Aritmética

Vista previa del material en texto

ÍndiceÍndice
Lógica proposicional..........................................................................................................................5
Teoría de conjuntos I.....................................................................................................................15
Teoría de conjuntos II....................................................................................................................25
Numeración I...................................................................................................................................35
Numeración II..................................................................................................................................44
Adición y sustracción......................................................................................................................51
Multiplicación y división.................................................................................................................62
Sucesiones...................................................................................................................................69
Divisibilidad I....................................................................................................................................77
Divisibilidad II...................................................................................................................................84
Estudio de los enteros positivos I..................................................................................................92
Estudio de los enteros positivos II...............................................................................................101
Máximo común divisor...................................................................................................................108
Mínimo común múltiplo.................................................................................................................116
Potenciación.................................................................................................................................124
Radicación....................................................................................................................................131
Números racionales I....................................................................................................................138
Números racionales II...................................................................................................................147
Estadística I..................................................................................................................................156
Estadística II.................................................................................................................................167
Estadística III................................................................................................................................177
Análisis combinatario I..................................................................................................................187
Análisis combinatario II.................................................................................................................194
5Colegio Particular 7
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
1
Aprendizajes esperados
Tengamos muy en cuenta que el proceso lógico empleado por las matemáticas es incompa-
rablemente más variado, más sutil y más creador de nuevas combinaciones que el asociado 
a cualquier otra rama del saber humano. Todavía está por inventar un método que sea más 
eficaz que las matemáticas y que permita a los seres humanos razonar sobre los resultados 
obtenidos en las observaciones y experiencias científicas.
Claro que para ello hay que hablar de matemática con el rigor y la claridad necesarias: 
tarea poco fácil para exponer la esencia de esta ciencia, sus conquistas, la clasificación de 
sus estructuras y el esfuerzo para asir la realidad física de este mundo y poder remontarse 
a las abstractas especulaciones; desde donde se retorna mayor armado para las aplicaciones 
prácticas de la lógica y toda ella debe ser expuesto en forma necesariamente abreviada y 
elemental, pero con rigurosa base, y mostrando muy esencialmente este incesante juego de 
lógica y fantasía que dan un sello distintivo a la ciencia matemática.
Notaciones simbólicas
Durante el proceso de desarrollo de la lógica, hubo muchos estudiosos que idearon y for-
malizaron un sistema simbólico para las proposiciones y operadores, entre otros destacan 
Scholz, Peano, Russell, Hilbert, Vena y el polaco Lukasiewicz. De las cuales rescatamos la 
siguiente:
Sistema Variables proposicionales Jerarquía entre operadores
Scholz p, q, r, s,... usa paréntesis
Peano-Rusell p, q, r, s,... usa puntos
Hilbert A, B, C,... usa paréntesis
Lukasiewicz p, q, r, s ni paréntesis ni puntos
Las formas de representar los conectivos lógicos.
Sistema Negación Conjunción
Disy. débil
Inclusiva
Condicional Bicondicional
Disy. fuerte
Exclusiva
Scholz ∼ p p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q p ↔ q
Peano-Rusell ∼ p p · q p ∨ q p ⊃ q p ≡ q p ≡ q
Hilbert – A A ∧ B A ∨ B A → B A ↔ B A ≠ B
Lukasiewicz Np Kpq Apq Cpq Epq Jpq
 ¾ Formaliza y simboliza cualquier proposición simple o molecular.
 ¾ Determina los valores de verdad o falsedad de una forma directa o 
sencilla.
LÓGICA PROPOSICIONAL 1
7
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
1
Aprendizajes esperados
Tengamos muy en cuenta que el proceso lógico empleado por las matemáticas es incompa-
rablemente más variado, más sutil y más creador de nuevas combinaciones que el asociado 
a cualquier otra rama del saber humano. Todavía está por inventar un método que sea más 
eficaz que las matemáticas y que permita a los seres humanos razonar sobre los resultados 
obtenidos en las observaciones y experiencias científicas.
Claro que para ello hay que hablar de matemática con el rigor y la claridad necesarias: 
tarea poco fácil para exponer la esencia de esta ciencia, sus conquistas, la clasificación de 
sus estructuras y el esfuerzo para asir la realidad física de este mundo y poder remontarse 
a las abstractas especulaciones; desde donde se retorna mayor armado para las aplicaciones 
prácticas de la lógica y toda ella debe ser expuesto en forma necesariamente abreviada y 
elemental, pero con rigurosa base, y mostrando muy esencialmente este incesante juego de 
lógica y fantasía que dan un sello distintivo a la ciencia matemática.
Notaciones simbólicas
Durante el proceso de desarrollo de la lógica, hubo muchos estudiosos que idearon y for-
malizaron un sistema simbólico para las proposiciones y operadores, entre otros destacan 
Scholz, Peano, Russell, Hilbert, Vena y el polaco Lukasiewicz. De las cuales rescatamos la 
siguiente:
Sistema Variables proposicionales Jerarquía entre operadores
Scholz p, q, r, s,... usa paréntesis
Peano-Rusell p, q, r, s,... usa puntos
Hilbert A, B, C,... usa paréntesis
Lukasiewicz p, q, r, s ni paréntesis ni puntos
Las formas de representar los conectivos lógicos.
Sistema Negación Conjunción
Disy. débil
Inclusiva
Condicional Bicondicional
Disy. fuerte
Exclusiva
Scholz ∼ p p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q p ↔ q
Peano-Rusell ∼ p p · q p ∨ q p ⊃ q p ≡ q p ≡ q
Hilbert – A A ∧ B A ∨ B A → B A ↔ B A ≠ B
Lukasiewicz Np Kpq Apq Cpq Epq Jpq
 ¾ Formaliza y simboliza cualquier proposición simple o molecular.
 ¾ Determina los valores de verdad o falsedad de una forma directa o 
sencilla.
LÓGICA PROPOSICIONAL
7
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
1
Aprendizajes esperados
Tengamos muy en cuenta que el proceso lógico empleado por las matemáticas es incompa-
rablemente más variado, más sutil y más creador de nuevas combinaciones que el asociado 
a cualquier otra rama del saber humano. Todavía está por inventar un método que sea más 
eficaz que las matemáticas y que permita a los seres humanos razonar sobre los resultados 
obtenidos en las observaciones y experiencias científicas.
Claro que paraello hay que hablar de matemática con el rigor y la claridad necesarias: 
tarea poco fácil para exponer la esencia de esta ciencia, sus conquistas, la clasificación de 
sus estructuras y el esfuerzo para asir la realidad física de este mundo y poder remontarse 
a las abstractas especulaciones; desde donde se retorna mayor armado para las aplicaciones 
prácticas de la lógica y toda ella debe ser expuesto en forma necesariamente abreviada y 
elemental, pero con rigurosa base, y mostrando muy esencialmente este incesante juego de 
lógica y fantasía que dan un sello distintivo a la ciencia matemática.
Notaciones simbólicas
Durante el proceso de desarrollo de la lógica, hubo muchos estudiosos que idearon y for-
malizaron un sistema simbólico para las proposiciones y operadores, entre otros destacan 
Scholz, Peano, Russell, Hilbert, Vena y el polaco Lukasiewicz. De las cuales rescatamos la 
siguiente:
Sistema Variables proposicionales Jerarquía entre operadores
Scholz p, q, r, s,... usa paréntesis
Peano-Rusell p, q, r, s,... usa puntos
Hilbert A, B, C,... usa paréntesis
Lukasiewicz p, q, r, s ni paréntesis ni puntos
Las formas de representar los conectivos lógicos.
Sistema Negación Conjunción
Disy. débil
Inclusiva
Condicional Bicondicional
Disy. fuerte
Exclusiva
Scholz ∼ p p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q p ↔ q
Peano-Rusell ∼ p p · q p ∨ q p ⊃ q p ≡ q p ≡ q
Hilbert – A A ∧ B A ∨ B A → B A ↔ B A ≠ B
Lukasiewicz Np Kpq Apq Cpq Epq Jpq
 ¾ Formaliza y simboliza cualquier proposición simple o molecular.
 ¾ Determina los valores de verdad o falsedad de una forma directa o 
sencilla.
LÓGICA PROPOSICIONAL
4to Año
6 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
4.o Grado
a
r
it
m
é
t
ic
a
compendio de ciencias i
8
m
atem
ática
Lógica
La lógica es una ciencia que estudia los métodos o pro-
cedimientos que aplican definiciones y leyes o reglas con 
el propósito de determinar la validez o invalidez de las 
proposiciones.
Proposición
Es una expresión lingüística libre de ambigüedades, que 
tiene la propiedad de ser verdadera o falsa, pero nunca 
ambas simultáneamente.
Ejemplos
 ¾ La Tierra es un planeta.
 ¾ Lima es la capital del Perú.
Estas expresiones son informativas sabemos que son ver-
daderas, son proposiciones.
 ¾ No seas malcriado.
 ¾ Que lindo es tu rostro.
Estas expresiones son expresivas u operativas, no son 
verdaderas ni falsas, no son proposiciones.
1. Variable proposicional
 Por comodidad las expresiones o proposiciones son 
representadas por letras latinas: p, q, r, s,... llama-
das variables proposicionales.
 Ejemplos
 ¾ Carlos es matemático = p
 ¾ Carlos es físico = q
2. Clases de proposición
 A. Proposición simple
 Llamada también proposición atómica, moná-
dica o monarca son reemplazadas por una sola 
variable.
 Ejemplos
 ¾ Trujillo es la ciudad primaveral = p
 ¾ El sistema solar tiene 8 planetas = q
 B. Proposición compuesta
 Llamadas también proposiciones moleculares o 
esquemas moleculares, se obtiene de las com-
binaciones de las proposiciones simples.
3. Conectivos lógicos
 Llamados también operadores, signos de enlace, 
conectores, factores,.etc.
A. Negación
 Es un operador monádico que afecta a una pro-
posición o conjunto de proposiciones, se sim-
boliza (∼).
 Su tabla de verdad resulta 
p ∼ p
V
F
F
V
B. Conjunción
 Relaciona proposiciones mediante el conectivo 
“y”, se le denota con (∧).
 Ejemplo
 ¾ Guillermo es ingeniero = p
 ¾ Guillermo es matemático = q
 ¾ Guillermo es ingeniero y matemático = p ∧ q 
 ¾ Se toman en cuenta como sinónimos de 
“y”, las expresiones: “sino”, “además”, 
“pero”, “a la vez”,. etc.
 Esta proposición es verdadera, cuando sus 
componentes son ambas verdaderas; su tabla 
de verdad resulta 
p q p ∧ q
V V
V F
F V
F F
V
F
F
F
C. Disyunción débil o inclusiva
 Relaciona proposiciones mediante el conectivo 
“o”, se le denota con (∨).
 Ejemplo 
 ¾ La matemática es exacta = p
 ¾ La matemática es aplicativa = q
 ¾ La matemática es exacta o aplicativa = p ∨ q
LÓGICA PROPOSICIONAL
Helicoteoría
Aritmética
7Colegio Particular
A
r
it
m
é
t
ic
A
4.o GrAdo compendio de cienciAs i
9
m
At
em
át
ic
A
 Esta proposición es verdadera, cuando por lo 
menos una de sus proposiciones es verdadera; 
su tabla de verdad resulta
p q p ∨ q
V V
V F
F V
F F
V
V
V
F
D. Disyunción fuerte o exclusiva 
 Relaciona proposiciones mediante el conectivo 
“o... o ...”, se le denota con (∆).
 Ejemplo
 ¾ George nació en Lima = p
 ¾ George nació en Ica = q
 ¾ O George nació en Lima o nació en 
Ica = p ∆ q
 Su tabla de verdad resulta
p q p ∆ q
V V
V F
F V
F F
F
V
V
F
E. Condicional
 Relaciona proposiciones mediante el conectivo 
“si ..., entonces...”, se le denota con (→).
Ejemplo p = estudio
 q = apruebo
 Si estudio, entonces apruebo: p → q 
 Se toman en cuenta como sinónimos del condi-
cional las expresiones: “siempre que”, “por lo 
tanto”, “luego”, “implica”,.etc.
 La condicional es falsa únicamente cuando el 
antecedente es V y el consecuente es F; su tabla 
de verdad resulta
p q p → q
V V
V F
F V
F F
V
F
V
V
F. Bicondicional
 Relaciona proposiciones mediante el conectivo 
“si y solo si”, se le denota con (↔).
 Se toman en cuenta como sinónimos de la bi-
condicional “cuando y solo cuando”, “entonces 
y solo entonces”, “es una condición necesaria y 
suficiente”.
 La condicional es verdadera cuando ambas pro-
posiciones tienen el mismo valor de verdad o 
falsedad; su tabla de verdad resulta
p q p ↔ q
V V
V F
F V
F F
V
F
F
V
4. Tablas de verdad (total de combinaciones de una 
tabla)
 Si el esquema molecular de una tabla está formada 
por n variables proposicionales, entonces a cada va-
riable proposicional se le asigna 2n valores, mitad 
verdaderas y mitad falsas.
 Ejemplo: Evalúe ∼ (p → ∼ q).
 donde: n = 2 (N.º de variables) p y q
 Luego: 22 = 4 (N.º de valores)
p q ∼ (p  →  ∼ q)
V V V V F F
V F F V V V
F V F F V F
F F F F V V
 
