Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES www.RecursosDidacticos.org 8 CONJUNTO NUMÉRICOS: N, Z, Q Recordando a los números naturales (N) N = 0; 1; 2; 3; 4; ...... Recordando a los números enteros (Z) Z = ...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ... Recordando a los números racionales (Q) Citemos algunos elementos del conjunto Q: Q = 7; -8; ; ; ; ; ; 0,63; 1,68; 1,3; 2,16; 0; .... En diagramas N Z Q N Z Q Los números racionales tienen 2 formas de representarse: · División indicada de 2 números enteros (divisor diferente de cero) Ejemplos: a) = 7 es natural, entero y racional b) = - 8 es entero y racional c) es racional d) es racional · Expresión decimal de los números racionales: Ejemplos: a) 7 = 7,00 b) – 8 = - 8,00 c) = 1,25 d) = 0, 666... = 0, 6 Número decimal con período puro e) = -1,2 Número decimal terminante f) = - 0, 6363... = - 0,63 Número decimal con período puro g) = 0,1666... = 0,16 Número decimal con período mixto NOTAS: I. Dado el siguiente número decimal: 12 , 316 parte entera Coma decimal parte decimal Presenta: * 2 cifras en la parte entera * 3 cifras en la parte decimal II. Si a la derecha de la parte decimal de un número se agregan “ceros” dicho número no se altera. Así: i) 3,4 = 3,40 = 3,400 = 3,4000 III. Si a la izquierda de la parte entera de un número se agregan “ceros” dicho número no se altera. Así: i) 0, 58 = 00,58 = 000, 58 IV. Si a un número decimal lo multiplicamos por una potencia de 10, la coma decimal se desplazará a la derecha tantos lugares como ceros exista (en la potencia de 10). Ejemplos: i) 2 , 73 . 10 = 27,3 ii) 13, 612 . 100 = 1361,2 iii) 0,75123 . 1000 = 751,23 V. Si a un número decimal lo dividimos por una potencia de 10, la coma decimal se desplazará a la izquierda tantos lugares como ceros exista (en la potencia de 10) Ejemplos: i) 11, 7 : 10 = 1,17 ii) 1256,25 : 100 = 12,5625 iii) 110,23 : 1000 = 0,11023 Expresión decimal terminante Aquella que genera un número finito de cifras en la parte decimal, cuando se divide el numerador y el denominador. (Resto igual a cero) Ejemplos: i) = 0,6 30 50,6 0 ii) = 0,3125 50 160,3125 20 40 80 0 Expresión decimal con período puro Aquella que genera un conjunto de cifras repetitivas (período), inmediatamente después de la coma decimal cuando se divide el numerador y el denominador. Ejemplos: i) = 0,666.... = 0,6 20 3 0,666.... Período 2 0,6 . . ii) = 0,2727.... = 0, 27 30 110,2727 Período 30 . . . Expresión decimal con período mixto Aquella que genera un conjunto de una o más cifras que nunca se repite (parte no periódica), luego de la coma decimal. Después de la parte no periódica hay un conjunto de cifras que se repite periódicamente. Ejemplos: i) = 0,41666... = 0,4 1 6Período Parte no periódica 50 12 20 0,4166... 80 8 . . . ii) = 0,3888... = 0, 3 8Período Parte no periódica 70 18 54 0,388... 160 144 16 . . . EJERCICIOS DE APLICACIÓN Nº3 A A. Completar los espacios en blanco con las palabras: natural entero, racional según sea el caso: 1) 7 es .................................................................... 2) – 4 es ................................................................. 3) es ................................................................. 4) es .............................................................. 5) 0,36 es ............................................................... 6) 2,75 es ................................................................. 7) 0 es .................................................................. 8) es .................................................................. 9) – 8 es .................................................................. 10) 1,3 es .................................................................. 11) 0,1333... es ........................................................ 12) es ................................................................ 