sem 13

Vista previa del material en texto

Tema: Verdades y Mentiras
Docente: César Roque Minalaya
RAZ. MATEMÁTICO
• Aprender a identificar el valor de
verdad de las proposiciones
mediante un análisis adecuado.
• Aplicar correctamente los criterios
de resolución para obtener
conclusiones válidas.
OBJETIVO
Conceptos 
previos
Resolución por 
contradicción 
Resolución por 
suposición 
Este tipo de problemas consiste en obtener conclusiones correctas a partir de un conjunto de proposiciones que, en
un primer momento, se desconoce su valor de verdad y luego con la información brindada se puede deducir su
veracidad o falsedad.
Es decir:
Yo ingresé a 
la UNMSM
Yo ingresé a 
la UNFV
Yo no ingresé 
a la UNFV
Yo no ingresé 
a la UNMSM
No se conoce quién dice 
la verdad o quién miente
Para determinar la 
veracidad o falsedad de 
cada una de los enunciados 
debemos analizar la 
información previa 
brindada en el problema.
1. CONCEPTOS PREVIOS
Es un enunciado que tiene la cualidad de ser o verdadero
o falso, sin ambigüedad.
PROPOSICIÓN
Ejemplos:
- El número 7 es primo.
- 5 + 15 = 18
1. PROPOSICIONES EQUIVALENTES
Ana: Hoy es viernes.
Beto: Mañana será sábado.
…………..…… (V)
o
(F)
Son las que expresan el mismo significado, es decir, dicen
lo mismo y mayormente con otras palabras. Por eso
tienen el mismo valor de verdad.
Ejemplo:
……………. (V) (F)
2. PROPOSICIONES CONTRARIAS
Son aquellas que expresan significados diferentes
respecto de un mismo asunto, pero uno no niega al otro.
Al menos una es falsa.
(contradicción parcial) 
RELACIONES ENTRE DOS PROPOSICIONES:
…………. ( ) V
………………………. ( ) F
Si fuese 
martes
……. (V)
Si fuese 
viernes
Ni martes, 
ni viernes
3. PROPOSICIONES CONTRADICTORIAS
Son contradictorias cuando una es la negación de la otra.
Por eso siempre una es verdadera y la otra es falsa.
(contradicción total)
Ana: Hoy es lunes.
Beto: Hoy no es lunes.
Una es 
verdadera y la 
otra falsa.
Ana: Hoy es martes
Beto: Hoy es viernes
Ejemplo:
Ejemplo:
……. (F)
……….… (F)
…..……… (V)
………... (F)
………… (F)
……….. (V)
o
(F)
……..(F) (V)
Tener en cuenta lo siguiente:
La negación de una proposición verdadera es falsa.
La negación de una proposición falsa es verdadera.
Por ejemplo:
• Carla postula a medicina. (V)
su negación es
• Carla no postula a Medicina.
• No es el caso que Carla
postule a medicina.
Por ejemplo:
• Benito es mentiroso. (F)
su negación es
• Benito no es mentiroso.
• Benito dice la verdad
• Carlos no es culpable. (F)
su negación es
• Carlos es culpable.
• Fue Miguel No fue Miguel
• Karen no miente Karen miente
(F)
(F)
NOTA: De manera practica se podrá decir que cuando
una proposición es falsa, se concluye como verdadero lo
contrario a lo que dice en la proposición.
Por ejemplo:
MÈTODOS DE RESOLUCIÒN
I. POR CONTRADICCIÓN
Se identifica las proposiciones contradictorias, con ellas y
los demás datos se determina el valor de verdad de las
otras.
II. POR SUPOSICIÓN
Se asigna un valor de verdad a una proposición, luego se
verifica con las otras y los datos si dicho valor es correcto.
Si no es así, se le cambia el valor de verdad.
Resolución:APLICACIÓN 01 
2. RESOLUCIÓN POR CONTRADICCIÓN
La persona que ganó el concurso de gastronomía.Nos piden: 
Enunciados:
Pedro: Silvia ganó el concurso.
