Analisis_Sismico_De_Edificios_-_J _Pique_Del_Pozo__H _Scaletti_Farina_(Libro_9)

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VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS 
GRADOS DE LIBERTAD 
 
 
8.1 INTRODUCCIÓN 
Cuando se trata con sistemas estructurales reales es necesario, en general, 
considerar varios grados de libertad, cada uno correspondiente a una coordenada 
independiente. En general podría pensarse que una estructura real tiene infinitos 
grados de libertad, sin embargo es posible reducir su número a uno finito 
considerando el hecho que los desplazamientos intermedios de los elementos 
pueden ser expresados en función de los desplazamientos de los nudos extremos. 
El número de grados de libertad debería ser igual al número de componentes de 
desplazamiento necesario para definir adecuadamente la deformada del sistema 
bajo el tipo de excitación de interés, y como consecuencia poder determinar las 
fuerzas internas de manera suficientemente aproximada. 
En el caso de los edificios sometidos a cargas sísmicas, la excitación principal 
son aceleraciones horizontales (y una vertical que es poco importante en general o 
que en caso de serlo puede ser tratada independientemente). Esto se traduce en 
fuerzas de inercia horizontales que imprimen a la estructura una deformación 
lateral y cuyos grados de libertad independientes importantes son los 
desplazamientos horizontales de los nudos. 
Existen otras consideraciones aplicables a este caso, como el hecho que la masa 
está principalmente concentrada en el nivel de cada entrepiso y por consiguiente las 
fuerzas de inercia son fuerzas horizontales aplicadas al nivel de cada entrepiso. 
Esto sugiere que los grados de libertad dinámicos independientes son aquellos 
asociados con la dirección de las fuerzas. Lo cierto es que un edificio sometido a 
la acción de un sismo es un sistema de varios grados de libertad por lo que es 
importante analizar teóricamente el tratamiento de dichos sistemas. 
2 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 
 
En las secciones iniciales del presente capítulo se fundamentará, basados en los 
conceptos básicos del análisis dinámico de edificios, las simplificaciones hechas a 
ciertos sistemas. Dichas simplificaciones son aceptadas por muchos reglamentos 
modernos de construcción cuando hacen uso de métodos dinámicos de diseño. En 
la Secc. 8.2 se verá la diferencia entre un modelo de acoplamiento cercano y lejano, 
usando para esto un pórtico de 3 niveles. Después en la Secc. 8.3 y 8.4 con la 
finalidad de que los conceptos fundamentales y procedimientos numéricos sean 
asimilados con facilidad haremos uso de una estructura sencilla ( pórtico de 2 
niveles mostrado en la Fig. 8.3 ). Ello significa que para sistemas más complejos 
los conceptos también son válidos, tal como se verá en la Secc 8.4., con la única 
diferencia de que en la mayoría de los casos se tendrá que recurrir a programas de 
computo avanzados para realizar el análisis, sin embargo, la última palabra la tiene 
el Ingeniero a cargo del análisis y no la computadora que no es mas que una 
herramienta [ Ref. 11 ]. Finalmente, en la Secc. 8.5 se tocará el tema acerca de los 
sistemas continuos que son los que en realidad nos permiten representar a los 
sistemas estructurales con su masa y rigidez a lo largo de los elementos que los 
componen. 
8.2 MODELOS 
El modelo más simple de un sistema de varios grados de libertad corresponde a una 
serie de masas interconectadas por resortes sin peso, como se muestra en la Fig. 8.1. 
Este modelo se denomina un sistema de acoplamiento cercano. Estrictamente sólo es 
aplicable a las vibraciones laterales de un pórtico con vigas infinitamente rígidas y 
despreciando la deformación axial de las columnas, o también a algún sistema 
vibratorio cuyas deformaciones sean principalmente desplazamientos laterales. Por 
esa razón también se lo denomina modelo tipo cortante. 
 
Fig. 8.1 Modelo de acoplamiento cercano 
En una estructura real, sin embargo, las masas están conectadas por elementos 
flexibles y el modelo anterior no es aplicable. El modelo real sería uno en que las 
1m
2m
3m
2m
1P
2P
3P
1k
2k
3k
2P
)( 233 uuk −
)( 122 uuk −
22um &&
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/
SECC. 8.3: GRADOS DE LIBERTAD DINÁMICOS 3 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
masas se encuentran todas interconectadas dando origen a lo que se denomina modelo 
de acoplamiento lejano. Este modelo se representa en la Fig. 8.2. 
 
Fig. 8.2 Modelo de acoplamiento lejano 
8.3 GRADOS DE LIBERTAD DINÁMICOS 
Los grados de libertad dinámicos son aquellos en los cuales se generan las fuerzas 
inerciales ( masa por aceleración o momento de inercia por aceleración angular). Por 
ende, dichos grados son los que interesarán para realizar el análisis. 
En la Fig. 8.3.a se muestra se muestra el modelo de una edificación de 2 
niveles, conformada por vigas y columnas. Su planta esta esquematizado en la 
Fig. 8.3.b, en ella se resalta las columnas cuyos ejes fuertes son paralelos al eje “ y 
”. En la Fig. 8.3.c se muestra un pórtico secundario típico. Finalmente en la Fig. 
8.3.d se puede apreciar un pórtico principal típico, el cual será usado, de aquí en 
adelante, para poder explicar los conceptos. 
1m
2m
3m
1P
2P
3P
4 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 8.3 Edificación de 2 niveles: ( a ) Modelo. ( b ) Planta. ( c ) Pórtico Secundario. 
 ( d ) Pórtico Principal. 
1L 1L 1L
2L
2L
x
y
( a ) Modelo de una edificación de 2 niveles.
( b ) Planta de la edificación.
x
( c ) Pórtico secundario 
 típico. Elevación “ y ”. 
( d ) Pórtico Principal 
 Típico. Elevación “ x ”. 
z
2L2L
1L 1L 1L
z
y
x
y
z
 [Figura obtenida del programa SAP 2000 versión educacional]
SECC. 8.3: GRADOS DE LIBERTAD DINÁMICOS 5 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
Si se quisiera analizar el pórtico plano principal ( ver la Fig. 8.3.d ) considerando 
todos sus grados de libertad (GDL) , vemos que este tendría 24 GDL estáticos tal como 
se muestra en la Fig. 8.4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 8.4 Pórtico plano principal con sus 24 GDL estáticos. 
 
Sin embargo, al ocurrir movimiento lateral, solo serían importantes las fuerzas de 
inercias generadas por el peso de cada piso (ver Fig. 8.5 ) en los que además las 
deformaciones en su plano son despreciables. Lo cual indicaría que ahora tenemos un 
sistema de 2 GDL dinámicos, que son precisamente los desplazamientos laterales 1 y 
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 8.5 Pórtico plano principal con 2 GDL dinámicos. 
 
Lo dicho en el párrafo anterior no implica que los restantes giros y desplazamientos 
se anulen, sino que, aunque asuman valores distintos a cero, las fuerzas de inercia son 
tan pequeñas que pueden despreciarse. 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
21 
22 
23 
24 
1m
1
2m
2
6 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 
 
Es común que cuando se analicen edificaciones se suponga que los pisos son 
diafragmas rígidos en su plano ( Fig. 8.5 ), lo que permitiría expresar el movimiento de 
cualquier punto del piso en términos de tres grados de libertad: un giro alrededor de 
un eje vertical y dos desplazamientos horizontales. Cuando un pórtico, en este caso el 
de la Fig. 8.5, esta ligado a un piso rígido, los valores que tomen los tres GDL 
mencionados son los que definirán el desplazamiento lateral en cada nivel. Por otro 
lado, debido a que mayor parte de las masas están directamente soportada por los 
pisos, es aceptable suponer que las masas están concentradas en los mismos, de 
manera que las fuerzas de inercia generadas por desplazamientos laterales se pueda 
expresar como productos de la masa en cada piso por sus aceleraciones lineales ( en 
dos direcciones horizontales perpendiculares, para nuestro caso ejes “ x e y ” ) y del 
momento de inercia de dicha masa por la aceleración angular alrededor del eje vertical 
que pasa por el centro de masas. 
Según lo anterior,realizar el análisis dinámico de un edificio con modelos que 
tiene tres grados de libertad por piso(un giro en planta y un desplazamiento en x e y) 
es aceptable. Pero se debe tener presente que la hipótesis de que los pisos se 
comportan como diafragmas rígidos implica que las vigas no tienen deformaciones 
axiales. 
Cuando por simetría los pisos no rotan alrededor de ejes verticales, el edificio o sus 
componentes se puede modelar como un sistema de 1 GDL (desplazamiento lateral ) 
por piso ( u1 y u2 ) como se puede ver en la Fig. 8.6, que es una simplificación del 
pórtico plano principal con 2 GDL dinámicos mostrado en la Fig. 8.3. En la Fig. 8.4 
se puede observar además que “ k1 y k2 ” son las rigideces laterales de cada piso (el 
cálculo aproximado de dichas rigideces fue enseñado en el Cap. 7). 
Fig. 8.6 Simplificación del pórtico plano principal con 2 GDL dinámicos 
Se ha podido apreciar como se redujo un sistema de 24 GDL, lo cual implicaba 
 una matriz de rigidez de 24x24, a uno de 2 GDL que implica el trabajar con una 
matriz de rigidez de 2x2. En resumen lo hecho fue una “ condensación estática ”, 
quedando así matrices de rigideces y de masas que corresponden a los mismos 
grados de libertad. 
1m
2u
1u
2k
1k
2m
SECC. 8.4: VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GDL. AMORTIGUAMIENTO 7 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
8.4 VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS 
DE LIBERTAD (GDL). AMORTIGUAMIENTO 
En esta sección nuestro estudio estará basado en el sistema simplificado de 2 GDL 
Dinámicos visto en la Fig. 8.6, en el que además de las fuerzas inerciales también 
se considerarán fuerzas actuantes en cada GDL tal como se puede observar en la 
Fig..8.7. Primeramente obtendremos una expresión general para la vibración 
forzada del sistema no amortiguado. Luego haremos algunas simplificaciones para 
poder obtener la vibración libre (en la Secc. 8.4.2 presentaremos la expresión 
general que considera el amortiguamiento). Para poder estudiar las propiedades 
básicas de un sistema como el que se muestra en la Fig. 8.7 se hará uso del modelo 
tipo cortante (ver Secc. 8.2). 
Fig.8.7 Sistema no amortiguado simplificado mas fuerzas actuantes. 
El desplazamiento relativo es esquematizado en la Fig. 8.8 debido a su 
importancia mencionada en el Cap..5. Puesto que para poder obtener las fuerzas 
del resorte, en el diagrama de cuerpo libre del sistema que se muestra en la Fig. 
8.9 se emplea el desplazamiento relativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.8.8 Desplazamiento relativo generado en un sistema de 1 GDL 
V
k
∆
∆kV =
1m
)(2 tfP
)(1 tfP
2k
2m
1k
8 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.8.9 Diagrama de cuerpo libre ( DCL ) del Sistema Simplificado. 
 
