
CAPÍTULO 2: Aleatoriedad y Probabilidad Distribución z ...................................... 20 
CAPÍTULO 3: Estimadores Muestrales Distribución t, test de hipótesis e intervalo 
de confianza de un estadígrafo ........................................................................... 29 
CAPÍTULO 4: Comparación de 2 Tratamientos Test de hipótesis e intervalo de 
confianza ............................................................................................................ 42 
CAPÍTULO 5: Comparación de k Tratamientos y Bloqueo Randomizado ANOVA, 
ANOVA 2 vías ...................................................................................................... 75 
CAPÍTULO 6: Probabilidad Conjunta y Estadística Multivariables Covarianza, 
correlación lineal, probabilidad multivariable, probabilidad bayesiana................ 99 
CAPÍTULO 7: Diseño Experimental 2n Algoritmo de Yates ................................. 122 
CAPÍTULO 8: Diseño Experimental Superficies de Respuesta ........................... 152 
CAPÍTULO 9: Análisis de Regresión Regresión Lineal y no lineal, bondad de ajuste
 ......................................................................................................................... 176 
CAPÍTULO 10: Herramientas de Software TI-89TM, Excel® ................................. 234 
Anexo A: Tablas de Distribución ....................................................................... 249 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
PRÓLOGO 
 
Este texto nace de la motivación del estudiante de Ingeniería Civil Química, Eric Caroca, 
reuniendo el material desarrollado por él y los académicos Iván Cornejo y Daniel Navia. 
Todos pertenecientes al Departamento de Ingeniería Química y Ambiental de la 
Universidad Técnica Federico Santa María, en el Campus Santiago San Joaquín. 
El objetivo de este libro es apoyar al estudio del curso de Análisis y Diseño de 
Experimentos, entregando un completo compendio de ejercicios resueltos que esperamos 
los complementen con un trabajo metódico de comprensión de los fundamentos teóricos. 
La publicación de este libro es posible gracias al apoyo financiero de la Editorial USM. 
Agradecemos el apoyo de la Universidad Técnica Federico Santa María, del Departamento 
de Ingeniería Química y Ambiental, y de nuestras familias. 
 
 
 
 
 
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
 
 
 
3 
 
CAPÍTULO 1: Descripción de Datos 
 
Estadígrafos 
Los estadígrafos son instrumentos estadísticos que permiten describir un conjunto de 
datos. Están los de tendencia central que buscan aquel valor que mejor describe el 
conjunto y los de dispersión, que cuantifican la distancia entre cada dato y el promedio o 
media del conjunto de datos. 
 Poblacional Muestral 
Tendencia Central Media: 
𝜇 =∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
Promedio: 
�̅� = ∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
Mediana: Valor que divide el conjunto de datos en dos partes 
iguales al estar ordenados en orden creciente. 
Dispersión Varianza Poblacional: 
𝜎2 =
1
𝑛
∑(𝜇 − 𝑥𝑖)
2
𝑛
𝑖=1
 
 
Desviación estándar 
poblacional: 
𝜎 = √𝜎2
= √
1
𝑛
∑(𝜇 − 𝑥𝑖)
2
𝑛
𝑖=1
 
 
Varianza Muestral: 
𝑠2 =
1
𝑛 − 1
∑(�̅� − 𝑥𝑖)
2
𝑛
𝑖=1
 
 
Desviación estándar 
muestral: 
𝑠 = √𝑠2
= √
1
𝑛 − 1
∑(�̅� − 𝑥𝑖)
2
𝑛
𝑖=1
 
 
Donde: 𝑥𝑖: dato número 𝑖. 𝑛: número total de datos. 
Moda: dato que presenta mayor frecuencia absoluta (dato que más se repite). 
Para este capítulo se explicita la obtención de estos estadígrafos, dado que es el tópico 
central, sin embargo no se realiza en los siguientes porque es algo básico para el 
desarrollo del ejercicio. 
Histograma. 
Un histograma es una representación gráfica de un conjunto de datos, en donde estos son 
agrupados en clases representadas por un rectángulo donde su altura representa la 
correspondiente frecuencia. 
Elementos de una clase: 
Rango: corresponde a la distancia entre el valor mínimo y máximo de una clase:
Capítulo 1: Descripción de Datos 
 
 
4 
 
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝑚á𝑥 − 𝑚í𝑛|𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒𝑖 
Etiqueta de clase: es el valor que representa a la clase. Numéricamente es el promedio 
entre los valores mínimo y máximo de la clase. 
𝐸𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒 =
(𝑚á𝑥 +𝑚í𝑛)𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒𝑖
2
 
Tipos de frecuencia: 
Frecuencia absoluta: número de veces que se presenta un dato de la clase. 
𝑓𝑖 =∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
Frecuencia relativa: corresponde a la frecuencia absoluta normalizada por el número total 
de datos: 
𝑓𝑟 =
𝑓𝑖
𝑛
 
Frecuencia acumulada: número de datos desde el mínimo hasta la clase correspondiente. 
Es equivalente a la suma de todas las frecuencias absolutas hasta la frecuencia 
correspondiente. 
 
𝑓𝑎𝑐𝑐 =∑𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
 
Frecuencia acumulada porcentual: Es la frecuencia acumulada normalizada por el número 
total de datos. La frecuencia acumulada relativa de la última clase siempre es 1. 
𝑓𝑎𝑐𝑐,𝑟 =
𝑓𝑎𝑐𝑐
𝑛
 
Ver ejercicio 1.1. y/o 1.4 para observar la forma gráfica de un histograma 
Diagrama de caja y bigote (boxplot) 
Representación gráfica de un conjunto de datos que describe varias características 
importantes, al mismo tiempo, como la dispersión y simetría. Para su realización se 
representan los tres cuartiles y los valores mínimo y máximo. 
Cuartiles. Se obtienen ordenando los datos de menor a mayor y en base a esto se 
determinan: 
Mínimo: Primer valor del conjunto de datos (corresponde al dato con menor valor) 
1°Cuartil: Dato donde se agrupan el primer 25% de datos. 
2°Cuartil: Dato donde se agrupan el 50% de datos. Es equivalente a la mediana. 
3°Cuartil: Dato donde se agrupan el 75% de datos. 
Máximo: último valor del conjunto de datos (es el dato con valor más alto) 
 
Ver ejercicio 1.6 y 1.7 para observar la forma gráfica de un boxplot. 
 
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
 
 
 
5 
 
Discriminación de datos anómalos 
Método de las 2 desviaciones estándar 
Este método rápido y exploratorio permite detectar datos anómalos (outliers) de manera 
sencilla, pero poco robusta. Para esto se deben obtener el promedio y desviación estándar 
del conjunto de datos. Si los datos se distribuyen normalmente, aproximadamente el 95% 
de estos se encontrarán dentro del intervalo [�̅� − 2𝑠, �̅� + 2𝑠]. Los datos que se 
encuentran fuera de este intervalo pueden ser considerados outliers. Se tienen que 
recalcular los estadígrafos para su uso posterior. 
 
Gráfico de probabilidad normal 
El gráfico de probabilidad normal permite determinar la normalidad de un conjunto de 
datos, es decir, si se asemeja a la curva gaussiana típica de una distribución normal. Esto 
permite detectar datos anómalos (outliers) de forma más robusta. 
Construcción: 
i) Se ordenan los datos de menor a mayor y a cada uno se le asigna un índice 𝑖. 
ii) Se obtienen los Cuantiles teóricos (𝑄𝑖) según: 
 
𝑄𝑖 =
𝑖 − 0,5
𝑛
 
iii) Se genera un gráfico 𝑥𝑖 v/s 𝑄𝑖 
iv) La figura correspondiente al gráfico se asemeja a una recta. Los datos de los extremos 
que no estén en la tendencia de la recta son datos anómalos. 
 
EJERCICIOS 
1.1.- Un termómetro de un reactor continuo que es diseñado para una operación 
isotérmica a 50[°C]registra las siguientes mediciones en un intervalo de 30 minutos: 
Tabla 1.1. Mediciones de temperatura en reactor de operación continua 
T[°C] 56,26 54,46 42,59 53,10 59,03 58,73 50,55 
49,77 44,79 50,49 53,82 51,77 51,14 50,14 51,05 
 
a) Calcule el promedio, varianza y desviación estándar del conjunto de datos. ¿El reactor 
opera a la temperatura de diseño? Comente posibles diferencias. 
 
b) Elabore un histograma de frecuencia y frecuencia acumulada. ¿Los datos presentan 
una distribución de tipo normal? 
Capítulo 1: Descripción de Datos 
 
 
6 
 
a) Este ejercicio es sencillo y sólo se pide el cálculo de los estadígrafos respectivos, se debe 
tener en cuenta que el conjunto de datos es una muestra, por lo que los estadígrafos son 
de tipo muestral. 
Promedio: 
�̅� =
1
15
(49,77 + 53,10 + 51,77 + 56,26 + 44,79 + 59,03 + 51,14+ 54,46 + 50,49
+ 58,73 + 50,14 + 42,59 + 53,82 + 50,55 + 51,05) = 51,58[°𝐶] 
Varianza muestral: 
𝑠2 =
1
15 − 1
∑(𝑥𝑖 − 51,58)
2
15
𝑖=1
= 19,86[°𝐶2] 
Desviación estándar muestral: 
𝑠 = √𝑠2 = √
1
15 − 1
∑(𝑥𝑖 − 51,58)
2
15
𝑖=1
= 4,46[°𝐶] 
La temperatura de diseño del reactor es 50[°C], no obstante los datos no muestran este 
valor y su promedio no coincide con este valor, por lo que es posible pensar que el reactor 
no opera a la temperatura de diseño, sin embargo es importante recalcar que este 
conjunto es una muestra y no representa con certeza absoluta el sistema, se deben 
realizar análisis estadísticos para inferir con mayor certeza que el reactor opera a la 
temperatura de diseño (ver Intervalo de confianza). Además desde el punto de vista 
operacional es imposible que el reactor opere a la temperatura de diseño en todo 
momento, es de esperar fluctuaciones que ronden en torno al valor del diseño, así es de 
interés observar que la dispersión de los datos, la desviación estándar, sea pequeña. 
b) La construcción de un histograma implica la decisión de definir el número de clases y 
por consiguiente el rango de estas. Si no se escoge un número adecuado de clases el 
histograma pierde representatividad. Se recomienda raíz del número de datos como un 
buen valor para partir. Se puede aumentar o disminuir el número de clases, 
criteriosamente, si eso da una mejor apreciación del panorama general. 
Número de clases=√𝑛 = √15 = 3,8 ≈ 4. 
Rango de clase=
𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜−𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠
=
59,03−42,59
4
= 4,11 ≈ 4. Sin embargo al tomar rango de 
4[°C] se obtienen 5 clases, por lo que se considera un rango de 4,5[°C]. 
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
 
 
 
7 
 
Rango 𝑓𝑖 𝑓𝑎𝑐𝑐 
[ 42 - 47 [ 2 2 
[ 47 - 51 [ 4 6 
[ 51 - 56 [ 6 12 
[ 56 - 60 [ 3 15 
 
Los histogramas se presentan en la Figura 1.1. 
 
Figura 1.1. Histogramas de Frecuencia Absoluta y Frecuencia Absoluta Acumulada. 
 