Miguel: Pedro ganó el concurso.
Silvia: Yo no gané el concurso.
Patty: Pedro miente.
Datos:
- M , V , V , V
- Solo hay un ganador.
La persona que ganó el concurso es:
…............. ( )
…....…..…. ( )
..…….….. ( )
……….….….. ( )
Discuten sobre si 
Silvia gana
( V ; M )
V
V
Pedro
En un concurso de gastronomía , donde
solo hay un ganador, participan Pedro,
Miguel, Silvia y Patty. Al final del evento,
luego de preguntárseles quién ganó el
concurso, respondieron lo siguiente:
Pedro: Silvia ganó el concurso.
Miguel: Pedro ganó el concurso.
Silvia: Yo no gané el concurso.
Patty: Pedro miente.
Si se sabe que solo una de las
respuestas es falsa, ¿quién ganó el
concurso de gastronomía ?
A) Pedro
B) Miguel
C) Silvia
D) Patty
E) Juana
APLICACIÓN 02 
André, Boris, Carlos, David y Evaristo han
participado en una carrera de 100
metros planos. Cuando se le preguntó a
cada uno por el ganador de la carrera,
todos respondieron de la siguiente
manera:
André: “Boris fue el ganador”.
Boris: “Carlos ganó”.
Carlos: “David ganó”.
David: “Yo no gané la carrera”.
Evaristo: “Yo no gané la carrera”.
Si hubo un único ganador y solo una de
las afirmaciones es verdadera, mientras
que las demás son falsas, ¿quién dice la
verdad?
A) André
B) Evaristo
C) Boris
D) David
E) Carlos
Resolución:
André: “Boris fue el ganador”.
Boris: “Carlos ganó”.
Carlos: “David ganó”.
David: “Yo no gané la carrera”.
Evaristo: “Yo no gané la carrera”.
La persona que dice la verdad.Nos piden: 
Enunciados:
Datos:
- V , M , M , M , M
- Solo hay un único ganador.
La persona que dice la verdad es:
……………….. ( )
……...…..…... ( )
..... ( )
…... ( )
Discuten sobre si 
David ganó
( V ; M )
M
M
David
.. ( )M(ganó)
V
M
APLICACIÓN 03 
Cuatro amigos, terminaron sus estudios de
medicina, ingeniería, educación y economía.
Se les hace dos preguntas a cada uno acerca
de sus profesiones o la de sus amigos y
responden lo siguiente:
Luis: Nora es doctora, Mario es ingeniero.
Mario: Nora no es doctora, Paty es
economista.
Nora: Paty es profesora, Luis es economista.
Paty: Yo soy doctora, Mario es profesor.
Si cada uno dijo una verdad y una mentira.
¿Quién es profesor(a) ?
A) Paty
B) Luis
C) Nora
D) Mario
E) No se puede determinar
Resolución:
3. RESOLUCIÓN POR SUPOSICIÓN
el nombre del profesor(a)Nos piden: 
Luis: Nora es doctora,
Mario es ingeniero
Mario: Nora no es doctora,
Paty es economista. 
Nora: Paty es profesora,
Luis es economista. 
Paty: Yo soy doctora,
Mario es profesor. 
Datos:
• Cada uno dice : V, M
LUIS
MARIO
NORA
PATY
V
M
V
M
V
M
V
ingeniero
V
M
doctora
M
V
economista
profesora
Enunciados:
(error)
El nombre de la profesora: Nora
Por suposición
Incorrecto Correcto
Resolución:
APLICACIÓN 04 
Nos piden: Los nombres de quienes llegaron tercero y cuarto respectivamente.En una competencia olímpica, participaron
cuatro atletas. Al final de la competencia, en la
que no hubo empates, se les pregunta sobre
los puestos en que llegaron y cada uno de
ellos declaró lo siguiente:
• Alberto: “Daniel llegó primero; Bernardo,
último”.