De la Fig.8.9 aplicando equilibrio dinámico para el primer y segundo nivel, 
resulta: 
 
)()()()( 1221211111221111 tfPukukkumtfPuukukum =−++→=−−+ &&&& (8.1) 
)()()( 2221222212222 tfPukukumtfPuukum =+−→=−+ &&&& (8.2) 
Ordenando matricialmente las Ecs. (8.1) y (8.2) se tiene: 
)(
0
0
2
1
2
1
22
221
2
1
2
1 tf
P
P
u
u
kk
kkk
u
u
m
m
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−+
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
&&
&&
 
O lo que es lo mismo escribir: 
 )(tfFKUUM =+&& (8.3) 
donde: 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
2
1
2
1
2
1 ,
P
P
Fy
u
u
U
u
u
U
&&
&&
&&
 
son el vector aceleración, desplazamiento y fuerza (P1 y P2 son constantes) en 
ese orden; y 
2u
2∆
1m
2m
1k
2k
11um &&
)(2 tfP
)(1 tfP
1u
1∆
1111 ukk =∆
)( 12222 uukk −=∆
)( 12222 uukk −=∆
22um &&
SECC. 8.4: VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GDL. AMORTIGUAMIENTO 9 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−+
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
22
221
2
1
0
0
kk
kkk
Ky
m
m
M 
son la matriz masa y de rigidez respectivamente. 
Antes de proseguir con la simplificación de la Ec. (8.3) es necesario enfatizar 
que de manera análoga, a lo que hemos hecho con 2 GDL, se procede cuando se 
tiene un sistema de n GDL (ver Fig. 8.10), el cual tendrá por consiguiente n 
frecuencias naturales y n formas modales o modos asociados. 
 
Fig. 8.10 Modelo de acoplamiento cercano para un sistema forzado de “ n ” GDL sin 
 amortiguamiento 
Haciendo el diagrama de cuerpo libre de cada masa (solo se muestra para m2), la 
correspondiente ecuación de equilibrio dinámico puede escribirse como: 
)()( 111 tfP = )u u( k u u k u m iiiii iiii −−−+ ++−&& 
ordenando: nipara)t(fP = u k - u )k + k( + u k - u m iiiiiiiiii <<+++− 11111&& 
 )(1 12212111 tfP = u k - u )k + k( + u m = i Para && (8.4) 
 )(tfP = u k - u )k + k( + u k - u m 2 = i Para 2332321222 && 
 )(tf P = u k + u k - u mni Para nnn1-nnnn &&= 
Hay tantas ecuaciones de movimiento como grados de libertad. Luego, expresando 
las ecuaciones anteriores en forma matricial se tiene: 
 
1m
2m
nm
2m
)(1 tfP
)(2 tfP
)(tfPn
1k
2k
3k
)(2 tfP
)( 233 uuk −
)( 122 uuk −
22um &&
: 
: 
10 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 
 
 )(tfFKUUM =+&& (8.5) 
que es la misma Ec. (8.3) pero aplicado a sistemas de n GDL. Para el modelo 
simple considerado, o en general cuando se trata con masas concentradas y usando sus 
desplazamientos como grados de libertad, la matriz de masas M es una matriz 
diagonal con la masa m ,i iésima , como el elemento diagonal iésimo . 
 
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
n
n
m
m
m
m
m
M
0...000
0...000
::::::
00..00
00...00
00...00
1
3
2
1
 (8.6)
 
K es la matriz de rigidez del sistema que relaciona los grados de libertad dinámicos 
escogidos a las fuerzas correspondientes. Para el sistema de acoplamiento cercano en 
estudio tiene la siguiente forma: 
 
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−+
+−
−+−
−+
=
−
nn
nnn
kk
kkk
kkk
kkkk
kkk
K
...000
...000
::::::
00..0
00...
00...0
1
433
3322
221
 (8.7) 
Nótese que en este tipo de modelo el acoplamiento de las n ecuaciones 
diferenciales es proporcionado solamente por la matriz de rigidez. 
8.4.1 Vibración Libre de Sistemas de Varios Grados de Libertad 
Como en el caso de los sistemas de 1 GDL, es útil estudiar el comportamiento de un 
sistema sin amortiguamiento cuando está sometido a una perturbación inicial. Se sabe 
además que la vibración libre se da cuando no hay fuerzas actuando sobre los GDL 
dinámicos del sistema. Prosiguiendo con el estudio de nuestro modelo de 2 GDL y 
haciendo el vector fuerza de la Ec. (8.3) igual a un vector nulo se tiene: 
 ⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
0
0
2
1
P
P
F
 
SECC. 8.4: VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GDL. AMORTIGUAMIENTO 11 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
 
0
0)(
=+∴
==+⇒
KUUM
tfFKUUM
&&
&&
 (8.8) 
SECC. 8.4.1.1: ECUACIÓN CARACTERÍSTICA 11 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
donde 0 representa un vector con n componentes, todas ellas cero. Las condiciones 
iniciales son: 
 00 )0()0( UUyUU && == 
 
Recordemos que en el Cap. 5 se observó que un sistema de 1 GDL sometido a una 
perturbación inicial desde su posición de equilibrio estaría forzado a vibrar con un 
movimiento periódico de período T o frecuencia circular π/Tω = 2 , que es una 
característica del sistema = k/M)ω( 2 . Por analogía es interesante averiguar si un 
sistema de varios grados de libertad, al que se le imponen un juego inicial de 
desplazamientos (o velocidades) vibrará armónicamente, manteniendo la forma 
relativa de estos desplazamientos y variando solamente sus amplitudes por un factor de 
proporcionalidad. Basado en esto, para nuestro sistema de 2 GDL el vector de 
desplazamientos vendría a ser: 
)t(SenXU)t(Sen
x
x
)t(Senx
)t(Senx
u
u
U φωφω
φω
φω
+=→+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
2
1
2
1
2
1 
donde “ x1 y x2 ” son los máximos desplazamientos de los pisos 1 y 2 
respectivamente (los cuales obviamente no son función del tiempo). 
Derivando la Ec. (8.9) dosveces, obtenemos: 
 )t(SenXU φωω +−= 2&& (8.10) 
Reemplazando las Ecs. (8.9) y (8.10) en la Ec. (8.8) se tiene: 
( ) ( ) 02 =+++− )t(SenXK)t(SenXM φωφωω 
Al simplificar la última expresión se obtiene: 
 02 =− XMXK ω (8.11) 
8.4.1.1 Ecuación Característica 
El problema, en la Ec. (8.11), es determinar si es que hay valores de 
2ω y 
vectores correspondientes X que satisfacen esta ecuación matricial, además de la 
solución trivial 00 , X = ω = . Este es un problema matemático llamado de 
valores característicos o de valores propios [ Ref. 9 ]. 
Al factorizar el vector de máximos desplazamientos en la Ec. (8.11), el 
problema a considerar resulta de la forma: 
 0)( 2 =− XMK ω (8.12) 
 (8.9) 
12 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 
 
La Ec. (8.12) también es válida para sistemas de n GDL. Observándose que dicha 
ecuación representa un sistema de n ecuaciones algebraicas lineales con n incógnitas 
(las componentes del vector X ). Como el segundo miembro es igual a cero, éste es un 
sistema homogéneo. No tendrá una solución única (la solución trivial 0 = X ) si el 
determinante de la matriz de coeficientes ( )MK 2ω− se hace cero (matriz singular). 
La expansión del determinante: 
 02 =−⇒ MK ω (8.13) 
 resultará en una ecuación algebraica de grado n en 2ω , llamada la ecuación 
característica. Las raíces de esta ecuación serán los valores deseados de 2ω que 
hacen cero el determinante. 
Si ω2
i es la raíz iésima de la ecuación característica, y es una raíz simple, el rango de 
la matriz )( 2MK iω− será 1-n , indicando que el sistema de ecuaciones: 
 0)( 2 =− XMK iω (8.14) 
tiene una ecuación que es una combinación lineal de las otras. Esto implica que uno 
puede eliminar esta ecuación, dar un valor arbitrario a una de las componentes del 
vector X y resolver un sistema de 1-n ecuaciones con 1-n ingógnitas (las 
componentes restantes de X ) cuyo segundo miembro ya no es cero. Este se obtiene 
pasando al segundo miembro los términos que contienen las componentes 
seleccionadas de X . Así es posible encontrar las otras 1-n componentes y definir un 
vector iX tal que:
 iii XMXK 2ω= (8.15) 
Es importante resaltar que si a la componente de X escogida arbitrariamente (el 
desplazamiento de la última o la primera masa, por ejemplo) se le hubiera dado un 
valor doble que el supuesto, todas las otras componentes del vector hubieran sido 
multiplicadas por dos. Por consiguiente el vector X i se define en función de un factor 
multiplicador constante y todas sus componentes pueden ser escaladas arbitrariamente 
para arriba o para abajo (Es claro que para cualquier vector Xa = Y ii , 
iiiiii YMXMaXKaYK 22 ωω === , y entonces iY también es una solución). 
Para nuestro sistema de 2 GDL, al hallar la solución de la Ecuación 
Característica , Ec. (8.13), obtendríamos los siguientes valores característicos: 
 . 
los cuales son valores positivos (por ser términos cuadráticos) cuyos subíndices 
se designan luego de haberlos ordenado de menor a mayor, adquiriendo de esta 
2
22
2
11 ωλωλ == y
SECC. 8.4.1.2: FRECUENCIAS Y PERIODOS NATURALES 13 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
manera dichas frecuencias un significado físico. En general para un sistema de “ n 
” GDL se tiene: 
nidondeii ,...,12 ==ωλ 
además: 
 
nn
nn
TTTT
y
>>>>
<<<<
−
−
121
121
...
... ωωωω
 (8.16) 
Siendo llamado T1 “ Periodo Fundamental ” por ser el mayor periodo 
correspondiente a la menor frecuencia angular. 
8.4.1.2 Frecuencias y Periodos Naturales 
Para ilustrar estos conceptos nos basaremos en nuestro sistema de 2 GDL. 
Reemplazando las matrices en la Ec. (8.13) se tiene: 
00
0
0
2
2
22
21
2
21
2
12
22
221 =
−−
−−+
→=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−+
mkk
kmkk
m
m
kk
kkk
ω
ω
ω
 
 
Al resolver y ordenar el determinante se tiene: 
 
( )( ) ( )( )
( ) 0)(
0..
2121221
2
21
4
222
2
21
2
21
=+++−→
=−−−−−+
kkkkmkmmm
kkmkmkk
ωω
ωω
 
 
Cuyas soluciones de la ecuación cuadrática generada son: 
 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+++⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++==
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++==
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
12
22
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
12
11
411
2
1
411
2
1
m
k
m
k
m
m
m
k
m
k
m
m
m
k
m
k
m
k
m
k
m
m
m
k
m
k
m
m
m
k
m
k
ωλ
ωλ
 
8.4.1.3 Formas de Modo 
Haciendo uso de la Ec. (8.12) factorizada tenemos para ( i = 1 , 2 ): 
 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−+
0
0
2
1
2
2
22
21
2
21
i
i
i
i
x
x
mkk
kmkk
ω
ω
 
donde
14 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 
 
Debido a que el sistema presenta un grado de dependencia sólo se puede usar una 
ecuación. En general para un sistema de “ n ” GDL se despejan (n-1) valores de “ x ” 
en función del restante. Para nuestro caso en particular, usando la primera fila tenemos: 
 ( ) ( ) 02211
2
21 =−−+ iii xkxmkk ω (8.17) 
Despejando la Ec. (8.17) para: 
 
