Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
GEOMETRIA – 1 – CAPITULO I NOCIONES BÁSICAS DE GEOMETRÍA GEOMETRÍA: Parte de la matemática que estudia las figuras geométricas, sus propiedades, y las relaciones entre las propiedades. La Geometría Euclideana se divide en: “geometría plana” y “Geometría del espacio”. TÉRMINOS MATEMÁTICOS 1. PROPOSICION.- Es un enunciado u oración que tiene la característica de ser verdadero o falso. 2. AXIOMA.- Proposición evidente por si misma que no necesita demostración. Es de carácter universal. 3. POSTULADO.- Es una proposición evidente que sin tener la evidencia del axioma se acepta sin demostración. 4. TEOREMA.- Es una proposición que para ser evidente requiere ser demostrada. Consta de dos partes: a) Hipótesis.- Son los datos que se suponen que son ciertos b) Tesis.- Es lo que se debe demostrar. 5. LEMA.- Es una proposición que sirve de base para la demostración de un teorema. 6. COROLARIO.- Proposición que se establece como consecuencia de la demostración de un teorema. 7. PROBLEMA.- Enunciado en el cual se pide determinar una cantidad conociendo algunos datos, según condiciones establecidas. CONCEPTOS NO DEFINIDOS: PUNTO, RECTA Y PLANO 1. EL PUNTO.- Es un ente geométrico abstracto. Solo tiene posición en el espacio. No tiene dimensiones. Es no medible. No tiene existencia física. La existencia del punto se establece mediante el siguiente postulado: “Existen infinitos elementos llamados puntos” Se denota con letras mayúsculas: A, B, P, … 2. LA RECTA.- Es un conjunto de infinitos puntos continuos que siguen una misma dirección e ilimitada en ambos sentidos. La recta no es medible. La existencia de la recta se establece mediante los siguientes postulados: a) “Dados dos puntos diferentes, existe una única recta que los contiene” b) Toda recta contiene por lo menos dos puntos diferentes. 3. EL PLANO.- Conjunto de infinitos puntos que se representa mediante regiones planas que se extienden infinitamente en todas las direcciones de la región. El plano es no medible. No tiene espesor La existencia del plano se establece mediante los siguientes postulados: a) Dados tres puntos diferentes no colineales existe exactamente un plano que los contiene. b) Todo plano contiene por lo menos tres puntos diferentes no colineales. FIGURA GEOMÉTRICA: Conjunto de puntos del plano o del espacio que adoptan una determinada forma, tamaño y posición. Una figura también se puede denominar como la representación de líneas, superficies y sólidos, adoptando cierta forma y teniendo una determinada extensión, a excepción del punto, el cual representa al conjunto unitario; toda figura se distingue de otra por su tamaño y forma. ESPACIO: Es el conjunto de todos los puntos. CEPRU – UNSAAC – 2 – RELACIÓN ENTRE FIGURAS GEOMÉTRICAS Dos figuras geométricas pueden ser: 1. Semejantes (), si tienen igual forma sin importar su medida. 2. Equivalentes (), si tienen igual medida sin importar su forma. 3. Congruentes (), si tienen igual forma y medida. FIGURAS GEOMÉTRICAS CONVEXAS Y NO CONVEXAS Una figura geométrica es convexa si y solo si para todo par de puntos de esta figura geométrica, el segmento determinado por estos puntos está contenido en la figura. Una figura geométrica es convexa ( , P Q PQ ) Caso contrario se dice que esta figura geométrica es no convexa. AXIOMAS DE SEPARACIÓN. 1. Todo punto de la recta, determina en la recta tres conjuntos convexos disjuntos: dos semirrectas y el mismo punto 2. Toda recta contenida en un plano, determina en el plano tres conjuntos convexos, disjuntos: dos semiplanos y la misma recta. 3. Todo plano determina en el espacio, dos semi-espacios. SEMIRECTA: Es uno de los sentidos de la recta, sin considerar al punto que lo determina. RAYO: Es la figura formada por una semirrecta y su punto de origen. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN UN PLANO A) Secantes. B) Paralelas. EJERCICIO RESUELTO: 1) Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F) I) Una recta está contenida en un plano, cuando por los menos dos puntos de la recta pertenecen a este plano II) Dos figuras geométricas son congruentes cuando tienen igual forma y medidas diferentes. III) Si a un círculo se le excluye un radio, el conjunto resultante es convexo. Señalar la alternativa con la secuencia correcta. A)FVV B)FFV C)VFF D)FVF E)FFF Resolución: I) Verdadero: II) Falso: Dos figuras geométricas son congruentes cuando tienen igual forma y medida. III) Falso: Si a un círculo se le excluye un radio, el conjunto resultante es no convexo Rpta: VFF A . B . P Q P P Q P Q GEOMETRIA – 3 – EJERCICIOS 1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. El cilindro macizo es un conjunto convexo. II. El interior de un ángulo agudo es un conjunto convexo. III. Una línea siempre es un conjunto no convexo. IV. El círculo es un conjunto no convexo. V. El punto es un conjunto convexo. A) I, II y V B) Sólo II C) Solo I D) Sólo III E) II, III y IV 2. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Un pentágono, puede ser congruente a una circunferencia. II. Dos figuras congruentes, son siempre equivalentes. III. Dos figuras equivalentes, son siempre congruentes. IV. Un cubo y un cilindro, pueden ser equivalentes. V. Un hexágono y un triangulo, que tienen igual perímetro, se denominan equivalentes. A) I y II B) Sólo II C) II. IV y V D) Sólo III E) II, III y IV 3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones corresponde a un Lema? A) Proposición que se acepta sin ser demostrado. B) Proposición que para ser evidente necesita ser demostrado. C) Proposición que sirve de base para demostrar otra proposición. D) Es una consecuencia inmediata de una proposición ya demostrada. E) Es una advertencia que se hace a una proposición ya demostrada. 4. Responder con (V) si es verdadero y con (F) si es falso I. Dos figuras equivalentes, son siempre congruentes. II. El punto es un conjunto convexo. III. Un pentágono, puede ser equivalente a una circunferencia. IV. LEMA es una consecuencia inmediata de una proposición ya demostrada. V. Si los lados de un triángulo miden 4, 11 y 12 entonces es un triángulo acutángulo. A) FVFFV B) FVFVV C)VVFVF D) VFVFV E) FVVFF 5. Un conjunto convexo es: A) Todo conjunto de puntos tal que algún segmento determinado por dos puntos del conjunto está contenido en el conjunto. B) Todo conjunto de puntos tal que existe un segmento determinado por dos puntos del conjunto está contenido en el conjunto. C) Todo conjunto de puntos tal que todo segmento determinado por dos puntos del conjunto está contenido en el conjunto. D) Todo conjunto de puntos tal que algún segmento determinado por dos puntos del conjunto no está contenido en el conjunto. E) Todas las anteriores. 6. Responder con (V) si es verdadero y con (F) si es falso. I. Una línea es siempre una sucesión de puntos alineados. II. El punto es un conjunto. III. Una línea que cambia constantemente de dirección se denomina línea quebrada. IV. Una sucesión de puntos alineados es una línea curva. A) FVFF B) FVFV C) FVFV D) FVVV E) FVVF 7. Indicar el valor de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I) Toda línea es una recta. II) El punto sólo tiene Posición. III) La intersección de dos planos es un conjunto convexo. IV) Dos rectas secantes están contenidas en un solo plano. A)VFVV B)VVFV C)FVVV D)VVVV E)FFVV 8. En la geometría Euclideana cuál o cuales de las siguientes proposiciones son falsas: I) El plano es medible. II) La recta no es medible. III) El punto no se puede definir. IV) El punto, la recta y el plano son conceptos fundamentales de la geometría Euclideana.A) I y II B) Sólo II C) Solo I D) Sólo III E) II, III y IV 9. Para la geometría Euclideana son conceptos no definidos: I) El punto y la semirecta II) Todas las figuras III) El triángulo y el cuadrado IV) El punto, la recta y el plano V) La línea recta, el plano y conjunto de puntos. A) I y II B) Sólo I C) II y IV D) Sólo IV E) Sólo V 10. Dadas las siguientes proposiciones: I) Un punto contenido en una recta, determina en ella sólo dos figuras convexas. II) Una recta contenida en un plano, determina tres figuras convexas. III) El punto es una figura convexa. IV) El ángulo en el plano determina dos regiones: una es figura convexa y la otra no convexa. V) La circunferencia es una figura no convexa, mientras el círculo es una figura convexa. A)VVVFV B)FVFFV C)FVVVV D)VVFVF E)FVVFV 11. En la geometría