1.2.- La siguiente tabla de frecuencias muestra las edades de los trabajadores de una 
sección de una pequeña empresa: 
Tabla 1.2. Tabla de frecuencia de edad de 
trabajadores de empresa. 
Rango de edad frecuencia 
18-23 2 
24-29 5 
30-35 13 
36-41 8 
Calcule el promedio, la desviación estándar, mediana y moda. 
En este caso no se cuentan con los valores discretos sino con una tabla que muestra la 
frecuencia para distintos rangos de edad. Se considera el valor representativo de cada 
clase, es decir, la marca de clase y se asume que todos los valores de dicha clase 
corresponden a su marca de clase. De esta forma los estadígrafos se calculan según: 
0
1
2
3
4
5
6
7
44,5 49 53,5 58
Fr
e
cu
en
ci
a 
A
b
so
lu
ta
 
Temperatura [°C] 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
44,5 49 53,5 58
Fr
ec
u
en
ci
a 
A
b
so
lu
ta
 A
cu
m
u
la
d
a
 
Temperatura [°C] 
Capítulo 1: Descripción de Datos 
 
 
8 
 
 
�̅� = ∑
𝑓𝑖 ∙ 𝑀𝐶𝑖
𝑛
𝑛
𝑖=1
 
 
𝑠 = √∑
𝑓𝑖 ∙ (𝑀𝐶𝑖 − �̅�)
2
𝑛 − 1
𝑛
𝑖=1
 
En la Tabla siguiente se muestra el desarrollo para la obtención de estos estadígrafos. 
Rango de edad 𝑓𝑖 𝑀𝐶𝑖 𝑓𝑖 ∙ 𝑀𝐶𝑖 𝑀𝐶𝑖 − �̅� (𝑀𝐶𝑖 − �̅�)
2 𝑓𝑖 ∙ (𝑀𝐶𝑖 − �̅�)
2 
18-23 2 20,5 41 -11,8 138,9 277,8 
24-29 5 26,5 132,5 -5,8 33,5 167,4 
30-35 13 32,5 422,5 0,2 0,0 0,6 
36-41 8 38,5 308 6,2 38,6 308,9 
 
𝑛 =∑𝑓𝑖 = 28 
∑𝑓𝑖 ∙ 𝑀𝐶𝑖
𝑛
𝑖=1
= 904 
∑𝑓𝑖 ∙ (𝑀𝐶𝑖 − �̅�)
2
𝑛
𝑖=1
= 754,7 
 
�̅� =
904
28
= 32,3[𝑎ñ𝑜] 
𝑠 = √
754,7
28 − 1
= 5,3[𝑎ñ𝑜] 
 
La Mediana es el dato que divide el conjunto de datos en dos partes iguales estando estos 
ordenados de menor a mayor, se obtiene dividiendo el número de datos por 2: 
28
2
= 14, el 
dato número 14, equivalente al dato que tiene frecuencia acumulada 14, se encuentra en 
la tercera clase, por lo tanto la mediana es su marca de clase, 32,5 [año]. 
La Moda es el dato que tiene mayor frecuencia, o sea 32,5 [año]. 
1.3.- En un municipio se desea conocer la aprobación de los ciudadanos a la gestión del 
nuevo alcalde durante su primer año de administración. Para ello se diseña una 
encuesta con una serie de preguntas que se traducen en un porcentaje de aprobación. 
La comuna es dividida en 3 sectores enviando un encuestador a cada uno, pidiéndoles 
que tomen encuestas en casas aleatorias. Los resultados de las encuestas se presentan 
en la Tabla 1.3. 
Tabla 1.3. Porcentajes de aprobación a gestión del 
alcalde por cada encuestador 
Encuestador 1 Encuestador 2 Encuestador 3 
56 41 39 79 35 47 
39 91 36 69 60 
97 59 70 56 
 
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
 
 
 
9 
 
El director del proceso asume como válida la encuesta, sabiendo la disparidad de 
encuestas realizadas, por lo que decide publicar los resultados. 
a) ¿Cuál es la aprobación hacia el alcalde? 
Un encargado considera que la disparidad del número de datos por parte de los 
encuestadores altera los resultados por lo que decide equiparar el número de datos 
sacando los máximos y mínimos de los conjuntos de datos quedando de la forma 
siguiente: 
Tabla 1.4. Porcentajes de aprobación a gestión del alcalde modificados por el encargado 
Encuestador 1 Encuestador 2 Encuestador 3 
41 39 47 
56 59 60 
91 69 56 
 
b)¿El resultado es modificado?, ¿Es correcta la modificación hecha por el encargado?. 
Comente modificaciones para obtener un resultado más fidedigno. 
 
 a) El estadígrafo que representa a un conjunto de datos es el promedio, ahora bien, se 
debe decidir cómo calcular este: el promedio del promedio de cada encuestador o el 
promedio de todos los datos en su conjunto. Como el sistema de dividir la comuna en 3 
sectores no tiene otro fin que enviar un encuestador a cada uno el promedio se debe 
calcular de la segunda forma: 
�̅� =
56 + 39 + 97 + 41 + 91 + 39 + 36 + 59 + 79 + 69 + 70 + 35 + 47 + 60 + 56
15
= 58,3%. 
b) El nuevo promedio es 57,6%, por lo que el resultado sí es modificado. 
�̅� =
41 + 56 + 91 + 39 + 59 + 69 + 47 + 60 + 56
9
= 57,6% 
Es esperable que el número de encuestas por sector sean iguales (suponiendo que los 3 
sectores tienen igual número de población) para tener un mismo peso en el promedio y 
no mostrar tendencias hacia un valor. En este estudio no se da esta situación, el sector 2 
tiene un 47% de peso en el promedio, no obstante es incorrecto eliminar datos para 
equiparar el número bajo el criterio empleado, existen técnicas para eliminar datos 
anómalos de un conjunto de datos con distribución normal (con un gráfico de probabildad 
normal) lo que no se ha comprobado en este estudio, de todas maneras los resultados se 
alteran (sensibilidad del promedio al número de datos) pero de manera más suave. 
Eliminar valores solo es correcto cuando su inclusión falsea o distorsiona el conjunto de 
Capítulo 1: Descripción de Datos 
 
 
10 
 
indicadores que representan el set de datos. Existen diversas técnicas para evitar la 
inclusión de anomalías en el análisis de los datos. 
Modificaciones para obtener un resultado más fidedigno: Asegurar que el número deencuestas por encuestador sean similares manteniendo la aleatoriedad en la toma de 
estas. 
 
1.4.- En el proceso del cobre sulfurado, el concentrado que va hacia los hornos de 
fundición y convertidores se produce en una columna de flotación. En este sistema, se 
separa el cobre de la escoria, arrastrándolo mediante burbujas de aire hacia el tope de 
la columna (obteniendo un concentrado con mayor ley). Para producir la separación, es 
necesario modificar la tensión superficial de las burbujas de aire utilizando agentes de 
flotación. 
Como ingeniero(a) de procesos, se le ha pedido que estudie y evalúe el comportamiento 
de dos agentes de flotación en la columna: Xantato y Aeroflat, de acuerdo a la ley de 
concentrado que producen, y a partir de este estudio decida qué reactivo es mejor 
(desde el punto de vista de aumentar la ley y de asegurar una producción lo menos 
variable posible). Para lo anterior, ha diseñado un experimento aleatorio cuyos 
resultados se presentan en la Tabla 1.5. 
Tabla 1.5. Ley de concentrado obtenida con distintos agentes de flotación 
Xantato (ley%) Aeroflat (ley%) 
33,8 31,1 
30,6 30,8 
30,2 30,1 
29,1 29,2 
37,4 33,4 
31,1 27,5 
31,9 32,7 
28,8 28,1 
32,6 31,2 
35,6 
 
Con los datos entregados: 
a) Calcule el promedio y la mediana de la ley de concentrado de cobre para cada agente 
de flotación estudiado. De acuerdo a estos resultados: 
¿Qué agente recomienda? 
¿Qué puede indicar sobre la posible ocurrencia de datos anómalos al comparar el 
promedio y la mediana para ambos agentes? 
 
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
 
 
 
11 
 
b) Calcule la desviación estándar de la ley de concentrado de cobre para cada agente de 
flotación. De acuerdo a estos resultados ¿Qué agente recomienda? 
 
c) En una misma gráfica presente el histograma de frecuencia relativa para ambos 
reactivos. ¿Observa una diferencia apreciable en términos de posición y dispersión de 
los datos? ¿Mantiene la recomendación dada en el inciso a? 
Para el histograma, utilice los siguientes límites de clases: 
Xantanto: [𝟐𝟖, 𝟑𝟎[, [𝟑𝟎, 𝟑𝟐[, [𝟑𝟐,𝟑𝟒[, [𝟑𝟒, 𝟑𝟔[, [𝟑𝟔,∞[ 
Aeroflat: [𝟐𝟕, 𝟐𝟗[, [𝟐𝟗,𝟑𝟏[, [𝟑𝟏, 𝟑𝟑[, [𝟑𝟑,∞[ 
 
a) Para los datos se obtiene que: 
 
 �̅� 𝑥𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 
Xantanto 32,11 31,5 
Aeroflat 30,46 30,8 
 
De los datos entregados, se puede notar que el Xantanto parece ser el agente que 
presenta una mayor ley, por lo que este sería el escogido. 
Con respecto a la comparación entre la media y la mediana de ambos agentes, se observa 
que existe una diferencia de aproximadamente un 2% para el Xantato y de 1% para el 
Aeroflat, por lo que se sospecha que los datos se encuentran distribuidos de manera 
normal, sin la presencia de datos anómalos. Que la mediana sea similar al promedio indica 
simetría de la distribución de datos, lo que es sospecha de distribución normal, para 
evaluar esto es necesario revisar la forma de la distribución. 
 
b) Para evaluar la “regularidad” de la producción, se puede analizar la desviación estándar 
que producen los distintos agentes de flotación: 
𝑠 =
1
𝑛 − 1
∑(𝑥𝑖 − �̅�)
2
𝑛
𝑖=1
 
En la siguiente tabla se muestran los resultados: 
 𝑠 
Xantanto 2,79 
Aeroflat 1,76 
 
A partir de los datos tabulados, se observa que el Aeroflat parece ser el agente que 
produce una menor dispersión de los datos y por lo tanto, es de esperar que la producción 
sea menos variable. 
 
Capítulo 1: Descripción de Datos 
 
 
12 
 
c) Los histogramas de frecuencia relativa se construyen a partir de la Tabla que se muestra 
a continuación: 
Xantato 
Límites Intervalo 
Inferior Superior 𝑀𝐶 𝑓 𝑓𝑟 
28 30 29 2 0,2 
30 32 31 4 0,4 
32 34 33 2 0,2 
34 36 35 1 0,1 
36 38 37 1 0,1 
 
Aeroflat 
Límites Intervalo 
Inferior Superior 𝑀𝐶 𝑓 𝑓𝑟 
27 29 28 1 0,125 
29 31 30 3 0,375 
31 33 32 3 0,375 
33 35 34 1 0,125 
 
 
 
 
Figura 1.2. Histograma de frecuencia relativa 
para agentes de flotación xantato y aeroflat. 
 
El histograma de la Figura 1.2, muestra que 
aun cuando desde el punto de vista del 
indicador de posición promedio indique 
que el Xantato presenta un mejor 
desempeño desde el punto de vista de la 
ley de concentrado, la dispersión 
producida por ambos agentes es tal que no 
se observa una diferencia apreciable entre 
ellos. Por lo tanto, la elección del agente, 
desde el punto de vista de su promedio, es 
irrelevante (puesto que al parecer son 
iguales) y se podrían usar otros criterios 
como el económico para decidir qué 
agente utilizar. 
 
 
1.5.- El gerente de una planta de procesos le ha pedido que informe sobre el pH de los 
riles que salen de la planta. La comunidad ha manifestado una creciente preocupación, a 
través del alcalde, acerca de la inocuidad de dichos deshechos. Luego de llevar a cabo un 
muestreo por varios días del proceso se han colectado los siguientes datos: 
 
Tabla 1.5. pH de ril de planta de proceso, muestreo diario. 
Fecha 03-
may 
04-
may 
05-
may 
06-
may 
07-
may 
08-
may 
09-
may 
10-
may 
11-
may 
12-
may 
13-
may 
14-
may 
pH 7,5 7,5 6,3 4,5 90 9,8 6,9 11,7 7,1 8,5 5,1 8,5 
 
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
28 30 32 34 36
Fr
e
cu
en
ci
a 
R
el
at
iv
a
 
ley [%] 
Xantato Aeroflat
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
 
 
 
13 
 
a) Clasifique los datos en las siguientes clases: ]-∞ , 6 ] - ]6 , 8] - ]8 , 10] - ]10, +∞[. Luego 
realice el histograma de frecuencia y de frecuencia acumulada. 
 
b) Calcule el promedio y la mediana de los datos. ¿Cuál representa más la tendencia 
central del resultado del proceso para éste caso particular? ¿Por qué? 
 
c) Se ha detectado que el dato del 7 de Mayo en realidad es falso, ese día el medido 
presentó un desperfecto y entregó un valor incoherente. Calcule la desviación estándar 
con y sin ese dato anómalo. Comente si aquel dato falso afecta de manera apreciable la 
representatividad de los indicadores sobre el proceso. 
 
d) ¿Qué recomendación daría usted sobre la frecuencia del muestreo para llevar a cabo 
el estudio de manera que sea funcional a lo exigido? 
 
 
a) 
Clase <6 ]6, 8] ]8, 10] >10 
𝑓𝑖 2 5 3 2 
𝑓𝑎𝑐𝑐 2 7 10 12 
 
 
Figura 1.3. Histogramas de frecuencia absoluta y absoluta acumulada para pH de ril. 
 
b) Promedio: �̅� =
∑𝑥
𝑛
= 14,5. 
 Datos ordenados: 
4,5 5,1 6,3 6,9 7,1 7,5 7,5 8,5 8,5 9,8 11,7 90 
 
Mediana: 7,5. 
Para este caso, 7,5 representa mucho mejor la tendencia que 14,5. El dato del 7 de Mayo 
influye demasiado en el cálculo del promedio (Figura 1.3) 
 
0
1
2
3
4
5
6
<6 ]6, 8] ]8, 10] >10
Fr
ec
u
en
ci
a 
A
b
so
lu
ta
 
pH [-] 
0
2
4
6
8
10
12
14
<6 ]6, 8] ]8, 10] >10
Fr
ec
u
en
ci
a 
A
b
so
lu
ta
 A
cu
m
u
la
d
a
 
pH [-] 
Capítulo 1: Descripción de Datos 
 
 
14 
 
 
Figura 1.3. Representación de registro de pH destacando posición de mediana y promedio. 
 
c) Desviación estándar muestral: 
 
Con y sin el dato anómalo queda: 
 
La representatividad se ve afectada significativamente. Según los indicadores dicen, se 
espera que la mayoría del tiempo (95%) el pH se encuentre �̅� ± 2𝑠, es decir, [-33 , 62] y 
[3,6 , 11,6] en los casos con y son el dato anómalo respectivamente. Con claridad, el 
segundo intervalo es representativo, mientras que el primero carece de sentido. 
 
d) Recomendaría revisar la normativa ambiental en busca de si se basa en datos 
puntuales, promedios día/hora/semana, etc. Es importante analizar los datos de la misma 
forma en que se piden. También hay que señalar que si se utilizan datos promedio de 
intervalos mayores a los requeridos, se puede estar obviando de forma importante la 
variabilidad de los datos. 
 