( )
( )
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
−+
=
=→=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
−+
=
=→=
22
12
2
12
2
1
2
221
22
2212
21
11
1
11
2
1
2
121
21
2111
/2
/1
x
x
X
x
k
mkkx
ctexxi
x
x
X
x
k
mkkx
ctexxi
ω
ω
 
 
se ve además de la Ec. (8.17) que constante para cualquier valor de la 
frecuencia. 
Finalmente, basados en la la Ec. (8.9), los modos ( ver Fig. 8.11 ) vendrían a 
ser: 
 
 
 
 
Fig. 8.11 Modos de vibración de la sistema. 
=ii xx 21 /
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
21
11
1 x
x
X
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
22
12
2 x
x
X
11x
21x
12x
22x
)( 111 φω += tSenXU )( 222 φω += tSenXU
( a ) Modo 1 ( b ) Modo 2
SECC. 8.4.1.4: NORMALIZACIÓN DE LAS FORMAS DE MODO 15 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
“ Se debe resaltar que los modos se dan únicamente en el rango elástico, ya que 
desaparecerán cuando se entre al rango inelástico ( para sismos severos )”. 
8.4.1.4 Normalización de las Formas de Modo 
Debido a que las formas modales están siempre definidas en términos de un factor 
constante, es posible escalarlas arbitrariamente. Se pueden usar diferentes criterios 
para lograr ello. 
 1.-) A veces los vectores se escalan de manera que la máxima componente en 
términos absolutos se iguala a la unidad. 
2.-) En otros casos una componente dada (por ejemplo el desplazamiento de la 
masa del último piso) es seleccionada arbitrariamente e igualada a la unidad en 
todos los modos. En general, esto se logra haciendo las componentes de 
los respectivos modos , siendo dicha componente “ r ” arbitraria. Luego los 
componentes restantes de cada modo “ i ” serán calculados en función de dicha 
componente “ r ”. 
 3.-) Desde el punto de vista del cálculo sin embargo, se prefiere escalar o 
normalizar los vectores con respecto a la matriz de masas “ M ” de manera que 
 1=i
T
i M ΦΦ (8.18) 
para todos los i , en vista de que este producto se repite constantemente en el 
denominador de muchas expresiones. Donde iΦ se obtiene al dividir las componentes 
de X i obtenidas de la solución del problema de valores característicos entre la raíz 
cuadrada de i
T
i XMX . Cuando las formas modales se escalan de esta última forma 
se dice que están normalizadas. Entonces: 
 
( )∑
=
=
=
n
j
jijj
i
i
i
T
i
i
i
)x(m
X
ó
XMX
X
1
2
Φ
Φ
 (8.19) 
Por ejemplo la Ec. (8.15) al premultiplicarla por X T
i ésta queda reducida a: 
ω i
2
i
T
i = XKX 
Asimismo, cabe mencionar que las formas modales normalizadas pueden 
ensamblarse como las columnas de una matriz Q que es llamada la matriz modal. 
iX
1=rix
16 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 
 
 ⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
...
...
...
...
...
21 nXXX
 = Q
 (8.20) 
Usando la propiedad de la ortogonalidad de los modos, el producto QMQT es 
una matriz identidad (matriz diagonal con todos los términos de la diagonaliguales a la 
unidad) y el producto QKQT es una matriz diagonal cuyo término diagonal iésimo es 
igual a 2
iω . 
 
8.4.1.5 Propiedades Matemáticas de los Modos de Vibración. 
 Condición de Ortogonalidad 
Cuando las matrices K y M son simétricas, como en este caso, y una de ellas es 
positivamente definida (K lo es cuando la estructura es estable) varias propiedades del 
problemas de valores característicos pueden ser automáticamente garantizadas: 
1.-) Si el sistema tiene n grados de libertad, la ecuación característica tendrá n 
raíces reales 1
2ω a n
2ω . (Nótese que una raíz puede tener un orden de multiplicidad 
-es decir repetirse- mayor que uno. Si el orden de multiplicidad es r, deberían contarse 
como r raíces. Este es el caso de un edificio simétrico con la misma rigidez en ambas 
direcciones principales). De los “ n ” periodos el mayor es el fundamental. 
2.-) Para cada valor propio o característico (frecuencia natural) iω de multiplicidad 
1 hay una forma modal iX definida en función de un factor. Lo que implica que 
imponiendo al sistema un juego de desplazamientos con la forma del vector X i , éste 
vibrará con la frecuencia ω i . 
Para recordar con facilidad la relación entre las frecuencias y los modos, se 
hace la siguiente analogía: 
 
 
 
 
Dada(o) un(a): Se define su 
correspondiente
:
BailedelForma
Modo
Baile
frecuencia
↔
 
SECC. 8.4.1.5: PROPIEDADES MATEMÁTICAS DE LOS MODOS. CONDICIÓN DE ORTOGONALIDAD
 17 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
3.-) Condición de Ortogonalidad; esta propiedad nos indica que las formas 
modales X ,X ji correspondientes a dos frecuencias naturales ωω ji , , son tales 
que: 
 jiparaxmxXMX
k
kjkkij
T
i ≠== ∑ 0 (8.21) 
Se dice que los vectores X y X ji son ortogonales con respecto a la matriz de 
masas M (La sumatoria sólo es válida cuando la matriz de masas es diagonal). Debe 
notarse que las formas modales también son ortogonales con respecto a la matriz de 
rigidez K , de manera que: 
 jiparaxxkXKX
l n
njlilnj
T
i ≠== ∑∑ 0 (8.22) 
en resumen la condición de ortogonalidad establece: 
 
 (8.23) 
 
siendo C la matriz de constantes de amortiguamiento. La construcción de dicha 
matriz es análoga a la de K como se verá en la Secc. 8.4.2, claro esta, en su forma 
mas simple. 
Nota: Se dice que dos vectores son perpendiculares y no ortogonales para un 
sistema de 1, 2 ó 3 GDL. 
 4.-) Una raíz de la ecuación característica de multiplicidad r tiene asociada 
con ella r formas modales independientes que siempre pueden ser escogidas de 
modo que satisfagan la condición de ortogonalidad entre ellas. También 
satisfarán esta condición con respecto a las formas modales correspondientes a 
otras frecuencias. 
5.-) El conjunto de n formas modales de X a X n1 constituye un juego completo 
de vectores que definen un espacio vectorial de orden n . Esto implica que cualquier 
vector V con n componentes puede ser expresado como una combinación lineal de 
las formas modales: 
jiparaXKX
jiparaXCX
jiparaXMX
j
T
i
j
T
i
j
T
i
≠=
≠=
≠=
0
0
0
18 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 
IERÍA SISMORRESISTENTE 
 
Xa = V i1
n
1=i
∑
 (8.24) 
Los coeficientes ai se obtienen usando las condiciones de ortogonalidad. 
Siendo “ai(t)” una variable dependiente del tiempo que expresa la contribución ó 
participación dinámica (ello se verá en el Cap. 9). 
 Pre-multiplicando ambos lados de la ecuación por la matriz M y el vector X T
j : 
 i
T
j
n
i
i
T
j XMXaVMX ∑
=
=
1
 (8.25) 
pero como 0=j
T
i XMX para i diferente de j : 
 
i
T
i
T
i
i XMX
VMXa = (8.26) 
Esta propiedad es extremadamente importante porque permite expresar la solución 
de cualquier problema dinámico como una sumatoria donde cada término representa la 
contribución de un modo. Permite reducir la solución de un sistema de n grados de 
libertad a la solución de n sistemas independientes de 1 GDL, desacoplando así las 
ecuaciones de movimiento. 
8.4.1.6 Aplicación y Verificación de las Propiedades de las Formas de 
 Modo de Vibración Libre 
Para el sistema mostrado calcule: 
a ) La ecuación característica. 
b ) Las frecuencias y los periodos. 
c ) Formas de modo. 
d ) Normalizar las formas de modo. 
e ) Verificar las propiedades. 
 
Datos: 
1m
2u
1u
2k
1k
2m
m
tky
m
tk
m
stgpesomm
88,279387,6893
437,11/
21
2
21
==
−
===
SECC. 8.4.1.6: APLICACIÓN Y VERIFICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LAS FORMAS DE MODO 
 19 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
Solución: 
 
a) Sabemos que para este tipo de sistema la ecuación característica, por ser de 
vibración libre (ver Secc 8.4.1.1, Ec.(8.13)), viene dada por: 
02 =− MK ω
 
ó 
00
0
0
2
2
22
21
2
21
2
12
22
221 =
−−
−−+
→=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−+
mkk
kmkk
m
m
kk
kkk
ω
ω
ω
 
 
Siendo las matrices K (de rigidez) y M (de masas) al reemplazar los datos: 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=→⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=→⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
9,27939,2793
9,279375,9696
437,110
0437,11
0
0
22
221
2
1
K
kk
kkk
K
M
m
m
M
 
 
Luego el determinante de la ecuación característica vendría dado por: 
 
0
437,119,27939,2793
9,2793437,1175,9696
2
2
=
−−
−−
ω
ω
 
 
b) Es la solución del determinante la que nos permitirá la obtención de las 
frecuencias y los periodos. Luego, operando el determinante: 
0)9,2793()437,119,2793).(437,1175,9696( 222 =−−−− ωω 
Resolviendo esta última ecuación, sabiendo que es el valor 
característico, se tiene: 
 
 0988,51692133,8962 =+− λλ 
 
Esta última ecuación es llamada el polinomio característico. Polinomio cuyas 
raíces nos proporcionarán las frecuencias y periodos, para ello es necesario que 
las frecuencias angulares se ordenen de menor a mayor: 
2ωλ =
077,777059,119
:
21 == λλ y
pordadasvienenraícesCuyas
20 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 
 
Frecuencias angulares: 
 
21
21
:
/876,27/91,10
ωω
ωω
<
==
queObserve
sradysrad
 
 
Como el periodo natural se define como: 
 
s,Tys,T 22505760 21 == 
Observe que según la Ec. (8.16): 21 T)damentalPeriodoFun(T > 
Frecuencias naturales: 
 
21
21
:
44,474,1
ffqueObserve
HzfyHzf
<
==
 
 
c) Las Formas de modo se obtendrán a partir de las frecuencias angulares ya 
calculadas. De la siguiente igualdad (ver Secc 8.4.1.3) : 
 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−+
0
0
2
1
2
2
22
21
2
21
i
i
i
i
x
x
mkk
kmkk
ω
ω
 
 
Al usar la primera fila, puesto que la segunda fila es dependiente de la primera 
o viceversa, tenemos: 
 
( ) ( ) 02211
2
21 =−−+ iii xkxmkk ω 
Reemplazando: 
( ) ( ) 09,2793437,1175,9696 21
2 =−− iii xxω 
 
Notar que cada producirá una forma de modo distinta , cuyas 
componentes, al despejar la última ecuación, serían: 
 
