Apremuni GEOMETRIA

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APREMUNI AMBO-2020 
 
MUNICIPALIDAD PROVINCIAL DE AMBO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRÍA 
263 
 
 
 
 
 
 
 
CAPITULO I 
 
TRIÁNGULOS PROPIEDADES BÁSICAS 
CONCEPTO. Es la figura geométrica que se obtiene al unir tres 
puntos no colineales mediante segmentos de 
recta. 
 
1. ELEMENTOS: 
 Vértices: A , B y C 
 Lados: AB , BC y AC 
 Medida de los ángulos internos:  , ,  
 Medida de los ángulos externos: X, Y, Z 
 Perímetro de la región triangular ABC: 
(2PABC) = a + b + c 
 Semiperímetro de la región triangular: 
(PABC) = 
2
cba 
 
2. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEL TRIANGULO: 
TEOREMA 1: 
 
 
TEOREMA 2: 
 
 
 
TEOREMA 3: 
 
 
TEOREMA 4: En todo triángulo al lado de mayor longitud se 
le opone el ángulo de mayor medida y viceversa (Propiedades 
de Correspondencia). 
 
 
 
TEOREMA 5: En todo triángulo la longitud de un lado es mayor 
que la diferencia de las longitudes de los otros dos y menor que 
la suma de las mismas (Propiedad de existencia). 
 
Sea : a < b < c 
 
I. b – a < c < b + a 
II. c – a < b < c + a 
III. c – b < a < c + b 
 
APREMUNI AMBO-2020 
 
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 APREMUNI AMBO-2020 
3. PROPIEDADES ADICIONALES: 
a) 
 
 
b) 
 
c) 
 
 
4. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS: 
4.1. SEGÚN LAS MEDIDAS DE SUS ÁNGULOS: 
a) Triangulo Rectángulo: Es aquel triángulo que tiene un 
ángulo interno que mide 90°. 
 
 
 
b) Triángulo Acutángulo: Es aquel triángulo cuyos ángulos 
internos son agudos. 
 
 
c) Triángulo Obtusángulo: Es aquel triángulo que tiene un 
ángulo interior obtuso. 
 
 
4.2. SEGÚN LAS MEDIDAS DE SUS LADOS: 
a) Triángulo Escaleno: Es aquel triángulo cuyos lados tienen 
diferente longitud. 
 
b) Triángulo isósceles: Es aquel triángulo que tiene dos lados 
de igual longitud. 
 
c) Triángulo Equilátero: Es aquel triángulo cuyos lados 
tienen la misma longitud. 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRACTICA 1 
1. En la figura, la mABC=40. Calcule Xº. 
A. 40 
B. 45 
C. 50 
D. 60 
E. 65 
 RECUERDA 
60º Equilátero 
 
B 
A C 
 
Xº 
 

º 

º 
 
265 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
2. En el triángulo ABC (AB=BC), D AB y DE es 
perpendicular a  AC E en AC . La prolongación 
de DE intercepta a un rayo CX que forma con CA un 
ángulo congruente con el ángulo BCA, en el punto F. Si 
AD=a y CF=b, calcule BD. 
A. 
a b
2

 B. 
2b a
2

 C. 
2a b
2

 
D. 
b a
2

 E. b 2a 
 
3. En un triángulo ABC, AB=3, AC=11. Si 
 m ABC 90 . Halle BC, si es el mayor número 
entero posible. 
A. 8 B. 9 C. 10 
D. 11 E. 12 
 
4. En el triángulo ABC (recto en B), R, S y T son puntos de 
AC
, 
AB y BC
 respectivamente, tales que : 
m STB m ACB   y 
m SRA 2m ACB   . Si RS=3 y ST=4, halle 
AC. 
A. 10 B. 11 C. 9 
D. 8 E. 12 
5. En el exterior de un triángulo ABC y relativo al lado 
BC
 
se ubica el punto P tal que AB=BC=AP. Si m ABC=36 y 
m PAC=12, calcule m APC. 
A. 12 B. 18 C. 20 
D. 22 E. 24 
 
6. En un triángulo PQR se trazan las bisectrices interiores 
QE, RF, se ubica el punto S exterior y relativo a QR 
tal que la 
m QFS 3m SFR,  
 
m RES 3m QES,  
 Calcule la mQPR. Si 
además m QPR m FSE 180    
A. 100 B. 110 C. 90 
D. 80 E. 60 
 
7. En un triángulo ABC se traza la bisectriz BD de manera que 
AB=DC si m BAC=2m BCA entonces la 
m ABD es: 
A. 60 B. 45 C. 36 
D. 30 E. 22,5 
 
8. En un triángulo rectángulo ABC, se ubica un punto F interior 
tal que: AB=BC=FC y m BAF=15°. Halle : m FCA 
A. 7,5 B. 15 C. 22,5 
D. 30 E. 36 
 
9. En un triángulo ABC, m BAC=3m BCA y BC=15. 
Halle el menor valor entero que puede asumir AB 
A. 9 B. 5 C. 8 
D. 6 E. 7 
10. Sobre el lado AB de un triángulo isósceles ABC (AB=BC) 
se construye un triángulo equilátero ABE, de modo que los 
puntos E y C se encuentran en el mismo semiplano con 
respecto a AB . Si m ABC =20, entonces la 
m AEC es: 
A. 10 B. 12 C. 15 
D. 18 E. 20 
 
11. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), E es un punto 
exterior relativo a lado BC. Si 
     m EAC m BCA m ECB 15 , y 
AB=K. Halle CE 
A. 
K
3
 B. 
K
2
 C. 
K 2
2
 
D. K 2 E. K 3 
 
12. Se tienen los triángulos ABC y 
 AMN,donde M AC y B AN, además 
MBC NBC;     BMN NMC Si 
m BAC  . Halle la medida del ángulo que 
determinan las bisectrices exteriores de los ángulos N y C. 
A. 90
4

 B. 135
4

 C. 125
2

 
D. 90
2

 E. 135
4

 
 
13. En un triángulo ABC, recto en B, la mediatriz de AC 
intersecta en D a BC. Si DC=2(BD). Halle la m ACB. 
A. 15 B. 18 C. 20 
D. 25 E. 30 
 
14. En un triángulo equilátero ABC, se ubican los puntos P en 
AB y Q en BC de modo que AP BQ. 
Halle la medida del ángulo que determinan AQ y CP. 
A. 15 B. 20 C. 30 
D. 45 E. 60 
 
15. En un triángulo ABC, se trazan los segmentos 
BE y BF en el exterior tales que  ABE  CBF 
y BA=BE, BC=BF; si m ABE= 46, calcule la medida del 
ángulo obtuso determinado por AF y CE . 
A. 128 B. 132 C. 140 
D. 142 E. 134 
 
16. En un triángulo ABC, F es un punto interior al triángulo, si m
 BAF=18, m FAC=27, m ACF=45 y AF=BC. 
Calcule la m FBC. 
A. 18 B. 27 C. 45 
D. 36 E. 54 
 
17. Sea el triángulo ABC con AE y CF trazados en el 
exterior estando E y F en el mismo semiplano con respecto 
 
266 
 
 
 
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 
 
 
 
 
a AC . Si mBAE = mBCF=90, AE=AB, BC=CF,
EG y FH perpendiculares a la recta
 AC G y H AC , GE=7u y FH=10u, Calcule 
AC. (en u) 
A. 15 B. 17 C. 18 
D. 16 E. 14 
 
18. En el interior de un triángulo ABC se ubica un punto P de 
tal manera que : AB=PC, AP=8, m BAP=m ACP . 
Halle AC. 
A. 12 B. 14 C. 16 
D. 20 E. 24 
 
19. En un triángulo equilátero ABC se trazan las cevianas 
interiores BL y CN tal que dichas cevianas interiores 
determinan un ángulo cuya medida es 60. Si BN=3 y LC=7, 
calcule AB. 
A. 3 B. 5 C. 7 
D. 9 E. 10 
 
20. En un triángulo ABC, AB= 2.5, BC=8.5, se traza la mediana 
BM, de tal manera que BM pertenece a los naturales. Halle 
el menor valor de BM. 
A. 3 B. 6 C. 4 
D. 7 E. 5 
21. En un triángulo ABC se traza la mediana BM, tal que 
m MBC 2m MCB   , si m BAM  30, 
calcule m BCM. 
A. 15 B. 30 C. 45 
D. 60 E. 75 
 
22. En un triángulo ABC, se traza las cevianas 
BD y BE tal que m BAC 2m EBC,   
AB=DC=AE, BD=BE. Halle la m BAC. 
A. 30 B. 45 C. 60 
D. 72 E. 85 
 
23. Se tiene el grafico TAF 
   
1
m TAF m ATF 90,
2
    
1
m TSA m TAS m ATS
2
 AT=FS. 
Halle la m AFS . 
 
 
 
 
 
 
 
 
A. 5 B. 9 C. 15 
D. 30 E. 45 
 
 
 
 
CAPITULO II 
 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS: 
Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente 
congruentes los tres pares de lados y los tres pares de 
ángulos. Para que dos triángulos sean congruentes no 
necesariamente los seis pares de elementos 
correspondientes deben ser congruentes sino por lo menos 
tres pares de ellos, entre los que por lo menos debe figurar 
un par de lados. Tenemos los siguientes casos: 
I CASO: (ALA). Ángulo – Lado – Ángulo 
A

B

C P

Q

R 
R̂Ĉ 
PRAC
P̂Â :Si



 
 
Entonces: ABC  PQR 
 
 
II CASO: (LAL). Lado – Ángulo – Lado 
A
CB

P
RQ

 
 
QRBC
Q̂B̂ 
PQAB :Si



 
 
Entonces: ABC  PQR 
 
 
III CASO: (LLL). Lado – Lado – Lado 
 
A
B
CP
Q
R 
PRAC
QRBC
PQAB :Si



 
Entonces: ABC  PQR 
 
 
F 
A 
S 
T 
 
267 
 
 
 
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MN : BASE 
 MEDIA 
 
 
1. TEOREMA DE LA BISECTRIZ: 


O
P
M
Q
 
Si: 

OM es bisectriz del <POQ 
 
 
OQOP
MQMP


 
 
2. TEOREMA DE LA MEDIATRIZ: 
A
P
L
B
 
Si: 

L es mediatriz de AB 
 
 PBAP  
 
3. TEOREMA DE LA BASE MEDIA: 
En todo triángulo, el segmento formado por los puntos 
medios de dos lados se llama BASE MEDIA y es paralela 
al tercer lado e igual a su mitad. 
M N
A
B
C 
En el ABC: 
* M es punto medio de AB 
* N es punto medio de BC 
 
 AC//MN Y 
 
2
 AC 
MN  
 
 
 
4. TEOREMA DE LA MENOR MEDIANA EN UN 
TRIANGULO RECTÁNGULO: 
A
B
M C 
BM es mediana relativa a AC 
 
 
2
 AC 
BM  
 
5. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES: 
a) De 45° b) De 30° y 60° 
k k 2
45°
45°
k 
2k
k 3
60°
30°
k 
c) De 15° y 75° d) De 37° y 53° 
4k
15°
75°
k( 6 + 2)
k(
 6
 -
 2
)
5k
4k
53°
37°
3k 
e) De 53°/2 f) De 37°/2 
k
k 5
53° 
2k
2 
 
k
k 10
37° 
3k
2 
 
g) De 16° y 74° h) De 14° y 76° 
25k
24k
74°
16°
7k 
4 k
7 6°
1 4°
k
k 1 7
 
 
268 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
PRÁCTICA 2 
 
1. En el triángulo ABC, AB=BC, AD es bisectriz interior y 
en el triángulo ADC se traza la bisectriz DM (interior) y 
DN (exterior) con N en AC . Si AD=5u, calcule MN (en 
u) 
A. 10 B. 12 C. 8 
D. 9 E. 11 
 
2. En un triángulo ABC, AB <BC, AB=K1, la recta mediatriz de 
AC intersecta a la bisectriz exterior del ángulo B en T. 
Se traza TH perpendicular a la prolongación de AB si 
BH=K2. Halle BC. 
A. 3K1+K2 B. K1+
2K
2
 C. K1+2K2 
D. 2K1+K2 E. K1+K2 
 