0 20 40 60 80 100
pH [-] 
Con dato anómalo Sin dato anómalo 
𝑥𝑖 𝑥𝑖 − �̅� (𝑥𝑖 − �̅�)
2 𝑥𝑖 𝑥𝑖 − �̅� (𝑥𝑖 − �̅�)
2 
4,5 -9,95 208,8 4,5 -3,1 57,5 
5,1 -9,35 99,0 5,1 -2,59,5 
6,3 -8,15 87,4 6,3 -1,3 6,2 
6,9 -7,55 66,4 6,9 -0,7 1,6 
7,1 -7,35 57,0 7,1 -0,5 0,5 
7,5 -6,95 54,0 7,5 -0,1 0,2 
7,5 -6,95 48,3 7,5 -0,1 0,0 
8,5 -5,95 35,4 8,5 0,9 0,8 
8,5 -5,95 35,4 8,5 0,9 0,8 
9,8 -4,65 21,6 9,8 2,2 4,9 
11,7 -2,75 7,6 11,7 4,1 17,0 
90 75,55 5708 
 𝑠 23,8 𝑠 2,0 
Promedio 
Mediana 
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
 
 
 
15 
 
1.6.- La temperatura de descarga de efluentes de industrias, corresponde a un 
importante factor que influye en el ecosistema del cuerpo de agua donde descarga (río o 
mar mediante emisarios submarinos). En la planta donde usted se desempeña como 
encargado de la planta de depuración, se ha implementado un sistema de monitoreo 
que consiste en tomar una medida de temperatura al efluente a las 12.30h del día, todos 
los días. La Tabla 1.6, resume la información de los últimos 15 días. 
 
Tabla 1.6. Registro temperatura de efluente 
industrial durante 15 días. 
día T[°C] 
1 43 
2 47 
3 51 
4 48 
5 52 
6 50 
7 46 
8 49 
9 45 
10 52 
11 46 
12 51 
13 44 
14 49 
15 46 
 
a) Calcular la media muestral y la mediana 
¿Qué puede indicar sobre su diferencia? 
b) Obtener la varianza muestral y la 
desviación estándar muestral. 
c) Construir un diagrama de Caja y Bigotes, 
indicando: mínimo, 1er ,2do, 3er cuartil y 
máximo. Sólo basándose en este diagrama, 
indique entre qué valores se deberían 
encontrar el 50% de los datos más 
frecuentes. 
d) ¿Es la estrategia de muestreo adecuada 
si se desea evaluar de manera 
representativa el desempeño del sistema 
de acondicionamiento térmico? 
 
a) El promedio se calcula con 
�̅� =
1
𝑛
∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
Con 𝑛 = 10 y 𝑇 ≡ 𝑥 se obtiene: �̅� = 47,9°𝐶 
Con respecto a la mediana, corresponde al valor que divide en dos partes iguales (inferior 
y superior), los datos. Si se ordena la Tabla 1, se obtiene: 
 
Orden 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
T[°C] 43 44 45 46 46 46 47 48 49 49 50 51 51 52 52 
 
Donde el elemento 8°, corresponde al valor del centro. 
De esta forma, la mediana es: 
𝑥𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 48°𝐶 
Capítulo 1: Descripción de Datos 
 
 
16 
 
La diferencia de menos de 1% entre los indicadores muestrales de posición indicaría que 
no hay puntos alejados de la tendencia general de los datos (outliers) 
 
b) Mediante las definiciones 
𝑠2 =
1
𝑛 − 1
∑(𝑥𝑖 − �̅�)
2, 𝑠 = √𝑠2 
Se obtiene que: 
𝑠2 = 8,5 (°𝐶)2, 𝑠 = 2,9 °𝐶 
 
c) A partir de la Tabla ordenada, se obtiene el resto de los cuartiles (presentados en Tabla 
inferior). A partir de esto se obtiene el diagrama. 
 
 
 
 
Figura 1.4. Diagrama de caja y bigote para 
registros de temperatura en efluente industrial 
Q Valor (°C) 
Cuartil 0 (min) 43 
Cuartil 1 46 
Cuartil 2 48 
Cuartil 3 51 
Cuartil 4 (max) 52 
 
 
A partir del diagrama de Caja y Bigotes, se puede notar que el 50% de los datos más 
probables debiesen estar entre los cuartiles 1 y 3, es decir, entre 46 y 51. 
 
d) La estrategia de muestreo no parece ser la más adecuada si se desea obtener un 
comportamiento representativo del funcionamiento del sistema de acondicionamiento 
térmico. Esto pues se podría estar en presencia de sesgo experimental al muestrear sólo 
un turno de trabajo, sin considerar que una medida en ningún caso representa de manera 
adecuada el comportamiento de todo un día. Si existe alguna limitante que impida tomar 
más muestras, al menos esto debería hacerse aleatorizando el horario de toma de 
muestra. 
 
40
42
44
46
48
50
52
54
Te
m
p
er
a
tu
ra
 [
°C
] 
Máx 
Q3 
Q2 
Q1 
Min 
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
 
 
 
17 
 
1.7.- En un río, al cual se descargan aguas de una central termoeléctrica, se comienza a 
presentar mortandad de los peces. Los lugareños culpan a la empresa por descargar sus 
aguas a una mayor temperatura, lo que disminuye la solubilidad del oxígeno en el agua y 
termina matando a los peces, sin embargo la central se defiende indicando que sus 
descargas cumplen la norma y que todo está registrado y fiscalizado. Sin esperar el 
actuar de la entidad fiscalizadora un grupo de estudiantes de una universidad deciden 
evaluar la hipótesis de los lugareños. Para registrar la concentración de oxígeno disuelto 
en el río consiguen un analizador de oxígeno ya usado y en situación de ser desechado 
que de todas maneras utilizan argumentando que un mayor número de mediciones 
debería disminuir el error producto de las fallas por tiempo de uso del instrumento, sus 
mediciones se presentan en la Tabla 1.7. 
 
Tabla 1.7. Mediciones de Concentración de oxígeno disuelto [mg/L] en río realizadas por grupo de 
estudiantes. 
5,8 3,0 8,0 11,0 8,8 11,4 2,1 6,1 10,6 3,4 
4,5 2,5 2,3 3,6 4,2 2,2 4,9 5,4 7,5 5,6 
 Si la concentración típica de oxígeno disuelto en el agua es entre 7 y 12 [mg/L]. 
 
a) Calcule promedio, desviación estándar, mediana y moda del conjunto de datos. En 
base a estos resultados indique si existe baja en la concentración de oxígeno disuelto en 
el río. 
b) La central enterada del estudio indica que no son válidas pues el instrumento 
utilizado no es ideal lo que entregaría resultados sesgados (concentrados en un 
extremo) señal de factores externos que alteran los resultados. Compruebe si se cumple 
lo mencionado por la central a partir de un histograma. 
La empresa de igualmente decide realizar su propio estudio y replican el experimento de 
los estudiantes, pero con un analizador de oxígeno nuevo. Entregando las mediciones en 
la Tabla 1.8. 
 
Tabla 1.8. Mediciones de Concentración de oxígeno disuelto [mg/L] en río realizadas por Central 
Termoeléctrica. 
11,1 11,3 12,2 8,8 9,2 11,1 10,4 11,2 12,0 12,1 
9,9 8,1 9,6 7,8 9,7 8,9 10,2 12,7 11,4 9,1 
 
c) Determine si existe diferencia entre ambos experimentos a partir de un diagrama de 
caja y bigote (boxplot) 
d) ¿Se comprueba la hipótesis de los lugareños? ¿Qué medidas se deberían tomar? 
 
 
 
Capítulo 1: Descripción de Datos 
 
 
18 
 
a) El cálculo de los estadígrafos a partir de sus definiciones entrega: 
�̅� 5,6 
𝑠 3,0 
En base a los resultados se puede detectar una baja en la concentración de oxígeno, sin 
embargo la desviación estándar es alta si se considera un instrumento de precisión por lo 
que pueden existir problemas generados por el analizador ya usado. 
 
No existe moda porque todos los datos tienen frecuencia 1. 
 
Cálculo de la mediana: 
 Los datos ordenados se presentan a continuación: 
2,1 2,2 2,3 2,5 3,0 3,4 3,6 4,2 4,5 4,9 5,4 5,6 5,8 6,1 7,5 8,0 9,8 10,6 11,0 11,4 
 
La mediana es el dato que divide al conjunto en 2 partes iguales, en este caso se 
encuentra entre el dato 10 y 11, así que se considera su promedio: 
 
𝑀𝑒 =
4,9+ 5,4
2
= 5,2 
 
b) Construcción de Histograma. Se toma como referencia que el número de clases sea 
igual a √𝑛. Así el número de clases se aproxima a 5. √20 = 4,5 ≈ 5. 
El rango de la clase se calcula dividiendo el rango completo de datos por el número de 
clases: 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 =
11,4−2,1
5
= 1,9 
 
Clase Límites Clase frecuencia 
1 2,1 4,0 7 
2 4,0 5,8 5 
3 5,8 7,7 3 
4 7,7 9,5 1 
5 9,5 11,4 4 
 
 
 
 
Figura 1.5. Histograma para medición de estudiantes 
respecto a la concentración de flúor en río. 
 
 
Se observa un sesgo hacia las clases menores, es decir a las concentraciones más bajas, la 
empresa tiene razón. 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
3,1 4,9 6,8 8,6 10,5
Fr
e
cu
en
ci
a 
A
b
so
lu
ta
 
Concentración Flúor [mg/L] 
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
 
 
 
19 
 
c) Construcción de Diagrama de Caja y bigote: 
 Estudiantes Central 
Mínimo 2,1 7,8 
Q1 3,3 9,2 
Mediana 5,2 10,3 
Q3 7,6 11,3 
Máximo 11,4 12,7 
 
 
 
 
Figura 1.6. Diagrama de caja y bigote para 
experimentos de estudiantes y central. 
 
 
Existe diferencia entre ambos métodos. El experimento de los estudiantes es asimétrico ymuestra una concentración de datos hacia los 3 primeros cuartiles. El experimento de la 
central es más simétrico (señal de posible normalidad de los datos) y menos disperso 
(señal de bajo error en las mediciones). 
Desde el punto de vista de concentración de oxígeno disuelto los datos se encuentran 
dentro del rango de normalidad en el experimento de la central, considerando el valor real 
y los errores asociados. 
 
d) El experimento de los estudiantes es erróneo por el instrumento utilizado, siendo válido 
el de la central. La concentración de oxígeno en el río está dentro de los parámetros 
normales, de modo que no es culpa del aumento de temperatura de las aguas de descarga 
de la central (dada la relación de causalidad de estas variables: concentración de oxígeno 
disuelto-temperatura del agua). Los lugareños se equivocan en relación a su hipótesis. 
Las medidas a tomar deben enfocarse en encontrar la causa de la mortandad de los peces 
en base a otras variables (sean antrópicas o naturales) y realizar estudios en torno a estas. 
 