( )
( ) i
i
i
i xyxx 22
2
1 437,1175,9696
9,2793
ω−
=
 
Se suele hacer , es decir la componente segunda en cada modo tomará 
el valor de uno. En general para sistemas de “ n ” GDL se hace siendo 
dicho valor a elegir arbitrario. 
ii λω +=
i
iT
ω
π2
=
i
i T
f 1
=
iω iX
12 =ix
1=nx
(ordenamiento que se ha hecho para obtener T1>T2 ) 
SECC. 8.4.1.6: APLICACIÓN Y VERIFICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LAS FORMAS DE MODO 
 21 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
Recordar que en la Secc 8.4.1.3 se despejó en función de . En este 
problema optaremos por despejar en función de , que es equivalente a lo 
hecho en la sección antes mencionada puesto que la única finalidad es obtener de 
manera cualitativa las formas de modo correspondientes a . Luego para: 
 
 
( )
( )
)(
1
5848,0
5848,0
91,10437,1175,9696
9,2793
1/91,10:1
1111
1
21
11
1
11
211
212
1121
2
11
211
φω
ω
ωω
+=∴
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=⇒
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
=→
−
=
−+
=
====
tSenXU
X
x
x
Xluego
x
x
x
x
mkk
k
x
xysradi i
 
 
 
 
( )
( )
)(
1
7104,1
7104,1
876,27437,1175,9696
9,27931/876,27:2
2222
2
22
12
2
12
212
222
2121
2
12
222
φω
ω
ωω
+=∴
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧−
=⇒
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
−=→
−
=
−+
=
====
tSenXU
X
x
x
Xluego
x
x
x
x
mkk
kx
xysradi i
 
iX iω
ix1ix2
)876,27(
1
7104,1
2]2[
22 φ+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧−
=
→=
tSenU
Modoi
)91,10(
1
5848,0
1]1[
11 φ+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
→=
tSenU
Modoi
121 =x
5848,011 =x
122 =x
7104,112 −=x
⎯→⎯
⎯→⎯
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/
22 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 
 
d) La Normalización de las formas de modo será hecha basada en la Secc 8.4.1.4 : 
d.1 ) Se deja como ejercicio para el lector. 
d.2 ) Haciendo las componentes de los correspondientes modos , 
siendo dicha componente “ r ” arbitraria. Luego los componentes restantes de 
cada modo “ i ” serán calculados en función de dicha componente “ r ”. 
En la parte ( c ) se ha visto cuando . A continuación veremos el caso 
cuando , para lo cual es necesario dividir su valor actual (positivo o 
negativo) al modo correspondiente, obteniendo modos equivalentes “ e ”. Esto se 
verá a continuación: 
 
 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=⇒
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
==
→=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=⇒
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
==
→=
5848,0
1
)7104,1(1
1
2]2[
7097,1
1
5848,01
1
1]1[
)(
22
)(
12)(
2
1222
1212
12
2)(
2
)(
21
)(
11)(
1
1121
1111
11
1)(
1
e
e
e
eeequivalent
e
e
e
eeequivalent
x
xX
xx
xx
x
XX
Modoi
x
xX
xx
xx
x
XX
Modoi
 
 
d.3 ) Normalizando con respecto a la matriz de masas “ M ” : 
 
1=i
T
i MΦΦ 
de donde: 
-
( )∑
=
=Φ=Φ
n
j
jij
i
i
i
T
i
i
i
xm
Xó
XMX
X
1
2)(
 
iX1=rix
12 =ix
11 =ix
SECC. 8.4.1.6: APLICACIÓN Y VERIFICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LAS FORMAS DE MODO 
 23 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
Observar que son los modos normalizados con respecto a la matriz de 
masas. Trabajando con los vectores normalizados de la parte ( c ) del problema 
tenemos para: 
 
 
iΦ
24 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 
INGENIERÍA SISMORRESISTENTE 
[ ]
[ ]
)!(1
)1493,0(437,11)2553,0(437,11)(
1
1493,0
2553,0
1
7104,1
8956,44
1
8956,44
)1(437,11)7104,1(437,11
1
7104,1
437,110
0437,11
17104,1
1
7104,1
:2]2[
)!(1
)2553,0(437,11)1493,0(437,11)(
1
2553,0
1493,0
1
5848,0
3484,15
1
3484,15
)1(437,11)5848,0(437,11
1
5848,0
437,110
0437,11
15848,0
1
5848,0
:1]1[
22
2
1
2
222
22
22
12
2
22
2
2
22
22
22
22
22
12
2
11
22
2
1
2
111
11
21
11
1
11
1
1
11
22
11
11
21
11
1
OkM
xxmMcomo
Moverificand
MXX
Xluego
MXX
xxMXX
MXX
x
x
XconModoi
OkM
xxmMcomo
Moverificand
MXX
Xluego
MXX
xxMXX
MXX
x
x
XconModoi
T
j
jjj
T
T
T
T
T
T
T
j
jjj
T
T
T
T
T
T
ΦΦ
+−==ΦΦ
=ΦΦ
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=Φ⇒
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧−
==Φ
=
+−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=→=
≅ΦΦ
+==ΦΦ
=ΦΦ
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=Φ⇒
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
==Φ
=
+=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=→=
∑
∑
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
SECC. 8.4.1.6: APLICACIÓN Y VERIFICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LAS FORMAS DE MODO 
 25 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
 
 
e) La Verificación de las propiedades de las formas de modo será hecha basada en 
la Secc 8.4.1.5. Luego, siendo las matrices de masas ( M ) y rigidez ( K ) 
simétricas y K corresponde a una estructura estable, podemos garantizar que: 
e.1 ) Existen tantas frecuencias angulares como grados de libertad se han 
considerado. Es decir, si existen “ n = 2 ” GDL, entonces, existirán “ 2 ” 
frecuencias naturales y por ende “ 2 ” periodos siendo el mayor el fundamental. 
e.2 ) Para cada frecuencia existe una única forma de modo. Esto se ha podido 
observar durante la solución del problema. 
e.3 ) Condición de Ortogonalidad; las formas de modo que corresponden a dos 
frecuencias naturales son ortogonales (perpendiculares para un sistema uno, dos ó 
e tres grados de libertad ). 
Cumpliéndose:
 
 
 
Siendo C la matriz de constantes 
de amortiguamiento. La construcción de dicha matriz es análoga a la de K como se 
verá en la siguiente sección. Verificando la condición de ortogonalidad por ejemplo 
para: 
[ ]
0
)11(437,11)7104,1()5848,0(437,11
1
7104,1
437,110
0437,11
15848,0
21
21
21
=→
+−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
MXX
xxxxMXX
MXX
T
T
T
 
Los demás productos con M, C, K y combinaciones de formas modales, de 2 en 2, 
son análogos. 
e.4 ) Para nuestro caso, no se tienen multiplicidad en la raíces por tratarse de un 
sistema sencillo de 2 GDL. 
ijparaXKX
ijparaXCX
ijparaXMX
j
T
i
j
T
i
j
T
i
≠=
≠=
≠=
0
0
0
SECC. 8.4.2: VIBRACIÓN FORZADA DE SISTEMAS DE VARIOS GDL CON AMORTIGUAMIENTO 25 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
e.5 ) El conjunto de formas modales constituye un sistema de referencia (espacio 
vectorial) con respecto al cual puede expresarse cualquier vector “ V ”. Siendo “ a i (t) 
” una variable dependiente del tiempo que expresa la contribución ó participación 
dinámica (ello se verá en el siguiente capítulo). Es decir: 
 
 
Permitiéndonos ésta última propiedad expresar la solución de cualquier problema 
dinámico como una sumatoria ( o combinación lineal ) donde cada término representa 
la contribución de cada modo. 
 
8.4.2 Vibración Forzada de Sistemas de Varios GDL Considerando 
Amortiguamiento 
En toda la presentación anterior se supuso por simplicidad que el sistema no estaba 
amortiguado. Sin embargo, las edificaciones en realidad tienen diferentes mecanismos 
de disipación de energía mientras vibran bajo la acción de un sismo. Las pérdidas de 
energía (y por consiguiente el amortiguamiento) ocurrirá debido a la fricción interna 
en las uniones, o entre los muros y los pórticos y si las deformaciones son grandes 
debido a deformaciones plásticas. 
Las ecuaciones de movimiento del sistema considerando el amortiguamiento bajo 
una matriz C serán: 
 )t(fFKUUCUM =++ &&& (8.27) 
 )t(fFX)t(a)t(a)t(a T
iiiiii =++ 22 ωωβ &&& (8.28) 
Si se va a usar análisis modal no es necesario contar con una matriz de 
amortiguamiento. Todo lo que se requiere es introducir la fracción de 
amortiguamiento crítico o porcentaje de amortiguamiento β en la iésima ecuación 
modal.La determinación de la matriz C sólo es necesaria si no se va a usar análisis 
modal y se va a integrar numéricamente todo el conjunto completo de ecuaciones. 
Este es el caso si se va a realizar un análisis dinámico nolineal (inelástico) y se desea 
agregar a la estructura una cantidad adicional de amortiguamiento además del que 
resultará del comportamiento inelástico (lazos histeréticos). 
Hay varias técnicas para determinar esta matriz C . Si se conocen todas las formas 
de modo y frecuencias naturales la forma más simple es definir: 
 MQBQMC T= (8.29) 
i
n
i
i XtaV ∑
=
=
1
)(
26 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 
 
donde M es la matriz de masas, Q la matriz modal (conteniendo todas las formas 
modales como columnas, ver Secc. 8.4.1.4) y B es una matriz diagonal cuyo término 
iésimo es igual a ii2 ωβ (recordar que para 1 GDL se tiene 
ω
β
m
c
c
c
crítico 2
== ). 
Otra forma de determinar C es considerar: 
 Ka + Ma = C 10 (8.30) 
donde los parámetros oa y 1a se seleccionan de manera que la variación de β 
sobre el rango de frecuencias de interés sea pequeño (según la Norma Peruana de de 
Diseño Sismorresistente ). 
Considerando amortiguamiento para nuestro sistema simplificado de 2 GDL 
Dinámicos visto en la Secc. 8.3, en el que además de las fuerzas inerciales también 
posee fuerzas actuando en cada GDL (Fig. 8.12). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.8.12 Sistema forzado con amortiguamiento. 
la ecuación para este sistema amortiguado forzado vendría a estar dado por la 
Ec..(8.27). Si en este sistema el amortiguamiento a considerar es en su forma más 
simple entonces la construcción de la matriz de amortiguamiento será análoga a la 
construcciónde la matriz de rigidez, o sea: 
1m
)(2 tfP
2k
1k
2m
1c
2c
)(1 tfP
%5=β
SECC. 8.5: SISTEMAS CONTINUOS O DE MASA DISTRIBUIDA: VIGA DE CORTE, VIGA DE FLEXIÓN
 27 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−+
=⇒
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−+
=
22
221
22
221
cc
ccc
C
kk
kkk
KSi
 
