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F 3- Construir una parábola conociendo el eje E, una tangente t, y el parámetro p (distancia del foco a la directriz). Solución: M t N O V F M’ P E M t N O V F M’ P E La subnormal de una parábola, es constante e igual a p, por lo que el triángulo MM ′P se puede construir, pues M ′P p, y el ángulo MPM ′ es conocido, pues MP es perpendicular a t, y MM ′ lo es al eje E. Se traza una paralela a E a la distancia MM ′, que corta a t en el punto de tangencia M. Siendo N la intersección de E y t, el foco F es el punto medio de NP. El vértice V corresponde a la distancia VF p2 , y la directriz es la perpendicular a E trazada por O, siendo FO p. F 4- Construir una parábola conociendo tres tangentes y el punto de contacto de una de ellas. Solución: Sea T el punto de contacto de la tangente t1. Se trazan dos círculos que pasando por T sean tangentes cada uno de ellos, a una de las otras dos tangentes. El segundo punto de intersección de estos círculos, es el foco de la parábola. F 5- Determinar analítica y gráficamente el lugar geométrico de los vértices de los ángulos rectos circunscritos a una cónica. Solución: M F M’ P F1 F2 P F1 F2 F F’ T T’ M F M’ P F1 F2 P F1 F2 F F’ T T’ a) Elipse: La ecuación x12 − a2m2 − 2x1y1m y12 − b2 0, da los coeficientes angulares de las tangentes trazadas desde un punto a una elipse. Debe cumplirse que y1 2 − b2 x12 − a2 −1. Luego el lugar pedido es la circunferencia x2 y2 a2 b2. En la figura de la izquierda sean PT y PT ′ las tangentes perpendiculares entre sí, trazadas desde P, siendo T y T ′ los puntos de tangencia. Los simétricos del foco F respecto a las dos tangentes, son F1 y F2. El ángulo F1FF2 es recto y está inscrito en una circunferencia de centro P, cuyo diámetro es F1F2. El lugar geométrico de P es el descrito por el punto medio de la cuerda F1F2 en la circunferencia focal, según un ángulo recto que gira alrededor del punto fijo F. Como PF2 PF′2 PF12 PF′2 PF22 PF2 F′F12 4a2, es constante, el lugar pedido es una circunferencia concéntrica con la elipse y cuyo radio es a2 b2 . Esta circunferencia se denomina ortóptica o de Monge. b) Hipérbola: Los razonamientos son similares, siendo la ecuación de los coeficientes angulares x12 − a2m2 − 2x1y1m y12 b2 0, y la ecuación del lugar es x2 y2 a2 − b2, siendo el radio de esta circunferencia a2 − b2 . Si la hipérbola es equilátera, a b, y la circunferencia degenera en un punto. c) Parábola; La ecuación 172 de los coeficientes angulares de las tangentes, es 2x1m2 − 2y1m p 0 .Luego el lugar pedido es la recta x −p2 , es decir, la directriz. En la figura de la derecha, sean PM y PM ′, las tangentes perpendiculares entre sí, trazadas desde P. Las rectas que unen el foco F con sus simétricos F1 y F2 respecto a las dos tangentes, son perpendiculares. Luego F1 y F2 tienen que ser extremos de un diámetro de la circunferencia de centro P. Como F1 y F2 están en la directriz, los vértices P del ángulo lo están también. Luego el lugar pedido es la directriz (corresponde al círculo ortóptico cuando su centro es impropio). F 6- Se da la elipse x 2 a2 y 2 b2 1. La tangente en un punto M de la misma, corta a OX y OY en y . La normal en M, los corta en ′ y ′. Sea P la parábola tangente en O a OX, y tangente además a las paralelas a la tangente y a la normal trazadas, respectivamente, por y ′. Sea P′ la parábola análogamente obtenida, reemplazando OX por OY. Demostrar que las parábolas P y P′ son homofocales y coaxiales, y construir geométricamente el eje y foco comunes. Solución: ⋅ X Y O M Fe αα’ β β’ ⋅ X Y O M Fe αα’ β β’ El foco común de las parábolas P y P′ es el punto de intersección F de las circunferencias circunscritas a los triángulos O y O ′ ′, de acuerdo con la construcción del foco de una parábola de la que se conocen tres tangentes y el punto de contacto de una de ellas. La dirección común del eje de estas