PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA-57

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1º) Sean W y W ′ los centros isodinámicos del ABC, que son inversos de sus centros isógonos U y
U ′. Se sabe que BWCW 
BA
CA 
BW ′
CW ′
, luego W y W ′ pertenecen al círculo (círculo de Apolonio)
que tiene por diámetro la distancia Iaia entre los pies de las bisectrices interior y exterior del
ángulo opuesto, y que corta ortogonalmente al círculo circunscrito al ABC. Luego los tres círculos
de Apolonio se cortan en los centros isodinámicos W y W ′, y sus centros están sobre la polar de K,
punto de Lemoine. Los ejes radicales de los círculos de Apolonio respecto al círculo circunscrito,
son las polares de sus centros con relación al círculo circunscrito al ABC, que son las simedianas
AK, BK y CK, es decir que son simétricos de las medianas respecto de las bisectrices interiores. 2º)
El radio del círculo de Apolonio AIaia es Iaia2 . Ahora bien, de
BIa
BA 
CIa
CA y de
Bia
BA 
Cia
CA , se
tiene BIa  acb  c , Bia 
ac
b − c . Suponiendo a  b  c (BC  a, CA  b, AB  c),
Iaia  ac 1b  c 
1
b − c 
2abc
b2 − c2
, y el inverso del radio es b
2 − c2
abc . Por tanto, sustituyendo
este valor y sus análogos, en la expresión 2Ibib
 2Iaia
 2Icic
, se tiene
a2 − c2
abc 
b2 − c2
abc 
a2 − b2
abc , luego el inverso del radio del círculo de Apolonio relativo al lado
mediano, es igual a la suma de los inversos de los otros dos radios.
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Sección F - CÓNICAS
F 1- Construir una cónica conociendo el círculo principal y dos tangentes.
Solución:
M
A F
M’
O
B
B’
N
N’
F’ A’
M
A F
M’
O
B
B’
N
N’
F’ A’
Sean M, N, M ′ y N ′, los puntos en los que las tangentes cortan al círculo principal. Las
perpendiculares por estos puntos a las tangentes, se cortan en los focos F y F′, siendo FF′  2c. La
recta FF′ corta al círculo principal en los vértices A y A′, siendo AA′  2a, el eje mayor. Con
centro en F y radio a, se corta a la mediatriz de FF′ en B y B′, siendo BB′  2b, el eje menor. Si
a  c, la cónica es una elipse; si a  c, la cónica es una hipérbola.
F 2- Construir una cónica conociendo el centro O, dos puntos P1 y P2, y la tangente t en P1.
Solución:
N
V
O
b
m’
m
U
M
a
t
n’
n
P1
P2
N
V
O
b
m’
m
U
M
a
t
n’
n
P1
P2
Se traza por O la recta n ′ que pasa por el punto medio de P1P2. El diámetro conjugado de n ′ es m ′,
paralela a P1P2 trazada por O. El conjugado del diámetro m  OP1, es n, paralela a t trazada por
O. Los ejes de la cónica son los rayos dobles de la involución formada por los dos pares de
diámetros conjugados dibujados. Uniendo el punto de Frégier de la involución con O, se obtiene en
posición un eje, siendo el otro su perpendicular por O. Para determinar la magnitud de los ejes, se
proyecta P1 sobre los ejes en U y V, y como M y N (puntos de corte de t con los ejes) son los
respectivos polos de P1U y P1V, se tiene que OA2  OU  OM y OB2  OV  ON, de donde se
obtienen las magnitudes de los semiejes, a  OU  OM y b  OV  ON .
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