8.5 SISTEMAS CONTINUOS O DE MASA DISTRIBUIDA: VIGA DE CORTE 
Y VIGA DE FLEXIÓN 
Los sistemas estructurales reales son en realidad sistemas continuos con su masa y 
rigidez distribuida a lo largo de los elementos. Algunas estructuras, como los pórticos, 
 poseen características de comportamiento ante las cargas sísmicas que justifican la 
reducción del número de grados de libertad. Hay otras que por estar constituidas por 
un número pequeño de elementos, como un emparrillado o una chimenea, pueden 
representarse adecuadamente por un sistema lineal de masa distribuida como los que se 
presentan a continuación. Por último es posible usar los resultados calculados usando 
estos modelos para predecir aproximadamente el comportamiento de estructuras más 
complejas. 
La viga de corte es un elemento ideal que se utiliza para representar sistemas 
físicos que se caracterizan por comportarse presentando una deformación lateral 
similar a la deformación por corte, o sea únicamente una distorsión lateral. Por 
ejemplo, los edificios de altura mediana aporticados a base de elementos de rigidez 
similar, cuando son sometidos a cargas laterales experimentan desplazamientos 
laterales al nivel de sus entrepisos, manteniéndose éstos prácticamente horizontales. 
Esta deformación de todo el pórtico es similar a la de una viga de corte. Los estratos 
de suelos sometidos a sismos que experimentan solamente deformaciones laterales son 
a veces representados por vigas de corte. De hecho la teoría simplificada de 
amplificación de ondas hace uso de estas hipótesis. 
8.5.1 Viga de Corte. Ecuación Diferencial 
Cuando en un elemento prismático la deformación por corte transversal al eje del 
elemento es la única que se supone actuando se tiene una viga de corte. 
28 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 
INGENIERÍA SISMORRESISTENTE 
 
Fig. 8.13 Viga de Corte 
En la Fig. 8.13 se observa una viga que presenta una distribución uniforme del 
esfuerzo cortante en su sección transversal. El desplazamiento lateral (en este caso 
horizontal) está representado por la letra v . De la Resistencia de Materiales se 
conocen las siguientes relaciones que nos permiten establecer la ecuación diferencial 
que gobierna el comportamiento de la viga de corte: 
 
q- = 
xd
vdGA 2
2
 (8.31)
 
Si se considera la fuerza distribuida, q , aplicada a la viga como compuesta por una 
fuerza de inercia más una porción "excitadora": 
 t
v A - t)q(x, 2
2
δ
δρ
 (8.32) 
obtenemos la ecuación diferencial de movimiento para la viga de corte. 
 
t)q(x, - = 
t
v A - 
x
vGA 2
2
2
2
δ
δρ
δ
δ
 (8.33) 
8.5.1.1 Vibración Libre: Viga en Voladizo 
 Cuando no existe fuerza pulsante o excitadora, el sistema vibrará libremente. La 
ecuación de movimiento se transforma en la siguiente (ecuación homogénea cuyo 
segundo miembro igual a cero) 
 
0 = 
t
v A - 
x
vGA 2
2
2
2
δ
δρ
δ
δ
 (8.34) 
Para determinar las condiciones bajo las cuales esta ecuación tiene solución, se 
supondrá la existencia de una vibración que sigue una amplitud o curva determinada 
SECC. 8.5: SISTEMAS CONTINUOS O DE MASA DISTRIBUIDA: VIGA DE CORTE, VIGA DE FLEXIÓN
 29 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
con una frecuencia Ω .Resolviendo el problema resultante para esas incógnitas 
obtendremos que la solución corresponderá a las características de la vibración libre. 
 
 Fig. 8.14 Viga de Corte en Voladizo 
Supóngase que la viga vibrará siguiendo una función t)v(x, dependiente de la 
altura de la viga y del tiempo, que es a su vez función de una "forma" (x)v0 
independiente del tiempo y de una función armónica de frecuencia Ω , 
) + tsen( ΨΩ . 
 ) + tsen().x(v)t,x(v o ΨΩ= (8.35) 
Sustituyendo esta función y sus derivadas en la ecuación diferencial anterior se 
tiene: 
 
0 = vp + 
xd
vd
0
2
2
2
 (8.36) 
donde: 
 G
 = p
2
2 Ωρ
 (8.37) 
Obsérvese que la solución de esta ecuación diferencial proveerá la forma de la 
función (x)v0 que será la que adoptará la viga al vibrar libremente con la frecuencia 
Ω incluida en el parámetro p . En buena cuenta representa la forma modal y Ω la 
frecuencia modal asociada. 
La solución general de la ecuación diferencial Ec. (8.36) es: 
 Bsenpx + pxA = v0 cos (8.38) 
 Para el caso de la viga en voladizo las condiciones de borde son (Fig. 8.14): 
SECC. 8.5.1.1: VIGA LIBRE: VIGA EN VOLADIZO 29 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
 - desplazamiento en la base cero v(0) = 0 
 - giro en la parte superior cero, porque el cortante en el extremo es cero y por 
consiguiente en este caso eso requiere que la primera derivada del desplazamiento 
en ese punto sea cero, o sea 0= (H)v′ . Se obtiene como solución no trivial: 
 /(2H)1) - (2n = p π (8.39) 
o expresado en términos de la frecuencia Ω : 
 ρπΩ G//(2H)]1) - [(2n = n (8.40) 
Las frecuencias naturales corresponderán a valores sucesivos de 3;2;1:n 
El término ρG/ corresponde a la velocidad de propagación de las ondas de 
corte, V s , en un estrato de suelo que se modela elásticamente como si fuera una viga 
de este tipo para las ondas transversales que causan esa deformación. 
Los períodos se expresan como: 
 Ωπ/2 = T n (8.41) 
 V1)-4H/(2n = T sn (8.42) 
El período fundamental, cuando 1 = n viene dado por la expresión: 
 V4H/ = T s1 (8.43) 
Las formas modales vienen expresadas por (Fig. 8.15) 
 x/2LBsenn = (x)von π (8.44) 
 
30 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 
 
Fig. 8.15 Viga de Corte en Voladizo: Modos 
8.5.2 Viga de Flexión. Ecuación Diferencial 
El elemento básico en flexión es una viga prismática de sección constante sometida a 
deformaciones flexionantes. Las relaciones constitutivas son ampliamente conocidas. 
Aquí nos limitaremos s listar las ecuaciones aplicables para el comportamiento 
dinámico de una viga simple. 
La ecuación diferencial de movimiento para la viga de flexión es: 
 
p = 
t
v m + )
x
v (EI 
x 2
2
2
2
2
2
δ
δ
δ
δ
δ
δ
 (8.45) 
8.5.2.1 Vibración libre: Viga en voladizo 
Para el caso de la viga en voladizo se obtienen las siguientes expresiones para las 
frecuencias y las formas de modo: 
Frecuencias: 
 m
EI 
L
) (0.597 = 
2
2
1
π
ω
 (8.46) 
 
1> n 
m
EI 
L4
 )1- (2n = 
2
22
n
πω
 (8.47) 
Formas de modo: 
 )xphsenxphcosxsenpxp(cosB)x(v nnnnon +−−= (8.48) 
 
donde: EI
mp
2
4 Ω
=
 
 
8.5.3 Estimación de Períodos para Edificios 
Una aplicación muy útil de estos sistemas continuos es la estimación aproximada 
de los períodos de los modos altos. La Ec. (8.42) indica que los períodos en la 
viga de corte varían inversamente a los números impares. Es decir que siguen una 
serie inversa a 1; 3; 5; 7.... De esta manera si se considera el período fundamental 
de un edificio aquel calculado por métodos rigurosos (véase Ref. 12, Cap. 5), 
entonces los períodos de los modos superiores pueden estimarse directamente 
dividiendo éste del modo fundamental por los factores mencionados. 
En el estudio de la Ref. 9, se demuestra que para pórticos sin muros de 
concreto o placas, la correlación entre los períodos exactos y los que predice la 
SECC. 8.5.3: ESTIMACIÓN DE PERIODOS PARA EDIFICIOS 31 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
viga de corte es sorprendentemente buena. En el Cuadro 8.1 se muestra la 
comparación para un pórtico de 12 pisos, sin muros o placas. 
 
Ti 
Pórtico de 12 
pisos sin placas 
Períodos (s) 
Viga de corte 
en voladizo (V.C.) 
Períodos (s) 
T1 0,993 0,993 
T2 0,346 0,331 
T3 0,197 0,199 
T4 0,132 0,142 
T5 0,099 0,110 
T6 0,076 0,090 
Cuadro 8.1 Comparación entre períodos de una viga de corte con los de un 
 pórtico de 12 pisos sin placas o muros de corte[ Ref. 9 ] 
Cuando el pórtico tiene muros de corte o placas la correlación con la viga de corte 
ya no se mantiene. En este caso es necesario usar como referencia también la viga de 
flexión o de Timoshenko. Que no es otra cosa que una viga en voladizo cuya 
deformación proviene primariamente de la flexión. En este caso de edificios con 
placas, la deformación lateral tiene una forma más cercana a la de una viga en volado 
a flexión. Estos períodos varían inversamente proporcional a (2n-1) al cuadrado del 
número del modo, o sea como 9; 25; 49; etc. considerando que el primero es como 
1.426. Luego los períodos de los modos 2 al 6 varían inversamente proporcional a 
6,31; 17,36; 34,37; 56,82; 84,87. También en la [ Ref. 9 ] se comprobó que los 
períodos calculados para un edificio con muros o placas y aquellos que se obtenían 
promediando los obtenidos usando la viga de corte y la de flexión eran 
suficientemente cercanos como para ser considerados como una buena referencia. En 
el Cuadro 8.2 se muestra la comparación mencionada para un edificio de 12 pisos, 
pero esta vez con placas o muros de corte. 
 
Ti 
Pórtico de 12 
pisos con placas 
Período (s) 
Viga de flexión 
en voladizo 
(V.F.) 
Período (s) 
Viga de corte 
en voladizo 
(V.C.) 
Período (s) 
Promedio de 
V.F. y V.C. 
Período (s) 
T1 0,733 0,733 0,733 0,733 
T2 0,212 0,117 0,244 0,181 
T3 0,103 0,042 0,147 0,095 
T4 0,064 0,021 0,105 0,063 
T5 0,045 0,013 0,081 0,047 
32 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 
 
Cuadro 8.2 Comparación de períodos promedio entre una viga de corte y una 
 de flexión con los de un pórtico de 12 pisos con placas o muros de 
 corte [ Ref. 9 ] 
REFERENCIAS 33 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
REFERENCIAS 
1. Biggs, J.M., "Dynamic Analysis of One-Degree Systems", en Notas del 
curso Fundamentals of Earthquake Engineering for Buildings . Massachusetts 
Institute of Technology. Cambridge, Massachusetts. 1972 
2. Röesset, J.M. "Structural Dynamics". Notas de clase. Massachusetts Institute 
of Technology. Cambridge, Mass. 1974. 
3. Biggs, J.M., Introduction to Structural Dynamics. McGraw-Hill. New York. 
1964 
4. Craig Jr., R.R., Structural Dynamics. John Wiley & Sons. New York. 1981 
5. Clough, R.W. & Penzien, J. Dynamics of Structures. McGraw-Hill. New 
York. 1975 
6. Okamoto, S. Introduction to Earthquake Engineering. Halsted Press. John 
Wiley & Sons. New York. 1973 
7. Hurty, W.C. & Rubinstein, M.F. Dynamics of Structures. Prentice Hall. New 
Jersey 1964. 
8. Bathe, K.J., Wilson, E.L. Numerical Methods in Finite Element Analysis, 
Prentice-Hall. Englewood Cliffs, New Jersey. 1976 
9. Wilkinson, J.H., The Algebraic Eigenvalue Problem, Clarendon Press. 
Oxford. . 1965 
10. Piqué, J., Echarry, A. "A Modal Combination for Dynamic Analysis of 
Reinforced Concrete Frames". 9a. Conferencia Mundial de Ingeniería 
Antisísmica. Tokyo-Kyoto. Japón. 1988 
11. Bazán, E., Meli, R. Diseño Sísmico de Edificios, Editorial Limusa. 
Balderas, México. 2002 
12. Piqué, J., Scaletti, H., Análisis Sísmico de Edificios, Ediciones Capítulo de 
Ingeniería Civil. Lima, Perú. 1991 
34 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 
 