 
 
 
 
 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
Estudiantes Central
C
o
n
ce
n
tr
ac
ió
n
 F
lú
o
r 
[m
g/
L]
 
 
 
 
 
20 
 
CAPÍTULO 2: Aleatoriedad y Probabilidad 
Distribución Normal. 
La probabilidad es una medida que permite cuantificar la frecuencia en la ocurrencia de 
un determinado evento con respecto a una población. Cuando los datos presentan una 
distribución normal la probabilidad de obtener un valor 𝑥 corresponde a la PDF (función 
de densidad de probabilidad) 
𝑃𝐷𝐹 =
1
𝜎√2𝜋
exp (−
1
2
(
𝑥 − 𝜇
𝜎
)
2
) 
Una forma de suponer que los datos presentan distribución normal es a partir del 
teorema del límite central que establece que cuando se extraen una serie de muestras 
aleatorias de una población estas tendrán una distribución normal mientras mayor sea el 
número de datos. 
Para calcular la probabilidad que ocurra un evento definido como un intervalo se utiliza la 
CDF (función de densidad de probabilidad acumulada), que es la integral de la PDF en el 
intervalo deseado: 
𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) = ∫
1
𝜎√2𝜋
exp (−
1
2
(
𝑥 − 𝜇
𝜎
)
2
)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Figura 2.a. Densidades de probabilidad normal para distintas distribuciones normales. Esta forma 
característica se llama Campana de Gauss 
 
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
P
D
F 
x 
𝜇 = 1 
𝜎 = 2 
 
𝜇 = −2 
𝜎 = 0,7 
 
𝜇 = 0 
𝜎 = 1 
 
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
 
 
 
21 
 
 
Figura 2.b. CDF de una distribución normal. La forma característica se denomina sigmoide. 
 
Distribución z. 
La solución a la CDF no tiene solución analítica, y para facilitar su resolución se encuentra 
tabulados los valores para la variable adimensionalizada 𝑧, la cual convierte cualquier 
distribución de variable normal de media 𝜇 y desviación estándar 𝜎: 𝑁(𝜇, 𝜎), en una 
distribución normal de media 0 y desviación estándar 1, 𝑁(0,1). 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
 En Anexo A Tabla A.1. se encuentra la tabla de distribución 𝑧, que entrega la probabilidad 
de cola izquierda (de −∞ al valor de 𝑧). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
-3
-2
,2
-1
,4
-0
,6
0
,2 1
1
,8 2,
6
P
D
F 
x 
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
-3 -1 1 3
C
D
F 
x 
Capítulo 2: Aleatoriedad y Probabilidad 
 
 
22 
 
EJERCICIOS 
2.1.-Según datos del censo de 2012 la población activa del país se distribuye de la 
siguiente manera: 
Tabla 2.1. Población de 15 años o más activa, por grupo de edad (INE, 2012)
1
 
Grupo de edad Cantidad 
15 a 24 916.687 
25 a 34 1.845.803 
35 a 44 1.833.599 
45 a 54 1.622.264 
55 a 64 872.123 
65 a + 205.860 
 ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una persona activa que se encuentre en el rango 
de edad mayor a 50 años? 
 
Para obtener la probabilidad se deben obtener primeramente los estadígrafos, como estos 
datos son poblacionales estos corresponderán a la media y desviación estándar 
poblacional. En la tabla siguiente se muestra el desarrollo para la obtención de estos. 
 
rango 𝑀𝐶𝑖 𝑓𝑖 𝑓𝑖 ∙ 𝑀𝐶𝑖 (𝑀𝐶𝑖 − 𝜇)
2 𝑓𝑖 ∙ (𝑀𝐶𝑖 − 𝜇)
2 
15 a 24 19,5 916.687 17.875.396,5 417 382.158.185 
25 a 34 29,5 1.845.803 54.451.188,5 109 200.329.827 
35 a 44 39,5 1.833.599 72.427.160,5 0,2 320.219 
45 a 54 49,5 1.622.264 80.302.068 92 148.950.868 
55 a 64 59,5 872.123 51.891.318,5 383 334.423.141 
65 a + 69,5 205.860 14.307.270 875 180.148.233 
Suma 7.296.336 291.254.402 1.246.330.472 
 
𝜇 =∑
𝑓𝑖 ∙ 𝑀𝐶𝑖
𝑛
𝑛
𝑖=1
= 39,9[𝑎ñ𝑜] 
 
𝑠 = √∑
𝑓𝑖 ∙ (𝑀𝐶𝑖 − 𝜇)
2
𝑛
𝑛
𝑖=1
= 13,1[𝑎ñ𝑜] 
 
 
𝑛 =∑𝑓𝑖 = 7296336 
 
 
𝑧 =
50 − 39,9
13,1
= 0,77 
 
 
1 INE, 2012. Resultados XVIII Censo Población 2012. Santiago, Chile: s.n., p. 271. 
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
 
 
 
23 
 
𝑃(𝑥 > 50) = 𝑃(𝑧 > 0,77) = 1 − 𝑃(𝑧 < 0,77) = 1 − 0,7794 = 0,2206 = 22,06% 
 
A pesar que este ejercicio es sencillo, 
hay un supuesto que debe ser 
verificado y este es que los datos 
presenten una distribución normal y en 
base a las proyecciones sobre la 
población del país es presumible que no 
se presente tendencia normal. Una 
aproximación para ver la normalidad de 
datos es un histograma. 
 
Según el histograma de la figura 2.1. los 
datos pareciesen no tener distribución 
normal, pero sí alguna cercanía. Existen 
herramientas más robustas para 
determinar la normalidad de un 
conjunto de datos como el gráfico de 
probabilidad normal e indicadores 
estadígrafos como la curtosis. 
 
 
Figura 2.1. Histograma de personas activas en Chile 
según censo 2012. 
 
 
2.2- Obtener las siguientes probabilidades: 
a) 𝑷(𝝁 − 𝟐𝝈 < 𝑥 < 𝜇 + 2𝝈) 
b) Se tiene una población que presenta una distribución 𝑵(𝟐, 𝟐), encontrar el valor de 𝒂 
que satisface: 𝑷(𝝁 − 𝒂 < 𝑥 < 𝜇 + 𝑎) = 𝟎, 𝟑𝟖𝟑𝟎 
a) 𝑃(𝜇 − 2𝜎 < 𝑥 < 𝜇 + 2𝜎) = 𝑃 (
(𝜇−2𝜎)−𝜇
𝜎
<
𝑥−𝜇
𝜎
<
(𝜇+2𝜎)−𝜇
𝜎
) = 𝑃(−2 < 𝑧 < −2) 
= 𝑃(𝑧 < 2) − 𝑃(𝑧 < −2) = 0,9772 − 0,0228 = 0,9544 = 95,44% 
b) 𝑃(𝜇 − 𝑎 < 𝑥 < 𝜇 + 𝑎) = 𝑃(2 − 𝑎 < 𝑥 < 2 + 𝑎) = 𝑃 (
(2−𝑎)−2
2
<
𝑥−𝜇
𝜎
<
(2+𝑎)−2
2
) 
= 𝑃 (−
𝑎
2
< 𝑧 <
𝑎
2
) = 𝑃 (𝑧 <
𝑎
2
) − 𝑃 (𝑧 < −
𝑎
2
) = 𝑃 (𝑧 <
𝑎
2
) − [1 − 𝑃 (𝑧 <
𝑎
2
)] 
= 2𝑃 (𝑧 <
𝑎
2
) − 1 = 0,3830 
𝑃 (𝑧 <
𝑎
2
) = 0,692 
Se busca en Tabla que valor de z entrega una probabilidad de cola izquierda de 0,692. 
→
𝑎
2
= 0,502 → 𝛼 = 1,00 
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
19,5 29,5 39,5 49,5 59,5 69,5
Fr
e
cu
e
n
ci
a 
A
b
so
lu
ta
 [e
n
 m
ile
s]
 
Edad [año] 
Capítulo 2: Aleatoriedad y Probabilidad 
 
 
24 
 
2.3.- En la línea de envasado de una empaquetadora automática de arroz para envases 
de 500 [g] durante el 2012 se tienen los siguientes resultados: media 501[g] y varianza 
20[g
2
]. La empresa tiene una tolerancia de calidad de ±4[g], es decir, si un envase de 
arroz está fuera de este rango es rechazado. A inicios del 2013 el ingeniero a cargo 
propone un nuevo sistema de control que asegura un resultado de una media de 500[g] 
y varianza 10[g2]. Este nuevo sistema de control incurriría en una inversión de $400.000 
y el costo de pérdida por cada paquete rechazado es $300. Si la producción es de 12.000 
envases totales al año. ¿Conviene implementar el nuevo sistema? 
Para determinar si es conveniente implementar el 
nuevo sistema se debe determinar cual implica un 
mayor gasto (incluyendo inversión y pérdidas). La 
forma de estimar esto es a través de la probabilidad 
de obtener productos fuera de especificación. 
 
Sistema Antiguo 
𝜇 501 
𝜎2 20 
𝜎 4,47 
Rango de tolerancia 496-504 
 
Probabilidad de rechazo (𝑃𝑅): 
𝑃𝑅 = 𝑃(𝑥 < 496) + 𝑃(𝑥 > 504) 
𝑧1 =
496 − 501
4,47
= −1,12 𝑧2 =
504 − 501
4,47
= 0,67 
→ 𝑃𝑅 = 𝑃(𝑧 < −1,12) + 𝑃(𝑧 > 0,67) = 𝑃(𝑧 < −1,12) + 1 − 𝑃(𝑧 < 0,67) 
= 0,1318 + 1− 0,7488 = 0,3829 = 38,29% 
Costo estimado por pérdidas: 
𝐶 = 300 [
$
𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑜
] ∙ 12000 [
𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒
𝑎ñ𝑜
] ∙ 0,3829 [
𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑜
𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒
] = 1378597 [
$
𝑎ñ𝑜
] 
Sistema Nuevo 
𝜇 500 
𝜎2 10 
𝜎 3,16 
Rango de tolerancia 496-504 
 
Probabilidad de rechazo (𝑃𝑅): 
𝑃𝑅 = 𝑃(𝑥 < 496) + 𝑃(𝑥 > 504) 
𝑧1 =
496 − 500
3,16
= −1,26 𝑧2 =
504 − 500
3,16
= 1,26 
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
 
 
 
25 
 
→ 𝑃𝑅 = 𝑃(𝑧 < −1,26 ) + 𝑃(𝑧 > 1,26) = 𝑃(𝑧 < −1,26 ) + 1 − 𝑃(𝑧 < 1,26) 
= 0,1030 + 1 − 0,8970 = 0,2059 = 20,59% 
Costo estimado por pérdidas: 
𝐶 = 300 [
$
𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑜
] ∙ 12000 [
𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒
𝑎ñ𝑜
] ∙ 0,2059 [
𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑜
𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒
] = 741252 [
$
𝑎ñ𝑜
] 
Costo total: 
𝐶𝑇 = 𝐶 + 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 = 1141252 
El gasto por el sistema nuevo de control es menor que para el antiguo desde el primer año 
de utilización, por ello es conveniente realizar el cambio. 
2.4.- El departamento de desarrollo de la embotelladora Moka-Kola, está 
implementando un sistema de mejoras que reduzca la tasa de rechazo de sus productos. 
En particular, los ingenieros han planificado intervenir la máquina de llenado de latas 
puesto que, según experiencia previa, es un sistema crítico dentro de la línea de 
producción. 
Para llevar a cabo las mejoras, se le ha encomendado a usted evaluar el funcionamiento 
actual de este equipo, para lo cual se remite a información histórica proveniente del 
departamento de calidad, que indica que la media de llenado es de 360[cc] y su 
desviación estándar es de 3[cc]. 
 
a) Si la norma indica que una lata que contenga más de 373[cc] o menos de 358[cc] debe 
ser devuelta a la línea, determinar la probabilidad de devolución de una lata. 
b) Si la máquina en cuestión produce 10.000 latas al día, y el costo asociado a la 
devolución de cada lata es de $10, estimar las pérdidas mensuales por este concepto 
(asuma que el mes tiene 30 días) 
a) La probabilidad de rechazo (𝑃𝑅) es: 
𝑃𝑅 = 𝑃(𝑥 ≤ 358) + 𝑃(𝑥 ≥ 373) 
 
Adimensionalizando en 𝑧 
𝑃𝑅 = 𝑃 (
𝑥 − 𝜇
𝜎
≤
358 − 𝜇
𝜎
) + 𝑃(
𝑥 − 𝜇
𝜎
≥
373 − 𝜇
𝜎
) 
→ 𝑃𝑅 = 𝑃(𝑧 ≤ −0,67) + 𝑃(𝑧 ≥ 4,33) 
𝑃(𝑧 ≤ −0,67) = 0,252 
Capítulo 2: Aleatoriedad y Probabilidad 
 