Operador secundario
Operador principal
 De acuerdo al resultado obtenido en el operador 
principal, los esquemas moleculares se clasifican en
a. Consistentes o de contingencia: Cuando en el 
operador principal hay por lo menos una ver-
dad y una falsedad.
b. Tautológico: Se obtiene cuando en el operador 
principal todos son verdaderas.
c. Contradictorio: Se obtiene cuando en el opera-
dor principal todos los valores son falsos.
d. Implicación: Es el nombre que asume una con-
dicional cuando al evaluarlo resulta tautológico.
e. Equivalencia: Es el nombre que asume una bi-
condicional cuando al evaluarlo resulta tautoló-
gico.
4to Año
8 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
4.o Grado
a
r
it
m
é
t
ic
a
compendio de ciencias i
10
m
atem
ática
N
eg
ac
ió
n
B
ic
on
di
ci
on
al
C
on
di
ci
on
al
D
is
yu
nc
ió
n 
fu
er
te
D
is
yu
nc
ió
n
C
on
ju
nc
ió
n
Si
m
pl
e
V
ar
ia
bl
e 
 
pr
op
os
ic
io
na
l
C
la
se
s 
de
 
pr
op
os
ic
io
ne
s T
ab
la
s 
de
 
ve
rd
ad
Pr
op
os
ic
ió
n
L
Ó
G
IC
A
C
on
ec
tiv
os
 
ló
gi
co
s
C
om
pu
es
ta
H
el
ic
os
ín
te
si
s
Aritmética
9Colegio Particular
A
r
it
m
é
t
ic
A
4.o GrAdo compendio de cienciAs i
11
m
At
em
át
ic
A
1. De los valores de verdad obtenidos en la siguiente 
proposición:
 (p ∨ ∼ q) ∧ (r → q)
 ¿cuántos son verdaderos?
 Resolución 
 ¾ Observamos que el número de variables es 3.
 ¾ Luego el número de valores es 23 = 8, donde 4 
son V y 4 son F.
 ¾ Construyendo la tabla proposicional.
p q r (p∨ ∼ q) ∧ (r → q)
V V V V V V
V V F V V V
V F V V F F
V F F V V V
F V V F F V
F V F F F V
F F V V F F
F F F V V V
 