• Claudio: “Yo gané la carrera. Alberto llegó
Segundo”.
• Bernardo: “Yo llegué tercero; Alberto,
cuarto”.
• Daniel: “Bernardo llegó segundo; Claudio,
cuarto”.
Si cada uno dijo una mentira y una verdad,
pero no necesariamente en ese orden, ¿quién
llegó tercero y quién, cuarto en ese orden?
A) Daniel - Claudio
B) Bernardo - Claudio
C) Bernardo - Daniel
D) Alberto - Bernardo
E) Claudio – Daniel UNMSM 2023-I
Datos:
• Cada uno dice : V, M
Alberto: - Daniel llegó primero
- Bernardo, último
Claudio: - Yo gané la carrera
- Alberto llegó Segundo
Bernardo: - Yo llegué tercero
- Alberto, cuarto
Daniel: - Bernardo llegó segundo
- Claudio, cuarto
Enunciados:
Por suposición
V
M
M
V
(error)
M
Incorrecto Correcto
V
1°
2°
3°
4°
Daniel
M
V
Alberto
M
V
Bernardo
Claudio
V
M
En tercer y cuarto lugar llegaron: Bernardo y Claudio
PROBLEMA 1 
Resolución:
Contradicción
Cinco jugadores de fútbol son
interrogados por su entrenador, pues uno
de ellos dio información importante al
entrenador del equipo contrario y a
puesto en riesgo a su propio equipo.
Cada uno le dijo.
Aldair: David fue.
Braulio: César no fue.
César: Eloy fue.
David: Yo no fui.
Eloy: David fue.
Si solo uno de ellos dice la verdad, ¿quién
dio la información al entrenador del
equipo contrario?
A) Aldair B) Braulio C) César
D) David E) Eloy
Nos piden: La persona que dio la información al equipo contrario.
• Solo unodice la verdad.
Según los datos;
( )
( )
( )
( )
(V; M) 
Analizamos las proposiciones.
M
M
V, M; M, M; M
• Solo uno es el culpable.
Aldair: David fue.
Braulio: César no fue.
César: Eloy fue.
David: Yo no fui.
Eloy: David fue. ( )
M
M
Se deduce: César fue 
La persona que dio la información al equipo contrario es Cesar
V
PROBLEMA 2 
Resolución:
Andrés, Bernardo, Carlos y Darío toman
una tarjeta diferente cada uno (las
tarjetas están numeradas del 2 al 5) y
dicen lo siguiente:
Andrés: Yo tengo la tarjeta con el número
4.
Bernardo: El número de mi tarjeta es el
doble que el de Darío.
Carlos: Andrés no tiene la tarjeta con el
número 4.
Darío: Carlos tiene la tarjeta con el
número 5.
Si solo uno miente, ¿cuánto suman los
números de las tarjetas que tienen Carlos
y Darío?
Nos piden: La suma de los números de las tarjetas de Carlos y Darío.
A) 9 B) 7 C) 5 D) 8 E) 6 
• Solo uno de ellos miente.
• Tarjetas: 2; 3; 4; 5
Según los datos;
( )
( )
( )
( )
Contradicción
Analizamos las proposiciones:
V
V
Andrés: Yo tengo la tarjeta con el número 4.
Bernardo: El número de mi tarjeta es el doble que Darío.
Carlos: Andrés no tiene la tarjeta con el número 4.
Darío: Carlos tiene la tarjeta con el número 5.
V, V, V, M
(V; M) 
V
Carlos
5
Bernardo Darío
4 2
Andrés
3
La suma de las tarjetas de Carlos y Darío es: 5 + 2 = 7
M
PROBLEMA 3
Resolución:
( )
Se ha detenido a 7 políticos sospechosos
de corrupción, los cuales al ser
interrogados respondieron:
- Abel: Yo no fui.
- Beto: Si Gustavo es inocente, Ernesto
también.
- Carlos: Abel es el culpable.
- David: Fausto siempre miente.