3. En un triángulo rectángulo ABC   m B 90 , se 
traza la ceviana AM tal que MC=2BM. Si m
MAC=30. Halle mBAM. 
A. 26 B. 30 C. 45 
D. 60 E. 37 
 
4. En un triángulo isósceles ABC, AB=BC, mB=20, se traza 
la mediatriz L de AB y F un punto exterior al triángulo 
tal que F L . Si m FCB=30. Calcule la 
m CBF 
A. 20 B. 25 C. 30 
D. 32 E. 36 
 
5. En un triángulo rectángulo ABC, en AC y BC se ubican 
los puntos D y E respectivamente, de manera que la 
mEAB = 
1
2
mEAC, además que la 
  m AED m BCA. Si EB=10 cm. Calcule 
DE (en cm) 
A. 15 B. 17 C. 18 
D. 20 E. 22 
 
6. Sean los triángulos rectángulos ABC y ADC (AD=DC) rectos 
en B y D respectivamente, contenidos en semiplanos 
distintos con respecto a AC . Si AB=3u, se trazaDH 
perpendicular a BC . Calcule DH (en u) 
A. 5 B. 5,5 C. 6 
D. 6,5 E. 4,5 
 
7. En un triángulo isósceles ABC (AB=AC), la m A=80. En 
el interior del triángulo se ubica el punto M, tal que m 
MBC=30 y mMCB=10. Halle la m AMC: 
A. 30 B. 45 C. 60 
D. 70 E. 75 
 
8. Se tiene un triángulo ABC, en el cual: m<BAC = 3m<ACB. 
Calcular: m<ACB, si además AB = 5 y BC = 13. 
A. 18,5° B. 30° C. 26,5° 
D. 37° E. 53° 
 
9. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, donde 
P BC y E AC , se tiene que la 
m APE m C   , 
m PAC 2m PAB.   y BP = 4cm. Halle PE.( 
en cm) 
A. 4 B. 6 C. 8 
D. 10 E. 12 
 
10. En un triángulo ABC se traza la ceviana BQ tal que 
AQ BC , m ABQ=90 y m BAC=3x, m
 BCA 2x. Halle x. 
A. 15 B. 18 C. 30 
D. 45 E. 60 
 
11. En un triángulo ABC recto en A, donde AB=8u, se traza la 
mediana BD de manera que la 
   
1
m ABD 45 m BCA.
2
Calcule BC.(en 
u. 
A. 16 B. 18 C. 20 
D. 24 E. 36 
 
12. Se tiene un triángulo rectángulo ABC (recto en “B”), en el 
cual se traza la ceviana interior BD, cumpliéndose lo 
siguiente: m<BDC = 4m<BAC, AD = 13 y DC = 3. calcular 
m<BAC. 
A. 18°30´ B. 35° C. 60° 
D. 30° E. 45° 
 
13. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BD, si: AC = 9 y 
AB = BC, m<BAD = m<DBC = 30°. Calcular BD 
A. 1 B. 2 C. 3 
D. 4 E. 5 
 
14. Se toma el punto “D” en la región exterior relativa al lado 
AC del triángulo ABC, tal que m<BDC = 90°, AD = DC. 
Hallar la medida del ángulo BCA. 
A. 53,5° B. 18,5° C. 55,5° 
D. 60° E. 30° 
 
15. Se tiene el triángulo ABC (AB = BC) , en el cual en su región 
interior se ubica un punto “P” tal que: AP = PB y 
5
PBCm
ACPmBAPm

 . Calcular: 
m<PAB. 
A. 10° B. 15° C. 20° 
D. 30° E. 45° 
 
16. En un triángulo ABC se toma el punto “D” en su región 
triangular, tal que AB = BC = AD. Calcular la medida del 
ángulo BAD, si esta es igual a la medida del ángulo DCA. 
A. 10° B. 15° C. 20° 
D. 29° E. 30° 
 
17. En un triángulo rectángulo ABC ( recto en B), se toman los 
puntos “D” y “E” en los lados AC y BC ( “E” punto medio 
del lado BC ), tal que DC = 3AD. Calcular la medida del 
ángulo EDC, si m<BAC = 2m<EDC. 
A. 15° B. 20° C. 25° 
D. 30° E. 45° 
 
18. Se tiene el incentro “I” del triángulo rectángulo ABC ( recto 
en “B”), se toma luego el punto medio “M” de BC , tal que 
el ángulo BIM es recto, calcular la medida del ángulo BAC. 
A. 37° B. 30° C. 60° 
 
269 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
D. 53° E. 45° 
 
19. En un triángulo ABC se toman los puntos D, E y H en los 
lados ACyBC,AB , tal que EH es perpendicular al 
lado AC , si DB = 2AH, calcular m<ACB, si m<BAC = 
2m<BDE = m<ACB. 
A. 30° B. 40° C. 60° 
D. 15° E. 45° 
 
20. Se tiene el triángulo ABC, en el cual se traza la ceviana BD
, tal que: 
3
DBCm
2
ABDm
8
BACm 




, si 
además: BD = AC. Calcular la medida del ángulo ACB. 
A. 3 z0° B. 50° C. 60° 
D. 10° E. 20° 
 
21. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BD, de manera 
que BD = AC. Si la medida de los ángulos DBC, BAC y ACB 
están en progresión aritmética creciente, cuya razón es r°. 
Calcular la medida del ángulo ABD. 
A. 2r° B. 3r° C. r° 
D. r°/2 E. 5r° 
 
22. En la figura mostrada calcular “x”. 
 
23. En la figura mostrada. Calcular “x”. Si a° + b° = 3x° 
 
24. En la figura mostrada. Si: AB = NC = MC. Calcular x°. 
 
25. En la figura mostrada. Calcular “x”. 
 
CAPITULO III 
 
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos 
 
POLIGONOS 
 
Definición: Es la figura cerrada formada por la unión de 3 o más 
segmentos de recta, cuyos extremos son puntos no colineales 
ubicados en un mismo plano y que cumplen las siguientes 
propiedades: 
Si dos lados se intersecan, lo hacen únicamente en uno de sus 
extremos , 
Dos lados consecutivos nunca están incluidos en la misma recta. 
 
 
 
 
 
 
ELEMENTOS: 
 Vértices A , B, C, E, D y F 
 Lados AB , BC , CE , .... y FA 
 Ángulos interiores , , ,... 
 Ángulos exteriores x , y, z, ... 
 
CLASIFICACIÓN 
1. De acuerdo a su región 
 Polígono Convexo: Se denomina así al polígono que al 
trazarse una recta que contiene a uno cualquiera de sus lados, 
los demás vértices del polígono descansan en sólo uno de los 
2 semiplanos determinados por la recta 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 Polígono no Convexo: Es aquel polígono que si por lo 
menos existe una recta que contiene a uno de sus lados lo 
ubica en uno y otro semiplano. 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Por el Número de Lados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
β
 
θ 
 



 
Triángulo 3 lados 
Cuadrilátero 4 lados 
Pentágono 5 lados 
Hexágono 6 lados 
Heptágono 7 lados 
Octágono 8 lados 
Nonágono o Eneágono 9 lados 
Decágono 10 lados 
Endecágono o Undecágono 11 lados 
Dodecágono 12 lados 
Pentadecágono 15 lados 
Icoságono 20 lados 
 
 
270 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
PR OPIE DADES GENERALES EN UN POLÍGONO 
CONVEXO DE “n” LADOS. 
1. Número de diagonales trazadas únicamente desde un 
vértice ( NDUV ) 
 
 
 
2. Número total de diagonales trazadas ( N.D) 
 
 
3. Suma de medidas de sus ángulos interiores (S i) 
 
 
4. Suma de medidas de sus ángulos exteriores (Se) 
considerando sólo un ángulo exterior por vértice. 
 
 
 
5. Número de diagonales medias trazadas únicamente 
desde un lado del polígono (NUM). 
 
 
6. Número total de diagonales medias trazadas (N.D.M.) 
 
 
7. Número de diagonales trazados desde “K” vérticesconsecutivos (NDK) 
 
 
 
PROPIEDADES PARA POLÍGONOS REGULARES DE “n” 
LADOS 
 
 i: Medida de un ángulo interno 
 
180º( 2)n
i
n


 
 e: Medida de un ángulo externo 
 
360º
e
n
 
 c: Medida de un ángulo central 
 
360º
c
n
 
PRÁCTICA 3 
1. En un polígono regular ABCDEF…… AE y BF 
determinan un ángulo de medida 160. Halle el número de 
lados de dicho polígono regular. 
A. 12 B. 15 C. 16 
D. 18 E. 20 
 
2. ¿Cuántos polígonos equiángulos convexos existen de modo 
que la medida de su ángulo interno en grados 
sexagesimales esta representado por un número entero? 
A. 20 B. 21 C. 22 
D. 23 E. 24 
 
3. Se tienen dos polígonos regulares cuyos números de 
diagonales se diferencia en 342 y cuyas medidas de sus 
ángulos centrales están en la relación como 2 es a 3. Halle 
la diferencia de las medidas de sus ángulos centrales. 
A. 1 B. 2 C. 3 D. 3 E. 5 
 
4. En un polígono regular, al disminuir en 10 la medida de 
cada ángulo interior, resulta otro polígono regular que tiene 
81 diagonales menos. Halle la medida del ángulo exterior 
del primer polígono. 
A. 1 5 B. 18 C. 20 D. 24 E. 30 
 
5. Si el número de lados de un polígono regular se incrementa 
en a, la medida del ángulo exterior se reduce en 
33 a
4
 
grados. Calcule la suma de los números de lados inicial y 
final del polígono citado. 
A. 20 B. 22 C. 24 
D. 25 E. 18 
 
6. Si: a+b+c+d = 3x 
e+f+g= 5x 
h+i+j = 4x 
Halle: x 
 
 
 
 
 
A. 60 B. 40 C. 45 
D. 50 E. 70 
7. En un polígono regular ABCDEF…… de n lados, la m
ACE=135. Calcule el número de diagonales medias. 
A. 78 B. 91 C. 105 
D. 120 E. 136 
 
8. En un polígono regular ABCDEF …. de n lados, halle la 
medida del ángulo que determinan AC y BD 
A. 30° B. 
180
n
 C. 
180(n 2)
n

 
D. 
360
n
 E. 
90 (n 2)
n

 
 
9. En un polígono convexo de n lados, halle el número de 
diagonales medias sin considerar aquellas que unen los 
puntos medios de lados consecutivos del polígono. 
A. 
n
2
 B. 
n(n 2)
3

 C. 
n(n 1)
2

 
D. 
n(n 3)
2

 E. 
n(n 1)
2

 
 
10. Halle el número de lados de dos polígonos regulares, siendo 
la diferencia del número de lados 2 y la diferencia de las 
medidas de los ángulos exteriores 6 
A. 4 y 6 B. 5 y 7 C. 6 y 8 
D. 7 y 9 E. 10 y 12 
iS 180º(n 2) 
UVND = ( n - 3)
n(n 3)
N.D
2


iS 360º
UMN = ( n - 1)
n(n 1)
N.D.M
2


(k 1)(k 2)
NDK n.k
2
 
 
j° 
i° 
h° 
g° 
f° 
e° 
d° c° 
b° 
a° 
 
271 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
11. ¿Cuál es el polígono cuyo número de diagonales es el doble 
del número de diagonales de otro polígono que tiene tres 
lados menos. 
A. Cuadrado B. Hexágono 
C. Octágono D. Decágono 
E. Dodecágono 
 
12. Al multiplicar por K el número de lados de un polígono 
convexo, su número de diagonales queda multiplicado por 
6K. Halle el número de diagonales de dicho polígono. 
 A. 10 B. 30 C. 60 
D. 80 E. 90 
 
13. En un polígono regular, al disminuir en10 a la medida del 
ángulo interior, se obtiene la medida del ángulo interior de 
otro polígono regular cuyo número de lados es 
2
3
 del 
número de lados del polígono inicial. Halle el número de 
lados del polígono inicial. 
A. 18 B. 19 C. 20 
D. 21 E. 22 
 