Operador
secundario
Operador
principal
     
 
Esta tabla
es una
contingencia
        ∴ N.º de verdaderas = 4
Rpta.: 4
2. El equivalente de la proposición “Si Juan es depor-
tista, mantiene una dieta estricta”, es
 ResoluciónSimbolizando: Si Juan es deportista, mantiene una 
dieta estricta.
 p : “Juan es deportista”.
 q : “mantiene una dieta estricta”.
Observamos que: p → q
Esto equivale a: ∼ p ∨ q por condicional
Luego
∼ p ∨ q: “Juan no es deportista o mantiene una dieta 
 estricta”
q ∨∼ p: “Juan mantiene una dieta estricta o no es 
 deportista”.
 ∴ p → q ≡ ∼ p ∨ q ≡ ∼ q ∨ ∼ p
Rpta.: Juan no es deportista o mantiene 
una dieta estricta.
3. Si la proposición (p → q) ↔ (q ∨ r) ≡ V, determine 
los valores de p, q y r sabiendo que p → q es falso.
 Resolución
 Sabemos que
 (p → q) ↔ (q ∨ r) ≡ V
 V F F F
 Dato: F F
 ∴ p ≡ V, q ≡ F, r ≡ F
4. Si la proposición [p → (q → r)] → p es F, determine 
los valores de p, q y r.
 Resolución
 Sabemos que
[p → (q → r)] → p ≡ F
V F
 Obs.: p = F
 Luego 
F
p → (q → r) ≡ V
 Reemplazando p = F tenemos dos casos para *
 1.er caso
 * q → r ≡ F ⇒ q = V, r = F ∴ p = F, q = V, r = F
 2.º caso
 * q → r ≡ V ⇒ q = V y r = V o q = F y r = F o q = F 
 y r = V
 ∴ FVF o FVV o FFF o FFV
Rpta.: FVF o FVV o FFF o FFV
5. Los valores de verdad de las proposiciones p, q, r y 
s son, respectivamente, F, V, F y V. Determine los 
valores de
¾	[(p ∧ q) → r] ∧ ∼s ¾	r → (s ∨ q)
¾	(p ∨ r) ↔ (q ∧ s) 
 Resolución
 Dato: p ≡ F, q ≡ V, r ≡ F, s ≡ V
 Reemplazando
 * [(F ∧ V) → F] ∧ ∼V
 (F → F) ∧ F
 V ∧ F ≡ F
 * F → (V ∧ V)
 F → V ≡ V
 * (F ∨ F) ↔ (V ∧ V)
 F ↔ V ≡ F
 Rpta.: FVF
Problemas resueltos
4to Año
10 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
4.o Grado
a
r
it
m
é
t
ic
a
compendio de ciencias i
12
m
atem
ática
1. De los enunciados, ¿cuál(es) es (son) proposición(es)?
I. Lima es la capital de Ecuador.
II. 8 × 3 – 5 = 20
III. ¿Qué día es?
IV. Marruecos es un país africano.
2. De las proposiciones
p : “Mario es comerciante”.
q : “Mario es un próspero industrial”.
r : “Mario es ingeniero”.
 simbolice: “Si no es el caso que Mario sea comer-
ciante y próspero industrial, entonces es ingeniero o 
no es un comerciante”.
3. Escriba verdadero (V) o falso (F) según correspon-
da.
a. (2×3=5) → (7–1=8) ( )
b. ( 16+ 1=9) ∨ (5×4=22) ( )
c. [MCM(4; 6)=24] ↔ (3!=9) ( )
d. (7+3×2=20) ∧ (5+9=14) ( )
4. Si la proposición compuesta (∼ p ∧ r) → (t ∨ ∼ q) es 
falsa, halle el valor de verdad en:
 (∼ r ∆ p) ↔ (∼ t ∧ q)
5. Al desarrollar (p ∧ ∼ q) ∆ (∼ p ∨ q) mediante la tabla 
de verdad, ¿cuántas verdaderas (V) aparecen?
6. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
a. (p ∧ ∼ q) → (∼ p ∆ q) es una tautología. ( )
b. (∼ q ∧ p) → q es una contradicción. ( )
7. Dadas las proposiciones
p : 2 > 3
q : 2×8=17
r : 5!=120
 halle el valor de verdad en
 (∼ q ∨ r) → (p ∆ ∼ r)
8. Al desarrollar (p ∆ ∼ q) → ∼ r mediante la tabla de 
verdad, ¿cuántas verdaderas (V) aparecen?
Nivel I
1. De los enunciados, ¿cuáles son proposiciones?
I. Huayna Cápac fue un inca.
II. 8 + 3 – 5 = 6
III. Pedro tiene 15 años.
IV. ¿Qué hora es?
 Resolución
2. De las proposiciones
p : “Ricardo es ingeniero”.
q : “Ricardo es médico”.
r : “Ricardo es odontólogo”.
 simbolice: “Si Ricardo es ingeniero y no es médico, 
entonces no es odontólogo”.
 Resolución
Helicopráctica
Helicotaller
www.freeprintablepdf.eu
Aritmética
11Colegio Particular
A
r
it
m
é
t
ic
A
4.o GrAdo compendio de cienciAs i
13
m
At
em
át
ic
A
Nivel II
3. Escriba verdadero (V) o falso (F) según correspon-
da.
a. (2 + 3 = 5) ∨ (3 × 7 = 10) ( )
b. (√4 + √9 = 7) → (4 – 3 = –1) ( )
c. (2! + 3 = 5) ↔ (√16 = 2) ( )
d. (MCD(3, 7) = 1) ∧ (MCM(4, 8) = 4) ( )
 Resolución
4. Si la proposición compuesta
 (q ∧ ∼ p) → (r ∨ ∼ t)
 es falsa, halle el valor de verdad en
 [(p ∨ ∼ r) ↔ (∼ q ∆ t)] ∨ r
 Resolución
5. Al desarrollar (p → ∼ q) ∨ (q ∆ ∼ p) mediante la tabla 
de verdad, ¿cuántas falsas (F) aparecen?
 Resolución
Nivel III
6. Escriba verdadero (V) o falso (F) según correspon-
da.
a. (∼ p ∆ q) ∨ (q ∧ p) es una contingencia. ( )
b. (p ∧ q) → ∼ p es una tautología. ( )
 Resolución
A
r
it
m
é
t
ic
A
4.o GrAdo compendio de cienciAs i
13
m
At
em
át
ic
A
Nivel II
3. Escriba verdadero (V) o falso (F) según correspon-
da.
a. (2 + 3 = 5) ∨ (3 × 7 = 10) ( )
b. (√4 + √9 = 7) → (4 – 3 = –1) ( )
c. (2! + 3 = 5) ↔ (√16 = 2) ( )
d. (MCD(3, 7) = 1) ∧ (MCM(4, 8) = 4) ( )
 Resolución
4. Si la proposición compuesta
 (q ∧ ∼ p) → (r ∨ ∼ t)
 es falsa, halle el valor de verdad en
 [(p ∨ ∼ r) ↔ (∼ q ∆ t)] ∨ r
 Resolución
5. Al desarrollar (p → ∼ q) ∨ (q ∆ ∼ p) mediante la tabla 
de verdad, ¿cuántas falsas (F) aparecen?
 Resolución
Nivel III
6. Escriba verdadero (V) o falso (F) según correspon-
da.
a. (∼ p ∆ q) ∨ (q ∧ p) es una contingencia. ( )
b. (p ∧ q) → ∼ p es una tautología. ( )
 Resolución
A
r
it
m
é
t
ic
A
4.o GrAdo compendio de cienciAs i
13
m
At
em
át
ic
A
Nivel II
3. Escriba verdadero (V) o falso (F) según correspon-
da.
a. (2 + 3 = 5) ∨ (3 × 7 = 10) ( )
b. (√4 + √9 = 7) → (4 – 3 = –1) ( )
c. (2! + 3 = 5) ↔ (√16 = 2) ( )
d. (MCD(3, 7) = 1) ∧ (MCM(4, 8) = 4) ( )
 Resolución
4. Si la proposición compuesta
 (q ∧ ∼ p) → (r ∨ ∼ t)
 es falsa, halle el valor de verdad en
 [(p ∨ ∼ r) ↔ (∼ q ∆ t)] ∨ r
 Resolución
5. Al desarrollar (p → ∼ q) ∨ (q ∆ ∼ p) mediante la tabla 
de verdad, ¿cuántas falsas (F) aparecen?
 Resolución
Nivel III
6. Escriba verdadero (V) o falso (F) según correspon-
da.
a. (∼ p ∆ q) ∨ (q ∧ p) es una contingencia. ( )
b. (p ∧ q) → ∼ p es una tautología. ( )
 Resolución
A
r
it
m
é
t
ic
A
4.o GrAdo compendio de cienciAs i
13
m
At
em
át
ic
A
Nivel II
3. Escriba verdadero (V) o falso (F) según correspon-
da.
a. (2 + 3 = 5) ∨ (3 × 7 = 10) ( )
b. (√4 + √9 = 7) → (4 – 3 = –1) ( )
c. (2! + 3 = 5) ↔ (√16 = 2) ( )
d. (MCD(3, 7) = 1) ∧ (MCM(4, 8) = 4) ( )
 Resolución
4. Si la proposición compuesta
 (q ∧ ∼ p) → (r ∨ ∼ t)
 es falsa, halle el valor de verdad en
 [(p ∨ ∼ r) ↔ (∼ q ∆ t)] ∨ r
 Resolución
5. Al desarrollar (p → ∼ q) ∨ (q ∆ ∼ p) mediante la tabla 
de verdad, ¿cuántas falsas (F) aparecen?
 Resolución
Nivel III
6. Escriba verdadero (V) o falso (F) según correspon-
da.
a. (∼ p ∆ q) ∨ (q ∧ p) es una contingencia. ( )
b. (p ∧ q) → ∼ p es una tautología. ( )
 Resolución
4to Año
12 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
4.o Grado
a
r
it
m
é
t
ic
a
compendio de ciencias i
14
m
atem
ática
7. Dadas las proposiciones
p : 
1
4
 < 1
7
q : 2+ 3= 5
r : 2×8+4=20
 halle el valor de verdad en
 (∼ r ∨ ∼ q) ↔ (p ∧ ∼ r)
 Resolución
8. Al desarrollar (∼ p ∨ q) ↔ ∼ r mediante la tabla de 
verdad, ¿cuántas falsas (F) aparecen?
 Resolución
Helicodesafío
1. El esquema molecular [p →(p ∧ ∼ q)] ↔ [(∼ p ∨ q) → q] 
es falso y el esquema molecular (p ∧ q) → ∼ p, verda-
dero; entonces, el esquema [(p ↔ q) ∨ p] → (p ∨ q) 
es
A) falso. 
B) verdadero. 
C) contingente. 
D) tautológico. 
E) F. D.
2. Indique la expresión equivalente a la proposición
 (p ∨ ∼ q) ∧ (∼ q ∨ ∼ p)
A) q → p 
B) p → q 
C) (p → q) → ∼ p 
D) ∼ p → (p → q)
E) (q → p) → ∼ p
Aritmética
13Colegio Particular
A
r
it
m
é
t
ic
A
4.o GrAdo compendio de cienciAs i
15
m
At
em
át
ic
A
Nivel I
1. De los enunciados siguientes:
¾ 2 es un número impar.
¾ El Perú es un país latino.
¾ La ballena es un animal acuático.
¾ 3 + 2 × 3 = 9
¾ ¿Carlos está vestido?
¾ Carlos está vestido.
¿cuántas son proposiciones lógicas?
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 2
2. Simbolice: “No es caso que, Walter sea médico o 
abogado, en conclusión, Walter no es abogado”.
A) ∼ (p ∨ q) → ∼ p 
B) ∼ (p ∨ q) → ∼ q
C) ∼ (p ∧ q) → ∼ p 
D) ∼ (p ∧ q) → ∼ q 
E) (p ∨ q) → ∼ q
3. Luego de construir la tabla de verdad de las siguientes 
proposiciones: (p ↔ q) → (r ∆ ∼ p), ¿cuántas son falsas?
A) 3 B) 4 C) 5
D) 2 E) 6
4. Si p = V, q = F y r = V, entonces [(p ∨ ∼ q) → (p ∧ ∼ q)] 
∧ r, es
A) V. B) F.
C) No se puede afirmar. D) V o F. 
E) V y F.Nivel II
5. Los valores de verdad de las proposiciones p, q, r y 
s son, respectivamente, V, F, F y V. Determine los 
valores de
¾ [(p ∨ q) ∨ r] ∧ s
¾ r → (s ∧ q)
¾ (p ∧ r) ↔ (r ∧ ∼ s)
A) VFF B) VVV C) FFF
D) FVV E) VVF
Helicorreto
1. De los enunciados, ¿cuáles son proposiciones?
I. El río Rímac pasa por la ciudad de Lima.
II. Un rectángulo tiene cuatro lados iguales.
III. Marte es un dios mitológico.
IV. ¿Qué día es hoy?
A) I y II B) I y III C) II y IV
D) I, II y III E) III y IV
2. Escriba verdadero (V) o falso (F) según correspon-
da.
¾ (3+4) = 7 ∨ (5 × 4) = 9 ( )
¾ 8
3
+1 = 4 → (7 – 1) = 5 ( )
¾ 3!+2=8 ↔ 4 = 2 ( )
¾ 8/4 = 4 ∧ 16 = 4 ( )
A) VVVF B) VVVV C) VFVF
D) FVFV E) FFFF
3. Simbolice
“Si Juan se levanta temprano y alista sus cosas con 
tiempo, entonces llegará temprano a clases”.
A) (p ∧ q) → r B) (p ∨ q) → r
C) (p ∧ q) ↔ r D) (p ∧ q) → ∼r
E) (p ∨ q) → ∼r
4. ¿Cuántas verdades se obtiene de la tabla de verdad 
del esquema?
 (p ∧ q) ∨ (p → ∼ q)
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 0
5. Si la proposición (∼p ∧ ∼q) → ∼r es falta, determi-
ne el valor de verdad de p, q y r, respectivamente.
A) FFV B) FFF C) VVV
D) FVF E) VFV
Helicotarea
4to Año
14 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
4.o Grado
a
r
it
m
é
t
ic
a
compendio de ciencias i
16
m
atem
ática
6. Sabiendo que (p → q) ∨ ∼ r es falsa, determine los va-
lores de verdad de p, q y r.
A) VFF B) VFV C) VVV
D) FFF E) FFV
7. El equivalente de la proposición “Si estudia y traba-
ja, se formará bien”, resulta
A) No es verdad, que estudia y trabaja, o se forme bien.
B) No estudia, ni trabaja sin embargo se forma bien.
C) Estudia y no trabaja sin embargo se forma bien.
D) Si estudia se formará bien, aunque trabaje.
E) No es el caso que ni estudie, ni trabaje o se for-
me bien.
8. Determine el valor de verdad de las siguientes pro-
posiciones:
¾ p → q ≡ q → p ( )
¾ p ∧ (p → q) es una tautología. ( )
¾ p ∧ ∼ p es una contradicción. ( )
A) FFV B) FVV C) FFF
D) VFV E) VVV
Nivel III
9. Determine la proposición equivalente a “No es el 
caso que, hace frío y no se congela”.
A) Hace frío o no congela.