- Ernesto: Abel y Beto son inocentes.
- Fausto: Beto es inocente.
- Gustavo: Yo no fui y David tampoco.
De estas afirmaciones se conoce que 2
son mentiras y los 5 restantes veraces;
además, hay un solo culpable, el cual dio
una afirmación falsa (mentira). ¿Quién es
el culpable?
Nos piden: la persona que es culpable.
A) Abel B) Beto C) Carlos 
D) David E) Ernesto 
Contradicción
• Dos afirmaciones son mentiras.
Según los datos;
( )
( )
( )
( )
(V; M) 
V
M
M, M; V, V; V; V; V
• Hay un único culpable
( )V
V
Se sabe que el único culpable es mentiroso 
VAbel: Yo no fui.
Beto: Si Gustavo es inocente, Ernesto también.
Carlos: Abel es el culpable.
David: Fausto siempre miente.
Ernesto: Abel y Beto son inocentes.
Fausto: Beto es inocente.
Gustavo: Yo no fui y David tampoco.
( )
Contradicción
(V; M) 
(inocente)
(inocente)
(inocente)
(inocente)
(inocente)
V
M
( uno de los mentirosos)
Carlos
(inocente)
PROBLEMA 4 
Resolución:
N° preg. Abel Boris Carlos Dina
1 F F F F
2 F F V F
3 V F F F
4 V V F F
N° preg. Abel Boris Carlos Dina
1 F F F F
2 F F V F
3 V F F F
4 V V F F
Aquí debemos encontrar:
N° preg. Abel Boris Carlos Dina
1 F F F F
2 F F V F
3 V F F F
4 V V F F
Nos piden: las personas que tuvieron uno y dos errores, respectivamente.
Dato:
Todos coinciden y debe ser correcta
- Una columna con 3 correctas
- Las otras columnas con 1, 2 y 3 incorrectas
opuestos
Abel y Carlos
Los de 1 y 2 errores respectivamente
son Dina y Boris
COMPROBACIÓN:
CASO 1: CASO 2:
Las personas con 1 y 2 errores respectivamente son Dina y Boris
La tabla adjunta muestra las respuestas
brindadas por cuatro estudiantes.
Uno de los estudiantes respondió todas
las preguntas correctamente y los otros
fallaron en una, dos y en tres respuestas.
¿Quién tuvo un error y quién dos
errores, en ese orden?
A) Abel y Dina
D) Dina y Boris
C) Dina y Carlos
D) Abel y Carlos
E) Abel y Boris
• Otro falló en dos preguntas• Uno respondió todas(4) correctas
• Otro falló en una pregunta • Otro falló en tres preguntas(3 correctas)
(2 correctas)
(1 correcta)
N° preg. Abel Boris Carlos Dina
1 F F F F
2 F F V F
3 V F F F
4 V V F F
PROBLEMA 5 
Resolución:
Una fila está conformada por 2020
hombres, entre veraces o falaces. Cada
uno de ellos hace la siguiente afirmación:
“a mi izquierda hay más falaces que
veraces a mi derecha”. ¿Cuántos veraces
hay en dicha fila?
A) 0
B) 1
C) 1011
D) 1010
E) 500
Nos piden: Cuántos veraces hay en dicha fila.
Iniciaremos el análisis por los que están en los extremos.
1° 2°
MV
IZQUIERDADERECHA
3° 4°
MV
5° 6°
MV
7° 8°
MV
…
2020 hombres
Razonando del mismo modo, se puede probar que la mitad de los hombres 
son veraces (1010) y la otra mitad de los hombres son falaces (1010). 
Hay 1010 veraces en la fila.
PROBLEMA 6 
Resolución:
Cuatro amigos realizan las siguientes
afirmaciones:
• Alexis:
- Clara es doctora
- Bernardo es ingeniero
• Bernardo:
- Clara no es doctora
- Diana es economista
• Clara:
- Diana es profesora
- Alexis es economista
• Diana:
- Yo soy doctora
- Bernardo es profesor
Cada uno tiene una profesión distinta a los
demás además cada uno dice una verdad y
una mentira. ¿Quiénes son el profesor y el
doctor respectivamente?