14. Si se aumenta en 10, el número de lados n de un polígono 
regular, su ángulo interior se incrementa en 3°. Halle la 
suma de las medidas de los ángulos interiores de la estrella 
formada al prolongar los lados del polígono original. 
 A. 4650 B. 4680 C. 4710 
 D. 4800 E. 5000 
 
15. Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo interior 
mide (P+15) veces el valor del ángulo exterior; y además se 
sabe que el número de diagonales es 135P. 
A. 10 B. 18 C. 36 
D. 90 E. 125 
 
16. Las medidas de los ángulos interiores de un pentágono 
convexo está en progresión aritmética. Si la razón de la 
progresión es el mayor valor entero. Calcule la medida del 
menor ángulo del pentágono. 
A. 31 B. 32 C. 36 
D. 38 E. 43 
 
17. Halle el mínimo valor entero de la medida del menor de los 
ángulos internos de un pentágono que está en progresión 
aritmética. 
A. 1 B. 2 C. 37 
D. 38 E. 45 
 
18. En un polígono convexo de n lados par, al aumentar el 
número de lados en 4, el número de diagonales trazadas 
desde vértices no consecutivos aumenta en 33. Halle el 
número total de segmentos trazados desde los puntos 
medios no consecutivos. 
A. 88 B. 96 C. 92 
D. 94 E. 104 
 
19. En un polígono convexo de n lados (n>4), las 
prolongaciones de los lados determinan un conjunto de 
ángulos. Si la razón entre la suma de medidas de dichos 
ángulos y la suma de medidas de los ángulos internos del 
polígono dado es 6
7
, halle el número de diagonales del 
polígono. 
A. 65 B. 77 C. 90 
D. 104 E. 119 
 
20. Desde (n–5) lados consecutivos de un polígono de n lados 
se trazan (6n+5) diagonales medias. Calcule el número total 
de diagonales de este polígono. 
A. 65 B. 77 C. 90 
D. 104 E. 119 
21. Desde (n–4) vértices consecutivos de un polígono convexo 
de n lados, se trazan (4n+3) diagonales. Calcule n. 
A. 10 B. 12 C. 14 
D. 16 E. 18 
 
22. Desde n/2 vértices consecutivos de un polígono convexo de 
n lados se trazan (
2n
4
4
 ) diagonales. Halle el número 
de diagonales medias del polígono. 
A. 36 B. 45 C. 55 
D. 66 E. 78 
 
23. En un polígono regular ABCD ……., las prolongaciones de 
AB y ED determinan un ángulo de medida 126. Halle 
cuántas diagonales se pueden trazar desde 8 vértices 
consecutivos. 
A. 108 B. 100 C. 106 
D. 112 E. 110 
 
24. En un polígono convexo de n lados desde (n–4) vértices 
consecutivos se han trazado 
2
7
4
n 
 
 
 diagonales. 
Calcule el número de lados del polígono. 
A. 8 B. 10 C. 12 
D. 14 E. 16 
 
25. El doble de la diferencia entre número de diagonales medios 
y el número de diagonales de un polígono convexo es igual 
a m veces, el número máximo de ángulos interiores agudos 
que tiene el polígono mas la raíz cúbica del número de 
lados, calcule el menor valor de m, sí es entero. 
A. 2 B. 4 C. 6 
D. 17 E. 21 
 
26. 9 es el número de diagonales en que se pueden trazar 
desde 5 vértices consecutivos de un polígono regular de 
….. 
A. 5 lados B. 6 lados C. 7 lados 
D. 8 lados E. 9 lados 
 
27. La medida del ángulo interior y el ángulo exterior de un 
polígono regular es mθ y θ respectivamente donde m es un 
entero , calcule el menor número de lados del polígono 
regular que cumple con esa condición. 
A. 3 B. 4 C. 5 
D. 6 E. 7 
 
28. Se tienen tres polígonos convexos equiángulos tal que el 
número de diagonales totales del primer y tercer polígonos 
están en la relación de 1 a 6, la suma de las medidas de los 
ángulos internos del segundo y primer polígonos se 
diferencian en 360 y las medidas de los ángulos externos 
del tercer y segundo polígonos están en la relación de 2 a 
3. Calcule la medida del ángulo interno del primer polígono. 
A. 60 B. 90 C. 108 
D. 120 E. 140 
 
29. En un polígono regular ABCDFG …… de n lados, 
150m ACF  . Halle el número de diagonales 
medias. 
A. 270 B. 272 C. 274 
D. 276 E. 435 
 
30. En un nonágono cualquiera en donde sus ángulos interiores 
están en progresión aritmética, uno de sus ángulos siempre 
mide: 
A. 150 B. 140 C. 130 
D. 120 E. 100 
 
 
272 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
CAPITULO IV 
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos 
 
CUADRILÁTERO 
 
DEFINICIÓN: Es el polígono que tiene cuatro lados. Los 
cuadriláterospueden ser de dos tipos: 
Convexo: 
 
Notación: 
Cuadrilátero ABCD: ABCD 
Diagonales: BD y AC 
Propiedad: 
Cóncavo: 
 
Notación: 
Cuadrilátero ABCD: ABCD 
Diagonales: BD y AC 
Propiedad: 
 
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS: 
Estos se clasifican teniendo en cuenta el paralelismo de sus 
lados. Existen tres tipos de cuadriláteros convexos y son los 
siguientes: 
TRAPEZOIDE: Es aquel cuadrilátero cuyos lados opuestos no 
son paralelos, a su vez se clasifican en: 
 
Trapezoide simétrico: Es aquel trapezoide en el cual una de 
sus diagonales biseca perpendicularmente a la otra. 
 
Si: BN = ND y BD AC  
Entonces: ABC trapezoide simétrico 
AC : eje de simetría 
Propiedades: 
 El Eje de simetría biseca ángulos opuestos. 
 BC = CD y AB = AD 
Trapezoide asimétrico: Es el trapezoide propiamente dicho, es 
decir no tiene ninguna característica en especial. 
TRAPECIO: 
Es aquel cuadrilátero que tiene dos de sus lados paralelos. A los 
lados paralelos de un trapazo se les denomina base y a los otros 
dos lados se les denomina lados oblicuos o laterales. 
 
Si: AD // BC y BC  AD 
 ABCD: trapecio 
Luego: 
Bases : AD y BC 
Lados laterales : CD y AB 
Base media : MN 
Altura : CH 
Propiedades: 
1. Con la base media: 
 
2. Con el segmento que une los puntos medios de sus 
diagonales: 
 
Si: AM = MC y BN = ND 
Entonces: 
 
Observaciones: 
1. 
 
Si: AD // BC // MN y AM = MB 
Entonces MN : base media 
 +  +  +  = 360° 
 +  +  +  = 360° 
 
MN = 
 
MN = 
 
273 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
 
2. 
 
Si: AD // BC // MN y AN = NC 
Entonces: 
 
3. 
 
Si: BM = MD 
Entonces: 
 
Clasificación de los Trapecios: 
 Trapecio escaleno: Es aquel cuyos lados laterales tienen 
longitudes diferentes. 
 
Si: AB  CD, siendo AD // BC 
 ABCD es un trapecio escaleno 
 Trapecio isósceles: es aquel cuyos lados laterales son de 
igual longitud. 
 
Si: AB = CD, siendo AD // BC 
 ABCD es un trapecio isósceles 
Además: 
 
 
NOTA: 
Si un lado lateral de un trapecio escaleno es perpendicular 
a las bases, entonces al trapecio se les denomina trapecio 
rectángulo. 
 
Si AB Bases y AB  CD 
Entonces ABCD es un trapecio rectángulo. 
PARALELOGRAMO: 
Es aquel cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. 
 
Si: CD // AB y AD // BC 
Entonces: ABCD paralelogramo 
Propiedades: 
1. Los lados opuestos tienen longitudes iguales. 
 
Si: ABCD paralelogramo 
Entonces: 
 
2. Los ángulos opuestos tienen longitudes iguales. 
 
Si: ABCD paralelogramo 
Entonces: 
 
 
 
3. Las diagonales se intersecan en su punto medio. 
 
 
Si: ABCD paralelogramo 
Entonces: 
 
 
 
 
BM = MD 
x = 
AC = BD 
mBAD = mCDA 
a = c b = d 
 =   =  
AN = NC BN = ND 
 
274 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
Clasificación de los Paralelogramos: 
 Romboide: Es el paralelogramo propiamente dicho. 
 
No tiene propiedades adicionales. 
 Rectángulo: Es el cuadrilátero cuyos ángulos interiores 
tienen medidas iguales (cuadrilátero equiángulo). 
Sus diagonales tienen longitudes iguales. 
 
 Rombo: Es el cuadrilátero cuyos lados tienen longitudes 
iguales (cuadrilátero equilátero). 
 
Sus diagonales: 
 Son perpendiculares. 
 Bisecan a sus ángulos internos. 
 Tienen longitudes diferentes. 
 Cuadrado: Es el cuadrilátero regular (ángulos de igual 
medida y lados de igual longitud). 
 
Sus diagonales: 
 Tienen igual longitud. 
 Bisecan a sus ángulos internos. 
 Son perpendiculares. 
 
 
PRÁCTICA 4 
 
1. En el trapecio ABCD, hallar MN. 
 
A. 4 B. 3 C. 2 
D. 5 E. 6 
2. Se tiene un rombo ABCD y una recta exterior. Las distancias 
de los vértices A, B y C a dicha recta son de 5, 12 y 15 
metros respectivamente. Halla la distancia del vértice D a la 
misma recta. 
A. 6 B. 8 C. 9 
D. 10 E. 5 
 
3. La suma de las distancias de los vértices de un 
paralelogramo a una recta exterior es 40 cm. Calcular la 
distancia del punto de corte de las diagonales a la misma 
recta. 
A. 5 B. 10 C. 20 
D. 8 E. 40 
 
4. En un trapezoide ABCD,  200CmAm , 
calcular el mayor ángulo que toma las bisectrices de A y D. 
A. 105° B. 120° C. 130° 
D. 140° E. 100° 
 
5. En un romboide ABCD, AB = 4, BC = 2CD, las bisectrices 
de los ángulos A y B se cortan en M, calcular la distancia de 
M al punto medio de CD 
A. 4 B. 5 C. 6 
D. 7 E. 8 
 
6. ABCD es un cuadrado y AED un triángulo equilátero. Si AF 
= 2, hallar CH. 
 
A. 2 B. 3 C. 22 
D. 2 E. 3 
 
7. En un romboide ABCD,  150ABCm , BC = 16. las 
bisectrices de los ángulos A y D se intersecan en Q, hallar 
la distancia de Q a CD . 
A. 2 B. 3 C. 4 
D. 5 E. 6 
 
8. En un cuadrilátero FGST la 
     m TFS m GSF m FTS 15 , la 
m FGT=90. Calcule la mGFS. 
A. 15 B. 22,5 C. 30 
D. 35 E. 45 
9. En un cuadrilátero convexo ABCD, la m ABC=m
ADC=90. Si AD=DC, AB=a, BC=b, DH es perpendicular a 
BC (HBC ). Halle DH. 
A. a+b B. 2a–b C. 2b–a 
D. 
a b
2

 E. 
a b
4

 
 
10. En un cuadrilátero ABCD: AB=CB=BD, m BAD 3  
m BCD 2   y 
m ADC 3
m ABC 2



. Halle 
m D m B   . 
A. 10 B. 30 C. 45 
D. 60 E. 72 
 
275 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
11. Se tiene el cuadrilátero ABCD, de diagonales 
perpendiculares, si la m BAC 20  , la 
m DAC 10  , la m BCA 50  . Halle la m
BDC. 
A. 60 B. 50 C. 30 
D. 40 E. 45 
 
12. Exteriormente a un triángulo acutángulo ABC se dibujan 
cuadrados de lados AB, BC y AC cuyos centros 
son D, E y F respectivamente. Si DE=6 cm. Halle BF (en 
cm). 
A. 5 B. 6 C. 8 
D. 10 E. 12 
 
13. En un cuadrado ABCD en su interior se ubica el punto F tal 
que: AB=BF, m AFD = 75, calcule la m FBD. 
A. 10 B. 12 C. 15 
D. 18 E. 20 
 