 
26 
 
𝑃(𝑧 ≥ 4,33) = 1 − 𝑃(𝑧 ≤ 4,33) ≈ 0 
Por lo tanto: 
𝑃𝑅 =0,252 
Una tasa de rechazo del 25% es muy elevada y esto da evidencia de la necesidad de 
mejorar el proceso de llenado. Las pérdidas estimadas del sistema se obtienen a 
continuación: 
 
b) Las pérdidas esperadas por concepto de devolución mensual está dado por: 
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝐷𝑒𝑣 𝑀𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 =
𝐿𝑅𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎𝑑𝑎𝑠
𝐿𝐷í𝑎𝑠
∙
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜
𝐿𝑅𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎𝑑𝑎𝑠
∙ 𝐿𝐷í𝑎𝑠 ∙
𝐷í𝑎𝑠
𝑀𝑒𝑠
= 0.252 ∙ 10 ∙ 10.000 ∙ 30
= $756.000 
2.5.- El reactor de la planta donde trabaja 
ha estado presentando problemas de 
rendimiento. Teóricamente se sabe que a 
mayor temperatura se obtiene una mayor 
conversión, por ello lo recomendado es 
operar el equipo sobre los 425 [°C]. 
También se sabe que si se superan los 450 
[°C] se favorece una reacción indeseable 
que baja la conversión. Así que el control 
de temperatura debe ser debidamente 
llevado a cabo. Usted, que es el ingeniero 
de procesos encargado de esa área, está 
preocupado y ha decidido llevar a cabo un 
estudio de las temperaturas en el reactor. 
Se han tomado datos que representan la 
operación del proceso (ver Tabla 2.2). En 
base a ello responda las siguientes 
preguntas: 
*Asuma una distribución normal para las 
temperaturas. 
 
Tabla 2.2 Temperaturas del reactor. 
Hora Día del mes T [°C] 
0 5 444,1 
4 5 441,2 
8 5 445,7 
12 5 452,1 
16 5 448,6 
20 5 451,2 
0 6 440,9 
4 6 444,3 
8 6 449,3 
12 6 441,7 
16 6 442,9 
20 6 449,9 
0 7 440,5 
4 7 442,5 
8 7 442,7 
12 7 441,6 
 
 
a) ¿Cuál es el valor promedio de temperatura del reactor? ¿Es adecuado? ¿Explica (por si 
solo) el bajo rendimiento? 
 
b) ¿Dónde, en torno al promedio, se encuentra el 90% de los datos? ¿Explica ese rango 
el bajo rendimiento?. 
 
c) ¿Cuántos días al mes el reactor se encuentra sobre la temperatura máxima 
recomendada?. Asuma 30 días por mes. 
 
 
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
 
 
 
27 
 
a) El promedio, (x)/n=445, es adecuado considerando que se desea operar a la máxima 
temperatura, pero por debajo de los 450 [°C]. Aquél dato no explica por sí solo el bajo 
rendimiento. 
 
b) Usando como distribución de referencia una distribución normal, se busca un "a" tal 
que: 
𝑃(−𝑎 ≤ 𝑧 ≤ 𝑎) = 0,90 
Tomando la distribución acumulada desde el lado izquierdo, se puede calcular: 
𝑃(−𝑎 ≤ 𝑧 ≤ 𝑎) = 0,90 → 𝑃(𝑧 ≤ 𝑎) − 𝑃(𝑧 ≤ −𝑎) = 0,95 − 0,05 = 0,90. Tal como se 
observa en la figura: 
 
Buscando en la tabla de datos entregada, los 
valores que dan el 0.95 y el 0.05 son +1.645 y 
-1.645 respectivamente. Claro que hay que 
desnormalizarlo para obtener los límites en 
unidades de ingeniería. 
El promedio y desviación estándar son 445 y 
4,0 respectivamente. 
 
Los rangos son: 
+𝑎 = +1.645 =
𝑥−�̅�
𝑠
 =
𝑥−445
4
→ 𝑥 = +1.645 ∙ 4 + 445 = 𝟒𝟓𝟏, 𝟔 
−𝑎 = −1.645 =
𝑥−�̅�
𝑠
 =
𝑥−445
4
→ 𝑥 = −1.645 ∙ 4 + 445 = 𝟒𝟑𝟖, 𝟐 
 
El 90% del tiempo la temperatura se encuentra entre 451,6 y 438,2 [°C]. El rango, si bien 
no baja de los 425 [°C], sube de los 450 [°C] (incluso si solo se considera el 90% del 
tiempo). En aquellos momentos en que la temperatura es más alta de lo recomendado, el 
rendimiento puede verse disminuido considerablemente, ya que, no es el caso de que 
haya menos conversión, si no, que se promueve la reacción indeseada. 
 
c) De acuerdo a los valores calculados y la tabla CDF entregada: 
𝑃(𝑥 ≥ 450) = 𝑃(𝑧 ≥ (450 − 445)/4) = 𝑃(𝑧 ≥ 1,25) = 1 − 𝑃(𝑧 ≤ 1,25) 
= 1 − 0,8944 = 0,1056. 
 
La probabilidad de encontrar un valor sobre el límite recomendado, 450 [°C], es del 
10,56%. Es decir, el observar valores de ese orden en los datos obtenidos no representa 
situaciones puntuales. Calculando, 30∙0,1056≈3 días al mes el reactor funciona 
promoviendo la reacción indeseada. 
 
2.6.-Para una variable aleatoria 𝒙, que se distribuye de manera normal, con media 
poblacional cero (𝝁 = 𝟎), y desviación estándar poblacional igual a uno (𝝈 = 𝟏), 
calcular: 
a) La probabilidad que una medida de 𝒙 esté por debajo de 1,53 
b) La probabilidad que una medida de 𝒙 se encuentre entre -0,7 y 1,25 
c) La probabilidad que la medida de 𝒙 esté por sobre su media poblacional 
P(z≤-1.645)=0.05 P(z≤+1.645)=0.95
Capítulo 2: Aleatoriedad y Probabilidad 
 
 
28 
 
Considerando que 𝑥~𝑁(0,1), 𝑥~𝑧, por lo tanto 
a) P(𝑥 < 1,54) = 𝑃(𝑧 < 1,54) = 0,94 
b)P(−0,7 < 𝑥 < 0,95) = P(−0,7 < 𝑧 < 0,95) = P(𝑧 < 0,95) − P(𝑧 < −0,7) = 0,89 −
0,24 = 0,65 
c) P(𝑥 < 0,5) = P(𝑧 < 0) = 0,5 
2.7.-Los registros diarios durante todo un año de una planta de potabilización de agua 
indican que luego del proceso de fluorización el agua resulta con una concentración 
media de 0,60 [mgeq/L] de Flúor y con una varianza de 0,0081 [mgeq
2L-2]. 
La Norma Chilena NCh409/1 establece que la concentración de flúor máxima permitida 
en el agua potable es 1,5 [mgeq/L]. Además la empresa se autoregula bajo un parámetro 
interno que establece que la concentración de flúor en el agua no puede exceder los 0,9 
[mgeq/L] ni ser menor a 0,5 [mgeq/L]. 
Asuma que los datos se comportan de manera normal. 
a) ¿Qué tan probable es que la empresa no cumpla la norma? 
b) ¿Cuántos días al año la empresa opera bajo su parámetro interno? 
 
Para obtener los valores de 𝑧 se requiere conocer la desviación estándar: 
𝜎 = √𝜎2 = √0,081 = 0,09 
a) 𝑃(𝑥 > 1,5) ≅ 𝑃 (𝑧 >
1,5−0,6
0,09
= 10) 
De tabla 𝑃(𝑧 < 10) ≈ 1 
Entonces 𝑃(𝑧 > 10) = 1 − 𝑃(𝑧 < 10) ≈ 0 
La empresa cumple la norma el aproximadamente el 100% de las veces 
b) 𝑃(0,5 < 𝑥 < 0,9) = 𝑃(𝑥 < 0,9) − 𝑃(𝑥 < 0,5) = 𝑃 (𝑧 <
0,9−0,6
0,09
= 3,33) −
𝑃 (𝑧 <
0,5−0,60,09
= −1,11) = 0,9996 − 0,1335 = 0,8611 = 86,11% 
Si consideramos que se trabaja todo el año (se potabiliza agua todos los días) los días que 
trabaja dentro del rango (𝑇)son: 
𝑇 = 365 ∙ 0,8611 = 316[𝑑í𝑎] 
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
 
 
 
29 
 
CAPÍTULO 3: Estimadores Muestrales 
 
Distribución t 
Esta distribución se utiliza cuando no existen datos poblacionales (𝜎 principalmente), es 
decir el tamaño de la muestra es pequeño. La forma de esta distribución es normal 
dependiente del tamaño de la muestra. Con esta distribución se pueden obtener 
probabilidades de manera análoga a 𝑧 y realizar análisis estadísticos para al valor del 
estimador muestral de la media. 
𝑡 =
�̅� − 𝜇
𝑠𝑥/√𝑛
=
�̅� − 𝜇
𝑠�̅�
 
Donde: 
𝑠𝑥: desviación estándar muestral del conjunto de datos 𝑥 
𝑛: número de datos con los cuales se ha calculado el promedio muestral �̅� 
𝑠�̅�: desviación estándar muestral de �̅�, calculada a partir del teorema del límite central 
como 𝑠𝑥/√𝑛 
Los valores de la función de densidad de probabilidad acumulada (CDF), para 𝑡 se 
encuentran tabulados en Anexo A Tabla A.2. Esta tabla entrega la probabilidad de cola 
derecha para un valor de 𝛼 determinado (de 𝑡 al valor ∞). 
Test de Hipótesis 
El test de hipótesis es un tipo de análisis estadístico que permite discriminar si la media de 
una población se encuentra en cierto valor a partir de datos muestrales (donde se obtiene 
un valor de 𝑡). Consta de una hipótesis nula (𝐻0) y una hipótesis alternativa (𝐻1). Bajo 
cierto nivel de confianza (donde se obtiene un valor de 𝑡𝑐) se establece una zona de 
aceptación de 𝐻0, según criterios dependiendo del tipo de hipótesis nula. 
El valor de 𝛼 se desprende del nivel de confianza 𝑁𝐶 según: 
𝑁𝐶% = (1 − 𝛼)% 
Hipótesis Nula: 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 
Estadístico 𝑡: 
𝑡 =
�̅� − 𝜇0
𝑠/√𝑛
 
Hipótesis 
Alternativa 
Zona de Rechazo (𝐻0: 𝐹 → 𝐻1: 𝑉) 
𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0 𝑡 > 𝑡(𝛼/2,𝜈) 𝑜 𝑡 < −𝑡(𝛼/2,𝜈) 
𝐻1: 𝜇 > 𝜇0 𝑡 > 𝑡(𝛼,𝜈) 
𝐻1: 𝜇 < 𝜇0 𝑡 < −𝑡(𝛼,𝜈) 
 
 
 
30 
 
 
 
(a) (b) (c) 
Figura 3.a. Distribución de referencia para 𝑯𝟎:𝝁 = 𝝁𝟎, con región crítica para (a) 𝑯𝟏: 𝝁 ≠ 𝝁𝟎, (b) 
𝑯𝟏:𝝁 > 𝝁𝟎, (c) 𝑯𝟏: 𝝁 < 𝝁𝟎. 
Intervalo de confianza 
El intervalo de confianza es otro tipo de análisis estadístico que permite estimar con cierto 
nivel de confianza dentro que valores puede encontrarse la media de una población a 
partir del promedio de una muestra. 
Para un estadígrafo, el intervalo de confianza de dos lados para la media (𝜇) está definido 
según: 
𝐼𝐶: 𝜇 ∈ �̅� ± 𝑡
(
𝛼
2
,𝜈)
𝑠
√𝑛 
 
El intervalo de confianza de dos lados es equivalente al test de hipótesis con 𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0, 
por lo que ambos análisis entregan las mismas conclusiones. La analogía se mantiene para 
𝐻1: 𝜇 > 𝜇0 y 𝐻1:𝜇 < 𝜇0 si se utilizan los intervalos de confianza de un lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 𝒕(𝜶/𝟐,𝝂) 
𝜶/𝟐 𝜶/𝟐 
𝒕𝝂 
−𝒕(𝜶/𝟐,𝝂) 
0 
𝒕(𝜶,𝝂) 
𝜶 
𝒕𝝂 
0 −𝒕(𝜶,𝝂) 
𝜶 
𝒕𝝂 
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
 