13) 3,001 es .............................................................. 14) 1,27 es ................................................................. B. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 1) 6 = 06,00 ( ) 2) –2 = -2,000 ( ) 3) = 0,205 ( ) 4) = -0,666... ( ) 5) = 0,08 ( ) 6) 02,4 = 2,40 ( ) 7) = ( ) 8) 3 = ( ) 9) 14,15 = 1,415 . 10 ( ) 10) 0,25 : 100 = 0,0250 ( ) 11) 0,1717... = 0,17 ( ) 12) 2 = ( ) 13) 5,182 : 1000 = 0,05182 ( ) 14) 2,23 = 2,2333... ( ) 15) = ( ) 16) 0,7272... 0,7222... ( ) 17) –1,41 -1,414 ( ) 18) 1,421 . 10 = 0,1421 ( ) 19) 2,15 : 10 = 0,215 ( ) 20) 42,132 = 42,13200 ( ) 21) 2,11411 2,11414 ( ) 22) 005,3 = 05,30 ( ) C. Divide las siguientes fracciones y clasifícalas en: Decimales terminantes, Decimales con período puro o Decimales con período mixto. 1) = 0,6 Decimal terminante 30 5 0,6 2) = 0,333... = 0,3 Decimal con período puro 10 3 10 0,33... 1 3) = 0,8333... = 0,83 Decimal con período mixto 50 6 20 0,833... 2 4) = 5) = 6) = 7) = 8) = 9) = También sabemos que expresiones decimales como: 0,25; 0,63; 0,16 pueden ser expresadas como números racionales de la forma así: 0,25 = = 0,63 = = 0,16 = = = NOTAS: I. Fracción generatriz de un decimal terminante: Ejemplos: Hallar la fracción generatriz de: i) 0,125 = = Descripción: En el numerador se coloca el entero, que resulta de suprimir la coma decimal. · En el denominador se coloca la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el numerador dado. · Luego se simplifica. ii) 2,25 = 2 + 0,25 = 2 + = 2 + = Fracción generatriz II. Fracción generatriz de un decimal con período puro: Ejemplos: Hallar la fracción generatriz de: i) 0,234234... = 0,234 = = = Fracción generatriz Descripción: · En el numerador se coloca el período · En el denominador está formado por tantos nueves como cifras tiene el período. · Luego se simplifica. ii) 2,36 = 2 + 0,36 = 2 + = 2 + = Fracción generatriz III. Fracción generatriz de un decimal con período mixto: Ejemplos: Hallar la fracción generatriz de: i) 0,83 = = = Fracción generatriz Descripción: · En el numerador se coloca la parte no periódica seguida del período menos la parte no periódica. · En el denominador escribimos tantos nueves como cifras tenga el período seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica. ii) 2, 1590 = 2 + 0,1590 = 2 + = 2 + = 2 + = Fracción generatriz EJERCICIOS DE APLICACIÓN Nº3 B A. Hallar la fracción generatriz de: 1) 0,012 5) 0,175 2) 2,05 6) 6,12 3) 0,35 7) 10,1 4) 0,105 8) 12,25 B) Hallar la fracción generatriz de: 1) 0,63 6) 0,72 2) 0,711 7) 2,2 3) 5,6 8) 9,333... 4) 2,54 9) 1,1818... 5) 0,018 10) 0,756756.... C) Hallar la fracción generatriz de: 1) 0,17 6) 2,7666... 2) 0,56 7) 0,6343434... 3) 0,125 8) 2,15666... 4) 1,23 9) 0,0532 5) 3,165 10) 1,22363636... OBSERVACIÓN: Pero, no todonúmero decimal puede ser expresado como número racional. Existen números con infinitas cifras en su parte decimal y que no presentan período alguno. Tales números forman parte de un nuevo conjunto de números , “Los Números Irracionales”. ¿QUÉ ES UN NÚMERO IRRACIONAL? Es todo aquel número que en su parte decimal tiene infinitas cifras decimales sin presentar período alguno. Estos números constituyen un conjunto numérico denominado CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES y se le representa por I Ejemplos: i) 2,2360679... ii) 3,14159265... no presentan iii) 1,4142135... Período iv) 2,71828128... v) 1,73231... NOTAS: I. Los números irracionales no pueden ser representados por fracción alguna. II. Algunos de estos números irracionales son el resultado de efectuar ciertas operaciones de radicación, por ejemplo: = 1,4142135... = 1,73231... = 2,2360679... III. Otros números irracionales son llamados trascendentes como el (se lee número “PI”) y e (se lee número de Neper). = 3,14159265... e = 2,71828128... IV. El conjunto Q y el conjunto I son disjuntos entre sí Q I = V. Al conjunto I también se le simboliza por Q ’ EJERCICIOS DE APLICACIÓN Nº 3C A. Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 1) 3 N ( ) 2) 7/5 Z ( ) 3) –7 I ( ) 4) I ( ) 5) 0,3 I ( ) 6) 0 Q ( ) 7) 2,2360679... I ( ) 8) 1,414141... Q ( ) 9) 2,71828128... I ( ) 10) N ( ) 11) Z ( ) 12) 1,4142135... I ( ) 13) 2,333... Q ( ) 14) – 8 N ( ) 15) 0 I ( ) 16) 1 I ( ) 17) Q ( ) 18) I ( ) 19) 1,7320508 I ( ) 20) Z ( ) 21) Z ( ) 22) Q ( ) TAREA DOMICILIARIA N° 3 1. Calcular la fracción generatriz del número decimal: 1,405 dando como respuesta la suma de los términos de dicha fracción. 2. Luego de obtener la fracción generatriz del número decimal: 0,363636... Indicar la diferencia de los términos de la fracción generatriz. 3. Calcule Ud. la fracción generatriz del decimal que resulta al efectuar: 1,245 + 2,534 – 3 Dar como respuesta el numerador. 4. Al calcular Ud. la fracción generatriz del número decimal: 0,4484848... se observa que el denominador excede al numerador en: 5. Luego de obtener la fracción generatriz del número decimal:1,5625 se nota que el numerador excede al denominador en: 6. Después de efectuar las operaciones indicadas a continuación: 0,2121... – 0,1212... + 0,5666..... Indicar el numerador de la fracción generatriz. 7. Luego de efectuar : (6,21 – 2,43 + 5,82) : 2 Calcular el cuadrado de la suma de los términos de la fracción generatriz. 8. Después de efectuar operaciones en la expresión: (2,12 + 3,13 + 4,14) : 3 – 2,33 Calcule la suma de cuadrados de los términos de la fracción generatriz. 9. Indicar el decimal que origina el resultado de efectuar: 10. ¿Qué decimal se obtiene luego de efectuar operaciones en: ? 11. Después de efectuar las operaciones indicadas en la expresión: Indique el decimal que se obtiene 12. Efectuar operaciones en: (2-1 + 3-1) (3-1 + 4-1) (4-1 + 5-1) Indique luego el número decimal que se obtiene. 13. Señalar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I. Si 2 1; entonces: 22 12 II. Como 5 -7; entonces: 52 (-7)2 III. Como –1 2; entonces: (-1)3 (2)3 14. es un: a) Un número racional d)Un decimal exacto b) Un número no racional c) Un periódico puro e)Un periódico mixto 15. Al efectuar 0,666... – el resultado tiene un período de: a) 3 cifras b) 2 cifras c) 4 cifras d) 6 cifras e) No tiene período 16. Señalar la afirmación correcta: I. Todo número racional se puede expresar como (b 0). II. 0,555... es un número irracional. III. 0,777 0,77 a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) II y III 17. Si sumamos un número entero con un número decimal periódico mixto, el resultado es: a) Un número natural d) Un número entero b) Un número racional c) Un número irracional e) Indefinido 18. ¿A qué es igual la cuarta parte de E? E = + a) Un décimo b) Un cuarto c) 4 décimos d) 2 décimos e) 1 centésimo 19. Para cambiar de grados Fahrenheit a grados centígrados se utiliza la fórmula : C = ( F – 32 ) Expresar en grados centígrados las siguientes temperaturas: a) – 13 ºF b) 0ºF c) 23ºF d) 100ºF Dar cada una de las respuestas con dos cifras decimales. 20. Para cambiar de grados Centígrados a grados Farenheit se utiliza la fórmula : F = C + 32 Expresar en grados Farenheit las siguientes temperaturas: a) 15ºC b) 0ºC c) – 7 ºC d) 31ºC Dar cada una de las respuestas con dos cifras decimales. . 100 25 4 1 99 63 11 7 90 1 16 - 3 2 90 15 6 1 1000 125 8 1 100 25 4 1 4 9 999 234 333 78 111 26 5 6 - 99 36 11 4 11 26 90 8 83 - 90 75 6 5 9900 15 1590 - 9900 1575 44 7 44 95 4 5 2 3 5 4 3 6 - 81 3 8 - 5 32 ÷ ø ö ç è æ + + 4 3 6 1 3 2 6 1 ÷ ø ö ç è æ + ÷ ø ö ç è æ + + 4 1 3 : 2 1 3 1 4 1 2 12 1 6 1 4 1 : 4 3 3 2 - ÷ ø ö ç è æ + + ÷ ø ö ç è æ + 3 7 2 b a 25 , 0 3 001 , 0 - 9 5 5 9 11 7 - 1 7 1 8 - 3 2 4 5 - 4 5 3 2 5 6 - 11 7 - 6 1 5 3 16 5 11 3 12 5 18 7 5 2 7 1 4 7 100 3 5 1 3 2 - 25 2 4 3 - 32 24 - 4 3 4 6 5 11 7 2 57 16 5 3 3 1 6 5 11 2 4 7 9 1 27 17 15 8 30 7 b a
Compartir