14. Sea el paralelogramo ABCD: AB=2X–Y, BC=3X+Y2, 
CD=X+Y y AD=X+2Y2. Halle el perímetro. 
A. 100 B. 101 C. 102 
D. 103 E. 104 
 
15. Dos lados consecutivos de un paralelogramo miden a y b 
(a>b); se trazan las bisectrices exteriores, formándose un 
nuevo cuadrilátero. Halle la longitud de una de las 
diagonales del nuevo cuadrilátero. 
A. 
a b
2

 B. a+b C. 2(a+b. 
D. a+2b E.  a b 2 
 
16. En un paralelogramo ABCD, M es punto medio de 
AB y DH  MC H MC  , P y Q son puntos 
medios de AD y DH . Si BC= 36u.. Halle PQ. 
(en u) 
A. 16 B. 18 C. 20 
D. 17.5 E. 17 
 
17. En un trapecio las diagonales miden 8cm y 12 cm. Calcule 
el máximo valor entero de la mediana. (en cm) 
A. 5 B. 6 C. 7 
D. 8 E. 9 
 
18. En un trapecio rectángulo ABCD (ángulos rectos en A y D) 
las bisectrices interiores de B y C interceptan en E. Desde 
E se traza EF perpendicular a  AD F en AD ; si 
la mediana mide 10u y BC mide 17, halle EF. (en u) 
A. 1,2 B. 1,8 C. 1,6 
D. 1,5 E. 2 
 
19. Se tiene un trapecio ABCD en el cual las bisectrices 
interiores de B y C se interceptan en P. Las bisectrices 
exteriores de los mismos ángulos se interceptan en Q. Halle 
PQ (en u) si las bases AB y CD miden 4 y 10u 
respectivamente  BP // AD 
A. 5,0 B. 5,5 C. 6 
D. 6,5 E. 7,0 
 
 
20. En un cuadrilátero ABCD se cumple 
m BAC m BCA m ACD       , 
3m ABD   y 2m CAD   . Entonces, la 
m BCA es: 
A. 10 B. 12 C. 15 
D. 18 E. 20 
 
21. En un trapecio ABCD //BC AD , P y Q son puntos 
medios de y CDAB ,  AC PQ E , 
 ,PQ BD F la prolongación de CF intercepta a 
AD en G, BC=a, AD=50, calcule 2 EF+GD. 
A. 
50
5
a
 B. 
50
3
a
 C. 
100
3
a
 
D. 50 E. 40 
 
22. En un trapecio ABCD  //BC AD las bisectrices 
interiores de los ángulos A y B se interceptan en P y las 
bisectrices interiores de los ángulos C y D se interceptan en 
Q. Determine la longitud del segmento PQ si AB=6, 
BC=4, CD=8, AD=10. 
A.1 B. 1/2 C. 0 
D. 2 E. 3/2 
 
23. En un cuadrilátero convexo ABCD se cumple ,BC CD 
m CBD  , 60m BAC   y 
60 2m ADB    . Entonces la m CAD es: 
A. 10 B. 15 C. 20 
D. 25 E. 30 
 
24. En un rombo ABCD, AC=8, BD=6. M, N, P son puntos en 
las prolongaciones de , AD y AC,AB la 
90,m MPN  C MN, MN AC  . Halle 
AP+MN. 
A. 18 B. 20 C. 26 
D. 28 E. 30 
 
25. En un cuadrilátero convexo ABCD se cumple que : 
15m BAC   , 45 3m CAD    , 
45 ,m ACD   60 2m BDA    y 
30.m BDC  Entonces la m ACB es: 
A. 18 B. 24 C. 30 
D. 36 E. 45 
 
26. En un cuadrilátero ABCD convexo, AC es bisectriz de 
 BAD, Si : 
,
3 2
m BDA m BCA
m CAD
 
   
90,m ADC  entonces la m ACD es: 
A. 45 B. 50 C. 55 
D. 65 E. 75 
 
27. En un paralelogramo ABCD, sus lados miden AB=a y BC=b. 
Halle la longitud de la diagonal del cuadrilátero que se forma 
al trazar las bisectrices exteriores del paralelogramo. 
A. (a+b. B. 
ab
a b
 C. ab 
D. a–b E. b–a 
 
 
276 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
CAPITULO V 
 
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos 
CIRCUNFERENCIA 
 
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un 
plano que equidistan de un punto del mismo plano llamado 
centro. 
 
ELEMENTOS 
 O : Centro 
 OA : Radio 
 BC : Diámetro 
 PQ 
: Recta tangente 
 PS : Recta secante 
 AB : Arco 
 DE : Cuerda 
 MH : Flecha o sagita 
 
 
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 
1. Angulo Central 2. Angulo Inscrito
° = 
2
mTM
 
 ° = m AB 
3. Angulo Semi - inscrito 4. Angulo Ex - inscrito
 A
B
 O 
 A
B

 ° = m
2
AB
 
 T
M

° = 
2
mMBmAM
 
 B
MA

 
5. Angulo interior
° = 
2
mMNmAB
 B
M
A

 N
 
6. Angulo Exterior 
° = 
2
mMNmAB
 ° = 
2
mMNmAB 
M
N
A
B

M
A
B

A
Q
B

° = 
2
mABmAQB
 
TEOREMAS ADICIONALES 
1) 2)
3) Si: AB // MN 4) Si: T // AM
Mo To
M N
A B T
MA
 m AM = m BN m AT = m TM
 
TEOREMA DE PONCELET 
En todo triángulo rectángulo la suma de los catetos es igual a la 
longitud de la hipotenusa más dos veces el inradio. 
 
 
 
 
TEOREMA DE PITOT 
En todo cuadrilátero convexo circunscrito a una circunferencia la 
suma de los lados opuestos son iguales. 
 
 
 
 
 
 
PRÁCTICA 5 
 
1. Dadas dos circunferencias tangentes exteriores de radios 
congruentes y centro O y O’ respectivamente. Si desde O y 
O’ se trazan las tangentes a la otra circunferencia 
determinando un ángulo que mide 5X, luego el mayor valor 
de X es: 
 A. 12 B. 15 C. 18 
 D. 21 E. 24 
 
2. Una circunferencia C2 contiene al centro O de la 
circunferencia C1 y la interseca en A y B; si en C2 se trazan 
las cuerdas perpendiculares OP y AQ de modo m 
PQ = 120°. Calcule la m AB en C1. 
 A. 100° B. 110° C. 120° 
 D. 130° E. 140° 
 
3. Dos circunferencias de centros O1 y O2 se interceptan en los 
puntos P y Q. En los arcos mayores PQ de cada 
circunferencia se ubican los puntos A y B respectivamente. 
Si m AP = 40, m PB =50 y la suma de las medidas 
de los arcos menores PQ es 110. Halle m APB. 
 A. 90 B. 95 C. 100 
 D. 110 E. 120 
OD
IAM
ETR
O
R
A
D
IO
AR
C
O
T
A
N
G
E
N
T
E
 
Q
SECANTE
B
A
C
P
R
E
M
H
D
S
 
277 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
4. En la figura m DC =80°, m DS  40° y T y S son puntos 
de tangencia, halle m TAS. 
 
 A. 20 B. 30 C. 35 
 D. 40 E. 60 
 
5. Dos circunferencias congruentes se intersectan en C y E. Si 
en una de ellas se eligen los puntos A y B tal que 
 AE BC D y D pertenece a la otra 
circunferencia. Si m AB = 122°. Calcule mCDE. 
 A. 110 B. 118,5 C. 120,5 
 D. 135 E. 140 
 
6. Dos circunferencias C1 y C2 son tangentes exteriores y la 
recta que pasa por los centros intercepta a C1 en A y a C2 
en B, siendo E el punto de tangencia. Si AF es cuerda 
en C1, BG es cuerda en C2, FG es tangente común y los 
rayos AX y BY forman con AB ángulos de medidas  y W, 
siendo 2 y 2W las medidas de los ángulos que forman 
FA con AX y GB con BY; calcule la medida del menor 
ángulo que determinan AX con BY. 
 A. 30 B. 70 C. 75 
 D. 90 E. A y D 
 
7. C1 y C2 son circunferencias tangentes exteriores en P, 
desde un punto exterior Q se trazan una recta tangente a 
cada circunferencia en T y S 
 1 2T C y S C  . Si m TQS 80.  
Halle la medida del ángulo agudo que forman las rectas PS 
y TP 
 A. 40 B. 45 C. 50 
 D. 55 E. 60 
 
8. En la figura mostrada las circunferencias de centros O y O’ 
son congruentes. Si OO AO , entonces la 
m BCM es: 
 
 A. 40 B. 48,5 C. 50 
 D. 52,5 E. 60 
9. Desde un punto C exterior a una circunferencia se trazan la 
tangente CT y la secante CBA . En la prolongación de 
la cuerda TB se ubica el punto D tal que la m BDC=40. 
En la prolongación del segmento CT se ubica el punto E y 
en la prolongación del segmento DC se ubica el punto F. Si 
m ATE m TCF.   Halle m ACT. 
 A. 20 B. 40 C. 45 
 D. 60 E. 80 
 
10. Indicar el valor de verdad de: 
I. Todo diámetro que biseca a una cuerda es 
perpendicular a dicha cuerda. 
II. Si dos circunferencias son secantes, entonces el 
segmento que une los centros intercepta a la cuerda 
común. 
III. La mediatriz de una cuerda contiene al centro de la 
circunferencia. 
 A. FFV B. VVF C. FVV 
 D. FFF E. VVV 
 
11. Indique el valor de verdad de: 
I. Todo trapecio es inscriptible. 
II. Todo rectángulo es inscriptible. 
III. El trapezoide simétrico es inscriptible. 
 A. FFV B. VVF C. FVV 
 D. FVF E. VVV 
 
12. En un triángulo ABC recto en B, la suma de las longitudes 
de las radios de las circunferencias exinscritas a los catetos 
es S y la distancia entre los puntos de tangencia de la recta 
AC con dichas circunferencias es d. Halle la longitud del 
inradio del triangulo ABC. 
A. 
S d
2

 B. 
S d
2

 C. 
d S
2

 
D. 
S d
4

 E. S–d 
 
13. En un triángulo ABC recto en B, se ubican E y D en los lados 
AC y BC respectivamente, tal que 
m DEC 90  . Si la suma de las longitudes de los 
radios de las circunferencias inscritas en el cuadrilátero 
ABDE y en el triángulo CDE es 12. Halle BD. 
A. 9 B. 10 C. 11 
D. 12 E. 13 
 
14. Tres circunferencias son tangentes exteriores entre sí y sus 
radios miden 1, 2 y 3u. Halle la longitud del radio de la 
circunferencia que contiene los puntos de tangencia. 
A. 0,25 B. 0,5 C. 1,0 
D. 1,5 E. 2,0 
 
15. Un hexágono circunscrito a una circunferencia 
ABCDEF, tal que 
AB //ED,
 
BC//EF,
 
AF//CD . Si AB=10, halle ED. 
 A. 5 B. 7,5 C. 10 
 D. 12,5 E. 15 
 
16. En un triángulo rectángulo ABC, I es el incentro tal 
que m AID 90(D AC)   . Se traza 
DE perpendicular a BC . Si AB+BC=34 y AC=26. 
Halle m BE . 
A. 6 B. 8 C. 9 
D. 10 E. 12 
 
 
 
 
 
A 
 
278 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
17. En un triángulo rectángulo ABC, se traza la altura BH . 
Halle la distancia trazada del incentro del triángulo ABC a 
BH , si los inradios de los triángulos AHB y BHC miden 
r1 y r2 (r2<r1). 
A. r1–r2 B. 2 1
r r
2

 C. 2 1
r r
2

 
D. 2r1–r2 E. 2r1+r2 
 
18. En la figura : m AM m MB . AH=5. Halle el valor 
de HP+PB. 
 
A. 3 B. 3,5 C. 4 
D. 4,5 E. 5 
 
19. En un cuadrilátero inscrito ABCD se ubica M en el 
arco BC , tal que las prolongaciones de BM y DC 
se interceptan en N. Si AB //DN y 
 m ADM 50  , halle m DNB. 
A. 30 B. 35 C. 40 
D. 45 E. 50 
 
