Semana 6 1 ESPACIOS VECTORIALES

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ESPACIOS VECTORIALES
SUBESPACIOS VECTORIALES – COMBINACIÓN LINEAL
ESPACIO VECTORIAL 
I. Axiomas con respecto a la suma “+”:
1) Ley de cierre u operación interna “+”: ∀ 𝒙 , 𝒚 ∈ 𝑽: 𝒙 + 𝒚 ∈ 𝑽
3) Asociativa: ∀ 𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ 𝑽 ∶ ( 𝒙 + 𝒚 ) + 𝒛 = 𝒙 + ( 𝒚 + 𝒛 )
4) Elemento Neutro: ∃ 𝟎 ∈ 𝑽 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒙 + 𝟎 = 𝟎 + 𝒙 = 𝒙 ; ∀𝒙 ∈ 𝑽.
5) Elemento Inverso: ∀ 𝒙 ∈ 𝑽, ∃ − 𝒙 ∈ 𝑽 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 − 𝒙 + 𝒙 = 𝒙 + −𝒙 = 𝟎
2) Conmutativa: ∀ 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑽 ∶ 𝒙 + 𝒚 = 𝒚 + 𝒙
Un espacio vectorial, es un conjunto 𝑉 diferente del vacio, en el que se definen
dos operaciones: una interna (suma “+”) entre sus elementos y otra operación
externa (producto por un escalar “ ∙”) definida entre sus elementos y los
elementos del cuerpo ℝ; para las cuales debe cumplir 10 axiomas. Estas son
II. Axiomas con respecto al producto por un escalar:
6) Ley de cierre o operación externa
∀ 𝒙 ∈ 𝑽, ∀ 𝜶 ∈ ℝ ∶ 𝜶 ⋅ 𝒙 ∈ 𝑽
9) Seudo-asociativa: ∀𝒙 ∈ 𝑽 , ∀𝜶, 𝜷 ∈ ℝ , 𝜶 ∙ (𝜷 ∙ 𝒙) = (𝜶 . 𝜷) ∙ 𝒙
7 y 8) Distributiva con respecto al producto escalar
𝜶 ∙ (𝒙 + 𝒚) = 𝜶 ∙ 𝒙 + 𝜶 ∙ 𝒚
∀ 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑽, ∀𝜶, 𝜷 ∈ ℝ ∶
(𝜶 + 𝜷) ∙ 𝒙 = 𝜶 ∙ 𝒙 + 𝜷 ∙ 𝒙
10) El elemento neutro: ∀ 𝑥 ∈ 𝑉, 𝟏 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ∙ 𝟏 = 𝟏 ∙ 𝑥 = 𝑥
Demostrar que ℝ2 es un espacio vectorial real con las
operaciones “+” y “∙”, suma de vectores y multiplicación
por un escalar en ℝ2, definidos por :
• (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ; ∀ (a, b) , (c, d) ∈ ℝ2
• k ∙ (a, b) = (ka, kb) ; ∀ k ∈ ℝ, ∀ (a, b) ∈ ℝ2
Resolucion: Necesitamos verificar el cumplimiento de las 10
propiedades indicadas en la definición.
Ejemplo 1:
• Por la definición de “+” y “∙” se comprueba la veracidad de 
los axiomas (1) y (6).
• Por la definición de “+” y “∙” se comprueba la veracidad de los axiomas (1) y (6).
• Para todo a, b y (𝑐, 𝑑) ∈ ℝ2 tenemos: 
a, b + 𝑐, 𝑑 = 𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑 = 𝑐 + 𝑎, 𝑑 + 𝑏 = 𝑐, 𝑑 + (𝑎, 𝑏)
comprobando la propiedad (2).
• Para todo a, b , 𝑐, 𝑑 𝑦 𝑒, 𝑓 ∈ ℝ2 tenemos: 
a, b + 𝑐, 𝑑 + 𝑒, 𝑓 = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) + 𝑒, 𝑓 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑒, 𝑏 + 𝑑 + 𝑓
= 𝑎 + 𝑐 + 𝑒 , 𝑏 + 𝑑 + 𝑓 = 𝑎, 𝑏 + 𝑐 + 𝑒, 𝑑 + 𝑓 = 𝑎, 𝑏 + 𝑐, 𝑑 + 𝑒, 𝑓
comprobando el axioma (3).