ANEXO - CAP. 8: COCIENTE DE RAYLEIGH 35 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
 
 
ANEXO 
 
 
COCIENTE DE RAYLEIGH 
 
Factorizando el vector de máximos desplazamientos en la ecuación 
característica, Ec. (8.11), el problema a considerar resulta de la forma: 
 0)( 2 =− XMK ω (8.49) 
reordenando esta última ecuación se tiene: 
 XMXK 2ω= (8.50) 
Suponiendo que se conoce la solución Xi de la Ec. (8.50), entonces se cumple que: 
 iii XMXK 2ω= (8.51) 
y haciendo ii λω =2 la Ec. (8.51) queda: 
 iii XMXK λ= (8.52) 
multiplicando la Ec. (8.52) por T
iX : 
 i
T
iii
T
i XMXXKX λ= (8.53) 
despejando la Ec. (8.53) : 
 
i
T
i
i
T
i
ii XMX
XKX
== 2ωλ (8.54) 
El cociente de Rayleigh nos permite calcular el valor de iλ conocido su 
correspondiente vector característico iX . Esto se puede apreciar en la Ec. (8.54). 
Debido a que la Ec. (8.54) puede ser usada con aproximaciones a los vectores 
propios [ Ref. 12 ], entonces, suponiendo que se conoce una forma de modo de 
manera aproximada: 
 VX i ← (8.55) 
Reemplazando la Ec. (8.55) en la Ec. (8.54) se tiene: 
36 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 
 
 
VMV
VKV
T
T
ii == 2ωλ (8.56) 
Las fuerzas aplicadas serían: 
 FVK = (8.57) 
Al reemplazadas deichas fuerzas en la Ec. (8.56) tenemos: 
 
VMV
FV
T
T
i =λ (8.58) 
La Ec. (8.58) escritas en forma de sumatorias es: 
 
( )2
1
1
j
n
j
j
j
n
j
j
i
vM
vF
∑
∑
=
==λ (8.59) 
donde jj vyF son elementos de los vectores columnas VyF , y jM es un 
elemento que pertenece a la diagonal principal de la matriz de masas M. 
Como 2
ii ωλ = , entonces la Ec. (8.59) quedaría: 
 
( ) ( )2
1
1
2
1
12
j
n
j
j
j
n
j
j
i
j
n
j
j
j
n
j
j
ii
vM
vF
vM
vF
∑
∑
∑
∑
=
=
=
= =→== ωωλ (8.60) 
Si en la Ec. (8.60) se trabaja con pesos en vez de masas, entonces: 
 
( )2
1
1
.
j
n
j
j
j
n
j
j
i
VP
VFg
∑
∑
=
==ω (8.61) 
Y como se conoce que 
i
iT
ω
π2
= , entonces el periodo correspondiente a la forma 
de modo Xi según la Ec. (8.61) sería: 
ANEXO - CAP. 8: COCIENTE DE RAYLEIGH 37 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
 
( ) ( )
j
n
j
j
j
n
j
j
j
n
j
j
j
n
j
j
i
vFg
vP
vF
vM
T
∑
∑
∑
∑
=
=
=
= ==
1
2
1
1
2
1
.
.2.2 ππ (8.62) 
EJEMPLO: 
Para el siguiente sistema que se muestra calcule de manera aproximada el periodo: 
 
 
Solución: 
Suponiendo de manera aproximada las fuerzas aplicadas, se tiene: 
 
 
 
1m
2m
3m
m
tk 000101 =
m
tk 00082 =
m
tk 00083 =
m
st
m
2
1 10
−
=
m
stm
2
2 9 −
=
m
stm
2
3 8 −
=
1m
2m
3m
tF 000101 =
tF 000202 =
tF 000303 =
38 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 
 
 
Resumiendo todos los cálculos en tablas se tiene: 
Nivel 
j 
 
kj 
(t/m) 
Fj supuestas 
(t) 
V’j = Fj acumuladas 
(t) j
j
j k
V '
=∆
v j= ∆ j 
acumuladas 
 
3 8 000 30 000 30 000 3,75 16,00 
2 8 000 20 000 50 000 6,25 12,25 
1 10 000 10 000 60 000 6,00 6,00 
 
Nivel
 
Mj 
(t-s2/m) 
Mj .vj
2 Fj .vj 
3 8 2 048,00 480 000 
2 9 1 350,56 245 000 
1 10 360,00 60 000 
 ∑= 3 758,56 ∑= 785 000 
Usando la Ec. (8.60): sTT 435,0
000785
56,75832 =→= π 
1v
2v
3v
3∆
2∆
1∆
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/
 
 
 
 
 
 
ANÁLISIS SÍSMICO POR 
SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL 
 
 
 
 
9.1 ANÁLISIS SÍSMICO 
 
Para lograr el objetivo del diseño estructural asísmico o antisísmico es indispensable 
atravesar la etapa del análisis. Esta es, a su vez, posterior a la de estructuración y 
determinación de las características elásticas y geométricas de la estructura, 
incluyendo la distribución de sus masas. En general el análisis estructural consiste en 
la determinación de los efectos que la solicitación aplicada demande de la estructura. 
En el caso de los sismos hablamos del análisis sísmico. En este caso la solicitación o 
carga sísmica está caracterizada por la norma local correspondiente y viene expresada 
en términos de un espectro de diseño. Los efectos que se desean determinar consisten 
las en fuerzas y deformaciones resultantes de la carga sísmica. Por fuerzas se entiende 
de modo general, tanto fuerzas de distinto tipo: axiales, cortantes, como también 
momentos flectores. Por deformaciones se entiende principalmente desplazamientos y 
rotaciones de los entrepisos así como distorsiones relativas entre piso y piso. 
La práctica actual mundialmente aceptada del diseño antisísmico considera que 
las solicitaciones sísmicas sobre la estructura se determinan por medio de un análisis 
elástico. Si bien la tendencia moderna incorpora criterios de comportamiento 
inelástico como herramientas de disipación de energía, el análisis se hace sobre la 
basede que la estructura y sus elementos no exceden su resistencia y mantienen su 
forma inicial, hipótesis implícitas en el análisis estructural en el rango elástico. Desde 
este punto de vista entonces, se cuenta con dos caminos contemplados en los códigos 
de diseño: análisis estático o análisis dinámico. 
2 CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL 
El análisis estático reduce las acciones sísmicas a fuerzas estáticas equivalentes y 
todo el análisis se hace considerando un sólo juego de fuerzas aplicado a la estructura 
estáticamente. El edificio puede analizarse tri- o bi- dimensionalmente pero el análisis 
sigue siendo estático y único. Por otro lado el análisis dinámico, también 
contemplado en los códigos modernos de diseño sísmico, considera las 
características o propiedades dinámicas de la estructura en la determinación de las 
fuerzas sísmicas y en cada efecto particular que desee calcularse. Su aplicación, sin 
embargo, no ha estado tan difundida hasta la década de los 80’s en vista de la 
complejidad del cómputo involucrado y en la necesidad de disponer de máquinas para 
el cómputo y procedimientos para la determinación de las propiedades dinámicas de la 
estructura misma, sin mencionar el trabajo posterior para determinar y combinar los 
efectos modales. 
Con la disponibilidad y potencia de las computadoras modernas, principalmente 
las personales, el análisis dinámico de edificios es la herramienta apropiada para la 
determinación de las fuerzas sísmicas, v.g.: el análisis dinámico. 
En edificaciones particularmente elevadas el análisis dinámico viene a ser la 
única herramienta racional de análisis pues los métodos estáticos equivalentes se 
tornan demasiado conservadores. La distribución de fuerzas máximas resultante a lo 
alto del edificio es bastante diferente de la triangular supuesta en los códigos ( ver la 
Fig. 9.1.b). 
 
 Fig. 9.1 Resultados de un análisis dinámico para un edificio de 10 pisos 
 
 
SECC. 9.2: SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD: VIBRACIÓN FORZADA 3 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
En la Fig. 9.1.a se puede apreciar también, que los desplazamientos máximos de 
cada piso tienen configuraciones que no responden a la de la hipótesis simplificatorias 
del análisis estático equivalente. Asimismo cuando las características de la 
estructura estimulan la contribución de modos adicionales al fundamental en la 
respuesta, se puede estar subestimando peligrosamente efectos locales en los pisos 
bajos y en los más altos. En realidad con la facilidad para realizar este tipo de análisis, 
tan difundidos actualmente, tiene poco asidero el seguir utilizando procedimientos 
estáticos equivalentes. 
9.2 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD: VIBRACIÓN 
 FORZADA 
Un edificio real es un sistema de varios grados de libertad (esto se vio en el 
Cap..8). El establecimiento de las ecuaciones de equilibrio se desarrollará mas 
adelante [ Podría consultar también Ref. 11-Cáp.3 y 4 ]. Estas ecuaciones de 
movimiento para el sistema de varios grados de libertad, como se vio en el capítulo 
anterior, tienen la siguiente forma: 
 )(tFKUUCUM =++ &&& (9.1) 
El vector de fuerzas ( )tF puede tener distintas variaciones en el tiempo, pero para 
sistemas lineales elásticos siempre es posible expresar estas variaciones como una 
superposición de términos de la forma )(tfF . Por lo tanto la Ec. (9.1) puede 
reemplazarse por una más simple: 
 )(tf F = U K + U C + U M &&& (9.2) 
Donde F representa un vector independiente del tiempo que contiene las 
magnitudes de las fuerzas aplicadas en correspondencia con cada grado de libertad (o 
en cada piso si se trata de un pórtico plano) 
9.3 MÉTODOS DE ANÁLISIS DINÁMICO 
La respuesta dinámica de una estructura a una excitación sísmica (caracterizada 
usualmente por un movimiento de la base) puede ser obtenida por cualquiera de los 
tres métodos generales usados en la solución de sistemas de varios grados de libertad. 
1) Integración directa en el tiempo de las ecuaciones de movimiento, resolviendo 
simultáneamente las n ecuaciones diferenciales a través de un procedimiento 
de integración paso a paso. 
 2) Solución directa en el campo de frecuencias, resolviendo nuevamente n 
ecuaciones simultáneas. 
 3) Análisis Modal. 
 