20. En la figura adjunta BD=2(AP) y O es centro y 
mAB mCD. Halle m AB . 
 
 A. 40° B. 45° C. 50° 
 D. 55° E.60° 
21. En un triángulo rectángulo ABC se trazan la altura BH y 
la mediana BM y se circunscribe una 
circunferencia al triángulo BHM. Si 
m HM   , halle m C . 
 A. 30
2

 B. 75
4

 C. 60
4

 
 D. 30
4

 E. 45
4

 
22. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices interiores 
CD y BF que se interceptan en I. La circunferencia 
 inscrita en el cuadrilátero AFIE es tangente a 
FI en P, a IE en Q y en M a AE . Si 
m A 2m PMQ,   halle m BIC. 
 A. 110 B. 120 C. 130 
 D. 140 E. 150 
23. Sea un cuadrante OFC (O es el centro). En FC se 
ubican los punto A y B tal que B AC y se 
trazan AH OC y BD OC , tal que 
AB=2BD. Si m HAB 2m OAH   , halle 
m ABD . 
 A. 120 B. 130 C. 135 
 D. 145 E. 150 
 
24. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y 
D tales que AC y BD sean diámetros de dos 
 semicircunferencias que se interceptan en M. Por M 
se traza una secante que determinan los puntos E y F 
en las semicircunferencias. Si : 
 m EM m MF   , halle m BMC. 
 A. 90
3

 B. 90
4

 C. 90
2

 
 D. 90
2

 E. 180
4

 
25. Se tienen tres circunferencias 1 2 3, y    
secantes dos a dos que se interceptan en A y B; A 
y C; A y D. La prolongación de BC intercepta a 
2 3 y   en E y F y la prolongación de DE 
intercepta a 3 en Q. Si m BC 48 , halle m QF 
 A. 48 B. 56 C. 66 
 D. 76 E. 86 
 
26. En la figura adjunta: AB BC , O es el centro y 
m OCD 70.  Halle el valor de x. 
 
A. 30 B. 35 C. 40 
D. 45 E. 60 
27. Se tienen dos circunferencias ortogonales 1 2 y   que se 
interceptan en M y N, En 1 se ubica un punto A y en 2 
un punto B. Por A y B se trazan tangentes a 1 2 y   que 
se interceptan en C. Si MBA es una cuerda de 1 , halle 
m ACB . 
A. 45 B. 55 C. 75 
D. 80 E. 90 
 
 
 
 
 
279 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
CAPITULO VI 
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos 
PUNTOS NOTABLES 
 
I. INCENTRO: 
Es el punto de concurrencia de las tres bisectrices interiores 
de un triángulo. 
 
I Incentro r Inradio 
Propiedades : 
Primera : El incentro es el centro de la 
circunferencia inscrita. 
Segunda : El incentro equidista de los lados del triángulo. (una 
distancia r) inradio. 
II. EXCENTRO: 
Es el punto de concurrencia de dos bisectrices exteriores y 
de una bisectriz interior. 
 
 
E Excentro 
 
r Exradio 
Propiedades: 
1ra. Propiedad: El excentro es el centro de La circunferencia 
exinscrita. 
2da. Propiedad: El excentro equidista de un lado y de las 
prolongaciones de los otros dos lados, (una distancia ) Exradio 
relativo a BC . 
III. BARICENTRO: 
Es el punto de concurrencia de las tres medianas de un 
triángulo. 
 
 
 
A) Para triángulos acutángulos y obtusángulos. 
 
G Baricentro 
 
 
IV. ORTOCENTRO: 
Es el punto de concurrencia de las rectas que incluyen a las 
tres alturas de un triángulo. 
A) Para triángulos acutángulos 
 
H Ortocentro 
B) Para triángulos obtusángulos. 
 
H Ortocentro 
 
C) Para triángulos rectángulos: 
 
H Ortocentro 
 
 
 
 
 
 

 H







E
r







E

 
280 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
CIRCUNCENTRO: 
Es el punto de concurrencia de las tres mediatrices de un 
triángulo. 
A) Para triángulos acutángulos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Circuncentro 
 
B) Para triángulos obtusángulos. 
 
 
 
 
 
 
 
O Circuncentro 
 
C) Para triángulos rectángulos: 
 
O Circuncentro 
 
 PROPIEDADES ADICIONALES 
 
1. 
 
 
 
 
 
 
 
2. La distancia del ortocentro a un vértice es el doble de la 
distancia del circuncentro al lado opuesto del vértice 
considerado. 
 
 
PRACTICA 6 
 
1. En la figura mostrada, calcular “BH” si “H” es ortocentro del 
triángulo ABC y AC = 7. 
 
A. 1 B. 2 C. 3 
D. 4 E. 5 
 
2. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se trazan las 
cevianas AP y CQ tal que AP = CQ = 8 y 
 15BCQmPABm . Hallar la longitud del 
segmento que une los puntos medios de AP y CQ . 
A. 2 B. 3 C. 4 
D. 5 E. 6 
 
3. En un triángulo ABC se traza la ceviana BR , tal que AB = 
BR, 5AR = 6RC y RBCmABRm  2 . Hallar la 
medida del ángulo ACB. 
A. 30° B. 37° C. 40° 
D. 45° E. 53° 
O
R
R R
C
B
A
c
a
a
c
A
B
C
H O
M
H Ortocentro
O Circuncentro
HB = 2 OM
A
B
C
H O
 
Siendo : H Ortocentro
O Circuncentro
  = 
O
// //

 /
/
O
////


 
281 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
 
4. En la figura mostrada, calcular los valores enteros que 
puede tomar “X”, si: “G” es baricentro del triángulo ABC. 
 
A. 2, 3, 4 B. 3, 4 C. 2, 3 
D. 3 E. 2 
 
5. En la figura mostrada, calcular “X”. 
 
A. 5 B. 6 C. 3 
D. 4 E. 7,5 
 
6. En la figura mostrada, calcular “X” si: “I” es incentro del 
triángulo ABC. 
 
A. 50 B. 20 C. 30 
D. 40 E. 60 
 
7. En un triángulo ABC se traza la ceviana BR , en cuya 
prolongación se ubica el punto D, tal que DA = AB = BC y 
DCRm = 30°. Hallar la medida del ángulo ADR 
(  60DACm .) 
A. 50° B. 30° C. 60° 
D. 90° E. 45° 
 
8. En la figura mostrada: AB = AQ, 
 260BCAm,PACm;3BAPm
hallar APQm 
 
A. 15° B. 20° C. 45° 
D. 30° E. 60° 
 
9. En el lado AD del romboide ABCD, se ubica el punto medio 
“M”, de tal manera que el segmento BM intercepta a la 
diagonal AC en “P”. Calcular la distancia de “P” al centro del 
romboide si AC = 18. 
A. 6 B. 5 C. 4 
D. 3 E. 2 
10. Dado un triángulo rectángulo ABC de incentro “I”, se traza 
la altura BH relativa a la hipotenusa, sean 1I , 2I los 
incentros de los triángulos BHA y BHC respectivamente. 
¿Qué punto notable es “I” del triángulo 21BII 
A. baricentro B. circuncentro C. incentro 
D. ortocentro E. cevacentro 
 
11. En un triángulo isósceles ABC, AB = BC, se ubica un punto 
“Q” en su región triangular, de modo que: 
 30QACmABQm ,  10QBCm . 
Hallar BQCm 
A. 30° B. 100° C. 45° 
D. 150° E. 120° 
 
12. La suma de las distancias del baricentro de un triángulo a 
los puntos medios de sus lados es 24. calcular la suma de 
las longitudes de las medianas de dicho triángulo. 
A. 48 B. 56 C. 62 
D. 72 E. 78 
 
13. En un triángulo ABC, se ubica el incentro “I”, de tal manera 
que la medida del ángulo AIC es igual a dos veces la medida 
del ángulo ABC, calcular la medida del ángulo ABC. 
A. 30° B. 45° C. 60° 
D. 75° E. 90° 
 
14. En un triángulo ABC, se ubica el circuncentro “K” de tal 
manera que la medida del ángulo AKC es igual a 150°. 
Calcular la medida del ángulo ABC. 
A. 30° B. 45° C. 60° 
D. 75° E. 90° 
 
15. En un triángulo ABC, se ubica el ortocentro “O” de tal 
manera que 3m<ABC = 2m<AOC. Calcular la medida del 
ángulo OAB. 
A. 18° B. 24° C. 30° 
D. 36° E. 48° 
 
16. En un triángulo ABC, se ubica el excentro “E” relativo al lado 
BC, de tal manera que m<AEC + m<ABC = 120°. Hallar m< 
AEC. 
A. 30° B. 40° C. 50° 
D. 60° E. 20° 
 
17. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda. 
I. En todo triángulo, el incentro, siempre es un punto 
interior. 
II. El ortocentro de un triángulo divide a la altura en la 
relación de 3 a 1 a partir del vértice. 
III. El circuncentro de un triángulo es un punto equidistante 
de los tres lados. 
A. FVF B. VFF C. VVF 
D. VVV E. FVV 
 
18. En un triángulo isósceles ABC, (AB = BC), se ubican el 
incentro “I” y el ortocentro “O”, de tal manera que: 2m<IAO 
= 3m<IBC. Hallar la medida del ángulo IAO. 
A. 15° B. 37°/2 C. 30° 
D. 5°/2 E. 36° 
 
19. En la región interior del triángulo ABC, se ubica el punto “P”, 
de tal manera que: m<PAB = 40°, m<PAC = 30°, m<PCB = 
20° y m<PCA = 50°. Calcular m<PBA. 
A.10° B. 15° C. 20° 
D. 25° E. 30° 
 
20. En un triángulo acutángulo ABC, se ubican el ortocentro “O” 
y el circuncentro “K”, de modo que la medida del ángulo 
ABO es igual a “a”. Hallar la medida del ángulo KBC en 
función de “a”. 
A. a/2 B. 60° - a C. a 3/2 
D. 45° - a/2 E. a 
 
282 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
21. Se tiene el cuadrilátero ABCD, de modo que la medida del 
ángulo ABD es igual a 80°, y m<CBD = 50°, m<BDC = 70° 
y m<BAD = 60°. Hallar m<ACD. 
A. 30° B. 40° C. 50° 
D. 25° E. 35° 
 
22. Se tiene el triángulo acutángulo ABC, de modo que m<ABC 
= m<ACB + 30°, calcular m<KAI, si el punto “I”, es el incentro 
y el punto “K” el circuncentro de dicho triángulo. 
A. 30° B. 25° C. 20° 
D. 15° E. 10° 
 
23. En un triángulo ABC, se ubican el ortocentro “O” y el 
circuncentro “K”, de modo que m<BAC = a y m<ACB = b. 
Calcular la medida del ángulo OBK en función de “a” y “b”, 
si a>b. 
A. 
4
ba 
 B. 2b - a C. 
3
ba 
 
D. a - b E. 
2
ba 
 
 
24. En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en “B”, se traza la 
mediana BM, de tal manera que la medida del ángulo AMB 
es igual a 45°. Calcular m<ACB, si además: m<BAC = 
2m<ACB. 
A. 15° B. 18° C. 20° 
D. 16° E. 30° 
 
25. En un triángulo acutángulo ABC, se ubican el incentro “I” y 
el circuncentro “K”, de tal manera que m<KIC = m<CAK.. 
calcular m<ABC. 
A. 30° B. 45° C. 60° 
D. 75° E. 90° 
 
26. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, se traza la 
altura BH, sean “I”, “P” y “T” los incentros de los triángulo 
ABC, AHB y BHC, respectivamente. Calcular la medida del 
ángulo formado por los segmentos BI y PT. 
A. 45° B. 60° C. 75° 
D. 90° E. 150° 
 
27. Se tiene el cuadrilátero ABCD, de modo que la medida del 
ángulo ACD es igual a 54°, m<ACB = 24° y m<BAC = 
m<DAC = 12°. Calcular la medida del menor ángulo formado 
por las diagonales de dicho cuadrilátero. 
A. 24° B. 36° C. 48° 
D. 60° E. 72° 
 