Euclideana, cuál o cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas. I) El punto es un objeto físico. II) El punto es una letra o un aspa. III) La recta es un concepto fundamental de la geometría. IV) El plano geométrico es medible. V) El punto no es definible. A) I y IV B) I y II C) III y V D) solo V E) solo III CEPRU – UNSAAC – 4 – 12. Las figuras geométricas de igual forma y medida, se denominan: I) Semejantes II) Congruentes III) Equivalentes IV) Isoperimetricas V) Convexos. A) Sólo I B) Sólo IV C) II y V D) Sólo II E) III y V 13. Un cono de altura “h” y radio 3cm tiene 3cm39 de volumen y una cuña esférica de radio 3cm tiene por volumen 3cm 3 27 , entonces el cono y la cuña son: I) Semejantes II) Equivalentes. III) Congruentes IV) Iguales A) I y IV B) Sólo III C) Sólo II D) II y III E) I y II 14. Dadas las siguientes proposiciones referidas a figuras geométricas I) El semiplano no es convexo II) El conjunto de dos puntos separados es convexo. III) El ángulo es convexo IV) El cuadrado es convexo V) La región rectangular es convexo En el orden que aparecen, indicar verdadero V o falso F. A)VFFVF B)FVVVF C)FFFVV D)VVVVF E)FFFFV 15. Dadas las siguientes proposiciones, indicar con “V” si es verdadera y con “F” si es falsa: I) La intersección de dos planos es medible II) Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D; entonces: ADCDBCAB III) En dos circunferencias concéntricas, si: AB CD entonces CDAB IV) Las figuras adjuntas son equivalentes A)FVFV B)FFFV C)FVVF D)VFFV E)FFVF 16. En las siguientes proposiciones al indicar con “V” si es verdadero y con “F” si es falsa, en el mismo orden en que aparecen, se obtiene: I) La región triangular siempre es convexa II) Toda región cuadrilátera es convexa III) La región angular cuyo ángulo mide 80º, es convexa IV) El interior de una circunferencia es una región convexa. A)VVFF B)VVVF C)VFVF D)FVFV E)VFVV 17. Si los perímetros de dos triángulos son cada uno 12cm, entonces dichos triángulos son: I) Congruentes II) Semejantes III) Equivalentes. IV) No convexas V) Convexas. A) Sólo I B) Sólo II C) sólo III D) II y V E) III y IV 18. Indicar el valor de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I) El interior de una esfera es un conjunto convexo. II) En una región triangular, si se omite el punto medio de un lado, siempre resulta una región convexa. III) La región interior de un cuadrilátero equilátero es convexa. IV) La intersección de un plano con una esfera es un conjunto convexo. A)VVFF B)VFFV C)VFFV D)VFVV E)FVFV 19. Indicar el valor de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I) Si la intersección de dos conjuntos es un conjunto convexo, entonces dichos conjuntos siempre son conjuntos convexos. II) La intersección de regiones circulares es siempre un conjunto convexo. III) La unión de dos conjuntos no convexos es convexo. A)FVV B)VVF C)FVF D)FFV E)FFF 20. Dadas las siguientes proposiciones, indicar con “V” si es verdadera y con “F” si es falsa: I) La figura geométrica A es convexa )APQAQ;P( II) Una región circular de cuyo contorno se han excluido dos puntos diametralmente opuestos es convexa III) Un arco de circunferencia es convexo IV) La superficie cilíndrica circular recta es convexa A)VFFF B)VFVF C)VVFF D)VFFV E)FVFF 21. En la siguiente figura, son conjuntos convexos: I) El triángulo ABC. II) El interior del triángulo ABC. III) El vértice B. IV) El ángulo BAC. A) II y III B) Sólo II C) I y III D) II y IV E) I y IV A B C 150º b 2h b h GEOMETRIA – 5 – CAPITULO II RECTA Y SEGMENTO DE RECTA LÍNEA RECTA Es un conjunto de infinitos puntos continuos que siguen una misma dirección e ilimitada en ambos sentidos. Representación: Notación: se puede representar de dos maneras SEMIRECTA: Es cada una de las porciones determinadas en una recta por cualquiera de sus puntos, sin considerar a estos. A cualquiera de estos puntos se llama origen y el conjunto de puntos ubicados a un lado del origen se llama semirrecta. RAYO: Es cada una de las porciones determinadas en una recta por cualquiera de sus puntos, considerándolos a estos. SEGMENTO DE RECTA Para dos puntos cualesquiera A y B de una recta L , el segmento AB es el conjunto de los puntos A y B y todos los puntos que están entre A y B. Los puntos A y B se denominan extremos de AB . Representación: Notación: Segmento de recta de extremos A y B: AB MEDIDA DE UN SEGMENTO: Se denomina también longitud de un segmento. La medida de un segmento es un número real positivo Medida del segmento AB: Línea recta L : L A B Línea recta AB : AB O O O O origen Semirecta OR: ºOR Semirecta OQ: ºOQ Q R O O Q R Rayo OQ: OQ Rayo OR: OR A B L A B A B d CEPRU – UNSAAC – 6 – m(AB ) d ; d R La medida de AB se denota por: AB AB)AB(m SEGMENTOS CONGRUENTES: Dos segmentos son congruentes cuando tienen la misma longitud. AB CD AB = CD. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Es aquel punto que pertenece a un segmento de recta y que determina con los extremos de este dos segmentos de igual longitud. M es punto medio de MBAM;ABMAB Extremos: A y B Punto medio: M OBSERVACIÓN I) Todo segmento de recta tiene un único punto medio II) MBAM ó MBAM OPERACIONES CON MEDIDAS DE SEGMENTOS Con las medidas de los segmentos se pueden realizar las operaciones algebraicas ( m(AB ) AB d ) RAZÓN DE MEDIDAS DE SEGMENTOS: La razón b a BC AB se lee AB es a BC como “a” es a “b”; es decir; akAB y bkBC El cual gráficamente representa: DIVISIÓN ARMÓNICA DE UN SEGMENTO: Se dice que los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D constituyen una “cuaterna armónica”, si B y D son conjugados armónicos de A y C. En toda cuaterna armónica se cumple que: CD AD BC AB ó c d b a TEOREMA: Si los puntos B y D son conjugados armónicos de A y C, se tiene: AC 2 AD 1 AB 1 , (Relación de Descartes) COROLARIO: Si se cumple (AB)(CD) = n(BC)(AD), entonces: A C B ak bk A B M A D B a b C c d B A D C AB CD GEOMETRIA – 7 – n AB + 1 AD = n 1 AC TEOREMA: Si los puntos B y D son conjugados armónicos de A y C y O punto medio del segmento AC , entonces: 2 (OA) (OB)(OD) (Relación de Newton) HAZ ARMÓNICO: Es el conjunto de cuatro rayos que tienen en común el origen y que determinan sobre cualquier transversal a ellos cuatro puntos armónicos MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO Es la recta perpendicular a un segmento que contiene al punto medio de dicho segmento Teorema de la mediatriz: Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista a los extremos de dicho segmento. P L mediatrizdeAB PAPB EJERCICIOS RESUELTOS: 1. En un recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que (AB)(AD) 5(BC)(CD) y x y z CD AC AB . El valor de x y z , es: A) 13 B) 10 C) 11 D) 12 E) 9 Resolución: Por dato: (AB)(AD) 5(BC)(CD) (AB)(AC CD) 5(AC AB)(CD) (AB)(AC) (AB)(CD) 5(AC)(CD) 5(AB)(CD) (AB)(AC) (AB)(CD) 5(AB)(CD) 5(AC)(CD) (AB)(AC) 6(AB)(CD) 5(AC)(CD) Dividiendo todos los términos entre (AB)(CD)(AC) , se tiene: 1 6 5 CD AC AB De donde: x=1, y=6 y z=5 x y z 12 A B M L: mediatriz A B M P L: mediatriz A B C D CA DBO CEPRU – UNSAAC – 8 – 2. Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D. tal que: BC CD AB AD , además 1 1 1 AB AD 10 , la medida de AC , es: A) 10 B) 20 C) 30 D) 15 E) 25 Resolución: Por dato: BC CD AB AD ó AB AD BC CD Se tiene que los puntos B y D son conjugados armónicos de A y C, luego debe cumplirse la relación de Descartes AC 2 AD 1 AB 1 Además por dato 1 1 1 AB AD 10 AC 20 EJERCICIOS 1) ¿Cuál o cuáles de las proposiciones son verdaderas? I) Los puntos alineados A, B, C y D, constituyen una cuaterna armónica si se cumple que: AB. CD = AC. AD II) Si los puntos alineado A, B, C y D, constituyen un a cuaterna armónica entonces se cumple que: 1 AD + 1 AB = 2 BC III) Si los puntos alineados A, B, C y D, constituyen un a cuaterna armónica entonces se cumple que: AD. BC = CD. AB. A) Sólo I B) Sólo II C) II y III D) Sólo III E) I y II 2) Un Has Armónico es: A) Un conjunto de rayos. B) Un conjunto de rayos que parten de los tres vértices de un triangulo. C) Un conjunto de rayos tales como OA , OB OC OD , tal que A, B, C y D constituyen una cuaterna armónica D) Es un conjunto de cevianas que parten de los tres vértices de un triangulo y que se cortan en un solo punto. E) Un conjunto de rectas con un punto en común. 