 
 
31 
 
EJERCICIOS 
3.1.-Si la vida media de operación de una pila de linterna es de 24 horas y está 
distribuida normalmente con una desviación de 3 horas. 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 pilas tenga una media 
mayor a 30 minutos del promedio? 
b)Se estima que la información anteriormente utilizada no es representativa del 
producto ya que se han realizado diversas modificaciones al proceso, por lo que se toma 
una muestra de 101 pilas y se determina la vida media de operación obteniendo 
coincidentemente 24 horas y desviación estándar de 3 horas. En base a este segundo 
estudio ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 101 pilas tenga una 
media que se desvíe por más de 30 minutos del promedio? 
a) Para responder la pregunta y calcular la probabilidad se debe determinar primero la 
naturaleza de los datos. La información entregada, vida media y desviación, son datos 
poblacionales así que la probabilidad a calcular será utilizando z (El dato de las 100 pilas es 
un distractor para este ejercicio). 
𝑧 =
24,5 − 24
3
= 1,17 
𝑃(𝑥 > 24,5) = 1 − 𝑃(𝑧 ≤ 1,17) = 1 − 0,879 = 0,121 = 12,1% 
b) En este caso los datos sí son muestrales y se debe aplicar t para calcular la probabilidad. 
𝑡 =
24,5 − 24
3/√101
= 1,675 
𝑃(𝑥 > 24,5) = 𝑃(𝑡 > 1,675, 𝜈 = 100) = 0,0485 = 4,85% 
3.2.- Un fábrica de galletas produce de paquetes de 320 [g]. Un cliente reclama que rara 
vez recibe productos con dicha masa, más bien, contienen a veces más y a veces menos. 
El supervisor revisa el contenido de 10 paquetes dentro de un despacho, hallando la 
siguiente masa en cada uno de ellos: 
Tabla 3.1. Masa de galletas en paquetes revisados 
Paquete 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Masa [g] 100 320 310 350 330 350 310 350 340 300 
 
En base a los 10 paquetes analizados ¿Cuál sería la probabilidad de hallar un producto 
con contenido menor al promedio de los paquetes supervisados? 
Capítulo 3: Estimadores Muestrales 
 
 
32 
 
Observando los datos se detecta que la 
masa del paquete 1 es un dato anómalo 
comparado con el resto de los datos y la 
especificación del producto, lo que es 
corroborado con el gráfico de 
probabilidad normal demostrando que 
el dato del paquete 1 es un outlier. 
 
Descartando el dato del paquete 1 se 
calculan los estadígrafos necesarios 
para el cálculo de la probabilidad 
utilizando distribución t (los datos son 
muestrales). 
 
 
 
 
�̅� = 328,9 [𝑔] 
𝑠 = 19,64 [𝑔] 
𝑛 = 9 
 
Figura 3.1. Gráfico de Probabilidad normal de datos 
de paquetes de galletas 
 
 
𝑡 =
320− 328,9
19,64
√9
= −1,359 
Utilizando la propiedad: 
𝑃(𝑡 ≤ 𝑡0) + 𝑃(𝑡 ≤ −𝑡0) = 1 
Se tiene: 
𝑃(𝑡 ≤ −1,359) = 1 − 𝑃(𝑡 ≥ −1,359) = 1 − [1 − 𝑃(𝑡 ≥ 1,359)] = 𝑃(𝑡 ≥ 1,359) 
𝑃(𝑡 ≥ 1,359, 𝜈 = 8) = 0,1056 = 10,56% 
3.3.- En un reactor se lleva a cabo una reacción ácida. Se realizan 12 mediciones 
aleatorias para determinar el pH de la solución. Las mediciones se presentan en la tabla 
3.2: 
 Tabla 3.2. Mediciones de pH en reactor. 
2,94 2,75 2,75 2,81 
2,90 2,90 2,82 2,95 
3,00 2,95 3,00 3,05 
 
Calcule el intervalo de confianza para un 70%, 95% y 99% de nivel de confianza. ¿Qué 
implicancia tienen? 
�̅� = 2,90 𝑠 = 0,099 𝑛 = 12 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
50 150 250 350
Q
i [
-]
 
Masa galletas [g] 
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
 
 
 
33 
 
Nivel de 
confianza [%] 
𝜶 𝒕 (𝝂,
𝜶
𝟐
) 𝒕
𝒔
√𝒏
 mínimo máximo 
70 0,3 1,088 0,033 2,87 2,93 
95 0,05 2,201 0,069 2,83 2,97 
99 0,01 3,106 0,101 2,80 3,00 
Mientras mayor confianza se tenga, mayor es el rango del intervalo de confianza. 
3.4.- Un equipo de campaña electoral de un candidato para diputado por un distrito de 
15000 votantes realiza una encuesta para conocer el apoyo hacia su candidato. Realizan 
una encuesta a 101 personas, donde determinan un promedio de aprobación de 15,2% y 
desviación estándar de 2,3. Estiman el apoyo de la población mediante intervalo de 
confianza con un nivel de confianza de 95%. Posterior a este resultado, consideran que 
la cantidad de encuestados es muy pequeña, por ello deciden sumar 900 encuestas a las 
ya existentes, obteniéndose como resultado un promedio de aprobación de 14,7% y una 
desviación estándar de 2,6. Estiman nuevamente el apoyo de la población mediante 
intervalo de confianza con un nivel de confianza de 95%. Analice como cambia el 
intervalo de confianza entre la primera y segunda encuesta. 
Intervalo para la primera encuesta: 
 
�̅� = 15,2 𝑠 = 2,3 𝑛 = 101 
 
𝑡 (𝜈 = 100,
𝛼
2
= 95%) = 1,984 
 
𝐼𝐶 = 15,2 ± 1,984
2,3
√101
= [14,75;15,65] 
 
Intervalo para la segunda encuesta: 
 
�̅� = 14,7 𝑠 = 2,6 𝑛 = 1001 
 
𝑡 (𝜈 = 1000,
𝛼
2
= 95%) = 1,962 
 
𝐼𝐶 = 14,7 ± 1,962
2,6
√1001= [14,53;14,86] 
 
Aunque entre las dos encuestas hay variación del promedio y desviación, la modificación 
principal al intervalo de confianza la hace el tamaño de la muestra, lo que acorta el rango 
del intervalo. 
3.5.- Una empresa productora de tubos de pvc presenta problemas en la cortadora de 
tubos al final de la línea y rara vez se obtiene un producto con la longitud especificada. 
Se detecta la falla y se detiene la producción, se alcanzaron a producir 3000 tubos. Se 
toma una muestra de 25 tubos y se determina que el promedio: 1,55[m] y varianza 
0,16[m2]. 
a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un tubo de longitud mayor a 1,65[m]? 
b) La especificación del producto es un largo de 1,70[m]. Con un 95% de certidumbre, 
¿se puede asegurar que dicho lote de 3000 tubos cumple con los requerimientos? 
c) Si según registros de la empresa la varianza de los tubos producidos es 1,24[m
2
]. ¿Se 
puede asegurar que dicho lote cumple con los requerimientos? 
Capítulo 3: Estimadores Muestrales 
 
 
34 
 
 
a) �̅� = 1,55 
 
𝑠2 = 0,16 → 𝑠 = √𝑠2 = 0,4 
 
𝑛 = 25 
𝑡 =
𝑥 − �̅�
𝑠
√𝑛
=
1,65 − 1,55
0,4
√25
= 1,25 
 
𝑃(𝑡 = 1,25; 𝜐 = 24) = 0,138 = 13,8% 
 
 
b) Se debe realizar un test de hipótesis de dos colas: 
𝐻0: 𝜇 = 1,70 
𝐻1: 𝜇 ≠ 1,70 
 
Como se va a estimar µ a partir del parámetro �̅� y se cuenta con el dato de 𝑠𝑥 se utiliza la 
distribución t. 
 
𝑡 =
�̅� − 𝜇
𝑠𝑥𝑛̅̅ ̅̅
=
�̅� − 𝜇
𝑠𝑥
√𝑛
=
1,55− 1,70
0,4
√25
− 1,83 
 
De tabla t se lee t con 95% de nivel de n y 24 grados de libertad: 
𝑡(𝑁𝐶=95%,𝜐=24) = 2,064 
 
Se realiza el siguiente análisis: 
¿𝑡 ∈ [−𝑡(𝑁𝐶=95%,𝜐=24), 𝑡(𝑁𝐶=95%,𝜐=24)]? 
 
−2,064 < 𝑡 = −1,83 < 2,064 
 
(𝐻0𝑒𝑠 𝑉)Entonces con un 95% de certidumbre se puede asegurar que la media de los 
tubos de ese lote es 1,70 [m] 
 
 c) A diferencia del punto b) en este caso contamos con la varianza poblacional 𝜎2 =
1,24, por lo que el análisis ahora debe realizarse mediante distribución z: 
𝐻0: 𝜇 = 1,70 
𝐻1: 𝜇 ≠ 1,70 
 
𝑧 =
�̅� − 𝜇
𝜎𝑥𝑛̅̅ ̅̅
=
�̅� − 𝜇
𝜎𝑥
√𝑛
=
1,55 − 1,70
√1,24
25
= −0,67 
 
De tabla z se lee 𝑧𝛼/2 y 𝑧1−𝛼/2 donde 𝛼 se determina del nivel de confianza deseado, 
generalmente se toma un 95% 
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
 
 
 
35 
 
1 − 𝛼 = 0,95 
Por tanto se lee 
𝑧(𝛼/2=0,025) = 0,510 
𝑧(1−𝛼/2=0,975) = 0,835 
 
Se realiza el siguiente análisis: 
¿𝑧 ∈ [𝑧(𝛼/2=0,025), 𝑧(1−𝛼/2=0,975)]? 
 
𝑧 = −0,67 no pertenece a aquel intervalo, (𝐻0 𝑒𝑠 𝐹) por lo que con un 95% de 
certidumbre se puede asegurar que la media de los tubos de ese lote no es 1,70 [m]. 
 
¿En qué se diferencian b) y c) que entregan inferencias distintas?. En que en b) se utiliza la 
desviación de una muestra y en c) se utiliza la desviación poblacional y el nivel de certeza 
de los datos es mayor en el segundo caso que en el primero. 
 
3.6.-De acuerdo a lo que indica la empresa de margarina, su producto es completamente 
light. Sin embargo, un grupo de consumidores están convencidos que la causa de su 
aumento de peso sostenido es la cantidad de grasas saturadas de la margarina. Para 
probar su punto, han tomado 6 muestras aleatorias de margarina y les han hecho un 
análisis de laboratorio para determinar su contenido de grasas saturadas, obteniendo 
los siguientes resultados en porcentajes : 
 
Tabla 3.3. Contenido de grasas saturadas (%) en muestras de margarina 
16,8 17,2 17,4 16,9 16,5 17,1 
 
Si se sabe que el nivel máximo de grasas saturadas para que una margarina sea 
considerada light es de 𝟏𝟔, 𝟒%, determinar mediante un intervalo de confianza (IC) si los 
consumidores están en lo cierto con un 99% de certeza. 
 
A partir de los datos tabulados, se puede obtener sus parámetros estimados: 
𝑥𝑛̅̅ ̅ = 16,98 
𝑠𝑥 = 0,32 
 
Para realizar una inferencia en relación al contenido de grasas, es necesario utilizar la 
distribución t (puesto que se conoce 𝑠𝑥) 
Utilizando la ecuación del intervalo de confianza: 
16,98 − tα
2
,ν
0,32
√6
≤ μ ≤ 16.98 + tα
2
,ν
0,32
√6
 
 
De tabla, considerando un nivel de certeza del 99%: 
 
tα
2
,ν
= t0,005;5 = 4,032 
Reemplazando: 
Capítulo 3: Estimadores Muestrales 
 
 
36 
 
16,98− 4,032
0,32
√6
≤ μ ≤ 16,98 + 4,032
0,32
√6
 
 
16,46 ≤ μ ≤ 17,51 
 
Se observa que el intervalo de confianza del 99% está por sobre el límite crítico para 
considerar un producto light, por lo tanto se puede inferir que la media del contenido de 
grasas de la mantequilla está por sobre los límites para ser considerada light con un 99% 
de certeza, es decir, los consumidores tienen razón en términos de la composición del 
producto. Para realizar una inferencia con respecto a las enfermedades cardiovasculares 
habría que analizar la correlación entre el número de accidentes y la concentración de las 
grasas saturadas en el intervalo en estudio. 
 