4 CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL 
De todos estos procedimientos el primero es el único medio riguroso para tomar en 
cuenta comportamiento nolineal. Sin embargo, si se efectúa un análisis lineal será 
necesario, definir una matriz C de amortiguamiento (ver Cáp.8). Si el análisis es 
estrictamente nolineal, entonces la mayor parte de la disipación de energía será 
automáticamente incorporada y la matriz C se hace innecesaria, ya que sólo 
representará una pequeña cantidad de amortiguamiento a pequeñas amplitudes debida 
a otras causas. 
En el tercer procedimiento la solución en cada modo puede nuevamente llevarse a 
cabo en el dominio del tiempo o en el de las frecuencias. Las soluciones en el campo 
de frecuencias están siempre limitadas a sistemas lineales pero tienen la ventaja que 
permiten considerar propiedades dependientes de la frecuencia (una condición 
deseable en el caso de los suelos). El comportamiento nolineal puede ser simulado a 
través de un procedimiento iterativo en que los valores de la rigidez y el 
amortiguamiento son recalculados al final de cada análisis para igualar el nivel de 
deformaciones obtenido. [ Ref. 2 ] 
El análisis modal es de lejos el procedimiento más usado en dinámica estructural. 
Permite desacoplar las n3 ecuaciones diferenciales de movimiento, reduciendo el 
problema a la solución de n ecuaciones independientes de 1 grado de libertad. En la 
mayoría de los casos sólo algunos modos contribuyen significativamente a la respuesta 
y por lo tanto ni siquiera tienen que resolverse los n sistemas simples. 
9.4 DESCOMPOSICIÓN MODAL DE LAS ECUACIONES DE 
MOVIMIENTO 
La existencia de los modos como un espacio vectorial es extremadamente importante 
ya que permite reducir la solución de un sistema de n grados de libertad a la solución 
de n sistemas independientes de 1 GDL, desacoplando de esa manera las ecuaciones 
de movimiento. 
Suponiendo que al inicio se ha resuelto el problema de valores propios o 
característicos para determinar las frecuencias naturales ωi y las correspondientes 
formas de modo . Asimismo se supondrá que las formas de modo iX han sido 
normalizadas con respecto a la matriz de masas de manera que el producto 
1=i
T
i XMX (véase Cap. 8). 
9.4.1 Descomposición Modal sin considerar Amortiguamiento 
Al no considerar el amortiguamiento la Ec. (9.2) quedaría reducida de la siguiente 
manera: 
 )(tf F = U K + U M && (9.3) 
SECC. 9.4.1: DESCOMPOSICIÓN MODAL SIN CONSIDERAR AMORTIGUAMIENTO 5 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
Usando la propiedad de los modos, que permite expresar cualquier vector del 
espacio vectorial, por ellos definido, como una combinación lineal de las formas 
modales y ciertos coeficientes, se supondrá que la solución de las ecuaciones de 
movimiento viene dada por: 
 X ta = U ii
n
1i
)(∑
=
 (9.4) 
 derivándola dos veces obtendríamos: 
 X ta = U ii
n
1i=
)(&&&& ∑ (9.5) 
 Al sustituir las Ecs. (9.4) y (9.5) en (9.3) se tendría: 
)()()(
)()()(
tfF =] taXK + taX[M
tfF = XtaK + XtaM
iiii
n
1i=
ii
n
1i
ii
n
1i
&&
&&
∑
∑∑ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
== 
 Al premultiplicar esta última ecuación por T
jX ( para nj ,,2,1 K= ), el cual es 
independiente de “ i ” , obtendríamos: 
)()()(
)()()(
tfFX =] taXKX + taXM[X
tfFX =] taXK + taX[MX
T
jii
T
jii
T
j
n
1i=
T
jiiii
n
1i=
T
j
&&
&&
∑
∑
 
 Al aplicar las condiciones de ortogonalidad: 
10 = MX Xi jsiperoi j para = XMX i
T
ii
T
j =≠ (9.7) 
ω = XKX i jsiperoij para = XKX ii
T
ii
T
j
20 =≠ (9.8) 
 en la Ec. (9.6), para “ j = i ” y teniendo además en cuenta las condiciones de 
ortogonalidad, quedaría reducida así: 
 )()()(tfFX = taXKX + taXMX T
iii
T
iii
T
i && (9.9) 
(9.6) 
6 CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL 
 Al dividir la Ec. (9.9) entre i
T
i XMX : 
 )()()( tf
XMX
FX
 = ta
XMX
XKX
 + ta
i
T
i
T
i
i
i
T
i
i
T
i
i&& (9.10) 
 Como podrá notarse la Ec. (9.10) aún no esta simplificada del todo. Sin embargo al 
observar que hay un término que involucra los modos y las matrices K y M, podríamos 
pensar en hacer uso de una expresión ya demostrada en el capítulo anterior, dada por: 
iii XMXK 2ω= la cual al ser premultiplicada por T
jX , con j = i, queda de la 
siguiente forma: 
i
T
iii
T
i XMXXKX 2ω= 
 realizando el despeje de la frecuencia se tendría: 
 
i
T
i
i
T
i
i XMX
XKX
=2ω (9.11) 
 Además, definiendo como factor de participación estática “ iΓ ”, al término que 
relaciona los modos y las matrices F y M, según la Ec. (9.10) éste sería: 
 
( )∑
∑
=
===
n
j
jij
n
j
jij
i
T
i
T
i
i
xm
xF
XMX
FX
 
1
2
1Γ (9.12) 
 Cabe señalar que las Ecs. (9.10) ,(9.11) y (9.12) podrían reducirse aún más puesto 
que se normalizaron los modos respecto a la matriz de masas, es decir 1=i
T
i XMX , 
según esto se tendría: 
 )()()( tfFX = taXKX + ta T
iii
T
ii&& . (9.13) 
 i
T
ii XKX=2ω (9.14) 
 FX T
ii =Γ (9.15) 
 Finalmente de las Ecs. (9.14) y (9.15) en (9.13) se obtiene: 
SECC. 9.4.: DESCOMPOSICIÓN MODAL CONSIDERANDO AMORTIGUAMIENTO 7 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
 )()()( 2 tf = ta + ta iiii Γω&& (9.16) 
 que representa las “ n ” ecuaciones modales de movimiento para un sistema 
forzado sin amortiguamiento. 
 Es conveniente señalar que con frecuencia también se suele expresar “ U ” como 
sigue: 
 iii
n
1i=
XtdU Γ)(∑= (9.17) 
 entonces, si la relacionamos con la Ec. (9.4), podremos apreciar con claridad que 
iii tdta Γ)()( = . Donde “ )(td i ” es el factor de participación dinámica (dependiente 
del tiempo) y “ iΓ ” es el factor de participación estática (independiente del tiempo). 
Luego la Ec. (9.16) en función de “ )(td i ”quedaría expresada como: 
 )()()( 2 tf = td + td iii ω&& (9.18) 
9.4.2 Descomposición Modal considerando Amortiguamiento 
Considerando amortiguamiento la Ec. (9.19) sería la misma que la Ec. (9.2), es decir: 
 f(t) F = U K + U C + U M &&& (9.19) 
 De manera similar a la sección anterior, en ésta, se hará uso de la propiedad de los 
modos, que permite expresar cualquier vector del espacio vectorial, por ellos definido, 
como una combinación lineal de las formas modales y ciertos coeficientes, se 
supondrá para ello que la solución de las ecuaciones de movimiento viene dada por: 
 X ta = U ii
n
1i
)(∑
=
 (9.20) 
 derivando una vez obtendríamos: 
 X ta = U ii
n
1i=
)(&& ∑ (9.21) 
 derivando dos veces obtendríamos: 
 X ta = U ii
n
1i
)(&&&& ∑
=
 (9.22) 
8 CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL 
Al sustituir las Ecs. (9.20), (9.21) y (9.22) en (9.19), es decir, sustituyendo este 
vector U y sus derivadas U& y U&& , expresadas en función de las formas modales iX , 
las ecuaciones de movimiento que obtendríamos serían: 
)()()()(
)()()()(
tfF =] taXK +taXC + taX[M
tfF = XtaK XtaC + XtaM
iiiiii
n
1i=
ii
n
1i
ii
n
1i
ii
n
1i
&&&
&&&
∑
∑∑∑ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
===
 
Luego al premultiplicar esta última ecuación por el vector T
jX ( para n,,,j K21= ), 
el cual es independiente de “ i ” , obtendríamos: 
)()()()(
)()()()(
tfFX =] taXKX +taXC X+ taXM[X
tfFX =] taXK +taXC + taX[MX
T
jii
T
jii
T
jii
T
j
n
1i=
T
jiiiiii
n
1i=
T
j
&&&
&&&
∑
∑
 
 Aplicando las condiciones de ortogonalidad: 
10 = MX Xi jsiperoi j para = XMX i
T
ii
T
j =≠ (9.24) 
iii
T
ii
T
j = XCX i jsii peroj para = CXX ωβ20 =≠ (9.25) 
 ( Si C tiene una forma especial ) 
ω = XKXi pero j para = XKX ii
T
ii
T
j
20 ≠ (9.26) 
 en la Ec. (9.23), para “ j = i ”, ésta quedaría reducida así: 
 )()()()( tfFX = taXKX + taXCX + taXMX T
iii
T
iii
T
iii
T
i &&& (9.27) 
 Escribiendo de otra manera la Ec. (9.27) se tiene: 
 )()()()( tfF = taK + taC + taM e
ii
e
ii
e
ii
e
i &&& (9.28) 
 siendo e
i
e
i
e
i
e
i FyKCM ,, escalares, correspondientes a cada modo de vibración 
“ i ”. Luego, al dividir la Ec. (9.28) entre e
iM resulta : 
(9.23)
SECC. 9.4.2: DESCOMPOSICIÓN MODAL CONSIDERANDO AMORTIGUAMIENTO 9 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
 )()()()( tf
M
F
 = ta
M
K
 + ta
M
C
 + ta e
i
e
i
ie
i
e
i
ie
i
e
i
i &&& (9.29) 
 Como podrá observarse, a la Ec. (9.29), que representa las “ n ” ecuaciones 
modales del movimiento, se le puede hacer una analogía para el caso en el que solo se 
tiene 1 GDL. Entonces tendríamos lo siguiente: 
i
T
i
i
T
i
iiii
i
T
i
i
T
i
e
e
críticoi
e
i
e
i
crítico
e
i
e
i
i
XMX
XCX
XMX
XCX
M
C
m
c
c
caeequivalentes
M
C
C
C
=∴==⇒
====
ωβωβ
ω
β
ω
β
22
2
(%)
2
(%)
)( 
 También, recordando que se demostró en la sección anterior: 
 
i
T
i
i
T
i
i XMX
XKX
=2ω (9.31) 
 y que además, el término que involucra a los modos y a las matrices F y M, 
llamado factor de participación estática “ iΓ ”, estaba dado por: 
 