28. En la figura mostrada, hallar “x”. 
 
A. 12° B. 15° C. 16° 
D. 18° E. 24° 
 
29. En un triángulo ABC, se ubica interiormente un punto “P” tal 
que PAB = 3x, PAC = 3x, PCA = x, PCB = 2x y PC = BC. 
Hallar “x”. 
A. 30° B. 15° C. 7,5° 
D. 60° E. 12° 
 
30. En un triángulo ABC, se ubica el punto “P” en la altura BH, 
tal que PAC = 2x, PCA = x, PCB = 2x y ABH = x. Hallar “x”. 
A. 12° B. 15° C. 18° 
D. 10° E. 9° 
CAPÍTULO VII 
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos 
PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE 
TRIÁNGULOS 
 
TEOREMA DE THALES 
Tres o más rectas paralelas al ser interceptados por dos o más 
rectas secantes determinan segmentos proporcionales. 
EF
DE
BC
AB
 
DF
EF
AC
BC
 
DF
DE
AC
AB
 
COROLARIO DE THALES 
Toda paralela a un lado de un triángulo que intercepta a los otros 
dos lados, lo divide en partes directamente proporcionales. 
AC//DE 
EC
BE
DA
BD
 
AC
DE
BC
BE
AB
BD
 
 
BC
EC
BA
DA

 
 
TEOREMA DE LA BISECTRIZ 
Bisectriz interior BD 
 
n
m
a
c
 
 
 
Bisectriz exterior BF 
 
n
m
a
c
 
 
PROPIEDAD 
División Armónica 
CF
AF
DC
AD
 
 
F
E
DA
B
C
CA
E
B
D


B
a
c
c
A D
m n

B
a
c
c
A
m
n

F
 
283 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
TEOREMA DEL INCENTRO 
 
 
b
ac
ID
BI 
 
 
I : Incentro 
TEOREMA DE MENELAO 
a.b.c = d.e.f 
 
 
 
TEOREMA DE CEVA 
a.b.c = d.e.f 
 
 
 
SEMEJANZA DE TRIANGULOS 
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIANGULO 
Primer caso: Dos triángulos son semejantes si dos ángulos del 
primero son congruentes a dos ángulos del segundo. 
α°
α°
θ°
θ°
 
Segundo caso: Dos triángulos son semejantes si dos lados del 
primero son proporcionales a dos lados del segundo, y los 
ángulos formados por dichos lados son congruentes. 
α°
α°
bk
b
aak
 
Tercer caso: Dos triángulos son semejantes si los tres lados del 
primero son proporcionales a los tres lados del segundo. 
a
b
c
bk
akck
 
PRÁCTICA 7 
 
1. En un triángulo ABC se traza la mediana BM, tal que: 
m<MBC = m<BAC + m<BCA y AB=12 m. Calcular BM. 
 A. 4m B. 6m. C. 8m 
 D. 9m. E. 12m. 
 
2. En un triángulo ABC la circunferencia inscrita es tangente 
a AB y BC en P y Q, respectivamente. La prolongación 
de PQ corta a la de AC en T, tal que: AP=3 y CQ=2. 
Calcular CT. 
A. 10 B. 15 C. 5 
C. 6 E. 7.5 
3. En un romboide ABCD, en la prolongación de DC se ubica 
el punto P, de modo que AP corta a BD y BC en Q y R, 
respectivamente, donde: AQ=3 y QR=2. Calcular RP. 
 A. 2 B. 2.5 C. 3 
 D. 3.5 E. 4 
 
4. En un triángulo ABC la mediana AM corta a las cevianas 
BP y BQ en E y F, respectivamente. Calcular EF, si : FM=2 
y AP=PQ=QC. 
 A. 2.4 B. 3 C. 3.2 
 D. 3.6 E. 4,8 
 
5. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices interiores AN 
y CM, de manera que: AM=2, BM=3 y BN=4. Calcular NC. 
A. 2.6 B. 3 C. 3.2 
D. 4.5 E. 5.2 
 
6. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) se traza la 
altura BH, luego se trazan HP y PQ perpendiculares a BC 
y HC, respectivamente. Calcular AH, si HQ=4 y QC=6. 
A. 20/3 B. 19/2 C. 10/3 
D. 17/2 E. 21/4 
 
7. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) inscrito en una 
circunferencia, en el arco AC se toma el punto F . BF corta 
a AC en el punto N, tal que: 3NC=2AN y AF=24. Calcular 
FC. 
A. 12 B. 9 C. 8 
D. 16 E. 18 
 
8. Se tiene un cuadrado ABCD inscrito en una 
circunferencia, en el arco BC se ubica el punto P, de modo 
que: PA y PD cortan a BC en E y F, respectivamente. 
Calcular la longitud del lado de dicho cuadrado, si :BE=12 
y FE=8. 
A. 20 B. 30 C. 40 
D. 50 E. 60 
 
9. En un triángulo rectángulo ABC (m<B=90°) AB=2 y BC=3. 
Calcular la longitud del lado del cuadrado BPQR inscrito 
en dicho triángulo. 
A. 1.2 B. 1.5 C. 1.6 
D. 1.8 E. 2 
 
10. En un triángulo se traza la ceviana AF, tal que: 
m<BAF=m<FCA, BF=8 y FC=10. Calcular AB. 
A. 9 B. 10 C. 12 
D. 15 E. 16 
 
11. En un triángulo se traza la bisectriz interior BD y en el 
triángulo BCD se traza la ceviana DE, tal que: 
m<ABD=m<CDE, AB=9 y EB=4. Calcular BD. 
A. 5 B. 6 C. 7 
D. 6 E. 6.4 
 
12. En un triángulo ABC se traza la altura BH, tal que: AC=6 
y BH=8. Calcular la longitud del cuadrado PQRS inscrito 
en dicho triángulo, si: PS esta sobre AC. 
A. 12/5 B. 24/7 C. 16/5 
D. 18/5 E. 20/3 
 
13. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) con diámetro en 
AC se traza una semicircunferencia tangente a AB y BC. 
Luego se traza una tangente a dicha curva que corta a AB 
y BC en M y N, respectivamente, tal que: AM=9 y CN=16. 
Calcular AC. 
A. 10 B. 11 C. 12 
D. 13 E. 14 
 
14. En un cuadrado ABCD de 6m. de lado se ubica el punto 
medio M de CD, tal que AM corta a BD en N. Calcular la 
distancia de N a AD. 
A. 1.8 B. 2 C. 2.4 
D. 2.7 E. 1.75 
15. En la prolongación del diámetro AB de una 
semicircunferencia de radio igual a 12 se ubica el punto C, 
e
b
a
d
f
c
d
e
b
a
f c



I
a
C
B
c
A

D
b
 
284 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
desde el cual se traza la tangente CT, tal que 3AB=2BC . 
Hallar la distancia de B a CT. 
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 E. 5 
 
16. En un trapecio rectángulo ABCD (m<A = m<B 90°) se 
ubica el punto medio P de AB , tal que: m<CPD=90°, 
BC=4 y AD=9. Calcular AB. 
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 E. 16 
 
17. En un triángulo rectángulo isósceles ABC (AB=BC=12) se 
traza la mediana AM, luego se traza BH perpendicular a 
AM (H en AM). La prolongación de CH corta a AB en el 
punto F. Calcular BF. 
 A. 2 B. 3 C. 4 D. 3.2 E. 3.6 
 
18. En un triángulo ABC AB=6, BC=8 y AC=7. Calcular la 
longitud del segmento que une el incentro con el 
baricentro. 
 A. 1/4B. 1/3 C. 1/5 D. 3/8 E. 2/5 
 
19. En un romboide ABCD se ubica el punto medio M de AB, 
tal que: BD y MA se cortan en N. Calcular la distancia de 
N a AD, si la distancia de M a AD es igual a 3. 
A. 3.2 B. 3.6 C. 4 
D. 4.5 E. 44.8 
 
20. Calcular AB/BP, si 3R=7r. (T, E, Q, M, S y F son puntos 
de tangencia) 
 
A. 5/4 B. 1/4 C. 3/2 
D. 7/3 E. 10/3 
 
21. Si AH=5, HN=7 y NC=3, calcular AB. 
 
A. 6 B. 12 C. 8 D. 10 E. 9 
 
22. Por el incentro de un triángulo ABC se traza una recta que 
interseca a AB en “M” y a AC en “N” tal que: AC=4(CN). 
Calcular “MB”, si AB=7, BC=5 y AC=6. 
A. 2,82 B. 1,72 C. 1,35 
D. 2,15 E. 3,20 
 
23. Calcular AB, si 1/AH + 1/M = √2 / 4 
 
A. 8√2 B. 5√2 C. 4√2 
D. 4 E. 2 
 
24. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, se traza la 
altura BH y en el triángulo ABH se traza la ceviana interior 
AM tal que los ángulos AMB y BAH son suplementarios. 
Si AM=5 y BC=9, calcular “AB”. 
A. 3√5 B. 3√3 C. 22,5 
D. 15 E. 3 
 
CAPÍTULO VIII 
PRISMA 
 RUBINA VICTORIO, Juan Carlos 
 
Es el poliedro donde dos de sus caras son paralelas y 
congruentes denominados bases y sus otras caras son regiones 
paralelogramicas. Un prisma se nombra según la cantidad de 
lados que tenga la base. 
 
Ejm: Si la base tiene seis lados se le denomina Prisma 
Hexagonal 
 
Notación: ABCDF – GHIJKL 
CLASES DE PRISMA 
Los prismas se clasifican según la inclinación de su arista lateral 
con respecto al plano se de su base. 
 Prisma Recto: Es el que tiene las aristas perpendiculares 
a la base, puede ser triangular cuadrangular, etc.; según 
sea la base. 
 En la figura se muestra el prisma recto ABC – DEF 
 
* La arista es igual a la altura 
 Área de la superficie lateral (ASL) 
 a)P2(A BASESL  
 
En donde: 
 2PBASE : Perímetro de la base 
 a : longitud de la asista lateral 
Base
Base
B 
E 
 F D 
A C 
a h
 
285 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
 Área de la superficie total (AST) 
 )A(2AA BASESLST  
En donde: 
ABASE : Área de la base 
 Volumen (V) 
 
h)A(V BASE  
En donde: 
h: Altura 
* Tronco de Prisma Triangular Recto 
 
 Área de la Superficie Lateral (ASL) 
lateralescaraslasdeAreasASL  
 Área de la Superficie Total (AST) 
BdeAreaAdeAreaAA SLST 
Volumen (V) 
3
cba
)BdeArea(V


 
* Paralelepípedo rectángulo ó Rectoedro ó Ortoedro: Es aquel 
cuyas caras son regiones rectangulares. 
 
* a , b , c  Son dimensiones del paralelepípedo rectangular 
 * Tiene 4 diagonales las cuales son congruentes y de 
igual longitud. 
 Diagonal (d) 
2222 cbad 
 
Nota: 
 
 
 
 
 Superficie Lateral (ASL) 
c)ba(2ASL 
 
 Superficie Total (AST) 
)acbcab(2AST  
 Volumen (V) 
cbaV 
 
PRISMA REGULAR 
Es aquel prisma recto cuyas bases son regiones poligonales 
regulares. 
 
 En la figura, se muestra un prisma hexagonal regular 
ABCDE-A’B’C’D’E’. 
 