• Podemos comprobar fácilmente que 0,0 ∈ ℝ2 cumple
𝑎, 𝑏 + 0,0 = 𝑎 + 0, 𝑏 + 0 = (𝑎, 𝑏) para todo 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ2. Con esto 
demostramos la existencia del elemento neutro con respecto a la suma (axioma 
(4)).
• Para cada 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ2 existe −𝑎, −𝑏 ∈ ℝ2 que cumple
𝑎, 𝑏 + −𝑎, −𝑏 = 𝑎 + −𝑎 , 𝑏 + −𝑏 = 0,0
comprobando el axioma (5). 
• Para todo 𝑎, 𝑏 , 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ2 y para todo 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ podemos comprobar que
𝛼 ∙ 𝑎, 𝑏 + 𝑐, 𝑑 = 𝛼 ∙ 𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑 = 𝛼 𝑎 + 𝑐 , 𝛼 𝑏 + 𝑑 =
𝛼𝑎 + 𝛼𝑐, 𝛼𝑏 + 𝛼𝑑 = 𝛼𝑎, 𝛼𝑏 + 𝛼𝑐, 𝛼𝑑 = 𝛼 𝑎, 𝑏 + 𝛼 𝑐, 𝑑
 𝛼 + 𝛽 ∙ 𝑎, 𝑏 = 𝛼 + 𝛽 𝑎 , 𝛼 + 𝛽 𝑏 = 𝛼𝑎 + 𝛽𝑎, 𝛼𝑏 + 𝛽𝑏 =
𝛼𝑎, 𝛼𝑏 + 𝛽𝑎, 𝛽𝑏 = 𝛼 𝑎, 𝑏 + 𝛽 𝑎, 𝑏
Comprobando los axiomas (7) y (8). 
• Para todo 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ2 y 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ podemos comprobar que 
𝛼 ∙ 𝛽 ∙ 𝑎, 𝑏 = 𝛼 ∙ 𝛽𝑎, 𝛽𝑏 = 𝛼𝛽𝑎, 𝛼𝛽𝑏 = 𝛼𝛽 𝑎, 𝛼𝛽 𝑏 = 𝛼𝛽 𝑎, 𝑏
comprobando el axioma (9).
• Podemos verificar que para 1 ∈ ℝ se cumple
1 ∙ 𝑎, 𝑏 = 1𝑎, 1𝑏 = (𝑎, 𝑏)
para todo 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. Demostrando el cumplimiento del axioma (10).
Por lo tanto ℝ2 es un espacio vectorial real con las operaciones de
suma de vectores y multiplicación por un escalar.
Ejemplo 2:
Demostrar si el conjunto V de las matrices 2 × 2 con términos enteros
𝑉 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ es o no espacio vectorial real, con las
operaciones de suma de matrices y multiplicación por un escalar.
Resolución:
En este problema podemos darnos cuenta de que no cumple la propiedad
(6), para justificar usamos un ejemplo, llamado “contraejemplo”.
Contraejemplo:
Sea 
1 6
9 12
∈ 𝑉 y 
1
3
∈ ℝ. Esta claro que 
1
3
1 6
9 12
=
1
3
6
3
9
3
12
3
∉ 𝑉 ya que 
1
3
∉ ℤ.
Por lo tanto, 𝑉 no es un espacio vectorial real.
Demostrar si el conjunto es o no espacio vectorial real.
𝐴 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 / 𝑥 + 𝑦 = 1 con las operaciones en ℝ2
Ejemplo 3:
Resolución:
En este problema podemos darnos cuenta que no cumple la
propiedad (1), para justificar usamos un ejemplo, llamado
“contraejemplo”.
Contraejemplo:
Sea 0.2,0.8 , 0.8,0.2 ∈ 𝐴. Es fácil verificar que
0.2,0.8 + 0.8,0.2 = 1,1 ∉ 𝐴 ya que 1 + 1 ≠ 1
Por lo tanto, 𝐴 no es un espacio vectorial real.
Demostrar si el conjunto es o no espacio vectorial.