3) Se tiene los puntos colíneales y consecutivos A, B, C y D. Siendo B, punto medio del segmento AC. Calcular la longitud del segmento AB, sí 3BD = 4AC y AD = 22 m. A) 1m B) 3m C) 6m D) 9m E) 12m 4) Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, M, C y D; tales que: M es punto medio del segmento AD; AB + CD = 10m y BM – MC = 2m. Calcula la longitud del segmento CD. A)12m B)6m C)15m D)9m E)3m 5) Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D tales que: AB.CD = n BC.AD. Calcular n, si: 1 AD + n AB = 8 AC A)3 B)5 C)7 D)9 E)6 6) Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D tales que: AB.AC=3BC.CD y CD + AC = AB . Calcular 2 2 2 E A)18 B)20 C)19 D)24 E)26 7) Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D tales que: 2CD. AB = 3 BC. AD y 2 5 1 BC AC . Calcular CD. A) 1 B) 2 C) 5 D) 3 E) 4 8) Se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D en una recta, tal que: CD)AB(2 y M es punto medio de BC . Calcular BD, si 12AM . A)24 B)12 C)6 D)18 E)30 9) Se tiene los puntos colineales y consecutivos R, I, C y O tales que: RI = a, IC = b, CO = c; RI. CO = IC. RO y a b a b c RC 4RO 3RI Hallar E = abc A)8 B)10 C)7 D)9 E)11 A B C D GEOMETRIA – 9 – 10) Se tiene los puntos colineales y consecutivos M, I, C y O tales que: MO = 24, MI x y , IC x y , CO 2y x . Hallar el valor de y; y, x N . A)9 B)6 C)7 D)5 E)8 11) En una línea recta, se ubican los puntos consecutivos A, B y C, tal que )AB(3)AC(2 y 6BC . Calcular AC. A)20 B)18 C)14 D)12 E)16 12) En una recta se ubican los siguientes puntos consecutivos A, B, C y D tal que 20ACAB cm, 4ABAC cm y CDAC . La medida de AD , es: A) 18cm B) 12cm C) 24cm D) 15cm E) 20cm 13) Sobre una recta se encuentran los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que B es punto medio de AC y )CD(2)BC(3 . Si AD mide 28, la medida de AC , es: A)12 B)16 C)8 D)14 E)6 14) Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E, tal que CEAC , 16CDAB y 4BCDE . Calcule CD. A)12 B)10 C)8 D)6 E)4 15) En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que )AD)(BC()CD)(AB(4 y AB 1 AD 4 10 1 . Calcule AC. A)40 B)30 C)50 D)45 E)60 16) En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que C es punto medio de BD . Si 2)BD(28)AD)(AB(4 , calcule AC. A) 3 B) 5 C) 7 D)3 E) 11 17) Sean los puntos colineales i consecutivos A, B, C, D y E, tal que )BC(3CDAB y ABDE . Si luego se ubica el punto medio M de BE , donde MD=2 y AE=16, calcule MC. A)2 B)3 C)4 D)5 E)6 18) En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Si se cumple la relación 4)CD(2BD)AB(4 , además AB=3 y AC=5. Calcule AD. A)2 B)3 C)5 D)7 E)9 19) Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que )BC)(AD()CD)(AB( , 28)CD)(BC( y 7BCCD . Calcule AC. A)10 B)2 C)6 D)12 E)8 20) Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F; sabiendo que AC=15m, BD=25m, CE=20m y DF=30m; siendo M y N los puntos medios de AB y EF , respectivamente, la medida de MN , es: A)45m B)35m C)25m D)55m E)15m 21) Sobre una recta se ubican los puntos A, B, C y D consecutivos, determinando así segmentos cuyas medidas satisfacen que: “BD es media proporcional de AC y AD”. Con esa condición, calcular el valor de la expresión “E”, si 2 BD AC AB CD E A)2 B)0 C) 2 1 D) 4 1 E)1 22) Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B y C de modo que: 2)AC(n)BC)(AB( y 1 AB BC BC AB . Entonces, el valor de “n” será: A) 2 1 B) 4 1 C) 3 1 D) 5 1 E)1 23) Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Si CD AD BC AB y n 1 AD 1 AB 1 ; 0n . Calcular AC. A) 2n B) n C) 4n D) 3n E) 2n 24) Sobre una recta, se ubican los puntos consecutivos M, A y B, siendo O el punto medio de AB . Calcule el valor de K para que se cumpla la siguiente igualdad 2)AO(2)MO(k2)MB(2)MA( . A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 25) En una recta se ubican los puntos consecutivos A, M, N y R. Si )NR)(MN(3)AR)(AM( y AN p AM n NR m . Calcule pnm . A)16 B)8 C)12 D)14 E)18 CEPRU – UNSAAC – 10 – 26) Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B C y D. si P y Q son puntos medios de AB y CD respectivamente donde AB mide 40 y CD mide 20, entonces el segmento que tiene por extremos los puntos medios de PC y BQ , mide: A)12 B)20 C)13 D)10 E)15 27) Dado los segmentos consecutivos sobre una recta: AB , BC , CD ; tienen medidas que cumplen con las siguientes expresiones: CD BC AD AB y (BC).(CD) 4 CD BC . Hallar la medida de AC . A)10 B)8 C)9 D)12 E)6 GEOMETRIA – 11 – CAPITULO III ÁNGULOS ÁNGULO Definición: Figura geométrica formada por dos rayos coplanares que tienen el mismo origen y que no están en línea recta. Representación gráfica: Notación: ángulo AOB: AOB AOB : OA OB Elementos: 1) Lados: OA ; OB 2) Vértice: O POSTULADO DE LA MEDIDA DE UN ÁNGULO: A cada ángulo AOB le corresponde un único número entre 0° y 180°, llamado medida del ángulo AOB. Se denota: Medida del AOB : m( AOB) 0°<<180°CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS: Los ángulos se clasifican de acuerdo a su medida, a la suma de sus medidas y a la posición de sus lados. SEGÚN SU MEDIDA: I) Ángulo agudo: 0º 90º II) Ángulo recto: 90º III) Ángulo obtuso: 90º 180º NOTA: I) 0º II) 180º III) 180º 360º IV) 360º SEGÚN LA RELACIÓN ENTRE SUS MEDIDAS I) ÁNGULOS COMPLEMENTRIOS: dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90º. 90º AOB y PQR son complementarios Se dice también: “ AOB complemento de PQR ” ó “ PQR complemento de AOB ” NOTA: La medida del complemento de un ángulo de medida “”, es: “90º–” C 90º A B O P Q R A B O A B O Región interior del AOB Región exterior del AOB se representa: O CEPRU – UNSAAC – 12 – II) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS: dos ángulos son suplementarios, si la suma de sus medidas es 180º. 180º AOB y PQR son suplementarios Se dice también: “ AOB suplemento de PQR ” ó “ PQR suplemento de AOB ” NOTA: la medida del suplemento de un ángulo de medida “”, es: “180º–” S 180º SEGÚN LA POSICIÓN DE SUS LADOS: I) ÁNGULOS ADYACENTES: Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado común, sus interiores son disjuntos y están contenidos en un mismo plano. II) Ángulos adyacentes suplementarios o par lineal. 180º III) ÁNGULOS CONSECUTIVOS: Son aquellos ángulos con el mismo vértice y lado común que están contenidos en un mismo plano, sus interiores son disjuntos. IV) ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE: Son dos ángulos que tienen el mismo vértice en donde los lados de uno de ellos son los rayos opuestos del otro. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO: Es aquel rayo cuyo origen es el vértice de un ángulo, y sus demás puntos al estar en el interior del ángulo, forman con sus lados, ángulos congruentes. Bisectriz: OP m( AOP) m( POB) OP bisec trizde AOB Teorema de la bisectriz: Todo punto situado sobre la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo. ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE: Ángulos Internos Externos Alternos (medidas iguales) Conjugados (son suplementarios) Correspondientes (medidas iguales) PROPIEDADES 1. Si: 1 2 L // L x x L1 L2 lado común O O O a b c d m n p q L1 L2 conjugados internos externos externos correspondientes A B O P Q R A B O P O M N P PM = PN GEOMETRIA – 13 – 2. Si: 1 2 L // L x y 3. Si: 1 2 L // L x 4. Si: 1 2 L // L 180º 5. Los ángulos consecutivos formados alrededor de un punto y a un mismo lado de una recta, tienen medidas que suman 180º 180º 6. Los ángulos consecutivos formados alrededor de un punto, tienen medidas que suman 360º 360º 7. Los ángulos opuestos por el vértice, tienen medidas iguales. TEOREMA Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios forman un ángulo recto. 90º ANGULOS DE LADOS PARALELOS A) Dos ángulos agudos o dos ángulos obtusos que tienen sus lados respectivos paralelos, son congruentes. B) Dos ángulos, uno agudo y el otro obtuso, que tienen sus lados respectivos paralelos, son suplementarios. y L1 L2 x x L1 L2 = + = 180º L1 L2 O P Q A B C O B D A C E O B D A C O CEPRU – UNSAAC – 14 – ANGULOS DE LADOS PERPENDICU-LARES A) Dos ángulos agudos o dos ángulos obtusos que tienen sus lados respectivos perpendiculares, son congruentes. B) Dos ángulos, uno agudo y el otro obtuso, que tienen sus lados respectivos perpendiculares, son suplementarios. EJERCICIOS 1) Dado los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD. Si OC es la bisectriz del ángulo BOD y m( AOB) m( AOD) 180º . Calcular la medida del ángulo AOC. A)80º B)100º C)95º D)90º E)105º 2) Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que m( BOD) 3m( AOB) 60º y m( COD) 3m( AOC) . Calcule m( BOC) A)12º B)22º C)25º D)18º E)15º 3) Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la m( AOB) 18º y la m( COD) 24º . Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOC y BOD. A)12º B)21º C)6º D)25º E)33º 4) Los rayos OA , OB , OC , OD y OE se encuentran ubicados en un mismo plano, de modo que la bisectriz OX del ángulo AOB es perpendicular a la bisectriz OD del ángulo BOE. Si m( EOX) 160º entonces la medida del ángulo BOD, es: A)70º B)60º C)90º D)40º E)50º 5) Se consideran los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD de modo que la medida del ángulo COD es el doble de la medida del ángulo AOB. Se traza la bisectriz OE del ángulo BOC, si la medida del ángulo AOE es 1º entonces la medida del ángulo BOD, es: A) 4º B) 3º C) 1º D) 5º E) 2º 6) En la figura 1 2 L // L , 120º . Calcular el valor de “x”. A)90º B)130º C)110º D)150º E)120º 7) Los ángulos AOC y BOC son complementarios donde m( BOC) m(AOC) ; si se traza la bisectriz OX del ángulo AOB, el cálculo de la medida del ángulo COX, es: A)15º B)45º C)5º D)30º E)25º 8) En la figura. Si 1 2 L // L , donde a 7 b 3 . Calcular x. A)63º B)60º C)45º D)65º E)75º 9) En la figura 1 L es paralelo a 2 L ; 3 L es paralelo a 4 L ; 5 L es paralelo a 6 L ; además a 30º , b 35º . Calcular el valor de x. A)125º B)115º C)105º D)120º E)110º = + = 180º L1 L2 a b x a b L1 x L2 L6 L3 L5 L4 x L1 L2 GEOMETRIA – 15 – 10) Se tienen los ángulos consecutivos AOB. BOC y COD, tal que m( AOB) m( COD) . Calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos BOD y AOC. A) 8 B) 6 C) 2 D) 4 E) 3 11) En la figura 1 2 L // L y 3 4 L // L , hallar la medida del ángulo “x”. A)38º B)30º C)40º D)34º E)36º 12) En la figura: 1 2 L // L y 3 4 L // L La medida del ángulo “x”, es: A) El complemento de 3 B) El suplemento de 6 C) El suplemento de D) El complemento de 6 E) El suplemento de 3 13) Dos ángulos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, uno es agudo y el otro obtuso; entonces, dichos ángulos son: I) Complementarios II) Opuestos por el vértice III) Adyacentes IV) Suplementarios. V) Necesariamente consecutivos La afirmación verdadera, es: A) I B) IV C) V D) III E) II 14) En la figura adjunta 1 L es paralelo 2 L . Calcular el valor de x. A)20º B)30º C)60º D)15º E)25º 15) En la figura, calcule el valor de “x”. A)30º B)24º C)20º D)25º E)22º 16) De la figura, 1 2 L // L y 3 4 L // L , si y 60º . Calcule el mayor valor entero de x. A)119º B)120º C)115º D)121º E)125º 17) Un ángulomide la mitad de su complemento y el otro ángulo mide 1/3 de su suplemento. Calcule el suplemento de la suma de las medidas de dichos ángulos. A)80º B)100º C)110º D)75º E)105º 18) Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD; se trazan las bisectrices OX , OY y OZ de los ángulos AOB, COD y XOY respectivamente. Hallar m( BOZ) , si m(BOY) m( AOX) 2 A) /2 B)2/3 C)2 D) /3 E) L1 x L2 L3 L4 2 4 x 60º 30º L1 L2 x x x x x x L1 x L2 L3 L4 y L1 x L2 L3 L4 80º 4x CEPRU – UNSAAC – 16 – 19) De la figura calcular x si: 200º y 1 2 3 L // L // L . A)85º B)75º C)70º D)60º E)80º 20) Del gráfico, hallar x A)60º B)95º C)89º D)90º E)80º 21) En la figura PN//CM , calcular x. A)20° B)25º C)30º D)45º E)50º 22) Según el gráfico, calcular el valor de , si 1 2 L // L y PN//CM . A)20º B)18º C)22º D)15º E)14º 23) En al figura hallar x si 1 2 L // L . A)20º B)25º C)30º D)50º E)45º 24) Si la diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes es 20°. Hallar la medida del ángulo que forma el lado común con la bisectriz del ángulo formado por las bisectrices de los dos ángulos adyacentes. A) 10° B) 15° C) 5° D) 17° E) 20º 25) En la siguiente figura: Si las medidas a, b y c están en la razón de los números 2; 3 y 4 respectivamente Calcular el valor de c: A)60º B)65º C)70º D)80º E)85º 26) Un ángulo mide (4x–100°) y su opuesto por el vértice mide (2x–40°). La medida del primer ángulo es: A)15º B)20º C)30º D)45º E)60º 27) En la siguiente figura se tiene que OP es perpendicular a OQ y el ángulo AOP mide 150° El ángulo AOQ mide: A)112º B)120º C)140º D)118° E)125º 28) En la figura, se tiene que el ángulo AOB mide la mitad de la medida del ángulo BOD La medida del ángulo AOB es: A)30º B)50º C)60º D)70º E)80º A P B O Q O D C B A 90º x 30º P N C M a b c x 80º 2θ θ 1 2 θ 4θ 3θ M C N P 4θ 1 2 3x 4x x x β θ 1 2 3 GEOMETRIA – 17 – 29) En la siguiente figura se tiene que: OE es la bisectriz del ángulo AOD. El ángulo COD mide 55° La medida del ángulo AOE es: A)60º10´ B)60º20´ C)58°20´ D)62º30´ E)50º20´ 30) En la siguiente figura se tiene que: OA OC , el ángulo AOB mide 35° El ángulo AOD mide: A)135º B)120º C)145º D)150º E)155º 31) El complemento de la sustracción entre dos ángulos es igual al suplemento de la suma de dichos ángulos. Determinar la medida de uno de los ángulos. A)30º B)45º C)25º D)50º E)20º 32) Si en la siguiente figura se tiene: Rayo OB es perpendicular al rayo OD. El ángulo BOC mide 100° El valor de x, es: A)160º B)165º C)170º D)175º E)150º 33) Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD luego se trazan las bisectrices OX , OY y OZ de los ángulos AOB, COD y XOY respectivamente. Hallar la m(AOB) si m( XOC) m( XOD) 4m( BOZ) 80º A) 40° B) 50° C) 45° D) 20° E) 30° 34) En la figura 1 2 3 L // L // L , el valor de “x” es: A) 30º B) 60º C) 50º D) 80º E) 70º 35) Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, tal que m( AOD) 180º , m( AOB) m( COD) , se trazan las bisectrices OX , OY y OZ de los ángulos BOC, XOD y AOC respectivamente. Si m( ZOY) 65º entonces la medida del ángulo BOY, es: A) 75° B) 85° C) 95° D) 105° E) 45° 36) Si AB//CD , Calcular el valor de “x”. A)94º B)90º C)84º D)60º E)53º 37) Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Si m( AOB) 17º y m( COD) 43º , calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos BOC y AOD. A)13º B)30º C)18º D)26º E)27º 38) En la figura adjunta 1L es paralelo 2L . Calcular el valor de x. A)23º B)30º C)60º D)15º E)25º D E A B O C O C D B A x D C O A B A B DC 231º 215º x 20º 80º x 1L 2L 3L x 37º L1 L2 60º CEPRU – UNSAAC – 18 – CAPITULO IV TRIÁNGULOS TRIÁNGULO: Dados tres puntos no colineales A, B y C se llama triángulo a la reunión de los segmentos AB, BC y CA . Notación: ABC: AB BC CA Elementos: a) Vértices: A, B, C b) Lados: AB, BC, CA Sus medidas son: AB=c, BC=a, AC=b c) Ángulos interiores: ABC, BCA, CAB Sus medidas respectivas son: , , d) Ángulos exteriores: Sus medidas son: x, y, z e) Perímetro: P= a b c f) Semiperímetro: a b c p 2 g) Puntos: interior(I), exterior(E), aferente(F) PROPIEDADES FUNDAMENTALES: 1. En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores, es 180º: + + = 180º 2. En todo triángulo, la suma de las medidas de tres ángulos exteriores, es 360º x + y + z = 360º 3. En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a dicho ángulo. x 4. En todo triángulo se cumple que a mayor lado se le opone mayor ángulo y viceversa a c 5. Teorema de existencia: En todo triángulo la longitud de uno de sus lados está comprendida entre la diferencia y la suma de las longitudes de los otros dos lados. b c a b c CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS: I. SEGÚN LA MEDIDA DE SUS LADOS: a) Triángulo equilátero: Sus tres lados son de igual longitud. En un triángulo equilátero: 60º b) Triángulo isósceles: Dos de sus lados tienen igual longitud. Donde: AB y BC : lados laterales AC : base 90º A B C x y z Región exterior relativa a AC I E F a b c Región interior Región exterior a c A B C a a a A B C a a GEOMETRIA – 19 – c) Triángulo escaleno: No tiene lados de igual longitud Sus ángulos interiores tienen diferente medida II. SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS INTERIORES: a) Triángulo rectángulo: Uno de sus ángulos interiores es recto. Donde: AB y AC : catetos BC : hipotenusa Propiedad: 90º 2 2 2a b c b) Triángulo acutángulo: Sus ángulos interiores son agudos. 90º , 90º , 90º Propiedad: 2 2 2a b c c) Triángulo obtusángulo: Uno de sus ángulos interiores es obtuso. 90º , 90º , 90º Propiedad: 2 2 2a b c TEOREMA: Sea el triángulo ABC tal que: BC = a, AB = c y AC = b Si a > b, a > c, y: TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CUYOS ÁNGULOS INTERIORES MIDEN: 45º, 30º, 60º, 37º y 53º PROPIEDADES: 2 2 2I) a b c 2 2 2II) a b c 2 2 2III) a b c ABC es Obtusángulo ABC es Acutángulo ABC es Rectángulo A B C a b c 30º 60º 2K K K 3 45º 45º K 2 K K 37º 53º 5K 3K 4K m n ab banm 2. A B C x x 1. 3. banm a m n b A B C a b c a b c A C B A B C a b c A B C a b c CEPRU – UNSAAC – 20 – EJERCICIOS 01. Los lados de un triángulo miden: 2, a 3 y 8. Calcular el menor valor entero que puede tener “a” para que el triángulo exista. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 02. Dos lados de un triángulo miden 5m y 6 m.respectivamente, y el tercero mide el doble de uno de los lados conocidos. Calcular el perímetro de dicho triángulo. A) 20 B) 24 C) 21 D) 23 E) 25 03. En un triángulo ABC. Si AB 2 y AC 10 . Hallar el valor de BC si se sabe que es entero, además el ángulo en B es obtuso. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5 04. En un triángulo ABC, AB=4,2 y BC=8,2 hallar la suma del máximo y mínimo valor entero de AC. A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13 05. Si dos lados de un triángulo miden 4cm y 16cm, calcular la suma del mayor y menor valor entero posible que puede tomar el tercer lado. A)23 B)30 C)32 D)28 E)40 06. El perímetro de un triángulo rectángulo es 36. Calcular el mínimo valor entero de la hipotenusa. A)12 B)14 C)16 D)13 E)15 07. Se tiene un triángulo isósceles ABC (AB=BC). Sobre los lados AB , BC y AC se ubican los puntos M, N y Q respectivamente, tal que el triángulo MNQ sea equilátero. Si º98)QNC(m)BMN(m . Calcular )AQM(m . A)49º B)48º C)52º D)50º E)46º 08. En un triángulo ABC se consideran los puntos: M en BC y D en AC , F es el punto de intersección de BD y AM . Si los ángulos MAC, ACB y ABD tienen igual medida, m CBD 48º y AB = BD, la medida del ángulo BFM, es: A) 74º B) 76º C) 68º D) 60º E) 45º 09. En la figura: AB BP QC. Calcular x. A) 75º B) 65º C) 55º D) 45º E) 35º 10. En la figura, FE ED 3 , AB=18. Calcular la medida del segmento cuyos extremos son C y B. A) 18 B) 24 C)21 D) 20 E) 19 11. En la figura. Si AB AC CD, calcular x, además 2 . A) 100º B) 80º C) 60º D) 70º E) 50º 12. En un triángulo ABC, en la prolongación de AC se ubica un punto P, a partir del cual, se traza una secante, que interseca a los lados BC y AB en E y D respectivamente, de modo que AP = AB = PD y el ángulo BCP mide 134°. Hallar la medida del ángulo ABC siendo un valor entero. A) 45° B) 37° C) 52° D) 32° E) 60° B A C D x x º180x 4. A Q C B x 120º P 30º 45º 37º 60º B E FD C A GEOMETRIA – 21 – LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO MEDIANA: Es el segmento de recta que tiene por extremos un vértice y el punto medio del lado opuesto. Un triángulo tiene tres medianas correspondientes a cada lado. ALTURA: Es el segmento trazado desde un vértice, perpendicular al lado opuesto o a su prolongación. Un triángulo tiene tres alturas correspondientes a cada lado. BISECTRIZ: Es la bisectriz de cada ángulo del triángulo. AE : bisectriz exterior del triángulo ABC relativa al lado AC , siendo AC>AB. MEDIATRIZ: Es la mediatriz de cada lado CEVIANA: Es aquel segmento de recta que tiene por extremos un vértice y un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación. PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO BARICENTRO: La intersección de las tres medianas es un punto interior al triangulo llamado baricentro. También se le conoce como centroide, centro de gravedad o gravicentro. El baricentro G, determina en la mediana, dos segmentos cuyas medidas están en la relación de dos a uno. El baricentro G, es un punto interior del triángulo. Todo triángulo tiene un solo baricentro. ORTOCENTRO: La intersección de las alturas o de sus prolongaciones es un punto llamado Ortocentro. El ortocentro “O” en un triángulo acutángulo se encuentra en el interior del triangulo El ortocentro “O” en un triángulo obtusángulo se encuentra en el exterior del triángulo El ortocentro “O” en un triángulo rectángulo es el vértice del ángulo recto. INCENTRO: El punto de intersección de las bisectrices interiores se llama incentro (I) que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Inradio (r): radio de la circunferencia inscrita El incentro(I) equidista de los lados del triángulo El incentro (I) es un punto interior al triángulo. A B C D E Bisectriz interior Bisectriz exterior A B C H G Altura relativa al lado BC Altura relativa al lado AB Prolongación de AB A B C M Mediatriz relativa al lado BC A B C D E Ceviana interior Ceviana exterior B A C G Baricentro a 2a b 2b c 2c M A B C M Mediana relativa al lado BC A B C Ortocentro B CA Ortocentro A B Ortocentro r I CEPRU – UNSAAC – 22 – EXCENTRO: Dos bisectrices exteriores y una bisectriz interior se intersecan en un punto llamado Excentro. 1E es el excentro del triángulo relativo al lado BC . 1E es el centro de la circunferencia exinscrita del triángulo relativa al lado BC . En todo triángulo se pueden encontrar tres circunferencias ex-inscritas. NOTA: Un vértice, el incentro(I) y el excentro(E) están contenidos en una línea recta El triángulo 321 EEE es conocido como triángulo exincentral. CIRCUNCENTRO: Las tres mediatrices de un triángulo se interceptan en un punto llamado circuncentro que es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. El circuncentro “L” en un triangulo acutángulo se encuentra en el interior del triángulo El circuncentro “L” en un triángulo obtusángulo se encuentra en el exterior del triangulo El circuncentro “L” en un triangulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa R: circunradio El circuncentro equidista de los vértices del triángulo Propiedad: En la figura si L es circuncentro , se cumple: RECTA DE EULER: Es la recta que contiene a los Puntos: ortocentro, baricentro y circuncentro PROPIEDADES: 1) En todo triángulo la distancia del ortocentro al baricentro es dos veces la distancia del baricentro al circuncentro: OG 2(GL) 2) La distancia del ortocentro a un vértice es el doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto del vértice mencionado. OB 2(LM) También se cumple: BH 3(GN) A B C R L A C B RR L A C L B R O L G k 2k 1E 2E 3E A B C 2r 3r 1r Recta de Euler A B C L G O H N M 1E A B C 1r A B C L 2 GEOMETRIA – 23 – 3) En un triángulo rectángulo el ortocentro, baricentro y el circuncetro se encuentran contenidas en la mediana relativa a la hipotenusa, que esta a la vez contenida en la recta de Euler NOTA: El baricentro (G) se encuentra entre el ortocentro (O) y el circuncentro (L). Todo triángulo, excepto el triángulo equilatero, tienen una unica recta de Euler. EJERCICIOS 1. En un triángulo, se sabe que la distancia del baricentro al circuncentro es 3cm, entonces la distancia del ortocentro al circuncentro, es: A)7cm B)6cm C)12cm )9cm E)8cm 2. En un triángulo obtusángulo, son puntos notables exteriores: A) Incentro y circuncentro B) Incentro y baricentro C) Ortocentro y baricentro D) Ortocentro y circuncentro E) Incentro y ortocentro . 3. Indicar el valor de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I) En todo triángulo no equilátero, el ortocentro, baricentro y circuncentro son colineales II) La propiedad fundamental del baricentro es la de determinar en la mediana dos segmentos cuyas medidas están en la relación de dos a uno. III) En el triángulo obtusángulo el ortocentro y el circuncentro son puntos exteriores. A)VVV B)VVF C)VFV D)VFF E)FVV 4. Determinar el valor de verdad V o falsedad F de las siguientes proposiciones: I) Un triángulo equilátero tiene infinitas rectas de Euler II) En un triángulo rectángulo, la medianarelativa a la hipotenusa está contenida en la recta de Euler. III) Los puntos notables en la recta de Euler, se encuentran en el siguiente orden: ortocentro, baricentro y circuncentro IV) Los puntos notables en la reta de Euler, se encuentran en el siguiente orden: baricentro, ortocentro y circuncentro A)VVFV B)VVFF C)VFFV D)VVVF E)VFFF 5. En la figura: De las siguientes proposiciones: I) L es el ortocentro del triángulo ABC II) E es el ortocentro del triángulo AEB. III) A es el ortocentro del triángulo BLC. La secuencia correcta, es: A)VVV B)VFV C)VVF D)FFV E)FVF 6. En un triángulo ABC de circuncentro L, si LC=10, la medida del ángulo BAC es 70º, la medida del ángulo BCA es 40º, la distancia de L a la altura relativa a AC , es: A) 10/3 B) 2 C) 5 D) 10/4 E) 10 7. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices interiores BD y AF (D en AC , F en BD ). Si m ACB 20º y m BAC 40º , la medida del ángulo DFC, es: A) 40º B) 60º C) 80º D) 75º E) 70º 8. En la figura, H es ortocentro, si la medida del ángulo HBC es 30º, entonces la medida del ángulo HAC, es: A) 37º B) 60º C) 45º D) 15º E) 30º 9. En la figura, si m ABO 18º , m BAO a 12º , m OBC m OAC 60º a , el valor de x, es: A) 52º B) 12º C) 18º D) 72º E) 78º 10. En un triángulo acutángulo ABC, O es el ortocentro y L es el circuncentro, si m BAC m BCA 30º , la medida del ángulo OBL, es: A) 37º B) 60º C) 10º D) 15º E) 30º 3x A B CM Ortocentro Baricentro Circuncentro 3x x 2x A B C D E F L A B C H A O C B x CEPRU – UNSAAC – 24 – 11. En la figura, E es un excentro del triángulo ABC, ED es bisectriz del ángulo BEC, m ACB m DEB . La medida del ángulo BED, es: A) 37º B) 60º C) 45º D) 53º E) 30º 12. En un triángulo ABC, la recta de Euler es paralela al lado BC , si m BAC 45º y la altura relativa al lado BC mide 6, la longitud del circunradio de dicho triángulo, es: A) 3/2 B) 2 C) 2 2 D) 2/3 E) 2 3 13. En la figura AB=BC, el valor de x, es: A) 30º B) 10º C) 20º D) 15º E) 5º ÁNGULOS FORMADOS POR LAS LINEAS NOTABLES TEOREMAS: 1. La medida del ángulo mayor formado por dos bisectrices interiores es igual a 90º más la mitad de la medida del tercer ángulo interior.. 2. La medida del ángulo formado por dos bisectrices exteriores es igual a 90º menos la mitad de la medida del tercer ángulo interior. 3. La media del ángulo formado por una bisectriz interior y una exterior es igual a la mitad de la medida del tercer ángulo interior. 4. La medida del Ángulo formado por una bisectriz interior y la altura trazadas desde un mismo vértice es igual a la semi diferencia de la medida de los otros dos ángulos interiores :BI Bisectriz :BH Altura 5. La medida del ángulo formado por las líneas notables en un triangulo rectángulo es: i) :BM Mediana :BH Altura ii) :BM Mediana :BI Bisectriz iii) :BM Mediana :BI Bisectriz :BH Altura x A B C 2 º90x A B C x 2 º90x A B C x 2 x 2 x A B C x I H A B C M H x x A B C M I x 2 x A B C M H I x y x = y A B C D E A C B 2x 3x x 3 GEOMETRIA – 25 – NOTA: El ángulo formado por una bisectriz interior y otra exterior trazados desde un mismo vértice es una ángulo recto. TEOREMA: i) La longitud de la mediana respecto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa. AC BM 2 ii) La altura respecto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo determina tres triángulos rectángulos. PROPIEDADES EN EL TRIANGULO ISÓSCELES i) En un triángulo isósceles al trazar la altura relativa a la base, se tiene que la bisectriz mediana y bisectriz son coincidentes. ii) En el triángulo isósceles de la figura se cumple: x a b PROPIEDADES EN EL TRIANGULO EQUILÁTERO. i) En un triangulo equilátero los puntos notables coinciden en un único punto y las líneas notables son coincidentes. ii) La suma de las distancias de un punto interior a un triángulo equilátero hacia sus lados es igual a cualquiera de las alturas. h a b c iii) Sea Q un punto exterior a un triangulo equilátero, entonces se cumple: h a b c PROPIEDADES a b c h a b x P ortocentro incentro baricentro circuncentro a bc h A B C A B C M A B C H Bisectriz Altura Mediana Mediatriz Ceviana A B CH A B C m n x 1. 2 nm x A B C mn nm ) 2 (º90n 3. x y m n yxnm 4. 45º 4 x A B C x 5. m n x 2. 2 nm x CEPRU – UNSAAC – 26 – EJERCICIOS 1. En un triángulo ABC. si I es el incentro y la suma de las medidas de los ángulos exteriores de A y B es 290°, la medida del ángulo AIB, es: A) 145° B) 135° C) 205° D) 95° E) 115° 2. En un triángulo ABC, el ángulo formado por la bisectriz interior del  y la bisectriz exterior del Ĉ mide 40º. Si ˆˆmA mC 30º , hallar la m Ĉ . A)60º B)65º C)35º D)45º E)30º 3. En el triángulo ABC, recto en B, AB=5; BC=12; se traza la altura BH y luego se trazan las bisectrices de los ángulos ABH y HBC que intersecan al lado AC en los puntos F y E respectivamente. Hallar el valor de FE. A)6 B)7 C)8 D)5 E)4 4. En un triángulo cuyos catetos miden 3 y 4 respectivamente. Calcular la medida del ángulo agudo formado por los segmentos: altura relativa a la hipotenusa y mediana relativa a la hipotenusa. A)16º B)23º C)12º D)16º30’ E)12º30’ 5. Se tiene un triángulo isósceles ABC (AB=BC), en el interior del triángulo se consideran un punto P tal que m( PAB) m( PCA) , m( ABC) 20º . Calcule m( APC) . A)130º B)120º C)110º D)80º E)100º 6. Hallar la medida del ángulo obtuso formado por la intersección de las bisectrices de los ángulos exteriores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo A)45º B)135º C)90º D)55º E)60º 7. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC), se traza la ceviana interior CD , tal que m( BCD) 26º . La medida del ángulo agudo formado por la bisectriz del ángulo ADC y el lado AC , es: A)67º B)77º C)64º D)60º E)80º 8. Los lados de un triángulo ABC miden AB=6, BC=8 y AC=10. Se traza la altura BH y la bisectriz AD (D en BC ), las cuales se intersecan en E. el valor de BE, es: A)3/2 B)2 C)1 D)2/3 E)3 9. En la figura, AB = 16 y BD = 13. Calcular DC A) 24 B) 27 C) 29 D) 25 E) 14,5 10. En un triángulo ABC, se traza por B una paralela al lado AC que interseca a la bisectriz del ángulo BAC en P y a la bisectriz exterior del ángulo C en Q. Hallar el valor de PQ, si AB = 15 y BQ = 19. A) 2 B) 3 C) 4 D) 2,5 E) 5 11. En un triángulo ABC, el punto “O” es su ortocentro y “L” es su circuncentro. El ángulo BAC mide 60º y el ángulo ACB mide 53º. La medida del ángulo OBL, es: A)37º B)15º C) 7º D)16º E)14º 12. En un triangulo ABC acutángulo AB=BC se traza la altura AH y la bisectriz interior CF secantes en el punto R. Si mHAB + mHRC.= 69º Hallar mB. A) 69º B) 33º C) 74º D) 88º E) 78º 13. En un triangulo ABC AB=BCse traza la bisectriz interior CF y luego FR CF (R en BC ) Si mBFR=24º, hallar la medida del ángulo en B. A)24º B) 38º C) 28º D) 36º E) 18º 14. En un triángulo ABC, m BAC 2m BCA 12º ; se traza la altura BH (H en AC ) y la ceviana interior BD tal que m ABD 2m CBD , la medida del ángulo HBD, es: A)48º B)24º C)37º D)34º E)30º 15. En el triángulo ACB de la figura, se cumple: CS n 3 , SB=2n, n ; m( SNB) m( SNM) y m( SMN) m( SMC) . Calcular la medida del ángulo MSN. A) 55º B) 30º C) 75º D) 60º E) 45º TRIÁNGULOS EJERCICIOS 1) En el triángulo ABC se cumple que m( ABC) 90º ; AB=3 y BC=10. Encontrar la diferencia entre el máximo y el mínimo valor entero que puede tomar la longitud del lado AC . A)2 B)3 C)5 D)4 E)1 2) Dado un triángulo ABC y un punto P exterior, tal que PC AB {D} . Si PA=5, PB=4 y BC AC 11 , calcular el máximo valor entero de la longitud de PC . A)10 B)5 C)9 D)11 E)7 A M C S B N A C D B 2 3 GEOMETRIA – 27 – 3) En un triángulo ABC, AB=BC, se traza la ceviana interior BE en el triángulo BEC se traza la ceviana EQ , tal que BE=BQ, si el ángulo ABE mide 48º, hallar la medida del ángulo QEC. A) 25º B) 24º C) 23º D) 22º E) 20º 4) En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se traza la altura BH . La bisectriz del ángulo HBC interseca en P a AC . Si AB=5. Calcular el máximo valor entero de BP. A)5 B)6 C)7 D)8 E)9 5) Calcular el valor de “x”. A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15 6) En la figura mostrada AB BC y el triángulo QSC es equilátero el ángulo QCA mide 20º Luego, el ángulo BQS mide: A) 60º B) 40º C) 30º D) 38º E) 35º 7) En la figura, AD es bisectriz y BD=2. hallar la longitud de la proyección ortogonal de AD sobre AC . A) 3 B) 3 C) 2 D) 2 3 E) 3 3 8) La suma de las medidas de dos ángulos exteriores de un triángulo es 270º, si el lado mayor mide 18. Hallar la distancia del ortocentro al baricentro del triángulo. A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 18 9) En la figura: AB >BC y CD > ED . Calcular “x”, si su valor es entero. A) 65º B) 110º C) 115º D) 125º E) 135º 10) Calcule el valor de . A) 20º B) 22º C) 25º D) 30º E) 32º 11) En un triangulo ABC isósceles (AB=BC) se traza la ceviana interior AF, de modo que AF=BC. Si m FAC 12º , Hallar la m BAF . A) 12º B) 24º C) 36º D) 48º E) 44º 12) Del gráfico, m ABC 140º .Calcule el valor de “x”. A) 10º B) 15º C) 20º D) 30º E) 35º 13) En la figura. Hallar el valor de x. A) 12º B) 14º C) 16º D) 18º E) 20º 14) En el triángulo isósceles ABC donde se cumple: AB = BC, se inscribe un triángulo equilátero según se muestra en la figura. Hallar “x”. A) a b 2 B) a b 2 C) ab 2 D) a b E) a b 2 x A B C A C E B F L a b x A C E B D 3x x 18º 4 2 3 x A C B Q S 40º 50º 30º A B D C A D B C 64º 66º E x CEPRU – UNSAAC – 28 – 15) En la figura mostrada AB BC y el triángulo QSC es equilátero. Luego: A) a b B) 2a b C) 2a 3b D) a 2b E) a b 60º 16) En la figura, ME=MP; FN=NQ; AE=ED y FD=FC. Calcule x: A) 20º B) 30º C) 35º D) 40º E) 45º 17) Del gráfico, calcular el valor de “x”. A) 30º B) 35º C) 40º D) 45º E) 50º 18) El ABC es isósceles, AB AC. Hallar el valor de x. A) 9º B) 11º C) 12º D) 13º E) 14º 19) En la figura: AB AD DC . Calcular “x”. A) 5º B) 6º C) 7º D) 12º E) 4º 20) En la figura, calcular el valor de “x”: A) 12º B) 16º C) 18º D) 20º E) 22º 21) En la figura, calcular el valor de “x” A) 30º B) 40º C) 72º D) 82º E) 90º 22) En un triángulo ABC se traza la ceviana interior BD , de tal manera que AB BC 35 y AC 25 . Hallar el mínimo valor entero de BD. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 23) En la figura, AB BD BC y EF ED. Calcule el valor de x. A) 100º B) 105º C) 110º D) 115º E) 120º 24) En la figura, si aº cº 24º el valor de z, es: A) 64 B) 58 C) 68 D) 77 E) 78 25) En la figura, el valor de , es: A) 60º B) 40º C) 80º D) 70º E) 90º 26) En la figura, el valor de , es: A) 16º B) 17º C) 18º D) 19º E) 20º 27) En la figura mostrada, si BM es mediana y PB 10, hallar el valor de MH. A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 A C Q B S a b x 3x x x A D C B E M F N P Q 120º x A N R D 20º 50º 50º x 10º A B C D 3x 2x 13x 2 4x a a b b x 2 aº zº cº 35º 35º 3xº 2x º 5º A D Cxº40º E B 20º F A C B 2 n n m m 4 A H B P C M A C B Q P x 2x 68º 3x 40º GEOMETRIA – 29 – 28) Se tiene el triángulo ABC (AB=BC). Sean los puntos P, Q y R en AB , BC y AC respectivamente tal que el triángulo RQP es equilátero. Si m( PRA) , m( BPQ) y m( RQC) ; se cumple: A) 2 B) 2 C) 2 D) 2 E) 2 2 29) En un triángulo ABC, AB =BC, CR es una ceviana interior, tal que m RCB 24º . La bisectriz del ángulo ARC interseca a AC en el punto Q. Hallar la medida del ángulo AQR. A)72º B)56º C)76 D)78º E)82º 30) Calcular x, si DB=BC y AE=ED=DC A) 30º B) 25º C) 22º D) 18º E) 36º 31) En la figura, AC=12; Calcular el valor de BD. A) 15 3 B) 7 3 C) 10 3 D) 7 E) 14 32) Si a b 60º , el valor de “X”, es A) 80º B) 90º C) 100º D) 110º E) 120º 33) En el interior de un cuadrado ABCD se construyen los triángulos equiláteros AFB y AED. La prolongación del segmento FE interseca en G al lado BC . Calcular la medida del ángulo FGC. A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º D) 60º 34) En la figura mostrada, si PB 9 y PC 15, hallar AB. A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 35) El ángulo interior en A de un triángulo ABC mide 20º. Se traza la ceviana CT y en el triángulo ATC se traza la ceviana TQ . Si m ATQ 40º y TQ QC BC . Calcular la m B . A) 40º B) 60º C) 80º D) 75º E) 55º 36) En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la bisectriz interior del ángulo BAC interseca al lado BC en D, en el triángulo ADC se traza la ceviana interior DE tal que AB//DE , si la medida del ángulo ADE es 28º, entonces la medida del ángulo ACB, es: A) 14º B) 24º C) 60º D) 22º E) 34º 37) La suma de las distancias del baricentro de un triángulo, a sus vértices es 24. Calcular la suma de las longitudes de las medianas del triángulo dado. A) 48 B) 36 C) 30 D) 32 E) 42 38) En un triángulo equilátero, la distancia del punto incentro a un vértice mide “x”. Calcular la distancia del incentro a uno de los puntos excentro de dicho triángulo. A) 3x B) x/2 C) x D) x/3 E) 2x 39) La altura BQ de un triángulo acutángulo ABC mide 9cm. Hallar la distancia del circuncentro del triángulo a AC , si la recta de Euler es paralela a este lado. A)3cm B)5cm C)4cm D)2cm E)6cm 40) En un triángulo acutángulo ABC, se ubican los puntos “O” ortocentro y “M” circuncentro, tales que m( AOB) m( AMB) , si la altura AH (H BC) mide 3 3 , calcular la medida del lado AC A)4 B)6 C)5 D)9 E)8 41) En un triángulo ABC, la distancia del vértice “A” al punto incentro “I” del triángulo mide 4cm. Al trazar las bisectrices una interior y otra exterior correspondientes a los ángulos en los vértices C y A respectivamente, se observa que se intersecan en un punto E, donde m( AEC) 30º . Calcular la distanciadel punto “I” al punto excentro del triángulo correspondiente al lado AB . A)10cm B)5cm C)12cm D)3cm E)8cm E A DB C 30º 45º 53º A B C D E x 3x A B P C 2 2 x a b CEPRU – UNSAAC – 30 – 42) Los lados de un triángulo ABC miden AB=6, BC=8 y AC=10. Se traza la altura BH y la bisectriz AD (D en BC ), las cuales se intersecan en E. Calcular BE. A) 3/2 B) 2 C) 1 D) 2/3 E) 3 43) En la figura AB=AD=DC. Calcular “x” A) 5º B) 6º C) 8º D) 9º E) 10º A B C D 2x 3x 13x GEOMETRIA – 31 – CAPITULO V CONGRUENCIA, PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Definición: Dos triángulos son congruentes si y sólo si los tres pares de ángulos correspondientes son congruentes y sus tres pares de lados correspondientes son congruentes. ABC A'B'C' CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS: Para demostrar que dos triángulos son congruentes es suficiente que posean al menos tres elementos respectivos congruentes, de los cuales por lo menos uno de ellos debe ser un lado. CASOS DE CONGRUENCIA: POSTULADO: ALA (Ángulo–Lado–Ángulo) Dos triángulos son congruentes, si tienen dos pares de ángulos correspondientes congruentes y el par de lados comprendidos entre ellos congruentes. POSTULADO: LAL (Lado–Ángulo–Lado) Dos triángulos son congruentes, si tienen dos pares de lados correspondientes congruentes y el par de ángulos comprendidos entre ellos congruentes. POSTULADO : LLL (Lado–Lado–Lado) Dos triángulos son congruentes, si poseen sus tres pares de lados correspondientes respectivamente congruentes. TEOREMA DE LA BISECTRIZ Todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de sus lados Los triángulos OPR y OPQ son congruentes. TEOREMA DE LA MEDIATRIZ Todo punto sobre la recta mediatriz de un segmento equidista de sus extremos Los triángulos APM y BPM son congruentes. TEOREMA DE LA BASE MEDIA En todo triángulo el segmento que tiene por extremos los puntos medios de dos lados, es paralelo al tercer lado y su longitud igual a la mitad de la longitud de este. A B C P Q R A B C P Q R A B C P Q R O Q P R A B C M N C A B C’ A’ B’ A B P L M CEPRU – UNSAAC – 32 – EJERCICIOS 39) En un triángulo ABC, se traza la mediana AM , hallar la distancia del vértice B a la mediana, si la distancia del punto medio N de AC a la mediana es 2cm. A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 4 40) En el triángulo ABC se traza la altura AH , de tal modo que BH=3 y HC=10. si m( ABC) 2m( ACB) , entonces el valor de AB, es:. A) 10 B) 13 C) 8 D) 7 E) 5 41) En el interior de un triángulo equilátero ABC se construye un triángulo isósceles rectángulo ADC e interiormente a éste se construye el triángulo AEC. Hallar la medida del ángulo DAE si se sabe que m( DCE) 30º y EC=AD=DC. A) 15º B) 45º C) 5º D) 30º E) 25º 42) Se tiene un triángulo ABC, en el cual AB=10. Se traza una recta que interseca a BC en N y a BA en M y a la paralela trazada por A, al lado BC , en P, si PM=MN, el valor de AM, es: A) 4 B) 20 C) 5 D) 6 E) 2 43) En un triángulo rectángulo BAC, recto en A, se traza la altura AD . La bisectriz del ángulo interior ABC, interseca a la altura en E, a CA en F y a la paralela trazada por A, a BC , en G. si BE=2, el valor de FG, es: A) 4 B) 3 C) 2 D) 6 E) 8 44) En un triángulo rectángulo ABC recto en “B” se considera el punto “P” exterior al triángulo y relativo a AC , si: AC=2(PB), m( PBC) 30º y m( BPC) 40º , la medida del ángulo BAC, es: a) 10º b) 20º c) 40º d) 50º e) 80º 45) En un triángulo ABC, obtuso en B e isósceles, en los lados AB y AC se consideran los puntos E y F, respectivamente, de modo que AE=FC y AF = BC. Si m FBC 27º . Hallar la medida del ángulo EFB. A)27º B)42º C)30º D)45º E)60º 46) En un triángulo ABC, en AC se considera un punto D, de modo que: AD BC y DC BD . Si m( DCB) 36º , la medida del ángulo BAD, es: A)53º B)72º C)30º D)36º E)75º 47) En un triángulo ABC las medianas AM y BN se interceptan en el punto G, por N se traza una paralela a AM que interseca en P a la prolongación de BA : si AB=12m y PN=PA, entonces el valor de MG, es: A) 3m B) 5m C) 2m D) 4m E) 7m 48) En la figura mostrada, si CD = 4, el valor de BC, es: A) 4 B) 2 6 C) 5 2 D) 6 E) 4 2 49) En la figura, si AB = BC y PQ = 9, entonces el valor de AP, es: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 50) En un triángulo ABC, la mediatriz del lado AC interseca al lado BC en el punto F. Encontrar el mayor valor entero del lado AB , si BC = 12 y FC = 7. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 51) En un triángulo rectángulo isósceles recto en B, por el vértice B se traza una ceviana interior que interseca al lado AC en H. Desde los vértices A y C se trazan perpendiculares CP y AQ a la recta que contiene a B y H, si AQ=7cm y CP=15cm, entonces el valor de PQ, es: A) 4cm B) 11cm C) 8cm D) 6cm E) 9cm 52) En un triángulo ABC, m B 80º , en AC se ubica el punto “E” tal que AB=EC; las mediatrices de AE y BC se intersecan en “F”. Calcular la m ACF , sabiendo que la 30ºm C A) 20º B) 15º C) 18º D) 35 E) 25º 53) En un triángulo ABC, m( ABC) 140º , las mediatrices de los lados AB y BC intersecan al lado AC en D y E. Hallar la medida del ángulo DBE. A) 105º B) 95º C) 115º D) 100º E) 70º 54) En la figura, si AB=CP, BE=EP, y m( CAE) m( ACE) , entonces la medida del ángulo BPE, es: A) 45º B) 50º C) 55º D) 60º E) 65º A B C D 14º 14º 31º 46º A B C E P 30º 20º P B Q 5 A C GEOMETRIA – 33 – 55) En la figura: AB=BC, AD=20. Calcular BP A) 10 B) 15 C) 7,5 D) 8 E) 20 56) Se tiene un triángulo isósceles ABC donde AB=BC. En el exterior y relativo el lado BC se considera el punto E, de modo que la m( BAE) m( BCE) , AE interseca a BC en el punto M. Hallar el valor de “ ” si: AM=CE y la m( EAC) 20º . A) 60º B) 45º C) 70º D) 55º E) 68º 57) En la figura, si AB=BC; AE=CD y BE=BD, entonces el valor de “x”, es: A) 20º B) 25º C) 18º D) 30º E) 45º 58) En los lados AC y AB de un triángulo equilátero ABC, se ubican los puntos M y N respectivamente, de modo que BM y CN se intersecan en el punto P, el ángulo MPC mide 60º, BN=3 cm y MC=7 cm. Determinar el perímetro del triángulo ABC. A) 30 cm B) 24 cm C) 36 cm D) 18 cm E) 21 cm 59) Se tiene un triángulo equilátero AEF; en la prolongación de AF se ubica el punto C, (F está entre A y C) y B es un punto del interior del triángulo AEF, de modo que AF=BC, BF=FC y el ángulo BAF mide 30º. Hallar la medida del ángulo ABF. A) 120º B) 130º C) 110º D) 115º E) 100º 60) Sea el triángulo equilátero ABC; R es un punto interior de este triángulo y E es un punto exterior respecto al lado BC , de modo que el triángulo RCE es equilátero, el ángulo RAC mide 32º y el ángulo RCB mide 10º. Hallar la medida del ángulo REB. A) 40º B) 45º C) 55º D) 38º E) 30º 61) Si R es un punto interior de un triángulo equilátero ABC y F es un punto exterior a este triángulo respecto al lado AC , de modo que el ángulo RCB mide 30º , el ángulo RAB mide 36º , AR = RF y AF = BC , el ángulo RFC mide: A) 48º B) 42º C) 53º D) 30º E) 37º 62) En un triángulo ABC, la mediana AM (M BC ) se prolonga hasta un punto H, tal que el ángulo AHC es recto y AB=2(MH). El ángulo BAH mide x, el ángulo HAC mide y. Hallar la relación entre “x” e “y“. A) x = y B) x = 2y C) x = 3y D) 2x = y E) 3x = y 63) Se tiene un triángulo rectángulo BAD, con ángulo recto en A. Exterior a este triángulo, se construye el triángulo rectángulo DBC, con ángulo recto en B; E es un punto de BD , tal que BE = 3, ED = 2 y el triángulo BAD es congruente al triángulo CBE . Hallar la medida de CD . A) 31 B) 41 C 35 D) 51 E) 7 PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA RAZÓN DE SEGMENTOS: La razón de dos segmentos de recta, es la razón de los números que espresan las longitudes de estos dos segmentos, cuando se les a medido con una misma unidad. Dos pares de segmentos AB , CD y EF , LM son proporcionales si se verifica: AB EF k CD LM TEOREMA DE THALES: Si tres más rectas paralelas son intersecadas por dos o más rectas secantes, los segmentos determinados sobre las secantes son respectivamente proporcionales Si 1 2 3 L // L // L AB MN BC NP ó AB BC MN NP COROLARIO: Una recta paralela a un lado de un triángulo que interseca a los otros dos determina sobre ellos segmentos proporcionales. Si: L // AC a c b d L2 L1 L3 S1 S2 A B C M N P L A B C DE d a c b A D C B P 45º A B C E D 3xº 4xº CEPRU – UNSAAC – 34 – TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR: En todo triángulo los lados adyacentes a la bisectriz interior son proporcionales a los segmentos que determina dicha bisectriz sobre el lado opuesto TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR: En todo triángulo los lados adyacentes a la bisectriz exterior son proporcionales a los segmentos que determina dicha bisectriz sobre la prolongación del lado opuesto TEOREMA DEL INCENTRO: TEOREMA DEL EXCENTRO TEOREMA DE MENELAO: TEOREMA DE CEVA: SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS DEFINICIÓN: Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes y las longitudes de sus lados homólogos correspondientes proporcionales. Si dos triángulos son semejantes, todos sus elementos homólogos son proporcionales (lados, alturas, medianas, bisectrices, inradios, exradios, etc.) Si: ABC MNP a b c H R ... k m n p h r CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS: VI) Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos pares de ángulos respectivamente congruentes. VII) Dos triángulos son semejantes, cuando tienen un par de ángulos respectivamente congruentes y las longitudes de los lados que forman a dichos ángulos respectivamente proporcionales. VIII) Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. OBSERVACION: 1) Una recta paralela a un lado y secante a los otros dos lados de un triángulo, determina dos triángulos semejantes. a b m n c p a m b n c p Cevacentro A B C A' B ' C ' A B C R H a b c M N P r h m n p A B C b c M N P bk c.k A B C b c M N P b.k c.k a a.k p.n.mc.b.a p.n.mc.b.a L A B C DE ABCEBD a c m n x a c m n x n a m c n.mc.ax 2 n a m c c.an.mx 2 a c b I x y b ca y x a c b E y x b ca y x GEOMETRIA – 35 – 2) La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, determina tres triángulos semejantes. 3) Los triángulos ABC y EBD son semejantes EJERCICIOS 1. En un triángulo ABC, se traza la base media relativa al lado AC y la distancia del baricentro a la base media es k. Hallar la altura del triángulo ABC relativa al lado AC . A)4k B)6k C)5k D)3k E)7k 2. En un triángulo ABC, la distancia del vértice A a su incentro es 10, la distancia de su incentro a su excentro relativo al lado BC es 14 y el lado AB mide 12. Hallar la medida del lado AC A)20 B)10 C)15 D)18 E)16 3. Dado un triángulo ABC, donde BC AC AB , se tiene que BC 5 y AC, AB son números enteros. Si E es el punto EXCENTRO correspondiente al lado AB , donde m( AEB) 45º , al calcular la distancia entre el ortocentro y circuncentro de dicho triángulo, se obtiene: A)15/2 B)13/2 C)17/2 D)13/3 E)15/4 4. La altura BH de un triángulo acutángulo ABC mide 27cm; si la recta de Euler es paralela al lado AC , la distancia del circuncentro del triángulo a AC , es: A)9cm B)6cm C)5cm D)13cm E)12cm 5. En la figura AB BC CD DA , si SO 2 , NO 3 , MO 4 , al calcular la medida de RO , se obtiene: A)1/2 B)2 C)1 D)3/2 E)3 6. En la figura, el valor de x, es: A)3 B)4 C)1 D)2 E)6 7. Calcular KC, si JK // AC , 5BJ=3AJ, BK = 12 A) 20 B) 30 C) 15 D) 4 E) 16 8. En un ABC, AB=8, BC=6 y AC=7 se traza la bisectriz interior BD . (D en AC ). Calcular: AD DC . A) 2 B) 0,5 C) 1 D) 1,5 E) 0,75 9. Por el baricentro de un triángulo equilátero ABC, se traza una recta secante, que interseca a los lados AB y BC en los puntos P y Q respectivamente, de modo que BP = 20 , BQ = 30 y AP + QC =22 . Calcular PQ. A) 15 7 B) 20 7 C) 10 7 D) 22 7 E) 18 7 10. Se tiene un triángulo acutángulo ABC, donde el ángulo ABC mide 53 o y la distancia del circuncentro a un vértice es 10. Calcular la longitud del segmento determinado por los pies de las alturas trazadas desde C y A. A) 48 5 B) 48 7 C) 46 5 D) 44 5 E) 47 7 . 11. En un triángulo ABC, se traza las alturas AM y CN . Calcular BM, si AB = 5, NB = 3, BC = 6. A) 2,5 B) 3 C) 2,3 D) 3,5 E) 4 12. En un triángulo isósceles ABC , (AB = BC) ; la mediatriz de BC interseca a AC en F. Por F se traza FH//BC , H AB , tal que FH=1 y FC= 6 . Calcular AB A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 4 13. Las longitudes de los lados de un triángulo son números enteros positivos consecutivos. Calcular su perímetro, sabiendo que la medida del mayor ángulo interior es el doble de la medida del menor ángulo interior. A) 21 B) 13 C) 18 D) 12 E) 15 A B C H ABCAHBBHC 37º A B C D 5 x 10 A J B K C A B C D E A B C D M N R S O CEPRU – UNSAAC – 36 – 14. En un triángulo ABC, D es un punto de AC , por D se trazan DE//BC y DF// AB , ( E AB ,F BC ) . La prolongación de EF interseca a la prolongación de AC en P, tal que AD = 3 y CP = 4. Calcular DC. A) 1 B) 1/2 C) 3 D) 2 E) 5/2 15. En el triángulo ABC, se trazan AD , D BC , luego se traza DE// AC , E AB y EF// AD , F BC , tal que BF = 5 y FD = 3. Calcular DC A) 4 B) 5 C) 12/5 D) 24/5 E) 9/2 16. En un trapezoide ABCD, las bisectrices de los ángulos B y D, se intersecan en un punto de la diagonal AC . Si AB = 6, BC = 8 y CD = 12. Calcular AD. A) 9 B)
Compartir