Semana 8 1_ TRANSFORMACIONES LINEALES

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SEMANA 12: TRANSFORMACIONES 
LINEALES
DEFINICIÓN – NÚCLEO - IMÁGEN
Sean 𝑉 y 𝑊 ℝ−espacios vectoriales. Sea 𝑇 una aplicación de
V en W:
𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊
Se llama transformación lineal si verifica: ∀ 𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑉 y 𝑘 ∈ ℝ
 𝑇 𝑣1 + 𝑣2 = 𝑇 𝑣1 + 𝑇 𝑣2
 𝑇 𝑘 𝑣1 = 𝑘𝑇 𝑣1
TRANSFORMACIÓN LINEAL
TRANSFORMACIÓN LINEAL 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊
Ejemplo
Sea 𝑇:ℝ2 → ℝ3 definida por 𝑇
𝑥
𝑦 =
𝑥 + 𝑦
𝑥 − 𝑦
3𝑦
. ¿T es una
transformación lineal?
Solución:
Sean
𝑥1
𝑦1
,
𝑥2
𝑦2
∈ ℝ2 Tal que: 

𝑇
𝑥1
𝑦1
+
𝑥2
𝑦2
= 𝑇
𝑥1 + 𝑥2
𝑦1 + 𝑦2
=
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑦1 + 𝑦2
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑦1 − 𝑦2
3𝑦1 + 3𝑦2
=
𝑥1 + 𝑦1
𝑥1 − 𝑦1
3𝑦1
+
𝑥2 + 𝑦2
𝑥2 − 𝑦2
3𝑦2
= 𝑇
𝑥1
𝑦1
+ 𝑇
𝑥2
𝑦2
, α ∈ ℝ.
 𝑇 𝛼
𝑥1
𝑦1
= 𝑇
𝛼𝑥1
𝛼𝑦1
=
𝛼𝑥1 + 𝛼𝑦1
𝛼𝑥1 − 𝛼𝑦1
3𝛼 𝑦1
= 𝛼
𝑥1 + 𝑦1
𝑥1 − 𝑦1
3 𝑦1
= 𝛼𝑇
𝑥1
𝑦1
Por lo tanto T es una transformación lineal.
𝑻 𝜶
𝒙𝟏
𝒚𝟏
= 𝜶𝑻
𝒙𝟏
𝒚𝟏
𝑻
𝒙𝟏
𝒚𝟏
+
𝒙𝟐
𝒚𝟐
= 𝑻
𝒙𝟏
𝒚𝟏
+ 𝑻
𝒙𝟐
𝒚𝟐
(𝒙, 𝒚)(−𝒙, 𝒚)
Reflexión respecto al eje Y
x
y
Ejemplo
(𝑥, 𝑦, 𝑧)
(𝑥, 𝑦, 0)
x
y
z
Proyección sobre el plano XY
Ejemplo
Sea 𝑇:ℝ3 → ℝ3 una transformación lineal tal que:
• 𝑇 1,0,0 = 2,−1,4
• 𝑇 0,1,0 = 1,−2,3 Determine 𝑇(2,3,−1)
• 𝑇 0,0,1 = (0,3,−1)
Ejemplo
Solución:
Expresamos el vector (2,3,−1) como una combinación lineal de los
vectores canónicos.
(2,3,−1) = 2(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) – 1(0, 0, 1) 
Aplicando la transformación lineal a ambos lados:
𝑇(2,3,−1) = 2T(1, 0, 0) + 3T(0, 1, 0) – 1T(0, 0, 1) 
𝑇(2,3,−1) = 2 (2, – 1, 4) + 3(1, – 2, 3) – 1(0, 3, – 1) 
Reemplazamos los datos proporcionados y realizando las operaciones:
𝑇(2,3,−1) = (4, – 2, 8) + (3, – 6, 9) – (0, 3, – 1) 
𝑇(2,3,−1) = (7, – 11, 18) 
Núcleo de una Transformación Lineal
Sea T una transformación lineal de ℝ𝑛 a ℝ𝑚. El núcleo T es
el subconjunto formado por todos los vectores en ℝ𝑛 que se
mapea al vector nulo en ℝ𝑚.
𝑁𝑢 𝑇 = 𝐾𝑒𝑟(𝑇) = 𝑣 ∈ ℝ𝑛, 𝑇 𝑣 = 𝟎 ∈ ℝ𝑛
Determine el núcleo (kernel) de la siguiente transformación lineal
𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
=
−2𝑥 + 3𝑧
−23𝑥 − 15𝑦 − 18𝑧
−5𝑥 − 3𝑦 − 3𝑧
Ejemplo
Solución:
El núcleo de T se obtiene haciendo el vector
−2𝑥 + 3𝑧
−23𝑥 − 15𝑦 − 18𝑧
−5𝑥 − 3𝑦 − 3𝑧
=
0
0
0
Así: ቐ
−2𝑥 + 3𝑧 = 0
−23𝑥 − 15𝑦 − 18𝑧 = 0
−5𝑥 − 3𝑦 − 3𝑧 = 0
Solucionamos el sistema usando el método de Gauss
Transformar la matriz aumentada del sistema en una matriz en 
forma escalonada
2 3 0
105
15 0
2
x z
y z
  