3.7.-La planta de producción de 𝑯𝟐𝑺𝑶𝟒 en la que 
usted trabaja está en fase de revamping (aumento 
de capacidad). El objetivo de la intervención que se 
está realizando es aumentar el rendimiento de la 
reacción catalizada, representada en la ecuación 
(3.1). Como alternativa, se baraja el reemplazo del 
catalizador de la reacción. Sin embargo, la nueva 
alternativa es más cara, por lo que se tomará la 
decisión de cambio, sí y sólo sí, el rendimiento medio 
de la reacción con el nuevo catalizador es a lo menos 
del 20% (valor obtenido luego de un análisis 
económico y que corresponde a aumentar el 
rendimiento de la reacción en 5% con respecto al 
valor medio actual). 
Tabla 3.4. Rendimiento de reacción 
de corridas experimentales. 
Exp Rendimiento [%] 
1 19,5 
2 21,3 
3 24,7 
4 20,1 
5 18,7 
6 21 
7 21,5 
8 19,8 
9 21,8 
10 17,9 
 
 
Para tomar la decisión, usted propone realizar 10 corridas experimentales con el nuevo 
catalizador. Los resultados de los experimentos realizados de manera aleatoria, es decir: 
todos los experimentos hechos con la misma cantidad de catalizador nuevo, 
aleatorizando a los operarios (quienes no sabían que se trataba de un nuevo producto), 
se muestran en la Tabla 3.4. 
𝑺𝑶𝟐 +
𝟏
𝟐
𝑶𝟐 +𝑯𝟐𝑶
𝑲
→𝑯𝟐𝑺𝑶𝟒 (3.1) 
A partir de estos datos. 
a) Plantee el test de hipótesis correspondiente, indicando claramente la hipótesis nula y 
la alternativa 
b) Obtenga la carga de veracidad de la hipótesis nula con un 95% de certeza, y a partir 
de este valor infiera. 
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
 
 
 
37 
 
c) A partir del resultado obtenido en b), plantee su recomendación sobre la disyuntiva 
de cambiarse de catalizador o no 
El test de hipótesis en este caso es: 
𝐻0: 𝜇 = 20 equivalente a aceptar el cambio de catalizador 
𝐻1: 𝜇 < 20 equivalente a no cambiar el catalizador 
La prueba consiste entonces en obtener el valor de 𝑡0 a partir de: 
𝑥10̅̅ ̅̅ = 20,63 𝑠𝑥 = 1,9 
𝑡 =
(𝑥10̅̅ ̅̅ − 𝜇0)
𝑠𝑥/√10
= 0,1 
Y evaluar la veracidad de 𝑡0: 
𝑠𝑖 𝑡 ∈ (−𝑡𝛼,𝜈 ,∞) → 𝐻0: 𝑉 
Con 𝑡𝛼,𝜈 = 1,83, se puede indicar con un 95% que no hay razón para dudar de la hipótesis 
nula 
Lo que implicaría que se recomienda el cambio de catalizador, porque al menos el 
rendimiento del nuevo es del 20% 
 
3.8.- Un ingeniero analiza la resistencia a la compresión del hormigón. Este parámetro se 
distribuye normalmente con 𝝈𝟐 = 𝟏𝟎𝟎𝟎[𝒑𝒔𝒊𝟐]. Una muestra aleatoria de 12 
especímenes tiene una resistencia a la compresión de �̅� = 𝟑𝟐𝟓𝟎[𝒑𝒔𝒊]. 
a) Construya un intervalo de confianza del 95% para la resistencia a la compresión. ¿Qué 
indica este valor? 
b) Construya un intervalo de confianza del 99% para la resistencia a la compresión. 
Comparar la anchura de este intervalo de confianza con el ancho de la parte (a). 
 
a) Inicialmente se debe determinar el valor de 
𝛼
2
. Un 95% de confianza implica un 
𝛼 = 0,05 →
𝛼
2
= 0,025.Ahora se debe buscar que valor de z entrega una probabilidad de 1 −
𝛼
2
= 1− 0,025 =
0,975 
𝑧0,025 = 1,96 
𝐼𝐶 = �̅� ± 𝑧𝛼/2
𝜎
√𝑛
= 3250 ± 1,96√
1000
12
= [3232 − 3268] 
b)Un 99% de confianza implica un 𝛼 = 0,01 →
𝛼
2
= 0,005. Así: 
𝑧0,005 = 2,58 
𝐼𝐶 = �̅� ± 𝑧𝛼/2
𝜎
√𝑛
= 3250 ± 2,58√
1000
12
= [3227 − 3274] 
Capítulo 3: Estimadores Muestrales 
 
 
38 
 
El intervalo a un 99% de confianza es más amplio que el intervalo a 95% y es 
numéricamente efecto del valor de z. 
 
3.9.- Se tomaron 100 muestras aleatorias de agua de un lago de agua dulce y se les 
midió la concentración de calcio en mg/L. El intervalo de confianza del 95% en la 
concentración de calcio es 0,49-0,82. 
a) ¿Podría un Intervalo de Confianza del 90% calculado a partir de los mismos datos de la 
muestra ser más ancho? 
b) Considere la siguiente afirmación: Hay una probabilidad del 95% de que la media se 
encuentre entre 0,49 y 0,82. ¿Es correcta esta afirmación?. 
c) Considere la siguiente afirmación: Si se repite 1000 veces el procedimiento realizado, 
el 95% de los intervalos de confianza obtenidos contendrá el valor verdadero de la 
media. ¿Es correcta esta afirmación?. 
 
a) No, mientras menos certeza o porcentaje de confianza el intervalo es más corto. 
b) La afirmación es falsa. Es una interpretación incorrecta a lo que se refiere a un intervalo 
de confianza. La probabilidad de que la media se encuentre en cualquier valor del 
intervalo de confianza es 0 ó 1. El porcentaje indica la confianza con la que se entrega el 
intervalo. 
c) Sí, es una interpretación correcta del intervalo de confianza. El límite superior e inferior 
son variables aleatorias 
 
3.10.- Una industria de alimentos en conserva trata sus residuos líquidos en reactores 
biológicos y luego los descarga a un río cercano. La carga orgánica presente en los 
efluentes, cuantificada a través de la DBO5 es medida cada semana. En la Figura 3.1. se 
presentan los resultados para las 12 primeras semanas del año en curso. 
 
La norma Chilena establece un 
límite máximo de descarga para la 
DBO5 de 300[mgO2/L]
 2. 
 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que 
una muestra no cumpla la norma? 
¿Tomaría algunas medidas en base 
a este resultado? 
 
Figura 3.1. Contenido de DBO5 en riles 
de industria de alimentos en los 
ensayos de los 3 primeros meses del 
año. 
 
2 Decreto 90. Ministerio Secretaría General de la Presidencia “Establece norma de emisión para la 
regulación de contaminantes asociados a las descargas de residuos líquidos a aguas marinas y 
continentales superficiales”. Artículo 4. 
278 
300 
258 
342 
193 
243 
264 
185 
247 
204 
260 
368 
150
200
250
300
350
400
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D
B
O
5
 [
m
gO
2
/L
] 
Semana 
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
 
 
 
39 
 
 
Durante el 4° mes la industria es multada por exceder más de una vez el límite máximo 
establecido en un mismo mes, los resultados son presentados en la Figura 3.2. La 
empresa alarmada analiza la posibilidad de que este hecho puede repetirse. 
 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una 
muestra no cumpla la norma, incluyendo 
ahora los resultados del 4° mes?, ¿La 
industria debería preocuparse? 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.2. Contenido de DBO5 en riles de 
industria de alimentos en los ensayos durante el 
cuarto mes del año 
 
a) �̅� = 262 𝑠 = 55 𝑛 = 12 
Al ser datos muestrales debe utilizarse t 
𝑡 =
300 − 262
55/√12
= 2,39 
𝑃(𝑥 > 300) = 𝑃(𝑡 > 2,39; 𝜈 = 11) = 0,0179 = 1,79% 
La probabilidad de ocurrencia del suceso es baja, por lo que no es urgentemente necesario 
tomar medidas. 
b) �̅� = 260 𝑠 = 59 𝑛 = 16 
Al ser datos muestrales debe utilizarse t 
𝑡 =
300 − 260
59/√12
= 2,58 
𝑃(𝑥 > 300) = 𝑃(𝑡 > 2,58; 𝜈 = 15) = 0,0105 = 1,05% 
Al igual que el caso anterior, la probabilidad de que ocurra el suceso es baja, por lo que no 
es recomendable tomar medidas, son hechos extraordinarios en términos probabilísticos. 
304 
202 
182 
337 
150
170
190
210
230
250
270
290
310
330
350
13 14 15 16
D
B
O
5
 [
m
gO
2
/L
] 
Semana 
Capítulo 3: Estimadores Muestrales 
 
 
40 
 
 
3.11.- El proceso de conversión del cobre sulfurado en una minera se lleva a cabo en un 
horno flash, el cual últimamente ha presentado problemas al entregar un eje de menor 
ley a la presupuestada, el ingeniero a cargo presume que el problema se debe a la 
temperatura del horno la cual sería insuficiente para que se lleven a cabo las reacciones 
requeridas. 
 
 
2𝐶𝑢𝐹𝑒𝑆2 + 𝑂2 → 𝐶𝑢2𝑆 + 2𝐹𝑒𝑆 
+ 𝑆𝑂2 
𝐶𝑢2𝑆 + 𝑂2 → 2𝐶𝑢 + 𝑆𝑂2 
 1220 − 1240 [°𝐶] 
 
 
 
 
 
Figura 3.3. Esquema y reacciones en un Horno 
Flash 
 
Para determinar la temperatura del horno con mayor exactitud, deciden recurrir a 
termocuplas de sacrificio, que es literalmente, lanzar una termocupla al horno, que 
registre la temperatura y se destruya. Para validar los datos se realizan réplicas de las 
mediciones: 
 Tabla 3.4. Mediciones de temperatura de termocuplas de sacrificio. 
Temperatura [°C] 1218 1258 1173 1143 
 
a) ¿El horno alcanza la temperatura requerida? 
b) ¿Se puede justificar que la temperatura sea la causal del problema del horno? 
c) Critique, comente cambios u otros estudios para obtener mejores conclusiones. 
 
a) Para determinar si el horno alcanza la temperatura requerida debería conocerse la 
temperatura del horno en todo momento, sin embargo cuentan con el sistema de 
termocuplas de sacrificio que entregan un conjunto de datos (una muestra) y se debe 
obtener una respuesta de tipo poblacional, así que se recurre al intervalo de confianza de 
esta temperatura. 
�̅� = 1198 𝑠 = 50 𝑛 = 4 
Se considera un 95% de confianza: 
𝑡𝛼
2
=0,025;𝜈=3
= 3,182 
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
 
 
 
41 
 
𝐼𝐶 = �̅� ± 𝑡𝛼/2;𝜈
𝑠
√𝑛
= 1198 ± 3,182
50
√4
= [1118 − 1278] 
b) El rango de temperatura de la reacción 1220-1240 pertenece al intervalo de confianza, 
pero hay una gran zona de este que está fuera de la zona de operación. Por lo que es 
bastante seguro que el horno no alcance la temperatura de operación. Como comentario 
para asegurar que se obtiene la temperatura de operación debería resultar un intervalo de 
confianza similar al rango de operación. Sí se puede justificar que la baja en la ley pueda 
deberse a la temperatura dentro del horno. 
c) Buscar una manera más exacta de medir la temperatura dado la gran incertidumbre que 
implica utilizar termocuplas de sacrificio. De igual manera utilizar un método que permita 
obtener más datos y que sea de forma económica. 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
CAPÍTULO 4: Comparación de 2 tratamientos 
 
Comparación de dos tratamientos 
La comparación de dos tratamientos, corresponde a un procedimiento estadístico que 
permite inferir a partir de datos muestrales, si existe un efecto estadísticamente 
significativo en una respuesta de interés, cuando esta se somete a dos tratamientos 
distintos. 
 