 Prisma Oblicuo: Tiene las aristas laterales oblicuas con 
respecto al la base. 
* En la figura se tiene un prisma triangular ABC – DEF 
 
SR: Sección recta es perpendicular a todas las aristas. 
 En todo prisma se realizan los siguientes cálculos: 
 Área de la superficie lateral (ASL) 
a)P2(A SRSL  En donde: 
2Psr: Perímetro de la sección recta. 
a : Longitud de la arista lateral. 
SR: Sección recta es perpendicular a todas las aristas. 
En todo prisma se realizan los siguientes cálculos: 
 Área de la superficie total (ABASE) 
)A(2AA BASESLST  
En donde: 
ABASE: Área de la base 
 
 
C 
B 
A 
a b 
H 
G F 
E 
D 
C B 
A 
b 
a 
c 
d
( a + b + c) = a + b + c + 2(ac + bc + ab)
2 2 2 2
 
Suma de
las 3 
Dimensiones
= d ASR
2 +
a h
BaseD 
A 
E 
 F 
C 
B 
Base
H SR 
a
 
286 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
 Volumen (V) 
H)A(V BASE  En donde: H : Altura 
a)A(V SR  En donde: 
ASR : Área de la sección recta 
PRACTICA 8 
1. En un prisma triangular regular, la arista lateral mide 6u y la 
diagonal de su desarrollo de la superficie lateral mide 10u. 
calcular el área de su superficie lateral. 
A. 48u2 B. 38u2 C. 18u2 
D. 58u2 E. 68u2 
 
2. Hallar el volumen de un prisma recto de 384 unidades 
cuadradas de área lateral si su base es un triángulo de lados 
en progresión aritmética, cuyo producto es 480, la altura del 
prisma es el doble del lado medio de la base. 
A. 350 B. 340 C. 394 
D. 384 E. 360 
 
3. Hallar el volumen de un prisma recto de 8 m de altura y 152 
2m de área total. La base es un rectángulo, una de cuyas 
dimensiones es el triple de la otra. 
A. 78 B. 96 C. 36 
D. 76 E. 120 
 
4. El número total de aristas de un prisma regular es 18, 
además su desarrollo es un cuadrado cuyo perímetro es 
48cm, calcule el volumen de dicho sólido. 
A. 72
33u B. 18 33u C. 36 33u 
D. 9
33u E. 108 33u 
 
5. En un prisma triangular regular ABC-DEF, la longitud de la 
arista lateral es igual a 6. Si la región EAF determina con la 
base un diedro que mide 60°, calcule el área de la superficie 
lateral de dicho prisma. 
A. 12 B. 15 C. 72 
D. 81 E. 76 
 
6. Calcular el volumen de un prisma regular ABC-DEF, si el 
área de su base es 4 3 cm2 y la distancia del punto D al 
punto medio de BC es 2 7 
A. 14 3 cm2 B. 15 3 cm2 C. 11 3 cm2 
D. 16 3 cm2 E. 24 3 cm2 
 
7. En un paralelepípedo rectangular ABCD-MNPQ cuyo 
volumen es 48u3, si m AQM = 37°/2 y m DCQ = 53°/2. 
Calcule la longitud de la diagonal de dicho ortoedro. 
A. 2 10 B. 3 5 C. 2 14 
D. 3 7 E. 4 13 
 
8. En un prisma regular ABCD-EFGH se ubican los puntos M 
y P en AE y HG, si EM = 2(AM) = 2, la medida del ángulo 
entre MP y el plano que contiene a la base es 37°; m
MPH = 60°. Calcule el volumen del prisma 
A. 78 B. 56 C. 72 
D. 79 E. 60 
 
9. Se tiene un exaedro regular ABCD-EFGH, donde “O” centro 
de la cara ABFE y “M” punto medio de EH. Calcular la 
medida del ángulo COM 
A. 60° B. 75° C. 90° 
D. 105° E. 120° 
10. Se tiene un prisma regular ABCD-EFGH, se ubican los 
puntos P, Q, R, S, T, U, V, W en DA, AB, BC, CD, HE, EF, 
FG y HG respectivamente, si PD = 4(AP) = 4(DS) = 4(RC) = 
4(BQ), calcule la razón de los volúmenes de los prismas 
ABCD-EFGH y el prisma PQRS-TUVW. 
A. 25/8 B. 25/17 C. 5/8 
D. 25/13 E. 5/4 
 
11. Las áreas de las caras de un paralelepípedo son m, n y k. 
Calcular el volumen del sólido. 
A. 
222 knm  B. 
knm
mnk

 
C.  2knm  D. mnk 
E. 
k
m n
 
 
12. En un hexaedro regular ABCD - EFGH, O es centro de la 
cara ABCD, calcular la medida del ángulo que forma OH y 
el plano ABGH 
A. ArcTg√11/3 B. ArcTg√11/11 C. ArcTg√11/4 
D. ArcTg√11 E. 2ArcTg√11 
 
13. El volumen de un prisma triangular regular es 
. Calcular la arista básica sabiendo que el ángulo formado 
por las diagonales de dos caras laterales que parten del 
mismo vértice mide 30 
A. √3 B. 2√3 C. 2 
D. √(√3 +1. E. 1 
 
14. Las aristas básicas de un paralelepípedo rectángulo miden 
4 y 6 y su altura 8, por la mayor arista básica se traza un 
plano secante al sólido que forma con la base un ángulo 
diedro que mide 37°. Calcular el volumen de la mayor parte 
en que ha quedado dividido el sólido 
A. 156 B. 208 C. 172 
D. 146 E. 218 
 
15. La figura es un prisma recto de base cuadrada. El punto P 
está en la arista DC, el punto Q está en la diagonal CG el 
ángulo PHQ=60° y las áreas de los triángulos HDP y HCQ 
son iguales. Calcular el valor de K2 + 34K/√3, donde K=QG 
 
A. 4 B. 9 C. 16 
D. 25 E. 36 
 
16. En un cubo ABCD-EFGH, se ubican los puntos; M, N, P y Q 
centros de las caras (ABFE), (EFGH), (CDHG) y (ADHE) 
respectivamente, calcular el volumen del tetraedro MNPQ 
en función del volumen “V’ del cubo 
A. V/14 B. V/8 C. V/24 
D. V/16 E.V/21 
 
17. Calcular el volumen de un prisma recto de 384 m2 de área 
lateral, si su base es un triángulo cuyos lados se hallan en 
progresión aritmética, de producto 480 m3, la altura del 
prisma es el duplo del lado medio del triángulo base 
A. 266 m3 B. 366 m3 C. 284 m3 
D. 384 m3 E. 464 m3 
 
287 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
 
CAPITULO IX 
 
CILINDRO RECTO O CILINDRO DE REVOLUCIÓN 
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos 
 
 Es el sólido generado por un rectángulo cuando gira 
alrededor de uno de sus lados tomado como EJE. 
DESARROLLO DE SU SUPERFICIE 
 
 
 
 
 
 
Área de la Superficie Lateral (ASL) 
 
Área de la Superficie Total (AST) 
 
Volumen (V) 
 
 
 
 
CILINDRO OBLÍCUO 
Si se corta a un cilindro recto con dos planos paralelos 
se obtiene un cilindro oblicuo cuyas bases son elipses. 
 
1. SLateral = 2Rg 
R = Radio de la Sección Recta 
2. STotal = SLateral + 2 SBase 
3. Volumen = SSección recta x g 
Volumen = SBase x h 
ELIPSE 
 
b  Semi - eje menor 
a  Semi – eje mayor 
S = ab 
TRONCO DE CILINDRO RECTO 
Es el sólido que se determina al cortar a un cilindro 
recto con un plano secante no paralelo a sus bases. 
EJE DE UN TRONCO DE CILINDRO 
Es el segmento de recta que une los centros de las 
bases de un tronco de cilindro, es igual a la semisuma de la 
generatriz máxima y la generatriz mínima 
EJE = 
2
gG
001

 
1. SLateral = 2R . EJE 
2. STotal = 2 R . EJE + R² + ab 
3. V = R² . EJE 
 
PRACTICA 9 
1. En un cilindro de revolución AB y DC son dos de sus 
generatrices, CB es diámetro de una de sus bases cuyo 
centro es O, si AO = 6 y la distancia de B a AO es 3, calcule 
el área de la superficie lateral del cilindro. 
A. 72 B. 36 C. 18 
D. 54 E. 16 
 
2. En un prisma hexagonal regular se inscribe un cilindro de 
revolución de manera que sus bases, están inscritas en las 
bases del prisma, se pide calcular la razón de sus 
volúmenes. 
A. (32 3 )/ B. (12 3 )/ C. (13 3 )/ 
D. (5 3 )/ E. (2 3 )/ 
 
3. En un cilindro de revolución se inscribe un octaedro regular 
de modo que dos de sus vèrtices opuestos pertenecen a las 
bases del cilindro, calcule la razón de sus volúmenes 
A. 3/2 B. 4/3 C. 1 
D. 3 E. 2/3 
 
4. Se tiene un cilindro de revolución, lleno de agua siendo la 
altura 40 m y el radio de la base igual a 10 m . ¿Cuál será 
la altura que ocupa el agua, al verter en un vaso cilíndrico 
de radio 20 m? 
A. 40m B. 30m C. 20m 
D. 15m E. 10m 
SLA 2 rg 
STA 2 r(g r)  
2V r h 
Generatriz h
2r
BASE
g S
LATERAL
 
288 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
5. En el interior de un cubo ABCD-A’B’C’D’ de volumen 6 6
u3 se ubica un cilindro, las bases del cilindro están inscritas 
en los triángulos AB’D’ y BDC’, calcule el volumen del 
cilindro 
A. 11 2 B. 12 2 C. 13 2 
D. 10 2 E. 3 2 
 
6. Dados dos cilindros de revolución, la razón de áreas de las 
superficies laterales es igual a 1/2. si el radio de la base del 
cilindro de menor área de superficie lateral es el doble del 
radio del otro cilindro, calcule la razón de volúmenes de 
dichos cilindros. 
A. 2 B. 1 C. 1/2 
D. 4 E. ¼ 
 
7. En la figura se muestra un cilindro de revolución. Si P 
pertenece a la superficie lateral, y AB es paralelo a MR, 
AM = 2, PR = 3 y la medida del arco BR es 60°. Calcule el 
volumen del cilindro. 
A. 52π/3 
B. 16 π 
C. 52 π 
D. 18 π 
E. 17 π 
 
 
 
 
 
 
8. En un cilindro de revolución AB y CD son dos diámetros 
paralelos que pertenecen a las bases de centros O’ y O 
respectivamente, si mO’CA =m BCD y CD = 6 , 
calcule el área de la superficie lateral del cilindro. 
A. 3 2 B. 2 C. 2 3 
D. 2 E. 3 
 
9. En un prisma recto ABC-A’B’C’ se inscribe un cilindro 
circunscrito a una esfera, si AB = 13; BC = 15 y AC = 14. 
Calcular el volumen del prisma. 
A. 672 B. 478 C. 753 
D. 243 E. 638 
 
10. En un cilindro de revolución se traza un plano secante 
perpendicular a su base, dicho plano determina en el cilindro 
una sección plana que es una región cuadrada de lado igual 
a 6. Si el plano secante divide a su superficie lateral en dos 
partes cuyas áreas están en razón de 1 a 5, calcular el 
volumen del cilindro 
A. 160π B. 180π C. 200π 
D. 210π E. 216π 
 
11. En la base de un cilindro de revolución se inscribe un 
cuadrado ABCD, luego se traza las generatrices AM y BN. 
Calcular la razón de volúmenes del cilindro y del sólido 
MADNBC. 
A. π/2 B. π/3 C. 2π/3 
D. π E. π 
 
12. En el gráfico se muestran las vistas horizontal (H) y frontal 
(F) de un cilindro de revolución. Calcular el volumen de 
dicho cilindro, si las regiones mostradas son equivalentes. 
(R=6) 
 
A. 72π B. 54π2 C. 108π 
D. 144π E. 108π2 
13. En la figura se muestra un cilindro de revolución cuya 
sección axial es una región cuadrada. Se introduce una 
esfera que es tangente a su superficie lateral, de tal manera 
que el líquido esta a punto de derramarse; calcular el valor 
de “x”. 
 
 
A. 18,5 B. 26,5 C. 30 
D. 14 E. 16 
 
14. En el cilindro de revolución que se muestra, las longitudes 
de los menores recorridos para ir de “A” a “M” por la 
superficie cilíndrica son 13π y 15π. Calcular el volumen del 
cilindro sabiendo que el radio de su base mide 7. 
 