  

De la ecuación 2 encontramos la variable y:
De la ecuación 1 encontramos la variable x:
3
2 3
2
x z x t    
105 7
15
2 2
y z y t    
𝑧 = 𝑡 , 𝑡 ∈ ℝHacemos:
Obteniendo el siguiente sistema:
Entonces el vector solución es:
El núcleo de T es:
Representa la ecuación paramétrica de una recta en ℝ3 que
pasa por el origen de coordenadas
ker𝑇 = (𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ Τℝ3 𝑥 =
3
2
𝑡, 𝑦 = −
7
2
𝑡, 𝑧 = 𝑡, 𝑡 ∈ ℝ}
(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
3
2
𝑡, −
7
2
𝑡, 𝑡 , 𝑡 ∈ ℝ
= 𝑡
3
2
, −
7
2
, 1
Sea T una transformación lineal de ℝ𝑛 a ℝ𝑚. El rango o
imagen de T es el subconjunto formado por todas las imágenes
de T en ℝ𝑚.
𝐼𝑚 𝑇 = 𝑤 ∈ ℝ𝑚, 𝑤 = 𝑇 𝑣 , para algún 𝑣 ∈ ℝ𝑛
Imágen de una transformación lineal
Determinar la imagen de la trasformación lineal de ℝ3 en ℝ3 definida 
como:
𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
=
2𝑥 + 5𝑦 + 𝑧
8𝑥 + 12𝑦 + 6𝑧
−4𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧
Ejemplo
Solución:
La imagen de T está formada por vectores de la forma tal que:
𝑟
𝑠
𝑡
El problema consiste en hallar el vector en el sistema de
ecuaciones:
𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
=
𝑟
𝑠
𝑡
⇒
2𝑥 + 5𝑦 + 𝑧
8𝑥 + 12𝑦 + 6𝑧
−4𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧
=
𝑟
𝑠
𝑡
𝑟
𝑠
𝑡
ቐ
2𝑥 + 5𝑦 + 𝑧 = 𝑟
8𝑥 + 12𝑦 + 6𝑧 = 𝑠
−4𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 = 𝑡
Resolvemos el sistema usando el método de Gauss
Transformar la matriz aumentada del sistema en una matriz en
forma escalonada
Para que el sistema sea compatible,
tenemos que afirmar que:
−2𝑟 + 𝑠 + 𝑡 = 0
La imagen de T es: 
Geométricamente representa una plano que pasa por el origen de
coordenadas y por ende es un subespacio del conjunto de llegada ℝ3
Im 𝑇 = (𝑟, 𝑠, 𝑡) ∈ Τℝ3 −2𝑟 + 𝑠 + 𝑡 = 0
 Determine si la siguiente transformación es lineal:
𝑇: ℝ2⟶ ℝ3, 𝑇
𝑥
𝑦 =
2 0
−1 4
3 8
𝑥
𝑦
 Sea 𝐴 =
2 −2 −1
−4 4 2
la matriz que representa la 
transformación lineal 𝑇: ℝ3⟶ ℝ2
a) Halle 𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
b) Determine el núcleo y el rango de 𝑇, así como sus respectivas
bases.
Ejercicios