B) No hace frío o no congela.
C) No hace frío o congela.
D) Hace frío o congela.
E) Hace frío y no congela.
10. Simplifique la expresión [p → ∼ (q → p)] → ∼ q.
A) p ∨ ∼ q B) p ∧ q
C) ∼ p ∨ q D) ∼ p ∧ ∼ q
E) p → ∼ q
15Colegio Particular 17
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
2
Aprendizajes esperados
En él nos referimos a la denominada matemática de conjuntos: los signos que Peano introdu-
jo en su cálculo, la importancia de los círculos de Euler, defectos de la matemática moderna 
y de la tradicional; partidos y enemigos de ambos matemáticos.
“Se entiende por conjunto un agrupamiento en un todo de objetos distintos de nuestra intui-
ción o de nuestro pensamiento”.
 (acción de Georg Cantor)
La creación de la teoría de conjuntos se debe al genio de Georg Cantor matemático alemán 
(1845-1918), así como otros trabajos muy notables. Lo atrevido de sus concepciones le atrajo 
las críticas acerbas de Schwartz y sobre todo Kronecker, críticas que su extremada sensibili-
dad no pudo soportar; terminó su vida en el asilo de Halle.
El signo ∈ (pertenencia de un elemento a un conjunto) fue introducido en 1894 por Giusep-
pe Peano (1858-1932). A él igualmente se deben los signos ∪ y ∩ (unión e intersección de 
conjuntos), así como la importante distinción entre x y {x}, es decir, entre el individuo y el 
conjunto constituido por solo este individuo.
Ejemplo: No es lo mismo una cerilla, que una caja que solo contenga una cerilla.
 ¾ Podrá determinar el conjunto por comprensión o extensión.
 ¾ Utiliza y reconoce los conjuntos notables; además podrá definir las 
relaciones de pertenencia e inclusión.
TEORÍA DE CONJUNTOS I
17
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
2
Aprendizajes esperados
En él nos referimos a la denominada matemática de conjuntos: los signos que Peano introdu-
jo en su cálculo, la importancia de los círculos de Euler, defectos de la matemática moderna 
y de la tradicional; partidos y enemigos de ambos matemáticos.
“Se entiende por conjunto un agrupamiento en un todo de objetos distintos de nuestra intui-
ción o de nuestro pensamiento”.
 (acción de Georg Cantor)
La creación de la teoría de conjuntos se debe al genio de Georg Cantor matemático alemán 
(1845-1918), así como otros trabajos muy notables. Lo atrevido de sus concepciones le atrajo 
las críticas acerbas de Schwartz y sobre todo Kronecker, críticas que su extremada sensibili-
dad no pudo soportar; terminó su vida en el asilo de Halle.
El signo ∈ (pertenencia de un elemento a un conjunto) fue introducido en 1894 por Giusep-
pe Peano (1858-1932). A él igualmente se deben los signos ∪ y ∩ (unión e intersección de 
conjuntos), así como la importante distinción entre x y {x}, es decir, entre el individuo y el 
conjunto constituido por solo este individuo.
Ejemplo: No es lo mismo una cerilla, que una caja que solo contenga una cerilla.
 ¾ Podrá determinar el conjunto por comprensión o extensión.
 ¾ Utiliza y reconoce los conjuntos notables; además podrá definir las 
relaciones de pertenencia e inclusión.
TEORÍA DE CONJUNTOS I 2
17
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
2
Aprendizajes esperados
En él nos referimos a la denominada matemática de conjuntos: los signos que Peano introdu-
jo en su cálculo, la importancia de los círculos de Euler, defectos de la matemática moderna 
y de la tradicional; partidos y enemigos de ambos matemáticos.
“Se entiende por conjunto un agrupamiento en un todo de objetos distintos de nuestra intui-
ción o de nuestro pensamiento”.
 (acción de Georg Cantor)
La creación de la teoría de conjuntos se debe al genio de Georg Cantor matemático alemán 
(1845-1918), así como otros trabajos muy notables. Lo atrevido de sus concepciones le atrajo 
las críticas acerbas de Schwartz y sobre todo Kronecker, críticas que su extremada sensibili-
dad no pudo soportar; terminó su vida en el asilo de Halle.
El signo ∈ (pertenencia de un elemento a un conjunto) fue introducido en 1894 por Giusep-
pe Peano (1858-1932). A él igualmente se deben los signos ∪ y ∩ (unión e intersección de 
conjuntos), así como la importante distinción entre x y {x}, es decir, entre el individuo y el 
conjunto constituido por solo este individuo.
Ejemplo: No es lo mismo una cerilla, que una caja que solo contenga una cerilla.
 ¾ Podrá determinar el conjunto por comprensión o extensión.
 ¾ Utiliza y reconoce los conjuntos notables; además podrá definir las 
relaciones de pertenencia e inclusión.
TEORÍA DE CONJUNTOS I
4to Año
16 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
4.o Grado
a
r
it
m
é
t
ic
a
compendio de ciencias i
18
m
atem
ática
Noción
Se entiende por conjuntos que es una colección, agrupa-
ción o reunión de elementos de una misma especie.
Ejemplos
A = {x / x es una vocal}
B = {fresa, pera, manzana,...}
Notación
Los conjuntos con letras mayúsculas: A, B, C,...
Los elementos con letras minúsculas: a, b, c,...
1. Determinación de conjunto
A. Por comprensión o forma constructiva
 Es cuando se enuncia una propiedad común, 
que reúne a todos los elementos en una sola 
condición.
 Ejemplo
A = {x + 1 / x ∈ + ∧ 3 ≤ x < 7}
B. Por extensión o forma tabular
 Es cuando se enuncia uno a uno, cada uno de 
los elementos que conforman el conjunto.
Ejemplo
 Del problema anterior x = 3; 4; 5; 6, pero pi-
den (x + 1).
Luego: A = {4; 5; 6; 7}
Ejercicio de aplicación
 Dados los conjuntos, exprese por extensión o com-
prensión según sea el caso.
 ¾ A = {3x / x ∈ + ∧ 2 < x ≤ 6} A = { }
 ¾ B = {2x – 1 / x ∈  ∧ 1 < x < 5} B = { }
 ¾ C = {2; 3; 5; 7} C = { }
 ¾ D = {1; 2; 3; 6; 12} D = { }
 Pertenencia (∈)
 Si un objeto x es elemento de un conjunto A, se dice 
que x pertenece al conjunto A y se denota x ∈ A caso 
contrario x ∉ A.
 Ejemplo
M = {a; e; i; o; u}
a ∈ M
i ∈ M
u ∈ M
2. Relaciones entre conjuntos
A. Inclusióno subconjunto
 Se dice que un conjunto A está incluido en otro 
conjunto B, cuando todo elemento del conjunto 
A, es también elemento del conjunto B.
 Es decir
A ⊂ B ↔ x ∈ A → x ∈ B
donde observamos
a. La relación de inclusión es de conjunto a 
conjunto o de subconjunto a conjunto.
b. La relación de pertenencia es de elemento 
a conjunto.
 Ejemplo: A = {1; 2; {3}}
 ¾ 1 ∈ A
 ¾ 2 ∈ A
 ¾ {3} ∈ A
 ¾ {1} ⊂ A
 ¾ {2} ⊂ A
 ¾ {{3}} ⊂ A
 ¾ {1; 2} ⊂ A
 ¾ {1; {3}} ⊂ A
 ¾ A ⊂ A
Ejercicio de aplicación
 Dado el conjunto
 P = {2; 5; {3; 7}}
 indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de cada 
enunciado.
 ¾ 2 ∈ P ( )
 ¾ {2} ⊂ P ( )
 ¾ {3; 7} ∈ P ( )
 ¾ 5 ∉ P ( )
 ¾ {5} ⊂ P ( )
 ¾ {{3; 7}} ⊂ P ( )
B. Conjuntos iguales
Dos conjuntos A y B son iguales cuando
A = B ↔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A
Ejemplo: Si los conjuntos A y B son iguales
A = {y + 3; 13} B = {x – 5; 17}
calcule x + y.
TEORÍA DE CONJUNTOS I
Helicoteoría
Aritmética
17Colegio Particular
A
r
it
m
é
t
ic
A
4.o GrAdo compendio de cienciAs i
19
m
At
em
át
ic
A
Tendríamos que
 y + 3 = 17 x – 5 = 13
 y = 14 x = 18
      ∴ x + y = 32
Observación
Si A ⊂ B y A ≠ B, entonces diremos que A es subconjunto 
propio de B.
Ejercicio de aplicación
Se tiene los conjuntos iguales
M = {2x + 4; 13} N = {2y + 3; 14}
Calcule x + y.
 ¾ 2x+4=14
 2x=10
 x=5
 ¾ 2y+3=13
 2y=10
 y=5
C. Conjuntos comparables
 Dos conjuntos A y B son comparables si
A comp B ↔ A ⊂ B ∨ B ⊂ A
Observación
Dos conjuntos iguales siempre serán comparables, mien-
tras que dos conjuntos comparables no necesariamente 
van a ser iguales.
 Ejemplo
 Dados los conjuntos
 A = {3; 4} 
 B = {1; 2; 3; 4; 5}
 C = {1; 4; 5} 
 D = {1; 3; 4}
 indique qué conjuntos son comparables.
 ¾ A ⊂ B
 ¾ C ⊂ B
 ¾ A ⊂ D
 ¾ D ⊂ B
D. Conjuntos disjuntos o ajenos
 Dos conjuntos se denominan disjuntos cuando 
no poseen ningún elemento en común.
Ejemplos
 P = {x / x es un país de Sudamérica}
 Q = {x / x es un país europeo}
Observación
Si dos conjuntos son disjuntos, ambos serán diferentes. 
Si dos conjuntos son diferentes, entonces no siempre se-
rán disjuntos.
3. Conjuntos notables
A. Conjunto universal (∪)
 Es un conjunto referencial, nos indica en forma 
conveniente el estudio de una situación particular.
 Ejemplos: El conjunto de las frutas
 El conjunto de países
B. Conjunto vacío (∅)
 También llamado conjunto nulo, es aquel con-
junto que carece de elementos.
 Notación: ∅, { } 
 También debemos recordar ∅ ⊂ A, ∀A 
¾ ∅ ≠ {∅} ¾ ∅ ≠ {{ }}
 Ejemplo
 A = {x / x es el actual inca del Perú}
Observación
El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto inclui-
do el mismo.
C. Conjunto unitario
 También llamado singletón, es aquel conjunto 
con un solo elemento.
 Ejemplo
 A = {1} B = {∅} C = {13; 13; 13}
 Ejercicio de aplicación
 Dado el conjunto unitario, calcule 2x + 3.
 W = {x + 4; 2x – 1}
4to Año
18 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
4.o Grado
a
r
it
m
é
t
ic
a
compendio de ciencias i
20
m
atem
ática
D. Conjunto potencia o conjunto de partes (P(A))
 Es aquel conjunto formado por todos los sub-
conjuntos de A y cuya cantidad de elementos va 
a estar dada por 2n(A) , donde
n[P(A)]: número de subconjuntos o conjunto 
 potencia
n(A) : cardinal o número de elementos
Observación
Cardinal de un conjunto n(A) y es el número de elementos 
de un conjunto.
Ejemplo
Si A = {1; 2; 3}
 n(A) = 3 elementos
 n[P(A)] = 23 = 8 subconjuntos
Los cuales son
 P(A) = {{1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; 
 {1; 2; 3}; ∅}
 Los subconjuntos propios de A serían: {1}; 
{2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; {2; 3}; ∅, es 
decir, todos los elementos de P(A) excepto A.
 El número de subconjuntos propios va a estar 
determinado por 2n(A) –1 . 
Observación
Si un elemento se repite se le considera una sola vez.
Conjunto propio
 Esta formado por todos los subconjuntos del 
conjunto de A, menos el mismo conjunto A.
Aritmética
19Colegio Particular
A
r
it
m
é
t
ic
A
4.o GrAdo compendio de cienciAs i
21
m
At
em
át
ic
A
H
el
ic
os
ín
te
si
s
D
et
er
m
in
ac
ió
n 
de
 u
n 
co
nj
un
to
C
on
ju
nt
os
 