 
A. 588π B. 294π C. 552π2 
D. 294π2 E. 588π2 
 
15. Según la figura calcular el volumen del cilindro si se sabe 
que su sección recta es circular, PC=4, PB=5 y 
m∢OPC=m∢DAB. (“O” es centro) 
 
 
A. 81π B. 36π C. 92π 
D. 108π E. 64π√2 
 
16. En un cilindro de revolución: AB y CD son generatrices, “O” 
es centro de la base de diámetro BD y el plano mediatriz de 
AO determina en CD segmentos que miden 2 y 4 
respectivamente. Calcular el volumen del cilindro. 
A. 8π B. 12π C. 15π 
D. 24π E. 48π 
 
17. Según la figura calcular el volumen del cilindro circular recto 
si se sabe que: O1M=O2M, BM=4, AB=2 y m∢CBM=30. 
 
A. 8π B. 4π√5 C. 6π√7 
D. 9π√10 E. 10π√11 
 
289 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
CAPITULO X 
 
PIRÁMIDE 
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos 
Es un polígono limitado por una región poligonal llamada base y 
en su parte lateral limitada por regiones triangulares 
consecutivas que tienen un vértice común, el cual a su vez es el 
vértice de la pirámide. 
En toda pirámide la perpendicular trazada desde su vértice al 
plano de la base se le denomina altura de la pirámide. 
Notación: Pirámide O – ABCD 
 
PIRÁMIDE REGULAR 
Una pirámide es regular si sus aristas laterales son congruentes 
y su base es un polígono regular. En toda pirámide regular el pie 
de su altura coincide con el centro de su base y la perpendicular 
trazada desde su vértice a cualquiera de las aristas básicas se 
denomina apotema. 
En la figura se muestra una pirámide regular: P - ABCD 
 
P – ABCD 
- Ap: Apotema de la pirámide (PM) 
- ap: Apotema del polígono regular ABCD (OM) 
- PO : Altura de la pirámide; “O” es el pie de dicha altura y 
centro del polígono regular. 
- : Medida del diedro formado por una cara lateral con la 
base. 
En toda pirámide se cumple: 
 Área de la Superficie Lateral (SL): 
Apotema
baselade
troSemiperíme
SL 





 
Nota: en el triangulo POM
222 )OP()ap()Ap(  
 Área de la Superficie Total (ST): 
baseladeAreaSS LT  
 Volumen (V): 
3
Altura)baseladeArea(
V

 
TRONCO DE PIRAMIDE REGULAR 
Es aquel tronco de pirámide cuyas bases son regiones poligonales 
regulares de modo que sus centros están sobre una misma recta 
perpendicular a dichas bases. 
Sus caras laterales son regiones trapeciales congruentes entre 
si, la altura de cada una de ellas se denomina apotema del 
tronco de pirámide. 
 
Notación: Pirámide Hexagonal Regular 
 ABCDEF – GHIJKL 
a
2base
lade
troSemiperíme
1base
lade
troSemiperíme
SL 










 
2Area1AreaSS LT  
 
3
)2Area)(1Area(2Area1AreaAltura
V

 
 
PIRAMIDES SEMEJANTES 
Si se traza un plano paralelo a la base ABC de una pirámide O 
– ABC, este determinara una sección MNL (Sección 
Transversal) la cual será la base de otra pirámide O – MNL 
semejante a la pirámide. 
 
Si MNL // ABC 
 Pirámide O – MNL  Pirámide O – ABC 
Luego se cumple: 
1) )ciastanDis(.........
H
h
OC
OL
BC
NL
OA
OM
 
2) 
2
2
2
2
2
2
2
2
)ABCO(T
)MNPO(T
H
h
)OC(
)OL(
)BC(
)NL(
)OA(
)OM(
S
S


 
3) 
3
3
3
3
3
3
3
3
)ABCO(
)MNLO(
H
h
)OC(
)OL(
)BC(
)NL(
)OA(
)OM(
V
V


 
 
 
 
 
A 
B 
C
O 
D 
Arista 
 básica
Arista 
 básica
Base
Vértice
Altura
O 
D A 
C 
P
B 
M 
Apotema (Ap)
Apotema (ap)
Base 1
Base 2
a
L K 
J 
IH 
G
 F E 
D 
C B 
A 
h
B 
C
A 
O 
M 
L 
N H 
h
 
290 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
PRÁCTICA 10 
 
1. Hallar la longitud del apotema de una pirámide pentagonal 
regular, donde la superficie lateral tiene 315 
2m de área, 
y la longitud de su arista básica es de 6m 
A. 11 B. 21 C. 31 
D. 41 E. 51 
 
2. hallar la longitud de la arista básica de una pirámide 
hexagonal regular cuya apotema tiene 20m de longitud, y el 
área de la superficie lateral es de 720 
2m . 
A. 3 B. 6 C. 9 
D. 12 E. 15 
 
3. hallar el área de la superficie total de una pirámide 
cuadrangular regular, si la longitud de su apotema es de25m 
y la arista básica mide 9m 
A. 331 B. 431 C. 531 
D. 631 E. N.A. 
 
4. hallar la longitud del apotema de una pirámide triangular 
regular sabiendo que en la base está inscrito un círculo de 
2m de radio, y en la caras laterales se hallan se hallar 
inscritos círculos de 3m de radio. 
A. 12 B. 16 C. 18 
D. 22 E. 24 
 
5. hallar la longitud de la arista básica de una pirámide 
hexagonal regular, si el área de la superficie total es 
2m
8
315
, y la apotema de la pirámide mide m3 . 
A. 
5
1
 B. 
4
1
 C. 
3
1
 
D. 
2
1
 E. 1 
 
6. Una pirámide cuadrangular regular de altura 8 es 
equivalente a una pirámide triangular regular de lado 16 y 
altura 33 . ¿Qué distancia hay desde el centro de la base 
de la pirámide cuadrangular y su arista lateral? 
A. 8,4 B. 4,8 C. 3,5 
D. 6,2 E. 7,5 
 
7. ¿A que es igual la suma de las caras de uno de los ángulos 
sólidos de un octaedro regular? 
A. 180º B. 300º C. 90º 
D. 240º E. 135º 
 
8. El lado de la base mayor de un tronco de pirámide 
cuadrangular regular mide 2√2, la altura del sólido mide 1 y 
las aristas laterales forman con el plano de la base un 
ángulo que mide 45. Calcular el volumen del tronco 
A. 8/3 B. 10/3 C. 4 
D. 14/3 E. 16/3 
 
9. En el cubo mostrado, calcular el volumen de la pirámide O-
ABCD. Si la mínima distancia entre OC y PQ} es √5 m 
 
A. 40 m3 B. 41,5 m 3 C. 40,5m3 
D. 40,6 m3 E. 41,6 m3 
10. En un tetraedro regular, la mínima distancia entre las rectas 
AB y CD es igual a 1 m. Calcular el volumen del tetraedro 
 
A. 6√6 B. 4√6 C. 4√ 8 
D. 9√3 E. 8√3 
 
11. Se tiene una pirámide cuadrangular regular cuyas aristas 
laterales forman con la base un ángulo de 60°. Calcular el 
volumen de la esfera circunscrita a la pirámide, si el volumen 
de ésta es 6 
A. 32π/5 B. 17π/3 C. 9π/2 
D. 16√3π/3 E. 32π/3 
 
12. El volumen de una pirámide de base triangular es “V” y la 
altura es trisecada por dos planos paralelos a la base. 
Calcular el volumen de la porción central 
A. V/3 B. 10V/27 C. 8V/27 
D. V/2 E. 7V 
 
13. Calcular el volumen de un tetraedro, si su área total es 45 y 
el radio de la esfera inscrita mide 3 
A. 30 B. 15√6 C. 45 
D. 60 E. 30√2 
 
14. En el gráfico , hallar el volumen del sólido (BPQSR), siendo 
P, Q y R puntos medios y “S” es el punto de intersección de 
DQ con RC, además ABCD es un tetraedro regular de 
volumen “V” 
 
A. V/8 B. V/4 C. V/6 
D. V/5 E. V/7 
 
15. Una pirámide regular cuadrangular, cuya arista básica mide 
6√2, es equivalente a una pirámide triangular regular cuya 
arista básica mide 16 y su altura 3√3. ¿Qué distancia hay 
entre el centro de la base de la pirámide cuadrangular y sus 
aristas laterales? 
A. 6 B. 4,8 C. 2,4 
D. 5 E. 3,6 
 
16. El área total de una pirámide cuadrangular regular es los 3/2 
de su área lateral. Calcular el volumen de la pirámide si la 
arista básica es 2 m. 
A. 4√3/5 B. 4√3/3 C. 5√3/6 
D. 6√3/7 E. 7√3/8 
 
17. Calcular el área lateral de una pirámide regular hexagonal, 
cuya base se encuentra circunscrita a una circunferencia de 
radio 3, además la arista lateral forma con la base un ángulo 
de 60° 
A. 6√10 B. 8√13 C. 15√14 
D. 18√15 E. 27√15/2 
 
291 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
CAPITULO XI 
CONO 
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos 
 
El estudio sistemático de las pirámides y el conocimiento de la 
circunferencia y algunas otras líneas curvas, han conllevado a 
la obtención y subsiguiente estudio de otras figuras, entre las 
cuales destaca el cono, el cual es muy parecido a una pirámide 
con la diferencia de que su base es una región curva en lugar 
de una poligonal. 
 
* Cono de Revolución o Cono Circular Recto.- Es aquel 
sólido geométrico generado por una región triangular 
rectangular al girar 360° en torno a uno de sus catetos. 
 
Nota: En un cono recto siempre se cumple: h2 + r2 = g2 
. Área de la Superficie Lateral (SL) 
 rgSL  
. Área de la Superficie Total (ST) 
 
2
LT rSS  
. Volumen (V) 
 
3
h)r(
V
2 
 
* Desarrollo de la superficie lateral del cono.- El desarrollo 
de la superficie lateral del cono es un sector circular cuyo radio 
es la generatriz del cono y su superficie es equivalente a la 
superficie lateral del cono. 
 
* Sección axial de un cono circular recto.- La sección 
axial de un cono circular recto es un triángulo isósceles 
cuyos lados congruentes son dos generatrices 
diametralmente opuestos ya que su base es un diámetro 
de la base del cono y su vértice; el del cono. 
 
 
En la figura AVB, es la sección axial del cono mostrado. 
* Conos semejantes 
 
Se cumple: 
h
H
r
R
OQ
OB
OP
OA

 
2
2
2
2
2
2
2
2
h
H
r
R
)OQ(
)OB(
)OP(
)OA(
menorconodelArea
mayorconodelArea

3
3
3
3
3
3
3
3
h
H
r
R
)OQ(
)OB(
)OP(
)OA(
menorconodelVolumen
mayorconodelVolumen

 
* Tronco de cono recto de revolución 
 
 g)rR(SL  
22
LT rRSS  
)RrrR(
3
H
V 22 

 
Altura
Base
Superficie
 Lateral
Vértice o 
cúspide
A A
O
g g
2 r
°
g
r
R 
 
292 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
PRÁCTICA 11 
 
1. hallar la longitud del radio de un cono recto, si su superficie 
lateral tiene 471
2m de área, si su generatriz tiene 30m de 
longitud. 
A. 1 B. 3 C. 5 
D. 7 E. 9 
 
2. hallar la longitud de la generatriz del cono recto, cuya 
superficie lateral tiene 376,8
2m de área, y 10m de radio. 
A. 3 B. 6 C. 9 
D. 12 E. 15 
 
3. hallar el área de la superficie total del cono circular recto, 
engendrado por la rotación de una región triangular 
rectangular, de catetos cuyas longitudes don 9 y 12m, 
cuando gira alrededor del cateto menor. 
A. 617 B. 717 C. 817 
D. 917 E. 1017 
 
4. calcular la longitud del radio de un cono recto, donde el área 
de la superficie lateral es de 204,1
2m y la generatriz tiene 
8m de longitud. 
A. 1 B. 3 C. 5 
D. 7 E. 9 
 
5. hallar la longitud de la generatriz del cono recto de 734,76
2m de área de su superficie total, cuyo radio mide 9m 
A. 8 B. 9 C. 13 
D. 15 E. 17 
 
6. El volumen de un cono es “V” y la altura es trisecada por dos 
planos paralelos a la base. Calcular el volumen de la porción 
central. 
A. 
27
5
 B. 
27
6
 C. 
27
8
 
D. 
27
7
 E. 
27