11 FFT 29_07_2013

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1. La transformada rápida de Fourier. FFT 
 
La transformada rápida de Fourier es un algoritmo que sirve para calcular rápida y eficientemente de la 
transformada discreta de Fourier (DFT). La DFT de N puntos de una señal de N muestras puede verse en la 
ecuación 1. 
 
[ ] ∑
=
−−−
=
N
n
N
jkn
DFT enXkX
1
)1)(1(2
)(
π
 (1) 
Para: 
Nk ,...,3,2,1=
 
[ ]kX DFT : Es la DFT de la señal discreta 
)(nX
 : Señal discreta. 
En la siguiente figura puede verse una señal senosoidal discreta de 20 muestras N=20, frecuencia f=50 Hz, y 
Amplitud A=1. 
 
El periodo T se puede calcular como el inverso de f T=1/f=20 ms 
El periodo de muestreo Ts que es el tiempo entre muestras es Ts=T/N=20ms/20=1ms.} 
La frecuencia de muestreo es Fs=1/Ts=1/1e-3=1000 Hz. 
Al aplicar la FFT se obtiene el espectro de la siguiente figura. 
 
En este espectro se puede observar lo siguiente: 
1) El espectro de la figura es un espectro bilateral, por eso tiene 20 puntos, este espectro se repite por 
simetría a partir de la mitad (posición 10). El espectro unilateral es hasta la posición N/2=20/2=10. (Toda la 
información está contenida entre las posiciones 1 y 10. La información entre las posiciones 11 y 20 es 
repetida) 
2) En la posición k=1 el valor es cero indicando que el valor DC de la señal es cero. 
3) El espaciamiento espectral E es el espacio de frecuencia que hay en cada posición y se calcula 
E=Fs/N=1000/20=50 Hz. En el espectro la posición k=1 es 0 Hz, la posición k=2 es E=50 Hz, la posición 
k=3 es 2*E=100 Hz, la posición k=10 es 9*50=450 Hz. Es decir cada línea espectral aumenta en 50 Hz y de 
forma general (k-1)*E. 
4) Como la posición 10 corresponde a 450 Hz es posible obtener las componentes de frecuencia hasta 450 
Hz. 
5) La amplitud de la posición k=1 (Valor DC de la señal) se calcula obteniendo el valor de la 
[ ]1DFTX para la 
posición 1 y se corrige así 
[ ]
N
X DFT 1
. Para el resto de valores de k se calcula como sigue. 
6) La amplitud de la posición k=2 (armónico de 50 Hz) es 10 esto se corrige dividiendo la magnitud del 
espectro por N/2 es decir 
[ ]
Amplitud
N
X DFT
=== 1
2/20
10
2
2
. Esto para k mayores que 1, de forma 
general 
[ ]
2
N
kX DFT
. 
Las figuras fueron obtenidas desde el matlab usando el siguiente código: 
A=1; 
f=50; 
t=[0,1e-3,2e-3,3e-3,4e-3,5e-3,6e-3,7e-3,8e-3,9e-3,10e-3,11e-3,... 
12e-3,13e-3,14e-3,15e-3,16e-3,17e-3,18e-3,19e-3]; 
w=2*pi()*f; 
xt=A*sin(w*t); 
figure(1); 
plot(t,xt) 
espectro=fft(xt); 
magnitud=abs(espectro); 
figure(2); 
stem(magnitud);