no
ta
bl
es
T
E
O
R
ÍA
 D
E
 C
O
N
JU
N
T
O
S
C
om
pr
en
si
ón
E
xt
en
si
ón
In
cl
us
ió
n
N
úm
er
o 
de
 
su
bc
on
ju
nt
os
C
on
ju
nt
os
 
ig
ua
le
s
C
ar
di
na
l d
e 
un
 
co
nj
un
to
C
on
ju
nt
os
 
co
m
pa
ra
bl
es
Su
bc
on
ju
nt
os
 
pr
op
io
s
C
on
ju
nt
o 
un
iv
er
sa
l
C
on
ju
nt
o 
va
cí
o
C
on
ju
nt
o 
po
te
nc
ia
C
on
ju
nt
o 
un
ita
ri
o
R
el
ac
io
ne
s 
en
tr
e 
co
nj
un
to
s
4to Año
20 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
4.o Grado
a
r
it
m
é
t
ic
a
compendio de ciencias i
22
m
atem
ática
1. Determine el cardinal de A en
A = {x3 – x / x ∈  ∧ –2 ≤ x < 5}
 Resolución
 Como x ∈  → x = –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4
 Luego x3 – x = –6; 0; 0; 0; 6; 24; 60
        ∴ n(A) = 5 elementos
 Rpta.: 5
2. Si los conjuntos A y B son iguales
 A = {m2 – 1; 2}
 B = {18 – p2; 8}
 calcule m + p siendo m y p positivos.
 Resolución
 Si A = B, entonces sus elementos son los mismos.
 m2 – 1 = 8 → m = 3
 18 – p2 = 2 → p = 4
 ∴ m + p = 7
 Rpta.: 7
3. Un estudiante salió de vacaciones por n días, tiempo 
durante el cual
¾ llovió 7 veces en la mañana o en la tarde.
¾ cuando llovía en la tarde, estaba despejada en la 
mañana.
¾ hubo 5 tardes despejadas.
¾ hubo 6 mañanas despejadas.
 Según esto, ¿de cuántos días fueron sus vacaciones?
 Resolución
Veces que llueve
↓
n mañanas despejado despejado n – 6
n tardes despejado n – 5 despejado
↑
Veces que llueve
 n – 6 + n – 5 = 7
 2n – 11 = 7 → n = 9
  ∴ Fueron 9 días de vacaciones.
 Rpta.: 9 días
4. Si P(A) = 128, P(B) = 256 y P(A∩B) = 32, de-
termine el número de subconjuntos de la diferencia 
simétrica de A y B.
 Resolución
 De los datos
 ¾ 2n(A) = 128 = 27 ¾ 2n(B) = 256 = 28
 n(A) = 7 n(B) = 8
 
 ¾ 2n(A∩B) = 32 = 25 ¾ n(A∩B) = 5
 Luego
 
52
A =7 B =8
3
 Donde: n(A ∆ B) = 2 + 3 = 5
 ∴ P(A ∆ B) = 25 = 32 subconjuntos
Rpta.: 32
5. De una muestra de clientes, se sabe que el 60% son 
varones; el 50% tienen los ojos azules y el 30% son 
varones con los ojos azules. Determine el número de 
clientes mujeres que no tienen los ojos azules.
 Resolución
 
Ojos azules
30% 20%30%
V= 60 % M= 40 %
20%
 ∴ x = 20 %
Rpta.: 20 %
Problemas resueltos
Aritmética
21Colegio Particular
A
r
it
m
é
t
ic
A
4.o GrAdo compendio de cienciAs i
23
m
At
em
át
ic
A
Helicopráctica
1. Escriba verdadero (V) o falso (F) respecto al conjunto
A = {2; 3; {4}}
a. 2 ∈ A ( )
b. 3 ∉ A ( )
c. {4} ∈ A ( )
d. ∅ ⊂ A ( )
e. {2; 3} ⊂ A ( )
f. {2} ⊂ A ( )
g. {4} ⊂ A ( )
h. {3; {4}} ⊂ A ( )
2. Un conjunto de 6 elementos, ¿cuántos subconjuntos 
tiene?
3. Halle el número de subconjuntos del conjunto
 A = {x2 + 1 / x ∈ ; – 3 < x ≤ 4}
4. ¿Cuántos subconjuntos ternarios posee un conjunto 
de 8 elementos?
5. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto for-
mado por las letras de la palabra alabanza?
6. Dados los conjuntos
 A = {x / x ∈ ; 12 < x ≤ 20}
 B = {y / y ∈ ; 8 < y < 9}
 efectúe E=[n(A)]n(B).
7. Si los conjuntos A={a + b; 19} y B={a⋅b; 84} son 
unitarios. Halle a – b. Dato (a > b) 
8. Se tiene un total de 8 frutas distintas. ¿Cuántos jugos 
surtidos diferentes se pueden preparar con estas frutas?
Helicotaller
Nivel I
1. Escriba verdadero (V) o falso (F) respecto al conjunto
B = {7; 8; {19}}
a. 7 ∉ B ( )
b. 8 ⊂ B ( )
c. {7} ∈ B ( )
d. {19} ∈ B ( )
e. {7} ⊂ B ( )
f. {{19}} ⊂ B ( )
g. {8; {19}} ⊂ B ( )
h. ∅ ⊂ B ( )
 Resolución
2. Un conjunto de 7 elementos, ¿cuántos subconjuntos 
tiene?
 Resolución
www.freeprintablepdf.eu
4to Año
22 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
4.o Grado
a
r
it
m
é
t
ic
a
compendio de ciencias i
24
matem
ática
Nivel II
3. Halle el número de subconjuntos del conjunto
 B = {x2 – 1 / x ∈ ; – 4 ≤ x < 3}
 Resolución
4. ¿Cuántos subconjuntos cuaternarios posee un con-
junto de 7 elementos?
 Resolución
5. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto for-
mado por todas las letras de la palabra pastilla?
 Resolución
Nivel III
6. Dados los conjuntos
 F = {x / x ∈ ; 30 ≤ x< 47}
 G = {m / m ∈ ; 15 < m < 16}
 efectúe Q=[n(F)]n(G).
 Resolución
4.o Grado
a
r
it
m
é
t
ic
a
compendio de ciencias i
24
m
atem
ática
Nivel II
3. Halle el número de subconjuntos del conjunto
 B = {x2 – 1 / x ∈ ; – 4 ≤ x < 3}
 Resolución
4. ¿Cuántos subconjuntos cuaternarios posee un con-
junto de 7 elementos?
 Resolución
5. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto for-
mado por todas las letras de la palabra pastilla?
 Resolución
Nivel III
6. Dados los conjuntos
 F = {x / x ∈ ; 30 ≤ x< 47}
 G = {m / m ∈ ; 15 < m < 16}
 efectúe Q=[n(F)]n(G).
 Resolución
4.o Grado
a
r
it
m
é
t
ic
a
compendio de ciencias i
24
m
atem
ática
Nivel II
3. Halle el número de subconjuntos del conjunto
 B = {x2 – 1 / x ∈ ; – 4 ≤ x < 3}
 Resolución
4. ¿Cuántos subconjuntos cuaternarios posee un con-
junto de 7 elementos?
 Resolución
5. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto for-
mado por todas las letras de la palabra pastilla?
 Resolución
Nivel III
6. Dados los conjuntos
 F = {x / x ∈ ; 30 ≤ x< 47}
 G = {m / m ∈ ; 15 < m < 16}
 efectúe Q=[n(F)]n(G).
 Resolución
4.o Grado
a
r
it
m
é
t
ic
a
compendio de ciencias i
24
m
atem
ática
Nivel II
3. Halle el número de subconjuntos del conjunto
 B = {x2 – 1 / x ∈ ; – 4 ≤ x < 3}
 Resolución
4. ¿Cuántos subconjuntos cuaternarios posee un con-
junto de 7 elementos?
 Resolución
5. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto for-
mado por todas las letras de la palabra pastilla?
 Resolución
Nivel III
6. Dados los conjuntos
 F = {x / x ∈ ; 30 ≤ x< 47}
 G = {m / m ∈ ; 15 < m < 16}
 efectúe Q=[n(F)]n(G).
 Resolución
Aritmética
23Colegio Particular
A
r
it
m
é
t
ic
A
4.o GrAdo compendio de cienciAs i
25
m
At
em
át
ic
A
7. Si los conjuntos A={a – b; 4} y B={a⋅b; 60} son 
unitarios. Halle a+b.
 Resolución
8. Se tiene un total de 9 frutas distintas. ¿Cuántos jugos 
surtidos diferentes se pueden preparar con estas frutas?
 Resolución
Helicodesafío
1. Para a, b ∈ , F y G son conjuntos tales que G ≠ ∅ 
y F ∪ G es un conjunto unitario. Si
 F = {a2 + 2b; b2 + 1} 
 F ∪ G = {a + 4b;b + 1 – 3a}
 determine G – F.
A) ∅ B) {0} C) {10}
D) {1} E) {–1}
2. Dados los conjuntos
 A = {x ∈  / –12 < x + 6 < 40}
 B = {x ∈  / 10 < x2 ≤ 400}
 ¿cuántos elementos tiene el conjunto A × B?
A) 1054 B) 1020 C) 992
D) 510 E) 1056
1. Calcule la suma de elementos del conjunto A.
 A = {x2 / x ∈  ∧ – 3 ≤ x < 3}
A) 13 B) 14 C) 15
D) 16 E) 17
2. Dado el conjunto
 A = {3x – 1 / x ∈  ∧ 4 ≤ x<10}
 determine el cardinal de A.
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
3. Escriba verdadero (V) o falso (F) según
 A = {3; {4}; {5; 6}}
¾ 3 ∈ A ( )
¾ {4} ∈ A ( )
¾ {3} ∈ A ( )
¾ {5; 6} ∈ A ( )
¾ {{4}} ⊂ A ( )
¾ ∅ ⊂ A ( )
 ¿Cuántas verdaderas se obtienen?
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 2
4. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto E?
 E = {x / x ∈  ∧ 15<2x+3<25}
A) 15 B) 7 C) 31
D) 63 E) 127
5. El conjunto A tiene 63 subconjuntos propios. Deter-
mine el cardinal de A.
A) 6 B) 5 C) 4
D) 7 E) 8
Helicorreto
4to Año
24 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
4.o Grado
a
r
it
m
é
t
ic
a
compendio de ciencias i
26
m
atem
ática
Helicotarea
Nivel I
1. Sea el universo U = + y los conjuntos
 A = {x / x ∈ U, 5 < x < 6}
 B = {x / x ∈ U, 2x < 9}
 Calcule n(A) + n(B).
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 7
2. Dados los conjuntos
 A = {{m}; p; {r; s; t; u}}
 B = {r; s; t}
 C = {u; v}
 ¿cuál(es) es (son) verdadera(s)?
I. p ∈ A II. C ⊂ A III. C ⊄ A
A) Solo I B) Solo II C) I y II
D) I y III E) Todas
3. Dado el conjunto
 A = {2; {3}; {2; 3}; 3; 4}
 ¿cuántas de las siguientes proposiciones son verda-
deras?
¾ 2 ∈ A ¾ {2; 3} ⊂ A ¾ 3 ∈ A
¾ {2; 3} ∈ A ¾ {3} ⊂ A ¾ 2 ⊂ A
¾ ∅ ∈ A ¾ {{3}; 4} ∈ A
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
4. Calcule la suma de los elementos del conjunto A.
 A = {x / x ∈ +, 7x ≤ 2x + 100}
A) 280 B) 210 C) 175
D) 140 E) 120
Nivel II
5. Sean A y B conjuntos, tales que
 A = {a + b; a – b; b2}
 B = {3; 3b}
 Si A = B, calcule a2 – b2.
A) 24 B) 27 C) 30
D) 32 E) 36
6. Si el conjunto A es unitario
 A = {a + b; b + c; a + c; 8}
 calcule abc.
A) 32 B) 64 C) 128
D) 6 E) 16
7. Cuántos subconjuntos tiene Q si
 Q = {x / x ∈ , – 4 < 2x + 1 < 8)}
A) 5 B) 8 C) 16
D) 32 E) 64
8. Determine el cardinal de C.
 C = {(x3/4) / x ∈  ∧ 3x < 2x + 8}
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
Nivel III
9. Dado el conjunto
 