𝐷 = 𝑡, 3𝑡, 𝑒𝑡 ∈ ℝ3 / 𝑡 ∈ ℝ con las operaciones usuales en ℝ3
Ejemplo 4:
Resolución:
En este problema podemos darnos cuenta que no cumple la propiedad (4).
Recordar que el axioma (4) nos indica la existencia de un elemento neutro. 
Como 𝐷 es un subconjunto de ℝ3, el elemento neutro debe ser 0,0,0 . Es 
fácil comprobar que 0,0,0 ∉ 𝐷 ya que 𝑒𝑡 > 0 para todo 𝑡 ∈ ℝ.
Por lo tanto, 𝐷 no es un espacio vectorial real.
Ejemplos de espacio vectorial real
ℝ𝑛, el espacio vectorial de todos los n-vectores con componentes 
reales.
𝑴𝒎𝒏, el espacio vectorial de todas las matrices de 𝑛 × 𝑚
𝑭 𝒂, 𝒃 , el espacio vectorial de todas las funciones con valores 
reales, definidas en el intervalo [𝑎, 𝑏]
𝑭 −∞, ∞ , el espacio vectorial de todas las funciones con valores 
reales, definidas para todos los números reales.
𝑷𝒏, el espacio vectorial de todos los polinomios de grado ≤ 𝑛
junto con el polinomio cero. 
SUBESPACIOS VECTORIALES
Sea V un espacio vectorial real y el conjunto no vacío 𝑆 ⊂ 𝑉, Si S es un
espacio vectorial sobre el mismo, con respecto a las operaciones definidas en
V ( adición y multiplicación por un escalar) entonces diremos que S es un
subespacio vectorial real de V.
Corolario(Caracterización): S es un subespacio vectorial de V si y solo si
Teorema: Sea S un conjunto no vacío contenido en V. S es un subespacio
vectorial de V si y solo si
ቊ
𝑠𝑖 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑆
𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℝ ⇒ 𝑘 ⋅ 𝑥 ∈ 𝑆
S𝑖 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℝ ⇒ 𝑘 ⋅ 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑆
Nota: En la práctica para demostrar que un conjunto «S» no es un
subespacio vectorial del espacio vectorial «V», basta con comprobar que al
menos una de las tres condiciones se cumple.
1) 0 ∉ 𝑆
2) ∃𝑥0, 𝑦0 ∈ 𝑆: 𝑥0 + 𝑦0 ∉ 𝑆
3) ∃ 𝑥0 ∈ 𝑆, ∃ 𝑘0 ∈ ℝ ∶ 𝑘0 ⋅ 𝑥0 ∉ 𝑆
Ejemplo 1:
El conjunto de los números enteros no tiene estructura de espacio vectorial con las
operaciones habituales de suma y producto por un escalar real, ya que no siempre
al multiplicar un número entero con un número real resulta un número entero. Es
decir,
(0,3)1 = 0,3
escalar entero no entero
Ejemplo 2:
Analice si el conjunto A es o no un subespacio vectorial de ℝ2
𝐴 = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅2, 𝑦 + 𝑥 = 3
Resolución:
El 0,0 debe pertenecer al conjunto 𝐴 si es que es un subespacio
vectorial.
Observemos que 0,0 ∉ 𝐴 ya que 0 + 0 ≠ 3.
Por lo tanto, 𝐴 no es un subespacio vectorial de ℝ2.
Sea V un subconjunto de ℝ2, Analice si V es un subespacio 
vectorial de ℝ2 .
Ejemplo 3: 
𝑉 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2: 𝑥 + 𝑦 = 0}
Resolución: El 0,0 debe pertenecer al conjunto 𝑉 si es que es un
subespacio vectorial. En efecto
• Tenemos que 0,0 ∈ 𝑉 ya que 0 + 0 = 0. Por lo tanto, 𝑉 es distinto de vacío. 
• Sean 𝑎, 𝑏 , (𝑐, 𝑑) ∈ 𝑉 y 𝛼 ∈ ℝ. Entonces 𝑎 + 𝑏 = 0 y 𝑐 + 𝑑 = 0. 
Observemos que 
𝛼 𝑎, 𝑏 + 𝑐, 𝑑 = 𝛼𝑎 + 𝑐, 𝛼𝑏 + 𝑑 ∈ 𝑉 ya que
𝛼𝑎 + 𝑐 + 𝛼𝑏 + 𝑑 = 𝛼 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 0 + 0 = 0
Por corolario tenemos que 𝑉 es un subespacio vectorial de ℝ2.
