PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA-60

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F 22- Se da un sistema de cónicas que pasan por cuatro puntos A, B, C y D. Demostrar que el rayo
conjugado armónico de AC con relación a AB y AD, corta a las cónicas y a la tangente en C,
formando una involución.
Solución
G A H E F
B D
C
G A H E F
B D
C
Sea AE el conjugado armónico de AC con relación a AB y AD. Sea CF la tangente en C. Siendo H
el punto en que AE corta a la cónica, se tiene A, BDCH  C, BDCH  −1. Por tanto,
cortando por AE se tiene GEFH  −1, por lo que F y H son conjugados en una involución, en la
que G y E son dos puntos dobles.
F 23- Dibujar una cónica de la que se conoce un punto A y las polares m y n de dos puntos dados B y
C, respectivamente.
Solución:
B
D B’
C’
E A C
n
m
B
D B’
C’
E A C
n
m
En la recta AB se encuentra un nuevo punto de la cónica, que será el conjugado de A con relación a
BD (D es la intersección de AB con m, polar de B). Siendo E la intersección de AC con n, polar de
C, habrá un nuevo punto en la cónica, que será el conjugado armónico de A con relación a EC. La
recta BC, en sus intersecciones con m y n, da los puntos B′ y C ′. Por tanto, los puntos en que BC
corta a la cónica, son conjugados armónicos con relación a BB′ y CC ′, luego serán los puntos
dobles de la involución determinada por BB′ y CC ′.
F 24- Hallar el punto de contacto de la recta t, tangente a una cónica, de la que se conocen cuatro
puntos A, B, C y D (t no pasa por ninguno de estos cuatro puntos).
Solución:
A
B
CD
a
c
b
r
t
m
n’
b’
c’
a’
m’
n
A
B
CD
a
c
b
r
t
m
n’
b’
c’
a’
m’
n
Aplicando el teorema de Desargues a una transversal que corta a los lados opuestos de un
cuadrilátero inscrito en una cónica, en los puntos a, a ′, b y b ′, y a la cónica en c y c ′, se tiene:
A, cDc ′B  C, cDc ′B  cac ′b ′  cbc ′a ′  c ′a ′cb. Por tanto, los pares de puntos aa ′,
bb ′ y cc ′, forman una involución. Al ser la transversal una tangente, los puntos c y c ′ se confunden,
y son los puntos dobles de la involución. Por tanto, en la tangente t, los puntos dobles de la
involución determinada por mm ′ y nn ′, son los puntos de tangencia.
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F 25- Dados dos círculos, uno interior al otro, hallar el lugar geométrico de los centros de los círculos
tangentes a aquellos.
Solución:
C
O1
O2 C
O1
O2
Sean O1 y O2 los círculos dados (O2 interior al O1), de radios r1 y r2, y sea C el círculo de radio
R, tangente a aquellos. Se tiene: O2C  R  r2, O1C  r1 − R. Luego O2C  O1C  r1  r2. Por
tanto, C describe una elipse de focos O1 y O2, midiendo su eje mayor r1  r2.
Nota: Ver el problema F 47, para el caso en que O1 y O2 son exteriores entre sí.
F 26- Se conoce un círculo focal de una elipse y una de sus tangentes. Hallar el lugar geométrico del
otro foco.
Solución:
t
F1
F2F’2
M
N
t
F1
F2F’2
M
N
Sea F1 el círculo focal y t la tangente, que corta a F1 en M y N. Siendo F2 el segundo foco, su
simétrico F2′ respecto a t, se encuentra en el círculo F1. Luego F2 está en el arco MF2N, simétrico
del MF2′ N respecto a t. El lugar geométrico de F2 es dicho arco MF2N.
F 27- Determinar el eje y el centro de una elipse de la que se conocen sus focos F1 y F2, y un punto P
de ella.
Solución: Siendo F1P  F2P  2a, se conoce el eje y su centro O.
F 28- Hallar el lugar geométrico de los centros O de las elipses que tienen un foco común conocido F,
y son tangentes a dos rectas dadas t1 y t2.
Solución:
F
F’
F’’
m
t1
t2
F
F’
F’’
m
t1
t2
Se proyecta F sobre t1 y t2, obteniéndose F′ y F′′. La mediatriz m de F′F′′ es el lugar geométrico
de O.
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F 29- Demostrar que un punto P de un segmento AB de longitud constante, cuyos extremos se deslizan
sobre dos rectas perpendiculares, describe una elipse.
Solución:
Y
B
O
P
C
P’
A
r
X
Y
B
O
P
C
P’
A
r
X
Sean OX y OY las rectas perpendiculares. Se traza por O la paralela r a AB. Sea P′ el punto en que
la perpendicular PC a OX corta a r. Los triángulos PAC y P′OC son semejantes, luego
CP
CP′
 PA
P′O
. Por tanto P describe la elipse afín a la circunferencia de centro O y radio OP′, y
cuyos ejes son OP′  BP y PA.
F 30- Un conjunto de elipses tienen el foco F común, son tangentes a la recta t, y su eje mayor tiene el
mismo tamaño 2a. Hallar el lugar geométrico de su centro O.
Solución:
F
F’
t
F
F’
t
Sea F′ la proyección de F sobre t. El centro O estará sobre la circunferencia de centro F′ y radio a
(hay que tener en cuenta que OF  OF′).
F 31- Demostrar que los cuatro radios vectores que unen los focos F1 y F2 de una elipse con dos de
sus puntos A y B, son tangentes a un mismo círculo.
Solución
t1
T
A
B
F1 F2
t2
t1
T
A
B
F1 F2
t2
Sean t1 y t2 las tangentes en A y B, que se cortan en T. La recta TF1 es bisectriz de ATB, por lo que
T equidista de F1A y F1B. También equidista de F2A y F2B. Por tanto, un círculo de centro T,
tangente a uno cualquiera de los radios vectores, lo será también a los otros tres (ver F 57).
F 32- Se dan dos elipses iguales. Una es fija, siendo sus focos F1 y F2. La segunda es móvil,
moviéndose rodando sobre la fija. Hallar el lugar geométrico de F1′ y F2′ , focos de la móvil.
Solución: En cualquier posición, F1′ es simétrico de F1 en relación a la tangente común. Como
también F2′ lo es de F2. Luego el lugar geométrico de F1′ es el círculo focal correspondiente a F1, y
el de F2′ el correspondiente a F2.
F 33- Se da una circunferencia de diámetro AB. Se trazan las tangentes en A y B. La tangente en un
punto móvil P de la circunferencia, corta en C y D a las tangentes en A y B. Hallar el lugar
geométrico de M, intersección de AD y CB.
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