− = ∈ < < 
 
2 1
B / , 3 5
3
x
x x 
 indique lo correcto.
A) Es vacío.
B) Es unitario.
C) Posee dos elementos.
D) La suma de sus elementos es 9.
E) El producto de sus elementos es 1680.
10. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto A sabiendo 
que tiene 480 subconjuntos más que el conjunto B, 
el cual posee 5 elementos?
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
25Colegio Particular 27
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
3
Aprendizajes esperados
Leonard Euler (1707 - 1783)
Cuando se estableció en Berlín en 1741, la nieta del 
rey de Prusia le pidió que le enseñará física. Esta 
publicó estas lecciones en Londres en 1775, en for-
ma de 234 cartas; en una de ellas hay, sin duda por 
primera vez, figuras geométricas para explicar los 
principios del silogismo.
El ingenioso método de representar el alcance de un 
término por medio de un círculo (los famosos cír-
culos de Euler) resultaba fácil para comprobar si un 
argumento es correcto o no, veamos
Toda M es P; toda S es M; luego 
toda S es P. Esto es un silogis-
mo en Bárbara (nombre técni-
co puesto por los escolásticos). 
Ninguna M es P; todo S es M; luego ninguna S es P. Esto es un 
silogismo en Celarent.
Los círculos de Euler adquieren una gran importancia en la aplicación de la teoría de los 
conjuntos.
Responda.
a. Represente un diagrama para “limeños” y “peruanos”.
b. Represente un diagrama para “varones y mujeres”; “casados y solteros”.
 ¾ Realiza y difiere las operaciones entre conjuntos.
 ¾ Localiza en un diagrama de Venn, Euler o Carroll las regiones que 
corresponden a una operación conjuntista.
TEORÍA DE CONJUNTOS II 3
27
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
3
Aprendizajes esperados
Leonard Euler (1707 - 1783)
Cuando se estableció en Berlín en 1741, la nieta del 
rey de Prusia le pidió que le enseñará física. Esta 
publicó estas lecciones en Londres en 1775, en for-
ma de 234 cartas; en una de ellas hay, sin duda por 
primera vez, figuras geométricas para explicar los 
principios del silogismo.
El ingenioso método de representar el alcance de un 
término por medio de un círculo (los famosos cír-
culos de Euler) resultaba fácil para comprobar si un 
argumento es correcto o no, veamos
Toda M es P; toda S es M; luego 
toda S es P. Esto es un silogis-
mo en Bárbara (nombre técni-
co puesto por los escolásticos). 
Ninguna M es P; todo S es M; luego ninguna S es P. Esto es un 
silogismo en Celarent.
Los círculos de Euler adquieren una gran importancia en la aplicación de la teoría de los 
conjuntos.
Responda.
a. Represente un diagrama para “limeños” y “peruanos”.
b. Represente un diagrama para “varones y mujeres”; “casados y solteros”.
 ¾ Realiza y difiere las operaciones entre conjuntos.
 ¾ Localiza en un diagrama de Venn, Euler o Carroll las regiones que 
corresponden a una operación conjuntista.
TEORÍA DE CONJUNTOS II
27
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
3
Aprendizajes esperados
Leonard Euler (1707 - 1783)
Cuando se estableció en Berlín en 1741, la nieta del 
rey de Prusia le pidió que le enseñará física. Esta 
publicó estas lecciones en Londres en 1775, en for-
ma de 234 cartas; en una de ellas hay, sin duda por 
primera vez, figuras geométricas paraexplicar los 
principios del silogismo.
El ingenioso método de representar el alcance de un 
término por medio de un círculo (los famosos cír-
culos de Euler) resultaba fácil para comprobar si un 
argumento es correcto o no, veamos
Toda M es P; toda S es M; luego 
toda S es P. Esto es un silogis-
mo en Bárbara (nombre técni-
co puesto por los escolásticos). 
Ninguna M es P; todo S es M; luego ninguna S es P. Esto es un 
silogismo en Celarent.
Los círculos de Euler adquieren una gran importancia en la aplicación de la teoría de los 
conjuntos.
Responda.
a. Represente un diagrama para “limeños” y “peruanos”.
b. Represente un diagrama para “varones y mujeres”; “casados y solteros”.
 ¾ Realiza y difiere las operaciones entre conjuntos.
 ¾ Localiza en un diagrama de Venn, Euler o Carroll las regiones que 
corresponden a una operación conjuntista.
TEORÍA DE CONJUNTOS II
4to Año
26 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
4.o Grado
a
r
it
m
é
t
ic
a
compendio de ciencias i
28
m
atem
ática
Helicoteoría
Diagrama de Euler
Utilizaba círculos solo para representar proposiciones, 
exhibiéndose las relaciones de inclusión y exclusión re-
lativas (conjuntos).
AB
U
Significa que todos los elementos de A son también ele-
mentos de B. Es decir, todos los de A son de B (diagrama).
A B
Ningún A es también B o
Ningún B es también A
A B
Algunos A son B o
Algunos B son A
Diagrama de Venn
Las ideas de conjunto, subconjunto, relaciones, operacio-
nes, etc. se ilustran mediante los llamados diagramas de 
Venn. Este ilustró al conjunto universal (U), mediante un 
rectángulo, usando regiones planas limitadas por curvas 
cerradas (círculos), que se usan para representar a los 
conjuntos que intervienen en la relación de clases (con-
juntos).
A
A'
Los elementos del conjunto A, están dentro del círculo 
y los elementos que no son de A están fuera del círculo 
(A') estos diagramas los aplicaremos en las operaciones 
entre conjuntos.
1. Unión o reunión (∪)
 Dados los conjuntos A y B, se denomina unión al 
conjunto formado por los elementos que pertenecen 
al conjunto A o al conjunto B; luego por compren-
sión tenemos
A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B} 
 Usando los diagramas de Venn-Euler
A B
U
n(A
 
∪
 
B)
 
=
 
n(A)
 
+
 
n(B)
 
–
 
(A
 
∩
 
B)
BA
U
n(A ∪ B) = n(A)
 Conjunto mayor 
↵
A B
U
n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
Propiedades
 ¾ A ∪ A = A ... Idempotencia
 ¾ A ∪ B = B ∪ A ... Conmutativa
 ¾ (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) ... Asociativa
 ¾ U ∪ A = U
 ¾ A ∪ ∅ = A ... Elemento neutro
 ¾ A ∪ B = ∅ → A = ∅ ∧ B = ∅
 ¾ (A ∪ B) ⊂ C → A ⊂ C ∧ B ⊂ C
Ejemplo
A = {2; 3; 4} B = {2; 5; 7}
∴ A ∪ B = {2; 3; 4; 5; 7}
TEORÍA DE CONJUNTOS II
Aritmética
27Colegio Particular
A
r
it
m
é
t
ic
A
4.o GrAdo compendio de cienciAs i
29
m
At
em
át
ic
A
2. Intersección (∩)
 Dados los conjuntos A y B, se denomina intersec-
ción al conjunto formado por los elementos comunes 
del conjunto A y B; luego por comprensión tenemos
A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B} 
 Usando los diagramas de Venn-Euler
 
A B
U
 Si B ⊂ A →  n(A ∩ B) = n(B)
 Conjunto menor 
↵
B A
U
 Si A ∩ B = ∅ →  A y B son disjuntos.
 Donde: n(A ∩ B) = 0
A B
U
 Propiedades
 ¾ A ∩ A = A ... Idempotencia
 ¾ A ∩ B = B ∩ A ... Conmutativa
 ¾ A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C ... Asociativa
 ¾ A ∩ U = A
 ¾ A ∩ ∅ = ∅ ... Elemento neutro
 ¾ A ⊂ B → (A ∩ C) ⊂ (B ∩ C) 
3. Diferencia (–)
 Dados los conjuntos A y B, se denomina diferencia 
al conjunto formado por los elementos del conjunto 
A, pero no de B; luego por comprensión tenemos
A – B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B} 
 Usando los diagramas de Venn-Euler
A B
U
 Si B ⊂ A
B A
U
 Obs.: B – A = ∅ 
 n(B – A) = 0 
Si A y B disjuntos
A B
U
 n(A – B) = n(A)
 Propiedades
 ¾ A – A = ∅
 ¾ ∅ – A = ∅
 ¾ A – ∅ = A
 ¾ A – B ≠ B – A
 ¾ (A – B) ⊂ A → (B – A) ⊂ B
 Ejemplo
 Sean los conjuntos D = {1; 2; 3; 4} y E = {2; a; b}.
 Determine D – E y E – D.
 Solución
D – E = {1; 3; 4} E – D = {a; b}
4. Complemento
 El complemento de un conjunto A, respecto del 
conjunto universal (U), es otro conjunto cuyos ele-
mentos son de U pero no del conjunto A; luego por 
comprensión tenemos
U – A = A' = {x / x ∈ U ∧ x ∉ A} 
 además el complemento de A con respecto de B sería
CAB = B – A = {x / x ∈ B ∧ x ∉ A} 
 Son todas el complemento de B, pero no de A.
 Usando los diagramas de Venn-Euler
 