parábolas es la simétrica de la recta OF respecto a OX, o bien respecto a OY. F 7- Demostrar que si una parábola es conjugada respecto a un triángulo, el foco de la parábola está situado sobre el círculo de los nueve puntos y la directriz pasa por el centro del círculo circunscrito. Solución: A B Ca bc A B Ca bc Se considera una parábola conjugada respecto al triángulo ABC. Sea abc el triángulo mediano del ABC. Puesto que BC es la polar de A, bc es tangente a la parábola, y lo mismo para ca y ab. Luego la parábola está inscrita en el triángulo abc. Por tanto su foco está sobre el círculo circunscrito al abc, que es el círculo de los nueve puntos del ABC. La directriz pasa por el ortocentro del abc, que es el circuncentro del ABC. 173 F 8- Se da un cono cuya base es una elipse, siendo uno de sus focos el pie de la altura del cono. Hallar gráficamente el foco y la directriz de la proyección sobre la base de una sección plana cualquiera. Encontrar la condición para que esta sección sea un círculo. Estudiar el caso en el que el cono es de revolución y su base una circunferencia. Solución: V F L E V F L E Si dos figuras perspectivas se proyectan desde un punto P sobre un plano, sus proyecciones son homológicas en una homología de centro la proyección del centro perspectivo y eje la proyección de la recta intersección de los planos de las dos figuras. Luego si P es el punto impropio de la dirección FV, F será el centro, E el eje, y L la recta límite. Al ser F centro de homología y foco de la cónica base, al considerar la involución rectangular, será foco de la cónica proyección. Su directriz será la homológica de la directriz de la cónica base, al conservarse polo y polar. Cuando la recta límite coincide con la directriz de la cónica base, la proyección es un círculo, es decir cuando la sección es paralela al plano determinado por dicha directriz y V. En el caso de ser un cono de revolución, el centro de la base seguirá siendo el foco, y la directriz la intersección del plano de la base con el plano paralelo por V al plano de la sección, es decir, la recta límite de la homología. F 9- Hallar un punto M tal que la suma de sus distancias a tres puntos dados A, B y C, sea mínima. Solución: A B C M x y z A B C M x y z Si se deja MC z k, constante, el máximo o mínimo será el de la función MA MB. Para hallarlo, se aplica el teorema de Rolle, de la siguiente forma. La elipse x y k ′ (constante) corta a la circunferencia z k en dos puntos, entre los que está el mínimo buscado, y este se halla cuando elipse y circunferencia sean tangentes, es decir cuando CM es la bisectriz del ángulo AMB. Análogamente, BM será la bisectriz de AMC, y AM la de BMC. Por tanto, M es el punto de intersección de los arcos capaces de 120º levantados sobre AB, BC y CA. F 10- Se dan tres puntos alineados O, C y D, y dos puntos M y M ′ variables, simétricos respecto a O. Las rectas MC y M ′D se cortan en I. La paralela a MM ′ trazada por I, corta a OC en E. 1º) Comparar los cocientes ECED y OC OD , deducir que E es fijo y que los cocientes DI DM ′ y CICM son constantes. 2º) Seguidamente se consideran tres puntos fijos alineados OAB, estando A entre O y B, de forma que OA 2a, AB 3a, y se considera el círculo de centro O y radio 6a. Demostrar que cuando M describe , el eje radical de y del círculo circunscrito al triángulo OAM, pasa por un punto fijo A′ que se definirá. 3º) Sean M y M ′ dos puntos diametralmente opuestos de . Los ejes radicales de y , y de y del círculo circunscrito al triángulo OM ′B, se cortan en P. Hallar el lugar geométrico de P cuando M y M ′ describen el círculo . 4º) Hallar el lugar geométrico del punto medio de PM, y demostrar que la mediatriz de PM es tangente a una hipérbola de la que se precisarán sus elementos geométricos, y se construirá el punto de tangencia de la mediatriz y la hipérbola. 174
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