COMBINACIÓN LINEAL
Sean 𝑉 un espacio vectorial real y 𝑣 ∈ 𝑉.
Sea 𝐴 = {𝑣1, 𝑣2, … 𝑣𝑛} ⊂ 𝑉. Decimos que 𝑣 es combinación lineal del
conjunto de vectores de 𝐴 si existen 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 ∈ ℝ tal que:
𝑣 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝛼𝑖𝑣𝑖 = 𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛
Ejemplo 1:
Sean 𝑣1 = −3,0,1 y 𝑣2 = −1,2,3 vectores en ℝ3. Determinar si 𝑣 = 1,4,5
es combinación lineal de 𝑣1 𝑦 𝑣2.
Resolución:
Debemos demostrar la existencia de 𝛼1 y 𝛼2 ∈ ℝ tal que:
𝑣 = 1,4,5 = 𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 = 𝛼1 −3,0,1 + 𝛼2 −1,2,3
1,4,5 = −3𝛼1 − 𝛼2, 2𝛼2, 𝛼1 + 3𝛼2
Podemos expresarlo como un sistema de ecuaciones
ቐ
1 = −3𝛼1 − 𝛼24 = 2𝛼2
5 = 𝛼1 + 3𝛼2
Resolviendo el sistema tenemos que 𝛼1 = −1 y 𝛼2 = 2.
Por lo tanto, 𝑣 es combinación lineal de los vectores 𝑣1 𝑦 𝑣2.
Ejemplo 2:
Sean 𝑢 = −6,2 𝑦 𝑣 = 2, −1 vectores en ℝ2 . Representar 𝑤 = 9, −4
como combinación lineal de los vectores 𝑢 y 𝑣.
Resolución:
Debemos encontrar 𝛼1 y 𝛼2 ∈ ℝ tal que: 
𝑤 = 9, −4 = 𝛼1𝑢 + 𝛼2𝑣 = 𝛼1 −6,2 + 𝛼2 2, −1
9, −4 = −6𝛼1 + 2𝛼2, 2𝛼1 − 𝛼2
Podemos expresarlo como un sistema de ecuaciones
ቊ
9 = −6𝛼1 + 2𝛼2
−4 = 2𝛼1 − 𝛼2
Resolviendo el sistema tenemos que 𝛼1 = −
1
2
y 𝛼2 = 3.
Por lo tanto, 𝑤 = 9, −4 = −
1
2
−6,2 + 3 2, −1
CONJUNTO GENERADOR
Conjunto generador. 
Se dice que el conjunto de vectores A = v1, v2, … , vn ⊂ 𝑉 es un “conjunto 
generador” de 𝑉, si todo vector v de V se puede escribir como combinación 
lineal de los vectores del conjunto 𝐴. Es decir, para todo v ∈ V, existen 
α1, α2, … , αn tales que: 
v = α1v1 + α2v2 + ⋯ + αnvn
Sea 𝑉 un espacio vectorial. Sea A = v1, v2, … , vn ⊂ 𝑉. Definimos el espacio 
generado de A como 
𝐴 = gen{v1, v2, … , vn} = {α1v1 + α2v2 + ⋯ + αnvn ∶ 𝛼1, … , 𝛼𝑛 ∈ ℝ}
Nota: 𝐴 es un subespacio de 𝑉.
Ejemplo 3:
En efecto:
Para cada 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 debemos encontrar 𝛼1 y 𝛼2 ∈ ℝ tal que
𝑥, 𝑦 = 𝛼1 1,0 + 𝛼2(0,1)
𝑥, 𝑦 = 𝛼1, 𝛼2
Podemos expresarlo como un sistema de ecuaciones
ቊ
𝑥 = 𝛼1
𝑦 = 𝛼2
𝑥, 𝑦 = 𝑥 1,0 + 𝑦(0,1)
Los vectores 𝑖 = 1,0 y 𝑗 = (0,1) generan al espacio ℝ2.
Por lo tanto, el conjunto 𝑖, 𝑗 genera al espacio ℝ2.