A
A'
U
A' = AC 
4to Año
28 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
4.o Grado
a
r
it
m
é
t
ic
a
compendio de ciencias i
30
m
atem
ática
 Propiedades
 ¾ U' = ∅ ∧ ∅' = U
 ¾ (A')' = A
 ¾ A ∪ A' = U
 ¾ (A ∪ B)' = A' ∩ B' (Ley de Morgan)
 ¾ (A ∩ B)' = A' ∪ B' (Ley de Morgan)
 ¾ A ∩ A' = ∅
 ¾ A ⊂ B ↔ B' ⊂ A' 
 Ejemplo
 Sea U = {x / x ∈  ∧ 0 < x < 9} 
 A = {2; 3; 5; 7}
∴    A' = {1; 4; 6; 8}
5. Diferencia simétrica (∆)
 Dados los conjuntos A y B, se llama diferencia simé-
trica de A y B, a aquellos elementos pertenecientes a 
(A – B) o (B – A); luego por comprensión tenemos
A ∆ B = {x / x ∈ (A – B) ∨ x ∈ (B – A)}
 Usando los diagramas de Venn-Euler
B A
U
A B
U
A B
U
 Propiedades
 ¾ A ∆ B = B ∆ A
 ¾ (A ∆ B) ∆ C = A ∆ (B ∆ C)
 ¾ A ∆ A = ∅
 ¾ A ∆ ∅ = A
 ¾ A ∆ B = ∅ ↔ A = B
 ¾ A ∆ B = (A – B) ∪ (B – A)
 ¾ A ∆ B = (A ∪ B) – (A ∩ B)
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Unión o reunión 
(∪)
Intersección
 (∩)
Diferencia
 (–)
Complementación 
(')
Diferencia 
simétrica (∆)
Helicosíntesis
Aritmética
29Colegio Particular
A
r
it
m
é
t
ic
A
4.o GrAdo compendio de cienciAs i
31
m
At
em
át
ic
A
1. Si n(A) = 20, n(B) = 26 y n(A ∩ B) = 10, ¿cuántos 
elementos tiene A ∪ B?
 Resolución
 Como n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
 n(A ∪ B) = 20 + 26 – 10
    ∴ n(A ∪ B) = 36
Rpta.: 36
2. Dados los conjuntos A y B, donde n(A) = 7 y 
n(B) = 3, ¿cuál es el máximo número de elementos 
que puede tener A ∪ B y A ∩ B?
 Resolución
 Para que el número de elementos de A ∪ B sea máxi-
mo suponemos que A ∩ B = ∅.
¾ n(A ∪ B) = n(A) + n(B) = 10
 Para que el número de elementos de A ∩ B sea máxi-
mo suponemos que B ⊂ A.
¾ n(A ∩ B) = n(B) = 3
∴ 10 y 3
Rpta.: 10 y 3
3. Dados los conjuntos
 A = {1; 3; 5; 7}
 B = {1; 2; 3; 4; 5}
 C = {1; 4; 9}
 determine (A ∩ B) – (B ∩ C). 
 Resolución
 A ∩ B = {1; 3; 5}
 B ∩ C = {1; 4}
∴ (A ∩ B) – (B ∩ C) = {3; 5}
Rpta.: {3; 5}
4. Si el conjunto A tiene 4095 subconjuntos propios, 
¿cuántos subconjuntos binarios tiene?
 Resolución
Número de subconjuntos propios:
2n(A) – 1 = 4095 2n(A) = 4096 = 212
Donde: n(A) = 12 elementos
Luego, el número de subconjuntos binarios
= =
− × ×
12
2
12! 12!
C
(12 2)! 2! 10! 2!
× ×
=
×
12
2
12 11 10!
C
10! 2
∴ 66 subconjuntos binarios
Rpta.: 66
5. Si el conjunto A es unitario 
 A = {a2 + b2; b2 + c2; a2 + c2; 242} 
 calcule la suma de elementos del conjunto B.
 B = {a + b; a + b + c; ac}
 Resolución
Como el conjunto es unitario los elementos son iguales
 ¾ a2 + b2 = b2 + c2 → a = c
 ¾ a2 + b2 = a2 + c2 → b = c 
  ∴ a = b = c
 Luego 
 a2 + b2 = 242 → a2 + a2 = 242 → a = 11
  ∴ a = b = c = 11
 Reemplazando
 B = {22; 33; 121}
  ∴ Suma de elementos = 176
Rpta.: 176
Problemas resueltos
4to Año
30 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
4.o Grado
a
r
it
m
é
t
ic
a
compendio de ciencias i
32
m
atem
ática
1. Dado el siguiente gráfico:
 
UA B
.7
.8 .2
.6 .5
.4
.12
.10 .13
 calcule la suma de elementos de A' ∩ B.
2. Dados los conjuntos
 U={x / x ∈ ; 5 < x < 16}
 A = {6; 8; 9; 11; 13}
 B = {7; 8; 13; 14}
 calcule la suma de elementos de A' ∩ B'.
3. Dados los conjuntos A y B incluidos en U, reduzca
 [(A ∩ B) ∪ (A – B)] ∆ (A' ∪ B)
4. Carlos consume café o leche todas las mañanas du-
rante el mes de marzo. Si 22 mañanas consume café 
y 16 mañanas consume leche, ¿cuántas mañanas 
consumió café con leche?
5. De un grupo de 41 estudiantes se observó que 19 
no estudia aritmética, 24 no estudian álgebra y 9 
no estudian ningunode estos dos cursos. ¿Cuántos 
estudiantes estudian ambos cursos?
6. De 45 estudiantes universitarios se observó que 22 
son hombres, 25 estudian medicina y 8 mujeres no 
estudian medicina. ¿Cuántos hombres no estudian 
medicina?
7. En un grupo de 56 deportistas se observó que
¾	7 son boxeadores que practican karate y atletismo.
¾	36 son boxeadores.
¾	23 son atletas.
¾	Todos los karatecas son boxeadores y 15 son de-
portistas que solo practican el boxeo.
¾	8 deportistas no practican ninguno de los depor-
tes mencionados.
 ¿Cuántos deportistas son boxeadores y atletas pero 
no karatecas?
8. En una escuela de 55 alumnos, 25 aprobaron Física, 
18 aprobaron Química y 26 aprobaron Geometría. Si 
3 alumnos aprobaron los tres cursos y 6 no aproba-
ron curso alguno, ¿cuántos alumnos aprobaron solo 
dos de estos cursos?
Helicopráctica
www.freeprintablepdf.eu
Aritmética
31Colegio Particular
A
r
it
m
é
t
ic
A
4.o GrAdo compendio de cienciAs i
33
m
At
em
át
ic
A
Nivel I
1. Dado el siguiente gráfico:
 
UR T
.1
.8 .5
.6 .10
.3
.7
.2 .14
 calcule la suma de elementos de R' – T.
 Resolución
2. Dados los conjuntos
 U={x / x ∈ ; 2 < x < 13}
 A = {4; 5; 7; 10; 11}
 B = {6; 7; 9; 10}
 calcule la suma de elementos de B' – A'.
 Resolución
Nivel II
3. Dados los conjuntos A y B incluidos en U, reduzca
 [(A ∪ B') ∩ (A' ∩ B)] ∩ (A – B)
 Resolución
4. Carlos consume café o leche todas las mañanas du-
rante el mes de junio. Si 19 mañanas consume café y 
15 mañanas consume leche, ¿cuántas mañanas con-
sumió café con leche?
 Resolución
Helicotaller
A
r
it
m
é
t
ic
A
4.o GrAdo compendio de cienciAs i
33
m
At
em
át
ic
A
Nivel I
1. Dado el siguiente gráfico:
 
UR T
.1
.8 .5
.6 .10
.3
.7
.2 .14
 calcule la suma de elementos de R' – T.
 Resolución
2. Dados los conjuntos
 U={x / x ∈ ; 2 < x < 13}
 A = {4; 5; 7; 10; 11}
 B = {6; 7; 9; 10}
 calcule la suma de elementos de B' – A'.
 Resolución
Nivel II
3. Dados los conjuntos A y B incluidos en U, reduzca
 [(A ∪ B') ∩ (A' ∩ B)] ∩ (A – B)
 Resolución
4. Carlos consume café o leche todas las mañanas du-
rante el mes de junio. Si 19 mañanas consume café y 
15 mañanas consume leche, ¿cuántas mañanas con-
sumió café con leche?
 Resolución
Helicotaller
A
r
it
m
é
t
ic
A
4.o GrAdo compendio de cienciAs i
33
m
At
em
át
ic
A
Nivel I
1. Dado el siguiente gráfico:
 
UR T
.1
.8 .5
.6 .10
.3
.7
.2 .14
 calcule la suma de elementos de R' – T.
 Resolución
2. Dados los conjuntos
 U={x / x ∈ ; 2 < x < 13}
 A = {4; 5; 7; 10; 11}
 B = {6; 7; 9; 10}
 calcule la suma de elementos de B' – A'.
 Resolución
Nivel II
3. Dados los conjuntos A y B incluidos en U, reduzca
 [(A ∪ B') ∩ (A' ∩ B)] ∩ (A – B)
 Resolución
4. Carlos consume café o leche todas las mañanas du-
rante el mes de junio. Si 19 mañanas consume café y 
15 mañanas consume leche, ¿cuántas mañanas con-
sumió café con leche?
 Resolución
Helicotaller
A
r
it
m
é
t
ic
A
4.o GrAdo compendio de cienciAs i
33
m
At
em
át
ic
A
Nivel I
1. Dado el siguiente gráfico:
 
UR T
.1
.8 .5
.6 .10
.3
.7
.2 .14
 calcule la suma de elementos de R' – T.
 Resolución
2. Dados los conjuntos
 U={x / x ∈ ; 2 < x < 13}
 A = {4; 5; 7; 10; 11}
 B = {6; 7; 9; 10}
 calcule la suma de elementos de B' – A'.
 Resolución
Nivel II
3. Dados los conjuntos A y B incluidos en U, reduzca
 [(A ∪ B') ∩ (A' ∩ B)] ∩ (A – B)
 Resolución
4. Carlos consume café o leche todas las mañanas du-
rante el mes de junio. Si 19 mañanas consume café y 
15 mañanas consume leche, ¿cuántas mañanas con-
sumió café con leche?
 Resolución
Helicotaller
A
r
it
m
é
t
ic
A
4.o GrAdo compendio de cienciAs i
33
m
At
em
át
ic
A
Nivel I
1. Dado el siguiente gráfico:
 