i
T
i
T
i
i XMX
FX
 =Γ (9.32) 
 Y debido a que se normalizaron los modos respecto a la matriz de masas, o sea 
1=i
T
i XMX , las Ecs. (9.27), (9.30), (9.31) y (9.32) podrían reducirse, según ello 
estas quedarían así: 
 )()()()( tfFX = taXKX +taXCX + ta T
iii
T
iii
T
ii &&& . (9.33) 
 i
T
iii XCX=ωβ2 (9.34) 
 i
T
ii XKX=2ω (9.35) 
 FX T
ii =Γ (9.36) 
 Entonces, finalmente de las Ecs. (9.34), (9.35) y (9.36) en (9.33) se obtiene: 
 (t)f = (t)a (t)a + (t)a iiiiiii Γωωβ 22 +&&& (9.37) 
(9.30) 
10 CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL 
Í
 que representa las “ n ” ecuaciones modales de movimiento para un sistema 
forzado considerando amortiguamiento. 
 Análogamente a la sección anterior, “ U ” se suele expresar como: 
 iii
n
1i=
X(t)dU Γ∑= (9.38) 
 se puede apreciar con claridad que iii (t)d(t)a Γ= al relacionar la Ec. (9.38) con la 
Ec. (9.20). Donde “ (t)d i ” , como ya se indico, es el factor de participación dinámica 
(dependiente del tiempo) y “ iΓ ” el factor de participación estática (independiente del 
tiempo). Entonces la Ec. (9.37) quedaría expresada en función de “ (t)d i ”como sigue: 
 (t)f = (t)d (t)d+ (t)d iiiiii
22 ωωβ +&&& (9.39) 
 De las Ecs. (9.38) y (9.39) observamos que la contribución de cada modo iX a la 
respuesta está afectada por el factor de participación estática iΓ y un factor de 
participación dinámica (t)d i que resulta de la solución de una ecuación de un sistema 
de un grado de libertad con la frecuencia natural iω sometida a la función del tiempo 
( )tf . 
 Si la distribución de fuerzas dinámicas F (o para fuerzas estáticas) es 
proporcional en cada masa al producto de la masa por su desplazamiento en el modo 
j , es decir jXMFα , únicamente FX T
jj =Γ no será igual a cero y por 
consiguiente sólo el modo j será excitado. El sistema vibrará manteniendo constante 
la forma del modo j , o sea jX , variando solamente su amplitud, que dependerá de la 
función ( )tf . En la mayoría de los casos prácticos el factor de participación estática 
iΓ tiende a decrecer para los modos más altos, es decir aquellos con valores altos de 
frecuencias.
 La importancia relativa del factor de participación dinámica )(td i para cada modo 
será una función de la variación de ( )tf con el tiempo en relación con la frecuencia 
natural iω . Nuevamente, en general, las frecuencias más altas tendrán menor 
amplificación y como resultado, la contribución de los modos altos en la respuesta no 
será tan significativa. En la mayoría de casos prácticos solamente algunos modos (3 a 
5 a lo más) serán suficiente para obtener una respuesta apropiada. (ello considerando 
el problema plano; sin embargo si el problema se modela tridimensionalmente habrá 
que triplicar este número). 
SECC. 9.5: ANÁLISISMODAL PARA EXCITACIONES SÍSIMICAS 11 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
 La determinación de )t(d i requiere la solución de la ecuación de movimiento 
para un sistema de 1 GDL. Esta puede efectuarse tanto en el campo del tiempo como 
en el campo de frecuencias. 
 Debe tenerse en cuenta que la aplicación del análisis modal requiere no solamente 
que el problema sea lineal (ya que está basado en la superposición) sino también la 
existencia de una matriz de amortiguamiento C apropiada que satisfaga la condición 
de ortogonalidad. Si se usa un modelo de acoplamiento cercano (ver Cáp. 8) cada 
masa estará conectada a la superior e inferior por un amortiguador y la matriz de 
amortiguamiento tendría una forma similar a la de la matriz de rigidez: 
 ⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−+−
−+−
−+−
−+
=
−−
nn
nnnn
cc
cccc
cccc
cccc
ccc
C
000
00
:::::
0..0
0..0
0..00
11
4433
3322
221
 (9.40) 
Otra forma de hacerlo es calcular una matriz de amortiguamiento con la siguiente 
expresión 
 MQ B Q M= C T (9.41) 
 donde M es la matriz de masas, Q la matriz modal (conteniendo todas las formas 
modales como columnas) y B es una matriz diagonal cuyo término iésimo es igual a 
iiωβ2 (ver Cáp. 8). 
En la mayoría de los casos, cuando se usa análisis modal, la matriz de 
amortiguamiento ni siquiera se ensambla, sino que se comienza definiendo los 
porcentajes modales de amortiguamiento iβ y se los incorpora directamente en las 
ecuaciones modales, Ec. (9.39). 
9.5 ANÁLISIS MODAL PARA EXCITACIONES SÍSMICAS 
En esta sección veremos cuando un sistema de varios grados de libertad está sometido 
a una excitación sísmica, la que es representada usualmente como una aceleración 
horizontal en la base. 
Por simplicidad, para un mejor entendimiento de la expresión general, 
demostraremos la expresión general basándonos en un sistema de vibración libre de 
12 CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL 
Í
2 GDL dinámicos en el que no se considerará el amortiguamiento. Además, en dicho 
sistema se indicarán los desplazamientos absolutos “ u ” y relativos “ y ” (Fig. 9.2.a). 
 
 
 
 
 
De la Fig. 9.2.b aplicando equilibrio dinámico para el primer y segundo nivel, 
en ese orden, resulta: 
0)(0)( 22121111221111 =−++→=−−+ ykykkumyykykum &&&& (9.42) 
00)( 22122212222 =+−→=−+ ykykumyykum &&&& (9.43) 
Como se pude observar las Ecs. (9.42) y (9.43) están en función de 
desplazamientos absolutos “ u ” y desplazamientos relativos a la base “ y ”. Entre lo 
absoluto y relativo podría optarse por escoger cualquiera de los dos. Sin embargo 
Fig.9.2 (a) Sistema simplificado no forzado de 2 GDL dinámicos 
 (b) Movimiento de la base debido a una exitación sismica. 
2y
2∆
1m
2m
1k
2k
11um &&
1y
1∆
1111 ykk =∆
)( 12222 yykk −=∆
22um &&
2u
1u
1m1m
1k
2k
2m2m
)( 12222 yykk −=∆
Fig.9.2.a 
 Sistema 
simplificado 
Fig.9.2.b 
Movimiento 
de la Base 
)(tuG
SECC. 9.5: ANÁLISIS MODAL PARA EXCITACIONES SÍSMICAS 13 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
optaremos por trabajar con los desplazamientos relativos a la base, lo cual es 
conveniente, puesto que las Ecs. (9.42) y (9.43) quedarán expresadas de una forma 
ya tratada en el Cap. 8. El fundamento de lo dicho nuevamente será dado en breve 
una vez que se obtengan las ecuaciones de movimiento en función de “ y ”. 
Observando la Fig. 9.2.b, vemos que los desplazamientos absolutos y lo 
relativos a la base están relacionados mediante: 
 iGi ytuu += )( (9.44) 
donde, para nuestro caso, “ i ” va de 1 a 2, puesto que estamos analizando un 
sistema de 2 GDL dinámicos. Derivando dos veces la Ec. (9.44) tenemos: 
 iGi ytuu &&&&&& += )( (9.45) 
Al reemplazar las Ecs. (9.44) y (9.45) en (9.42) y también en (9.43) se tiene: 
0)())(( 1221111 =−−++ yykykytum G &&&& 
0)())(( 12222 =−++ yykytum G &&&& 
 luego, al reordenar estas ecuaciones se tiene: 
 )()( 12212111 tumykykkym G&&&& −=−++ (9.46) 
 )(2221222 tumykykym G&&&& −=+− (9.47) 
 Ya reordenadas es fácil darse cuenta ahora que, como ya se dijo, fue 
conveniente colocar las ecuaciones en función de los desplazamientos relativos a la 
base ya que ecuaciones similares fueron tratadas en el Cap. 8, solo que en este caso 
la fuerza, es decir el término )(tum Gi &&− , depende de la masa “ im ”y de la 
aceleración del suelo o de la base “ )(tuG&& ” . Expresado de otra manera, podemos 
decir que las Ecs. (9.46) y (9.47) tienen por vector fuerza a “ F(t) ”dado por: 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
)(
)(
)(
)(
)(
2
1
2
1
tum
tum
tfP
tfP
tF
G
G
&&
&&
 
Entonces, un sistema equivalente al sistema libre de la Fig. 9.2 vendría a estar 
dado por el sistema forzado que se muestra en la Fig. 9.3: 
 
 
14 CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL 
Í
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ordenando matricialmente las Ecs. ( 6.46) y ( 6.47 ) se tiene: 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−+
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
)(
)(
0
0
2
1
2
1
22
221
2
1
2
1
tum
tum
y
y
kk
kkk
y
y
m
m
G
G
&&
&&
&&
&&
 
La ecuación anterior se suele escribir de la siguiente manera: 
 )(
1
1
0
0
0
0
2
1
2
1
22
221
2
1
2
1 tu
m
m
y
y
kk
kkk
y
y
m
m
G&&&&
&&
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−+
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ (9.48) 
su notación matricial de una manera mas concisa sería: 
 )(tuIMYKYM G&&
&& −=+ (9.49) 
donde: 
Fig. 9.3 Diagrama de cuerpo libre ( DCL ) del sistema simplificado forzado sin 
amortiguamiento, expresado en desplazamientos relativos a la base “ y ” 
2y
2∆
1m
2m
1k
2k
11 ym &&
)()( 22 tumtfP G&&−=
)()( 11 tumtfP G&&−=
1y
1∆
1111 ykk =∆
)( 12222 yykk −=∆
)( 12222 yykk −=∆
22 ym &&
SECC. 9.5: ANÁLISIS MODAL PARA EXCITACIONES SÍSMICAS 15 
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
1
1
2
1
2
1 Ie
y
y
Y,
y
y
Y
&&
&&
&& 
Son los vectores aceleración y desplazamiento relativos a la base, y el vector 
columna 1 , en ese orden; además: 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−+
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
22
221
2
1
0
0
kk
kkk
Ky
m
m
M
 
son la matriz masa y de rigidez respectivamente. 
Una expresión más general, para el sistema forzado con amortiguamiento de 
2 GDL dinámicos que se muestra a continuación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 Se debe de tener bien claro, para lo concerniente al tema, que I es un vector columna cuyos elementos 
son todos unos. No debemos confundirlo con la matriz identidad. 
 
1m
)()( 22 tumtfP G&&−=
)()( 11 tumtfP G&&−=
2k
1k
2m
1c
2c
Fig. 9.4 Sistema forzado con amortiguamiento de 2 GDL dinámico (con fuerzas 
que dependen de las masas y de la acleración de la base), el cual es la 
equivalencia del problema original mostrado en la “ Fig. 9.2 ”(un 
sistema de vibración Libre de “ n ” GDL con amortiguamiento cuando 
está sometida a una aceleración en el suelo o la base). 
16 CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL 
es la siguiente expresión: 
 )t(uIM = Y K Y C Y M G&&
&&& −++ (9.50) 
Se debe enfatizar que la Ec. (9.50), expresada en desplazamientos relativos, 
representa la ecuación para cuando se tiene un sistema de vibración libre de “ n ” GDL 
con amortiguamiento cuando está sometido a una aceleración en la base (ver Fig. 9.2 , 
9.3 y 9.4). 
 Además, se debe recordar al lector que en el Cap. 8 se explicó como es que se 
forma la matriz de amortiguamiento “ C ”. Además se muestran las condiciones que 
debe cumplir dicha matriz para poder ser incluida en la Ec. (9.49) para finalmente 
tomar la forma de la Ec. (9.50). 
 De la Ec. (9.50) con Y , Y& e Y&& los vectores de desplazamiento, velocidad y 
aceleración relativos a la base )uIU Y( G−= e I vector cuyos elementos son 
todos iguales a la unidad, y (t)uG&& la aceleración del suelo, procederemos a aplicar 
descomposición modal presentada en la sección anterior. 
 Basados en la