problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (142)

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5.21 Anillo y grupo de matrices
x ◦ (y ◦ z) = x ◦ (yz + λy + λz + 12)
= xyz + λxy + λxz + 12x+ λx+ λyz + λ2y + λ2z + 12λ+ 12.
Las dos funciones polinómicas anteriores solamente difieren en los coeficiente
de x y de z. Igualando estos obtenemos λ2 = 12 +λ y 12 +λ = λ2. Es decir,
la operación ◦ es asociativa si y sólo si λ2−λ−12 = 0 relación que se verifica
para λ = 4 o λ = −3.
La operación ◦ es claramente conmutativa. Esto implica que esta operación
es distributiva respecto de ∗ si y sólo si se verifica x◦(y∗z) = (x◦y)∗(x◦z).
Tenemos
x ◦ (y ∗ z) = x ◦ (y + z + 4)
= xy + xz + 4x+ λx+ λy + λz + 4λ+ 12,
(x ◦ y) ∗ (x ◦ z) = (xy + λx+ λy + 12) ∗ (xz + λx+ λz + 12)
= xy + λx+ λy + 12 + xz + λx+ λz + 12 + 4.
Las dos funciones polinómicas anteriores solamente difieren en el coeficiente
de x y en el término constante. Igualando estos obtenemos 4 + λ = 2λ y
4λ + 12 = 28. Es decir, la operación ◦ es asociativa si y sólo si λ = 4.
Concluimos que (R, ∗, ◦) es anillo si y sólo si λ = 4.
5.21. Anillo y grupo de matrices
Dada una matriz M ∈Mn(R) se consideran los siguientes subconjuntos:
M = {A ∈Mn(R) : AM = MA}
N = {A ∈Mn(R) : AM = MA y A regular}
Se pide:
1. Analizar si (M,+, ·) es un anillo.
2. Analizar si (N , ·) es un grupo.
3. Si es n = 2 y M =
[
4 1
−1 2
]
, hallar M y N .
(Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. Aeronáuticos, UPM).
Solución. 1. Sabemos que (Mn(R),+, ·) es un anillo y ademásM⊂Mn(R).
Veamos si M es subanillo de Mn(R) con lo cual estará demostrado que es
anillo. Usaremos la conocida caracterización de subanillos.
(a) Como 0M = M0, se verifica 0 ∈M es decir, M 6= ∅.
(b) Sean A,B ∈M, entonces:
(A−B)M = AM −BM = MA−MB = M(A−B)⇒ AB ∈M.
	Anillos y cuerpos
	Anillo y grupo de matrices