La comparación de la media de dos tratamientos (set de datos independientes) se puede 
realizar a través de intervalo de confianza y test de hipótesis 
 
Intervalo de Confianza 
Comparación de intervalos de confianza individuales. Se establece el intervalo de 
confianza de la media para cada set de datos y se comparan. Si estos se solapan significa 
que no existe diferencia significativa entre las medias, por lo que los tratamientos serían 
idénticos y la diferencia observada (promedios obtenidos) se debe a factores aleatorios. 
𝐼𝐶𝑖: 𝜇𝑖 ∈ �̅�𝑖 ± 𝑡𝑖(𝛼
2
,𝜈)
𝑠𝑖
√𝑛𝑖 
 𝑖 = 1,2. 
Intervalo de Confianza de la diferencia de las medias (análisis pareado). En este caso se 
calcula sólo un intervalo de confianza que considera la diferencia de las medias construido 
a partir de la diferencia de los promedios.Δ�̅� = �̅�1 − �̅�2 
 
𝐼𝐶: Δ𝜇 ∈ Δ�̅� ± 𝑡
(
𝛼
2
,𝜈)
𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑√
1
𝑛1
+
1
𝑛2
 
𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑 = √
𝜈1𝑠1
2 + 𝜈2𝑠2
2
𝜈1 + 𝜈2
 
 
Donde el valor de 𝜈 para el cálculo de 𝑡 es considerado como la suma de los grados de 
libertad: 
 𝜈 = 𝜈1 + 𝜈2 
Si 0 pertenece a este intervalo significa que las medias son iguales y no existe diferencia 
significativa entre los tratamientos, por el contrario, si 0 no pertenece, existe diferencia 
significativa y un tratamiento tendrá mayor media que el otro, según el signo de los límites 
del intervalo y como se define la diferencia de los promedios. 
Test de hipótesis de diferencia de las medias 
De manera análoga al intervalo de confianza de un set de datos, este test de hipótesis 
considera la diferencia de las medias: 
 
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
 
 
 
43 
 
 Hipótesis Nula: 𝐻0: 𝜇 = Δ𝜇 
Estadístico 𝑡: 
𝑡 =
Δ�̅� − Δ𝜇 
𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑/√𝑛
 
 
𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑 = √
𝜈1𝑠1
2 + 𝜈2𝑠2
2
𝜈1 + 𝜈2
 
Hipótesis 
Alternativa 
Zona de Rechazo (𝐻0: 𝐹 → 𝐻1: 𝑉) 
𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇 𝑡 > 𝑡(𝛼/2,𝜈) 𝑜 𝑡 < −𝑡(𝛼/2,𝜈) 
𝐻1: 𝜇 > 𝜇 𝑡 > 𝑡(𝛼,𝜈) 
𝐻1: 𝜇 < 𝜇 𝑡 < −𝑡(𝛼,𝜈) 
El valor de 𝜈 para el cálculo de 𝑡 es tomado como la suma de los grados de libertad. 
Test pareado 
El análisis pareado de datos, permite bloquear el efecto de una variable que no está 
siendo objeto de estudio, por ejemplo, cuando se toman dos medidas sobre una misma 
muestra (“antes” y después” de un determinado tratamiento). En este caso, es posible 
bloquear el efecto de la diferencia que hay entre las muestras que están siendo sujetas a 
estudio, lo que permite aislar el efecto que produce el tratamiento en estudio. De esta 
forma, se compara la diferencia de las medidas para cada muestra, lo que implica generar 
un nuevo set de datos que describa esta diferencia: 
Δi = 𝑥
1
𝑖 − 𝑥
2
𝑖 
Donde 𝑥1 y 𝑥2 corresponde al primer y segundo tratamiento aplicado a la muestra 
respectivamente. 
Luego, se aplica test de hipótesis o intervalo de confianza de un estadígrafo a este nuevo 
conjunto de datos. 
 
Test de Varianzas 
En este capítulo se introduce una herramienta estadística que permite determinar si dos 
varianzas poblacionales son significativamente iguales o distintas, tópico aplicado en 
diversos temas posteriores como la falta de ajuste. Este análisis se denomina test de 
varianzas y se utiliza la distribución de Fisher. 
La distribución de Fisher corresponde a una función de densidad de probabilidad de la 
variable F, definida como: 
𝐹 =
𝑠1
2/𝜎1
2
𝑠2
2/𝜎2
2
Lo que permite realizar los siguientes test de hipótesis 
Capítulo 4: Comparación de 2 Tratamientos 
 
 
44 
 
Hipótesis Nula: 𝐻0: 𝜎1
2 = 𝜎2
2 
Estadístico 𝐹0: 
𝐹0 =
𝑠1
2
𝑠2
2 
Hipótesis Alternativa Zona de Rechazo (𝐻0: 𝐹 → 𝐻1: 𝑉) 
𝐻1: 𝜎1
2 ≠ 𝜎2
2 𝐹0 > 𝐹(𝛼/2,𝜈1,𝜈2) 𝑜 𝐹0 < 1/𝐹(𝛼
2
,𝜈2,𝜈1)
 
𝐻1: 𝜎1
2 > 𝜎2
2 𝐹0 > 𝐹(𝛼,𝜈1,𝜈2) 
𝐻1: 𝜎1
2 < 𝜎2
2 𝐹0 < 𝐹(𝛼,𝜈1,𝜈2) 
 
 
(a) (b) (c) 
Figura 5.a. Distribución de referencia para 𝑯𝟎:𝝈𝟏
𝟐 = 𝝈𝟐
𝟐, con región crítica para (a) 𝑯𝟏:𝝈𝟏
𝟐 ≠ 𝝈𝟐
𝟐, 
(b) 𝑯𝟏:𝝈𝟏
𝟐 > 𝝈𝟐
𝟐, (c) 𝑯𝟏:𝝈𝟏
𝟐 < 𝝈𝟐
𝟐. 
El ejercicio 4.6 incluye Test de Varianzas 
 
 
 
 
 
 
 
𝑭 𝜶
𝟐,𝝂𝟏,𝝂𝟐
 
𝜶/𝟐 
𝜶/𝟐 
𝑭
𝟏−
𝜶
𝟐,𝝂𝟏,𝝂𝟐
 𝑭 𝜶,𝝂𝟏,𝝂𝟐 
𝜶 
𝑭 𝜶,𝝂𝟏,𝝂𝟐 
𝜶 
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
 
 
 
45 
 
EJERCICIOS 
4.1.- La Tabla 4.1. muestra el voltaje entregado por dos sistemas de laboratorio 
diferentes de generación alterna. ¿Existe diferencia significativa entre ambos sistemas?, 
fundamente. Realice análisis mediante intervalo de confianza e hipótesis nula de dos 
tratamientos. 
Tabla 4.1. Voltaje entregado por dos sistemas de laboratorio 
Voltaje A [V] 4,9 2,6 -1,2 9,2 8,1 6,9 12,3 0,0 8,5 5,2 
Voltaje B [V] 9,2 5,6 5,5 0,3 12,6 4,8 0,8 14,9 4,2 1,7 
 
Se calculan los estadígrafos para cada conjunto de datos 
 A B 
Promedio 5,56 5,96 
Desviación estándar 4,23 4,90 
tamaño 10 10 
 
i) Mediante intervalo de confianza: 
∆�̅� = �̅�𝐴 − �̅�𝐵 = −0,31 
 
𝐼𝐶 = ∆�̅� ± 𝑡
(
𝛼
2
,𝜐)
∙ 𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑√
1
𝑛𝐴
+
1
𝑛𝐵
 
 
𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑 = √
𝑠𝐴
2𝜐𝐴 + 𝑠𝐵
2𝜐𝐵
𝜐𝐴 + 𝜐𝐵
= √
4,232 ∙ 9 + 4,902 ∙ 9
9 + 9
= 4,58 
 
𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑√
1
𝑛𝐴
+
1
𝑛𝐵
= 4,58√
1
10
+
1
10
= 2,04 
 
𝑡
(
𝛼
2
,𝜐)
= 𝑡(0,025;18) = 2,10 
 
→ 𝐼𝐶 = −0,31 ± 2,10 ∙ 2,04 = {−4,59; 3,97} 
0 ∈ 𝐼𝐶 
 
En intervalo de confianza pasa por cero, por lo que con un 95% de confianza se asegura 
que entre ambos procedimientos no existe diferencia significativa. 
 
 
 
Capítulo 4: Comparación de 2 Tratamientos 
 
 
46 
 
ii) Mediante Hipótesis nula: 
𝐻0: ∆ 𝜇 = 𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 = 0 
𝐻1: ∆ 𝜇 ≠ 0 
 
𝑡 =
∆�̅� − ∆𝜇
𝑆𝐸
=
∆�̅� − ∆𝜇
𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑√
1
𝑛𝐴
+
1
𝑛𝐵
=
−0,31 − 0
4,58√
1
10+
1
10
= 0,15 
 
𝑡
(
𝛼
2
,𝜐)
= 𝑡(0,025;18) = 2,10 
 
Se realiza el siguiente análisis: 
¿𝑡 ∈ [−𝑡(0,025;18), 𝑡(0,025;18)]? 
−2,01 < 𝑡 = 0,15 < 2,01 
 
𝐻0 𝑒𝑠 𝑉, por lo tanto con un 95% de confianza se asegura que entre ambos 
procedimientos no existe diferencia significativa. 
 
4.2.- Para la producción de jabón se lleva a cabo la siguiente reacción química de 
saponificación: 
𝑹𝑪𝑶𝑶𝑹´+𝑵𝒂𝑶𝑯 → 𝑵𝒂𝑶𝑶𝑪𝑹+ 𝑹´𝑶𝑯 
Una planta desea implementar un nuevo sistema de adición de solución acuosa de 
NaOH 20%p/p reemplazando el sistema actual de agregar pastillas sólidas y agua, con el 
fin de mejorar el rendimiento de la producción. Se realiza un estudio donde se 
recolectan los siguientes datos: 
Tabla 4.2. Conversión de reacción de saponificación con dos métodos. 
Método Conversión [%] 
Pastillas 56,5 60,6 64,9 63,1 61,8 62,1 66,5 65,9 69,3 68,5 74,1 70,5 72,7 78,1 77,7 82,5 
Solución 58,3 59,7 62,0 63,0 65,9 66,7 69,5 70,9 72,5 73,4 74,8 76 77,8 79,5 82,6 
 
 
¿Existe beneficio significativo al reemplazar el sistema de suministro de NaOH al 
proceso? 
 Pastillas Solución 
�̅� 68,43 70,17 
𝑠 7,17 7,42 
𝑛 16 15 
𝜈 15 14 
 
Ejercicios Resueltos de Análisis y Diseño de Experimentos Industriales 
 
 
 
47 
 
𝐼𝐶 = ∆�̅� ± 𝑡
(
𝛼
2
,𝜐)
∙ 𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑√
1
𝑛𝐴
+
1
𝑛𝐵
 
∆�̅� = 70,17− 68,43 = 1,75 
 
𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑 = √
7,172 ∙ 15 + 7,422 ∙ 14
15 + 14
= 7,29 
𝑡 (𝜐 = 29,
𝛼
2
= 0,025) = 2,045 
𝐼𝐶 = 1,75 ± 2,045 ∙ 7,29√
1
15
+
1
16
= [−3,61; 7,11] 
Como el 0 pertenece al intervalo de confianza no existe diferencia significativa entre los 
métodos y no hay beneficio significativo al reemplazar el sistema de suministro de NaOH 
4.3.-El proceso de cracking del petróleo se realiza ayudado por catalizadores, 
principalmente por alúmina (Al2O3), la cual está en forma de gránulos. En la tabla se 
muestra la producción de naftas (gasolina) producto del cracking de una refinería en los 
últimos 6 meses del 2012. A comienzos del 2013 se implementa un catalizador de mayor 
tamaño de partícula (que resulta ser más económico), al finalizar el mes de Enero 
evalúan si este cambio produjo una mejora. 
 
Tabla 4.3. Producción semanal de nafta en refinería de petróleo 
Año 2012 2013 
Mes Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Enero 
Toneladas 
semanales 
35 36 36 36 34 35 33 
32 32 32 35 32 33 36 
35 35 34 33 34 32 35 
34 36 34 34 32 34 34 
Analice si existe diferencia significativa utilizando Test de Hipótesis. En base al análisis, 
¿con cuál catalizador se quedaría? 
 
Para plantear el test de hipótesis deben conocerse los estadígrafos de cada conjunto de 
datos 
 Catalizador 1 (antiguo) Catalizador 2 (nuevo) 
�̅� 34,0 34,8 
𝑠 1,43 1,26 
𝑛 24 4 
𝜈 23 3 
Capítulo 4: Comparación de 2 Tratamientos 
 
 
48 
 
El test de hipótesis que se plantea busca determinar si el catalizador nuevo obtiene 
mejores resultados que el antiguo: 
𝐻0: ∆ 𝜇 = 𝜇1 − 𝜇2 = 0 
𝐻1: ∆ 𝜇 > 0 
 
𝑡 =
∆�̅� − ∆𝜇
𝑆𝐸
=
∆�̅� − ∆𝜇
𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑√
1
𝑛𝐴
+
1
𝑛𝐵
=
−0,8 − 0
1,41√
1
23+
1
3
= 1,02