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CÁLCULO 2 - 2021 LICENCIATURA EN CIENCIAS DE LA ATMÓSFERA Y METEOROLOGIA APLICADA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS AMBIENTALES Y GESTION DEL AGUA DOCENTES: Prof. Emilce Barrozo Lic. Juan Ignacio López Ortiz ECUACIONES DIFERENCIALES (Material realizado con apuntes del libro Matemáticas Avanzadas para Ingeniería (3a ed.) Autor Kreyszig, E.) Secciones 1.1, 1.2, 1.7 ¿Qué es una ECUACIÓN DIFERENCIAL? Es una ecuación que contiene una o varias derivadas de una función desconocida, llamémosle y(x) y se pretende a partir de su resolución, conocer a esta y(x). Puede incluir también a la propia función y, y a otras funciones o constantes conocidas El Orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada mayor que interviene. En este curso veremos solo ED de primer orden Resolver una ED significa hallar una función y(x) que satisfaga (4) Muchas veces una ED viene acompañada de unos ciertos valores ya conocidos, de una condición inicial En este caso la llamamos problema con valor inicial y la expresamos de esta forma: Esta es la ED Esta es la condición inicial que indica que en la función buscada vale ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES En un miembro me queda una integral con respecto a x y en el otro, una integral con respecto a y ¿Cómo resuelvo una ED separable? Ejemplo 1: Resolver la ecuación diferencial Separamos las variables Integramos a ambos miembros respecto de x: Reemplazamos Integramos y obtenemos Operando Nos queda La solución hallada representa una familia de elipses. A medida que le damos valores a c, vamos encontrando cada una de ellas En este caso hemos dejado la solución en forma implícita, sin despejar y Ejemplo 3: Resolvamos el siguiente problema con valor inicial Primero separamos las variables Integramos a ambos miembros respecto de x Reemplazamos Resolvemos y despejamos y, nos queda en términos de c Para determinar esta constante, c, usamos la condición inicial Esta indica que cuando x=0, y=1 Luego reemplazamos el c obtenido Esta es la solución al problema con valor inicial dado, también llamada solución particular Solución General ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Vamos a hallar una solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea Es lineal en y e y’ p(x) y r(x) pueden ser cualquier función que depende de x, dadas Consideremos la ecuación homogénea 𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 0 → 𝑦′ = −𝑝 𝑥 𝑦 Observemos que podemos separar variables y obtener: 𝑦′ = −𝑝 𝑥 𝑦 → 𝑦′ 𝑦 = −𝑝 𝑥 → 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 𝑦 = −𝑝 𝑥 → 𝑑𝑦 𝑦 = −𝑝 𝑥 𝑑𝑥 Ahora, integramos ambos miembros න 1 𝑦 𝑑𝑦 = න−𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑙𝑛 𝑦 = −න𝑝 𝑥 𝑑𝑥 + ҧ𝑐 𝑒𝑙𝑛 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥+ ҧ𝑐 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 ҧ𝑐 = 𝑐𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 Solución General de la Ecuación lineal Homogénea Ejemplo: Resolvamos la siguiente ecuación diferencial lineal homogénea: Según lo visto anteriormente, la solución general es de la forma 𝑦 𝑥 = 𝑐𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 Y reconociendo a p(x)=2x tenemos: 𝑦 𝑥 = 𝑐𝑒− 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑒−𝑥 2 En el Caso de una ecuación lineal no homogénea La solución general viene dada de la forma Los detalles de la deducción de la misma se encuentran en el libro Ejemplo: Resolvamos la siguiente ecuación diferencial lineal no homogénea: Identifiquemos Calculemos Reemplacemos en la fórmula anterior Y hallamos la solución general
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