A) Diana y Bernardo B) Diana y Alexis
C) Bernardo y Alexis D) Alexis y Clara
E) Clara y Diana
el nombre del profesor y el doctor respectivamente.Nos piden: 
Alexis: Clara es doctora,
Bernardo es ingeniero
Bernardo: Clara no es doctora,
Diana es economista. 
Clara: Diana es profesora,
Alexis es economista. 
Diana: Yo soy doctora,
Bernardo es profesor. 
Datos:
• Cada uno dice : V, M
Alexis
Bernardo
Clara
Diana
V
M
V
M
V
M
V
ingeniero
V
M
doctora
M
V
economista
profesora
Enunciados:
(error)
El nombre de la profesora y la doctora respectivamente son: Clara y Diana
Por suposición
Incorrecto Correcto
PROBLEMA 1 
Resolución:
Rosa, Marlene y Cintia van al cine y tienen
la siguiente conversación:
- Rosa: “Yo soy mayor de edad”.
- Marlene: “Rosa miente”.
- Cintia: “Marlene es menor de edad”.
Si se sabe que solo una miente y que solo
una es menor de edad, ¿quién miente y
quien es menor de edad respectivamente?
A) Marlene, Cintia
B) Marlene, Marlene
C) Rosa, Rosa
D) Rosa, Cintia
E) Marlene, Rosa
Nos piden: quién miente y quien es menor de edad respectivamente
Datos:
- M , V , V
- Solo una es menor de edad.
Enunciados:
- Rosa: “Yo soy mayor de edad”.
- Marlene: “Rosa miente”.
- Cintia: “Marlene es menor de edad”. …............. ( )
…....…..…. ( )
..…….….. ( )
V
( V ; M )
(menor)
V
M
El nombre de la que miente y quien es
menor de edad respectivamente son: Marlene, Marlene
PROBLEMA 2 
Resolución:
Cuatro hermanos fueron interrogados por
su padre, ya que uno de ellos había
utilizado su auto sin pedirle permiso. La
respuesta de cada uno de ellos fue la
siguiente:
- Santiago: «Jim fue».
- Jim: «Carlos fue».
- Carlos: «Yo no fui».
- Pedro: «Yo no fui».
Si solo uno de ellos dice la verdad, ¿Quién
utilizó el auto?
A) Jim
B) Pedro
C) Carlos
D) Santiago
E) Imposible saber
Nos piden: Conocer quién utilizó el auto
Datos:
- V , M , M, M
- Solo hay un culpable.
Enunciados:
- Santiago: «Jim fue».
- Jim: «Carlos fue».
- Carlos: «Yo no fui».
- Pedro: «Yo no fui».
…............. ( )
…....…..…. ( )
..…….….. ( )
……….….….. ( )
( V ; M )
M
Se deduce: Pedro es el culpable.
La persona que utilizó el auto es: Pedro
PROBLEMA 3 
Resolución:
Cinco mujeres, al ser interrogadas por un
delito que cometió una de ellas, dijeron lo
siguiente:
- Bertha: fue Elsa.
- Ana: fue Bertha.
- Elsa: Bertha miente.
- María: yo no fui.
- Karla: yo fui.
Si solo una de ellas dice la verdad, ¿quién
cometió el delito?
A) Bertha B) Ana C) María
D) Elsa E) Karla
Nos piden: quién cometió el delito
Datos:
- V , M , M , M , M
- Solo una cometió el delito.
Enunciados:
- Bertha: fue Elsa.- Ana: fue Bertha.
- Elsa: Bertha miente.
- María: yo no fui.
- Karla: yo fui.
…………….. ( )
……...…..…... ( )
…................ ( )
…............... ( )
……………… ( )
( V ; M )M
M
M
Se deduce: María es la culpable.
La persona que es culpable es: María