UR T
.1
.8 .5
.6 .10
.3
.7
.2 .14
 calcule la suma de elementos de R' – T.
 Resolución
2. Dados los conjuntos
 U={x / x ∈ ; 2 < x < 13}
 A = {4; 5; 7; 10; 11}
 B = {6; 7; 9; 10}
 calcule la suma de elementos de B' – A'.
 Resolución
Nivel II
3. Dados los conjuntos A y B incluidos en U, reduzca
 [(A ∪ B') ∩ (A' ∩ B)] ∩ (A – B)
 Resolución
4. Carlos consume café o leche todas las mañanas du-
rante el mes de junio. Si 19 mañanas consume café y 
15 mañanas consume leche, ¿cuántas mañanas con-
sumió café con leche?
 Resolución
Helicotaller
www.freeprintablepdf.eu
4to Año
32 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
4.o Grado
a
r
it
m
é
t
ic
a
compendio de ciencias i
34
m
atem
ática
5. De un grupo de 43 estudiantes se observó que 27 
no estudian historia, 20 no estudian literatura y 8 
no estudian ninguno de estos dos cursos. ¿Cuántos 
estudiantes estudian ambos cursos?
 Resolución
Nivel III
6. De 59 estudiantes universitarios se observó que 33 
son hombres, 25 estudian ingeniería y 19 mujeres no 
estudian ingeniería. ¿Cuántos hombres no estudian 
ingeniería?
 Resolución
7. En un grupo de 57 deportistas se observó que
¾	13 son futbolistas que practican el atletismo y 
natación.
¾	33 son futbolistas.
¾	28 son nadadores.
¾	Todos los atletas son futbolistas y 10 son depor-
tistas que solo practican el fútbol.
¾	15 deportistas no practican ninguno de los depor-
tes mencionados.
 ¿Cuántos deportistas son futbolistas y nadadores 
pero no atletas?
 Resolución
8. En un escuela de 63 alumnos, 26 aprobaron Geogra-
fía, 22 aprobaron Lenguaje y 33 aprobaron Psicolo-
gía. Si 5 alumnos aprobaron los tres cursos y 7 no 
aprobaron curso alguno, ¿cuántos alumnos aproba-
ron solo dos de estos cursos?
 Resolución
4.o Grado
a
r
it
m
é
t
ic
a
compendio de ciencias i
34
m
atem
ática
5. De un grupo de 43 estudiantes se observó que 27 
no estudian historia, 20 no estudian literatura y 8 
no estudian ninguno de estos dos cursos. ¿Cuántos 
estudiantes estudian ambos cursos?
 Resolución
Nivel III
6. De 59 estudiantes universitarios se observó que 33 
son hombres, 25 estudian ingeniería y 19 mujeres no 
estudian ingeniería. ¿Cuántos hombres no estudian 
ingeniería?
 Resolución
7. En un grupo de 57 deportistas se observó que
¾	13 son futbolistas que practican el atletismo y 
natación.
¾	33 son futbolistas.
¾	28 son nadadores.
¾	Todos los atletas son futbolistas y 10 son depor-
tistas que solo practican el fútbol.
¾	15 deportistas no practican ninguno de los depor-
tes mencionados.
 ¿Cuántos deportistas son futbolistas y nadadores 
pero no atletas?
 Resolución
8. En un escuela de 63 alumnos, 26 aprobaron Geogra-
fía, 22 aprobaron Lenguaje y 33 aprobaron Psicolo-
gía. Si 5 alumnos aprobaron los tres cursos y 7 no 
aprobaron curso alguno, ¿cuántos alumnos aproba-
ron solo dos de estos cursos?
 Resolución
4.o Grado
a
r
it
m
é
t
ic
a
compendio de ciencias i
34
m
atem
ática
5. De un grupo de 43 estudiantes se observó que 27 
no estudian historia, 20 no estudian literatura y 8 
no estudian ninguno de estos dos cursos. ¿Cuántos 
estudiantes estudian ambos cursos?
 Resolución
Nivel III
6. De 59 estudiantes universitarios se observó que 33 
son hombres, 25 estudian ingeniería y 19 mujeres no 
estudian ingeniería. ¿Cuántos hombres no estudian 
ingeniería?
 Resolución
7. En un grupo de 57 deportistas se observó que
¾	13 son futbolistas que practican el atletismo y 
natación.
¾	33 son futbolistas.
¾	28 son nadadores.
¾	Todos los atletas son futbolistas y 10 son depor-
tistas que solo practican el fútbol.
¾	15 deportistas no practican ninguno de los depor-
tes mencionados.
 ¿Cuántos deportistas son futbolistas y nadadores 
pero no atletas?
 Resolución
8. En un escuela de 63 alumnos, 26 aprobaron Geogra-
fía, 22 aprobaron Lenguaje y 33 aprobaron Psicolo-
gía. Si 5 alumnos aprobaron los tres cursos y 7 no 
aprobaron curso alguno, ¿cuántos alumnos aproba-
ron solo dos de estos cursos?
 Resolución
4.o Grado
a
r
it
m
é
t
ic
a
compendio de ciencias i
34
m
atem
ática
5. De un grupo de 43 estudiantes se observó que 27 
no estudian historia, 20 no estudian literatura y 8 
no estudian ninguno de estos dos cursos. ¿Cuántos 
estudiantes estudianambos cursos?
 Resolución
Nivel III
6. De 59 estudiantes universitarios se observó que 33 
son hombres, 25 estudian ingeniería y 19 mujeres no 
estudian ingeniería. ¿Cuántos hombres no estudian 
ingeniería?
 Resolución
7. En un grupo de 57 deportistas se observó que
¾	13 son futbolistas que practican el atletismo y 
natación.
¾	33 son futbolistas.
¾	28 son nadadores.
¾	Todos los atletas son futbolistas y 10 son depor-
tistas que solo practican el fútbol.
¾	15 deportistas no practican ninguno de los depor-
tes mencionados.
 ¿Cuántos deportistas son futbolistas y nadadores 
pero no atletas?
 Resolución
8. En un escuela de 63 alumnos, 26 aprobaron Geogra-
fía, 22 aprobaron Lenguaje y 33 aprobaron Psicolo-
gía. Si 5 alumnos aprobaron los tres cursos y 7 no 
aprobaron curso alguno, ¿cuántos alumnos aproba-
ron solo dos de estos cursos?
 Resolución
Aritmética
33Colegio Particular
A
r
it
m
é
t
ic
A
4.o GrAdo compendio de cienciAs i
35
m
At
em
át
ic
A
Helicorreto
Helicodesafío
1. Si A tiene el doble de elementos que B y posee 992 
subconjuntos más, determine cuántos elementos tie-
ne A ∪ B sabiendo, además, que A y B comparten 
solo 3 elementos.
A) 10 B) 12 C) 14
D) 16 E) 20
1. Los conjuntos A y B son tales que
n(A∪B) = 35 n(A – B) = 18
n(B – A) = 12
 Calcule n(A) + n(B).
A) 40 B) 30 C) 35
D) 45 E) 43
2. Si U = {x ∈  / 1 ≤ x ≤ 10}
A'={2; 4; 5; 8} B’ ={1; 3; 6; 7; 9}
 calcule n(A)+n(B).
A) 11 B) 12 C) 13
D) 14 E) 15
3. George come jamón o queso cada mañana durante el 
mes de junio. Si come jamón durante 20 mañanas y 
queso durante 15 mañanas, ¿durante cuántas maña-
nas comió jamón y queso?
2. Sea x el número máximo de elementos de A ∪ B ∪ C. 
Sea y el número máximo de elementos de D ∩ E ∩ F. 
Si n(A) = 9, n(B) = 7, n(C) = 10, n(D) = 4, n(E) = 2 
y n(F) = 9, el valor de x + y es igual a
A) 30. B) 24. C) 28.
D) 35. E) 20.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
4. En un salón de clases, 60 no tienen 17 años, de ellos 
32 tienen buenas notas. ¿Cuántos alumnos de 17 
años tienen malas notas si 50 tienen buenas notas, de 
un total de 90 alumnos?
A) 32 B) 18 C) 12
D) 28 E) 16
5. Dados los conjuntos A y B contenidos en U, ade-
más
n(A)=26 n(B)=36
n(A∩B)=15 n(U)=60
 calcule n(A ∆ B) + n[(A ∪ B)'].
A) 40 B) 45 C) 36
D) 47 E) 50
Nivel I
1. De un grupo de 44 estudiantes se observó que 14 no 
estudian Trigonometría, 23 no estudian Química y 
5 no estudian ninguno de estos dos cursos. ¿Cuántos 
estudiantes estudian ambos cursos?
A) 10 B) 12 C) 14
D) 8 E) 11
2. Carlos consume café o leche todas las mañanas du-
rante el mes de noviembre. Si 27 mañanas consume 
café y 15 mañanas consume leche, ¿cuántas mañanas 
consumió café con leche?
A) 12 B) 10 C) 8
D) 14 E) 7
Helicotarea
4to Año
34 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
4.o Grado
a
r
it
m
é
t
ic
a
compendio de ciencias i
36
m
atem
ática
Capítulos 1, 2 y 3
 ¾ HERNÁNDEZ, Hernán. Aritmética. Lima, 1995.
 ¾ RUIZ ARANGO, Isidoro. Lógica proposicional. Lima, 1996.
 ¾ RUIZ ARANGO, Isidoro. Exámenes de admisión UNI (1970-1999). Editorial Coveñas. Lima, 1999.
Bibliografía y cibergrafía
3. De 53 estudiantes universitarios se observó que 27 
son hombres, 32 estudian arquitectura y 9 mujeres 
no estudian arquitectura. ¿Cuántos hombres no estu-
dian arquitectura?
A) 14 B) 15 C) 11
D) 16 E) 12
Nivel II
4. Dado el siguiente gráfico:
 
UM R
.8
.5 .1
.9 .4
.7
.12
.17 .2
 calcule la suma de elementos de (R – M)'.
A) 58 B) 60 C) 69
D) 52 E) 50
5. Dados los conjuntos A y B incluidos en U, reduzca
 [(B – A) ∪ (A' ∩ B)] ∆ (A – B)'
A) A ∪ B B) A ∩ B C) (A ∩ B)'
D) (A ∪ B)' E) (A ∆ B)'
6. Si 
 A = {2x / x ∈  ∧ x < 15}
 B = {3x / x ∈  ∧ x < 10}
 C = {5x / x ∈  ∧ x < 6}
 determine el cardinal de (A ∪ C) ∩ B.
A) 5 B) 3 C) 2
D) 6 E) 1
7. Si
 n[P(A)] = 128
 n[P(B)] = 32 
 n[P(A ∩ B)] = 8
 determine el cardinal de P(A ∪ B).
A) 16 B) 64 C) 512
D) 256 E) 1024
Nivel III
8. Para dos conjuntos A y B se cumple que
¾ n(A ∆ B) = 20
¾ n(A) = 17
¾ n(A) – n(B) = 4
 Determine n(A ∩ B).
A) 2 B) 5 C) 3
D) 7 E) 9
9. Escriba verdadero (V) o falso (F) según correspon-
da.
¾ Si n(A) = 2 y n(B) = 2, el número máximo de 
subconjuntos de A ∪ B es 8. ( )
¾ Si A ∩ B = ∅, entonces A = ∅ y B = ∅. ( )
¾ Si A – B = {3; 4} y B – A = {5; 6}, el número mí-
nimo de elementos de A ∪ B es 5. ( )
A) FFF B) VVF C) FFV
D) VFF E) VVV